SKKN rèn luyện kỹ năng giải bài tập về đường tròn bằng hình thức trắc nghiệm khách quan ( hình học cơ bản 10)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (331.52 KB, 30 trang )
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LÊ HỒNG PHONG
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI BÀI TẬP VỀ ĐƯỜNG
TRÒN BẰNG HÌNH THỨC TRẮC NGHIỆM KHÁCH
QUAN "
'
( HÌNH HỌC CƠ BẢN 10 )
Người thực hiện: Vũ Thị Hương
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực ( môn) : Toán
THANH HÓA NĂM 2019
MỤC LỤC
PHẦN 1: MỞ ĐẦU............................................................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài................................................................................................................................. 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu........................................................................................... 1
3. Đối tượng nghiên cứu:.................................................................................................................... 2
4. Phương pháp nghiên cứu:.............................................................................................................. 2
5. Cấu trúc của đề tài............................................................................................................................. 2
PHẦN 2: NỘI DUNG........................................................................................................................... 3
I. KHÁI QUÁT LÍ THUYẾT CƠ BẢN...................................................................................... 3
1) Phương trình đường tròn............................................................................................................... 3
2) Nhận dạng phương trình đường tròn....................................................................................... 3
3) Phương trình tiếp tuyến.................................................................................................................. 3
II. Một số dạng bài tập minh họa thường gặp về đường tròn và các phương pháp
khác nhau để giải quyết vấn đề........................................................................................................ 3
II.1. Dạng 1: * Tìm tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn................................... 3
* Tìm điều kiện để một phương trình là đường tròn............................................................. 3
* Tìm quỹ tích tâm của đường tròn............................................................................................... 3
II.2. Dạng 2: Lập phương trình đường tròn............................................................................... 7
II.3. Dạng 3: Phương trình tiếp tuyến của đường tròn. Đường thẳng đi qua hai
tiếp điểm.................................................................................................................................................... 11
II.4. Dạng 4: Vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn. Bài toán tương
giao............................................................................................................................................................... 17
II.5. Dạng 5: Vị trí tương đối của hai đường tròn. Tiếp tuyến chung của hai
đường tròn................................................................................................................................................ 20
PHẦN 3: TỔ CHỨC THỰC NGHIỆM VÀ ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ......................25
3.1 Mục đích, tổ chức thực nghiệm............................................................................................ 25
3.2 Nội dung dạy thử:......................................................................................................................... 25
3.3 Kết quả thử nghiệm và những kết luận rút ra từ thử nghiệm................................. 25
KẾT LUẬN............................................................................................................................................. 27
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................................................... 28
PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong chương trình THPT, môn Toán có một vai trò rất quan trọng. Là môn
học đòi hỏi học sinh phải có tư duy lôgic, sáng tạo và khả năng tự nghiên cứu
học hỏi cao. Với học sinh lớp 10 thì không ít em gặp nhiều khó khăn đối với
môn Toán. Một cấp học mới, một môi trường mới, cần một phương pháp mới,
nhiều em rất lúng túng không tìm được phương pháp học hiệu quả cho mình dẫn
đến kết quả giảm sút so với các năm học trước. Hơn nữa, với sự đổi mới về cách
thức thi cử, kiểm tra, đánh giá học sinh thì càng yêu cầu cao hơn khả năng thích
ứng của các em. Từ năm học 2016 - 2017, bộ Giáo dục đã thay đổi từ hình thức
thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm khách quan với môn Toán. Do đó,
ngay từ khi học lớp 10, học sinh phải có kiến thức, kĩ năng và phương pháp cần
thiết để học và làm tốt bài thi theo hình thức này.
Qua một năm học vừa rồi, thực tế khi giảng dạy học sinh lớp 10 tôi thấy các
em rất lúng túng, lo lắng với kiểu thi trắc nghiệm khách quan, vì các em quen
làm bài kiểu tự luận, tỉ mỉ, chậm rãi. Nay chuyển sang phải làm nhiều, làm
nhanh, làm đúng. Nhiều em rất khó khăn. Đặc biệt với môn toán hình học. Mặc
dù kiến thức về đường tròn các em đã học rất kĩ ở lớp 9 rồi, song khả năng vận
dụng vào bài toán của lớp 10 lại rất hạn chế. Vì vậy, với giáo viên, việc dạy học
các em cũng phải thay đổi nhiều về phương pháp. Với môn hình học thì càng
khó khăn hơn, bản thân các em đã có tâm lí sợ môn hình, nay thi theo hình thức
trắc nghiệm khách quan nhiều em thực sự vất vả, mất phương hướng và hoang
mang. Để các em có được phương pháp tư duy nhanh, khả năng giải quyết vấn
đề và kĩ năng làm bài tốt, việc dạy học theo phương pháp mới, rèn luyện kĩ năng
giải bài tập theo hình thức trắc nghiệm ngay từ năm lớp 10 là rất cần thiết cho
học sinh. Nhưng trước hết, học sinh vẫn phải thành thạo các bài toán ở dạng tự
luận và biết chọn cách làm nhanh vào bài toán trắc nghiệm. Các em phải được
trang bị các kiến thức cơ bản, phương pháp mới làm toán trắc nghiệm, kĩ năng
giải toán nhanh, kĩ năng sử dụng máy tính thành thạo. Khi đó, các em sẽ tự tin,
hứng thú trong học tập và đạt được các kết quả cao.
Với lí do trên, tôi chọn đề tài " Rèn luyện kĩ năng giải bài tập về đường tròn
bằng hình thức trắc nghiệm khách quan" trong chương trình hình học cơ bản lớp
10.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu: Đề tài đưa ra một số hướng suy nghĩ, tư duy, phương
pháp nhanh, hiệu quả trong quá trình rèn luyện kĩ năng giải bài tập liên quan đến
đường tròn trong chương trình hình học lớp 10 ( ban cơ bản ).
1/28
Nhiệm vụ nghiên cứu:
+ Hệ thống hóa lí thuyết về đường tròn
+ Đưa ra một số phương pháp khả thi và hiệu quả trong quá trình rèn luyện kĩ
năng giải bài tập về đường tròn.
+ Tổ chức kiểm tra, đánh giá kiểm chứng tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
3. Đối tượng nghiên cứu:
+ Nghiên cứu các bài dạng bài toán về đường tròn trong chương trình hình
học lớp 10 ( ban cơ bản)
+ Mẫu khảo sát: các lớp 10A1, 10A2, trường THPT Lê Hồng Phong năm
học 2018 - 2019.
4. Phương pháp nghiên cứu:
+ Phân tích, tổng hợp, hệ thống hóa các nội dung có trong đề tài với phương
pháp là: Với mỗi dạng toán đều có ví dụ minh họa dạng tự luận sau đó cho bài
tập dạng trắc nghiệm.
+ Triển khai dạy thực nghiệm một số giáo án để đánh giá tính khả thi và hiệu
quả của đề tài.
+ Kiểm tra, đánh giá, thống kê.
5. Cấu trúc của đề tài
+ Phần 1: Mở đầu
+ Phần 2: Nội dung :
I. Khái quát lí thuyết cơ bản.
II. Đưa ra một số dạng bài tập minh họa thường gặp về đường tròn và các
phương pháp khác nhau để giải quyết vấn đề. Trong mỗi dạng, tác giả nêu các
kiến thức và kĩ năng cơ bản mà học sinh cần nắm được, các lưu ý quan trọng.
Một số ví dụ chọn lọc và có hệ thống bài tập vận dụng.
