SKKN phát huy tính chủ động, sáng tạo của học sinh thông qua bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Bài toán tính giới hạn của một dãy số là một bài toán khó đối với học sinh
trung học phổ thông nói chung và học sinh khối 11 nói riêng. Bài toán này thường
xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, đề thi Olympic 30 tháng 4, đề thi
học sinh giỏi quốc gia. Liên quan đến dạng toán này đã có nhiều cuốn sách giáo
khoa, sách tham khảo đề cập đến, tuy nhiên những cuốn sách đề cập kỹ về cơ sở lý
thuyết để dẫn đến những phương pháp giải cụ thể phù hợp với kiến thức phổ thông
là chưa nhiều. Đôi khi chỉ đưa ra một công thức, một quy trình giải một cách áp đặt
và chưa logic. Do không có đủ cơ sở lý thuyết nên khi áp dụng các kết quả đó học
sinh thường thắc mắc “tại sao lại có được như vậy?” hay “Sao lại có kết quả
đó?”...; Cũng chính vì không có đủ cơ sở lý thuyết nên các em học sinh rất khó nhớ
công thức, không tìm được mối liên hệ giữa các bài toán, không tự xây dựng được
một lớp các bài toán cùng dạng và quy trình để giải các bài toán đó; Điều này làm
ảnh hưởng đến khả năng tìm tòi sáng tạo toán của học sinh – một yếu tố rất quan
trọng đối với người học toán.
Để tính giới hạn của một dãy số ta có nhiều phương pháp, trong đó có một
phương pháp rất cơ bản là tìm số hạng tổng quát của một dãy số; để xác định số
hạng tổng quát của một dãy số ta lại có nhiều phương pháp. Vì lí do về thời lượng
nên trong SKKN này tôi chỉ xin đề cập phương pháp xác định SHTQ của một số
dạng dãy số có công thức truy hồi dạng đặc biệt bằng cách sử dụng CSC-CSN.Vì
vậy tôi chọn sáng kiến kinh nghiệmlà:“Phát huy tính chủ động, sáng tạo của học
sinh thông qua bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số có công thức truy hồi
đặc biệt bằng cách sử dụng cấp số cộng-cấp số nhân”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Trong phạm vi đề tài này tôi không có tham vọng đưa ra một hệ thống kiến
thức hoàn toàn mới, một kết quả mới về mặt toán học; ở đây tôi chỉ trình bày những
kết quả mà trong quá trình dạy học về cấp số cộng, cấp số nhân, dãy số và giới hạn
tôi đã tích luỹ, tìm tòi; nhằm hướng tới mục đích giúp các em học sinh chủ động,
sáng tạo trong việc xác định SHTQ của dãy số qua đó tính được giới hạn của dãy
số được cho bởi hệ thức truy hồi. Trên

1


cơ sở từ một số bài toán điển hình tôi sẽ đưa ra phương pháp giải cho bài toán đó
và một nhóm các bài toán tương tự; đồng thời giúp học sinh khái quát hóa để được
các bài toán mới và đưa ra phương pháp giải tương ứng, qua đó giúp rèn luyện,
phát triển tư duy giải toán cho học sinh.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đề tài này sẽ nghiên cứu các dãy số cho bởi công thức truy hồi đặc biệt mà có thể
dùng tính chất của CSC-CSN để tìm được số hạng tổng quát và được áp dụng vào
học sinh lớp 11A1 trường THPT Vĩnh Lộc - Vĩnh Lộc - Thanh Hoá.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
+ Nghiên cứu lý luận dạy học, tìm hiểu các tài liệu liên quan.
+ Thực hành qua các bài dạy.
+ Khảo sát thực tế, thu thập thông tin.
+ Thống kê, xử lý số liệu.
2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.1.1. Cấp số cộng
Định nghĩa: Cấp số cộng là dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn)
thoả mãn:

u
n 1

u

n

d

(

n N*

) [1], d là số thực không đổi gọi là “công sai”.

Tính chất:
Số hạng tổng quát của cấp số cộng:

u

u

n

1

n 1 d

[1].

Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng:
Sn

u1 u 2 ... un

n 2u
2

n 1d
1

n u u
2

1

n

[1].

2.1.2. Cấp số nhân
2


Định nghĩa:
Cấp số nhân là dãy số (hữu hạn hay vô hạn) thoả mãn:
số không đổi gọi là “công bội ”[1].

u
n 1

u .q n N *
n
(
),q là

Tính chất:
Số hạng tổng quát:

u

u .qn 1

n

1

[1].

Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân
Sn

u1 u 2 ... un

u . qn 1

q 1

1

(q 1)[1].
(nếu q = 1 thì hiển nhiên S = n.u1)
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Khi dạy chủ đề dãy số và giới hạn về dãy số ta bắt gặp một số bài toán trong
sách giáo khoa lớp 11 và một số đề thi học sinh giỏi như sau:
u1 10
u

Bài tập 1. Cho dãy

số (un) xác định

như sau:
v u

a) Chứng minh rằng dãy số
b) Tính limun[1].

(vn) xác định bởi

n

u

n1

1
5

un

3, n 1

15
n

4 là một cấp số nhân.

