Bài tập đường thẳng và mặt phẳng Chuyên Lê Hồng Phong

VẤN ĐỀ 1: TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG
PHƯƠNG PHÁP
- Tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng
- Đường thẳng đi qua hai điểm chung đó là giao tuyến của hai mặt phẳng
Chú ý: Để tìm điểm chung của hai mặt phẳng ta thường tìm hai 2 đường thẳng đồng
phẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng đó. Giao điểm, nếu có, của hai đường thẳng
này chính là điểm chung của hai mặt phẳng.

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là tứ giác ABCD, AB cắt CD tại E, AC cắt BD tại F.
a. Tìm giao tuyến của các mặt (SAB) và (SCD); của (SAC) và (SBD).
b. Tìm giao tuyến của (SEF) với mặt phẳng (SAD) và (SBC)
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. M, N, P lần lượt là trung điểm
của BC, CD, SO. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với các mặt phẳng (SAB), (SAD),
(SBC) và (SCD).
Bài 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC và BC. K là một điểm trên
cạnh BD sao cho KD < KB. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (IJK) với các mặt phẳng (ACD)
và (ABD).
Bài 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC.
a. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (JAD)
b. M là một điểm trên cạnh AB, N là một điểm trên cạnh AC. Tìm giao tuyến của hai mặt
phẳng (IBC) và (DMN)
Bài 5. Cho tứ diện ABCD, M là một điểm bên trong tam giác ABD, N là một điểm bên
trong tam giác ACD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:


a. (AMN) và (BCD)
b. (DMN) và (ABC)
Bài 5: Cho tứ diện ABCD, O là một điểm bên trong tam giác BCD, M là một điểm trên AO.
a. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (MCD) với các mặt phẳng (ABC) và (ABD)
b. I, J là hai điểm trên BC và BD. Tìm giao tuyến của (ỊM) và (ACD)
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của

SB, SD. P là một điểm trên trên SC và SP > PC. Tìm giao tuyến của (MNP) với các mặt
(SAC), (SAB), (SAD) và (ABCD).
Bài 7: Cho tứ diện ABCD, O là một điểm bên trong tam giác BCD, M là một điểm trên AB.
a. Dựng đường thẳng qua M cắt AO và CD
b. N là một điểm trên BC và ON không song song với BD. Dựng đường thẳng qua N cắt
AO và DM.

VẤN ĐỀ 2: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
PHƯƠNG PHÁP:
Để tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P), ta tìm trong (P) một đường
thẳng c cắt a tại điểm A nào đó thì (P). Chú ý: Nếu c chưa có sẵn thì ta chọn một mặt
phẳng (Q) qua a và lấy c là giao tuyến của (P) và (Q)

Bài 1: Cho tứ diện ABCD, trên AC và AD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho MN không
song song với CD. Gọi O là một điểm nên trong tam giác BCD.


a. Tìm giao tuyến của (OMN) và (BCD)
b. Tìm giao tuyến của BC và BD với mặt phẳng (OMN)
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD, M là một điểm trên cạnh bên SC.
a. Tìm giao điểm của AM và (SBD)
b. Gọi N là một điểm trên cạnh BC, tìm giao điểm của SD và (AMN)
Bài 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC, K là một điểm
trên cạnh trên cạnh BD và khong trùng với trung điểm của BD. Tìm giao điểm của CD và
AD với mặt phẳng (MNK)
Bài 4: Cho tứ diện ABCD, M và N là hai điểm lần lượt trên AC và AD. O là một điểm bên
trong tam giác BCD. Tìm giao điểm của:
a. MN và (ABO)
b. AO và (BMN)
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang, cạnh đáy lớn AB. Gọi I, J, K là ba điểm

trên SA, AB, BC theo thứ tự đó.
a. Tìm giao điểm của IK với (SBD)
b. Tìm các giao điểm của mặt phẳng (IJK) với SD và SC.
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình hành. Gọi M là trung điểm của SC
a. Tìm giao điểm I của AM với (SBD). Chứng minh: IA = 2IM
b. Tìm giao điểm F của SD với (ABM). Chứng minh F là trung điểm của SD
c. Gọi N là một điểm tùy ý trên cạnh AB. Tìm giao điểm của MN với (SBD)
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm của SB, G
là trọng tâm tam giác SAD.
a. Tìm giao điểm I của GM với (ABCD). Chứng minh I ở trên đường thẳng CD và IC = 2ID


JA
b. Tìm giao điểm J của (OMG) với AD. Tính JD
KA
c. Tìm giao điểm K của (OMG) với SA. Tính KS

