SKKN một số giải pháp giúp học sinh 12 phát huy khả năng giải các dạng bài tập tích phân liên quan đến hàm ẩn trong kỳ thi THPT quốc gia

MỤC LỤC
I. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
2. Mục đích nghiên cứu
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
5. Các phương pháp nghiên cứu
II. NỘI DUNG:
1. Cơ sở lý luận
1.1. Nguyên hàm
1.2. Tích phân
2.Thực trạng trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
3. Giải pháp giải quyết vấn đề
Dạng 1: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức
f ' ( x )=h ( x ) . f n (x ) , n ∈ N¿

Dạng 2: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức

n

2
2
2
3
3
3
3
3
3
4
5

5
5
8

'

f ( x ) . f (x )=h(x)

Dạng 3: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức dạng
U(x).f’(x) + U’(x).f(x) = h(x)
Dạng 4: tích phân liên quan đến biểu thức có dạng
f’(x) + p(x).f(x)= h(x)
Một số dạng khác
Bài tập vận
dụng
4. Kết quả thực hiện
4.1. Kết quả vận dụng của bản thân
4.2. Triển khai trước tổ bộ môn
III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Kết luận
2. Kiến nghị

9
1
1
1
5
1
7
1

8
1
8
1
9
1
9
1
9
2
0


I.MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
1


Mỗi một nội dung trong chương trình toán phổ thông đều có vai trò r ất
quan trọng trong việc hình thành và phát triển tư duy của h ọc sinh. Trong
quá trình giảng dạy, giáo viên phải đặt ra cái đích là giúp h ọc sinh n ắm
được kiến thức cơ bản, hình thành phương pháp, kỹ năng, kỹ xảo, từ đó t ạo
được thái độ và động cơ học tập đúng đắn. Thực tế dạy và học cho chúng ta
thấy còn có nhiều vấn đề cần phải giải quyết ,học sinh chưa hình thành
được kỹ năng, kỹ xảo trong quá trình giải toán và đặc biệt từ năm học 20162017, Bộ Giáo dục và Đào tạo thực hiện đổi mới trong kỳ thi Trung học Ph ổ
thông Quốc gia (THPTQG). Trong đó môn toán được đổi từ hình th ức thi t ừ
tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm. Việc thay đổi đã tạo nên nhi ều b ỡ
ngỡ cũng như khó khăn cho cả giáo viên và học sinh trong việc ôn luyện.
Hình thức thi trắc nghiệm môn toán đòi hỏi một số kĩ năng m ới mà khi thi
tự luận chưa được khai thác . Chẳng hạn, trước đây thi tự luận khi dạy

phần tích phân giáo viên chỉ tập trung hướng dẫn cách học sinh v ận d ụng
các phương pháp tính tích phân để tính các tích phân. Ví dụ, tính các tích
phân sau:
2

a. ∫ x . ln (x +1) dx
1
1

b. ∫ x . ex dx
0
3

c.∫ √33 x−1 dx
0

Khi thi tự luận gặp các bài toán này học sinh phải trình bày được các b ước
để dẫn đến kết quả đúng . Nhưng khi thay đổi hình thức thi tr ắc nghi ệm,
với những bài toán kiểu như thế này thì học sinh chỉ cần sử dụng máy tính
cầm tay hoàn toàn có thể chọn được một đáp án đúng mà không c ần ph ải
biết cách tìm tích phân đó như thế nào. Đó chính là lý do quan tr ọng nh ất
mà người ra đề thi phải thay đổi hình thức ra đề để hạn chế tối đa việc sử
dụng máy tính vào việc giải quyết các bài toán. Việc sử dụng máy tính c ầm
tay chỉ hỗ trợ một phần nào đó thôi, quan trọng các e vẫn ph ải n ắm đ ược
bản chất của bài toán thì mới làm được. Vì vậy hệ thống bài t ập tích phân
liên quan đến hàm ẩn gần như còn mới và lạ đối với cả giáo viên và học
sinh. Bằng những kinh nghiệm giảng dạy trên lớp và dạy bồi dưỡng tôi đã
rút ra cho mình một số dạng bài tập tích phân liên quan đ ến hàm ẩn . Đó
chính là lý do tôi đưa ra đề tài "
2.Mục đích nghiên cứu:

2


Thông qua đề tài này giúp cho người đọc, đặc biệt là học sinh nhận thấy
được có một số bài toán về tích phân không thể dùng máy tính để chọn
được đáp án đúng. Từ đó giúp các em biết cách nhận biết và gi ải quy ết m ột
số bài tập tích phân liên quan đến hàm ẩn một cách nhanh chóng và hi ệu
quả cao trong các kì thi đặc biệt là trong các kì thi THPTQG ở các năm sau.
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là tập trung vận dụng lý thuyết về nguyên
hàm và tích phân trong SGK Giải tích 12 để giải quyết một số dạng bài t ập
về tích phân có liên quan đến hàm ẩn.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu:
Đưa ra những cơ sở lí luận cần thiết, trên cơ sở đó phân dạng các bài t ập
tích phân liên quan đến hàm ẩn. Giúp học sinh nhận dạng và gi ải quy ết bài
toán một cách hiệu quả nhất.
5.Các phương pháp nghiên cứu:
Phương pháp nghiên cứu chủ yếu là nghiên cứu lý thuyết và th ực nghi ệm
vào các dạng bài tập được sắp xếp và phân chia một cách hợp lý.
II. NỘI DUNG :
1. Cơ sở lý luận:
1.1. Nguyên hàm:
1.Định nghĩa:
+) F(x) là một nguyên hàm của hàm số y = f(x) trên K n ếu F’(x) = f(x), ∀ x ∈ K
+) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số y = f(x) trên K thì F(x) + C (C là
một hằng số bất kì) là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K và đ ược kí
hiệu: ∫ f ( x )dx=F ( x)+C
2. Tính chất:
+) ∫ f ' ( x ) dx=f (x )+C
+) ∫ k . f (x ) dx=k∫ f ( x) dx , ∀ k ≠ 0

+) ∫[ f (x )± g (x)]dx=∫ f (x ) dx ±∫ g ( x ) dx
+) mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K
3


3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp:

∫0. dx=C

∫

∫ dx=x+C
∫ x∝ dx = x

∫

(∝≠−1
+C
∝+1

∝+1

1

∫ sinxdx=−cosx +C

)

dx=ln|x|+C

∫

∫ ex dx=ex+ C

∫

∫

x

ax
a dx= ln +C
a
cosxdx=sinx+C
x

1 dx=tanx +C
2
cos x
1 dx=−cotx +C
2
sin x

4. Các phương pháp tìm nguyên
hàm: a. Phương pháp đổi biến số:
∫ f (u ( x)) . u' ( x ) dx=F (u ( x ))+C

b. Phương pháp nguyên hàm từng phần:
∫ u ( x ) . v' ( x ) dx=u ( x ). v ( x )−∫v ( x ). u' ( x) dx

Hay

∫u . dv=uv −∫ vdu

1.2. Tích phân:
1. Định nghĩa:
b

∫ f ( x )dx=F ( x)∨¿ba =F (a)−F (b)¿
a

( Trong đó F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a;b])
2. Tính chất:
b

a

a

b

+) ∫ f ( x )dx=−∫f ( x )dx
b

b

+) ∫ kf (x ) dx=k∫ f ( x)
dx
a
b

( k là hằng
số)

a
b

b

+) ∫[ f (x )± g (x)]dx=∫ f (x ) dx ±∫ g ( x ) dx
a

a

a

4


b

c

b

a

a

c

+) ∫ f ( x )dx=∫ f ( x )dx +∫ f ( x ) dx
b

+) ∫ f 2 (x ) dx=0=¿ f ( x )=0
a

3. Các phương pháp tính tích
phân: a. Phương pháp đổi biến số:
b
∫

β
∫

'
f ( x )dx= f (φ (t )) .φ (t ) dt
∝

a

b. Phương pháp tính tích phân từng phần:
b

b

∫u ( x ) . v ( x ) dx=u ( x ). v (x )∨¿ a−∫v ( x ). u' (x ) dx ¿
'

b

a

a
b

b

Hay∫u . dv=u . v∨¿ab −∫ v . du ¿
a

a

2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghi ệm :
Phần kiến thức về tích phân là một nội dung không thể thiếu trong cấu trúc
đề thi THPTQG. Năm học 2016-2017 là năm đầu tiên thay đổi hình th ức thi
trắc nghiệm, nhiều bài toán tích phân học sinh có thể dùng máy tính đ ể
chọn được được đáp án đúng mà không cần biết cách gi ải như th ế nào.
Nắm được khe hở đó từ năm 2017-2018 người ra đề thay đổi cách th ức ra
bài toán hạn chế việc sử dung máy tính chọn đáp án đúng. Vì v ậy trong các
đề sau này xuất hiện một số bài tập về tích phân liên quan đến hàm ẩn,đây
là một dạng bài tập mới lạ đối với các em nên các em sẽ thấy bở ngỡ và khó
khăn. Chính vì vậy đề tài này được đưa ra nhằm giúp cho học sinh d ễ dàng
tiếp cận và giải quyết một cách hiệu quả các dạng bài tập này.
3.Giải pháp để giải quyết vấn đề:
Dạng 1: Bài toán tích phân liên quan đến biểu
thức
Phương pháp:
Nếu n = 1: Ta có f

'

(

) ( ) ()

f'(x)

( )

f ' ( x )=h ( x ) . f n (x ) , n ∈ N¿

∫

()

x =h x . f x ↔ f ( x ) =h x → ln (f x )=
'

f'(x)

n

Nếu n > 1: Ta có : f ( x )=h ( x ) . f (x )
↔

( )
h x . dx

1

=∫ h( x ) . dx

f n ( x ) =h ( x )→ (1−n) . f n−1 ( x )

5


Ví dụ 1:
Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên R, thỏa mãn các điều ki ện:
f ( x )>0 , ∀ x ∈ R , f ' ( x )=−ex . f 2 ( x ), ∀ x ∈ R vàf (0 )=

A.

