(Luận văn thạc sĩ) Tính chất hình học của nghiệm của một số đa thức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

NGUYỄN THỊ HỒNG ÁNH

TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA NGHIỆM
CỦA MỘT SỐ ĐA THỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

NGUYỄN THỊ HỒNG ÁNH

TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA NGHIỆM
CỦA MỘT SỐ ĐA THỨC
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. NGUYỄN TẤT THẮNG

THÁI NGUYÊN - 2019

iii

Mục lục
Bảng ký hiệu

1

Mở đầu

2

1 Kiến thức chuẩn bị

4

1.1

Bao lồi và tâm tỉ cự của hệ điểm . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Phép biến đổi tuyến tính trên mặt phẳng . . . . . . . . . . .

9

2 Định lý Siebeck cho đa thức bậc ba

13

2.1

Tính chất hình học của các điểm tới hạn . . . . . . . . . . . 13

2.2

Elip Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3

Định lý Siebeck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Đa thức tự nghịch đảo

24

3.1

Một số tính chất của đa thức tự nghịch đảo . . . . . . . . . 24

3.2

Tính chất hình học của một lớp các đa thức tự nghịch đảo . 32

Kết luận

37

Tài liệu tham khảo

38


1

Bảng ký hiệu
R

tập số thực

R+

tập số thực không âm

Rn

không gian Euclid n chiều

C

tập số phức

N∗

tập số tự nhiên khác 0

2

Mở đầu
Định lý cơ bản của đại số khẳng định rằng mọi đa thức khác hằng với
hệ số phức đều có ít nhất một nghiệm phức. Mỗi số phức có thể biểu diễn
bởi một điểm trên mặt phẳng phức. Các tính chất hình học của nghiệm
của một đa thức được nhiều người quan tâm. Kết quả sau cho ta mối quan
hệ giữa nghiệm của đạo hàm của một đa thức với nghiệm của đa thức đó.
Định lý Gauss - Lucas: Cho P là đa thức khác hằng. Khi đó, nghiệm của P
nằm miền trong của bao lồi của các nghiệm của P .
Trong trường hợp P là đa thức bậc ba, các nghiệm của P được mô tả
cụ thể hơn trong định lý sau.
Định lý Siebeck: Cho z1 , z2 , z3 ∈ C là các số phức không cộng tuyến. Khi đó
các nghiệm ω1 , ω2 của hàm
F (z) =

1
1
1
+
+
z − z1 z − z2 z − z3

là các tiêu điểm của elip tiếp xúc với ba cạnh của tam giác tạo bởi z1 , z2 , z3
tại các trung điểm của các cạnh của tam giác đó.
Mục tiêu của luận văn này là trình bày lại các kết quả trên đồng thời
trình bày lại các nghiên cứu gần đây về hình học của nghiệm của một số
lớp các đa thức. Nội dung luận văn gồm 3 chương sau:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị: Nhắc lại một số khái niệm và tính chất
cần thiết bao gồm: Bao lồi, tâm tỉ cự, phép biến đổi tuyến tính.

Chương 2. Định lý Siebeck cho đa thức bậc ba: Trình bày tính chất
hình học của các điểm tới hạn của một đa thức bậc ba. Cụ thể hơn, cho
P là một đa thức bậc ba, khi đó các nghiệm của đạo hàm P được gọi là


3

các điểm tới hạn của P . Theo định lý Gauss - Lucas, thì các điểm đó nằm
miền trong của tam giác tạo bởi ba đỉnh là các nghiệm của P , ở đây giả sử
P có ba nghiệm phân biệt. Định lý Siebeck cho đa thức bậc ba mô tả
cụ thể vị trí của các điểm tới hạn đó. Trong chương 2 trình bày một kết
quả mở rộng của Định lý Siebeck bậc ba. Trong đó phương pháp sử dụng
chủ yếu là các tính chất hình học phẳng và các phép biến đổi tuyến tính
trên mặt phẳng.
Chương 3. Đa thức tự nghịch đảo: Trình bày về đa thức tự nghịch đảo,
đó là lớp các đa thức có tập nghiệm "đối xứng" nhau qua đường tròn đơn vị.
Phần đầu của Chương 3 trình bày một số tính chất và đặc trưng của các
đa thức tự nghịch đảo. Phần còn lại giới thiệu một số lớp các đa thức tự
nghịch đảo cụ thể và đưa ra một tính chất hình học của nghiệm của các
đa thức đó.
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đại học
Thái Nguyên. Trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này, Trường
Đại học Khoa học đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả học tập,
nghiên cứu. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến các
thầy, cô trong khoa Toán - Tin, trong Trường Đại học Khoa học - Đại học
Thái Nguyên. Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn
Tất Thắng - người đã trực tiếp giúp đỡ, hướng dẫn về kiến thức, tài liệu
và phương pháp để tác giả hoàn thành đề tài nghiên cứu khoa học này.
Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã
động viên, cổ vũ, khích lệ và giúp đỡ trong thời gian qua.