* Dạng 1: Nhận dạng phương trình đường tròn
* Dạng 2: Lập phương trình đường tròn
* Dạng 3: Tiếp tuyến của đường tròn
* Dạng 4: Tương giao của đường thẳng với đường tròn
* Dạng 5: Vị trí tương đối của hai đường tròn
+ Phần 3: Tổ chức thực nghiệm và đánh giá kết quả.
2/28
PHẦN 2: NỘI DUNG
y
I. KHÁI QUÁT LÍ THUYẾT CƠ BẢN
y
M
1) Phương trình đường tròn
I
* Trên mặt phẳng tọa độ, cho đường tròn (C)
b
R
có tâm I(a ; b) và bán kính R. Điểm M(x ; y)
x
O a
x
thuộc đường tròn (C)
↔ ℑ=R↔(x −a)2+( y−b)2=R2 (1)
Phương trình (1) là phương trình của đường tròn (C) có tâm I(a ; b) và bán kính R.
2) Nhận dạng phương trình đường tròn
* Phương trình: x2+ y2+2 ax +2 by +c=0, với điều kiện a2+ b2+ c >0 là phương
trình của đường tròn có tâm I(-a ; -b) và bán kính R=√a2+b2−c
3) Phương trình tiếp tuyến
* Đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn (C) có tâm I, bán kính R ↔ d ( I , ∆
)=R Đường thẳng ∆ là một tiếp tuyến của đường tròn.
II. Một số dạng bài tập minh họa thường gặp về đường tròn và các phương
pháp khác nhau để giải quyết vấn đề.
II.1. Dạng 1: * Tìm tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn
* Tìm điều kiện để một phương trình là đường tròn
* Tìm quỹ tích tâm của đường tròn
1.1 Tìm tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn
Kiến thức cơ bản:
+ Đường tròn (x−a)2 +( y−b)2=R2 có tâm I(a ; b) , bán kính R
+ Phương trình x2+ y2+2 ax +2 by +c=0,(a2+ b2+ c >0) là phương trình của đường
tròn có tâm I(-a ; -b) và bán kính R=√a2+b2−c
Kĩ năng: Nắm rõ dạng phương trình đường tròn để tìm đúng tâm và bán kính
Ví dụ 1: Điền vào ô trống
Đường tròn
2
Tâm I
2
1.(x−2) +( y +3) =10
2. x2+( y −5)2=16
3. x2+ y2=3
4. x2+ y2−8 x−2 y+4=0
5. 3 x2+3 y2 +6 x−3 y−1=0
Đáp án:
3/28
Bán kính R
Đường tròn
2
Tâm I
I(2 ; -3)
I(0 ; 5)
I(0 ; 0)
I(4 ; 1)
1
I(−1; ¿
2
1.( x−2) +( y +3) =10
2. x2+( y −5)2=16
3. x2+ y2=3
4. x2+ y2−8 x−2 y+ 4=0
5. 3 x2+3 y2 +6 x−3 y−1=0
2
Bán kính R
R=√ 10
R=4
R=√3
R=√ 13
R= 19
√12
Lưu ý: Trong câu 5, phải chia cả hai vế của phương trình cho 3 để đưa về đúng
dạng cơ bản rồi mới tìm tâm và bán kính theo công thức.
1.2 Tìm điều kiện để một phương trình là đường tròn
Kiến thức cơ bản:
Phương trình x2+ y2+2 ax +2 by +c=0 , ( a2+ b2+ c >0) là phương trình của đường
tròn có tâm I(-a ; -b) và bán kính R=√a2+b2−c
Kĩ năng: Nắm được dấu hiệu để nhận biết nhanh phương trình nào là của đường
tròn. Chẳng hạn khi c < 0 luôn đúng. Và sẽ không là đường tròn khi: hệ số của x
và y không đồng nhất, hoặc có chứa tích x.y, hoặc vi phạm điều kiện
a 2+ b2+c >0.
Ví dụ 2: Phương trình nào sau đây là của đường tròn
A.x2+ y2−2 x + y +4=0
B. x2+ y2+3 x−5 y −1=0
C.x2+ y2+ 6 xy −2 x −4=0
D. x2− y2−4 x+2 y −3=0
Đáp án: B ( dùng phương pháp loại trừ ta được kết quả B )
Ví dụ 3: Phương trình nào sau đây không phải của đường tròn
A. 2 x2 +2 y2−4 x+ 6 y+ 3=0
B. x2+ y2−5=0
C. x2+ y2+5 y +1=0
D. x2+ y2−4 x + y +6=0
Đáp án: D ( vi phạm điều kiện a2+ b2+ c >0 ¿
Ví dụ 4: Tìm m để phương trình x2+ y2−2(2 m−1)x +2 my+2 m=0 là phương
trình của một đường tròn?
B. m<0 hoặc m> 4
A. m←2 hoặc m> 2
3
D. m<1 hoặc m>2
1
C. m< hoặc m>1
5
Đáp án: C ( dùng điều kiện a2+ b2+ c >0 ¿
Ví dụ 5: Tìm m để x2+ y2−2 mx−(m−1) y +2 m+1=0 là phương trình đường tròn
có bán kính R=3 √2.
A. m∈ {−4 ; 2}
B. m∈ {−3 ; 5}
{
1
C. m∈ 3 ; 3
}
D. m∈
{
−3
2;4
4/28
}
Đáp án: B ( dùng công thức R=√a2+b2−c )
1.3 Tìm quỹ tích tâm của đường tròn
Kiến thức cơ bản: Cách tìm quỹ tích của điểm M(x ; y) trong mặt phẳng tọa độ
+ Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để điểm M tồn tại.
+ Bước 2: Tính tọa độ (x ; y) của điểm M theo tham số ( chẳng hạn là m ).
+ Bước 3: Khử tham số m giữa x và y ( ta gọi là tìm hệ thức liên hệ giữa x và y
mà không phụ thuộc tham số).
+ Bước 4: Giới hạn quỹ tích ( căn cứ vào điều kiện ở bước 1)
Chú ý: + Nếu xM hoặc y M không phụ thuộc tham số thì không phải làm bước 3.
+ Nếu điểm M luôn tồn tại thì không phải làm bước 4.
Kĩ năng: Thực hiện đúng phương pháp tìm quỹ tích để hoàn thiện tốt bài làm.
Ví dụ 6: Tìm quỹ tích tâm của đường tròn
x2+ y2−2 mx+2 (m+2) y +2(m2 +m+1)=0
Bài giải:
Bước 1: Tìm điều kiện của m
Để phương trình đã cho là đường tròn thì a2+ b2+ c >0 , suy ra m > -1.
{
x =m
Bước 2: Gọi I là tâm đường tròn, yI =I−m−2
Bước 3: Cộng các vế ta được xI + y I=−2.
Vậy tâm I thuộc đường thẳng cố định x + y +2 = 0
Bước 4: giới hạn: do m>−1nên xI >−1
Kết luận, vậy quỹ tích các điểm I là nửa đường thẳng
∆ : x + y +2=0 ( thỏa mãn x > - 1).
Ví dụ 7: Tâm của đường tròn x2+ y2−mx−2 (1−3 m) y−1=0 thuộc đường thẳng cố
định nào ?