2

B −2
.

9

9

C. 2

1 . Tính f(ln2)
2
D. 1

3

3

Giải
:
'

x

f'(x)

2

Từ f ( x )=−e . f

( x ) ↔−

x

x

1

f 2 ( x ) =e → f ( x ) = e

x

. dx=e +C

∫

1 =e +C → C=1
Tại x = 0 ta có: f ( 0) 0

Tại x = ln2:

1 =eln 2 +1→ f ( ln2)= 1 . Vậy ta chọn đáp án
f (ln 2)
D.
3

Ví dụ 2:
Cho hàm số f(x) có đồ thị hàm số (C),xác định và liên tục trên R, thỏa mãn:
f ( x )>0 , ∀ x ∈ R , f ' ( x )=( x . f ( x ))2 , ∀ x ∈ R vàf (0)=2.
Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 của đồ thị hàm s ố
(C).
A. y = 6x+ 30

B. y = -6x + 30

C. y = 36x - 30

D. y = -36x + 42

Giải:
'

(

)

2

f x =( x . f (x )) ↔−

Tại x = 0:

f'(x)

2

2

1

−1

3

. dx= 3 x +C
→ f ( x )=∫−x
1 =C →C= 1 → 1
−x3 1 → f ( x )=
1
=
+
−x 3 + 1

f2(x)

f (0)

=−x

2

f (x)

3

2

3

2

Tại x = 1: f(1) = 6 và f’(1) = 36
Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 là: y = 36x - 30
Vậy chọn đáp án: C
Ví dụ 3:
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên (0 ;+∞ ), thỏa mãn:


6


f ' ( x )+(2 x +4) . f 2 ( x )=0 , f ( x )>0 , ∀ x ∈ R và f (2)= 1 .
15

Tính f(1) + f(2) + f(3)

A 7
.
15

B 11
.

C 11
.

D. 7

15

30

30

Giải:
'

2

2

1

f'(x)

f ( x )+(2 x +4) . f ( x )=0 ↔− f 2 ( x ) =2 x +4 → f ( x ) =∫ (2 x +4) . dx=x +4 x +C

1 =12+C → C=3
Tại x = 2: f ( 2)
1 =8 → f (1)= 1
Tại x = 1: f ( 1)
8
1 =24 → f (3 )= 1
Tại x = 3: f ( 3)
24
1
1
1
7
Suy ra : f (1)+ f (2)+ f (3)= 8 + 15 + 24 = 30

Vậy ta chọn đáp án: D
Ví dụ 4:
Cho hàm số f(x) xác định và có đạo hàm trên R, thỏa mãn:
f ( x ) ≠ 0 , ∀ x ∈ R , f ' ( x )=(2 x +3) . f 2 (x ) và f (0)= −1 .
2

a
Tổng: f (1)+ f (2)+ f (2018)= , a ∈ Z , b ∈ N

¿

và

b

a

là phân số tối giản.

b

Mệnh đề nào sau đây đúng:
a
A.
←1 B. >1
a
b

C. a + b = 1010

D. b - a = 3029

b

Giải
'

2

f ' ( x)

1

2

f ( x )=(2 x+3). f ( x ) ↔− f 2 ( x ) =−(2 x +3) → f ( x ) =−∫(2 x+3 ). dx=−(x +3 x )+C
1

Tại x = 0: f (0) =C →C=−2
7


1
−1
Tại x = 1: f (1) =−6 → f (1)= 6 =−

Tại x =
2:

11

(2− 3 )
1 =−12 → f (2)= −1
1 1
f (2)
12 =−(3 −4 )
1

−1

1 1

(4 −5 )

Tại x = 3: f (3) =−20 → f (3)= 20 =−

.........
1

−1

1

Tại x = 2018: f (2018) =−4078380→ f ( 2018 )= 4078380
f

(1)+ f (2)+ …+ f (2018 )=−

=−

(

1

2019− 2020 )

(12 − 20201 )=−20201009

Suy ra: b - a = 3029
Vậy chọn đáp án : D
Ví dụ 5:
Cho hàm số f(x) liên tục và nhận giá trị dương trên (0 ;+ ∞ ), thỏa mãn:
f ( x )=f ' (x ) . √3 x +1 , ∀ x >0 và f (1 )=1 . Mệnh đề nào sau đây đúng:
A. 4Giải:

B. 2f '(x )

'

1

1

f ( x )=f (x ) . √3 x +1↔ f (x ) = √ 3 x+1 → ln ( f ( x ))=∫ √ 3 x +1 . dx=

Tại x = 1: ln ( f (1))=

4 +C→C= −4
3

2.
√

3 x +1
+
3
C

3
4

4
Tại x = 5: ln ( f (5))= 3 → f (5)=e 3 ≈ 3,79 →3

Vậy chọn đáp án: C
Dạng 2: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức f n ( x ) . f ' (x )=h(x)
Phương pháp: Lấy nguyên hàm hai vế ta đươc:
f n+1 ( x )=∫h ( x ). dx

Ví dụ 1:
8


Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên R và thỏa mãn đi ều ki ện:
f’(x).f(x) = x4 +x2 và f(0) = 2. Tính f 2 (2)
A 313
.

B. 332

C 324
.

15

15

D. 323

15

15

Giải:

+
Ta có: ∫ f ' ( x ) f ( x ) dx=∫ ( x4 +x2 ) dx≤¿ 1 2
3
5
x
x
+
c
f ( x )=
2

5

3

1 ( 0)=c=¿ c=2
Mà f(0) = 2 ¿> f 2
2

Vậy f ( x )=
2

2
332 .
2 x5 + x3+ 4=¿ f 2 (2)=
15
5
3

Vậy chọn đáp án D

Ví dụ 2:
Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên R và thỏa mãn đi ều ki ện:
f 6 ( x ) . f ' (x )=12 x +13, f (0)=2. Khi đó phương trình f(x) = 3 có bao nhiêu nghiệm.
A.2

B.3

C.7

D.1

Giải: Ta có:
∫ f 6 ( x ) f ' ( x ) dx=∫(12 x +13) dx≤¿ f 7 (x )=6 x2 +13 x +C

Mặt khác: f(0) = 2 nên C= 128
Xét pt: f ( x )=3≤¿ f 7 ( x )=37≤¿ 6 x2+ 13 x
+128=2187 ¿>6 x2 +13 x−2059=0

Suy ra pt có 2 nghiệm nên chọn đáp án A
Dạng 3: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức dạng
U(x).f’(x) + U’(x).f(x) = h(x)
Phương pháp: từ gt ta có (U(x).f(x))’= h(x)
Lấy đạo hàm hai vế ta được: U(x).f(x) = ∫ h( x ) dx
Ví dụ 1:

9


Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục và có đạo hàm trên R và th ỏa mãn:
(x+1).f’(x)+f(x) = 3 x2 - 2x , f(1) = -1. Tính f(2)

A.2

B. 2

C. 3

3

D. 5
2

Giải: Từ gt ta có
((x+1).f(x))’ = 3 x2−2 x =¿ ( x+1) . f ( x )=∫(3 x2−2 x)dx =x3
−x2 +C Mà f(1) = -1 nên C = 2.f(1) = -2

Tại x = 2 ta có: 3.f(2) = 2 nên f(2) = 2/3
Vậy chọn đáp án B.
Ví dụ 2:
f
Cho hàm số y = f(x) xác định, có đạo hàm trên (0;+∞) va thỏa mãn: f ' ( x )+
( x)
x =4 x2 +3 x (1), f(1) = 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại x =
2 là:

A. y = 16x + 20

B. y = -16x+ 20

C. y = -16x -20

D. y = 16x - 20

Giải:
Từ (1)¿> x . f ' (x )+ f (x )=4 x3 +3 x2≤¿ ( x . f ( x ))' =4 x3+3 x2
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
x . f (x )=∫ (4 x3 +3 x2)dx =x4 +x3+C

Mà f(1) = 2 nên C = 0. Vậy : f ( x )=x3 +x2
Tại x = 2: f(2) = 12, f’(2) = 16 nên pttt là: y = 16(x-2)+12 hay y = 16x20 Vậy chọn đáp án D
Ví dụ 3:
Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên R, thỏa mãn:
π
sinx.f’(x) + cosx.f(x) = 2x - 1 . Tính: f( 2 ).

A. π2+2 π
4

B. π2−2π
4

C. 2 π−π2
4

D. π 2−π
2
10


Giải:
Từ gt ta có: (sinx.f(x))’=2x - 1

→ sinx . f ( x )=∫(2 x−1) . dx=x2−x+ C

Mặt khác với x = 0 ta có: sin0.f(0) = 0 +C suy ra C = 0

( )

π
π
π
Với x= 2 → sin 2 . f
2 =¿

Vậy chọn đáp án B
Ví dụ 4:
Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên R, th ỏa mãn:

(1) và f(0) = 2. Tính f(3)

( x2 +1) . f ' ( x )+2 x . f ( x )=−x
A. −1

B.

