SKKN hướng dẫn học sinh giải các bài toán số phức trong chương trình lớp 12 nhằm nâng cao chất lượng dạy học tại trường THPT quảng xương 4c

Mục lục
Trang
MỤC LỤC……………………………………………………………………………...1
I. MỞ ĐẦU....................................................................................................................................... 2
1. Lý do chọn đề tài........................................................................................................................ 2
2.Mục đích nghiên cứu........................................................................................................................ 2
3.Đối tượng nghiên cứu...................................................................................................................... 3
4.Phương pháp nghiên cứu................................................................................................................. 3

II. NỘI DUNG................................................................................................................................... 3
1.Cơ sở lý luận khoa học.................................................................................................................... 3
2.Thực trạng vấn đề............................................................................................................................. 3
3.Nội dung.............................................................................................................................................. 4
Nội dung 1………………………………………………………........................................4
Nội dung 2………………………………………………………………………………...8
Loại 1 : Các loại câu hỏi nhận biết................................................................................................. 8
Loại 2 : Các loại câu hỏi thông hiểu............................................................................................... 9
Loại 3 : Các loại câu hỏi vận dụng thấp..................................................................................... 12
Loại 4 : Các loại câu hỏi vận dụng cao........................................................................................ 15
III.

KẾT LUẬN ……………………………………………………………………...19

Tài liệu tham khảo ………………………………………………………….21
Danh mục sáng kiến kinh nghiệm đã được đánh giá.................................................. 22

1


I. Mở đầu
1/ Lý do chọn đề tài.

Lí thuyết về số phức là một ngành toán học mới,mà học sinh còn nhiều bỡ ngỡ
vì một thời gian dài học quen với số thực.Với mục đích mở rộng tập hợp số để cho
phương trình bậc n luôn có n nghiệm trên một tập hợp số khác tập hợp số thực. Chính
vì lẽ đó lí thuyết số phức ra đời và được đưa vào trong chương trình toán lớp 12 nhằm
cung cấp cho học sinh THPT những kiến thức cơ bản về số phức và trong các đề thi
THPTQG, cho thấy vị trí quan trọng của ngành toán học này.
Để có thể học tốt số phức học sinh phải nắm vững các khái niệm và các kiến
thức cơ bản của số phức đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết
các bài toán và tình huống cụ thể. Qua thực tiễn giảng dạy số phức cho học sinh lớp 12
THPT- chương trình chuẩn môn Toán và các em thi THPTQG tôi nhận thấy: đa số các
em chưa hiểu thấu đáo các khái niệm cơ bản như: số phức liên hợp,modul,biểu diễn
hình học của số phức,…các em chỉ biết giải bài toán số phức trong một số kiểu bài tập
quen thuộc, đa số học sinh chưa biết sử dụng linh hoạt kiến thức về số phức để giải
quyết các tình huống cụ thể.
Với mong muốn giúp các em học sinh lớp 12, học sinh thi THPTQG nắm vững
các kiến thức cơ bản về số phức đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt các kiến
thức đó để giải quyết nhiều dạng câu hỏi trong đề thi TNKQ về số phức, tôi đã chọn đề
tài: “ Hướng dẫn học sinh giải các bài toán số phức trong chương trình lớp 12 nhằm
nâng cao chất lượng dạy học tại trường THPT Quảng Xương 4 ”. Nội dung gồm :
Nội dung 1: Kiến thức về số phức, phương pháp dạy học chương số phức.
Nội dung 2: Một số dạng câu hỏi TNKQ ôn tập thi THPTQG tương ứng với bốn
mức độ kiến thức.
2/ Mục đích nghiên cứu
2


Giúp học sinh nắm vững các khái niệm và các dạng toán cơ bản của số phức
đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài toán và tình huống
cụ thể.
3/ Đối tượng nghiên cứu

- Khách thể: Học sinh l2 thi THPTQG.
- Đối tượng nghiên cứu: các khái niệm và các dạng toán cơ bản của số phức.
- Phạm vi nghiên cứu: Các kiến thức cơ bản về số phức trong chương trình SGK
chuẩn môn toán lớp 12.
4/Phương pháp nghiên cứu
- Kết hợp linh hoạt các phương pháp dạy học
- Tổng kết kinh nghiệm, tìm ra những khó khăn, thuận lợi khi giải quyết các
bài toán ở những lớp trước.

II. Nội dung
1.Cơ sở lý luận khoa học :

Đối với học sinh THPT, việc hiểu một khái niệm là điều cần thiết. Song để học sinh
hiểu sâu và có hứng thú cần cho học sinh thấy được ý nghĩa và tác dụng của khái niệm,
đặc biệt cần vận dụng khái niệm đó vào giải một số bài toán cụ thể.
Đề tài được nghiên cứu thực hiện trên thực tế các tiết dạy về lý thuyết và bài tập số
phức trong chương trình sgk chuẩn lớp 12 mà trọng tâm là thưc hiện các phép tính trên
tập số phức. Khi giải bài tập về số phức, người học cần phải biết vận dụng được lý
thuyết vào trong thực hành.Các tiết dạy bài tập phải được thiết kế theo hệ thống từ dễ
đến khó, từ đó có thể giúp học sinh tiếp cận và nắm bắt những kiến thức cơ bản nhất,
và dần dần phát triển khả năng tư duy, khả năng vận dụng các kiến thức đã học một
cách linh hoạt vào giải toán. Từ đó học sinh có hứng thú và động cơ học tập tốt.
2.Thực trạng vấn đề

3


Trong chương trình toán học lớp 12 khái niệm về số phức, modul,số phức liên hợp …
khá trừu tượng .Các bài tập liên quan đến chúng nhiều, phong phú và đa dạng vì vừa
liên quan đến kiến thức đại số vừa liên quan đến kiến thức hình học phẳng .