A. x−3 y−2=0
B. 4 x+ y+2=0
C. 3 x−2 y−4=0
D. 6 x + y−1=0
Đáp án: D
Bài tập vận dụng:
Câu 1. Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn
A. x2+ y2−x− y +9=0
B. x2+ y2−x=0
C. x2+ y2−2 xy −1=0
D. x2− y2−x +3 y−1=0
5/28
Câu 2. Phương trình nào sau đây không phải là của đường tròn
A. x2+ y2−x− y +9=0
B. x2+ y2− y=0
C. x2+ y2=2
D. x2+ y2−10 x+1=0
Câu 3. Đường tròn (C): x2+ y2−6 x−8 y=0 có bán kính là:
A. 10
B. 25
C. 5
D. √ 10
Câu 4. Đường tròn (C): x2+ y2−5 y=0 có bán kính là:
A. √5
B. 5
C. 25
2
1
2
2
Câu 5. Đường tròn (C): x + y +
x−√3=0 có tâm là:
√2
B. −√2
√3 )
C. (√2;√3)
A. 0; 2
;
0
D.
4
Câu 6. Đường tròn (C): 2 x2 +2 y2−8 x +4 y−1=0 có tâm là:
(
(
)
√2
D.
5
1
( 2 √2 ; 0)
A. (-2 ; 1)
B. (8 ; -4)
C. (-8 ; 4)
D. (2 ; -1)
Câu 7. Cho đường tròn (C): (x−2)2+ y2=2. Tìm mệnh đề sai:
A. (C) có tâm I(2 ; 0)
B. (C) có bán kính R=√2
C. (C) cắt trục Ox tại hai điểm
D. (C) cắt trục Oy tại hai điểm
Câu 8. Cho đường tròn (C): 2 x2 +2 y2−4 x+8 y+1=0. Tìm mệnh đề đúng.
A. (C) không cắt trục Oy
B. (C) cắt trục Ox tại một điểm
C. (C) có tâm I(2 ; -4)
D. (C) không đi qua điểm M(2 ; 5)
Câu 9. Tìm m để phương trình x2+ y2−2 (m+1) x−2 (m+ 2) y +6 m+7=0 là phương
trình của đường tròn.
A. m<0
B. m>1
C. m<1
D. m < -1 hoặc m > 1
Câu 10. Với giá trị nào của m thì phương trình x2+ y2−2 mx+4 y+ 8=0 không
phải là phương trình của đường tròn .
A. m < - 2 hoặc m > 2
B. m > 2C. −2 ≤ m≤2
D. m < -2
2
2
Câu 11.Tìm m để (Cm ) : x + y −mx−2 (1−3 m) y−1=0 là đường tròn có bán kính
bằng 7
A. m = 4
B. m = 8
C. m = - 8
D. m = - 4
Câu 12. Quỹ tích tâm các đường tròn (Cm ) : x2 + y2−2(2 m−1) x+2 my+2m=0
thuộc đường thẳng nào sau đây.
A. x +2 y +1=0
B. x−2 y−1=0
C. 2 x+ y +1=0
D. x−2 y +1=0
6/28
II.2. Dạng 2: Lập phương trình đường tròn
Kiến thức cơ bản: + Tìm tâm I(a ; b), bán kính R, có phương trình
(x−a)2 +( y−b)2=R2
+ Đường tròn đi qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng thì
nên dùng phương trình x2+ y2+2 ax +2 by +c=0.
+ Đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn (C) có tâm I, bán
kính R ↔ d ( I , ∆ )=R
Đặc biệt:
+ Đường tròn (C) có tâm I(a ; b) tiếp xúc với trục Ox thì R=|b| ( h.1) +
Đường tròn (C) có tâm I(a ; b) tiếp xúc với trục Oy thì R=|a| ( h.
+ Đường tròn (C) có tâm I(a ; b) tiếp xúc với hai trục Ox, Oy thì R=|a|=|b|. ( h.3)
y
y
b
b
O
y
R
I
I
I
b
R
a
O
x
( h.1)
a
R
a
x
( h.2)
O
x
( h.3)
Kĩ năng: Nắm vững các dạng cơ bản về viết phương trình đường tròn ( thường
là đi tìm tâm và tính bán kính ). Liên hệ các kiến thức về đường tròn ở lớp 9 để
giải quyết nhanh gọn bài toán.
Chẳng hạn: + Khi đường tròn đi qua hai điểm A, B thì tâm I luôn nằm trên
đường trung trực của đoạn AB.
+ Khi đường tròn tiếp xúc với đường thẳng ∆ tại điểm M thì tâm I
luôn nằm trên thẳng vuông góc với ∆ , tại điểm M.
+ Khi đường tròn tâm I, bán kính R cắt đường thẳng ∆ tại hai điểm
A, B thì IH vuông góc AB tại trung điểm H của AB và IH = d(I , ∆ ).
R
I
I
R
A
H B
M
Ví dụ 1: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết A(-1;3),
B(-1 ; -2), C(3 ; -2)
Bài giải: Bài toán này ta có thể làm theo ba cách.
Cách 1: + Gọi phương trình dạng: x2+ y2+2 ax +2 by +c=0.
+ Thay tọa độ ba điểm A, B, C ta được hệ phương trình ba ẩn a, b, c.
7/28
+ Giải hệ tìm nghiệm và kiểm tra điều kiện a2+ b2+ c >0 rồi thay giá trị
của a, b, c vào phương trình ban đầu ta được kết quả.
Cách 2: + Gọi I(a ; b) là tâm ta có IA = IB = IC
+ Giải hệ hai ẩn a, b ta tìm được tâm và tính R = IA
+ Viết phương trình đường tròn
Cách 3: + Tâm I là giao của hai đường trung trực của hai cạnh AB và AC.
+ Tính R = IA
+ Viết phương trình đường tròn.
Giáo viên lưu ý học sinh với hình thức trắc nghiệm thì học sinh nên dùng
cách 1, sử dụng máy tính sẽ nhanh và chính xác hơn.
Đáp án: x2+ y2−2 x − y−9=0
Ví dụ 2: Lập phương trình đường tròn có tâm nằm trên trục tung và đi qua hai
điểm A(3 ; -3), B(5 ; 1).
Bài giải: bài toán này có thể làm theo ba cách
Cách 1: + Gọi tâm I(0 ; b), cho IA = IB, tìm được b, tìm được tâm I
+ Tính R = IA, viết phương trình đường tròn
Cách 2: + Viết phương trình đường trung trực ∆của AB
+ Cho ∆ giao trục tung tìm được tâm I
+ Tìm R = IA, viết phương trình đường tròn
Cách 3: + Gọi tâm I(0 ; b) , có phương trình x2+( y −b)2=R2
+ Thay tọa độ A, B vào phương trình , giải hệ ta tìm được được b và R,
suy ra phương trình đường tròn.
Giáo viên lưu ý học sinh, ba cách trên gần tương đương nhau, học sinh chọn
theo kĩ năng của mình.
Đáp án: x2+( y −1)2=25
Ví dụ 3: Lập phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng
d : x+ 2 y −1=0 và tiếp xúc với đường thẳng d' : x −6 y−22=0 tại điểm A(-2 ; - 4).
Bài gải: bài toán này được làm theo ba cách
Cách 1: + Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A và vuông góc với d'
+ Tâm I là giao của ∆ và d
+ Tính R = IA, viết phương trình đường tròn
Cách 2: + Gọi tâm I(1-2t ; t) thuộc d, giải phương trình IA = d(I , d') tìm được t,
tìm được tâm I
+
Tính R = IA, viết phương trình đường tròn.
Cách 3: + Gọi phương trình đường tròn (x−a)2 +( y−b)2=R2
8/28
{
a+ 2b−1=0
∆ : x +3 y−5=0
(x−2)2+( y + 4)2=45
+
2
2
2
Giải hệ phương trình (−2−a) +(−4−b) =R
|a−6 b−22|=R
√ 37
+
Tìm được a, b, R, viết phương trình đường tròn.