4

1

C.

4

1

D. −1

2

2

Giải:
Từ (1) ta có:
( ( x2 +1) . f ( x ))'=−x →(x2 +1). f ( x )=∫−x . dx=

− x2
2

+C

Mặt khác : f(0) = C = 2
− 5
− 1
Tại x = 3: 10.f(3) = 2 → f (3)= 4 . Vậy chọn đáp án A

Dạng 4: tích phân liên quan đến biểu thức có
dạng f’(x) + p(x).f(x)= h(x)
Phương pháp : Nhân cả hai vế với e∫ p ( x) . dx ta được:
e∫

P ( x) .dx

↔ (e∫

→ e∫

P ( x) .dx

. f ( x )+e∫

P ( x) .dx

P ( x) . dx

. f ( x )) =e∫P
'

. f ( x )=∫e∫

. P (x ) . f ( x )=e∫

( x ). dx

P ( x) .dx

. h(x )

. h(x)

P (x ) .dx

. h ( x ). dx

Ví dụ 1 :
Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên R, thỏa mãn:
11


f(x) + f’(x) = sinx, ∀ x ∈ R (1) và f(0) = 1. Tính: eπ . f (π )
A. eπ −1

B. eπ +1

2

C. eπ +3

2

Giải:

D. π +1

2

2

dễ dàng nhận
thấy:

P(x) = 1 → ∫ P ( x ) . dx= dx=x→ e∫ P ( x) .dx=ex

∫

Nhân cả hai vế với ex ta được:
ex . f ( x )+ex . f ' ( x )=e x . sinx
↔ (ex . f ( x))'=ex . sinx

1 ( ex . sinx−ex . cosx )+C

→ ex . f ( x )=∫ ex . sinx .dx =

2

1
. cos0)+C → C= 3
Tại x = 0: e0 . f (0)= (e0 . sin 0−e0
2

Tại x=π : e . f
π

2

1

( π )= ( eπ . sinπ−eπ
2

. cosπ ) 3 = e +3
+
2

2
π

Vậy chọn đáp án C.
Ví dụ 2
:
Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên R, th ỏa mãn:
f ' ( x )=f (x )+x2 .e x+1, ∀ x ∈ R ,(1) và f(1) = -1.Tính: f(3).

A. 26. e3 +3

B. 26. e3−3

3

C. 9. e3+ 1

D. 9. e3−1

3

Giải:
Từ (1) : f ' ( x )−f (x )=x2 . ex+ 1 (2)
∫

∫

Nhận thấy: P(x) = -1→ e P ( x) . dx=e −dx=e− x
Nhân hai vế của (2) với e− x ta được:
e− x . f ' ( x )−e− x . f ( x )=x2+ e−x

↔ (e−x . f ( x ))' =x2+e−x
→ e−x . f ( x)=∫ (x2+e−x ). dx=
3

x3

−e− x+C

12


1
− 1
Tại x = 1: e−1 . f (1)= 3 −e−1+ C →C= 3
1
26.e3−3
Tại x = 3: e−3 . f (3)=9−e−3− → f (3 )=
3

3

Vậy chọn đáp án B.
Ví dụ 3:
Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên R, th ỏa mãn:
(

1

x +2) . f (x )+( x +1) . f ' ( x )=ex , ∀ x ∈ R , (1) và f (0 )= 2

Tính f(2).
e
e
A.
B.
3

C. e 2

6

D. e

3

2

6

Giải:
'

ex

x +2

Từ (1) ta có: f ( x )+ x +1 . f ( x )= x +1 (2)
Nhận thấy : P ( x ) x +2
=

∫ P (x ) .dx

x +1 → e

∫

x

+ 2 .dx

x+ ln
(x+1 )

x +1

=e

=e

=( x +1). ex

Nhân cả hai vế của (2) với ( x +1). ex ta
được:
(

x +1). ex . f ' (x )+( x +2) . ex . f ( x )=e2 x

↔ (( x+1). ex . f ( x ))' =e2 x
e

→ ( x+1) . ex . f ( x )=∫ e2 x . dx= 2 x
+C 2

Tại x = 0: e0 . f (0)=

e0

+C →C=0

2

Tại x = 2: 3. e2 . f (2)=
2

e4

→ f (2)=
6

e2

Vậy chọn đáp án D.
Ví dụ 4:

[

π

]

mãn:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên 0 ; 3 , thỏa
13


π

3

[ ]
f’(x).cosx + sinx.f(x) = 1 ,∀ x ∈ 0 ;

π

∫

(1) và f(0) = 1. Tính:

3

f ( x ) . dx

I=
0

A. √3+1

B. √3−1

2

C. 1

D.