Toán số phức có nhiều dạng hay đã và đang được khai thác trong các đề thi TNKQ .
Đứng trước một bài toán này, học sinh các trường THPT nói chung và trường THPT
Quảng Xương 4 nói riêng còn có những bài lúng túng . Sáng kiến kinh nghiệm của tôi
đưa ra một số biện pháp dạy học và các dạng câu hỏi TNKQ thường gặp trong các
dạng đề thi nhằm giúp học sinh giải quyết hiệu quả khi gặp một bài toán về số phức.
3. Nội dung
Nội dung 1 : Phương pháp dạy học số phức
Giáo viên cần làm cho học sinh đạt đuợc các mục tiêu sau :
a. Kiến thức: Giúp học sinh nắm được:
- Dạng đại số, biểu diễn hình học của số phức.
- Phép tính cộng, trừ, nhân, chia số phức dưới dạng đại số, modul của
số phức, số phức liên hợp,căn bậc hai của số phức, giải phương trình bậc hai
trên tập số phức, các bài toán khác có liên quan.
b. Kỹ năng :
- Biểu diễn hình học của số phức.
- Thực hiện các phép toán trên tập số phức dưới dạng đại số.
- Biết tìm căn bậc hai của số phức và giải phương trình bậc hai.
- Giải các bài toán khác có liên quan.
c. Thái độ:
- Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác.
- Thấy được ứng dụng của toán học trong thực tiễn. Qua đó học sinh
thêm yêu môn toán.
d. Các năng lực hướng tới:
* Năng lực chung: Rèn luyện kĩ năng tính toán trên tập số
phức. *Năng lực chuyên biệt:
- Giải một số phương trình qui về phương trình bậc hai trên tập số phức.
Giải một số bài toán khác có liên quan.
e. Mô tả mức độ câu hỏi, bài tập đánh giá năng lực học sinh qua từng nội dung:

4

MỨC ĐỘ NHẬN THỨC

Nội dung
Nhận biết

Số phức

Thông hiểu

Các năng lực
hướng tới
cho học sinh

Vận dụng
thấp

Vận dụng
cao
-Thưc hiện các
Tìm quỹ
phép toán trên
Thực hiện các tích các
Chỉ ra phần Tìm modun, số phép toán cho điểm biểu tập số phức
thực, phần
phức liên hợp… nhiều số
diễn hình - Tìm quỹ tích
ảo…
các điểm biểu

phức…
học của số diễn hình học
phức

Căn bậc
hai của số
phức và
phương
trình
bậc hai

Chỉ ra phần
thực và ảo Tìm căn bậc hai
của số
của số phức…
phức…

Giải phương
trình bậc hai
trên tập số
phức…

của số phức
Giải phương
Giải
trình bậc hai
phương
trên tập số
trình qui về phức
phương

Giải phương
trình bậc trình qui về
hai trên tập phương trình
số phức… bậc hai trên tập
số phức.

f. Biên soạn câu hỏi và bài tập theo các mức độ nhận thức.
NỘI DUNG

Nhận biết

I. Số
-Tìm phần
phức Dạng thực, phần ảo
của số phức.
đại -Tìm số phức
số liên hợp.
của VD: Tìm phần
số thực và phần
phức ảo của các số
phức sau :
a.z = 1 – 2i
b.z = - e
c.z = 3i
VD: Tìm số
phức liên hợp

Thông hiểu
-Biểu diễn hình
học của số

phức.
- Tính modun
của số phức
- Thực hiện các
phép cộng,
trừ,nhân, chia
đơn giản
VD Hãy tính
modul và xác
định tọa độ
điểm biểu diễn

Vận dụng thấp

Vận dụng
cao
Thực hiện các phép -Thực hiện
cộng, trừ, nhân, chia các phép
nhiều số.
tính phức
VD: Tính :
tạp
a.(1 + 2i).(5 –i) : 2i - Tìm quỹ
b.(2 –i) :(5+4i)(1+i) tích các
c.(2+i)2 –(1 - i)3
điểm biễu
diễn số
phức.
- Giải điều
kiện cho

trước tìm z
VD:
1.Tính :
5


của các số
phức sau :
a. z = 1 + 2i
b. z = -2
c. z = 3i

các số phức sau
trên mặt phẳng
tọa độ :
a.z1 = 2 –3i
b.z2 = - i
c.z3 = 3
d.z4 = 0
VD Tính :
a.z3 = z1 + 2z2
b.z4 = z3: z1
c.z3.z4

a.(1+3i)3
(4 –3i)2
(2+i)2.
(3+80i+i3)
b.(3 - i)16 .
(1+2i)16

2.Trong mặt
phẳng Oxy,
tìm tập hợp
các điểm
biểu diễn số
phức z biết :
|z – (3 – 4i)|
=2
3.Tìm số
phức z thỏa
mãn:
|z|2 =2 và z2
là số ảo.
4.Tìm số
phức z thỏa
mãn:
{|z−(2 +i)|=¿{¿√

II.
Căn
bậc
hai
của
số
phức

và
phươ
ng
trình

bậc
hai

1.
Căn
bậc
hai
của

số
phức

Phát biểu định Lập được hệ
nghĩa căn bậc phương trình
hai của số phức tìm căn bậc hai
-Xác định được
phần thực a,và
phần ảo b.

