SKKN rèn luyện kỹ năng phân tích tìm lời giải bài toán về phương trình đường tròn trong mặt phẳng

SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRUNG TÂM GDTX TRIỆU SƠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG PHÂN TÍCH TÌM LỜI GIẢI BÀI TOÁN
VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG
(Đối với lớp 10)

Người thực hiện: Nguyễn Thị Hương
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trung tâm GDTX Triệu Sơn
SKKN thuộc lĩnh vực môn: Toán

THANH HÓA NĂM 2016
1


RÈN LUYỆN KỸ NĂNG PHÂN TÍCH TÌM LỜI GIẢI BÀI
TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT
PHẲNG Ở LỚP 10
Mục lục trình bày:
1.Mở đầu
2. Nội dung
2.5 Củng cố lý thuyết
2.5.1 Phương trình đường tròn
2.5.2 Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
2.6 Rèn luyện kỹ năng phân tích bài toán để tìm cách giải
2.6.1 Bài toán về viết phương trình đường tròn
Dạng 1: Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm

không thẳng hàng…
Dạng 2: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với đường
thẳng, đường tròn cho trước.
2.6.2 Bài toán về viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại
một điểm trên đường tròn
Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn biết
tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước
Dạng 3: Bài toán liên quan đến tiếp tuyến
2.7. Một số bài toán để học sinh tự luyện tập
2.8. Theo dõi đánh giá kết quả thực hiện.
3. Kết luận và kiến nghị
3.1. Kết luận.
3.2. Đề xuất và kiến nghị

Trang
1
2
3
3
4
4
4
4
6
9
9
9
10
11

12
12
12
13

2


1.Mở đầu
1.1.Lý do chọn đề tài:
Trong quá trình giảng dạy môn toán ở lớp 10; ôn tập cho học sinh lớp 12 và
ôn luyện thi vào Đại Học- Cao Đẳng, Ở phần Phương pháp toạ độ trong mặt
phẳng: (phương trình đường thẳng; phương trình đường tròn), tôi thấy nhiều em
không làm được những bài tập hoặc chỉ làm được những bài có tính chất áp
dụng công thức đơn thuần. Những bài có tính chất tính chất tổng hợp thì không
phân tích được bài toán nên không tìm được hướng giải, mặc dù đã được ôn lại
lý thuyết. Trong khi đó bài toán có liên quan đến phương trình đường thẳng,
phương trình đường tròn của phần toạ độ trong mặt phẳng lại là một vấn đề quan
trọng trong chương trình và luôn có mặt trong các đề thi vào các trường Đại họcCao Đẳng của các khối thi A, A1, B, D nên rất cần ôn tập tốt cho học sinh vấn đề
này.
Trong chương trình toán phổ thông; phần “Phương pháp toạ độ trong mặt
phẳng” các em được học ở lớp 10; cả năm lớp 11, cả năm lớp 12 không được
gặp lại. Trong một thời gian dài không học nên khi ôn tập các em gần như đã
quên hết. Hơn nữa khi học phần này ở lớp 10, chương trình sách Giáo khoa do
thời lượng ít nên chưa đề cập được hết các vấn đề mà chỉ dừng lại ở vận dụng và
áp dụng công thức, chỉ giải được những bài toán đơn giản; chưa chú ý đến tự bồi
dưỡng kiến thức, khi gặp bài toán có tính chất tổng hợp, khó hơn thì không phân
tích được bài toán, không thấy được quan hệ giữa hình học phẳng thuần túy và
tọa độ trong mặt phẳng, không thể chuyển bài toán tọa độ sang bài toán hình học
thuần túy để tìm được cách giải.

Hiện tại chưa có các tài liệu nghiên cứu nào bàn sâu vào vấn đề này,đồng
nghiệp, nhà trường chưa có kinh nghiệm để giải quyết khắc phục.
Đây là lý do mà tôi đà lựa chọn vấn đề này để viết sáng kiến kinh nghiệm là cấp
thiết.
1.2.Mục đích nghiên cứu
Giải quyết những khó khăn mà học sinh thường gặp phải khi giải loại bài tập
này.Đưa ra các phương pháp giải mới mà học sinh dễ tiếp cận nhất. Giúp học
sinh phát triển tư duy toán học sau phần bài tập này. Điều quan trọng là: học
sinh sẽ có đủ năng lực cũng như sự say mê khi tìm tòi lời giải của những bài
toán liên quan cần tư duy cao hơn.
1.3.Đối tượng nghiên cứu.
Đề tài nghiên cứu phương trình đường tròn trong mặt phẳng.
Ôn tập về các dạng bài toán thiết lập phương trình đường tròn trong mặt
phẳng.
1.4.Phương pháp nghiên cứu.
Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết.
Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin.
Phương pháp thống kê xử lý số liệu.
2.Nội dung:
2.1.Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.
3