Giáo viên lưu ý học sinh chọn cách 1 là dễ nhất, hai cách còn lại phải giải
phương trình và hệ phương trình đều phức tập dễ nhầm lẫn.
Đáp án: (x +3)2+( y−2)2=37
Ví dụ 4: Lập phương trình đường tròn có tâm I(- 4 ; 1) và cắt đường thẳng
∆:2 x− y−6=0 tại hai điểm A, B sao cho AB=8 √5.
Bài giải: + Khi đường tròn cắt đường thẳng thì chỉ nên làm theo một hướng mà
rất quen ở lớp 9 là lấy trung điểm H của AB, ta có
HA=HB=
AB
=4 √5
|2. (−42)−1
−6|
R
I
{
√5
A
=3√5
HB
IH=d ( I , ∆)=
+ R2=IA2=IH 2+HA2=125
+ Đáp án: (x +4 )2 +( y−1)2=125
Ví dụ 5: Lập phương trình đường tròn có tâm I(2 ; - 4) và cắt đường thẳng
tại hai điểm A, B sao cho IA IB.
Bài giải: + Gọi H là trung điểm AB, do tam giác IAB vuông cân tại I nên ta có
IH=
AB
R √2
2= 2
IH =d (I , ∆)=|2+3. (−4)−5|= 15
√10
√10
R=3 √5
+ Mặt khác,
+ Tìm được
+ Đáp án:
Ví dụ 6: Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với trục hoành tại điểm A(-3 ; 0)
và đi qua điểm B(- 4 ; 1).
Bài giải: + Do đường tròn tiếp xúc với trục hoành tại A(-3 ; 0) nên tâm I thuộc
đường thẳng x = -3, do đó gọi tâm I(-3 ; b).
+ Cho IA = IB tìm được b = 1, suy ra R = |b|=1.
+ Đáp án: (x +3)2+( y−1)2=1
Ví dụ 7: Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với trục tung tại điểm A(0 ; 1) và
có tâm thuộc đường thẳng ∆ : 4 x−3 y +5=0.
Bài giải: + Vì đường tròn tiếp xúc với trục tung tại điểm A(0 ; 1) nên tâm I thuộc
đường thẳng y = 1, do đó gọi I(a ; 1).
9/28
− 1
+ Mà tâm I thuộc ∆ , thay tọa độ I vào phương trình ∆ tìm được a= 2 ,
1
R = |a|= 2 .
1
1
+ Đáp án: (x + 2 )2+( y−1)2= 4 .
Ví dụ 8: Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ và có tâm
thuộc đường thẳng ∆ : x + y−2=0.
Bài giải: + Gọi tâm I và thuộc ∆ : x + y−2=0 nên I(t ; 2-t)
+ Vì đường tròn tiếp xúc với hai trục nên |t|=|2−t|, tìm được t = 1
+ Đáp án : (x−1)2+( y −1)2=1.
Bài tập vận dụng:
Câu 1. Đường tròn tâm I(3;-1), bán kính R = 2 có phương trình là:
A. (x +3)2+( y−1)2=4
B. (x−3)2 +( y −1)2 =4
C. (x−3)2 +( y +1)2=4
D. (x +3)2+( y +1)2=2
Câu 2. Đường tròn tâm I(-1 ; 2) và đi qua M(2;1) có phương trình là:
A. x2+ y2+2 x−4 y−5=0
B. x2+ y2+2 x−4 y−3=0
C. x2+ y2−2 x −4 y −5=0
D. x2+ y2+2 x +4 y−5=0
Câu 3. Cho A(5 ; -1), B(-3 ; 7), đường tròn đường kính AB có phương trình là:
A. x2+ y2+2 x−6 y −22=0
B. x2+ y2−2 x −6 y+ 22=0
C. x2+ y2−2 x − y+1=0
D. x2+ y2+ 6 x +5 y +1=0
Câu 4. Đường tròn có tâm I(-4 ; 3) và tiếp xúc với trục tung có phương trình là:
A. x2+ y2−4 x +3 y +9=0
B. (x +4 )2 +( y−3)2=16
C. (x−4)2+( y +3)2=16
D. x2+ y2+ 8 x −6 y−12=0
Câu 5. Đường tròn có tâm I(4 ; 3) và tiếp xúc với đường thẳng ∆ :3 x−4 y +5=0
có phương trình là:
A. (x +4 )2 +( y−3)2=1
C. (x +4 )2 +( y +3)2=1
B. (x−4)2+( y −3)2 =1
D. (x−4)2+( y +3)2=1
Câu 6. Đường tròn (C) đi qua hai điểm A(1;3) , B(3;1) và có tâm thuộc đường
thẳng ∆ :2 x− y +7=0 có phương trình là:
A. (x−7)2 +( y−7)2=102
B. (x +7)2+( y +7)2=164
C. (x−3)2 +( y −5)2=25
D. (x +3)2+( y +5)2=25
Câu 7. Đường tròn (C) tiếp xúc với trục tung tại điểm A(0 ; - 2) và đi qua điểm
B(4 ; - 2) có phương trình là:
A. (x−2)2+( y +2)2=4
B. (x +2)2 +( y−2)2=4
C. (x−3)2 +( y −2)2 =4
D. (x−3)2 +( y +2)2=4
Câu 8. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết A(0 ; 2) , B(2 ; 2) , C(1 ;
1+√2¿ có phương trình là:
10/28
A. x2+ y2+2 x +2 y−√2=0
C. x2+ y2−2 x −2 y −2=0
B. x2+ y2−2 x −2 y =0
D. x2+ y2+2 x−2 y +√2=0
Câu 9. Tọa độ tâm đường tròn đi qua ba điểm A(0 ; 5), B(3 ; 4) , C(- 4 ; 3) là:
A. (-6;-2) B.(-1;-1) C.(3;1) D.(0;0) Câu 10. Đường tròn đi qua ba điểm A(11 ;
8), B(13 ; 8), C(14 ; 7) có bán kính bằng:
A. 2
B. 1
C. √5
D.√2
Câu 11. Đường tròn nào sau đây đi qua ba điểm A(- 1 ; 1), B(3 ; 1) , C(1 ; 3):
A. x2+ y2−2 x −2 y −2=0
B. x2+ y2−2 x −2 y +2=0
C. x2+ y2−2 x +2 y=0
D. x2+ y2+2 x +2 y−2=0
Câu 12. Đường tròn đi qua điểm A(2 ; 4) và tiếp xúc với hai trục tọa độ có
phương trình là:
A. (x−2)2+( y −2)2=4 hoặc (x−10)2 +( y −10)2=100
B. (x +2)2 +( y +2)2 =4 hoặc (x−10)2 +( y −10)2=100
C. (x +2)2 +( y +2)2 =4 hoặc (x +10)2+( y +10)2=100
D. (x−2)2+( y −2)2=4 hoặc (x +10)2+( y +10)2=100
Câu 13. Cho điểm M(x ; y) thảo mãn:
{x=−1+2 cost , t ∈ R .
y=2−2 sint
Tập hợp các điểm M là:
A. Đường tròn tâm I(1 ; -2), bán kính R = 2
B. Đường tròn tâm I(- 1;2), bán kính R = 2
C. Đường tròn tâm I(-1 ; 2), bán kính R = 4
D. Đường tròn tâm I(1 ; -2), bán kính R = 4
Câu 14. Cho điểm M(x ; y) thảo mãn:
x=2+4 sint ,t ∈ R .
