SKKN ỨNG DỤNG đạo hàm để GIÚP học SINH GIẢI QUYẾT các bài TOÁN THỰC tế TRONG đề THI THPT QUỐC GIA

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ỨNG DUNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIÚP HỌC SINH GIẢI QUYẾT
CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA

Người thực hiện: Hoàng Thị Xuân
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

THANH HOÁ, NĂM 2019


MỤC LỤC
Mục

TT
I

Trang

MỞ ĐẦU

2

1.1

Lý do chọn đề tài

2

1.2

Mục đích nghiên cứu

2

1.3

Đối tượng nghiên cứu

2

1.4

Phương pháp nghiên cứu

2

II

NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

3

2.1

Cơ sở lý luận

3

2.2

Thực trạng

3

2.3

Cơ sở lý thuyết

3

2.4.

Ứng dụng đạo hàm trong bài toán chuyển động

4

2.5

5

2.6

Ứng dụng đạo hàm trong bài toán tính diện tích,
tính thể tích
Ứng dụng đạo hàm trong bài toán kinh tế

13

2.7

Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

20

III

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

22

3.1

Kết luận

22

3.2

Kiến nghị

22

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1

I.MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tàà̀i
Mục tiêu của giáo dục phổ thông là phải phục vụ cuộc sống. Do vậy
các kiến thức học sinh được học phải gắn liền với thực tế. Chính vì lẽ đó mà
các nhà giáo dục đã không ngừng chỉnh sửa cải cách nội dung giảng dạy cho
phù hợp với yêu cầu của xã hội.
Toán học bắt nguồn từ thực tiễn, và mọi lí thuyết toán học dù trừu tượng đến
đâu cũng đều tìm thấy ứng dụng của chúng trong thực tế cuộc sống: có rất
nhiều những bài toán liên quan đến tối ưu hóa nhằm đạt được lợi ích cao nhất
như phải tính toán như thể nào để làm cho chi phí sản xuất là thấp nhất mà lợi
nhuận đạt được là cao nhất , các bài toán tính toán về vận tốc,và các bài toán
về kinh tế...Chính vì lẽ đó mà tôi viết sáng kiến:
“ƯNG DUNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIÚP HỌC SINH GIẢI QUYẾT CÁC BÀI
TOÁN THỰC TẾ TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA”. Trong phạm vi sáng
kiến của mình, tôi đề cập tới áp dụng của đạo hàm vào các bài toán thực tiễn,
cụ thể là dùng công cụ đạo hàm để xét tính tối ưu của các bài toán về vận tốc,
diện tích, thể tích, về khoảng cách, góc và bài toán kinh tế.
1.2. Mục đích nghiên cứu
- Cung cấp một số bài tập tương đôi phong phú, đa dạng vê ứng dụng đạo
hàm có tác dụng tốt để rèn luyện tư duy mềm dẻo, linh hoạt, khéo léo cho học
sinh.
- Thông qua đây học sinh có thể làm tốt các bài tập liên quan.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Ứng dụng đạo hàm trong giải bài toán thực tế
- Áp dụng vào giảng dạy cho học sinh lớp 12 năm học 2017-2018 tại
trường THPT Nguyễn Trãi.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Tìm hiểu và đọc sách giáo khoa, sách tham khảo, tạp chí, mạng internet,
các đề thi thử THPT Quốc Gia của các trường THPT, các chuyên đề có liên

quan.
Quan sát việc học tập của học sinh, tham khảo ý kiến các thầy cô giáo
trong tổ bộ môn.
2


II. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lý luận

Công cụ đạo hàm được dùng rất hiệu quả trong các bài toán tìm giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hay tính toán tối ưu của các bài toán kinh tế.
Để giúp học sinh tích cực, chủ động trong học môn Toán - một môn
Khoa học tự nhiên khô khan thì người giáo viên cần phải sáng tạo trong
phương pháp giảng dạy, dạy học gắn với thực tế; từ đó kết quả dạy và học đạt
được cao hơn.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Khi dạy học sinh trung học phổ thông lớp 12, tôi nhận thấy các em có
phần hạn chế trong việc giải những bài toán thực tế, các em rất ngại các bài tập
dạng này. Hơn nữa tôi cũng nhận thấy rằng công cụ đạo hàm có thể giải được
phần lớn các bài toán thực tế. Xuất phát từ thực trạng đó tôi thiết nghĩ cần tăng
cường rèn luyện cho học sinh khả năng giải quyết các tình huống thực tiễn liên
quan đến việc ứng dụng của đạo hàm.
2.3. Cơ sở lý thuyết
2.3.1. Phương pháp giải bàà̀i toán: Tìm GTNN, GTLN của hàm số y = f(x)
trên tập số D bằng đạo hàm
Phương pháp chung: Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập số D. Căn cứ
vào bảng biến thiên để kết luận.
Trong trường hợp D là đoạn [a; b] và f(x) liên tục trên D thì có thể làm như
sau:
Tính đạo hàm y’.