Bài 8: Cho I, J lần lượt là 2 điểm bên trong tam giác ABC và ABD của tứ diện ABCD. M là
một điểm tùy ý trên CD. Tìm giao điểm của IJ và mặt phẳng (ABM).
VẤN ĐỀ 4:
- CHỨNG MINH 3 ĐIỂM THẲNG HÀNG.
- CHỨNG MINH 3 ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY
PHƯƠNG PHÁP
- Muốn chứng minh 3 điểm thẳng hàng ta chứng minh 3 điểm đó là các điểm chung của
2 mặt phẳng phân biệt. Khi đó chúng sẽ thẳng hàng trên giao tuyến của 2 mặt phẳng đó.
- Muốn chứng minh ba đường thẳng ba đường thẳng đồng quy ta chứng minh giao điểm
của hai đường thẳng này là điểm chung của hai mặt phẳng mà giao tuyến là đường
thẳng thứ ba
BÀI TẬP:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I, J là hai điểm cố định trên SA và SC với CI > IA và SJ <

JC. Một mặt phẳng

 

quay quanh IJ cắt SB tại M, SD tại N.

a. Chứng minh rằng IJ, MN và SO đồng quy (O là giao


QUAN HỆ SONG SONG
ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
VẤN ĐỀ 1: Chứng minh 2 đường thẳng song song
Phương pháp:


Có thể sử dụng một trong các cách sau:
1. Chứng minh 2 đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng phương pháp chứng minh
song song trong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lý đảo Talet …)
2. Chứng minh 2 đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ 3
3. Áp dụng định lý về giao tuyến
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD. Chứng
minh: IJ // CD
Ví dụ 2: Cho hình chóp S. ABCD đáy ABCD là hình thang với các cạnh đáy AB và CD (AB >
CD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB.
a. Chứng minh: MN // CD
b. Tìm giao điểm P của SC và mặt phẳng (AND)
Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I. Chứng minh SI // AB // CD. Tứ giác SABI là hình gì?
BÀI TẬP:
1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, AD, AC,
BD.

a. Chứng minh MNPQ là hình bình hành
b. Từ đó suy 3 đoạn MN, PQ, RS cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn.
2. Cho tam giác ABC nằm trong mặt phẳng ∝. Gọi Bx, Cy là 2 nửa đường thẳng song
song và nằm về cùng một phía đối với mặt phẳng ∝,

ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
BÀI TẬP


1. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của các cạnh AB, CD
a. Chứng minh MM song song với các mặt phẳng (SBC) và (SAD)
b. Gọi P là trung điểm của SA. Chứng minh SB, SC đều song song với (MNP)
c. Gọi G1, G2 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và SBC. Chứng minh G1G2 song song
với (SAB)
2. Cho tứ diện ABCD là trọng tâm tam giác ABD. M là một điểm trên cạnh BC sao cho MB
= 2MC. Chứng minh: MG // (ACD)
3. Cho tứ diện ABCD. Gọi O, O’ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABC và
ABD. Chứng minh rằng:

BC AB  AC

a. Điều hiện cần và đủ để OO’ song song với (BCD) là BD AB  AD
a. điều kiện cần và đủ OO’ song song với hai mặt phẳng (BCD) và (ACD) là BC BD và

AC AD
VẤN ĐỀ 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (cách 2/ dạng 2)
-

Tìm thiết diện song song với một đường thẳng cho trước

PHƯƠNG PHÁP: Tìm giao tuyến bằng hệ quả 1 của định lý 6. Từ đó xác định thiết diện
của hình chóp cắt bởi mặt phẳng song song với một hoặc hai đường thẳng theo phương
pháp đã biết.
Ví dụ: Cho hình chóp S. ABCD. M, N là 2 điểm trên AB, CD, ∝ là mặt phẳng qua MN và
song song với SA.
a. Tìm các giao tuyến của ∝ với (SAB) và (SAC)
b. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng ∝
c. Tìm điều kiện của MN để thiết diện là hình thang.