2

2

1 +π
2 3

Giải:
Từ (1) ta có: f ' ( x )+ cosx

sinx

. f ( x )= cosx

1

(2)

Nhận thấy:
∫ P ( x) . dx

sinx

P ( x )= cos → e

x

∫

sinx . dx

∫

cosx

=e

−d (cosx)

−ln (cosx )

cosx

=e

=e

1

= cosx

1
Nhân cả hai vế của (2) với cosx ta được:
1
sinx

1
'
. f ( x )+

cosx

f ( x )=

(cosx )2

(cosx )2

(cosx1 . f ( x )) = (cosx1 )

↔

'

2

1
1
→ cos . f ( x )=∫ cos2 x . dx=tanx+C
x
Tại x = 0: 1 . f (0)=tan 0+C → C=1→ f ( x )=sinx+cosx
cos 0
π
3

π

π

3

3

I = ( sinx+cosx ) . dx= sinx . dx+ cosx. dx= √3+1
0
0
0
2
∫

∫

∫

Vậy chọn đáp án A
Ví dụ 5:
Cho hàm số y= f(x) liên tục trên R\{0;-1} và thỏa mãn:
x (x +1) f ' ( x )+f ( x )=x2+ x (1)và f (1)=−2. ln2.

Giá trị f(2) = a + b.ln3, (a , b ∈ R). Tính: a2+b2
9
5
A. 25
D. 13
B.
C.

4

2

2

4

Giải:
14


Từ (1) f ' ( x )+

1 f ( x )=1(2)
x . (x +1)
1

Nhận thấy: P ( x )
=

1

∫ P ( x) .dx

x ( x+1 ) →e

∫

1

∫

x .( x+1) dx

=e

1

(x − x+1 )dx

=e

=¿

¿ eln|x|−ln |x+1|= x +x1

x
Nhân hai vế của (2) với x+ 1 ta được:
x . f ' ( x )+
1 . f ( x )= x
x+1
x +1
( x+1)2
x

↔

x

( x+1 . f ( x )) = x+1

'

x

x

→ x +1 . f ( x )=∫ x+1

(

. dx=∫ 1

1
− x +1

). dx=x−ln|x +1|+C

1
Tại x = 1: 2 . f (1)=1−ln 2+C →C=−1
2
3
3
3
Tại x = 2: 3 . f (2)=2−ln 3−1→ f (2)= 2 − 2 ln3 → a= 2
− 3

9

, b= 2 → a2 +b2 = 2

Vậy chọn đáp án B
Một số dạng khác
Ví dụ 1:
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R\{0} thỏa mãn:
x2 . f 2 ( x )+(2 x −1). f ( x )=x . f ' (x )−1, ∀ x ∈ R \{ 0 }(1)và f (1)=−2
2

Tính: I =∫ f ( x ) . dx
1

A. −1 −ln 2
2

B. −3 −ln 2
2

C. −1− ln 2
2

D. −3 − ln 2
2

2

Giải:
Từ (1) x2 . f 2 ( x )+2 xf ( x )−f ( x )=x . f ' ( x )−1
15


↔ x2 . f 2 ( x )+2 x . f (x )+1=f ( x )+ x . f '( x)

↔ ( x . f ( x )+1)2=f (x )+x . f ' (x)
↔

f (x )+ x . f ' (x )

'

1

(

)

( xf (x )+1)2 =1 → x . f ( x )+1 =−1

→

1

=∫−dx=−x+ C

x . f ( x)+1

1
Tại x = 1:

1. f (1 )+ 1

→

=−1+C →C=0
=−x → f ( x)= −1 − 1

1
x . f ( x)+1

x2
−1

x

2

2

I =∫ f ( x ) . dx=∫
1

1

−1

12

−

(x

)

. dx=

x

2

−ln 2

Vậy chọn đáp án A
Ví dụ 2:
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên [4;8] và
8

( f ' (x))2 . dx=1 và f (4 )= 1, f (8 )= 1
f(x) ≠ 0 , ∀ x ∈ [4 ; 8 ] và thỏa mãn: ∫
4
4
2
4 (f (x))
Tính: f(6).

A.

5

B.

2

8

C.

3

3

D.