2

1

Bài tập 2. Cho dãy số (

u
n

) xác định bởi

u

2 un , n 1

n 1

u

Tính lim n [2].
Sau khi nghiên cứu Sách giáo khoa và giải bài toán này ta rút ra một số
nhận xét sau đây:
Đây là bài toán tìm giới hạn của một dãy cho bởi hệ thức truy hồi, học sinh
thường lúng túng trong việc tìm ra cách giải cho bài toán.
3


Nếu như đề bài không cho câu a) mà chỉ yêu cầu giải câu b) thì bài toán trở nên
rất khó đối với học sinh. Việc đề bài yêu cầu thêm câu a) là một gợi ý giúp học sinh
có thể xác định hướng giải quyết cho bài toán. Cụ thể có thể xác định SHTQ của

(u n )

dãy số

nhờ vào việc tìm công thức tổng quát của một CSC-CSN qua đó tìm

giới hạn của dãy số.

Với các bài toán được đề cập trong các kỳ thi, đặc biệt là các kỳ thi chọn học sinh
giỏi thì việc gợi mở bằng cách cho câu a) không được đưa ra. Vấn đề là học sinh
biết cách nhận dạng, phân tích bài toán để có hướng giải quyết. Đây là một vấn đề
không dễ đối với học sinh. Vì vậy giáo viên cần định hướng giúp cho học sinh chủ
động và sáng tạo trong việc giải quyết vấn đề này.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
Trong quá trình tìm tòi, nghiên cứu, giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi,
tôi đã tổng hợp và đưa ra một số dạng dãy số có công thức truy hồi đặc biệt và xây
dựng phương pháp xác định SHTQ của dãy. Trong khuôn khổ của SKKN này, tôi
xin đưa ra một số dạng sau đây:
u 1

Ví dụ 1.1. Cho dãy số
SHTQ của dãy số[2].

1

(un) xác định như sau

u u

n1 n

n N*

2

. Hãy xác định

Nhận xét:Để giải quyết bài toán này học sinh có thể giải theo 2 cách như sau:
Cách 1: (Dùng phương pháp quy nạp)
Từ giả thiết ta có: u1 = 1 = 1+0.2 =1+(1-1).2
u2 = 3 = 1+1.2 =1+(21).2

u3

=5

=

1+2.2

=1+(3-1).2
...
Dự đoán un = 1+(n-1).2
Ta chứng minh kết qủa đó bằng phương pháp quy nạp toán học.
Cách 2:(Sử dụng định nghĩa về cấp số cộng)


4

Từ giả thiết ta có: un+1 – un = 2

n N*

Nên theo định nghĩa cấp số cộng thì (un) lập thành cấp số cộng với u1=1, công sai
d=2. Suy ra un=u1+(n-1).d = 1+(n-1).2. Vậy un = -1+2n
u 10
1

1
u

n1

un

5

Ví dụ 1.2. Cho dãy số (un) xác định bởi:

3, n 1
.

v u
a) Chứng minh rằng dãy số (vn) xác định bởi
b) Tính limun[1].
Lời giải:
v
a) Ta có

u

n1

15
n1

1u

3 1
5

u

n

vn

4

15 ) 3
4

n

1v

4

5

v v .qn 1

n3

n

4 . Do đó

và v1

.

5

25

1

1 1

b) Từ câu a) suy ra

n

n

4 5

Nên (vn) là một CSN có công bội

1
5

1 (v

4 5n
q

n

15
4 là một cấp số nhân.

1

4 5

15

.

4 5

4

1 . 1n3

15

.

limun
. Do đó

4.

Nhận xét:
1. Câu hỏi mà học sinh đặt ra là tại sao lại nghĩ ra được phép đổi biến
v u
15
n

n

4 để dãy (vn) là một CSN? Từđó giáo viên gợi ý hướng giải là ta cần tìm
un1 b
1( n
b) u n 1 b
1 b 1 u n 1 u n 3 b 15
u
5
4
số b sao cho
5
5 5
v
v u
15
1 vn , n 1
Do vậy nếu đặt

n1

n

n

2. Ngoài ra có thể đặt

v
n

n

4

nên (vn) là một cấp số nhân.

5 n.u , n 1
n

15 (5 n 1) 35 u

v
Suy ra

5

4 thì

15 .5n 1

v
n

, khi đó ta có

v
n 1

35

n

n

5

4

n

5

n

54

v

3.5n 1 , n 1

n

11n3

15

5

4

.


5


3. Từ bài toán trên giáo viên dẫn dắt, gợi ý cho học sinh đến một vấn đề mới:
"đềxuất bài toán tổng quát hơn cùng với quy trình để giải bài toán đó"
Bình luận: Thực chất các bài toán dạng này đều được giải quyết triệt để nhờ lý
thuyết về phương trình sai phân tuyến tính, tuy nhiên đối với đại đa số học sinh
trung học phổ thông thì các kiến thức đó là quá tầm. Trong phạm vi SKKN này tôi
chỉ đưa ra các hoạt động toán học nhằm phát triển tư duy cho học sinh bằng cách
giúp học sinh xây dựng các bài toán và cách giải các bài toán đó bằng các kiến thức
phổ thông.
Ví dụ 1.3.Cho dãy số
SHTQ của dãy số

u

n

được xác định bởi:

u 2, u 3u
1

n

1,
n 1

n2.