Rèn luyện kỹ năng phân tích tìm phương pháp giải bài toán phương trình
đường tròn được thực hiện trên cơ sở củng cố, phân loại các dạng và thông qua
các bài toán cụ thể với thời gian bốn tiết học trên tuần, cùng với việc các em tự
giải các bài tập khác.
2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Tạo nhu cầu hứng thú cho học sinh học hình là một nhu cầu bức thiết có ý
nghĩa quan trọng. Tuy nhiên vấn đề này ít được học sinh quan tâm vì nhiều lý do

cả khách quan và chủ quan, từ đó dẫn tới một thực tế là:
Đối với giáo viên: Do nhu cầu hứng thú học hình của học sinh không có
nhưng giáo viên vẫn phải lên lớp tiến hành dạy cho hết bài.
Đối với học sinh: Tâm lý chung là không thích học hình, thờ ơ coi thường
môn học chỉ chú trọng vào học Đại số không nghiêm túc trong học tập, không
khí học tập không có, thậm chí giáo viên mà lơ là thì học sinh lôi sách môn khác
ra học.
Từ những lý do trên dẫn tới hậu quả là học sinh thì ngày càng lười học, học
không chỉ để đối phó vì điểm tổng kết ... Tâm lý coi thường môn học, những
hiểu biết về bài tập phương trình đường tròn học sinh rất là mơ hồ. Việc giảng
dạy của giáo viên ngày càng buồn tẻ, nhàm chán không muốn đầu tư vào chuyên
môn do học sinh không muốn học.
Kinh nghiệm này tôi đã thực hiện ngay sau khi dạy xong phương trình
đường tròn trong mặt phẳng ở chương trình toán lớp 10 . Cụ thể:
Ôn tập về các dạng bài toán thiết lập phương trình đường tròn trong mặt
phẳng.
2.3.Giải pháp để giải quyết vấn đề.
Hướng dẫn rèn luyện kỹ năng phân tích tìm cách giải thông qua các ví
dụ , các bài toán ở các dạng viết phương trình đường tròn; xác định toạ độ điểm
qua tương giao của đường thẳng và đường tròn...
Một số bài toán chọn lọc để các em tự giải.
Giáo viên đưa ra câu hỏi nêu vấn đề, kích thích tư duy sáng tạo của học sinh,
học sinh đọc sách giáo khoa và theo dõi các tài liệu do giáo viên trình bày.
Muốn học sinh hứng thú say mê học môn học phải đổi mới phương pháp
truyền tải.
Thực hiện bồi dưỡng, hướng dẫn và rèn luyện cho các em làm quen với
kỹ năng phân tích, tìm phương pháp giải bài toán bằng phương pháp tọa độ ngay
sau khi học xong lý thuyết “Phương trình đường tròn” ở lớp 10.
Sau khi thực hiện vấn đề này qua nhiều khoá học với nhiều lớp tôi thấy kết quả
học tập của các em tốt hơn nhiều; khi học phần “Tọa độ trong không gian” ở lớp

12 sau này, cũng như các đợt thi tuyển Đại Học so với những lớp để khi học
xong chương trình lớp 12 mới ôn tập ; các em cũng tiếp thu dễ dàng hơn và có
kết quả học tập tốt hơn. Vì thế tôi nêu vấn đề này lên đây để cùng các bạn đồng
nghiệp bàn luận và tham khảo, bổ sung cho hoàn thiện hơn.

4


Giáo viên đưa ra câu hỏi nêu vấn đề, kích thích tư duy sáng tạo của học sinh,
học sinh đọc sách giáo khoa và theo dõi các bài tập do giáo viên trình bày, học
sinh sau ít phút đọc tài liệu rồi đưa ra đáp án trả lời. Sau đó giáo viên chốt ý.
Tạo nhu cầu hứng thú trong học tập ở mỗi mục cụ thể phải có hình thức dạy
học thích hợp vừa sức từng đối tượng học sinh. Tạo nhu cầu hứng thú bằng cung
cấp cho học sinh các thông tin mới một cách sinh động, mở rộng bài học. Rèn
luyện kỹ năng, mục tiêu học sinh chủ động tích cực trong học tập.
Tạo nhu cầu hứng thú trong bài học đến phần kết thúc bài học giáo viên
củng cố lại kiến thức đã học và ra bài tập về nhà cho học sinh và chuẩn bị bài
học mới cho tiết sau.
2.4.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,với bản
thân,đồng nghiệp, nhà trường.
Chính vì vậy rút kinh nghiệm từ vấn đề này tôi đã thực hiện bồi dưỡng,
hướng dẫn và rèn luyện cho các em làm quen với kỉ năng phân tích, tìm phương
pháp giải bài toán bằng phương pháp tọa độ ngay sau khi học xong lý thuyết
“Phương trình đường tròn” ở lớp 10.
Sau khi thực hiện vấn đề này qua nhiều khoá học với nhiều lớp tôi thấy kết
quả học tập của các em tốt hơn nhiều; khi học phần “Tọa độ trong không gian” ở
lớp 12 sau này, cũng như các đợt thi tuyển Đại Học so với những lớp để khi học
xong chương trình lớp 12 mới ôn tập ; các em cũng tiếp thu dễ dàng hơn và có
kết quả học tập tốt hơn.
Tổ chức thực hiện.