Tìm các nghiệm của y’ trong đoạn [a; b] giả sử các nghiệm này là x1, x2 ...
Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2) ....
KL: Số lớn nhất (nhỏ nhất) trong các số trên là GTLN, (NN) của f(x) trên [a; b].
2.3.2. Các bước làà̀m bàà̀i toán thực tế ứng dụng đạo hàà̀m
Bước 1: Dựa trên các giả thiết và yếu tố của đề bài, ta diễn tả bài toán“dưới
dạng ngôn ngữ Toán học”
Đặt biến , biểu diễn các đại lượng trong bài theo biến, tìm các điều kiện tồn
tại của chúng cũng như sự ràng buộc, liên hệ với các giả thiết của đề bài.
Trong mục 2.3.1: Cơ sở lý thuyết được tham khảo từ TLTK số 1,2.
3


Bước 2: Dựa vào các kiến thức liên quan đến vấn đề thực tế trong kinh tế, đời
sống, trong khoa học kỹ thuật như Vật lý, Hóa học, Sinh học,... Ta thiết lập
hoàn chỉnh hàm số phụ thuộc theo biến.
Bước 3: Sử dụng công cụ đạo hàm của hàm số để khảo sát và giải quyết bài
toán hình thành ở bước 2. Lưu ý các điều kiện ràng buộc của biến số và kết
quả thu được có phù hợp với bài toán thực tế đã cho chưa .
2.4. ỨỨ́ng dụng đạo hàà̀m trong bàà̀i toán chuyển động
2.4.1 Một số ví dụ:
Bàà̀i 1: Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga. Quãng
đường (theo đơn vị mét
t (theo đơn vị giây
mà tại đó vận tốc
Bàà̀i giải

v m/s

m

) đi được của đoàn tàu là một hàm số của thời gian
s 6t 2 t3.
s
) cho bởi phương trình là

Tìm thời điểm t

của đoàn tàu đạt giá trị lớn nhất ?

v t 12t 3t 2 .

Vận tốc của đoàn tàu là:
v ' t 0 t=4
v ' t12-3t

vt

Lập BBT ta có
đạt gía trị lớn nhất tại t=4
Vậy tại thời điểm t=4 vận tốc của đoàn tàu đạt giá trị lớn nhất
Bàà̀i 2: Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được xác định bởi công thức
2
G x 0, 024x 30
x
, trong đó x là liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân
cao huyết áp (x được tính bằng mg). Tìm lượng thuốc để tiêm cho bệnh nhân
cao huyết áp để huyết áp giảm nhiều nhất
Bàà̀i giải
0;30
Gx

Bài toán trở thành: Tìm GTLN của hàm số
trên đoạn
Ta có:
G ' x 0, 024x

2

30 x ' 1, 44x 0, 072x

2

x 0

G ' x 0 1, 44x
0, 072x

2

0

x
G 0 0
G

Suy ra

20

G 30

96 max G x G 20 96
0

4

20


Vậy lượng thuốc để tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp để huyết áp giảm nhiều
nhất là: 20 mg
Trong mục 2.4.1: Bài1,2 được tham khảo từ TLTK số 5.

2.4.2. Một số bàà̀i vận dụng.

s 9t t

2 3
Bàà̀i 1: Một vật chuyển động theo quy luật
với t (giây) là khoảng thời
gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di
chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 5 giây, kể
từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được là bao nhiêu ?

A. 27 m/s

B. 15 m/s

C.100 m/s

Bàà̀i 2: Một vật chuyển động theo quy luật

D.54 m/s
s
t 6t
3

với t (giây) là

khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng
đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời
gian 9 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được
là bao nhiêu ?
A. 144 (m/s)
B. 36 (m/s)
Bàà̀i 3: Một chất điểm chuyển động theo phương trình s

trong đó t

tính bằng giây
chất điểm đạt giá trị lớn nhất.

s và S

C. 243 (m/s) D.

tính bằng mét

C. t 3s
3
Bàà̀i 4: Một vật chuyển động theo quy luật

A. t 5s

m.