{y=−3+ 4 cost
Tập hợp các điểm M là:
A. Đường tròn tâm I(-2; 3), bán kính R = 4
B. Đường tròn tâm I(2;- 3), bán kính R = 4
C. Đường tròn tâm I(-2 ; 3), bán kính R = 16
D. Đường tròn tâm I(2 ; -3), bán kính R = 16
Câu 15. Cho hai điểm A(- 4 ; 2), B(2 ; - 3). Tập hợp điểm M(x ; y) thỏa mãn
MA2 +MB2=31 có phương trình là:
A. x2+ y2+2 x +6 y +1=0
B. x2+ y2−6 x−5 y +1=0
C. x2+ y2−2 x −6 y−22=0
D. x2+ y2+2 x +6 y +22=0
II.3. Dạng 3: Phương trình tiếp tuyến của đường tròn. Đường thẳng đi qua
hai tiếp điểm.
Kiến thức cơ bản: Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R và đường thẳng
∆ . Điều kiện cần và đủ để ∆ tiếp xúc với (C) là d ( I , ∆ )=R. (*)
11/28
* Dạng toán: Tiếp tuyến tại điểm:
+Tiếp tuyến của (C) tại điểm M là đường thẳng đi qua điểm M và nhận vecto ⃗ℑ
làm pháp tuyến
* Dạng toán : Tiếp tuyến có phương cho trước:
+ Nếu tiếp tuyến ∆ của (C) song song với đường thẳng ax +by +c =0 thì phương
trình ∆ có dạng ax +by +m=0, m là tham số. Dùng điều kiện tiếp xúc (*) tìm được
m.
+ Nếu tiếp tuyến tuyến ∆ của (C) vuông góc với đường thẳng ax +by +c =0 thì
phương trình ∆ có dạng bx−ay+m=0, m là tham số. Dùng điều kiện tiếp xúc (*)
tìm được m.
+ Đặc biệt: khi tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân thì hệ
số góc của tiếp tuyến là 1 hoặc - 1.
* Dạng toán: Tiếp tuyến đi qua điểm M ( x0 ; y0 )cho trước.
+ Gọi phương trình tiếp tuyến là: a ( x−x0 )+b ( y− y0 )=0, với n⃗=(a,b)≠ ⃗0
+ Điều kiện tiếp xúc d ( I , ∆ )=R, quy đồng phương trình, bình phương, chọn
⃗
n⃗=(a,b)≠ 0
+ Kết luận phương trình tiếp tuyến.
* Chú ý: + Từ điểm M nằm trong đường tròn (C) không có tiếp tuyến nào với (C).
+ Từ điểm M nằm trên (C) kẻ được duy nhất một tiếp tuyến đến (C).
+ Từ điểm M nằm noài (C) kẻ được hai tiếp tuyến đến (C). Khi đó gọi
A, B là các tiếp điểm thì đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng IM tại
trung điểm H của AB.
Kĩ năng: + Thành thạo các dạng phương trình tiếp tuyến
+ Vận dụng các tính chất của tiếp tuyến với đường tròn để xử lí các
bài toán liên quan đến tiếp tuyến.
Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C):
x2+ y2−4 x +8 y +10=0 tại điểm A(-1;-3).
Bài giải: + (C) có tâm I(2 ; -4), bán kính R = √10
∆
+ Gọi
∆:
là tiếp tuyến tại A(-1 ; -3),
đi qua A (−1 ;−3)
{có vecto pháp tuyến ⃗n=⃗AI =(3 ;−1)
+ Phương trình ∆ :3 x− y =0
Ví dụ 2: Cho đường tròn (C): x2+ y2+ 6 x −2 y −10=0. Lập phương trình tiếp tuyến
với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: 2 x−4 y+1=0.
Bài giải: + (C) có tâm I(-3 ; 1), bán kính R = √20
+ Gọi ∆ là tiếp tuyến của (C), vì ∆ // d nên phương trình
∆ : x−2 y +c=0 ,c≠ 1
+ d ( I , ∆ )=R, tìm được c=−5 hoặcc=15.
+ Đáp án: x−2 y−5=0 , x−2 y+15=0
12/28
Ví dụ 3: Cho đường tròn (C): x2+ y2+ 6 x +4=0. Lập phương trình tiếp tuyến với
(C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: 4 x+2 y−7=0.
Bài giải: + (C) có tâm I(-3 ; 0), bán kính R = √5
+ Gọi ∆ là tiếp tuyến của (C), vì ∆ vuông góc d nên phương trình
∆ : x−2 y +c=0
+ d ( I , ∆ )=R, tìm được c=4 hoặc c=8.
+ Đáp án: x−2 y +4=0 , x−2 y +8=0.
Ví dụ 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): (x +1)2 +( y−2)2=5 biết
rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M (√5−1 ; 1). Bài giải: + (C) có tâm I(-1 ; 2), bán
kính R = √5
+ Đường thẳng ∆
đi qua M có phương trình
a ( x−√5+1)+ b ( y−1)=0 ,a2+b2 ≠ 0.
+ d ( I , ∆ )=|a (−1−√5+1)+ b(2−1)|=|−√5 a+b|
√
a2 +b2√a2 +b2
|− √5 a+ b|
+Để∆là tiếp tuyến của (C) thì √
=√5 ↔|−√5 a+ b|=√5
a2+5 b2 a2+b2
+ Từ đó, b (2 b+√5 a)=0, suy rab=0 hoặc 2 b+√5 a=0
+ Nếu b = 0, ta chọn a = 1 và được tiếp tuyến ∆1 : x−√5+1=0
+ Nếu 2 b+√5 a=0, ta chọn a=2, b=−√5 , được tiếp tuyến
∆ 2 :2 x−√5 y+2−√5=0.
Giáo viên nhấn mạnh học sinh, bài toán tiếp tuyến đi qua điểm phải làm như
phương pháp nêu trên. Nếu học sinh gọi tiếp tuyến theo dạng y=k ( x−x0 )+ y0 (
k là hệ số góc ) thì sẽ làm mất tiếp tuyến dạng x=x0 vì đường thẳng x=x0 không
có hệ số góc.
Ví dụ 5: Biết rằng từ điểm M(0 ; - 1) ta vẽ được hai tiếp tuyến đến(C): x2+ y2+ 6
x −4 y + 4=0. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai tiếp điểm.
Bài giải: + (C) có tâm I(-3 ; 2) và R = 3. Gọi A ( x1 ; y1 ) và B(x2 ; y2) là hai tiếp
điểm.
{
+ Tiếp tuyến AB
(
đi quađiểm A x1 ; y1
)
có vtpt ⃗IA =(x1+3 ; y1−2)
Phương trình tiếp tuyến AB là:
(x1 +3)(x−x1 )+( y1−2)( y − y1)=0
+ Tiếp tuyến AB đi qua M(0 ; - 1) nên
(x1 +3)(0−x1 )+( y1−2)(−1− y1 )=0
hay x21+ y21+3 x1− y1−2=0 (1)
Mà A ( x ; y )∈(C) nên x2+ y2+ 6 x −4 y +4=0 (2)
1
1
1
1
1
1
13/28
Vậy A ( x1 ; y1 )∈ ∆ : x− y+ 2=0
Tương tự ta có B(x2 ; y2 ) ∈ ∆ : x− y+ 2=0.
+ Vậy đường thẳng AB là x− y +2=0.
Giáo viên lưu ý học sinh:
+ Dùng bài toán tiếp đi qua điểm M ta tìm được hai tiếp tuyến.
+ Xét tương giao của một tiếp tuyến với đường tròn ta tìm được một tiếp điểm A
+ Viết phương trình đường thẳng AB đi qua A và vuông góc với IM.