Giải được phương
Giải điều
trình tìm căn bậc hai kiện
tìm z rồi
sau

Ví dụ 1:
Xác định phần
thực a và ảo b
của :
a.Z1 = - i

b.Z2 = 1 – i
c.Z3 = 2 + 2i

Ví dụ 3:
Giải các phương
trình đó để tìm căn
bậc hai.

Ví dụ 2:
Lập các hệ
phương trình
tìm a, b của
w = a +bi biết w
lần lượt là căn

¿¿¿¿
10

đó tìm căn

bậc hai
Ví dụ 4:
Tìm căn bậc
hai của z
biết :
z2 = |z|2 + z

6

Phát biểu(viết
ra được công
thức phương
trình bậc hai):
a 2 bz c 0
z
a 0

bậc hai của các
số phức ở vd1
-Tính được biệt
thức ( ')
- viết được công
thức nghiệm

Giải được một số
phương trình bậc

Giải một số
phương

hai, hoặc biến đổi
đơn giản về bậc hai

trình qui về
phương
trình bậc hai
trên tập số
phức.

-Xác định được
các hệ số a, b,c.
Ví dụ 5:
Xác định hệ số
2.Ph a,b,c trong các
phương trình
ương bậc hai sau:
trình
a ) z 22 z 3 0
bậc
b ) z2
4 0;
hai
c) 3z2 z 0

Ví dụ 6:
-Tính biệt thức
( ') của
phương trình :
a)2 2 3 z 1 0
z
b ) z 2 3 z 0;
c ) z 2 4 0;

Ví dụ 7:
Giải các phương
trình sau:
a ) z 2 3z 2 0;
b ) z (z 2) 3z 1 0
c)z2

5z 2(z2

Ví dụ 8:
1.Giải
phương
trình:
(z+1)(z+2).
(z+3)(z+4)
3). = 24
2. Cho z1, z2
là hai
nghiệm

phức của
phương
trình :
z2+2z+
+10=0.
Tính giá trị
của
biểu thức
A=
|z1|2 + |z2|2
Kết luận : Phương pháp ở đây, tôi đã sử dụng là: Hệ thống hóa khái niệm về số phức
và các khái niệm khác có liên quan , giải thích thông qua các ví dụ từ mô hình cụ thể
đến các mô hình trừu tượng. Sau đó hướng dẫn học sinh giải các bài tập tuơng ứng...
N ội dung 2 : Một số dạng câu hỏi về số phức trong đề thi TNKQ tương
7

ứng với bốn mức độ kiến thức
Loại 1 : Các loại câu hỏi nhận biết

√3

z

i ; z2 = - 2 √3

Câu : Cho 2 số phức z1
=-1+
1
B. − √3 i
.
C. − √3 i
√3 i
−
−
+
A.44
4 4
4 4
HD : Áp dụng qui tắc thực hiện phép chia

1

z

+ 2i. Khi đó

2

bằng :

i

D. √3

+
4 4

Câu 2 : Cho pt : 2x2 – 6x + 5 = 0 .Gọi z1 , z2 lần lượt là hai nghiệm của phương trình.
Kết luận nào sau đây là đúng :
9

A.z12 + z22 =

2

7

25

B. z12 - z22 = 4
.
HD : - Giải phuơng trình tìm nghiệm
- Thay vào vế trái để tìm kết quả
.

C. z12.z22 =

7

4 .

D. z22 – z12 =

4

.

Câu 3 : Cho số phức z = 1 – i. Lựa chọn phương án đúng :
A.z3 = 2 – 2i

B.z3 = 2 + 2i

C.z3 = - 2 – 2i

D.z3 =

-2 + 2i

HD : Thay z vào vế trái để tìm kết quả
Câu
4
A.

: Cho 3 số phức z1 = 1 – i ; z2 = - 1 + i ; z3 = 1 + i. Lựa chọn phương án đúng :

z =z

B. z3 =

|z |

C.

= z1 + z2

1

z1+z2
HD : Thay vào từng biểu thức để lựa chọn phuơng án đúng
Câu : Cho số phức z = −3−3i √3 . Số phức liên hợp với số phức z là :
5
1

2

A. z=3−3i √3
D.

B. z=3+3 i √3

D.

|z |
3

=2

C. z=−3+3i √3

z=−3√3−3i

HD : Sử dụng kiến thức về số phức
Câu 6 : Cho hai số phức z1 = (1 – i)(2i – 3) và z2 = (1 + i)(3 – 2i). Lựa chọn phương
án đúng :
8


z ∈R

¿

1

A.z1.z2

¿R

B.

z . z ∈R

C. 1

z2

D. z1 – 5z2

2

¿R

HD : Thay số phức vào vế trái để tìm kết quả
Câu 7 : Nghiệm của phương trình - 2z2 + 3z – 2 = 0 trong tập số phức là :

z = 3±i √7
1,2

A.

z = −3±i√7

4

B.

z = 3±i √7

1,2

4

C.

z = −3±i√7

1,2

1,2

2

D.