27 (m/s)
2t 3

18t2

2t

1,

Tính thời gian vận tốc

B. t 6s

D. t 1s

với t (giây) là khoảng

thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi
được trong thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu
chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu ?
A. 216 (m/s).
B. 30 (m/s).
C. 400 (m/s).
D. 54 (m/s).
Bàà̀i 5: Có một cái hố rộng 50m, dài 200m. Một vận động viên chạy phối hợp
với bơi (bắt buộc cả hai) cần đi từ góc này qua góc đối diện bằng cách cả chạy

và bơi. Sau khi chạy được bao xã (quảng đường x) thì nên chạy xuống bơi để
đến đích nhan nhất? Biết rằng vận tốc bơi là 1.5m/s, vận tốc chạy là 4.5m/s.
Giá trị của x gần bằng:
A. 100
B. 153

C. 160

D. 182

2.5. ỨỨ́ng dụng đạo hàà̀m trong bàà̀i toán diện tích, thể tích
2.5.1 Một số ví dụ:
5


Bàà̀i 1: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh a. Người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau, rồi gập tấm nhôm
lại hình vẽ dưới đây để được một cái hộp
Trongkhôngmụcnắp2.4.Tìm.2:Bàicạnh3,4,5củađượchìnhthamvuôngkhảotừbịTLTKcắtsaosố7 cho thể tích của khối hộp lớn

Trong mục 2.5.1: Bài 1 được tham khảo từ TLTK số 2

nhất .

Bàà̀i giải
Gọi x là độ dài cạnh

hình vuông bị cắt

0 x

V x xa 2x2

a
2
0 x

Thể tích của khối hộp là:

a
2

0;a
x

Bài toán trở thành: Tìm

Ta có: V '( x )
V '( x ) 0 x

2

sao cho

V(x)

lớn nhất

a 2 x a 6x
a
6

0 x

do

a
2

Bảng biến thiên:

.
xa

Từ BBT ta có V(x) lớn nhất tại

6

Bàà̀i 2: Cho một tấm bìa hình chữ nhật có chiều dài AB = 60cm và chiều rộng
BC = 40cm. Người ta cắt 6 hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng x cm,
6


rồi gập tấm bìa lại để được một cái hộp có nắp đậy (tham khảo hình vẽ bên
dưới). Giá trị của x sao cho thể tích của khối hộp lớn nhất là

Bàà̀i giải
Điều kiện:

0 < x < 20

.

V = x. 40 - 2x . 60 - 3 = 3x 3 - 120x2 +1200x
x
Thể tích khối hộp c hữ nhật:
(
)
2
.
Xét hàm số: f x = 3x 3 - 120x2 +1200x trên khoảng ( 0;20
()

2

é
f '( x = 9x - 240x + 1200 = 0 Û ê
ê

)

x = 20

l

20

ê

ê

x=

Ta có:

20

ë

)

( )

3

(

)
n

x=

Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại

3 trên khoảng
Bình luận: Qua hai bài toán trên ta cần lưu ý:

.

(

0;20

).

Một là, khâu tìm điều kiện cho biến cần đặt là cực kì quan trọng. Chúng ta không
nên chỉ ghi theo cách hiểu số đo đại số là một số dương mà phải tìm điều kiện
xác định của ẩn
Hai là, nếu không thuộc công thức tính thể tích khối hộp xem như bài toán này
không thể giải quyết tiếp được. Điều này đòi hỏi người giải phải biết cách vận dụng
các kiến thức đã học vào bài toán thực tế.
Ba là, biết chuyển sang bài toán tìm GTLN,NN.

Bàà̀i 3: Bạn A muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là
mảnh tôn hình tam giác đều ABC có cạnh bằng 90 (cm). Bạn muốn cắt mảnh
7


tôn hình chữ nhật MNPQ từ mảnh tôn nguyên liệu ( với M, N thuộc cạnh BC;
P và Q tương ứng thuộc cạnh AC và AB) để tạo thành hình trụ có chiều cao
bằng MQ. Thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà bạn A có thể làm được là:
A
Q

P

B

C
M

Bàà̀i giải

N

Gọi I là trung điểm BC. Suy ra I là trung điểm MN
Đặt MN = x ( 0

x 90

);

MQ

BM

AI

BI

R

Gọi R là bán kính của trụ
f(x)

Xét
Khi đó:

3 ( x 3 90 x 2 )
8

với 0
max f ( x ) 13500. 3
x (0;90)

x

MQ

2

V(
T

2
x 90

3 (90 x)
x ) 2 3(90 x )
2
2

3 ( x 3 90 x 2 )
8

.

khi x= 60.
13500. 3

Vậy thể tích lớn nhất đạt được là:

ABCD
5dm
Bàà̀i 4: Từ một tấm bìa hình vuông
có cạnh bằng
, người ta cắt bỏ bốn
BNC CPD DQA
tam giác cân bằng nhau là AMB ,
,
và
. Với phần còn lại,
người ta gấp lên và ghép lại để thành hình chóp tứ giác đều. Hỏi cạnh đáy của

khối chóp bằng bao nhiêu để thể tích của nó là lớn nhất?

8


9


Bàà̀i giải

Trong mục 2.5.1: Bài 4 được tham khảo từ TLTK số 8

10


11

12


S

P

Q
I

O
N

M
0 x 5 2 .