Sau đây là những nội dung của sáng kiến kinh nghiệm tôi vận dụng dạy ở
các lớp theo hai phương pháp dạy khác nhau để kiểm chứng kết quả nhận thức
và sự hứng thú học của học sinh.
2.5. CỦNG CỐ LÝ THUYẾT:
ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG
Sau khi học xong bài phương trình của đường tròn thì cho các em ôn tập,
rèn luyện kỉ năng giải các loại bài toán có liên quan đến đường tròn: Cần củng
cố lại các vấn đề sau:
2.5.1. Phương trình đường tròn.
Người ta thường dùng 2 dạng sau để viết phương trình đường tròn:
- Đường tròn tâm I(a, b) bán kính R thì phương trình là:
(x a ) 2 ( y b ) 2 R2
Hoặc có dạng khai triển:
x 2 y 2 2ax 2by c 0 với a 2 b 2 c ; Tâm I(-a; -b) bán kính R a 2 b 2 c
- Phương trình dường tròn(C): (x a ) 2 ( y b ) 2 R2 ; đường thẳng (d) có
phương trình: Ax + By + C = 0 thì khoảng cách từ I(a, b) đến (d) là:

5


h Aa Bb C
A2 B2
- Nếu h > R thì (d) không cắt (C)
- Nếu h = R thì (d) tiếp xúc (C); (d) được gọi là tiếp tuyến
- Nếu h < R thì (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt.
2.5.2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn.
Đường tròn (C) : (x a)2 ( y b)2 R2 ; điểm M(x0; y0)
1. Nếu M nằm trên (C) thì tiếp tuyến là đường thẳng (d) đi qua M có pháp
tuyền là IM (x0 a; y0 b) nên phương trình tiếp tuyến của (C):
(

x0 a)(x a) ( y0 b)( y b) R2
Đường tròn (C) : x2 y2 2ax 2by c 0 thì phương trình tiếp tuến của (C)
tại M : xx0 yy0 a(x x0 ) b( y y0 ) c 0
2. Nếu N là điểm nằm ngoài đường tròn (C)
Phương pháp 1: Phương trình đường thẳng (d) đi qua N(xN; yN) có dạng
A(x xN ) B( y yN ) 0; A2 B2 0
(d) là tiếp tuyến của (C) khi d(I ; (d)) = R

A(a x ) B(by )
N

N

R

A2 B2
Giải phương trình này để tìm A ; B
Phương pháp 2: Gọi M nằm trên (C) thì tiếp tuyến của (C)tại M là đường thẳng
(d) có phương trình :
0
(x a)(x a) ( y
b)( y b) R2 đường thẳng (d) đi qua N
0

2

a)(xN a) ( y0 b)( yN b) R
2
R2

0 b)
(x a)2 ( y
2.6. RÈN LUYỆN KỸ NĂNG PHÂN TÍCH BÀI TOÁN ĐỂ TÌM
CÁCH GIẢI
Việc rèn luyện kỹ năng phân tích và giải bài toán hình giải tích kinh nghiện
bản thân cho thấy: Phải luôn xác định cho học sinh quan niệm coi việc viết
phương trình của một đường nào đó như vẽ một đường cụ thể trong hình phẳng.
Như các em đã quen làm, muốn dựng một hình thì phải phân tích trên hình giả
sử có được để tìm cách dựng và thứ tự các bước. Chính vì vậy nên khi rèn luyện
kỹ năng giải toán hình giải tích, tôi luôn thực hiện theo hướng này. Tôi luôn
hướng các em vẽ nháp hình giả sử có được để phân tích tìm cách và thứ tự các
bước giải. Việc thực hiện được thông qua phân dạng và các loại bài toán sau:
2.6.1.Các bài toán về viết phương trình đường tròn
Dạng 1: Bài toán về thiết lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm
không thẳng hàng.
Đây là loại bài toán cơ bản nhất, ta có thể sử dụng cả hai phương pháp để giải
bài tập loại này. Thông qua các bài toán cụ thể để hướng dẫn cho học sinh l
(x0