4

HD : Giải phuơng trình bậc hai
Câu8 : : Cho số phức z = 3 – i
A.M(3;-1)

B.M(3;1)

z

.Điểm M biểu diễn số phức ¿
C.M(- 3;- 1)
D.M(- 3;1)

có tọa độ là :

HD : Tìm số phức liên hợp rồi tìm tọa độ điểm M
Câu : Cho 2 số phức z1 = 1+ i , z2 = 1 – i .Kết luận nào sau đây là sai?
9

z

1

A.

z2

=i

B.z1 + z2 = 2

C. |z1.z2| = 2

D. | z1 – z2| =

√3

HD : Thay vào vế trái để tìm kết quả đúng
Câu 10 : Kết quả A = i5 là :
A.1

B.-i

C.i

D.-1

HD : Thực hiện phép tính
Câu 11 : Khẳng định nào sau đây là sai :
A. Modul của hai số phức liên hợp thì bằng nhau.
B. Điểm biểu diễn số phức liên hợp đối xứng nhau qua trục Ox

C. Phần thực và phần ảo của số phức z bằng nhau khi và chỉ khi z = 0.
D. |z| = 1 nếu điểm biểu diễn số phức z thuộc đường tròn tâm O, bk R =
1. HD : Sử dụng kiến thức về số phức
9


Loại 2 : Các loại câu hỏi thông hiểu
Câu 12 : Cho các số phức z1 = 1 + i ; z2 = - 2 + 2i ; z3 = - 1 – i được biểu diễn lần lượt
bởi các điểm A , B, C trên mặt phẳng . Gọi M là điểm thõa mãn :
Điểm M biểu diễn số phức :
A.z = 6i
B.z = 2

C.z = - 2

D. z = - 6i

HD : - Tìm tọa độ các điểm A, B, C
- Tìm tọa độ điểm M => số phức cần tìm
Câu1 3 : Cho số phức : z = 1

(1+i √3 )

. Kết luận nào sau đây là sai ?

2
1 (−1+i√3)

A.z2 =
1

z=

B.

2
(−1−i √3 )

1

=

|z|= 1

1

z 2(1−i √3 )

C.

2

D

.

2

HD : Thay số phức vào vế trái để tìm kết quả
Câu 14 : Gọi z1, z2 là hai nghiệm của pt z2 + 1 = 0.Tính : M = z14 + z24
A.2i B.0 C.-2i D.2 HD : - Giải phuơng trình

tìm nghiệm
- Thay vào vế trái để tìm kết quả
Câu15 : Cho z = - i. Tính A = z3 +
A.- i
B.0
C.2i

1
3
z

D.2

HD : Thay số phức vào A để tìm kết quả
{z1+z2=6¿¿¿¿

Có bao nhiêu nghiệm phức phân

Câu 16: Hệ phương
trình biệt ?
A.0
B.1

C.2

D.4

10

HD : Đưa về phuơng trình đại số tìm nghiệm
Câu 17 : Trong mặt phẳng phức cho 2 điểm A( 0 ; 4 ), B ( 0 ; - 3) . Điểm C thỏa mãn :
.Điểm C biểu diễn số phức :
⃗⃗ ⃗ ⃗
OC=OA+O
B
A.z = 4 – 3i
B.z = -3 –4i
C.z = -3 +4i
D.z = 4 + 3i
HD : Tìm tọa độ điểm C
- Số phức cần tìm
Câu 18 : : Cho số phức z = 2i .Lựa chọn phương án đúng :
1

1

B.|z| - 2 = 4

A.z-2 = 4

C. z3 +

Z

−13i

+z=

2

D.z6

= 64

HD : Thay vào vế trái tìm kết quả
Câu 19 : Trong mặt phẳng phức cho ba điểm A, B, C lần lượt biểu diễn các số phức
z1 = 2; z2 = 4 + i ; z3 = -4i.

M là điểm sao cho :

⃗OA+⃗OB+⃗OC−3⃗OM=0⃗

.
Khi đó M biểu diễn số phức :
A.z = 18 –i B.z = -9 + 18i C.z = 2 – i HD : Tìm tọa

D.z = -1 + 2i

độ điểm M
- Suy ra số phức
Câu 20 : Số phức nào sau đây là số thực?
1−2 i +1+2 i
A.z = 3−4 3−4 i
i
1−2 i +1+2 i
3−4 i 3+4 i

1+2 i − 1−2 i
B.z = 3−4 3+4 i

i
1+2 i +1−2 i
D.z = 3−4 3+4 i
i

HD : Thực hiện phép tính tìm kết quả
Câu 21 : Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của pt z2 + 2z + 10 = 0
.Tính giá trị của biểu thức : B = |z1|2 + |z2|2

C.z =


11


A.B =2

B.B =

√10

C.B = 20

√10

D.B = 10

HD : Giải phuơng trình tìm nghiệm
- Thay vào biểu thức
Câu 22 : Giá trị của biểu thức A = ( 1 + i √3 )6 là :

A.Một số nguyên dương

B.Một số nguyên âm

C.Một số ảo

D.Số 0

HD : Thực hiện phép tính
. Modun của số phức z bằng :