Đặt MQ x dm
AO

AC

OI MQ

5 2

2
2 ,
Ta có
Chiều cao của hình chóp:

SO

S
I

2

OI

2

x
SI AI AO IO

2,

2

5 2 x2

5 2 x

x2

2

2

.

50 10 x 2
2

2

.

Thể tích của khối chóp:
V

1 S MNPQ .SO 1 .x 2. 50 10 x 2
3

3

2

4

10 x 5

Xét hàm số y50 x
y

100 x 3 25 x 4

1.

50 x 4 10 x 5 2
2

3
2 0 x 5 2

.

.

2

Ta có

50 x 4 10 x 5 2 . Khi đó
y 0 100 x 3 25 4
2 0x 0 0;5 2
x
2
x 2

.

Lập bảng biến thiên ta có
Hàm số y đạt giá trị lớn nhất khi

x

2 2

.

x 2 2
Vậy thể tích hình chóp lớn nhất khi
.
Bàà̀i 5: Một sợi dây có chiều dài 6m, được chia thành hai đoạn. Đoạn thứ nhất

được uốn thành một tam giác đều, đoạn thứ hai được uốn thành hình vuông.
Hỏi độ dài của cạnh tam giác đều là bao nhiêu để tổng diện tích tam giác và
hình vuông đó nhỏ nhất?
Bàà̀i giải
Gọi x là độ dài tam giác đều,

0 x

2(m)

13


6 3x

Cạnh của hình vuông là

4

S

x2

3
4

Tổng diện tích tam giác và hình vuông là
S'

x
S'
S

4 3 9 x 18

S' 0 x

8

6 3x

2

4

18
4 3 9

18

0
-

2

4 3 9
0

+

9
4

3

S
min

18

Vậy cạnh của tam giác đều cần tìm là : 9+4 3
40cm
Bàà̀i 6:
Từ một khúc gỗ tròn hình trụ có đường kính bằng
, cần xả thành
một chiếc xà có tiết diện ngang là hình vuông và bốn miếng phụ được tô màu
xám như hình vẽ dưới đây. Tìm chiều rộng x của miếng phụ để diện tích sử
dụng theo tiết diện ngang là lớn nhất.

Bàà̀i giải
Gọi x , y lần lượt là chiều rộng và dài của miếng phụ.
Diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là S S MNPQ 4xy .
MN

Cạnh hình vuông

S 20 2 2

MP
2

40 20 2

cm

2

.

4 xy 800 4xy (1).

Ta có 2 x AB MN

AB 20 2

BD 20 2

40 20 2 .

14


Trong mục 2.5.1: Bài 1 được tham khảo từ TLTK số 8
0 x 20 10
2.

Lại có AB 2 AD 2 BD 2
y2

800 80 x

4022x 20

2 4x2

2 2 y 2 1600

800 80 x

y

2 4x2

S 800 4 x 800 80 x 2 4 x 2
Xét hàm số f x 800 x 2 80 x 3 2 4x4 , với

Thế vào 1

f x 1600 x 240 x 2

.
800 4 800 x 2 80 x 3 2 4x4 .
x 0;20 10 2
có.

2 16 x 3 16 x 100 15 x 2 x2

0;20 10

2

x

x 0

.

0;20 10 2

5

x

f

.

16x 100 15x

2 x2 0

34152

x

2

Ta có

.
x 53415

Khi đó

2
2

chính là giá trị thỏa mãn bài toán.
200cm
Bàà̀i 7: Cho một tấm gỗ hình vuông cạnh
. Người ta cắt một tấm gỗ có
ABC
hình một tam giác vuông
từ tấm gỗ hình vuông đã cho như hình vẽ sau.
AB x 0 x 60 cm

Biết

là một cạnh góc vuông của tam giác ABC và tổng

độ dài cạnh góc vuông AB với cạnh huyền
ABC

BC

bằng

120cm

. Tìm x để tam giác

có diện tích lớn nhất.
200

B
x
A

120-x
C

Bàà̀i giải
Ta có độ dài cạnh

AC

BC2 AB2

120 x 2 x 2

ABC là: S 1 AB.AC 1 x 14400 240x
Diện tích tam giác
2

14400 240x .

.

2

15


Xét hàm số

f x x

14400 240x
240x

Ta có: f

với 0

x 60 .

120 x
14400 240 x

x14400

14400 360x
14400 240x ;.

f x 0 x 40 0; 60 .

Bảng biến thiên:

.

Vậy

f x

S
max

x
max

40

.

ABC
x 40cm
Vậy tam giác
có diện tích lớn nhất khi
2.5.2. Một số bàà̀i vận dụng.
Bàà̀i 1: Với một đĩa phẳng hình tròn bằng thép bán kính R, phải làm một cái
phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của đĩa này và gấp phần còn lại thành một
hình nón. Gọi độ dài cung tròn của hình quạt còn lại là x. Tìm x để thể tích
khối nón tạo thành nhận giá trị lớn nhất.
x

A.

