SKKN một số tình huống ứng dụng tam thức bậc hai trong ôn thi trung học phổ thông quôc gia

Một số tình huống ứng dụng tam thức bậc hai trong ơn thi THPT quốc gia

MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU................................................................................................................. 2
1.1.Lí do chọn đề tài................................................................................................ 2
1.2.Mục đích nghiên cứu......................................................................................... 2
1.3. Đối tượng nghiên cứu........................................................................................ 2
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM........................................................... 2
2.1.CƠ SỞ LÝ LUẬN............................................................................................. 2
2.2. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU....................................................... 3
2.2.1. Thực trạng vấn đề........................................................................................ 3
2.2.2. Kết quả thực trạng....................................................................................... 3
2.3. Các giải pháp để tổ chức thực hiện.................................................................... 4
2.3.1. Kiến thức lý thuyết...................................................................................... 4
2.3.2. Một số tình huống bài tập trắc nghiệm thường gặp:................................... 5
2.4. Kết quả thực nghiệm:...................................................................................... 10
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ..................................................................................... 10
3.1. Kết luận:.......................................................................................................... 10
3.2. Ý kiến đề xuất.................................................................................................. 10
4. TÀI LIỆU THAM KHẢO..................................................................................... 12

GV: Nguyễn Anh Đức

Page 1


Một số tình huống ứng dụng tam thức bậc hai trong ơn thi THPT quốc gia
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài.
Để đáp ứng với lượng kiến thức cho các em tham gia với cách thi trắc nghiệm
như hiện nay; đòi hỏi các em phải học đều, đủ các phần kiến thức cơ bản tồn diện

hơn; nhằm mục đích cho học sinh được giáo dục toàn diện.
Do ứng dụng của tam thức bậc hai có nhiều ứng dụng trong các đề thi trung học
phổ thông quốc gia các năm gần đây.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Nhằm mục đích để các em hiểu để nhận biết vận dụng tốt kiến thức tam thức
bậc hai trong các tình huống hỏi trắc nghiệm toán; phụ vụ tốt trong giải quyết
các bài toán thi trung học phổ thông quốc gia.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Đề tài “ Một số tình huống ứng dụng tam thức bậc hai trong ôn thi THPT
quốc gia” nhằm đem lại cho học sinh thấy được một số tình huống ra đề trong thi
trung học phổ thông quốc gia.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Nghiên cứu định nghĩa, tính chất của tam thức bậc hai trong các tài liệu
SGK.
Nghiên cứu khả năng tiếp cận kiến thức ứng dụng tam thức bậc hai: đặc
biệt là kiến thức về tính chất hàm số, giải phương trình.
Thơng qua q trình dạy học sinh nhiều năm và học sinh khối 12 năm học
2017-2018 ( trong quá trình tham gia thi THPT quốc gia).
1.5. Những điểm mới của Sáng kiến kinh nghiệm.
Ứng dụng định lý Viets mở rộng trong so sánh nghiệm của phương trình bậc
hai.
Các tình huống thường gặp ứng dụng tam thức bậc hai trong thi trắc nghiệm
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1. CƠ SỞ LÝ LUẬN
1. Thu thập và xử lý các tài liệu có liên quan đến tam thức bậc hai và các bài toán
ứng dụng về tam thức bậc hai.
2. Đánh giá chất lượng học sinh qua các bài kiểm tra đại số có liên quan đến tam
thức bậc hai với học sinh ôn thi THPT quốc gia.
3. Nắm được các đối tượng cấu thành tam thức bậc hai, quan hệ cơ bản giữa các
nghiệm của tam thức bậc hai.