8

1
3

Giải:
8

8

f (x)
'

Ta có ∫4 f 2 (x ) dx=∫4

1

−

'

(f ( x ) )

1

1

dx= f (4 ) − f (8) =2

Giả sử k là một số thực thỏa mãn: ∫84

(ff '((xx)) )
2

+k

2

dx=0

2

8

(f ' (x) ) ¿+ 2k . f ' (x) 2
+k ). dx=0 ¿
↔∫(
4
2
( f (x ))
4

(f (x ))
8

↔∫

f ' (x ) 2
)

4

8

(

( f (x))

4

dx+2 k∫

4

8

f ' (x )
2

(f (x))

dx + k2

.∫dx=0

4

16


− 1

↔

1+ 2k .2+k 2 .4=0 ↔ k= 2
8

12

f ' (x)

Tức: ∫4 ( (f (x ))2 −

2

6

)

6
1 6 f '(x )
1

dx=0 ↔ 2
= 2 →∫ 2
(a
4 f (x) dx=∫4
f (x)
2 dx=1

f ' (x)

f '(x )

)

6

Mặt khác: ∫4 f 2 (x ) dx=∫4

−

(

1
f(x)

'

1

) . dx=

1

f (4 ) − f (6) (b)

1
Từ (a) và (b) suy ra : f(6) = 3

Vậy chọn đáp án D.
b

Chú ý: ∫ f ( x ). dx=0 thì không suy rađược f ( x )=0 nhưng
a
b

∫ f 2 k (x ) dx=0 ↔f ( x )=0
a

Bài tập vận dụng:
Câu 1(Đại học Vinh lần 2- 2018) : Cho hàm số y = f(x) có đ ạo hàm và liên t ục
trên [1;2] thỏa mãn: f(1) = 4 và f ( x )=x . f ' ( x)−2 x3−3 x2.
Tính: f(2)
A.5

B.20

C.10

D.15

Câu 2(Quỳnh Lưu 1- Nghệ An - 2018): Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm và liên

tục trên R thỏa mãn: f ' ( x )+2 x . f ( x )=2 x . e−x và f(0) = 1. Tính: f(1).
2

A. e

B.

1
e

C. −2
e

D. 2
e

Câu 3(Cẩm Bình - Hà Tĩnh - 2018): Cho hàm số y= f(x) có đ ạo hàm và liên t ục
trên R thỏa mãn: x . f ' ( x )−x2 .e x=f ( x) và f(1) = e. Tính:
2
∫

I=

f ( x ) . dx

1

A. e2−2 e

B. e

C. e2

D. 3. e2−2 e

Câu 4(SGD Bắc Ninh) :
Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạohàm tại
∀ x ∈ (0; +∞ ) và thỏa mãn: f(x) = x.(sinx + f’(x)) + cosx và

17


3π
2

∫ f ( x ) . sinxdx=−4
π
2

Khi đó f ( π ) nằm trong khoảng nào?
A. (6;7)
B. (5;6)
C. (12;13)

D. (11;12)

(

π
Câu 5: Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên 0 ; 2

) đồng thời

thỏa mãn:
'

x
f ( x )+tanx . f ( x )= cos3 x biết √3

π

π

() ()

. f 3 −f 6 =aπ √3+bln 3

Trong đó a , b ∈ R. Tính giá trị của biểu thức: P = a + b.
A. 14

B. −4

9

9

C.

7

D. −2

9

9

Câu 6: Cho hàm số f(x) xác định có đạo hàm liên tục trên R và th ỏa mãn
1

∫ f ( x )dx=1,

f(1) = cot1. Tính tích phân

0
1

I = ∫(f ( x ) tan2 x +f ' ( x ) tanx )dx
0

A. 1 - ln(cos1) B. 0

C. 1 - cot1

D. -1

Câu 7: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0;1], f(x) và f’(x) đ ều nh ận
giá trị dương trên [0;1] thỏa mãn: f(0) = 2,
1
∫

1

f ( x ) . [f ( x)+1 ]dx=2

1

∫√

∫

2

'

0

'

f ( x ) . f ( x ) dx . Tính f
0

3

( x ) dx

0

A. 15

B. 15

C. 17

D. 19

4

2

2

2

x

Câu 8:

Cho f ( x )= cos2 x trên

(

− π
π
2 ;2

) , F(x) là một nguyên hàm của x.f’(x)

thỏa
−π
π

mãn: F(0) = 0. Biết a ∈ 2 ; 2 , thỏa mãn: tana = 3. Tính

(

)

F (a )−10 a2 +3 a

A. −1 ln 10

B. −1 ln 10

1
C. ln 10

2

4

2

D. ln10
18


ax+ b

Câu 9: Cho hai số a, b thỏa mãn: F(x)=

,(4 a−b≠ 0) là một nguyên hàm của

x +4
hàm số f(x) và thỏa mãn: 2. f 2 ( x )=[ F ( x )−1] . f ' (x ). Khẳng định nào dưới

đây đúng và đầy đủ nhất ?
A. a= 1, b = 4.

B. a= 1, b = -1.

C. a=1, b ∈ R ¿ {4¿}D. a ∈ R ,b ∈ R .

Câu 10:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f’(x) liên tục trên ¿ và thỏa mãn:

3.f ( x )+ f ' ( x )=√1+3.e−2 x. Tính: e3 . f (1 )−f (0)
1
A.

2

√e

+3

1
−

2

1

B.

1
2

2.√e +3

−

4

C.

