bai tap day them

Sở GD&ĐT Nghệ An Trường THPT Đông Hiếu
CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
I )TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN THEO CÔNG THỨC
Việc áp dụng công thức thông thường yêu cầu
a) xác định đường cao
b) tính độ dài đường cao và diện tích mặt đáy
Để xác định đường cao ta lưu ý

•
Hình chóp đều có chân đường cao trùng với tâm của đáy.

•
Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao trùng với tâm đường tròn
ngoại tiếp mặt đáy.
•
Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao
chính là tâm đường tròn nội tiếp mặt đáy.
•
Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường cao nằm trên giao tuyến
của mặt phẳng đó và đáy.
•
Hình chóp có hai mặt bên cùng vuông góc với đáy thì đường cao nằm trên giao tuyến
của hai mp đó
Để tính độ dài đường cao và diện tích mặt đáy cần lưu ý
•
Các hệ thức lượng trong tam giác đặc biệt là hệ thức lượng trong tam giác vuông.
•
Các khái niệm về góc, khoảng cách và cách xác định.
CÁC CÔNG THỨC
Thể tích khối hộp chữ nhật: V= abc ( a,b,c là 3 kích thước)
Thể tích khối lập phương : V = a

3
(a là cạnh khối lập phương)
Thể tích khôi chóp: V =
Bh
3
1
( B diện tích đáy, h chiều cao)
Thể tích khối lăng trụ: V = Bh ( B diện tích đáy,h chiều cao)
Chú ý:
- Nếu hai khối đa diện đồng dạng theo tỉ số k thì thể tích
tương ứng tỉ lệ theo tỉ số k
3

- Hệ thức lượng trong tam giác vuông tại A đường cao AH
Giáo viên: Trần Ngọc Tuyến SDT: 0914437744
1
Sở GD&ĐT Nghệ An Trường THPT Đông Hiếu
B
C
A
H
C
A
F
B
E
B
A
C
M

G
A
B CH
Giáo viên: Trần Ngọc Tuyến SDT: 0914437744
2
Định lí pithago BC
2
=AB
2
+AC
2
Định lí về đường cao trong tam
giác vuông
- AH
222
111
ACABAH
+=
- AH.BC = AB.AC
Tỷ số đồng dạng của hai tam giác

CE
BC
FC
AC
EF
AB
==
Trọng tâm G của tam giác chia
đường trung tuyến theo tỷ lệ

AMGA
3
2
=
Đường cao trong tam giác đều cạnh a
là đường trung tuyến, trung trực,…
Và
2
3a
AH
=
Sở GD&ĐT Nghệ An Trường THPT Đông Hiếu
Sau đây là các bài tập
Bài1
Chóp tam giác đều SABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, các cạnh bên tạo với đáy
một góc 60
0
.Hãy tính thể tích của khối chóp đó.
Bài giải
gọi D là trung điểm của BC và E là tâm đáy
Khi đó
A
B
C
S
D
E
AE=
3
2

AD=
3
3a
Ta có
∠
SAD=60
0
nên SE=AE.tan60
0
=a
S
ABC
=
4
3
2
a
Do đó V
SABC
=
3
1
SE.S
ABC
=
12
3
3
a
Bài 2

Cho hình chóp tam giác SABC có SA=5a,BC=6a,CA=7a. Các mặt bên SAB,SBC,SCA
cùng tạo với đáy một góc 60
0
.Tính thể tích của khối chóp đó
Bài giải
Ta có hình chiếu của đỉnh S trùng tâm D đường tròn nội tiếp đáy
Giáo viên: Trần Ngọc Tuyến SDT: 0914437744
3
Sở GD&ĐT Nghệ An Trường THPT Đông Hiếu

A
B
C
S
D
k
Ta có p=
2
CABCAB
++
=9a
Nên S
ABC
=
))()(( cpbpapp
−−−
=6a
2
.
6

mặt khác S
ABC
=pr
⇒
r=
p
S
=
6
3
2
a
trong
∆
SDK có SD=KDtan60
0
= r.tan60
0
= 2a.
2
Do đó V
SABC
=
3
1
SD.S
ABC
=8a
3
.