Hãy xác định

1.

Lời giải:
u
Trong bài toán này chúng ta gặp khó khăn vì dãy ( n ) không phải là CSC hay CSN!
u
Ta thấy dãy ( n ) không phải là CSN vì xuất hiện hằng số -1 ở VP. Ta tìm cách làm
mất -1 và đưa dãy số về CSN.
13 1
2 2 nên viết công thức truy hồi của dãy như sau:
Ta có
1 )
u n 1 3u n 1 3 3(u n 1
2

2
2
(1)
v
u 1
v
5
v 3v
( vn )
và
n
n 1
n
2.
Dãy
n
1
2
2
Đặt n
là CSN công bội q=3
v qn 1

v
n

1

5 n1
u v

.3
2
.Vậy n

n

1

5

2

2

.3n 1

1
2

n 1, 2,...,...
1

3 1

Nhận xét: Mấu chốt ở cách làm trên là ta phân tích

2

2

để chuyển công
v
thức truy hồi của dãy về (1), từ đó ta đặt dãy phụ để chuyển về dãy n là 1 CSN .
Tuy nhiên việc làm trên có vẻ không tự nhiên lắm ! Làm thế nào ta biết phân tích
1

3
2

1
1 k 3k k
2 ? Ta có thể làm như sau:Ta phân tích
u

Với cách làm này ta xác định được SHTQ của dãy

(u )
n

:

u

1 .
2
x

1

n

au

n 1

b

; n 2
0

Thật vậy:
6


*Nếu a=1 thì dãy (

u1 a n

1

n
b a

u

1

u

n

*Nếu a 1 ta viết
sau:

b a (u
a 1

n

n1

ab
a 1

u ( n 1)b
un

u .a n

n1
1
b a
a 1

1
1

n

u ( n 1)b

=

1

.

b

a 1

. Khi đó công thức truy hồi của dãy được viết như

b )
u
a 1 , từ đây ta có được : n

Hay
Vậy ta có kết quả sau:
u u
Dạng 1:Dãy số ( n ): 1
1

u

1. a 1

b

u

) là CSC có công sai d=b nên

x ,u
0

au

n

n 1

bn

2

a n 1 (u b )
1 a 1

b
a 1

( a , b

0 là các hằng số) có SHTQ là:

khi a 1
khi a 1

Ví dụ 1.4.Xácđịnh SHTQ của dãy (

u
n

) được xác định:

u
1

2;u

n

2u

n 1

3n 1, n 2

3

Lời giải:
Để tìm SHTQ của dãy số ta tìm cách làm mất 3n-1 để chuyển về dãy số là
3n 1 3n 5 2[3( n 1) 5] (2).
một CSN. Muốn làm vậy ta viết:
Khi đó công thức
u 3n 5 2[u 3(n 1) 5].
truy hồi của dãy được viết như sau: n
n

Đặt vn

u n 3n 5, ta

Vậy SHTQ của dãy
Nhận xét :

có v1

10 và vn

(u ) u
n
: n

v

n

2v n 1, n

3n 5 5.2

2

vn v1 2 n 1 10.2n 1

3n 5. n 1, 2,3,...

n

1) Để phân tích được đẳng thức (2), ta làm như sau:
a b 2
3n 1 an b 2[a ( n 1) b]. cho

n=1;n=2 ta có

b 5

u b
1

a 3
b 5
n 2


2) Trong trường hợp tổng quát dãy

(u ) u
n

:

n

au

n 1

f(n)

, trong đó

f (n)

là

một đa thức bậc k theo n , ta xác định SHTQ như sau:
phân tích f ( n ) = g ( n ) -a g ( n 1) (3)Với g ( n ) cũng là 1 đa thức theo n . Khi đó ta có:
u n g ( n ) a[u

n1

g ( n 1)]=...=an 1[u g(1)]
1

7


Vậy ta có: u n

g (1)]a n 1

[u1

g ( n ).

*Nếu a=1 thì hàm số
g(n)

Vấn đề còn lại ta xác định
Ta thấy:

g ( n ).

như thế nào?

g ( n ) a. g ( n 1)

-

là 1 đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của

và không phụ thuộc vào hệ số tự do của

, mà

f (n)

g(n)

một bậc

là đa thức bậc k nên để có

(3)
g(n)
ta chọn
là đa thức bậc k+1, có hệ số tự do bằng 0 và khi đó để xác định

g(n)
thì trong đẳng thức (3) ta cho k+1 giá trị của n bất kì ta được hệ k+1
g(n)
phương trình, giải hệ này ta tìm được các hệ số của
g ( n ) a. g ( n 1)
g(n)
g(n)
*Nếu a 1 thì
là 1 đa thức cùng bậc với
nên ta chọn
là đa
thức bậc k và trong đẳng thức (3) ta cho k+1 giá trị của n thì ta sẽ xác định được
g(n)
.Vậy ta có kết quả sau:
u

x

1

(u )

0

u au

f(n)
Dạng 2:Để xác địnhSHTQ của dãy n
được xác định bởi n n 1
trong

f
(
n
)
đó
là 1 đa thức bậc k theo n; a là hằng số. Ta làm như sau:
f ( n ) g ( n ) a. g ( n 1)
g(n)
Ta phân tích:
=
với
là 1 đa thức theo n.Khi đó, ta đặt
v u n g ( n ) ta có được: u n [u g (1)]a n 1 g ( n ).
n
1

g(n)
(Lưu ý nếu a=1, ta chọn
là đa thức bậc k+1 có hệ số tự do bằng không,
g(n)
còn nếu a 1 ta chọn
là đa thức bậc k)

Ví dụ 1.5. Cho dãy số

u 2
(un ) : 1 u

Lời giải: Ta phân tích 2 n
(Trong đó g ( n )

u

n

.

n1 2n 1

Tìm SHTQ của dãy

n

.