2
2
Câu 23 : Cho z=( √2+i) (1−i√2)

A.|z| = 81

B.|z| = 9

C.|z| =

√39

Câu 24 : : Phần thực và phần ảo của số phức z =
A.1 và 0

B.-1 và 0

C.i và 0

D.|z| = 39

(

1 7 1
2 i i− i 7

)

là :

D. – i và 0 .

HD : thực hiện phép tính
Câu 25: Số nghiệm ảo của pt : z4 + z2 – 6 = 0 là :
A.0

B.1

C.2

D.4

HD : Giải phuơng trình trùng phuơng
- Trên tập số phức phuơng tŕnh có 4 nghiệm
Loại 3 : Các loại câu hỏi vận dụng thấp
Câu 26 : Cho phương trình x2 – 2x + 2 = 0 . Gọi A và B lần lượt là các điểm biểu
diễn các nghiệm của pt. Khi đó diện tích tam giác OAB là :
C. √3 đvdt

A.1đvdt
B.2đvdt
HD : - Giải phuơng trình tìm tọa độ A , B

√3
D.

2

đvdt

- Áp dụng công thức tính diện tích tam giác.
Câu 27 : Tìm số phức z biết

|z−(2+i)|=√10,z. z=25

A.z = 5; z = 3 – 4i. B.z = -5 ; z = 3 – 4i. C.z = 5; z = 3 + 4i. D.z = -5; z = 3 + 4i
12


HD : Gọi dạng số phức z
- Đưa điều kiện giả thiết vào giải hệ phuơng trình tìm z
Câu 28 : : Cho z =

1 – i, phần ảo của số phức w = (
B.- 1
C.- 2
D.- 3

A.0

z

)3 + 1 + z + z2 bằng :

HD : Áp dụng qui tắc tính
Câu29 : Trong mặt phức cho tam giác ABC vuông tại C . Biết rằng A, B lần lượt biểu
diễn các số phức : z1 = - 2 – 4i; z2 = 2 – 2i. Khi đó có một điểm C biểu diễn số phức :
A.z = 2 – 4i
B.z = - 2 + 2i
HD : Tìm tọa độ điểm C

C.z = 2 + 2i

D.z = 2 – 2i

- Rồi tìm số phức
Câu 30 : Cho 2 số phức z1 = 2 - i√3
A.| z1 + z2|
|

¿

8

, z2 = 4 + 3i . Lựa cho phương án đúng :

B. | z1 – z2 |= 5

√7

C.| z1.z2| =

√

133

D.

z

1|=

√7 z2 5

HD : thay vào vế trái tìm kết quả
Câu 31: Trong mặt phẳng phức cho điểm A(2 ; - 1).Điểm A’ đối xứng với A qua
đường phân giác của góc phần tư thứ nhất .Điểm A’ biểu diễn số phức :
A.z = -1 + 2i

B.z = 1 + 2i

C.z = -2 + i

D.z = 2 + i.

HD : Tìm tọa độ điểm A’
- Suy ra số phức z
Câu 32 : Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A biểu diễn số phức z 1 = 1 + 2i. B là điểm
thuộc đường thẳng y = 2 sao cho tam giác OAB cân tại O . B biểu diễn số phức nào

sau đây :
A.z = -1 + 2i B.z = 1 – 2i C.z = -1 – 2i D.z = 1 + 2i HD : Tìm tọa độ
điểm B
- Số phức z cần tìm
13


Câu 33 : Phần ảo của số phức z = 1 + (1+i)+(1+i)2+(1+i)3+…+(1+i)20 bằng :
A.210 B.210 + 1 C.210 – 1 D.- 210 HD : Sử dụng
công thức ( zn – 1 )
Câu 34 : Tìm số phức z, biết z− 5+i√3 −1=0
z

[z=−1+i√3 [

[z=−1+i√3 [

A. [z=2−i√3

B. [z=2+i√3

[z=−1−i√3 [

[z=−1−i√3 [

[z=2−i√3

C.

D. [z=2+i√3

HD : Thực hiện phép tính tìm số phức liên
hợp - Từ đó tìm số phức z
Câu 35 : Số phức z thỏa mãn pt : (2 + i)2 (1 – i)z = 4 – 3i + (3 +i)z là :
A.z = -1 + 3i/4
B.1 – 3i/4
HD : Giải Phuơng trình tìm nghiệm

C.- 1 -3i/4

D. 1 + 3i/4

Câu 36 : Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn đk | z – 3 + 4i | = 2 là :
A.Đường tròn tâm I ( -3 ; 4),bk R = 2

B.Đường tròn tâm I(3; - 4) bk R = 5

C.Đường tròn tâm I( 3;- 4) bk R = 2

C.Đương tròn tâm I (-3;4) bk R = 5

HD: Gọi số phức ở dạng đại số
- Thay vào điều kiện tìm tập hợp
Câu 37 : Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn đk | z + 2| = | i – z | là :
A.Đường tròn tâm I( -2; 1) bk R =

√5

B.Đường thẳng có pt : y = - 3/2 + 2x

B. Đường tròn tâm I (2 ; - 1) bk R =
D.Đường thẳng có pt : y = -3/2 – 2x

HD: Gọi số phức ở dạng đại số
- Thay vào điều kiện tìm tập hợp
Câu38 : Phần thực a và phần ảo b của số phức z = ( 1 – i)2017 là :
14