3
Bài 3
cho hình chóp SABC có các cạnh bên bằng nhau cùng hợp với đáy góc 60
0
, đáy là
Tam giác cân AB=AC=a và
∠
BAC=120
0
. Tính thể tích khối chóp đó.
Bài giải

O
A
C
B
S
O
Gọi D là trung BC và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Giáo viên: Trần Ngọc Tuyến SDT: 0914437744
4
Sở GD&ĐT Nghệ An Trường THPT Đông Hiếu
Có SO chính là đường cao
S
ABC
=1/2.AB.AC.sin120
0
=
4
3

2
a
và BC=2BD=2.ABsin60
0
=a.
3
OA=R=
s
cba
4
..
=a
⇒
SO=OA.tan60
0
=a.
3
Do vậy V
SABC
=
3
1
SO.S
ABC
=1/4a
3
.
Bài 4
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a,SA=a, SB=a
3

và
mpSAB vuông góc với mặt đáy. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,BC. Hãy tính
thể tích khối chóp SBMDN.
Bài giải

B
A
D
C
S
H
M
N

Hạ SH
⊥
AB tại H thì SH chính là đường cao
S
ADM
=1/2AD.AM=a
2

S
CDN
=1/2.CD.CN=.a
2
Nên S
BMDN
=S
ABCD

-S
ADM
-S
CDN
=4a
2
-2a
2
=2a
2
.
mặt khác
222
111
SBSASH
+=
⇒
SH=
22
22
.
SBSA
SBSA
+
=
2
3a
Giáo viên: Trần Ngọc Tuyến SDT: 0914437744
5
Sở GD&ĐT Nghệ An Trường THPT Đông Hiếu

do đó V
SBMDN
=
3
1
.SH.S
BMDN
=
3
3
3
a
bài 5
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang vuông tại A,D; AB=AD=2a,CD=a. Góc
giữa hai mpSBC và ABCD bằng 60
0
. Gọi I là trung điểm của AD, Biết hai mp SBI,SCI
cùng vuông góc với mpABCD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Bài giải

A
B
D
C
S
I
H
J
Gọi H trung điểm là của I lên BC, J là trung điểm AB.
Ta có SI

⊥
mpABCD
IC=
22
DCID
+
=a
2
IB=
22
ABIA
+
=a
5
và BC=
22
JBCJ
+
=a
5
S
ABCD
=1/2AD(AB+CD)=3a
2
S
IBA
=1/2.IA.AB=a
2
và S
CDI

=
1/2.DC.DI=1/2.a
2

⇒
S
IBC
=S
ABCD
-S
IAB
-S
DIC
=
2
3
2
a

mặt khác S
IBC
=
2
1
.IH.BC nên IH =
a
BC
S
IBC
5

33
2
=
SI=IH.tan60
0
=
a
5
3.9
.
Giáo viên: Trần Ngọc Tuyến SDT: 0914437744
6
Sở GD&ĐT Nghệ An Trường THPT Đông Hiếu
Do đó V
ABCD
=
3
1
SI.S
ABCD
=
5
153
a
3

Bài 6
Cho chóp SABC có SA=SB=SC=a,
∠
ASB= 60

0
,
∠
CSB=90
0
,
∠
CSA=120
0
CMR tam giác ABC vuông rồi tính thể tích chóp.
Bài giải
Gọi E,D lần lượt là AC,BC
A
C
B
S
E
D


∆
SAB đều AB=a,

∆
SBC Vuông BC=a.
2

∆
SAC có AE=SA.sin60
0

=
2
3a

⇒
AC=a
3
và SE=SAcos60
0
=
2
1
a.

⇒
∆
ABC có AC
2
=BA
2
+BC
2
=3a
2
vậy
∆
ABC vuông tại B
Có S
ABC
=

2
1
.BA.BC=
2
2
2
a


∆
SBE có BE=
2
1
AC=
2
3a

SB
2
=BE
2
+SE
2
=a
2
nên BE
⊥
SE
AC
⊥

SE
Do đó SE chính là đường cao
V
SABC
=
3
1
SE.S
ABC
=
3
12
2
a
Giáo viên: Trần Ngọc Tuyến SDT: 0914437744
7
Sở GD&ĐT Nghệ An Trường THPT Đông Hiếu
Bài 7
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
có đáy là tam giác vuông tại A,AC=a,
∠
ACB=60
0
Đường thẳng BC
1

tạo với mp(A
1
ACC
1
)một góc 30
0
.Tính thể tích khối lăng trụ.
Bài giải
Ta có hv

A B
C
A1 B1
C1
Trong tam giác ABC có AB=AC.tan60
0
=a
3
AB
⊥
AC và AB
⊥
A
1
A
Nên AB
⊥
mp(ACC
1
A) do đó

∠
AC
1
B=30
0
và AC
1
=AB.cot30
0
=3a.
Á.D pitago cho tam giác ACC
1
: CC
1
=
2
2
1
ACAC
−
=2a
2
Do vậy V
LT
=CC
1
.S
ABC
= 2a
2