4. Biết cách xét dấu tam thức bâc hai.
GV: Nguyễn Anh Đức

Page 2


Một số tình huống ứng dụng tam thức bậc hai trong ôn thi THPT quốc gia
5. Biết cách làm các bài toán liên quan đến tam thức bậc hai.
6. Biết cách nhận biết những sai lầm dễ mắc phải trong mỗi bài toán.
7. Nắm được quy tắc xề dấu của tam thức bậc hai và vận dụng tốt trong quá trình
làm tốn.
8. Biết cách chuyển đổi bài tốn từ ngơn nhữ sang ký hiệu.
2.2. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU.
2.2.1. Thực trạng vấn đề.
Sở GD & ĐT Thanh hóa hàng năm có mở nhiều lớp tập huấn chun
mơn, bồi dưỡng và hướng dẫn phương pháp dạy học. Nhờ đó mà giáo viên chúng
tơi có điều kiện vận dụng vào thực tiễn giảng dạy. Sự chỉ đạo sát sao của Sở giáo
dục, sự đôn đốc và tạo điều kiện của BGH nhà trường, tổ bộ mơn cùng với sự nhiệt
tình của các thầy cô giáo là động lực để đổi mới phương pháp daỵ học có hiệu
quả.Phong trào thao giảng dự giờ rút kinh nghiệm diễn ra sôi nổi, đặc biệt là phong
trào thi giáo viên giỏi cấp trường, thi giáo viên giỏi cấp tỉnh theo định kỳ. Qua đó
tơi cũng như các đồng nghiệp củng rút ra được nhiều điều bổ ích về chun mơn.
Đời sống giáo viên ngày một nâng cao, được Đảng và nhà nước quan tâm đãi ngộ,
chế độ lương đảm bảo cho cuộc sống.
Bên cạnh những thuận lợi nói trên, thì cơng tác giảng dạy và học tập
mơn tốn của học sinh trong trường cịn vấp phải những khó khăn đáng kể. Đầu
vào kiến thức của các em học sinh chưa đồng đều, tư tưởng xác định mục tiêu học
tập của nhiều học sinh và phụ huynh cịn nhiều lệch lạc. Tình hình đạo đức sinh học
yếu.
2.2.2. Kết quả thực trạng

Với thực trạng trên thì một tiết học tốn của học sinh trơi qua rất
nhanh và nhiều vấn đề kiến thức cần giải quyết. Các em thường có tâm lý “sợ” phải
học những kiến thức trừu tượng. Qua hình thức trắc nghiệm mức độ thích học đối
với mơn tốn thì có tới 30% học sinh khơng thích ( thậm chí khơng muốn ) học.
Khi chưa thực hiện theo các giải pháp mới, học sinh chưa có kỹ năng tốt để giải các
bài toán về tam thức bậc hai, dẫn tới các giờ học uể oải, chất lượng không cao đối
với đa số các lớp tốp sau. Vì thế kết quả kiểm tra đánh giá chưa được như mong
muốn, tỉ lệ học sinh có học lực yếu còn cao, cụ thể là : Qua khảo sát chất lượng lớp
12C9 –Trường THPT Hoàng Lệ Kha (Năm học 2017-2018) như sau:
Sự hứng thú học với mơn tốn:
Lớp
12C9