Thái Nguyên, tháng......năm........
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Hồng Ánh


4

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Chương này nhắc lại một số kiến thức cơ bản được sử dụng trong
luận văn.

1.1

Bao lồi và tâm tỉ cự của hệ điểm

Định nghĩa 1.1.1 Tập con H ⊂ R2 được gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ H,
t ∈ [0; 1] thì
tx + (1 − t)y ∈ H.
Bổ đề 1.1.2 Tập H ⊂ R2 là lồi khi và chỉ khi với mọi x1 , x2 , ..., xn ∈ H
và t1 , t2 , ..., tn ∈ [0; 1] mà t1 + t2 + ... + tn = 1 thì
n

ti xi ∈ H.
i=1

Chứng minh. Nếu H là tập lồi, ta chứng minh khẳng định trong bổ đề
bằng quy nạp theo n.

Với n = 1: Hiển nhiên đúng.
Với n = 2: Đúng theo định nghĩa của tập lồi.
Giả sử khẳng định đúng đến n = k. Lấy x1 , x2 , ..., xk+1 ∈ H; t1 , t2 , ..., tk+1 ∈ [0; 1]
mà

k+1
i=1 ti

= 1. Khi đó
x=

t1
t2
x1 +
x2 ∈ H.
t1 + t2
t1 + t2


5

Theo giả thiết quy nạp
k+1

k+1

ti xi ∈ H.

ti xi = (t1 + t2 )x +
i=1

i=2

Từ đó, theo nguyên lý quy nạp ta được
n

ti xi ∈ H,
i=1
n
i=1 ti

với mọi n ∈ N, t1 , t2 , ..., tn ∈ [0; 1],

= 1 và x1 , x2 , ..., xn ∈ H.

Điều ngược lại hiển nhiên đúng. Vậy ta có điều phải chứng minh.

Định nghĩa 1.1.3 Cho U ⊂ R2 . Bao lồi của U được định nghĩa là tập lồi
nhỏ nhất của R2 chứa U. Kí hiệu là convU.
Mệnh đề 1.1.4 Bao lồi của U được xác định như sau
n

convU =

t1 x1 + .... + tn xn ; n ∈ N, ti ≥ 0,

ti = 1, xi ∈ U, ∀i .
i=1

Chứng minh. Đặt

n

n

ti xi ; n ∈ N, ti ≥ 0,

H :=
i=1

ti = 1, xi ∈ U

.

i=1

Trước hết, ta chứng minh H là một tập lồi chứa U. Thật vậy, lấy u ∈ U
thì 1.u ∈ H. Vậy U ⊂ H. Xét
n

n

ti xi ∈ H, ti ≥ 0,

u1 =
i=1

và

ti = 1, xi ∈ U,
i=1

m

m

sj yj ∈ H, sj ≥ 0,

u2 =
j=1

sj = 1, yj ∈ U.
j=1

Lấy t ∈ [0; 1] , ta có
n

tu1 + (1 − t)u2 =

m

(1 − t)sj yj .

tti xi +
i=1

j=1


6

Nhận thấy

n

m

(1 − t)sj = t + 1 − t = 1.

tti +
i=1

j=1

Nên tu1 + (1 − t)u2 ∈ H. Tức là H là một tập lồi. Vậy convU ⊂ H.
Ngược lại, lấy t1 , t2 , ..., tn ∈ [0; 1] mà

n
i=1 ti

= 1 và x1 , x2 , ..., xn ∈ U.

Do đó
x1 , x2 , ..., xn ∈ convU.
Vì convU là một tập lồi nên theo Bổ đề 1.1.2, ta có
t1 x1 + t2 x2 + ... + tn xn ∈ convU.
Vậy H ∈ convU . Ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 1.1.5
(1) conv {a, b} là đoạn thẳng nối a và b, với a, b ∈ R.
(2) Với ba điểm A, B, C ∈ R2 thì conv {A, B, C} là tam giác với ba đỉnh

A, B, C.
Theo mệnh đề trên, nếu điểm x thuộc bao lồi của tập hữu hạn điểm
x1 , x2 , ..., xn trên R2 thì tồn tại t1 , t2 , ..., tn ∈ [0; 1] mà
x=

n
i=1 ti xi .

n
i=1 ti

= 1 và

Khi đó ta nói x là tâm tỉ cự của hệ điểm {x1 , x2 , ..., xn } đối

với bộ hệ số {t1 , t2 , ..., tn }.
Đối với bộ hệ số bất kì, ta cũng có khái niệm tương tự. Trước hết ta có
tính chất sau.
Bổ đề 1.1.6 Trên mặt phẳng cho n điểm A1 , A2 , ..., An và các số thực
t1 , t2 , ..., tn mà t1 + t2 + ... + tn = 0. Khi đó, tồn tại duy nhất điểm G mà
−−→
−−→
−−→
t1 GA1 + t2 GA2 + ... + tn GAn = 0.
Chứng minh. Gọi O là gốc tọa độ. Khi đó
−−→
−−→
−−→
t1 GA1 + t2 GA2 + ... + tn GAn =

n

i=1

−→
ti GO +

n

i=1

−−→
ti OAi .