0

6


uyện tập.
Bài 1: Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm
A(1; 2), B(5; 2), C(1 ;-3)
Nhận xét: Đường tròn xác định khi biết tâm I và bán kính R. Nên các em
nghĩ ngay đến việc đi tìm tâm và bán kính bằng việc giải hệ:
IA = IB = IC = R. Việc giải hệ này là phức tạp. Nên có thể sử dụng ngay dạng

khai triển của phương trình đường tròn.
Ba điểm A, B, C không thẳng hàng nên có một đường tròn duy nhất đi qua 3
điểm này.
Phương trình có dạng: x 2 y 2 2ax 2by c 0
2a 4b c 5
Đi qua A, B , C , ta có hệ :
10a 4b c 29 2a
6b c 10
Giải hệ ta có a

29 ; b 1;
c 13
8
4
29
13
x 2y
0
Vậy phương trình đường tròn cần tìm : x 2 y 2
4
4
Bài 2:(ĐTĐHQG96) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC,
biết 3 cạnh AB, BC, AC làn lượt có phương trình
x - 5y – 2 = 0; y =x +2;
y = 8 –x
Nhận xét: Đây là bài toán viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A, B,
C không thẳng hàng , nhưng chưa có tọa độ 3 điểm. Việc đầu tiên là tìm tọa độ
của A, B và C và đưa về bài toán trên.
- Cạnh AB cắt AC tại A ; giải hệ ta có A(-3; -1)
- Cạnh AB cắt BC tại B ; giải hệ ta có B(3; 5)

-Cạnh AC cắt BC tại C;
Ta có thể giải hệ tìm tọa độ C và viết phương trình đường tròn theo phương
pháp trên. Tuy nhiên từ đề bài nhận thấy AC và BC là 2 đường thẳng vuông góc
với nhau (Tam giác ABC vuông tại C) để giải thì bài toán giải nhanh hơn.
Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm là trung điểm I cạnh AB;

1

I(0; 2) ; bán kính R = 2 AB 6 2
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là x2 ( y 2)2 72
Bài 3:(ĐTĐHKA-2007) Cho tam giác ABC với A(0; 2), B(-2; -2),
C(4 ; -2), H là chân đường cao kể từ B . M, N là trung điểm cạnh AB, BC.
Viết phương trình đường tròn đi qua H,M,N.
Nhận xét, giải: Tìm tọa độ H; M; N
Có thể dễ dàng tìm tọa độ trung điểm M(-1; 0) , N(1; -2)
H là chân đường cao kể từ B nên BH vuông góc AC tại H; H nằm trên AC.

7


Gọi

x 1

H(x;y) => H AC
BH AC

y 1

H (1;1)

B

Giải theo cách trên ta có:
Phương trình có dạng: x2 y2 2ax 2by c 0
Đi qua A, B , C , ta có hệ phương trình:
2a 2b c 1
A

2a c 1
2a

M

N
H

C

4b c 5

Giải hệ ta có a

1 ;

b 1;

2
2
Vậy phương trình đường tròn là : x2

c 2
y2 x y 2 0

Bài 4 : (ĐTCĐ Công Nghiệp Hà Nội -2004) :
Trong hệ Oxy cho tam giác ABC, hai cạnh AB, AC lần lượt có phương
trình
x + y – 2 = 0 ; 2x + 6y + 3 = 0. Cạnh BC có trung điểm M(-1 ; 1). Viết phương
trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
A
Giải : tìm tọa độ A,B,C :
Xác định ngay được tọa độ A là nghiệm của hệ :
P
15
x
C
x y 2 0
4
15; 7 )
A(
6y 3 0
4 4
B
M
2x
7
y
4
Gọi P là trung điểm cạnh AC; MP//AB ; MP có phương trình :
x + y + m = 0; MP đi qua M nên => m = 0
3

Tọa độ P là nghiệm của hệ:

P là trung điểm AC

C(

x y 0
3 0
2x 6 y

x 4 P(
3
y 4

3 ;3 )
4 4

9;1) . Vì M là trung điểm BC B( 1 ; 7)
4 4

4 4

Viết phương trình đường tròn đi qua A,B, C theo cách trên ta có kết quả :
65 0
x2 y2 x 3y
8
Dạng 2 : Viết phương trình đường tròn tiếp xúc đường thẳng, đường tròn
cho trước.
Để làm bài tập loại này cần lưu ý cho học sinh :

8


- Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn khi cách tâm đường tròn một đoạn
bằng bán kính.
- Hai đường tròn tiếp xúc ngoài khi khoảng cách hai tâm bằng tổng hai bán
kính : I1 I 2 R1 R2
- Hai đường tròn tiếp xúc trong khi khoảng cách hai tâm bằng trị tuyệt đối
hiệu hai bán kính : I1 I 2 R1 R2
- Đường thẳng (d) có phương trình: Ax + By + C = 0 thì khoảng cách từ
I(a, b) đến (d) là:
Bb C
A2 B2
Bài 1: Trong hệ tọa độ Oxy cho điểm A(4; 2) và hai đường thẳng
(d) : x – 3y – 2 = 0;
(d’): x – 3y + 18 = 0. Viết phương trình đường tròn (C) đi qua A , tiếp xúc với
(d) và (d’) .
Nhận xét và giải:
Để viết được phương trình đường tròn cần
I(a;b)
xác định được tâm I(a,b), bán kính R. Khi đó

h

đường tròn

(x a)2

Aa

(C) có phương trình:

( y b)2
2

(2 b)

A(4;2)

R2

Vì (C) đi qua A
(4 a)

d

R
2

IA
2

(1)
2

d'

(C) tiếp xúc với (d) và
(d’) . d(I ;(d)) = d(I,(d’))
a 3b 2

a 3b 18 R a 3b 8;(2)

10
10
Ở đây ta nhận thấy rằng nếu ta chọn hệ (1) và (a – 3b - 2)2 = 10R2
Để giải thì bài toán phức tạp và khó hơn nhiều. Tuy nhiên ta nhận thấy
(d) // (d’) nên 2R = d((d); (d’)).
Chọn M(5; 1) trên (d) => d((d);(d’)) = d(M,(d’)) = 2 10R10
2
2
a 1;b 3
10
29
23
Ta có hệ: (4 a) (2 b)
a 3b 8
a
;b
5
5
2
2
(x 29 )2 ( y
23 )2 10
Vậy có 2 kết quả là: (x 1) ( y 3) 10;
5
5
Bài 2 : (ĐTĐH Huế-1997) Trong hệ tọa độ Oxy.Viết phương trình đường tròn
nội tiếp tam giác ABC biết A(-1 ;7), B(4 ;-3) ; C(-4 ; 1). Phân tích và giải :

Dùng hình vẽ giải sứ với kết quả đã tìm được để phân tích
Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với 3 cạnh tam giác, có
9


tâm I là giao điểm các phân giác trong, bán
kính R = d(I,AB) = d(I,AC) = d(I,BC)

d (I; AB) d (I , AC)
(I,BC)
d (I , AB) d
Ta cũng giải được bằng cách lấy giao của 2 phân giác trong.
Cụ thể : tìm được phương trình các cạnh :
AB : 2x+y-5=0; BC: x +2y +2 =0;
AC; 2x – y+ 9 = 0
Phân giác trong góc B : x + y – 1 = 0 ;
của góc C: x- 3y +7 = 0
x y 1 0
Tọa độ tâm I là nghiệm của hệ
x 3y 7 0
=> I(-1;2) ; R = d(I; AB) = 5 x y 1 0
Vậy tìm I trước hết tìm AB; BC; AC sau đó giải hệ

Phương trình đường tròn cần tìm là: (x 1)2 ( y 2)2 5
Bài 3. (ĐTĐHKB-2005) Trong hệ tọa độ Oxy. Cho hai điểm A(2;0) và B(6;
4). Viết phương trình đường tròn ( C) tiếp xúc với trục hoành tại A và
khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5.
Phân tích và giải :
Dùng hình vẽ giải sứ với kết quả đã tìm được để phân tích
Gọi I(a,b)là tâm của (C) tiếp xúc với Ox tại A(2;0) => a = 2 và bán kính

R bI (2;b) IB2 25 (b 2)2 (4 b)2
b 7
b2 8b 7 0 b 1;
Với a = 2; b = 1 R 1 (C) :(x 2)2 ( y 1)2 1
Với a = 2; b = 7 R 7 (C) :(x 2)2 ( y 7)2 49
Bài 4(ĐTĐHKB-2009):
Trong hệ Oxy cho đường tròn (C)có phương trình (x 2)

4
2

y

2

va hai

5
đường thẳng d1 : x y 0;
d2 : x 7 y 0 .Viết phương trình đường tròn có
tâm I mằm trên (C) và đồng thời tiếp xúc với d1; d2 .
Phân tích và giải :
Dùng hình vẽ giải sứ với kết quả đã tìm
được để phân tích
Tương tự trên , Gọi I(a,b) là tâm của
d2
đường tròn (C’) cần tìm
4
2b
2

Vì I trên (C) (a 2)
I(a.b)

5; (*)

(C’) có phương trình:
(x a)2

( y b)2 R2

(C)

(C')
d1

10


a b

a 7b

a

b
2

R
Vì (C’) đồng thời tiếp xúc với d1; d2
2 5

2
a 2b
Nếu a = b thay vào (*) ta được : 25a2 – 20a + 16 = 0 (vô nghiệm)
2
Nếu a = 2b thay vào (*) ta được : b

4

8 4

2 2

5 và ta có:I ( 5 ; 5 ); R
5
2
2
Vậy phương trình của (C’) : (x
8 ) (y
4)
8
5
25
5
2.6.2 Bài toán về viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Dạng 1 : Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm trên
đường tròn.
Cần lưu ý cho học sinh là : Tiếp tuyến (d) của đường tròn (C) là đường thẳng
vuông góc với bán kính tại tiếp điểm. Vì vậy khi làm bài loại này trước tiên cần
xác định tâm và bán kính của đường tròn. Ví dụ:
Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): x 2 + y2 + 4x + 4y – 17 = 0 tại

