de thi hoc sinh gioi casio

đề thi Olympic năm học 2009-2010
Môn: toán lớp 6
(Thời gian làm bài 120 phút)
--------------------------
Câu 1:
a) Rút gọn A =
108.6381.4227.21
36.2127.149.7
++
++
b) Tính B =
1400
10
.........
260
10
140
10
56
10
++++
c) So sánh
20092010
20092009
+
với
2010
2010
Câu 2:
Cho phân số A =
35

10

n
n
( n

Z )
a) Tìm n để A có giá trị nguyên
b) Tìm n để A có giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó?
Câu3:
a) Tìm x

Z biết
5
999999
131313
636363
131313
353535
131313
151515
131313
:
11
10
70.
3
2
=

+++
x
b) Chứng minh rằng nếu a, b

N và a + 5b

7 thì 10a + b cũng chia hết cho 7
c) Chứng tỏ rằng 6n + 5 và 2n + 1 nguyên tố cùng nhau
Câu 4:
Cho góc AMC =

60
. Tia Mx là tia đối của tia MA, My là tia phân giác của CMx,
MT là tia phân giác của góc xMy
a) Tính AMy
b) Chứng minh góc CMT =

90
Câu 5:
a) Cho S =
2500
2499
..............
25
24

16
15
9
8
4
3
+++++
Chứng tỏ rằng S không phải là số tự nhiên
b) Có 64 ngời đi tham quan bằng hai loại xe, loại 12 chỗ và loại 7 chỗ ngồi . Biết số
ngời đi vừa đủ số ghế ngồi . Hỏi mỗi loại có mấy xe?
----------------------------
Hớng dẫn chấm thi Olympic năm học 2009-2010
Môn: toán lớp 6
Câu 1: ( 5 điểm)
a) (2điểm) A =
9
1
27.21
9.7
)4.33.21(27.21
)4.33.21(9.7
108.6381.4227.21
36.2127.149.7
==
++
++
=
++
++
b) (1,5điểm)

B =
=++++
1400
10
.........
260
10
140
10
56
10
700
5
.........
130
5
70
5
28
5
++++
=
28.25
5
.........
13.10
5
10.7
5
7.4

5
++++
=
.(
3
5
)
28.25
3
.........
13.10
3
10.7
3
7.4
3
++++
=
.(
3
5
14
5
28
6
.
3
5
)
28

1
4
1
.(
3
5
)
28
1
25
1
............
13
1
10
1
10
1
7
1
7
1
4
1
===++++
c)(1,5điểm) Ta có
20092010
20092009
+
=

2010.2009)12009(2009
20092009
=+

2010.20102010
20092010
=
Vì
20102009201020092009
20102009200920102009
<+=><
Câu 2 (3điểm)
a) (2điểm)
35
6
2
35
6)35(2

+=

+
=
nn
n
A
A

Z

35
35
6
nZ
n
Ư(6) = 1,-1;2;-2;3;-3;6;-6
5n - 3 1 -1 2 -2 3 -3 6 -6
5n 4 2 5 1 6 0 9 -3
n 1 0
b)(1điểm)
35
6
2
35
6)35(2

+=

+
=
nn
n
A
A có giá trị lớn nhất

35
6

n

có GTLN

5n 3 là số nguyên dơng nhỏ nhất

5n 3 = 2

5n = 5

n = 1 Khi đó GTLN của A là 5
Câu 3: (6 điểm)
a) (2 điểm)
5)
11.9
2
9.7
2
7.5
2
5.3
2
(
2
13
:
11
780
3
2
5)
99

13
63
13
35
13
15
13
(:
11
780
3
2
=






+++=+++
xx
6040
3
2
545
3
2
5)
33
8

.
2
13
(:
11
780
3
2
5)
11
1
3
1
(
2
13
:
11
780
3
2
=====







xxxxx

b) (2 điểm) Xét hiệu 5(10a + b) (a + 5b) = 49a

7 mà a + 5b

7 => 5(10a + b)

7
do (5;7) = 1 => 10a + b

7 (đpcm)
c) (2 điểm) Gọi ƯCLN(2n + 1; 6n +5) = d = > 6n +5

d và 2n + 1

d =>
6n + 5 3(2n + 1)

d => 2

d Do d là ớc của số lẻ => d = 1 => (2n + 1; 6n +5) = 1
Câu 4: (3 điểm) y C
a) (2 điểm)Vì góc xMC và góc CMA kề bù =>
gócxMC =
=
12060180
Vì My là tia phân giác của góc xMC
=> góc xMy =

60
mà góc góc xMy kề bù với T

góc AMy => góc AMy =
=
12060180


60
x M A
b)( 1 điểm)
Do MC là ti phân giác của góc AMy. MT là tia phân giác của yMx
mà góc AMy và góc yMx là hai góc kề bù => My năm giữa 2 tia MC và MT
gócCMT = góc CMY + góc yMT =
.
2
1
góc AMy +
2
1
góc yMx =
2
1
.120 +
2
1
.60 =