Sĩ số Thích học
SL
%
35
15
43.0

Bình thường
SL
%
10
28.5

Kết quả bài kiểm tra phần ứng dụng tam thức bậc hai:
GV: Nguyễn Anh Đức

Page 3

Khơng thích
SL
%
10
28.5


Một số tình huống ứng dụng tam thức bậc hai trong ơn thi THPT quốc gia
Lớp
12C9

Sĩ
số
35

Kém
SL
%
3
8.6

Yếu
SL
5

%
14.3

Trung bình

SL
%
16
45.7

khá
SL
11

%
31.4

Qua thực tế và kết quả khảo sát tôi nhận thấy rằng:
- Về sự hứng thú học mơn tốn nói chung kết quả chủ yếu là cịn thấp và
khơng thích chiếm tỉ lệ cao, tỷ lệ học sinh thích học cịn hạn chế.
- Về kết quả bài kiểm tra về phần tam thức bậc hai thì cịn ở mức độ yếu
kém cịn cao, số lượng học sinh đạt khá giỏi ít.
Qua đó, để giải các bài tốn mức độ thơng hiểu và vận dụng trong đề
thi trắc nghiệm đòi hỏi học sinh phải hiểu được kiến thức và ý thức luyện tập đóng
vài trị quan trọng.
2.3. Các giải pháp để tổ chức thực hiện.
2.3.1. Kiến thức lý thuyết
2.3.1.1. Định nghĩa về tam thức bậc hai
Tam thức bậc hai (đối với x) là biểu thức có dạng f ( x )=a x2 +bx +c, trong đó a, b,
c là các số thực cho trước, a ≠ 0.
[1]
2.3.1.2. : Định lý về dấu tam thức bậc hai
Cho tam thức bậc hai f ( x )=a x2 +bx +c (a ≠ 0) , ∆=b2−4 ac .
Nếu ∆ <0 thì f(x) ln cùng dấu với hệ số a, với mọi x ∈ R.
Nếu ∆=0 thì f(x) ln cùng dấu với hệ số a, trừ khi x= −b .

2a

Nếu ∆ >0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a khi x < x1 hoặc x > x2, trái dấu với
hệ số a khi x1 < x < x2 trong đó x1, x2 (x1 < x2) là hai nghiệm của f(x). [1]
2.3.1.3. Định lý Viète
Nếu phương trình bậc hai a x2 +bx+c=0 (a ≠ 0) (1)
có hai nghiệm x1, x2 thì
S= x1 +x2= −b , P=x1 . x2 = c .
a
a
Hệ quả:
+ Phương trình (1) có hai nghiệm trài dấu x1< 0⇔P<0. +Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu
x1 ≤ x2< 0( hoặc 0
+Phương trình (1) có hai nghiệm cùng âm

{Δ≥0

x1 ≤ x2< 0 ⇔

S< 0

P>0.

+Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dương

GV: Nguyễn Anh Đức

Page 4

{PΔ≥>00.

[1]
[2]


Một số tình huống ứng dụng tam thức bậc hai trong ôn thi THPT quốc gia
Δ≥ 0

0
{

>
PS> 0.0
Nhận xét: Đặt f ( x )=a x2 +bx +c (a ≠ 0).
1

2

[2]

1) f(x) = 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn
x1< α
Đặt t =x−α , g (t )=f (t + α ) .
Dẫn đến g(t) = 0 có hai nghiệm trái dấu ⇔Pg <0.
2) f(x) = 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn
⇔ g(t) = 0 có hai nghiệm cùng âm

{

⇔

∆g ≥ . 0

Sg <0
Pg >0❑

3) f(x) = 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn
α
{

⇔ g(t) = 0 có hai nghiệm cùng dương

∆
⇔g ≥ 0
Sg >0

Pg >0❑

Ngoài ứng dụng phương pháp hàm số để giải các bài tốn ứng dụng tính đơn
điệu của hàm số, ta có thể ứng dụng tính chất tam thức bậc hai như trên để giải các
bài tốn này.
2.3.2. Một số tình huống bài tập trắc nghiệm thường gặp:
a) Mức độ nhận biết thơng hiểu:
Thí dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số y=(x2−1)−3
A. (−∞;−1).

B. (1 ;+∞).
C.(0 ;+∞).
D. R ¿{± 1¿}.
2
Gợi ý : Đkx −1 ≠0x ≠ ± 1. Chọn D.
Thí dụ 2: Tìm khoảng đồng biến của hàm số y=−x3 +3 x2−1
A. (0; 2).

Gợi
ý

:

B.

'

2

y =−3 x + 6 x=−3 x (x−2)

C.

R.

y' =0

[

x =

x =

D.

(−∞;−1).

(2;+∞).

0

2

a = -3 < 0 nên y’ > 0 trên khoảng (0; 2) . Đáp án: A
Thí dụ 3: Tìm tập xác định của hàm số y=ln (−x2+3 x−2)
A(- ;2).

B.

R.
∞
2
Gợi ý : ĐK: −x +3 x −2>01GV: Nguyễn Anh Đức

C.

(1 ;2).

Đáp án: C
Page 5

D.

(2;+∞).