M(2 ; 1)
Giải : (C) : (x + 2)2 + (y + 2)2 = 25 => (C) có tâm I(-2 ; -2) và R = 5
Tiếp tuyến (d) vuông góc IM => (d) có véc tơ pháp tuyến là IM (4;3)
Vậy : phương trình tiếp tuyến (d) : 4(x - 2) + 3(y - 1) = 0
4x + 3y – 11 = 0

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn biết tiếp
tuyến đi qua một điểm cho trước.
Để giải bài toán loại này: Nếu N là điểm nằm ngoài đường tròn (C).
Ta có thể sử dụng một trong hai phương pháp sau :
Phương pháp 1: Phương trình đường thẳng (d) đi qua N(xN; yN) có dạng
A(x xN ) B( y yN ) 0;
A2 B2 0
(d) là tiếp tuyến của (C) khi d(I ; (d)) = R

A(a x ) B(by )
N

N

R

A2 B2
Giải phương trình này để tìm A ; B
Phương pháp 2: Gọi M nằm trên (C) thì tiếp tuyến của (C)tại M là đường thẳng
(d) có phương trình :
0
(x a)(x a) ( y
b)( y b) R2 đường thẳng d đi qua N
0

a)(xN a) ( y0 b)( yN b) R
2
R2
0 b)
(x a)2 ( y
Bài toán 1:

2

(x0

0

11


Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C):
x2 + y2 + 2x + 2y + 1 = 0 biết tiếp tuyến đi qua N(2 ; 0).
Giải : (C) có tâm I(-1 ;-1); bán kính R = 1
Phương trình đường thẳng (d) đi qua N(2; 0) có dạng:
A(x 2) By 0 Ax By 2A 0;
A2B20
d là tiếp tuyến khi d(I ;(d)) = 1
3A B

1

8A2

A 0

6AB 0

2
A2 B

4AB0

Nếu A = 0 chọn B = 1 ta có tiếp tuyến (d) : y = 0
Nếu 4A + 3B = 0 chọn A = 3 ; B = - 4 ta có tiếp tuyến (d) :
3x – 4y + 6 = 0.
Bài toán 2:
Cho đường tròn (C)có phương trình x2 y2 2x 6 y 5 0 và đường thẳng
(d) : x – 2y – 1= 0, Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông
góc với (d).
Giải : Xác định dạng của : Vì(d )
: 2x y m 0 ; ( m 1)
là tiếp tuyến khi d(I ; ) = R

2 3 m
22 12

5

m 6

m 4
Vậy ta được hai tiếp tuyến là 2x + y + 6 = 0 và 2x + y – 4 = 0

Dạng 3 : Bài toán liên quan đến tiếp tuyến.
Bài 1 : (ĐTĐHKB-2006). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường
tròn (C) : x2 + y2 – 2x – 6y + 6 = 0 và điểm M(-3 ; 1). Gọi T1, T2 là các tiếp
tuyến kẻ từ M đến (C). Viết phương trình đường thẳng T1T2.
Giải : Vẽ hình minh họa để phân tích bài toán :
T1
Từ giả thuyết ta có
M
(C) có tâm I(1 ; 3) và bán kính R = 2
M nằm ngoài (C) vì IM = 2
5 R
I
Từ M kẻ được 2 tiếp tuyến MT1; MT2
Đối xứng nhau qua MI MI TT
T2
Gọi T1(x1 ;y1) ; MT1 đi qua M và T1 có véc tơ
pháp tuyến IT1(x1 1; y1 3)
1

2

Phương trình MT1 : (x1 - 1)(x1 + 3) + (y1 - 3)(y1 - 1) = 0
T1 thuộc (C) ta có hệ phương trình :
(x 1)(x 3) ( y 1)( y 3) 0
2x1
y1 3 0
1 2
1
1
1

y 2x 6 y 6 0
x
2

1

1

1

1

Tiếp điểm T2(x2 ; y2) có vai trò tương tự tac có 2x2 + y2 – 3 = 0
Vậy phương trình đường thẳng T1T2 là : 2x + y – 3 = 0