A.a = 21008, b = - 21008.B.a = 21008, b = 0. C.a = 0, b = 21008. D.a = - 21008, b = 21008
HD : Tính ( 1 – i )2 => Kết quả của z
Câu 39 : Nghiệm của pt : ( 2 – 3i)z + ( 4 + i)
A.z = - 2- 5i

B.z = 2 + 5i

= - ( 1 + 3i)2 là :

C.z = -2 + 5i

D.z = 2 – 5i

HD: Tìm số phức liên hợp rồi suy ra z
Câu 40 : Cho tam giác vuông cân ABC tại C, các điểm A, B theo thứ tự biểu diễn các
4 v 2+6 i
i à
i−1 3−i

số phức
A.z = -1 –i hoặc z = - 3 + i

C.z = 1- i hoặc z = 3 – i

.Điểm C biểu diễn số phức z nào sau đây :
B.z = 1 – i hoặc z = 3 +i
D.z = - 1 – i hoặc z = 3 + i

HD: Tìm tọa độ điểm C
- Từ đó suy ra số phức z
Câu 41 : Nghiệm phức của pt : z2 + |z| = 0 là :
A.0; i ; -i

B.0; 1; -1

C. 0; i

D.0; - i

HD : Gọi z ở dạng đại số tìm nghiệm
Câu 42 : Gọi M và M’ theo thứ tự là các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn số phức
1+ z
i
2
z ¿
0 và z’ =
. Tam giác OMM’ là tam giác gì?
A.Tam giác vuông B.Tam giác cân
C.Tam giác vuông cân D.Tam giác đều

HD: Tìm tọa độ M và M’ => Tính chất tam giác
Câu 43 : Cho các điểm A, B, C và A’,B’,C’ trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu

diễn các số : 1 – i, 2 + 3i, 3 + i, và 3i, 3 – 2i, 3 + 2i .Kết luận nào sau đây là đúng :
A.Hai tam giác bằng nhau

B.Hai tam giác có diện tích bằng nhau

C.Hai tam giác đều vuông

D.Hai tam giác có cùng trọng tâm

HD : Biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ tìm kết quả
1
z
2i )
Câu 44 : Nghiệm phức của pt : (2 – i)(
+ 3 + i)(iz +
= 0 là :
15


2

1

A.- 1 + i ;
B. 1 – i;
HD : Gọi z ở dạng đại số => tìm z
Câu45 : Phần thực và phần ảo của số phức z =

A.1 và 0

1

1

B.-1 và 0

2

C. 1 + i;

1 (i7

2i

C.i và 0

1

2

−

D.1 – i; -

2

là :

1)
7

i

D. – i và 0 .

HD : thực hiện phép tính
Câu 46 : Số nghiệm ảo của pt : z4 + z2 – 6 = 0 là :
A.0

B.1

C.2

D.4

HD : Giải phuơng trình trùng phương
- Trên tập số phức phương trình có 4 nghiệm
Câu 47 : Số nghiệm phức của pt : z2 +
A.1
B.2
C.3
D.4

z

= 0 là :

HD: Gọi z ở dạng đại số
- Thay vào giả thiết tìm nghiệm rồi suy ra kết quả.
Loại 4 : Các loại câu hỏi vận dụng cao

Câu 48: Cho số phức z = a+bi (a, b thuộc R) thỏa mãn phương trình :
(|z|−1 )(1+iz)=i .
1
z−

z
2
2
Tính a +b ?

B.4

A. 3+2√2

HD : Từ gt ta có : a+(a +b −b)i=(√
2

2

C. 3−2√2
2 2
a +b +1)i => a = 0 , b =

D. 2+2√2
1+√2

2
2
=> a +b = 3+2 √2 .

16


Câu 49: Cho hai số
z=

z ,z
1

2

|z |=3,|z |=4,|z −z |=√37
1

thỏa mãn

2

1

2

,Xét số phức

z =a+bi
1

z

. Tìm |b|?

2

3√3
A.|b| =

√39
B.|b| =

8

8
C. |b| =

HD : Đặt z1=x + yi ,z2 =c +di
2

2

x +y

=9

2

2 =16,

√3
8

3
D.

8

=>

xc+ yd=−6

,c +d

2

2

3

3
3
,a +b = 4 =− 8 +bi⇒|b|=

√3

8
Câu 50: Cho các số phức z thỏa mãn | z – 2| = 2. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn
số phức w = (1 - i)z +i là một đường tròn . Tính bán kính r của đường tròn đó?

A.r =4

B.r =

√2

C.r =

w−i
HD : gọi w = x + yi => z = 1−i

2

2 √2

D.r = 2

2

=> x + y −4 x+2 y−3=0 => r = 2√2

¿
Câu 51 Tập hợp các số phức w =
( 1+ iz) + 1 với z là số phức thỏa mãn |z – 1|
:
hình tròn. Tính diện tích hình tròn đó?

A.

2π

B.

π

w−i
HD : w = x +yi => z = 1+i

Câu 52:
A. 4

C. 3π

D.

4π

2
2
 ( x−2) +( y−1 ) ≤2

=>S=

2π

Cho số phức z thỏa mãn | z – 2 - 3i| = 1 . Giá trị lớn nhất của

B. √13+1

C.