ˆ

ˆ

o
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng ∝ cho tam giác ABC vuông tại A, B 60 , AB a . Gọi

ˆ

ˆ

O là trung điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài ∝, sao cho iểm của BC. Lấy điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài ∝, sao cho iểm S ở ngoài ∝, sao cho SB a và SB  OA . Gọi
M là một điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài ∝, sao cho iểm trên cạnh AB, mặt phẳng β qua M và song song với SB và OA,
cắt BC, SC, SA lần lượt tại N, P, Q. Đặt x BM ( 0  x  a )
a. Chứng minh: MNPQ là hình thang vng
b. Tính theo a và x diện tích của hình thang này. Tính x điểm của BC. Lấy điểm S ở ngồi ∝, sao cho ể diện tisch này lớn
nhất.
BÀI TẬP
1. Cho hình chóp S. ABCD. M, N là hai điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài ∝, sao cho iểm bất kì trên SB và CD. ∝ là mặt

phẳng qua MN và song song với SC
a. Tìm các giao tuyến của ∝ với các mặt phẳng (SBC), (SCD) và (SAC)
b. Xác điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài ∝, sao cho ịnh thiết diện của S. ABCD với mặt phẳng ∝
2. Cho tứ diện ABCD có AB = a, CD = b. Đoạn IJ nối trung điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài ∝, sao cho iểm I của AB và
trung điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài ∝, sao cho iểm J của CD. Giả sử AB vng góc với CD. ∝ là mặt phẳng qua M trên
điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài ∝, sao cho oạn IJ và song song với AB và CD.
a. Tìm giao tuyến của ∝ với mặt phẳng (ICD)
b. Xác điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài ∝, sao cho ịnh thiết diện của S. ABCD với mặt phẳng ∝. Chứng minh thiết diện là
hình chữ nhật

1
IM  IJ
3
c. Tính diện tích hình chữ nhật biết
3. Cho hình chóp S. ABCD điểm của BC. Lấy điểm S ở ngồi ∝, sao cho áy là hình bình hành. Gọi C’ là trung điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài ∝, sao cho iểm của SC,
M là một điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài ∝, sao cho iểm di điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài ∝, sao cho ộng trên cạnh SA, ∝ là mặt phẳng di điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài ∝, sao cho ộng luôn qua C’M và
song song với BC
a. Chứng minh ∝ luôn chứa một điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài ∝, sao cho ường thẳng cố điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài ∝, sao cho ịnh.


b. Xác điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài ∝, sao cho ịnh thiết diện mà ∝ cắt hình chóp S. ABCD. Định M điểm của BC. Lấy điểm S ở ngồi ∝, sao cho ể thiết dieejnlaf
hình bình hành
c. Tìm tập hợp giao điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài ∝, sao cho iểm của hai cạnh điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài ∝, sao cho ối của thiết diện khi M chuyển điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài ∝, sao cho ộng trên
cạnh SA
4. Cho hình chóp S. ABCD điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài ∝, sao cho áy là hình thang ABCD có điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài ∝, sao cho áy lớn BC = 2a, AD =
a, AB = b. Mặt bên SAD là tam giác điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài ∝, sao cho ều. ∝ là mặt phẳng qua điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài ∝, sao cho iểm M trên cạnh
AB và song song với SA và BC, ∝ cắt CD, SC, SB lần lượt tại N, P, Q.
a. Chứng minh MNPQ là hình thang cân
b. Tính thể tích thiết diện theo a và x = AM (0diện tich.

c. Tìm tập hợp giao điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài ∝, sao cho iểm của MQ và NP
5. Cho hình chóp S. ABCD, điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài ∝, sao cho áy ABCD là hình bình hành tâm O. M là một điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài ∝, sao cho iểm
di điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài ∝, sao cho ộng trên SC, ∝ là mặt phẳng qua AM và song song với BD.
a. Chứng minh ∝ luôn chứa một điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài ∝, sao cho ường thẳng cố điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài ∝, sao cho ịnh
b. Tìm giao điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài ∝, sao cho iểm H và K của ∝ với SB, SD. Chứng minh rằng: có giá trị khơng
điểm của BC. Lấy điểm S ở ngồi ∝, sao cho ổi
c. Thiết diện của hình chóp với ∝ có thể là hình thang điểm của BC. Lấy điểm S ở ngồi ∝, sao cho ược khơng?

HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
VẤN ĐỀ: CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
Phương pháp:
Chứng minh mặt phẳng này chứa hai điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài ∝, sao cho ường thẳng cắt nhau lần lượt song song
với hai điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài ∝, sao cho ường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng kia


 / / 
 a / /

a



Chú ý: sử dụng tính chất:
Ta có cách thứ hai điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài ∝, sao cho ể chứng minh điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài ∝, sao cho ường thẳng a song song với mặt phẳng 
Ví dụ 1: Cho hình chóp S. ABCD điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài ∝, sao cho áy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài ∝, sao cho iểm của SA, SD.
a. CMR: (OMN) // (SBC)
b. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài ∝, sao cho iểm của AB và ON. CM: PQ // (SBC)
Ví dụ: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là hai điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài ∝, sao cho iểm di điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài ∝, sao cho ộng lần lượt trên các cạnh

IA JB

ID
JC .
AD, BC sao cho ln có
a. CMR: IJ ln song song với một mặt phẳng cố điểm của BC. Lấy điểm S ở ngồi ∝, sao cho ịnh
b. Tìm tập hợp điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài ∝, sao cho iểm M.



IM

k MJ )
chia điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài ∝, sao cho oạn IJ theo tỉ số k cho trước (tức điểm của BC. Lấy điểm S ở ngồi ∝, sao cho iểm M thỏa

1. Cho hình chóp S.ABCD, điểm của BC. Lấy điểm S ở ngồi ∝, sao cho áy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài ∝, sao cho iểm của SA và SD.
Chứng minh rằng mặt phẳng (OMN) và mp(SBC) song song với nhau.
2. Cho hai hình vng ABCD và ABEF ở trong 2 mặt phẳng khác nhau. Trên
các điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài ∝, sao cho ường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài ∝, sao cho iểm M, N sao cho AM = BN. Các
điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài ∝, sao cho ường thẳng song song với AB vẽ từ M, N lần lượt cắt AD, AF tại M’, N’.
a. CM: (CBE) // (ADF)
b. CM: (DEF) // (MNM’N’)
c. Gọi I là trung điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài ∝, sao cho iểm của MN, tìm tập hợp điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài ∝, sao cho iểm I khi M, N di điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài ∝, sao cho ộng.


VẤN ĐỀ 2: TÌM GIAO TUYẾN CỦA 2 MẶT PHẲNG (Cách 2/ Dạng 3)
TÌM THIẾT DIỆN CẮT BỞI MỘT MẶT PHẲNG SONG SONG VỚI MỘT
MẶT PHẲNG CHO TRƯỚC
Phương pháp:

Tìm phương của giao tuyến của 2 mặt phẳng bằng điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài ∝, sao cho ịnh lý về giao tuyến: “Nếu
hai mặt phẳng song song bị cắt bởi một mặt phẳng thứ ba thì hai giao tuyến
song song với nhau”
T a thường sử dụng điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài ∝, sao cho ịnh lý này điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài ∝, sao cho ể xác điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài ∝, sao cho ịnh thiết diện của hình chóp cắt bởi một
mặt phẳng song song với mặt phẳng cho trước theo phương pháp điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài ∝, sao cho ã biết.

 / / 
  / /a

a


Chú ý: Nhờ tính chất 
Ta có thể đưa về trường hợp này về thiết diện dạng 2
VD: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O có AC = a, BD = b. Tam giác SBD
là tam giác đều. Một mặt phẳng  di động song song với mặt phẳng (SBD) và qua điểm I
trên đoạn AC.
a. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng 
b. Tính diện tích thiết diện theo a, b và x  AI
1.

HÌNH LĂNG TRỤ
A. TĨM TẮT SGK


1. Định nghĩa:
Hình lăng trụ là một hình đa diện có hai mặt nằm trong hai mặt phẳng song song gọi là
hai mặt đáy và tất cả các cạnh không thuộc hai đáy đều song song với nhau
Hình lăng trụ ABCDA’B’C’D’:
- ABCD, A’B’C’D’: đáy

- ABB’A’. BCC’B’: mặt bên
- AA’, BB’, …: cạnh bên
- ACC’A’, BDD’B’: mặt chéo
Tùy theo đa giác đáy, ta có: lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác, …
2. Tính chất:
Trong hình lăng trụ:
- Các cạnh bên song song và bằng nhau
- Các mặt bên và các mặt chéo là những hình bình hành
- Hai đáy là hai đa giác bằng nhau có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau
3. Hình hộp
- Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành gọi là hình hộp
- Hinh hộp có tất cả các các mặt bên và các mặt đáy đều là hình chữ nhật gọi là hình hộp
chữ nhật
- Hình hộp có tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình vng gọi là hình lập
phương
- Trong hình hộp ABCDA’B’C’D’ các đường chéo AC’, A’C, BD’, B’D cắt nhau tại trung
điểm của mỗi đường.