1 g ( n ) g ( n 1) a[ n 2 ( n 1) 2 ]+b[n ( n 1)]

an 2 bn ).
a b 1
a b 3

a 1
b 2 g

Cho: n=0,n=1 ta có hệ
u1

2
Ví dụ 1.6. Cho dãy số (u n ) : u 4u
1

n

3.4n

( n ) n 2 2n u n n 2 2 n 1

, nN*

n

un

(u ) 3

lim 2 n 2 3n 1 4


Tìm SHTQ của dãy

và tính

un

8


(Đề thi chọn HSG cấp tỉnh năm học 2018-2019 của Sở GD&ĐT Thanh Hóa)

Lời giải: Trường hợp này ta phân tích

4 n n.4 n 4( n 1)4n 1

3n.4 n 4(u n 1 3( n 1).4 n 1 ) ... 4 n 1 (u1 3.4) u n

un

3( n 1)4 n

2.4 n 1.

lim 2 n 2 3n 1
un

Đến đây dễ dàng tìm được giới hạn

(u n ) : u n a.u n 1 b.

Nhận xét: Trong trường hợp tổng quát dãy
k.

n

ak.

n

Suy ra
n

n.

với ( a) .Khi đó: u n

n 1

u a n 1 (u
n

n

n

n

1

( n 1)

u b ( n 1)

bk ) kb.

n

n1

u

.

n

a (u n 1 kb.

n1

, ta phân tích

) ... a n 1 (u1 bk)

Trường hợp a , ta phân tích

n

n1

bn. (u n 1 b ( n 1).

un

n 1

1

kb.

n

) ...

n1

(u1 b )

b.

n1

Vậy ta có kết quả sau:
u1

Dạng 3: Để xác định SHTQ của dãy

(u n ) : u

n1

a.u

n 2

, ta làm như sau:

n

n

Nếu au b ( n 1)
n

Nếu

a

,

u

n1

.

1

ta phân tích

n

n

k.

ak.

n1

. Khi đó:

a n 1 (u1 bk ) bk.

u

n

n

k

Ta tìm được:

a.

u2
Ví dụ 1.7.Tìm SHTQ của dãy (u n ) : 1

u 5u
n

n 1

2.3n

6.7

12

n

k
3

n

7

n

k .3 5k .3
n
n

l .7

;n=2,3,…

3

3
7

n1

2

5.7n 1

cho n=1, ta được l 2
Hơn nữa 12=-3+5.3 nên công thức truy hồi của dãy được viết lại như sau:
Lời giải:Ta có

u n 3.3n

21.7 n

3 5(u

n1

3.3 n 1 21.7 n 1 3) ... 5 n 1( u 9 147 3)
1

Vậyun

157.5 n 1 3n 1 3.7 n 1 3

Ví dụ 1.8.Tìm SHTQ của dãy

u 1
(un ) : 1
u n 2u n 1 3n

n; n 2 3
9


n

n
3

Lời giải: Ta phân tích:
3.3n

như sau: u n
Vậy u n

3n 1

n1

2.3.3

3.3

n n 2 [( n 1) 2]

nên ta viết công thức truy hồi của dãy

n 2 2[u n 1 3.3n 1 ( n 1) 2] ... 2 n 1( u1 12)

n 2 11.2n 1
u1

p
a.u
(un ) : u

Dạng 4: Để xác định SHTQ của dãy

n1

n

b.

f(n) n 2

, trong đó

n

f(n)

là đa thức bậc k của n.

Nhận xét:Đây là một sự kết hợp của dạng 2 và 3 nên ta phân tích từ n và

f(n)

cách phân tích ở dạng 2 và dạng 3.

Ví dụ 1.9. Xác định SHTQ của dãy

u

:

n

u

0

1, u

1

3, u

n

5u

n 1

6u

n

2

như

; n 2

(u )
Lời giải:Để xác định SHTQ cả dãy số trên, ta thay thế dãy n bằng một dãy
số khác là một CSN. Ta viết lại công thức truy hồi của dãy như sau:
x1 , x2

u x .u

n 1

x (u

n 1

2

xu

n 1

1 n

2

)

, do đó ta phải chọn

của phương trình : x 2 5 x 6 0 x 2; x 3 . Ta chọn
u n 2u

n1

3( u

2u

n1

n

2u

n 1

1

2; x2 3

. Khi đó :

0

5.3n 1.