(e2+3 )√ e2 +3−8

2

3

2

+3)√e

D.(e

+3- 8.

4.Kết quả thực hiện:
4.1. Kết quả vận dụng của bản thân:
Tôi đã thực hiện việc giảng dạy mảng kiến thức này trong hai năm gần đây

với mức độ khác nhau giữa các lớp trong cùng m ột khóa học hay các khóa
học khác nhau. Đề tài đã được thực hiện khi tôi tham gia giảng dạy môn
toán của lớp 12A1 trường THPT Ngọc Lặc, trong quá trình gi ảng d ạy h ọc
sinh dễ dàng tiếp nhận kiến thức và vận dụng một cách linh hoạt . Kết qu ả
học sinh cảm thấy tự tin và hứng thú khi gặp các dạng toán này.Qua các bài
kiểm tra về phần này và các đề thi thử THPTQG nhiều em có sự ti ến b ộ rõ
rệt và kết quả tốt. Cụ thể như sau:

Lớp 12A1 năm học 2018-2019 (Sỉ số
41)
G
K
TB
SL %
SL %
SL %
20 48,1
21 51,9
0
0

Y
SL
0

%
0

Kém
SL %

0
0

4.2. Triển khai trước tổ bộ môn:
Tôi đã đưa đề tài này ra tổ để trao đổi và rút kinh nghi ệm, đa s ố các đ ồng
nghiệp trong tổ đã đánh giá cao và vận dụng có hi ệu qu ả, t ạo đ ược h ứng
thú cho học sinh, giúp các em hiểu sâu, nắm vững và tự tin hơn khi đứng
trước các bài toán tích phân liên quan đến hàm ẩn.
19


III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ:
1. Kết luận:
Trong dạy học giải bài tập toán nói chung và dạy học giải bài tập toán
tích phân nói riêng, việc xây dựng các bài toán riêng lẻ thành m ột h ệ th ống
theo một trình tự logic có sự sắp đặt của phương pháp và quy trình giải
toán sẽ giúp học sinh dễ dàng tiếp cận với nội dung bài h ọc, đ ồng th ời có
thể phát triển tư duy học toán cũng như tạo ra niềm vui và sự hứng thú
trong học toán.
Việc chọn trình tự bài tập và phân dạng như trên giúp học sinh dễ tiếp
thu hơn và thấy được trong từng bài toán nên áp dụng ki ến th ức nào cho
phù hợp. Mỗi dạng toán tôi chọn một số bài tập để học sinh hi ểu cách làm
để từ đó làm những bài tập mang tính tương tự và dần nâng cao hơn. .Tuy
nhiên, vẫn còn một số học sinh không tiến bộ do mất cơ bản, sức ỳ quá l ớn
hoặc chưa có động cơ, hứng thú trong học tập.
Do đó đây chỉ là những giải pháp trong hàng vạn giải pháp để giúp phát
triển tư duy, sự sáng tạo của học sinh. Giáo viên trước hết ph ải cung cấp cho
học sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản sau đó là cung cấp cho h ọc sinh cách
nhận dạng bài toán, thể hiện bài toán từ đó học sinh có thể vân dụng linh hoạt
các kiến thưc cơ bản, phân tích tìm ra hướng giải, bắt đầu t ừ đâu và b ắt đ ầu

như thế nào là rất quan trọng để học sinh không sợ khi đứng trước một bài
toán khó mà dần dần tạo sự tự tin, gây hứng thú say mê môn toán, t ừ đó t ạo
cho học sinh tác phong tự học tự nghiên cứu . Đề tài có th ể phát tri ển và xây
dựng thành hệ thống đề thành sách tham khảo cho học sinh và giáo viên.

Rất mong sự đóng góp ý kiến của các bạn quan tâm và đồng nghi ệp để
đề tài này được đầy đủ hoàn thiện hơn .
2. Kiến nghị:
Đối với tổ chuyên môn :

20


Cần có nhiều buổi họp thảo luận về nội dung tích phân, đặc bi ệt là
các dạng bài mới lạ liên quan đến tích phân. Khuyến khích h ọc sinh xây
dựng bài tập toán liên quan đến những dạng bài tập toán trong bài gi ảng.
Đối với trường :
Cần bố trí những tiết thảo luận hơn nữa để thông qua đó các học
sinh bổ trợ nhau về kiến thức. Trong dạy học giải bài tập toán, giáo viên
cần xây dựng bài giảng thành hệ thống những bài tập có ph ương pháp và
quy trình giải toán.
Đối với ngành giáo dục :
Phát triển và nhân rộng những đề tài có ứng dụng thực ti ễn cao,
đồng thời viết thành những bộ sách tham khảo cho học sinh và giáo viên.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 16 tháng 05 năm 2019

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao
chép nội dung của người khác.

Người viết

Đào Quỳnh Giao

21