Ví dụ 6: Cho đường tròn (C): (x−2)2+( y +3)2=4 và điểm M ở trên đường thẳng y
+ 5 = 0. Xác định tọa độ của M để từ M kẻ được hai tiếp tuyến đến (C) và hai
tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
Bài giải: + (C) có tâm I(2 ; - 3) , bán kính R = 2
+ Gọi M(m ; -5) thuộc đường thẳng y + 5 = 0
+ Yêu cầu bài toán dẫn đến tứ giác MAIB là hình vuông cạnh bằng R
(A, B là hai tiếp điểm) nên ta có ℑ=R √2 , giải phương trình tìm được m = 0
hoặc m = 4.
+ Kết luận M(0 ; - 5) , M(4 ; - 5).
Ví dụ 7: Cho đường thẳng ∆ : x− y+1=0 và đường tròn (C):
(x +1)2 +( y−2)2=5 .
Tìm tọa độ điểm M thuộc ∆ để từ M kẻ được hai tiếp tuyến MA, MB đến (C) và
^
AMB=600.
Bài giải: + (C) có tâm I(- 1 ; -2) , bán kính R = √5
+ Gọi M(t ; t+1) thuộc đường thẳng ∆
+ Yêu cầu bài toán dẫn đến tam giác MAB đều (A, B là hai tiếp điểm)
nên ta có ℑ=2 R , giải phương trình tìm được t=± 3
+ Kết luận M(3 ; -4) , M(- 3 ; - 2).
Ví dụ 8: Biết rằng từ điểm M(1 ; 3) kẻ được hai tiếp tuyến MA, MB đến (C):
x2+ y2+ 8 y−9=0 và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau Viết phương trình
đường thẳng AB.
Bài giải: + (C) có tâm I(0 ; - 4) , bán kính R = 5
+ Vì tứ giác MAIB là hình vuông nên IM vuông góc với AB tại trung
điểm H
{
đi qua điểm H (1 ;− 1 )
+ Khi đó đường thẳng AB:
2
+ Đáp án: x +7 y +3=0
14/28
2 có vtpt
n⃗=⃗ℑ=(1;7)
Giáo viên lưu ý học sinh: nếu giải quyết bài toán này theo Ví dụ 5 thì sẽ rất dài,
ở đây sử dụng tính chất của tiếp tuyến và yêu cầu của bài toán ta suy ra có tâm
1
1
H ( 2 ;− 2 ) của hình vuông MAIB vì vậy giải quyết nhanh chóng ra đáp án.
Thưc tế, khi dạy học và ra bài tập này, học sinh Đạt lớp 10A1 đã làm theo
cách đi viết phương trình tiếp tuyến đia qua điểm M, sau đó mới viết đường
thẳng AB. Tôi đã định hướng cho em và các học sinh khác để nhớ và biết cách
làm ngắn gọn.
Ví dụ 9: Đường tròn (C) có tâm I(3 ; - 2) tiếp xúc với đường thẳng
∆ :2 x− y +3=0 tại điểm H. Tìm tọa độ của H?
đi qua điểm I (3 ;−2)
Bài giải: + Đường thẳng IH:
{có vtpt ⃗n=u⃗ =(1 ; 2)
I
∆
+ Phương trình đường thẳng IH: x +2 y +1=0
−7
+ H là giao điểm của IH và ∆ nên H ( ; 1 )
5 5
H
Tôi đã hướng dẫn cho học sinh phát hiện vấn đề và giải quyết theo cách này.
Thực tế, khi dạy học tại lớp 10A1, em Linh đã làm theo cách viết phương trình
đường tròn có tâm I và bán kính
R = d(I, ∆) rồi mới tìm H là giao điểm của ∆ với đường tròn.
Ví dụ 10: Đường tròn (C): x2+ y2−4 x +8 y +11=0 và điểm M(- 3 ; 1). Gọi A, B là
các tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ M. Tính độ dài đoạn AB?
Bài giải: + (C) có tâm I(2 ; - 4), bán kính R = 3
I
+ Sử dụng tính chất của tiếp tuyến
A
H
B
và hệ thức lượng trong tam giác vuông ta tính được
ℑ=√34 , AM=5 , AB=
30
√34
.
M
Với bài toán này, học sinh Phong lớp 10A1 đã dùng bài toán tiến tuyến đi qua
điểm M để tìm hai tiếp điểm A, B rối mới tính đoạn AB.
Tôi nhấn mạnh với học sinh, tất cả các bài toán tiếp tuyến của đường tròn, ta
phải có hình vẽ và sử dụng tính chất của tiếp tuyến đã học ở lớp 9 để vận dụng
và làm theo cách nhanh nhất.
Bài tập áp dụng:
Câu 1. Từ điểm A(2 ; - 1) vẽ được mấy tiếp tuyến với đường tròn
x2+ y2−6 x−4 y +8=0
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Câu 2. Tìm để từ điểm A(m ; 0) vẽ được hai tiếp tuyến đến (C):
15/28
x2+ y2+ 4 x−2 y−5=0 .
A. m < - 4; m > - 1
C. 0 < m < 4
B. m < - 5 ; m > 1
D. - 1 < m < 3
Câu 3. Tìm m để đường thẳng ∆ : x + y−m+3=0 cắt (C):
( x−3)2 +( y +1)2=16 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B
vuông góc với nhau.
A. m = 1 ; m = 9
C. m = 1
B. m = - 1 ; m = - 9
D. m = 9
Câu 4. Cho đường tròn (C): (x−3)2 +( y −1)2 =10 .
Tiếp tuyến của (C) tại A(4 ; 4) là:
A. x-3y+5=0
B. x+3y-4=0
C. x-3y+16=0
D. x+3y-16=0
Câu 5. Cho đường tròn (C): (x−2)2+( y −2)2=9.
Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm M(- 5 ; 1) là:
A. x+y-4=0; x-y-2=0
B. x=5; y=-1
C. 2x-y-3=0;3x+2y-2=0
D. 3x-2y-2=0; 2x+3y+5=0
Câu 6. Cho (C): x2+ y2+2 x−6 y +5=0.
Tiếp tuyến của (C) song song với d: x+2y-5=0 là:
A. x+2y=0; x+2y-10=0
B. x-2y=0; x+2y+10=0
C. x+2y-1=0; x+2y-3=0
D. x-2y-1=0; x-y-3=0
Câu 7. Cho (C): x2+ y2−6 x+ 2 y +5=0
và d: 2 x+(m−2) y −m−7=0. Tìm m để d là tiếp tuyến của (C).
A. m = 3
B. m = 15
C. m = 13
D. m = 3 ; m = 13
Câu 8. Đường tròn (C) có tâm I tiếp xúc với đường thẳng d: 3x-4y+5=0 tại điểm
H. Tìm tọa độ H?
−1 7
−1 7
B. ( 1; 7)
1
7
5
5
A.
C. 5 ;−5
D. 5 ; 5 )
5 ;− 5
(
)
(
)
(
Câu 9. Đường tròn (C): x2+ y2=1 tiếp xúc với đường thẳng nào dưới đây:
A. x+y=0
B. 3x+4y-1=0
C. 3x-4y+5=0
D. x+y-1=0
Câu 10. Đường tròn (C): x2+ y2+ 4 y=0 không tiếp xúc với đường thẳng nào
dưới đây:
A. x-2=0
B. x+y-3=0
C. x+2=0
D.Trục hoành
Câu 11. Đường tròn nào sau đây tiếp xúc với trục Ox?