Ví dụ 1.10.

x

) ... 3n 1 ( u 2u ) 5.3n 1

n 2

1

u

x x 5

2
: 1
x ,x
xx 6
hay 1 2 là nghiệm
1 2

u

Sử dụng kết quả dạng 3, ta tìm được: n
u 2; u 5
; n N*
1
2
Cho dãy số (u n ) :
u
5u n 1 6un

5.3n

6.2n

n 2

lim un 4

un

Tìm SHTQ của dãy

n

và tính

3

(Đề thi chọn HSG cấp tỉnh năm học 2017-2018 của Sở GD&ĐT Thanh Hóa)
Lời giải: Từ giả thiết ta có u 2u
n2

Suy ra dãy
vn 1 3n 1.v2

v
n 1

u

2u
n 1

n

3

un1

2u n , n 1

n 1

cấp số nhân có công bội

là một

q 3

3n 1 5 2.2 3n 1 (1)

Cũng từ giả thiết ta có

u

n 2

3u

n 1

2 u

n 1

2u

n

, n 1

10

w u

Suy ra dãy
wn1

n1

2 n 1.w 2

3u
n 1

n

một cấp số nhân

là

2 n 1 5 3.22n 1

có

công bội

(2)
n1

2u

u

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

3

n1

3u
u n1

n
n

2n 1

un

3n 1 2n 1

Nhận xét: Tương tự với cách làm trên ta xác định SHTQ của dãy
u

a

2

bởi:

1

u a.u
n

(u )

được xác

n

;u

0

định

q 2

b.u

n 1

n

, n 2

2

4b 0 như sau:

trong đó a,b là các số thực cho trước và
,

x ,x
x - ax + b = 0
Gọi 1 2 là 2 nghiệm của phương trình: 2
(phương trình này được gọi
là phương trình đặc trưng của dãy)
u x .u x (u x .u ) ... x n 1 (u x u ).
Khi đó: n 1 n 1 2 n 1 1 n 2
2
1 1 0
Sử dụng kết quả của dạng 3,
ta có các trường hợp sau:
u x .x u
u x.u xn
2
0
1
0
xn 1
n
1
2
x x
y x
u n k . x n l . xn , trong đó k,l là
Nếu x1 x
.Hay
2

1
1
2
2 thì
k l u0

nghiệm của hệ:

x .k x .lu
1

2

u

Nếu

xx
1 2

1
n1

u 0 a (u

n

2

thì

l

nghiệm của hệ:

1

au0 )n
2

hay u n ( kn l)

,

n1

, trong đó k, l là

.u0

k lu
1

Vậy ta có kết quả sau:
u
(un ) :

;u
0

1

0 n 2
, trong đó a,b,c
Dạng 5: Để xác định SHTQ của dãy
u n a.u n 1 b.un 2
a 4b 0
là các số thực khác không; 2
ta làm như sau:
x ,x
x -ax+b=0
Gọi 1 2 là 2 nghiệm của phương trình đặc trưng: 2
11


k l u0

Nếu

x

x

1

2

thì

u

k.xn l.xn

n

1

2

, trong đó k , l là nghiệm của hệ:

x .k x .l u
1

2

1

l

Nếu

x

x

1

2

thì

u
n

( kn l)

n1

0

Ví dụ 1.11. Cho dãy số

(u )
n

k l u

, trong đó k , l là nghiệm của hệ:
u 1; u 2

được xác định bởi:

u

n 1

4u

n

u

n

n

u nk.x l.x
1

un

Vậy

.Vì

4x 1 0

có 2 nghiệm

1

n 1

n 1

12 5

5n

2

2

Phương trình đặc trưng:

1

2

x

nên ta có hệ:
u
(un ) :

Ví dụ

1.13. Cho dãy

4x 4 0
l 2
k l

0

1

k l

2

.

1; u 3
4u 1 4u

n

n1

;
n 2

0

n 2
un

3
kn l 2n 1

có nghiệm kép x=2 nên
k 1

3

1; u 3

u 5u6u2 n
n

0
u

Ví dụ 1.12. Xác định SHTQ của dãy:
Lời giải:

Vì

2 5.

.
u
(un ) :

u 0 1; u 3

5; x2

.Hãy xác định

nên ta có hệ :

1

n

2

.

1

k l 1
(2
5) k (2 5)l 2

u 0 1; u 2

2

x

1

;

u 3
SHTQ của dãy ( n ) .
Lời giải:

Phương trình x 2

.u0

2

n1

l 2

.Vậy

un

n 22

n1

.

1

2n 1
n 2

n 2

. Xác định SHTQ của

(u ) 3
dãy n
.
Lời giải:
Với cách làm tương tự như ví dụ 5, ta phân tích:
2n2

2 n 1 kn 2

ln t 5 k n 1 2

l ( n 1) t 6 k ( n 2) 2

l ( n 2) t

(1)

12


19 k 7l 2t 1

k 1

7 k 5l 2t 5
k

Ở (5) cho n=0;n=1;n=2 ta có hệ:
n 2 8n 19 v
Đặt v u n
n

3l 2t

l 8

13

t 19
20; v25 và v 5v n 1 6v n 2 0

1
n

0

20
vn.3n
vn

.2 n . Ta

15.3n

có hệ

35.2 n

15

3 22535

un

15.3 n

35.2 n

n 2 8 n 19
u

;u

0

Nhận xét : Để xác định SHTQ của dãy số

đó

f(n)

là đa thức bậc k theo n và

Ta phân tích
rồi đặt

v

n

u

f(n)g(n)

