Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến để khảo sát hàm số

Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để giải PT
Sử dụng tính đồng
Sử dụng tính đồng
biến, nghịch biến
biến, nghịch biến
của hàm số để giải
của hàm số để giải
phương trình
phương trình
Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để giải PT

Nội dung
Nội dung

Một số bài tập ví dụ giải phương trình
Một số bài tập ví dụ giải phương trình

Bài tập tự luyện
Bài tập tự luyện
Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để giải PT

Bài 1
Bài 1
. Giải phương trình:
. Giải phương trình:

Giải
Giải

Điều kiện x
Điều kiện x

≥
≥
2/3
2/3

Vì x
Vì x
≥
≥
2/3
2/3
⇒
⇒
x + 3 > 0 , ta được
x + 3 > 0 , ta được
phương trình
phương trình

Khi đó
Khi đó
, suy ra hàm số f(x) đồng
, suy ra hàm số f(x) đồng
biến .
biến .

Mà f(2) = 5, do đó phương trình có
Mà f(2) = 5, do đó phương trình có
nghiệm duy nhất x = 2.
nghiệm duy nhất x = 2.
x 3

4x 1 3x 2
5
+
+ − − =
x 3 x 3
Pt
5
4x 1 3x 2
+ +
⇔ =
+ + −
4x 1 3x 2 5+ + − =
t f(x) 4x 1 3x 2= + + −§Æ
2 3
f '(x) 0
4x 1 2 3x 2
= + >
+ −
Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để giải PT

Bài 2.
Bài 2.
Giải phương trình:
Giải phương trình:

Giải
Giải

Phương trình tương đương với:
Phương trình tương đương với:


Đặt f(t) = 2
Đặt f(t) = 2
t
t
+ t, khi đó ta có f’(t) =
+ t, khi đó ta có f’(t) =
2
2
t
t
.ln2 + 1 > 0 nên hàm số f(t) đồng
.ln2 + 1 > 0 nên hàm số f(t) đồng
biến trên (- ∞; +∞ ). Do đó: (*)
biến trên (- ∞; +∞ ). Do đó: (*)
⇔
⇔
x
x
2
2


– x = x – 1
– x = x – 1
⇔
⇔
x = 1
x = 1


Vậy phương trình có nghiệm x = 1.
Vậy phương trình có nghiệm x = 1.
− −
− = −
2
x 1 x x 2
2 2 (x 1)
− −
− −
− = − − −
⇔ + − = + −
2
2
x 1 x x 2
x 1 x x 2
2 2 (x x) (x 1)
2 (x 1) 2 (x x) (*)
Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để giải PT

Bài 3.
Bài 3.
Giải phương trình
Giải phương trình

Giải
Giải

Phương trình xác định với mọi x
Phương trình xác định với mọi x
∈

∈
R.
R.

PT
PT
⇔
⇔
log
log
3
3
(x
(x
2
2
+ x + 3) – log
+ x + 3) – log
3
3
(2x
(2x
2
2
+
+
4x + 5) = 2x
4x + 5) = 2x
2
2

+ 4x + 5 – (x
+ 4x + 5 – (x
2
2
+ x +
+ x +
3)
3)



⇔
⇔


log
log
3
3
(x
(x
2
2
+ x + 3) + (x
+ x + 3) + (x
2
2
+ x +
+ x +
3) = log

3) = log
3
3
(2x
(2x
2
2
+ 4x + 5) + 2x
+ 4x + 5) + 2x
2
2
+ 4x +
+ 4x +
5 (1).
5 (1).

Xét hàm số f(t) = log
Xét hàm số f(t) = log
3
3
t + t, khi đó
t + t, khi đó
với mọi t > 0.
với mọi t > 0.

Suy ra hàm số f(t) luôn đồng biến
Suy ra hàm số f(t) luôn đồng biến
khi t > 0.
khi t > 0.


Từ (1) ta có f(x
Từ (1) ta có f(x
2
2
+ x + 3) = f(2x
+ x + 3) = f(2x
2
2
+
+
4x + 5) nên
4x + 5) nên

Vậy phương trình có hai nghiệm x =
Vậy phương trình có hai nghiệm x =
-1; x = -2.
-1; x = -2.