Một số tình huống ứng dụng tam thức bậc hai trong ơn thi THPT quốc gia
2

( ) ≥(94 )

2
Thí dụ 4: Biết bất phương trình 3
[a; b]. Tính b – a.
A. b – a = 2 √ 5 .
B. b – a = 3.
2
Gợi ý :BPT:x −x ≤−2 x +2−2≤ x≤ 1 .

x −x

2

dương?
A. 2.
Gợi ý :BPT:

D. b – a = 2.

2 x−10

B. 4.
x2−3 x+4 ≤−2 x +10

có tập nghiệm là đoạn

C. b – a = √ 5.
Đáp án: B

( 1)

Thí dụ 5: Bất phương trình 2x −3 x+4 ≤ 2

x−1

có bao nhiêu nghiệm nguyên

C.6.

D. 3.

−2≤ x≤ 3 . Đáp án: D

Thí dụ 6: Cho hàm số y=x3 +3 x+ 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 0)và nghịch biến trên khoảng (2 ;+∞ ) .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;+∞) .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;+∞) .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 0)và đồng biến trên khoảng (2 ;+∞ ) .
Gợi ý : y' =3 x2+ 3>0 ∀ x ∈R . Đáp án: C
b) Mức độ : Vận dụng.

[2]

Thí dụ 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
y=¿ nghịch biến trên R?
A. 1.

B. 2.

C.0.

D. 3.

Lời giải. TXĐ : D = R. Ta có:
- Với m = 1 ta có: y = - x + 4 là hàm số nghịch biến trên R.
- Với m = - 1 ta có : y¿−2 x2−x +4là hàm số bậc hai, không nghịch biến
trên R .
-

Với m

ta có y

=3 ¿

'
≠ ±1
- Hàm số y=¿ nghịch biến trên R ⇔ y'=3¿.

⇔¿

Vậy có hai giá trị nguyên của tham số m. Chọn B.
Thí dụ 2: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
4 x−(m+ 3)2x+1 +m+9=0

[2]

Có hai nghiệm dương phân biệt?
Lời giải: Ta có 4 x−(m+ 3)2x+1 +m+9=0 ⇔4x−2 (m+3 )2x+m+9=0(1)
Đặt t = 2x . Phương trình trở thành
t 2−2 (m+3 )t +m+9=0(2)
GV: Nguyễn Anh Đức

Page 6


Một số tình huống ứng dụng tam thức bậc hai trong ơn thi THPT quốc gia
Để (1) có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi (2) có hai nghiệm phân
biệt t1, t2 lớn hơn 1
⇔

⇔¿
>0
t1−1+t 2−1>0
'

{
{

(t1−1)(t

2−1)>0

m∈(−∞;−5 )∪(0 ;+∞ )
m +5 m> 0
⇔
⇔
2(m+3)>2
m> 2
m+9−2(m+3)+1>0
m<4
2

{

⇔ 0< m < 4. Vì m ∈Z nên m ∈{1 ; 2 ; 3}. Chọn A.

Thí dụ 3. Tìm m để hàm số y=

x2+ mx−1
x−1

(1) đồng biến trên khoảng (1 ;+∞ ).
Lời giải: TXĐ: D=R ¿ {1¿}. Ta có y ' = x2−2 x−m+1 .
( x−1) 2

Đặt f ( x )=x2−2 x−m+1. Hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1 ;+∞ )
⇔ y' ≥ 0 , ∀ x ∈(1;+ ∞ )⇔f ( x )≥ 0 , ∀ x ∈(1 ;+∞).
⇔

[

∆' f =m≥ 0

f ( x )=0 có hainghiệm thõa mãn x1 ≤ x2 <1(¿)

Đặt t = x – 1, g(t) = f( t+1 ). Áp dụng nhận xét 2, ta được (*) tương đương
với g(t) = t2 – m có hai nghiệm khơng dương. Tức là:

{∆

'
g

=m≥ 0

Sg=0≤ 0
Pg=−m≥ 0

⇔m=0.

