Các phương pháp tính tích phân

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
Phương pháp đổi biến số:
Bài toán : Tính
Nếu
• Hàm có đạo hàm liên tục trên đoạn
• Hàm hợp được xác định trên .
• ,
thì
Ví dụ: Tính tích phân sau:
a)
b)
Hướng dẫn giải:
a)
• Đặt

• Đổi cận:


= = = =
b)
• Đặt
• Đổi cận:


= =
Ví dụ 2: Tính các tích phân sau:
a)
b)
Hướng dẫn giải: a)
• Đặt ,

• Đổi cận:


= =
b)
• Đặt
Ta có
= = .
Chú ý:
Trong thực tế chúng ta thường gặp những dạng tích phân trên dưới dạng tổng quát.
Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa căn dạng và
(Trong đó a là hằng số dương) mà không có cách biến đổi nào khác thì ta biến đỏi sang
dạng lượng giác để làm mất căn thức , Cụ thể :
• Với: đặt
hoặc ,
• Với đặt
hoặc
• Với đặt
hoặc ;
Bài tập vận dụng:
Tính các tích phân sau:
a) b)
c) d)
d)
Đáp án: a) ; b) ;c) ; d) ;e)
Phương pháp tích phân từng phần
Nếu và có đạo hàm liên tục trên đoạn thì:
= -
hay
Ví dụ: Tính các tích phân sau:

Hướng dẫn :
• Đặt :

= -
= - =
Chú ý : Có ba dạng tích phân thường áp dụng tích phân từng phần.
• Nếu tính tích phân mà là các đa thức còn là một trong
các hàm số
Đặt :
• Nếu tính tích phân mà là các đa thức còn là hàm số
Đặt :
• Nếu tính tích phân hoặc
Đặt :
Hoặc đặt :