A. x2+ y2−2 x −10 y=0
C. x2+ y2−10 y+1=0
B. x2+ y2+6 x +5 y +9=0
D. x2+ y2=5
Câu 12. Đường tròn nào sau đây tiếp xúc với trục Oy?
2
2
A. x + y −10 y+1=0B. x2+ y2+ 6 x +5 y−1=0
16/28
C. x2+ y2−2 x =0
D. x2+ y2=5
Câu 13. Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C): x2+ y2−2 x +6 y +5=0
biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: 2x-y+6=0.
A. 2x-y+6=0; 2x-y=0
B. 2x-y+6=0
C. 2x-y=0
D. 2x-y-10=0; 2x-y=0
Câu 14. Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C):
x2+ y2+ 4 x +4 y−17=0 biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
d: 3x-4y+1=0.
A. 4x+3y+12=0; 4x+3y-7=0
C. 3x-4y+39=0; 3x-4y-11=0
B. 4x+3y+39=0; 4x+3y-11=0
D. 4x+3y-21=0; 4x+3y+13=0
Câu 15. Đường tròn (C): x2+ y2−4 x −2 y −5=0 và điểm A(-2;3).
Gọi AT là tiếp tuyến của (C) kẻ từ A ( T là tiếp điểm). Tính đoạn AT?
A. 5
B. 3√2
C. 2√3
D. √10
II.4. Dạng 4: Vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn. Bài toán
tương giao
Kiến thưc cơ bản: Để tìm vị trí tương đối của đường thẳng ∆ với đường tròn
(C) có tâm I, bán kính R ta có hai cách.
Cách 1: So sánh khoảng cách d(I; ∆)=IH với R
I
I
H
I
R
A
H
B
H
Cách 2: Giải hệ phương trình của ∆ và (C), từ số nghiệm ta suy ra số giao điểm,
suy ra vị trí tương đối. ( Theo kiến thức lớp 9)
Kĩ năng: + Để tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và đường tròn, ta giải hệ
phương trình.
+ Với bài toán đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt A, B
ta luôn quy về tính khoảng cách từ tâm của đường tròn tới đường thẳng.
+ Vận dụng tốt kiến thức tương giao của đường thẳng và đường tròn,
tính chất đường kính và dây cung để giải toán.
Lưu ý: + Dây cung lớn nhất của đường tròn đi qua tâm của đường tròn.
+ Dây cung dài nhất khi khoảng cách từ tâm đường tròn đến dây cung là
ngắn nhất và ngược lại.
+ Hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm đến hai dây
cung bằng nhau.
17/28
+ Từ điểm M nằm trong đường tròn (C), kẻ dây cung AB qua M sao cho
độ dài AB ngắn nhất khi và chỉ khi AB đi qua M và vuông góc với IM, vậy M là
trung điểm của AB.
Khi đó dây AB:
{đi quađiểm M
cóvtpt n⃗=⃗ℑ
Ví dụ 1: Cho đường tròn (C): x2+ y2−2 x +6 y
−10=0 Điền số thích hợp vào ô trống:
Đường thẳng
Số giao điểm
2 x−3 y−1=0
3 x+4 y −18=0
x +2 y −5=0
Đáp án:
Đường thẳng
2 x−3 y−1=0
3 x+4 y −18=0
x +2 y −5=0
Ví dụ 2: Tìm tọa độ giao điểm
Số giao điểm
2
0
1
của đường thẳng ∆ : x−4 y +6=0 và (C):
x2+ y2+2 x +6 y−7=0.
{
x−4 y +6=0
Bài giải: + Giải hệ phương trình x2 + y2 +2 x+ 6 y−7=0
bằng phương pháp thế.
+ Đáp án :( - 2 ; 1)
Ví dụ 3: Tìm m để đường thẳng ∆ : x + y +m=0
cắt (C): x2+ y2=1 tại hai điểm
phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB đạt lớn nhất ( I là tâm )?
1
1
Bài giải: + SIAB= 2 IA . IB . sinI = 2 R2 . sinI
^
^
+
Do đó diện tích lớn nhất khi sin I =1 ↔ I =900
√ 2
+
d ( I ,∆ )=IH=R . sin 450= 2
+
Đáp án: m=± 1
Lưu ý học sinh nhớ dùng công thức tính trên để tính diện tích tam giác trong bài
toán này.
Ví dụ 4: Cho đường tròn (C): x2+ y2−4 x +2 y−8=0. Lập phương trình đường
thẳng đi qua M(-3;1) và cắt (C) tại A, B sao cho AB = 6? Bài giải: + (C) có tâm
I(2 ; -1) , R = √13
∆:
+ Đường thẳng
đi quaM (−3 ;1)
{có vtpt ⃗n=(a;b)≠
R
0⃗
∆có dạng: a ( x +3)+b ( y −1)=0
+ Gọi H là trung điểm AB ta có IH =√R2−HB2=2
18/28
A
I
H B
|5 a−2 b|
IH =d (I , ∆)=
+ Mặt khác,
√a2+b2
|5 a−2 b|
=2
+ Có √a2+b2
, tìm được a=0 hoặc 21 a=20 b
+ Chọn cặp số (a ; b) ta được đáp số: y−1=0 ;20 x+21 y +39=0
Bài tập vận dụng:
Câu 1. Cho đường tròn (C): x2+ y2+4 x−6 y +5=0. Đường thẳng d đi qua điểm
A(3;2) và cắt (C) theo dây cung dài nhất có phương trình là:
A. x+y-5=0 B. x-y-5=0 C. x+2y-5=0 D. x-2y+5=0 Câu 2. Cho đường tròn (C):
(x +1)2 +( y−3)2=4 . Đường thẳng d' song song với d: 3x-4y+5=0 và d' chắn trên
(C) dây cung có độ dài lớn nhất.
Phương trình d' là:
A. 4x+3y+13=0
B. 3x-4y+25=0
C. 3x-4y+15=0
D. 4x+3y+20=0
Câu 3. Cho đường tròn (C): x2+ y2+4 x−6 y +5=0. Đường thẳng d đi qua điểm A(3;2) và cắt (C) theo dây cung ngắn nhất có phương trình là:
A. 2x-y+2=0
B. x+y-1=0
C. x-y-1=0
D. x+y+1=0
Câu 4. Cho đường tròn (C): x2+ y2+ 6 x −2 y +5=0 và đường thẳng d đi qua điểm
M(-4;2), d cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm AB. Phương trình
của d là:
A. x-y+6=0
B. 7x-3y+34=0
C. 7x-3y+30=0
D. 7x-y+35=0
Câu 5. Cho đường tròn (C): x2+ y2−2 x +6 y +6=0 và đường thẳng d: 4x-3y+5=0.
đường thẳng d' // d, d' chắn trên (C) một dây cung có độ dài bằng 2 √3. Phương
trình d' là:
A. 4x-3y+8=0
B. 4x-3y-8=0; 4x-3y-18=0
C. 4x-3y-8=0
D. 4x+3y+8=0
Câu 6. Đường tròn (x−a)2 +( y−b)2=R2 cắt đường thẳng d: x+y-a-b=0 theo một
dây cung có độ dài là:
A. 2R
B. R√2
C. R √2
D. R
2
Câu 7. Tọa độ giao điểm của đường thẳng ∆ : x−2 y +3=0 và
(C): x2+ y2−2 x −4 y =0 là
A. (3;3) ; (-1;-1)
B. (-1;1); (3;-3)
C. (3;3); (1;1)
D. (2;1); (2;-1)
Câu 8. Đường tròn (C): x2+ y2−2 x −2 y −23=0 cắt đường thẳng d: x-y+2=0 theo
dây cung có độ dài là:
19/28
A. 5
C. 10
B. 2√ 23
D. 5√2
Câu 9. Tọa độ giao điểm của ∆ : x + y−7=0 và (C): x2+ y2−25=0 là:
A. (3;4); (-4;3)
B. (4;3)
C. (3;4)
D. (3;4); (4;3)
Câu 10. Tìm m để đường thẳng ∆ :2 x− y +m=0 cắt (C): x2+ y2+ 4 x +6 y−7=0 tại
hai điểm phân biệt.