Vậy, với m∈¿ thì hàm số (1) đồng biến trên (1 ;+∞ ).
Thí dụ 4. Tìm m để hàm số
1
3
y= 3 (m−2)2 x3− 2 (m−6) x2 −(m+1) x (2)
Nghịch biến trên khoảng (-1; 0).
Lời giải. TXĐ: D = R. Ta có
y '=(m−2)2 x2−3 (m−6) x −(m+1 )

Hàm số (2) nghịch biến trên ( -1; 0) ⇔ y' ≤ 0 ∀ x ∈( -1; 0).
GV: Nguyễn Anh Đức

Page 7

[2]


Một số tình huống ứng dụng tam thức bậc hai trong ôn thi THPT quốc gia
1
+ Khi m = 2, ta có y’ = 12x−1 ≤ 0⇔ x ≤ 12 tức là y' ≤ 0 ∀ x ∈( -1; 0).

+ Khi m ≠ 2 ⇒(m−2)2>0 nên ta có y' ≤ 0 ∀ x ∈( -1; 0)⇔ y'=0 có hai nghiệm x1, x2 thõa
mãn

{x

1

≤−1 ≤ x (a)
2

x1 ≤0 ≤ x2(b)

- Xét trường hợp (a): Đặt t = x +1; g(t) = f(t – 1) theo nhận xét 1 ta có
y’ = f(x) = 0 có hai nghiệm x1, x2 thõa mãnx1 ≤−1≤ x2
⇔g (t )=(m−2)2 t 2−(2 m2−5 m−10) t +m2 −2m−15=0
m2−2m−15 m∈[−3 ; 5 ]

Có hai nghiệm t1, t2 thõa mãn t 1 ≤ 0 ≤t 2 ⇔

{

¿¿

- Xét trường hợp (b), tương tự ta có
−(m¿¿+1)

m≠ 2

{m≥m≠−21

Kết hợp các trường hợp, ta được m ∈[−1 ; 5] thì hàm số nghịch biến trên (-1;
0). Thí dụ 5. Tìm m để hàm số
y= −1 m x3+ (m−1) x2 +3 (2−m) x− 1 (3)
3
3
Nghịch biến trên ¿.

[2]

Lời giải. TXĐ : D = R. Ta có:
y' =−m x2+2 (m−1) x+ 3 (2−m).

Hàm số (3) nghịch biến trên ¿ ⇔ y' ≤ 0 ∀ x ∈¿.
+Khi m = 0, ta có y’ = -2x + 6 ≤ 0 ⇔x ≥3tức là ∀ x ∈¿ không thõa mãn y' ≤ 0(loại).
+ Khi m , ta có y ≤ 0 ∀ x ∈¿
'

≠0

m>0

[

{∆ =−2 m +4 m+1 ≤0 (a)
'

{

2

m>0

(b)
'

y =0 có hai nghiệmthõa mãn−2 ≤ x1 ≤ x2
-

Xét trường hợp (a) ta được m ≥

2+√6

.

2

- Xét trường hợp (b). Đặt t = x + 2, g(t) = f(t-2), theo nhận xét 3 ta có:

{

m>0
g (t )=−m2+2 (3 m−1)+10−11 m=0 cóhai nghiệm 0 ≤t

GV: Nguyễn Anh Đức

Page 8

1

≤t

2


Một số tình huống ứng dụng tam thức bậc hai trong ôn thi THPT quốc gia
m>0
∆ g=−2 m2 +4 m+1>0 10
2+√6
⇔
2(3 m−1) >0 ⇔
≤ m≤
Sg=
11
2
m
11 m−10 ≥ 0
m
Pg=

'

{

[

10

)

Kết hợp các trường hợp, ta có m∈ 11 ;+∞ thì hàm số nghịch biến trên ¿.
c) Bài tập trắc nghiệm.
1) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
[2]
3
2
y=x −3 m x −9 mx
nghịch biến trên khoảng ( 0; 1).
A. m > 1
B. m←1
C.
1 hoặc m ≤-1
1
3
m≥ 3
D.-1 < m < 3
2) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
π
y=sin3 x−3 cos2 x−msinx−1 đồng biến trên đoạn [0; ¿ .
A.

m > -8

B. m

2

C. m

≥−1

≤−8

3) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
đồng biến trên đoạn [ 1; 2].
C. m
y=2x −x + mx−1
≤0
≤−3
4)
3
2
Cho hàm số y=f ( x )=x −3 m x +3 (2 m−1) x +1
Với giá trị nào của m thì f ' ( x )−6 x> 0 với mọi x ≥ 2?
1
1
B.
C. m ¿ 1
D.m ≤0
m← 2