.
2
1
.a.a
3
=a
3
.
6
Bài 8
Cho khối trụ tam giác ABCA
1
B
1
C
1
có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm A
1
cách đều ba
điểm A,B.C,cạnh bên A
1
A tạo với mp đáy một góc 60
0
.Hãy tính thể tích khối trụ đó.
Bài giải
Giáo viên: Trần Ngọc Tuyến SDT: 0914437744
8
Sở GD&ĐT Nghệ An Trường THPT Đông Hiếu

G

A1
B1
C1
A B
C
H
I

Ta có tam giác ABC đều cạnh a nên S
ABC
=
4
3
2
a
mặt khác A
1
A=

A
1
B=

A
1
C
⇒
A
1
ABC là tứ diện đều

gọi G là trọng tâm tam giác ABC có A
1
G là đường cao
Trong tam giác A
1
AG có AG=2/3AH=
3
3a
và
∠
A
1
AG=60
0
A
1
G=AG.tan60
0
=a. vậy V
LT
=A
1
G.S
ABC
=
4
3.
3
a
Bài9

Cho khối trụ tam giác ABCA
1
B
1
C
1
có đáy là ABC là tam giác vuông cân với cạnh
huyền AB=
2
.Cho biết mpABB
1
vuông góc với đáy,A
1
A=
3
,Góc A
1
AB nhọn, góc
giữa mpA
1
AC và đáy bằng 60
0
. hãy tính thể tích trụ.
Bài giải
Tam giác ABC có cạnh huyền AB=
2
và cân nên CA=CB=1;
S
ABC=
1/2.CA.CA=1/2.

. MpABB
1
vuông góc với ABC từ A
1
hạ A
1
G
⊥
AB tại G.
A
1
G chính là đường cao
Từ G hạ GH
⊥
AC tại H
Gt
⇒
góc A
1
HG=60
0

Giáo viên: Trần Ngọc Tuyến SDT: 0914437744
9
Sở GD&ĐT Nghệ An Trường THPT Đông Hiếu
Đặt AH=x(x>0)
Do
∆
AHG vuông cân tại H nên HG=x và AG=x
2

∆
HGA
1
có A
1
G=HG.tan60
0
=x.
3

∆
A
1
AG có A
1
A
2
=AG
2
+A
1
G
2

⇔
3=2x
2
+3x

2
hay x=
5
15

A1
B1
C1
A
C
B
G
H
Do đó A
1
G=
5
53
vậy V
LT
=A
1
G.S
ABC
=
10
53
Bài 10
Cho khối hộp ABCD.A
1

B
1
C
1
D
1
có đáy là hcn với AB=
3
và AD=
7
. Các mặt bên
ABB
1
A
1
và A
1
D
1
DA lần lượt tạo với đáy những góc 45
0
và 60
0
. Hãy tính thể tích khối hộp
đó biết cạnh bên bằng 1.
giải
Giáo viên: Trần Ngọc Tuyến SDT: 0914437744
10
Sở GD&ĐT Nghệ An Trường THPT Đông Hiếu

A1
D1 C1
A
D
B
C
F
B1
N
H
M
Gọi H là hình chiếu của A
1
lên mpABCD
Từ H hạ HM
⊥
AD tại M và HN
⊥
AB tại N
Theo gt
∠⇒
A
1
MH=60
0
và
∠
A
1
NH=45

0

Đặt A
1
H=x(x>0) ta có A
1
M=
0
60sin
x
=
3
2x
tứ giác AMHN là hcn( góc A,M,N vuông)
Nên HN=AM mà AM=
2
1
2
1
MAAA
−
=
3
43
2
x
−
Mặt khác trong tam giác A
1
HN có HN=x.cot45

0

Suy ra x =
3
43
2
x
−
hay x=
7
3
vậy V
HH
=AB.AD.x= 3.
II ) TÍNH GIÁN TIẾP
Nghĩa là ta sử dụng phân chia lắp ghép khối đa diện, để đưa về bài toán áp dụng tính
thể tích theo công thức hoặc dùng bài toán tính tỉ lệ hai khối tứ diện(chóp tam giác)
Cho hình chóp SABC. Trên các đoạn thẳng SA,SB,SC lấy lần lượt ba điểm A
1,
B
1
,C
1
khác với S thì
SC
SC
SB
SB
SA
SA

V
V
ABC
CBA
111
1
111
=
đôi khi gặp bài toán kết hợp cả
Giáo viên: Trần Ngọc Tuyến SDT: 0914437744
11