A. 0
D. |m|>3
Câu 11. Đường tròn (C): (x−1)2+ ¿ cắt đường thẳng d: 3x+4y-10=0 theo dây
cung có độ dài là:
A. 4
B. 10
C. 8
D. 3
Câu 12. Đường kính của đường tròn (C) có tâm I(1;2) cắt d: x-y+5=0 theo dây
cung có độ dài bằng 2 là:
A. 2√ 3
B. 4√ 3
C. 3
Câu 13. Tìm m để đường thẳng ∆ : 4 x +3 y−m=0
D. 6
cắt (C): x2+ y2−6 x+ 8 y−24=0
theo dây cung có độ dài bằng 10.
A. ±5√6
B. ±10√6
C. 2
D. không tồn tại m
Câu 14. Từ điểm A(-2;3) vẽ được hai tiếp tuyến AM, AN đến (C):
x2+ y2−4 x −2 y −5=0. Độ dài đoạn MN là:
C. 20
D. 10
A. √ 10
B. √ 20
Câu 15. Biết rằng từ điểm A(1;3) kẻ được hai tiếp tuyến AM, AN đến (C):
x2+ y2+ 8 y−9=0 và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
Tính độ dài đoạn MN?
A. 5
B. 10
C. 5√2
D. 10√2
Câu 16. Cho đường tròn (C): x2+ y2+ 8 x +6 y +9=0. Tìm mệnh đề sai:
A. Từ gốc tọa độ O kẻ được hai tiếp tuyến đến (C)
B. (C) đi qua M(-1;0)
C. (C) tiếp xúc với trục Oy
D. (C) không cắt trục Ox
II.5. Dạng 5: Vị trí tương đối của hai đường tròn. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn.
(C1) có tâm I 1 ,bán kính R1
{
Kiến thức cơ bản: Cho hai đường tròn (C2 ) có tâm I 2
,bán kính R2
* Để xét vị trí tương đối của hai đường tròn có hai cách:
Cách 1: Giải hệ phương trình hai đường tròn, từ số nghiệm suy ra số giao điểm,
suy ra vị trí tương đối. ( Thường dùng cách này khi muốn tìm tọa độ giao điểm
của hai đường tròn)
Cách 2: Gọi d là khoảng cách giữa hai tâm d=I 1 I 2, so sánh d với R1, R2
20/28
I
I
I1
2
I
I2
1
(h.1)
(h.2)
I1
(h.4)
I2
(h.5)
Quan hệ giữa d
Vị trí tương đối
và R1,R2
d > R1+ R2
Ngoài nhau
(không có điểm chung)
Đựng nhau
( không có điểm chung)
Tiếp xúc trong
(có một điểm chung)
Tiếp xúc ngoài
( có một điểm chung)
Cắt nhau (có hai điểm chung)
d <¿ R1- R2|
d=¿ R1−R2∨¿
d=R1+ R2
|R1 −R2|
2
(h.3)
I1
I2
I
1
Hình vẽ
Số TT
h.1
chung
4
h.2
0
h.3
1
h.4
3
h.5
2
* Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn.
+ Gọi phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn có dạng: ax+by+c=0 ,
a2+b2 ≠ 0.
{ d (( I
+ Khi đó :
1
, ∆) =R1
)
d I 2 , ∆ =R2
Kĩ năng: + Biết giải hệ phương trình bậc hai, hai ẩn bằng phương pháp thế.
+ Nắm vững các công thức về vị trí tương đối của hai đường tròn để
không nhầm lẫn.
Lưu ý: Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp tuyến chung của hai đường
tròn đi qua tiếp điểm chung và vuông góc với đường nối hai tâm.
Ví dụ 1: Cho hai đường tròn (C1): x2+ y2−6 x+ 5=0 , (C2): x2+ y2−12 x−6 y+
44=0 Chứng minh rằng hai đường tròn ngoài nhau.
Bài giải: +
{((C
1
))có tâm I
1
(
)
=
(3 ;0 ),bán kính R1 2
C2 có tâm I 2 6;3 ,bán kính R2=1
+ Ta có I1 I2=3 √2, nên I1 I2> R1+R2. Vậy hai đường tròn ngoài nhau.
21/28
Ví dụ 2: Cho đường tròn(C): x2+ y2−4 x +2 y +1=0. Viết phương trình đường tròn
(C') có tâm E(6;2) và tiếp xúc ngoài với (C).
Bài giải: + (C) có tâm I(2;-1) và R = 2
+ (C') có tâm E(6;2) và tiếp xúc ngoài với (C) khi và chỉ khi IE=R+R '
+ Tính được R' = 3, vậy phương trình (C'): ¿.
x2+ y2−8 x−6 y=0
Ví dụ 3: Cho đường tròn (C1):
, (C2): x2+ y2−32 x −24 y +300=0.
Chứng minh rằng hai đường tròn tiếp xúc nhau. Tìm tọa độ tiếp điểm và viết
phương trình tiếp tuyến chung tại hai điểm đó.
Bài giải: + Tọa độ giao điểm của hai đường tròn là nghiệm :
{x
x2 + y2−8 x−6 y =0
2
+ y2−32 x−24 y+300=0
+ Tìm được giao điểm A(8;6) duy nhất nên hai đường tròn tiếp xúc
nhau tại A.
+ Tiếp tuyến chung tại A:
điqua điểm A (8 ;6)
{có vtpt ⃗n=⃗IA=(4 ; 3)
nên có phương trình
4x+3y-50=0.
Ví dụ 4: Cho đường tròn (C1): x2+ y2−4 y+3=0 ,
(C2): x2+ y2−4 x −6 y +5=0.
Gọi I, K lần lượt là hai tâm. Viết phương trình đường thẳng d // IK và d tiếp xúc
với (C1).
Bài giải: +
(−
)
=
{ (C(C ))cócó tâm
I
2; 0 , bán kính R 1
tâm K (2; 3), bán kính R =2 √2
1
1
2
2
+ ⃗⃗IK =(4 ; 3), d // IK nên phương trình d có dạng: 4x+3y+c=0
+ Do d tiếp xúc với (C1) nên d(I,d)=1, suy ra c = -37 hoặc c = -47.
+ Kết luận: 4x+3y-37=0 ; 4x+3y-47=0.
Ví dụ 5: Cho (C1): x2+ y2−7 x− y=0 , (C2): x2+ y2−x−7 y−18=0.
Chứng minh rằng hai đường tròn cắt nhau tại E, F. Tính độ dài đoạn EF và viết phương trình đường thẳng EF?
Bài giải: + (C1) có tâm I 1
{
7 1
5 √2
;
2 2 , bán kính R1= 2
1 7
√ 122
;
(2
, bán kính R2= 2
(
)
)
2
+ Ta có I1 I2=3 √2, nên |R1 −R2|< I1 I2
2
nhau.
+ Tọa độ giao điểm là nghiệm hệ
{x
2
+ y2−7 x− y =0 x2 +
y2−x −7 y−18=0
+ Tìm được E(1;-2) , F(6;3) nên EF = 5 √2.
+ Phương trình đường thẳng EF là: x-y-3=0
22/28