(u ) u
n

:

a 2 4b 0
ag ( n

n 1

n

bu

n 2 (trong

n 1

) ta làm như sau:
1) bg ( n

(n)

2)

g( n )
(2)

n

( vn ) :

Ta có được dãy số

vu

g (0); v u g(1)

0

v

n

0

1

au n 1 bun

1

0 n 2 .Đây là dãy số mà ta đã xét ở

2

dạng 5. Do đó ta sẽ xác định được SHTQ của
Vấn đề còn lại là ta xác định

g(n)

v
n

u

n

như thế nào để có (2)?

g ( n ) ag ( n 1) bg ( n 2)
sao cho
là
k1
một đa thức bậc k theo n.Khi đó ta chỉ cần thay
giá trị bất kì của n vào (2) ta
sẽ xác định được

Vì

f(n)

au

f

1

là đa thức bậc k nên ta phải chọn

g(n)

f(n).

Giả sử g ( n ) amn

m

a n m 1 ... a n a ( a
m1

1

x m và x m 1 trong VP là a

0

.(1 a b) và

0)
m

là đa thức bậc m. Khi đó hệ số của

a 2b m.a m

1 a b am 1

m

Do đó:
1ab0
i)
x ax b 0
Nếu PT: 2
(3) có hai nghiệm phân biệt khác 1 thì
nên VP (2) là

một đa thức bậc m.
x11ab0
a 2b
ii)
Nếu PT (3) có hai nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm
và
m.a 1 a b a a 2b .m.a 0
m

m1

m

nên VP (2) là một đa thức bậc m 1


13


iii)

Nếu PT (3) có nghiệm kép

m 2.

Vậy để chọn

x 1 a

2; b 1

nên VP (2) là một đa thức bậc

g(n)

ta cần chú ý như sau:
g(n)
f(
+) Nếu (3) có hai nghiệm phân biệt, thì
là một đa thức cùng bậc với
n)
+)Nếu (3) có hai nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm bằng 1 thì ta
g ( n ) n.h ( n )
h(n)
f(n)
chọn
trong đó
là đa thức cùng bậc với
.
x1
g ( n ) n 2 .h ( n )
h(n)
+)Nếu (1) có nghiệm kép
thì ta chọn
trong đó
là đa
f(n)
thức cùng bậc với
.
u ;u

(un ) : 0

Dạng 6: Để tìm SHTQ của dãy

u a.u
n

1

b.u

n 1

n

2

f(n)

(trong đó f ( n ) là

n 2

n
k b
4 ac 0
đa thức theo bậc và 2
) ta làm như sau:
Xét g ( n ) là một đa thức bậc k: g ( n ) ak n k ... a1 k a0
Nếu phương trình :

x2

ax b 0

(1) có 2 nghiệm phân biệt, ta phân tích
f ( n ) g ( n ) ag ( n 1) bg ( n 2) rồi đặt vn u n g ( n )

Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm
f ( n ) n. g ( n ) a ( n 1) g ( n 1) b ( n 2) g ( n 2) rồi

Nếu (1) có nghiệm kép

x 1

đặt vn

Ví dụ 1.14. Xác định SHTQ của dãy
Lời giải:

Vì phương trình x 2
kn l 3

, ta phân tích

u n n. g ( n )

, ta phân tích

f ( n ) n 2 . g ( n ) a ( n 1) 2 g ( n 1) b ( n 2) 2 g ( n 2) rồi

2n 1 n

x 1

u 1; u 4
(un ) : 0 3u 1 2u
u
n

n1

3 x 2 0 có 2 nghiệm x 1; x 2
n 1 kn 1 l 2
n 2kn 2 l

đặt vn
n 2

2n 1

l

k
6

n2.g(n)

3

n 2

nên ta phân tích
, cho

5k l 1
3k l 3

un

n 0; n 1

ta có hệ:

1

Đặt vn u n n n 6

v0 1; v1 11 và v 3v

n1

2v

n 2

0

n

14


vn.2

n

vn

10.2 n

.1

1

, :

n

10
11

2

với

9 u n 5.2 n 1 n 2

9

6 n 9 n 0,1, 2,...
0

u
u

Ví dụ 1.15. Tìm SHTQ của dãy số

1; u 3
4u
3u
1

(u n ) :

n1

n

Lời giải: Ta phân tích 2 n a. 2 n 4 a. 2 n 1 3a.2n 2 .
v

Cho n 2 ta có 4
v 4v

2

3v

n

n1

vn.3

n

n

4 a 8a 3 a 4 Đặt n
0 Vì phương trình x 2 4 x 3
, :

n

.1

Với
4.3n 1 5.2 n

Vậy un

2

19

12

343

7

7

5.2n

n 2

5.4.2 n

un

0

v0

có hai nghiệm

;

3
n 2

19; v1 43 và
x 1; x 3 nên

v 12.3n 7
n

n 1, 2,...

Nhận xét: Với ý tưởng cách giải trên, ta tìm SHTQ của dãy số

(u )
n

được xác

định bởi:
u
0

(un ) :

;u

1

u a.ub.uc.
n

Ta phân tích
2

k

a. b

n 2

n

k.

n

n1

n 2

b.k .