2R 6
3

x

B.

2R 2
3

x

C.

2R 3
3

x

D.

Bàà̀i 2: Trong số các hình trụ có diện tích toàn phần đều bằng
R và chiều cao
R

A.
R

C.

Bàà̀i 3:

h

S

R 6
3

thì bán kính

của khối trụ có thể tích lớn nhất là

2 ; h 4 2S
S
3
3 .
S ;h
S
4
4 .

R

B.
R

S ;h 1

S

2
2 2 .
S ;h 2 S
6
6 .

D.
50 cm
Cho một miếng tôn hình tròn có bán kính
. Biết hình nón có thể
tích lớn nhất khi diện tích toàn phần của hình nón bằng diện tích miếng tôn ở
trên. Khi đó hình nón có bán kính đáy là:

A. 10

2 cm .

B. 50

2 cm .

C. 20 cm .

D. 25 cm .

Bàà̀i 4: Một công ty mỹ phẩm chuẩn bị ra một mẫu sản phẩm dưỡng da mới
mang tên Ngọc Trai với thiết kế một khối cầu như viên ngọc trai, bên trong là
một khối trụ nằm trong nửa khối cầu để đựng kem dưỡng như hình vẽ. Theo
16

Trong mục 2.5.2: Bài 1,2,3,4 được tham khảo từ TLTK số 5,6.


R 3 3cm.
dự kiến, nhà sản xuất có dự định để khối cầu có bán kính là
Tìm thể
tích lớn nhất của khối trụ đựng kem để thể tích thực ghi trên bìa hộp là lớn
nhất (với mục đích thu hút khách hàng).

A. 108 cm3 .

B. 54

3

cm

C. 18 cm3 .

.

D. 45 cm3 .

2.6. ỨỨ́ng dụng đạo hàà̀m trong bàà̀i toán kinh tế.
2.6.1 Một số ví dụ:
Bàà̀i 1: Một cửa hàng bán thanh long Châu Thành với giá bán mỗi quả là
50.000 đồng. Với giá bán này thì của hàng chỉ bán được khoảng 40 quả. Cửa
hàng này dự định giảm giá bán, ước tính nếu cửa hàng cứ giảm mỗi quả 5000
đồng thì số thanh long bán được tăng thêm là 50 quả. Xác định giá bán để của
hàng đó thu được lợi nhuận lớn nhất, biết rằng giá nhập về ban đầu mỗi quả là

30.000 đồng.
Bàà̀i giải
5x
Gọi là số tiền cần giảm trên mỗi quả bưởi bán ra để đạt lợi nhuận lớn
nhất Khi đó, lợi nhuận thu được tính bằng công thức
f x

50 5 x 50 x 40

30 50 x 40

f x20 5 x 50 x 40

50

4 x 3x 4

Ta có

50 16 16 x 5 x 2max f x
16

50 5 x 50 5.

Vậy giá bán của mỗi quả bưởi là
Bàà̀i 2: Ông Bình có tất cả

20

f

42
10

nghìn đồng

căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn

hộ với giá 2 triệu đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê. Nhưng cứ
mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ thêm chẵn 200 nghìn đồng thì có thêm 1
17

16
10


căn hộ bị bỏ trống. Hỏi khi tăng giá lên mức mỗi căn bao nhiêu tiền một tháng
thì ông Bình thu được tổng số tiền nhiều nhất trên một tháng?
Trong mục 2.6.1. : Bài 1,2 được tham khảo từ TLTK số 7( x,8>. 0)

Lời giải. Gọi x là số lần tăng 200 nghìn đồng để ông Bình thu được tổng số
tiền nhiều nhất trên một tháng.
( 20 - x )
Khi đó ông Bình cho thuê được số phòng là:
phòng.
Tổng số tiền ông Bình thu được trên một tháng là:
f ( x ) = ( 20 - x )( 2.000.000 + 200.000 x ) = 200.000 - x 2 +10 x +200
max f x
f (5)
x = 5.

Dấu '' = '' xảy ra khi và khi
Vậy ông Bình thu được tổng số tiền nhiều nhất trên một tháng khi ông tăng
giá lên mức mỗi căn 3 triệu đồng một tháng.
Bàà̀i 3: Ông Bình đặt thợ làm một bể cá, nguyên liệu bằng kính trong suốt,
220500 cm3
không có nắp đậy dạng hình hộp chữ nhật có thể tích chứa được
nước. Biết tỉ lệ giữa chiều cao và chiều rộng của bể bằng 3. Xác định diện
tích đáy của bể cá để tiết kiệm được nguyên vật liệu nhất.
Bàà̀i giải
Gọi a , b, h lần lượt là chiều rộng, chiều dài đáy và chiều cao của hình hộp chữ nhật
h 3 h 3a
a
và thể tích
Theo bài ra, ta có
73500 2
V
2
abh 220500 a b 73500 b

a

S ab 2bh a.