B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN
VẤN ĐỀ: Sử dụng tính chất của hình lăng trụ - Thiết diện
- Cần nắm vững định nghĩa và tính chất của hình lăng trụ để vẽ hình và chứng minh một
số tính chất khác.
- Việc xác định thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng cũng tiến hành tương tự như
đối với hình chóp. Cần chú ý hai đáy lăng trụ song song, do đó giao tuyến của mặt phẳng
cắt hai mặt đó, nếu có là hai đoạn thẳng song song.

Ví dụ 1: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi H là trung điểm của A’B’
a. CM: CB’//(AHC’)
b. Tìm giao điểm của AC’ với (BCH)

c. Mặt phẳng α qua trung điểm của CC’ và song song với AH và CB’. Xác định thiết diện
và tỉ số mà các đỉnh của thiết diện chia cạnh tương ứng của lăng trụ.
Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.
a. Chứng minh hai mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C) là các mặt phẳng song song.
b. Chứng minh đường chéo AC’ đi qua các trọng tâm G1, G2 của 2 tam giác BDA’ và B’D’C.
Chứng minh: G1, G2 chia đoạn AC’ làm 3 phần bằng nhau.
c. Xác định thiết diện cắt bởi mặt phẳng (A’B’G 2). Thiết
diện là hình gì?

Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Trên AB, CC’, C’D’ và AA’ lần lượt lấy
các điểm M, N, P, Q sao cho AM C’N C’P  AQ  x ( 0  x a ).
a. CM: 4 điểm M, N, P, Q đồng phẳng và MP, NQ cắt nhau tại một điểm cố định


b. Chứng minh: mặt phẳng (MNPQ) luôn chứa một đường thẳng cố định. Định x
(MNPQ) // (A’B’C’)
c. Dựng thiết diện của hình lập phương cắt bởi (MNPQ). Thiết diện có đặc điểm gì về
cạnh? Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của chu vi thiết diện.
BÀI TẬP
Bài 1. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’
a. Tìm giao tuyến của (A’B’C’) và (BA’C’)
b. Gọi M, N lần lượt là 2 điểm bất kì trên AA’ và BC. Tìm giao điểm của B’C’ với mặt
phẳng (AA’N) và giao điểm của MN với mặt phẳng (AB’C’).
Bài 2: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’, chứng minh rằng các mặt phẳng (ABC’), (BCA’) và (CAB’)
có một điểm chung O ở trên đoạn GG’. Nối trọng tâm tam giác ABC và trọng tâm tam

OG
giác A’B’C’. Tính OG '
Bài 3: Chứng minh rằng trong hình hộp, tổng hợp các bình phương của bốn đường chéo
bằng tổng các bình phương tất cả các cạnh

Bài 4: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’
a. Gọi I, K, G lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC; A’B’C’; ACC’. Chứng minh rằng:
(IGK) // (BB’C’C) và (A’KG) // (AIB’)
b. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BB’ và CC’. Hãy dựng đường thẳng qua trọng tâm
tam giác ABC cắt AB’ và MN.
Bài 5: Cho lăng trụ ABC. A’B’C’. M, N lần lượt là trung điểm của Bc và CC’. P là điểm đối
xứng của C qua A.
a. Xác định thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng (A’MN). Tính tỉ số mà thiết diện chia
cạnh AB.


b. Xác định thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng (MNP). Tính tỉ số mà thiết diện chia
cạnh AA’ và AB
Bài 6. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của
AB, B’C’ và DD’
a. Chứng minh: (MNP) // (AB’D’) và (BDC’)
b. Xác định thiết diện của hình lập phương với mặt phẳng (MNP). Thiết diện là hình gì?
Tính diện tích của nó.
Bài 7: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy là tam giác đều cạnh a. Các mặt bên ABB’A’, ACC’A’ là
hình vng. Gọi I, J là tâm các mặt bên nói trên và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC.
a. Chứng minh: IJ // (ABC)
b. Xác định thiết diện của hình lăng trụ với mặt phẳng (IJO). Chứng minh thiết diện là
hình thang cân. Tính diện tích của nó theo a.
Bài 9: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi M là trung điểm của trung tuyến AI của đáy ABC; α là
mặt phẳng qua M và song song với các đường thẳng AC’ và B’C. Xác định thiết diện của
lăng trụ đã cho với α và tìm tỉ số mà thiết diện chia cạnh CC’.

XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang (AB//CD). M là một điểm thuộc

cạnh BC không trùng B; C.