) như sau:

(1).Cho

n 2

thì (1) trở thành:

2

k
2

a b

n

,

khi không phải là nghiệm của phương trình:

ax b 0 (8)

Khi đó, ta đặt
v p. x q. x ( x
n

a.k .

0

2

Từ đây, ta tìm được

x2

(với a 2 4b

n 2

n

n1

n

1

2

n

v u

1

n

, x

2

n

kc.

v u
( vn ) : 0
vn

ta có dãy

là 2 nghiệm của (2))

u

n

p. x

x
Vậy nếu
là nghiệm của (2) , tức là
Nhìn lại cách giải ở dạng 3, ta phân tích:

1

n

2

kc; v u kc
0

1

a.vn 1 b.v n

q. x

a

n

2

kc.

b 0

n

1

0

2

n 2

.

thì ta sẽ xử lí thế nào?

15


n

kn.

n

a.k n 1 .

n1

n 2

bk n 2 .

(3).

k 2 a2k 2 ak

a

n 2 ta có:
Cho
2
k
có nghiệm là nghiệm đơn của phương trình (2).

Khi đó:u

p. x

n

1

q. x

n

2

kcn.

n

n

2

2

kn .

là nghiệm kép của (2). Với tư tưởng như
n 2
a.k n 1 2 n 1 bk n 2 2
(4).

n

2

Cho

n 2
u

2

4k.

p. x

n

qx
1

Khi đó:

4 a

n

2

1 cn .
2

n

2

2.

.

Vậy ta có kết quả sau:
u

;u

0

Dạng 7: Cho dãy số

1

ak .k

ta có : (10)
n

).

a

Cuối cùng ta xét trường hợp
trên, ta phân tích:

2

(

.

x
n

2 a

(u )

1

a.u

u

n1
xác định bởi : n
(u )
Để xác định SHTQ của dãy n ta làm như sau:
n

n

b.u 2 c.

;

n

n 2

2

Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác thì
un

p. x1n q. x2n kc.

n

với

k

2

2

a b

x
Nếu phương trình (1) có nghiệm đơn thì
u p. x n q. x n
n

1

2

kcn.

n

k

với

2 a
2

1
p qn

un

2

x
Nếu là nghiệm kép của (1) thì:
u
(un ) :

Ví dụ 1.16. Xác định SHTQ của dãy
Lời giải:

.

n

.

cn

0

1; u 3
5u n 1 6u

n
1

u

n 2

5.2n

n 2

3

16


Phương trình x 2

x 2; x

5 x 6 0 có 2 nghiệm

1

3,

2

p.2 n

do đó u n

q. 3n

5kn.2n

2 2
k

2 a

p q

1

4 5

2 p 3q 10 k 3

k

2

p

26

q 25

Với

Vậy u n

.
26.2 n 25.3n 10 n.2 n 25.3n

2 n 1 5 n 13
u

(un ) :

Ví dụ 1.17. Tìm SHTQ của dãy

n 1, 2,....

.

1; u 3

0

1

4u

u

3.2n 3

4
u

n

n1

n 2

Lời giải:
3

Phương trình

x

2

4x 4 0

có nghiệm kép

p 1
p q 0

Dựa vào u ,u

x 2

p 1
q 1

u npqn

2n

3n 2

2n 2

nên
un

.Vậy

2

2n

2n 1
n 1, 2,....

ta có hệ:
Với cách xây dựng tương tự ta cũng có được các kết quả sau:
0 1

u

Dạng 8:Cho dãy

;
u ;u

;

2
(un ) : 0 1
u n a.u n 1 b.u n

cun

2

0

3

Để xác định SHTQ của dãy ta xét phương trình:
Nếu (1) có 3 nghiệm phân biệt 1
, ,
tìm được

x 3 ax 2 bx c 0

xn

x , x , xu
2

n 3.

3

n

xn
1

xn

u , u ,u

2

3

x x xu

Nếu (1) có một nghiệm đơn, 1 nghiệm kép:
Dựa vào u0 , u1 ,u2 ta tìm được , , .
Nếu (1) có nghiệm bội 3 1
Dựa vào u0 , u1 ,u2 ta tìm được , ,

3

2

3

n

0

. Dựa vào

1

(n ) x n

xn

1

3

2

ta

(n n 2 ) xn .

x x xu
2

1

(1).

n

1

.

17


Nhận xét: Thực tế đến dạng toán này là bắt đầu phức tạp thêm, các ví dụ được
trình bày lời giải chỉ mang tính minh họa. Dạng này ta ít gặp trong đề thi.
u 0, u
(un ) : 1 7u
u
n

Ví dụ 1.18. Tìm SHTQ của dãy
Lời giải: Xét phương trình đặc trưng :

1, u
2
n1

3
11u
n 2

3
5u

;

3
n 4

n 3

x 3 7 x 2 11x 5 0

x x 1, x 5

n 5n

Vậy a n

3
Phương trình có 3 nghiệm thực: 1 2
n 1, n 2, n 3
Cho
và giải hệ phương trình tạo thành, ta được

16

1 ,3

,

4

1
a
16 Vậy n

1 3 n 1

4

16

16

1 .5

.

n 1

Bài tập vận dụng:
Tôi xin trích một số câu trong các đề minh họa, giao lưu hoặc thi HSG cấp
trường của một số trường trên địa bàn tỉnh thay cho các đề minh họa cho các dạng
toán vì hai lí do: thứ nhất các ví dụ minh họa cho các dạng toán đã rất tốt; thứ hai
tôi muốn định hướng đến các dạng toán mà kỳ thi HSG cấp tỉnh hay gặp.
1. (Đề giao

lưu THPT Triệu

Sơn

1) Cho dãy số xác định bởi:

1
u1
u

n1

5
. nu
u

n

2u n 1 , n N *

Tính số hạng tổng quát của dãy số.