Diện tích cần để làm bể là
6a2

a2
14500 6 a 2
257250 257250 3 3 6 a 2 257250

a
a
a
a
2
257250
a 35 b 60
6a
a

Dấu “=” xảy ra

Bàà̀i 4: Ông An có một cái ao diện tích
mật độ

73500 2 a.3a 2.

20

500m2

73500.3a

a2
257250 7350
a

. Vậy S

a.b 2100 cm2

dùng để nuôi cá. Vụ cá năm nay ông nuôi với

2

con trên một m thì tổng khối lượng cá thu được là 15

tấn. Biết rằng cứ thả giảm 4 con trên một m2 thì khối lượng mỗi con cá tăng
lên

0,5kg

. Hỏi vụ tới ông An cần phải thả bao nhiêu con cá giống để tổng
18


khối lượng cá thu được cao nhất ? (Giả sử không có hao hụt trong quá trình
chăn nuôi và khối lượng mỗi con cá là bằng nhau).
Bàà̀i giải
Trong mục 2.6.1. : Bài 3,4 được tham khảo từ TLTK số 6 ,8.

Theo giả thiết: Giảm mật độ 4 con / m2 thì tăng 0,5 kg/con.
Suy ra nếu giảm x con/m2 (0 < x < 20, x là số nguyên) thì mỗi con tăng
0,125.x kg
f ( x) 500.(20 x).(1,5 0,125x)

Và tổng khối lượng cá thu được là:
Lập bảng biến thiên thấy f(x) đạt giá trị lớn nhất tại x = 4.
Vậy ông An cần phải thả 8000 con cá giống để tổng khối lượng cá thu được
cao nhất.

Bàà̀i 5: Một người bán gạo muốn đóng một thùng tôn đựng gạo có thể tích không
đổi bằng

8 m3

, thùng tôn hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông, không nắp.
100000 / m2
Trên thị trường, giá tôn làm đáy thùng là
, giá tôn làm thành xung
50000 / m2
quanh thùng là
. Hỏi người bán gạo đó cần đóng thùng đựng gạo với
cạnh đáy là bao nhiêu để chi phí mua nguyên liệu là nhỏ nhất?
Bàà̀i giải:
Gọi cạnh đáy và cạnh bên của thùng tôn là a và b (điều kiện: a
b
8

Ta có thể tích thùng tôn là:

V a2b 8

y

và b

0

).

a2 .

. Suy ra:

4 ab.50000 100000a2
Chi phí để sản xuất thùng tôn là:
y 1600000 100000a2
a 0
a
Khảo sát hàm
với
.

Suy ra:

0

1600000
a

100000a2

.

1600000 200000 a 0 a 2
. Khi đó, ta có bảng biến thiên sau:
a2

Dựa vào bảng biến thiên ta có

a

y
min

2

.

19


2m
Vậy người bán gạo đó cần đóng thùng đựng gạo với cạnh đáy
Bàà̀i 6: Một người cần đi từ khách sạn A bên bờ biển đến hòn đảo C. Biết rằng
khoảng cách từ đảo C đến bờ biển là 10km khoảng cách từ khách sạn A đến
điểm B trên bờ gần đảo C là 40km. Người đó có thể đi đường thủy hoặc đi
đường bộ rồi đi đường thủy (như hình vẽ). Biết kinh phí đi đường thủy là
5USD/km, đi đường bộ là 3USD/km. Hỏi người đó phải đi đường bộ một
khoảng bao nhiêu để kinh phí nhỏ nhất? (AB=40km, BC=10km)

Bàà̀i giải: Giả sử người đó phải đi đường bộ một khoảng x (km) với
0Kinh phí phải trả khi đó là f ( x )=3 x +5 √100+ (40−x )2
Khảo sát hàm số này trên khoảng (0; 40) ta có
'

( x )=3+5.

f

=0 ⇔ x= 65
2
√ 100+ (40−x )
x−40

2

65
Minf (x )=160⇔ x= 2

Vậy để kinh phí phải trả là nhỏ nhất thì người đó phải đi đường bộ một khoảng
32,5 km.
Bàà̀i 7: Cô An đang ở khách sạn A bên bờ biển, cô cần đi du lịch đến hòn đảo
C
10 km
. Biết rằng khoảng cách từ đảo đến bờ biển là
, khoảng cách từ khách sạn
C 50 km
A đến điểm B trên bờ gần đảo
là
. Từ khách sạn A , cô An có thể đi đường
C
thủy hoặc đi đường bộ rồi đi đường thủy để đến hòn đảo (như hình vẽ bên). Biết
5
3
rằng chi phí đi đường thủy là USD/km, chi phí đi đường bộ là USD/km. Hỏi cô
An phải đi đường bộ một khoảng bao nhiêu km để chi phí là nhỏ nhất.
C

20


Lời giải
Gọi AD là quảng qđường cô An đi đường bộ.