12


Nhận xét : Bài toán này có tính chất đặc biệt là tâm I(1, 3) , bán kính R =2 và
điểm M(-3 ; 1) nên nhận thấy y = 1 là một tiếp tuyến . tiếp điểm là
T1 => T1(1;1)
Khi đó đường thẳng T1T2 là đường thẳng đi qua T1 với véc tơ pháp tuyến MI
(4;2) => phương trình đường thẳng T1T2 : 4(x - 1) + 2(y – 1) = 0 hay 2x + y – 3
= 0.
2.7. CÁC BÀI TOÁN CHO HỌC SINH TỰ LUYỆN TẬP
Bài 1 : (ĐTĐHKB-2003) Trong hệ tọa độ Oxy. Cho đường thẳng d: x -7y
+10 = 0 . Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng d’:
2x + y=0 và tiếp xúc với d tại A(4 ; 2)
Bài2 : Trong hệ tọa độ Oxy. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác
ABC, biết ba cạnh nằm trên ba đường thẳng:

d: 4x+3y-12=0, d’: 4x -3y -12 = 0; d’’: x = 0
2
42
16
ĐS
(C):
x

3

y

9

Bài 3 : Trong hệ tọa độ Oxy. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam
giác OAB với A(4; 0); và B(0; 3).
Bài 4: Trong hệ tọa độ Oxy. Cho hai điểm A(1; 2) ; B(2; 1) và đường thẳng (d):
3x + 4y + 7 = 0. Viết phương trình đường tròn (C) đi qua A; B có tâm nằm trên
(d).
Bài 5: (ĐTĐHKA-2010) : Trong hệ tọa độ Oxy. Cho hai đường thẳng d1:
3x y 0; d2: 3x y 0 . Gọi (T) là đường tròn tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2:
tại điểm B và Csao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình đường
tròn (T) biết tam giác ABC có diện tích bằng 3 và điểm A có hoành độ
2
dương.
Bài 6: Trong hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): x y 1 2 0 và điểm A(- 1; 1).
Viết phương trình đường tròn (C) đi qua A, gốc tọa độ O và tiếp xúc với đường
thẳng (d).
Bài 7: Trong hệ tọa độ Oxy, cho đường (C): x 2 y2 1 . Viết phương trình đường
tròn (C’) có tâm I(2; 2) và cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao cho

AB
2
Bài 8:(ĐTĐHKB-2012): Trong hệ tọa độ Oxy, Cho đường tròn (C1):
x2 + y2 = 4: (C2) : x 2 y 2 12 x 18 0 và đường thẳng d: x – y – 4 = 0. Viết
phương trình đường tròn có tâm thuộc (C2), tiếp xúc với d và cắt (C1) tại hai
điểm phân biệt A và B sao cho AB vuông góc với d.
Bài 9(ĐTĐHKA,A1-2013): Trong hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng :

13


x – y = 0, đường tròn (C) có bán kính R 10 cắt tại hai điểm phân biệt A và B sao
cho AB 4 2 . Tiếp tuyến của (C) tại A và B cắt nhau tại một điểm trên tia Oy.
Viết phương trình đường tròn (C).
Bài 10: Trong hệ tọa độ Oxy, Cho đường tròn (C) : x 2 y 2 2 x 4 y 4 0 và A(3;5).
Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A của (C). Gọi M, N là hai tiếp điểm. Tính
khoảng cách MN.
1

Bài 11: Trong hệ tọa độ Oxy, cho điểm I(1; 4 ) và đường thẳng
(d):2 x - 5y + 2 = 0.lập phương trình đường tròn (C) có tâm I sao
cho (C) cắt (d) theo dây cung AB = 29 ?. Viết phương trình tiếp tuyến của
(C) tại A và B.

2.8. THEO DÕI ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ SAU THỰC HIỆN
Qua nhiều năm thực hiện bồi dưỡng chuyên đề này cho học sinh tôi thấy kết
quả thu được ở những lớp được học cao hơn nhiều so với những lớp để đến cuói
năm lớp 12 mới học. Kết quả cụ thể cho thấy ở các bài thi học kì tập trung; trong
bài có câu về phương trình của đường tròn, bài toán liên quan đến mặt phẳng toạ
độ thì chỉ có các em ở lớp thực hiện chuyên đề mới làm được, còn các học sinh

khác thì hoặc bỏ không làm hoặc làm sai, và điểm chung toàn bài luôn thấp hơn,
điểm bình quân về môn toán cũng thấp hơn.
Bảng theo dõi kết quả môn toán ở các lớp qua một số năm mà bản thân tôi thực
hiện, cũng như cùng các đồng nghiệp trong tổ chuyên môn cùng thực hiện:
Năm học

Những lớp thực hiện
Lớp
Loại khá,giỏi
%
12A1
24/32
75%
12A2
28/44
63%
12B1
27/41
66%
12B2
29/41
71%
12C8
30/49
61%
12C3
20/35
62%
10A1
30/46

65%

Những lớp không thực hiện
Lớp
Loại khá,giỏi
%
12A4
11/44
25%
12A5
9/41
22%
12B5
13/44
30%
12B6
14/45
31%
12C4
10/42
24%
12C2
10/40
25%
10A7
12/44
27%