2. (Đề giao lưu THPT Thạch Thàn
h

5

1) Cho dãy số xác định bởi:

u 2
1

u
n1

S2019

3u

n

n

2

1, n N

*

Tính số hạng tổng quát của dãy số

u
n

.Từ đó tính tổng

u1 u 2 ... u2019 5

3. (Đề minh họa nhóm toán THPT Thanh Hóa năm học 2018-2019) Cho dãy số xác
u 2

lim

1

định bởi :

u

3u
n 1

n

4n, n N*

Tính số hạng tổng quát của dãy và tìm

un

u

5

n1

18


4. (Đề giao lưu trường THPT Dương Đình Nghệ) Cho dãy số xác định bởi:
u1

2018, u2 2019

un un1 un1

5.

N * , n 2 Tính lim un 5

2u n .u n 1, n

(Đề minh họa lớp tập huấn toán THPT Thanh Hóa năm học 2017-2018) Cho dãy

số xác định bởi :

u

au b, n N
n 1

n

hạng tổng quát của dãy theo

u,

*

Với a, b là 2 số thực dương cho trước. Tính số

a, b và n.

1

5

6. (Đề giao lưu trường THPT Vĩnh Lộc) Cho dãy số xác định bởi:
u

u

1
n1

2, u
2u 2
n u

3
1, n N * , n 2

n1

lim un 5
n2
Tính

7. (Đề minh họa lớp tập huấn toán THPT Thanh Hóa năm học 2017-2018) Cho dãy
u 1
1
u

n1

số xác định bởi:

un
un 1

8.(Đề giao lưu trườn

g

2017 u 1

*

, n N

Tính

lim

1

u

1 ... u 1
2

2018n

n

5

THPT Đặng Thai Mai) Cho dãy số xác định bởi:

u 1
1

u

un
n1

2 un

, n N*

Tính

u 5
n

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường
Đề tài đã giải quyết được các vấn đề sau:
Đề tài đã chỉ ra được một số vướng mắc và cách khắc phục của một lớp đối
tượng học sinh trong khi giải các bài toán về tìm số hạng tổng quát và tìm giới hạn
của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi.
Đề tài đã đưa ra được 8 dạng cơ bản từ đơn giản đến phức tạp để tìm số hạng
tổng quát của các dãy số cho bởi hệ thức truy hồi trên cở sở từ các bài toán cơ bản
trong sách giáo khoa cũng như các bài toán khó trong các đề thi học sinh giỏi.
19


Đề tài được áp dụng trong những tiết luyện tập, các tiết tự chọn ở trên lớp cũng
như các buổi dạy bồi dưỡng học sinh giỏi cấp trường.
Thông qua việc xuất phát từ những bài toán cơ bản, giáo viên đã gợi ý, dẫn dắt
học sinh tổng quát bài toán, tạo ra bài toán mới, dần dần hình thành cho các em khả

năng làm việc độc lập, phát triển tư duy chủ động, sáng tạo, phát hiện vấn đề và
giải quyết vấn đề. Phát huy tối đa tính tích cực của học sinh theo đúng tinh thần đổi
mới của Bộ Giáo dục và Đào tạo. Từ đó tạo cho các em niềm tin, hứng thú khi học
tập bộ môn Toán.
Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong năm học giảng dạy lớp 11,được học
sinh nhiệt tình tham gia và đã nâng cao chất lượng dạy học chuyên đề dãy số và
giới hạn dãy số. Các em hứng thú học tập hơn, ở những học sinh được hướng dẫn
các phương pháp này các em học sinh với mức học trung bình trở lên đã có căn cứ
để giải các bài tập khó. Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt, chất lượng đội tuyển thi
HSG cấp tỉnh tăng qua các năm và đảm bảo chỉ tiêu nhà trường giao. Cụ thể ở các
nhóm học sinhthực nghiệm(II) và nhóm đối chứng (I) tôi cho làm bài kiểm tra vaf
thu được kết quả như sau :
Năm

Nhóm/ Lớp

học
2018
2019

Điểm từ 5 đến
dưới 8

Số
lượng

Số
lượng

Tổng

số HS

I /11B1
II /11B1

Điểm 8 trở lên

20
20

4
13

Tỷ lệ
20 %
65%

10
6

Tỷ lệ
50 %
30%

Điểm dưới 5
Số
lượng
6
1

Tỷ lệ
30 %
5%

3. PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Sáng kiến kinh nghiệm này là kết quả của một quá trình tìm tòi, nghiên cứu và
đúc rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi. Qua một
năm triển khai thực hiện đề tài này với cách xây dựng và phát triển các bài toán,
xây dựng quy trình giải quyết các bài toán một cách "tự nhiên” như vậy, tôi nhận
20