«pn tap nhi thuc Niu-Ton,to hop

ôn tập nhị thức niu-tơn
I. lí thuyết
1. Khi khai triển nhị thức (a + b)
n
, ta nhận đợc công thức
(a + b)
n
= c
n
0
a
n
+ c
n
1
a
n-1
b + c
n
2
a
n-2
b
2
++c
n
n-1
ab
n-1
+ c
n

n
b
n
(1)
( công thức nhị thức Niu Tơn)
2. Trong vế phải của công thức (1) ta có:
a) số các hạng tử là n + 1;
b) số hạng (hạng tử) thứ k + 1 là c
n
k
a
n-k
b
k
; k = 0,1,2( quy ớc a
0
= 1)
c) số mũ của a giảm dần từ n đến 0, sô mũ của b tăng dần từ 0 đến n, nhng tổng
số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n.
d) các hạng tử cách đều hạng tử đầu và cuối có hệ số bằng nhau
3. Tam giác Pascal
n hệ số trong khai triển của (a + b)
n
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
..

L u ý : * Ta còn có thể nói số hạng thứ k + 1 là số hạng tổng quát và ký hiệu là
T
k+1
= C
n
k
a
n-k
b
k
* (a b)
n
= C
n
o
a
n
C
n
1
a
n-1
b + C
n
2
a
n-2
b
2
+ + (-1)

k
C
n
k
a
n-k
b
k
+ +(-1)
n
C
n
n
b
n
II. bài tập
Bài 1) khai triển các biểu thức sau:
a) (x y)
5
b) (2x - 1/x)
6
c) (1 + 3x)
7
Bài 2) Tìm số hạng thứ 6 trong khai triển (x + 2/x)
10
, mà trong khai triển đó số mũ của x
giảm dần.
Bài 3. Biết hệ số của x
2
trong khai triển của (3x +1)

n
là 90. Hãy tìm n.
Bài 4. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển (2x 1/x
2
)
6
Bài 5. Từ khai triển biểu thức (3x 4)
17
thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức
nhận đợc
Bài 6. Cho đa thức P(x) = (1 x)
10
+ (1 x)
11
+ + (1 x)
16
.
Khai triển P(x) để có dạng P(x) = a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ a
16
x
16
.

Tính a
4
, a
7
, a
15
.
Bài 7. Trong khai triển đa thức P = (a
2
- b
1/3
)
6
, tìm hệ số của a
12
b
4
.
Các bài toán liên quan đến công thức
P
n
=n! = n.(n 1).(n 2)2.1.
A
n
k
= n!/(n k)! và C
k
n
= n!/k!.(n-k)!
L u ý : n;k N, n k 1

0! = 1
C
k
n
= C
n
n-k
.
a) Chứng minh một đẳng thức,
b) Phơng trình và bất phơng trình.
Bài 1 . Chứng minh:
a) C
k
n
+ C
n

k-1
= C
k
n+1
b) Suy ra C
k
n
+ 2C
n
k-1
+ C
n
k-2

= C
k
n+2
(n, k N và n k 2 )
Bài 2. Chứng minh rằng C
k
n
= n.C
k-1
/k với 0 k n và k, n N
n-1
Bài 3. Chứng minh rằng với mọi k, n N; 2 k n, ta luôn có
k(k 1).C
k
n
= n.(n 1)C
k-2

n-2
Bài 4. Giải phơng trình 1/C
x
4
1/C
x
5
= 1/C
x
6
.
Bài 5. Giải phơng trình C

a+b
= 35.
7

Bài 6. Tìm các số x nguyên dơng thoả mãn phơng trình:
C
1
x
+ 6C
2
x
+ 6C
3
x
= 9x
2
14x.
Bài 7. Tìm k N biết rằng C
k
14
+ C
k+2
= 2C
k+1

14 14
Bài 8. Giải bất phơng trình C
n-3
/A
4

n+1
< 1/14P3.

n-1
Bài 9. Giải bất phơng trình ( với 2 ẩn n, k N) P
n+5
/(n-k)! 60A
k+2

Bài 10. Giải bất phơng trình A
4
/ (n+2)! < 15/(n 1)!
n+3

n+4