90
Câu 5: (3 điểm) (Mỗi câu đúng cho 1,5 điểm)
a) Ta có
2500
1

1...................
25
1
1
16
1
1
9
1
1
4
1
1
+++++=
S

)
50
1
........
5
1
4
1
3
1
2
1
(1.............111
22222

+++++++++=
49 s/h B
= 49 B
B =
1
50
1
1
50.49
1
...........
4.3
1
3.2
1
2.1
1
50
1
..............
4
1
3
1
2
1
2222
<=++++<+++
Ta lại có
B =

3
1
147
49
102
49
51
1
2
1
51.50
1
...........
5.4
1
4.3
1
3.2
1
50
1
..............
4
1
3
1
2
1
2222
=>==++++>+++

=>
<<
1
3
1
B
48 < S < 49 => (đpcm)
b) Gọi x là loại số xe 12 chỗ
y là loại số xe loại 7 chỗ ( ĐK x , y


*
N
)
Ta có 12x + 7y = 64 (1)
Ta thấy 12x

4 , 64

4 => 7y

4 mà (4;7) =1 => y

4.(2)
Từ (1) => 7y < 64 => y < 10 Kết hợp với (2) = > y = 4; 8
Với y = 4 => 12x +28 = 64 => x = 3 (TM)
Với y = 8 => 12x + 56 = 64 => 12x = 8 Không thoả mãn
Vậy có 3 xe loại 12 chỗ và 4 xe loại 7 chỗ
---------------

đề thi Olympic năm học 2009-2010
Môn: toán lớp 7
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu1.
a.Tính:
0
3 2
1 1 14
2 : . 3 .9 7 5
2 8 25


+ +
ữ ữ

b. So sánh:
2 6 12 20 30 42A = + + + + +
và
24B =
Câu 2:
c. Cho
2 2 4 4
x y z
a b c a b c a b c
= =
+ + + +
.
Chứng minh rằng:
2 2 4 4
a b c

x y z x y z x y z
= =
+ + + +
(Với
0abc
và các mẫu khác o)
b. Cho hàm số:
( )
f x
xác đinh với moi giá tri của
x R
. Biết rằng với mọi
0x
ta
đều có
( )
2
1
2f x f x
x

+ =
ữ

. Tính
( )
2f
.
Câu 3.
a. Tìm x biết:

( ) ( )
1 11
5 5
x x
x x
+ +
=
b. Tìm tất cả các giá tri nguyên dơng của x và y sao cho:
1 1 1
5x y
+ =
Câu 4:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2008 2009 2010 2011 2008A x x y x= + + + +
Câu 5.
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lần lợt lấy 2 điểm M và N sao cho
BM=MN=NC. Gọi H là trung điểm BC.
a. Chứng minh: AM=AN và AH

BC
b. Chứng minh
MAN BAM
>
c. Kẻ đờng cao BK. Biết AK= 7cm; AB=9cm. Tính độ dài BC.
---------------------------
Câu 1(4đ)
1.a(2đ)
1.b(2đ)
Câu 2(4đ)
2.a(2đ)

2.b(2đ)
Câu 3(4đ)
3.a(2đ)
Híng dÉn chÊm thi Olympic n¨m häc 2009-2010
M«n: to¸n líp 7–
Ta có:
1579.
9
1
8
1
.16
51.79.
3
1
8
1
.
2
1
:8
5
25
14
79.3
8
1
.
2
1

:2
2
0
23
=+−+=
+−+






=
+






−+






−
Ta có:
4230201262

+++++=
A
B
==+++++=
+++++<
245,65,55,45,35.25,1
25,4025,3025,2025,1225,625,2
Vậy A<B
Từ giả thiết suy ra:
( )
( )
( )
3
9
44
44448
4
484
4
2
9
2
442242
2
1
9
2
44224
2
2

c
zyx
cba
z
cba
y
cba
x
b
zyx
cba
z
cba
y
cba
x
a
zyx
cba
z
cba
y
cba
x
+−
=
+−
=
−+
=

++
−+
=
+−
=
−+
=
++
++
=
+−
=
−+
=
++
Từ (1), (2), (3) ta có:
c
zyx
b
zyx
a
zyx
9
44
9
2
9
2
+−
=

−+
=
++
Hay
zyx
c
zyx
b
zyx
a
+−
=
−+
=
++
44
9
2
9
2
9
Vậy
zyx
c
zyx
b
zyx
a
+−
=

−+
=
++
4422
Với x=2 ta có:
( )
4
2
1
22
=






+
ff
Với
2
1
=
x
ta có
( )
4
1
22
2

1
=+






ff
Giải ra tìm được
( )
6
7
2
−=
f
0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,5
0,5
0,5
1
0,5

0,5
1