A. m > 2
5) Tìm m để hàm số
y= −1 x3 +(m−1) x2+ (m+3 ) x−4 đồng biếntrên khoảng ( 0; 3). [3]
3

[3]

D. m <-1

[2]

2

A.

m > -3

B. m

D. m > 0

[2]

3

2
2
6) Tìm m để hàm số . Tìm m để hàm số y= x −2 mx+3 m
x−2 m
đồng biến trên khoảng (1 ;+∞ ).

[3]

7) Tìm m để hàm số
y= −1 x3 +(m−1) x2+ (m+3 ) x−4
3

đồng biến trên mỗi khoảng ¿) và (2 ;+∞ ).

[2]

2.4. Kết quả thực nghiệm:
Qua quá trình rèn luyện cho học sinh khắc sâu và nhuần nhuyễn các
dạng toán mở rộng ứng dụng tam thức bậc hai, tôi thấy các tiết học thay đổi một
cách rõ rệt.
- Giờ học sinh động lôi cuốn, kích thích tính khám phá học tập của
học sinh.

GV: Nguyễn Anh Đức

Page 9


Một số tình huống ứng dụng tam thức bậc hai trong ôn thi THPT quốc gia
- Chất lương được nâng lên rõ rệt. Chất lượng bài kiểm tra về tính đơn
điệu của hàm số . Qua khảo sát tại lớp 12C9 năm học 2017- 2018, đã
được kết quả sau:
Lớp
12C9

Sĩ
số
35

Kém
SL
0

Yếu
%
0

SL
3

%
8.6

Trung bình
SL
%
16
45.7

khá
SL
16

%
45.7

3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.
3.1. Kết luận:
Xã hội ngày càng phát triển thì giáo viên càng phải đóng vai trị quan trọng. Việc
đổi mới phương pháp dạy học, nâng cao chất lượng luôn là việc làm thường xuyên
liên tục của người giáo viên nói chung và giáo viên tốn nói riêng. Sử dụng nhuần
nhuyễn và sáng tạo phương pháp dạy học giúp học sinh tiếp thu kiến thức tốt.
Sự tiếp thu khơng chỉ dừng lại ở việc ghi nhớ máy móc các kiến thức mà còn
phải được nâng cao khả năng tư duy và suy nghĩ của học sinh. T\ạo cho các em có
thái độ, động cơ học tập đúng đắn, u thích bộ mơn, có vốn kiến, kĩ năng thiết yếu
trong q trình học tốn; để đáp ứng với cách thi trắc nghiệm như hiện nay và phát
triển toàn diện.
3.2. Ý kiến đề xuất
- Nhà trường nên duy trì và làm tốt hơn nữa các giờ dạy mẫu theo cách thiết kế giáo
án mới và theo các chuyên đề.
Trên đây là một ứng dụng của tam thức bậc hai nhằm phát triển thêm phương
pháp giải quyết các bài toán trong các đề thi THPT quốc gia. Do thời gian lẫn kinh
nghiệm giảng dạy có hạn nên chắc khơng tránh khỏi những thiếu sót, rất mong
được sự góp ý, xây dựng của quý thầy cô giáo cùng các bạn đồng nghiệp để tơi
từng bước hồn thiện phương pháp giảng dạy của mình.
Tơi xin chân thành cảm ơn!
Xác nhận của Ban giám hiệu

Hà Trung, ngày 15 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN
của mình viết, khơng sao chép nội dung
của người khác.
Người thực hiện

Nguyễn Anh Đức

GV: Nguyễn Anh Đức

Page 10


Một số tình huống ứng dụng tam thức bậc hai trong ôn thi THPT quốc gia

4. TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] . Sách giáo khoa đại số cơ bản và nâng cao lớp 10.
[2]. Báo toán học tuổi trẻ.
[3]. Trang web https//toanmath.com.

GV: Nguyễn Anh Đức

Page 11