+ +
= + +
+ +
3
2
2
2
log
x x 3
x 3x 2
2x 4x 5

1
f '(t) 1 0
tln3
= + >
2 2 2
x = -1
x + x + 3 = 2x + 4x + 5 x + 3x + 2 = 0
x = -2



⇔ ⇔
Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để giải PT

Bài 4.
Bài 4.
Chứng minh rằng phương trình
Chứng minh rằng phương trình
sau đây không có nghiệm âm:
sau đây không có nghiệm âm:

Giải
Giải

Đặt
Đặt
xác định trên R.
xác định trên R.



Ta nhận thấy f’’(x) < 0 với mọi x < 0.
Ta nhận thấy f’’(x) < 0 với mọi x < 0.
Do đó f’(x) là hàm nghịch biến trong
Do đó f’(x) là hàm nghịch biến trong

khoảng (- ∞; 0). Mà f’(0) = 0 , nên
khoảng (- ∞; 0). Mà f’(0) = 0 , nên
f’(x) > 0 với mọi x < 0.
f’(x) > 0 với mọi x < 0.

Vì vậy hàm f(x) đồng biến trong
Vì vậy hàm f(x) đồng biến trong
khoảng(- ∞; 0) mà f(0) = 0 nên f(x) <
khoảng(- ∞; 0) mà f(0) = 0 nên f(x) <
0 với
0 với

mọi x < 0. Vậy phương trình đã cho
mọi x < 0. Vậy phương trình đã cho
không có nghiệm âm.
không có nghiệm âm.
3 2
x
x 6x x 1 1 0
2
− − − + + =
3 2
x

f(x) x 6x x 1 1
2
= − − − + +
−
= − −
− +
−
− + −
− +
= − = −
− +
− + − +
2
2
2
2
2
2
2 2
1 12x 1
Ta có f '(x) 3x
2
2 6x x 1
(12x 1)
12 6x x 1
23
2 6x x 1
f ''(x) 6x 6x
2(6x x 1)
4(6x x 1) 6x x 1

Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để giải PT

Bài 5.
Bài 5.
Tìm m để phương trình
Tìm m để phương trình


có nghiệm
có nghiệm

Giải
Giải

Điều kiện: -1 ≤ x ≤ 1.
Điều kiện: -1 ≤ x ≤ 1.




Vậy để phương trình có nghiệm thì:
Vậy để phương trình có nghiệm thì:
23/27≤ m ≤1.
23/27≤ m ≤1.
2 2 3
x (1 x ) m+ − =
2 2 3 2
t f(x) x (1 x ) f '(x) 2x 3x 1 x
x 0
23

f '(x) 0 . Ta c 1
5
27
x
3

 

 ÷

 ÷
 


= + − ⇒ = − −
=
= ⇔ ± ± =
= ±
§Æ
5
ã f(0) = 1, f( ) =1, f
3
Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để giải PT

Bài 6.
Bài 6.
Tìm m để phương trình sau có
Tìm m để phương trình sau có
3 nghiệm phân biệt
3 nghiệm phân biệt


Giải
Giải

Phương trình được viết thành:
Phương trình được viết thành:

Đặt
Đặt
, khi đó
, khi đó

Ta có f(0) = 0, f(-1) = 1/2.
Ta có f(0) = 0, f(-1) = 1/2.

Ta lập bảng biến thiên
Ta lập bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, suy ra để phương
Từ bảng biến thiên, suy ra để phương
trình có 3 nghiệm phân biệt, ta có
trình có 3 nghiệm phân biệt, ta có

0 < 2m < 1/2
0 < 2m < 1/2
⇔
⇔
0 < m < 1/4
0 < m < 1/4
3

2
3
x x 2m 0
2
+ − =
3
2
3
x x 2m
2
+ =
3
2
3
f(x) x x
2
= +
3
x 0
1
f '(x) 1 f '(x) 0
x 1
x



>
= + ⇒ > ⇔
< −
x

x
-
-
∞
∞
-1
-1
0
0
+
+
∞
∞
f’
f’
(
(
x
x
)
)


+ 0
+ 0
- +
- +
f(
f(
x

x
)
)


1/2
1/2




0
0