20112012
20122013

20132014
20142015
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận.
Vấn đề ứng dụng phương pháp toạ độ trong mặt phẳng để giải bài tập toán là
một vấn đề rất cần thiết cho các em trong ôn tập hình ở lớp 10, cũng như ôn tập
để thi vào các trường Đại học, Cao đẳng. Để các em làm tốt bài tập loại này, trên
đây chỉ là một phần rất nhỏ rèn luyện kỹ năng giải bài toán về phương trình
đường tròn, còn phần liên quan đến đường tròn, đường Conic chưa xét được.
Theo kinh nghiệm của bản thân, tôi nêu lên một số ý kiến của mình mong được

14


cùng trao đổi, bổ sung thêm của các đồng nghiệp để hoàn thiện hơn về nội dung;
về phương pháp nhằm thu được kết quả tốt hơn.
Sau khi thực hiện vấn đề này bằng một số giải pháp mà tôi đã áp dụng trong
quá trình giảng dạy qua nhiều khoá học với nhiều lớp tôi thấy kết quả học tập
của các em tốt hơn nhiều khi học phần “Tọa độ trong không gian” ở lớp 12 sau
này, cũng như các đợt thi tuyển Đại Học so với những lớp để khi học xong
chương trình lớp 12 mới ôn tập; các em cũng tiếp thu dễ dàng hơn và có kết quả
học tập tốt hơn. Tôi thấy rằng cách dạy này đã mang lại hiệu quả nhất định, học
sinh có sự hứng thú học bài và kết quả học tập có nhiều chuyển biến theo chiều
hướng tích cực.
Vì thế tôi nêu vấn đề này lên đây để cùng các bạn đồng nghiệp bàn luận và
tham khảo, bổ sung cho hoàn thiện hơn.
3.2. Đề xuất kiến nghị
Để tạo hứng thú cho học sinh học môn lịch sử ở trường THPT trong năm
học tiếp theo đạt kết quả cao, tôi xin có một số kiến nghị sau.
1. Đối với tổ - nhóm chuyên môn.

Phải tăng cường đổi mới về phương pháp và trang thiết bị, hình thành được
một hệ thống câu hỏi nêu vấn đề.
Tiến hành trao đổi thường xuyên về chuyên môn, chia sẻ thông tin, dự giờ
để đóng góp ý kiến cho nhau, bổ sung kinh nghiệm tạo hứng thú cho đối tượng
học sinh.
Thống nhất với nhau về cách dạy ở từng lớp để làm sao tạo ra hứng thú học
môn Hình cho học sinh lớp 10.Phải định hình cho các em phương pháp học mới
hướng vào đối tượng lấy học sinh làm trung tâm để phát huy sự tìm tòi, sáng tạo
của học sinh.
Trong tổ cũng phải thống nhất với nhau về cách ra đề thi, giảm bớt các
dạng đề chỉ yêu cầu học sinh trình bày về sự kiện và ngày tháng, mà cần hướng
cho học sinh làm các dạng đề như đánh giá về một sự kiện lịch sử, một nhân vật
lịch sử, rút ra được các ý nghĩa, bài học kinh nghiệm. Những dạng đề thi giúp
cho cac em có sự liên tưởng và áp dụng vào cuộc sống hiện tại. ( Với mục tiêu
học lịch sử để biết quá khứ để phục vụ cho cuộc sống hiện tại tốt đẹp hơn).
2. Đối với Ban Giám Đốc
Ủng hộ giáo viên dạy theo các phương pháp đổi mới .
Đưa nội dung vào đề thi tập trung bắt buộc ở 3 khối cả giữa kỳ và học
kỳ để cho các em phải có ý thức phải lo học từ đầu không thì lúc thi khó mà đạt
được điểm cao.
Trang bị đầy đủ tài liệu dạy học và các phương tiện dạy học hiện đại cho giáo
viên, như sách tham khảo, trang bị đầy đủ các máy chiếu ở các phòng học để
học sinh không mất công di chuyển phòng học.
XÁC NHẬN CỦA BAN GIÁM ĐỐC

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 05
năm 2016.
Cam kết không cóppi
1
5

Người viết

Nguyễn Thị Hương

TÀI LIỆU THAM KHẢO
- Sách giáo khoa, sách bài tập hình học lớp 10 Nhà xuất bản Giáo
Dục -Bồi dưỡng học sinh giỏi toán hình học 10-Tác giả Lê Hoành
Phò.
16


Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội.
-Để học tốt Hình học-Tác giả : Lê Hồng Đức-Nhóm Cự Môn; Nhà xuất bản
Tổng hợp T.P Hồ Chí Minh.
- Bộ đề tuyển sinh vào các trường Đại học Cao đẳng
- Đề thi vào các trường Đại học Cao đẳng của một số năm.
- Tài liệu bồi dưỡng ôn thi tốt nghiệp, Đại học.

17