Đặt DB

x km 0 x 50AD 50 x km .

f x 50 x

Chi phí của cô An:
f x
0;50
liên tục trên
.
f x

3 5.

x

x2 102 .5 USD

3

x 2 100 5x

3

x 2 100

Ta có

x2 100

x 0

x 0
f x

0

2

3 x

9

100 5 x 0

f 0 200; f 5050

Ta có

26; f

15

x

15

2

100 25x

2

x

2

x 0
9.100
16

15
x

2.

190

2

x
2.

Để chi phí ít nhất thì
AD 50

15

Vậy cô An phải đi đường bộ một khoảng:

85 km

để chi phí ít nhất.
ABCD AB 25 km BC 20 km
Bàà̀i 8: Một khu đất phẳng hình chữ nhật
có
,
và rào chắn
N
BC
MN (
với M, lần lượt là trung điểm của AD ,
). Một người đi xe đạp xuất phát từ
C
2

2

đi đến bằng cách đi thẳng từ A đến cửa X thuộc đoạn MN với vận tốc 15km / h rồi
30 km / h
đi thẳng từ X đến C với vận tốc
(hình vẽ). Thời gian ít nhất để người ấy đi từ
C

A đến là mấy giờ?
A

25 km

A

15 km / h

M

B
20 km
N

X
x
30 km / h

C

D

Bàà̀i giải:

Gọi MX

x km

với 0

x 25
21


Quãng đường
Quãng đường

thời gian tương ứng

2

x

x 2 50 x 725 h

100

x

2

15

50 x 725
30

tìm giá trị nhỏ nhất
x 25

x
15 x

h

thời gian tương ứng

Tổng thời gian
Bài toán trở thành
2

x2 100
15

10 2

2

25 x

CX
f x

f x

2

x 2 10

AX

f x

30

với x 0; 25

0; 25

trên đoạn

f x 0 x 5

30

100

x2

50 x 725 ,

Trong mục 2.6.1.a: Bài 8 được tham khảo từ TLTK số 8.
f 0

4 29

1,56

f 25 1 29

6

Tính các giá trị

Vậy hàm số đạt GTNN bằng

3

,
2 5
3

tại

f

2,13

5 2 5 1,49
3

,

x 5

Bàà̀i 9: Một màn ảnh hình chữ nhật cao 1,4 m được đặt ở độ cao 1,8 m so với
tầm mắt (tính từ đầu mép dưới của màn hình). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị
trí đứng sao cho góc nhìn lớn nhất. Hãy xác định vị trí đó?
Bàà̀i giải:

lớn nhất.

Ta cần xác định OA để góc BOC

^

Điều này xảy ra khi và chỉ khi tan BOC

lớn
^

nhất. Đặt OA=x (m) với x>0.Ta có
^
^ ^
tan BOC=tan ( AOC −AOB )
AC − AB
^
^
tan AOC−tan AOB
O
O
A
A
¿
=
^
^
AC.AB
1+
OA2

C
1,4
B
1,8
A

O

1+ tan AOC . tan AOB

¿ 1,4 x x2
+5,76

Khảo sát hàm số

f(x)

=

1,4 x , với x>0 ta được kết quả
2

tan ^BOC lớn nhất khi

x + 5,76

x=2,4.
Vậy góc nhìn lớn nhất khi vị trí đứng cách màn ảnh 2,4m
2.6.2. Một số bàà̀i vận dụng.

22


Bàà̀i 1: Một cửa hàng bán trà sữa ở Hà Nội sắp khai trương, đang nghiên cứu
thị trường để định giá bán cho mỗi cốc trà sữa. Sau khi nghiên cứu, người
quản lý thấy rằng nếu bán với giá 30.000 đồng/ cốc thì mỗi tháng trung bình sẽ
bán được 2.200 cốc, còn từ mức giá 30.000 đồng mà cứ tăng thêm 1.000 đồng
thì sẽ bán ít đi 100 cốc mỗi tháng. Biết chi phí nguyên vật liệu để pha 1 cốc trà
sữa không thay đổi là 22.000 đồng. Hỏi cửa hàng phải bán mỗi cốc trà sữa với
giá bao nhiêu để đạt lợi nhuận lớn nhất?

Trong mục 2.6.2: Bài 1 được tham khảo từ TLTK số 8.