1. Xác định thiết diện của hình chóp và mặt phằng (P) đi qua M; (P) // (SAB). Gọi E; F; N
lần lượt là các giao tuyến của (P) với SD; SC; AD. Thiết diện là hình gì?
2. Chứng minh giao điểm I của FM và NE chạy trên một đường thẳng cố định.
Bài :
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bofnh hành. Qua điểm M di động trên cạnh
AB (M không trùng A,, B) dựng mặt phẳng (P) song song với SA và BC. Mặt phẳng (P) lần
lượt cắt SB; SC; CD tại N; P; Q
1. Nêu tính chất thiết diện MNPQ của hình chóp S. ABCD cắt bởi mặt phẳng (P)
2. Gọi I là giao điểm của MN và PQ. Chứng minh rằng điểm I thuộc đường thẳng cố định.
Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh AB; N là một điểm thuộc cạnh CD
không trụng với C; D. Mặt phẳng (P) qua MN và song song với đường thẳng BC
1. Xác định thiết diện của hình tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng (P)
2. Xác định vị trí của N trên cạnh CD sao cho thiết diện là một hình bình hành
3. Xác định vịt trí của N trên cạnh CD sao cho thiết diện là một hình thoi.
Bài 3: Cho hình chóp S. ABCD, đáy ABCD là hình thang (AB//CD); BC = 2a; AD = a; AB = b;
tam giác SAD đều; M là điểm trên cạnh AB sao cho AM = x (0và song song SA; BC cắt CD; SC; SB lần lượt tại P; Q; N
1. Thiết diện của hình chóp và (P) là hình gì?
2. Tính diện tích của thiết diện câu q theo a; b; x
Xác định vị trí M trên cạnh AB sao cho diện tích của thiết diện trên đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 3:
Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O có AC = a; BD = b. Tam giác SBD là
tam giác đều. Mặt phẳng α di động song song với mặt phẳng (SBD) và qua điểm I trên
đoạn AC.


a. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng α

b. Tính diện tích thiết diện theo a, b và x = AI
Bài 4:
Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’. Gọi O’ là tâm của hình bình hành A’B’C’D’. K là trung điểm
cạnh CD; E là trung điểm đoạn thẳng BO’
1. Chứng minh rằng E ở trên mặt phẳng (ACB’)
2. Xác định thiết diện của hình hộp và mặt phẳng (P) qua K; (P) // (EAC)
Bài 5:
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi M là trung điểm của cạnh
SA; N là trung điểm của cạnh SC.
1. – Xác định thiết diện của hình chóp S. ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (P) qua M và song
song (SBD)
- Xác định thiết diện của hình chóp S. ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (Q) qua N và song
song (SBD)
2. Gọi I; J lần lượtlà các giao điểm của đường thẳng CA với (P); (Q). Chứng minh:

1
JI  CA
2



BÀI TẬP XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN
Cho mặt phẳng (P) và một hình đa diện, nếu mặt phẳng (P) và hình đa diện có điểm
chung M thì mặt phẳng (P) cắt mặt của hình đa diện có chứa điểm M theo một đoạn
thẳng hoặc một điểm duy nhất M. Đoạn thẳng chung đó được gọi là đoạn giao tuyến.
Các đoạn giao tuyến khép kín, giới hạn một đa giác phẳng gọi là thiết diện của mặt
phẳng (P) và hình đa diện
Như vậy việc xác định thiết diện của mặt phẳng (P) và hình đa diện chủ yếu là việc xác
định một cách tuần tự các đoạn giao tuyến của mặt phẳng (P) và các mặt của hình đa
diện (nếu có)

Loại I: Mặt phẳng (P) được xác định bởi ba điểm không thẳng hàng cho trước
Loại II: Mặt phẳng (P) đi qua một điểm M của hình đa diện


QUAN HỆ VNG GĨC
ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG
A. TĨM TẮT
1. Định nghĩa:
Một đường thẳng gọi là vng góc với một mặt phẳng khi nó vng góc với mọi đường
thẳng chứa trong mặt phẳng đó.
Khi đường thẳng a vng góc với mặt phẳng  , ta cịn nói  vng góc với a và kí hiệu

a   hay   a
2. Định lý cơ bản:
Điều kiện cần và đủ để một
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
VẤN ĐỀ 1: 1. Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng
2. Chứng minh hai đường thẳng vng góc với nhau.
1. CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG a VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG α
Cách 1: Chứng minh a vng góc với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong α
Cách 2: Chứng minh a song song với đường thẳng b vng góc với α
2. CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI NHAU