√13+2

1 là

|z+1+i|

là :

D.6

17


Câu 53: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện |z – 2 -4i| = | z -2i|. Tìm số phức có
modul nhất?

A. z= -2 + 2i

B.z = -1 +i

C.z = 3 + 2i

√2⇒z=2+2i
2 2
2
x + y = 2( x−2 )2+(2√2)
z. z=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

HD : z = x + yi => x + y = 4 => |z| =
Câu 54: Cho số phức z thỏa mãn

D.z = 2 +2i

√

≥2

√

3
P = |z +3 z+ z|−|z+ z|

15
A. 4

13
C. 4

B.3
HD : z = a +bi => |z| = 1
2

P = |z|.

2

3
D. 4

2

3

3

|z +2 z. z+z |−|z+z|=4 a +1−2|a|≥ 4

4

Câu55 : Cho

z ,z , z
1

2

3

=> Pmin =
là các số phức thỏa mãn |z1|=|z2|=|z3|=1 .Khẳng định nào sau

đây đúng?
A. |z1+z2+z3|=|z1 z2 +z2 z3 +z3 z1|

B.

C. |z1+z2+z3|<|z1 z2+z2 z3+z3 z1|

D. |z1+z2+z3|≠|z 1 z2 +z2 z3 +z3 z1|
z = 1 , z 2= 1 , z = 1

|z |=|z |=|z |=1

HD : Ta có

1

2

=>

3

|z1+z2+z3|>|z1 z2+z2 z3+z3 z1|

1

z

z
1

3 z

2

3

. Mặt khác ta có :

+z |=|z +z +z 3 |=| 1 + 1 + 1 |=| z1 z2+z2 z +z z |=|z

|z 1+z

3

2

3

1

2

z1

z2

z3

zzz

z+z 2 z + z z |

3 1

1

2

3

3

1

1 2 3

Câu 56 : Cho hình vuông ABCD có tâm H và A, B, C, D, H lần lượt là điểm biểu diễn
cho các số phức a, b, c, d, h.Biết a = -2 + i, h = 1 + 3i, và số phức b có phần ảo b
dương Khi đó |b| = ?

A. √10

B. √13

C. √37

D. √26

18


9−2 m
HD : pt đường thẳng BH là : 3x + 2y – 9 = 0 => B( 3
, m) (m >0). Ta có :
2

AH =BH

2

=> m = 6.

b = - 1 + 6i => |b| =

Câu 57 : Tìm số phức z thỏa mãn :
2

√37

|z−3−4i|=√5 và biểu thức P = |z+2|

2

- |z –i|

đạt giá trị lớn nhất ?

A.z = 5 +5i

B.z = 2 + i

C.z = 2 +2i

D.z = 4 + 3i

HD : z = x + yi => ( x – 3 ) 2 + ( y – 4 ) 2 = 5.
=> Pmax = 33=> z = 5 +5i
Câu 58 Gọi T là tập hợp các số phức z thỏa mãn |z−i|≥2,|z+1|≤4 . Gọi z1 ,z2∈T
:
lần lượt là các số phức có modul nhỏ nhất và lớn nhất trong T . Khi đó z1−z2 bằng :
A.-5

B.4 – i

C.5 –i

{x2+(y−1)2≥4¿¿¿¿

HD : Ta có :

D. – 5 + i

. Vậy T là phần mặt phẳng nằm giữa hai đường tròn

(C) tâm I(0,1) ,bk r = 2 và đường tròn (C’) tâm I( -1,0) ,bk r’ = 4
Từ đó z 1 = 0 – i, z 2
= -5 là hai số phức có modul nhỏ nhất và lớn nhất .

Do đó

z −z
1

= 5 – i.

2

Câu 59 Cho số phức z thỏa mãn | z – 3 |= 2|z| và max| z -1 +2i| = a +b
:
Tính a + b?
A.4

√2

HD: z = x +yi  (x +1) 2

√2

.

4

B.3
C.

3

D.4

+ y 2 = 4. Tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z là

đường tròn tâm I( -1;0), R = 2
19


Ta có | z – (1 -2i)| = MN , N( 1, -2) => MN lớn nhất khi đi qua tâm I
MN = NI + IM =

2 √2+R=2 √2+2

=> a = 2, b = 2 => a + b = 4.

√10 +1−2 i
Câu 60: Cho số phức z thỏa mãn (2 +i )|z| =

z

. Biết tập hợp các điểm

biểu diễn số phức w = (3 – 4i)z – 1 + 2i là đường tròn tâm I, bán kính R . Khi đó :
B.I(-1,2),R=5
D.I(1, -2), R
A.I(-1,-2),R=

√5

C. I(1, 2), R =

√5

= 5.
Đặt z = a + bi và |z| = c  |x + yi + 1 – 2i| = 5c  (x – 1) 2 + ( y – 2) 2 = 25c 2 .
Thử đáp án c = 1, R = 5 thỏa mãn đáp án C.