A. 32.000 VNĐ.
B. 30.000 VNĐ. C. 39.000 VNĐ. D.37.000 VNĐ
Bàà̀i 2: Công ty xe khách Thiên Ân dự định tăng giá vé trên mỗi hành khách.
50000
10000
Hiện tại giá vé là
VNĐ một khách và có
khách trong một tháng.
1000
Nhưng nếu tăng giá vé thêm
VNĐ một hành khách thì số khách sẽ giảm
50
đi
người một tháng. Hỏi công ty sẽ tăng giá vé là bao nhiêu đối với một
khách để có lợi nhuận lớn nhất?
A. 50.000 VNĐ.
B. 15.000 VNĐ. C. 35.000 VNĐ. D.75.000 VNĐ.

Bàà̀i 3: Một chủ hộ kinh doanh có 32 phòng trọ cho thuê. Biết giá cho thuê mỗi
tháng là 2.000.000đ/1 phòng trọ, thì không có phòng trống. Nếu cứ tăng giá
mỗi phòng trọ thêm 200.000đ/tháng, thì sẽ có 2 phòng bị bỏ trống. Hỏi chủ hộ
kinh doanh sẽ cho thuê với giá là bao nhiêu để có thu nhập mỗi tháng cao
nhất?
A.2.400.000

B.2.500.000

C.3.000.000 D. 3.200.000

Bàà̀i 4: Nam muốn xây một bình chứa hình trụ có thể tích

72m

3

.

Đáy làm bằng

bêtông giá 100 nghìn đồng /m , thành làm bằng tôn giá 90 nghìn đồng /m ,
nắp bằng nhôm giá 140 nghìn đồng /m 2 . Vậy đáy của hình trụ có bán kính
2

2

bằng bao nhiêu để chi phí xây dựng là thấp nhất ?
2

A.

3

3

(m).

p

B.

3

p

3

( m ) .

C.

3

p

3

( m ) .

D.

2

3

(m).

p

Bàà̀i 5: Một người bán gạo muốn đóng một thùng tôn đựng gạo có thể tích không
8 m3
đổi bằng
, thùng tôn hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông, không nắp.
100000 / m2
Trên thị trường, giá tôn làm đáy thùng là
, giá tôn làm thành
23


xung quanh thùng là 50000 / m2 . Hỏi người bán gạo đó cần đóng thùng đựng gạo với cạnh đáy là bao
nhiêu để chi phí mua nguyên liệu là nhỏ nhất?

A.

3m

.

B. 1, 5 m .

C.

2m

D.

.

1m

.

Bàà̀i 6: Cần phải thiết kế các thùng dạng hình trụ có nắp đựng nước sạch có
R cm
V cm 3 .
dung tích
Hỏi bán kính
của đáy hình trụ nhận giá trị nào sau đây
để tiết kiệm vật liệu nhất?
R

A.

3

3V
2

R

3

V

B.

R

3

C.

V
4

R

3

D.

V
2

Trong mục 2.6.2: Bài 2,3 được tham khảo từ TLTK số 8.
Trong mục 2.6.2: Bài 4,5,6 được tham khảo từ TLTK số 7.

Bàà̀i 7: Một công ty muốn xây dựng một đường ống dẫn từ một điểm A trên bờ
biển đến một điểm B trên một hòn đảo. Giá để xây đường ống trên bờ là 50000

USD mỗi km và 130000 USD để xây mỗi km dưới nước. Gọi C là điểm trên bờ
biển sao cho BC vuông góc với bờ biển,

BC =6 km,

AC =9 km

. Gọi M là vị trí trên

đoạn AC sao cho khi làm ống dẫn theo đường gấp khúc AMB thì chi phí ít nhất.
Hỏi chi phí thấp nhất để hoàn thành việc xây dựng đường ống dẫn là bao nhiêu
?
A. 1230000 USD.
C. 1140000 USD.

B.1406000 USD.
D.

1170000

USD

Bàà̀i 8: Một xưởng in có 15 máy in được cài đặt tự động và giám sát bởi một kĩ
sư, mỗi máy in có thể in được 30 ấn phẩm trong 1 giờ, chi phí cài đặt và bảo
dưỡng cho mỗi máy in cho 1 đợt hàng là 48 000 đồng, chi phí trả cho kĩ sư
giám sát là 24 000 đồng/ giờ. Đợt hàng này xưởng nhận in 6000 ấn phẩm thì
số máy in cần sử dụng để chi phi in ít nhất là
A. 10 máy

B. 11 máy

C. 12 máy

D. 9 máy

2.7. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
2.7.1. Kết quả từ thực tiễn
- Khi chưa áp dụng đề tài học sinh gặp nhiều khó khăn khi giải các ứng
dụng đạo hàm trong bài toán thực tế và học sinh không định hướng được cách
làm mà chỉ nhớ máy móc nên hay mắc sai lầm trong quá trình suy
24