Đáp án :
1A
11C
21C
31A
41A
51A

2C
12A
22A
32A
42C
52C

3C
13D
23B
33D
43C
53D

4C
14D
24B
34C
44A
54D

5C
15B
25C
35B
45B
55A

6D
16C

26D
36C
46C
56C

7D
17A
27C
37D
47D
57A

8B
18C
28B
38A
48A
58C

9D
19C
29C
39C
49A
59D

10C
20D
30C
40D

50C
60C

Kết luận: Phương pháp ở đây, tôi đã sử dụng là :Nêu các dạng bài tập , hướng dẫn
học sinh nhận dạng và cách giải trong một số ví dụ điển hình, từ đó giúp học sinh rút
ra nhận xét và vận dụng một cách linh hoạt hợp lí trong từng trường hợp cụ thể.
4. Hiệu quả đạt được :
Trước khi thực hiện đề tài , năm 2017 tôi đã khảo sát chất lượng của học sinh 12B và
12C thông qua kiểm tra bài toán TNKQ 30 câu về số phức:
Kết quả như sau:
65% học sinh biết cách giải từ câu 1 đến câu 25
20% học sinh biết cách giải từ câu 26 đến câu 47
20


2% học sinh biết cách giải từ câu 48 đến câu 60
Chất lượng bài giải của học sinh thấp, kĩ năng giải toán dạng này yếu
Kết quả sau khi thực hiện đề tài:
Sau khi thực hiện đề tài tại lớp 12B và 12C năm 2017 tôi đã khảo sát chất lượng của
học sinh thông qua kiểm tra bài toán TNKQ 30 câu về số phức: Kết quả như sau:
90% học sinh biết cách giải từ câu 1 đến câu 25
60% học sinh biết cách giải từ câu 26 đến câu 47 6%
học sinh biết cách giải từ câu 48 đến câu 60 Chất
lượng bài giải và kĩ năng giải toán dạng này tốt.
III.Kết luận:
Bài toán số phức mới được đưa vào chương trình toán lớp 12 THPT , hầu hết học sinh
đều gặp khó khăn khi tiếp cận với bài toán này. Để giúp học sinh nắm vững các kiến
thức cơ bản về số phức đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt các kiến thức đó để
giải quyết nhiều tình huống khác nhau tôi xin hệ thống lại các bước tiếp cận và giải các
bài toán số phức như sau:

1. Hệ thống hóa các kiến thức, các khái niệm cơ bản .
2. Đưa ra một số ví dụ điển hình hướng dẫn học sinh phân tích và giải bài toán.
3. Rèn luyện kĩ năng giải các bài tập thông qua một số bài tập bổ sung nâng
cao .Gợi mở cho học sinh những hướng phát triển, mở rộng bài toán .
Việc chọn trình tự giải các bài toán theo các bước như trên giúp học sinh dễ tiếp thu
hơn và thấy được trong từng bài toán nên áp dụng kiến thức nào cho phù hợp. Mỗi
dạng toán tôi chọn một số bài toán cơ bản để học sinh hiểu cách làm, từ đó làm các bài
tập tương tự và nâng cao hơn. Tôi thấy học sinh tiến bộ hơn nhiều, số đông các em
không còn lúng túng thiếu tự tin như trước nữa, mà các em tích cực tự giác tìm lời giải
cho mỗi bài toán.
21


Tơi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh nghiệm
do tơi viết, khơng sao chép của ngườì khác.
Xác nhận của thủ trưởng đơn vị
Quảng xương, ngày 12 - 5 - 2018
Người viết skkn

Lê Thị Lý

IV.TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.Sách giáo khoa tốn 12, nxbGD, 2008;
2.Sách bài tập tốn 12, nxbGD, 2008
3.Phương pháp giảng dạy mơn tốn, Vũ Dương Thụy, nxbGD, 2009
4.Giải một bài tập như thế nào?G.Polya , nxbGD,2010
5.Sách giáo khoa Đại số nâng cao 12, nxbGD, 2009
6.Hướng dẫn ơn thi TN và THPTQG từ năm 2008 -> 2018 của Bộ GD&ĐT.
7.Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào thi ĐH-CĐ tồn quốc (từ 2008- 2016).
8.Sách giáo viên, sách giáo khoa, sách bài tập Giải tích 12

9.Hướng dẫn thực hiện chương trình SGK Tốn 12: Nguyễn Thế Thạch – nxbGD 2008
10.Câu hỏi TNKQ phần vận dụng cao của Nguyễn Bảo Vương.

22


DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN
KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN,
TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: LÊ THỊ LÝ
Chức vụ và đơn vị công tác : Giáo viên – Trường THPT Quảng Xương 4

Cấp đánh
T

Tên đề tài SKKN

T

giá xếp
loại

(Ngành GD cấp
huyện/tỉnh; Tỉnh...)

Kết
Năm
quả
học

đánh
đánh
giá xếp giá xếp
loại

loại

(A, B, hoặc C)

1.

Giúp học sinh suy ra một bất

2011 - 2012
23


đẳng thức từ việc xét vị trí
tương đối của tiếp tuyến và
đồ thị hàm số để nâng cao

Sở GD&ĐT
tỉnh Thanh
Hóa

C

hiệu quả ôn thi ĐH&CĐ cho
học sinh lớp 12 trường THPT
Quảng Xương 4

2.

Hướng dẫn học sinh giải các

2014 - 2015

bài toán xác suất trong

Sở GD&ĐT

chương trình 11 nhằm nâng
cao chất lượng dạy học

tỉnh Thanh
Hóa

C

tại trường THPT
Quảng Xương 4

24