7

Chọn G sao cho
−→
OG =

1
n
i=1 ti

n

−−→
ti OAi .

i=1

Ta có điều phải chứng minh.

Định nghĩa 1.1.7 Ta gọi điểm G trong Bổ đề 1.1.6 là tâm tỉ cự của hệ
điểm {A1 , A2 , ..., An } đối với bộ hệ số (t1 , t2 , ..., tn ) . Nếu

n
i=1 ti

= 1, ta nói

bộ (t1 , t2 , ..., tn ) là tọa độ tỉ cự của điểm G đối với hệ điểm {A1 , A2 , ..., An } .
Ví dụ 1.1.8
(1) Cho đoạn thẳng AB. K là điểm nằm giữa A, B sao cho KA = 31 KB,
khi đó điểm K là tâm tỉ cự của hệ hai điểm {A, B} với tọa độ tỉ cự là
1 3
4; 4

vì

1 −−→ 3 −−→
KA + KB = 0.
4
4
(2) Trung điểm I của đoạn thẳng AB là tâm tỉ cự của hệ hai điểm {A, B}
với tọa độ tỉ cự là

1 1
2; 2

vì
→ 1 −→
1−
IA + IB = 0.
2
2

(3) Trọng tâm G của tam giác ABC là tâm tỉ cự của hệ ba điểm {A, B, C}
với tọa độ tỉ cự là

1 1 1
3; 3; 3

vì

1 −→ 1 −−→ 1 −→
GA + GB + GC = 0.
3
3
3
(4) Cho tứ giác ABCD. Gọi O, M, N lần lượt là trung điểm các cạnh
AB, CD, M N , khi đó điểm O là tâm tỉ cự của hệ bốn điểm {A, B, C, D}
với tọa độ tỉ cự là

1 1 1 1
4; 4; 4; 4

vì

1 −→ 1 −−→ 1 −→ 1 −−→
OA + OB + OC + OD = 0.
4
4
4
4
Đối với một hệ điểm bất kì cho trước thì mọi điểm trên mặt phẳng
đều là tâm tỉ cự cuả hệ điểm đó đối với một bộ hệ số nào đó. Điều đó thể
hiện trong mệnh đề sau.


8

Mệnh đề 1.1.9 Trên mặt phẳng cho ba điểm phân biệt A, B, C và P là
ABC. Khi đó P là tâm tỉ cự của

một điểm bất kì thuộc miền trong của
hệ điểm {A, B, C} với tọa độ tâm tỉ cự
S
S
Chứng minh. Đặt S

P BC

,

ABC

P BC

S
S

P AC

,

ABC

= S1 , S

S
S

P AC

P BA

.

ABC

= S2 , S

P BA

chứng minh
−→
−−→
−→

S1 .P A + S2 .P B + S3 .P C = 0.
Gọi A = AP

BC. Ta có
−−→
−→
P A = −P A .

−−→
= −P A .

S3
S

P BA

S2
S

.

P CA

Suy ra
−→
−→
P A + S P CA P A.
−−→
−−→
= −P A .S3 − P A .S2 .

−→
S1 .P A = S

P BA

Ta cần chứng minh rằng
−−→
−−→
−−→
−→
−P A .S3 − P A .S2 = −P B.S2 − P C.S3 .
Thật vậy

−−→
−−→
−−→
−→
−P A .S3 − P A .S2 = −P B.S2 − P C.S3 .

Tương đương với
−−→ −−→
−−→ −→
S2 . P A − P B + S3 . P A − P C = 0
−−→
−−→
⇔ S2 .BA + S3 .CA = 0.
Khẳng định trên đúng vì
S BAA
AB S

;
=
S CAA
AC S

BP A

=

CP A

AB
.
AC

Dẫn đến
AB
S
=
AC
S
Ta có điều phải chứng minh.

BAA
CAA

−S
−S

BP A

CP A

=

S3
.
S2

= S3 . Ta cần


9

Nhận xét 1.1.10 Tính chất tương tự mệnh đề trên vẫn còn đúng khi P
nằm miền ngoài tam giác.

1.2

Phép biến đổi tuyến tính trên mặt phẳng

Cho f : R2 → R2 là một ánh xạ. Khi đó f được gọi là tuyến tính nếu
f (tx + sy) = tf (x) + sf (y),
với mọi t, s ∈ R và x, y ∈ R2 .
Đặt f (1, 0) = (α, γ), f (0, 1) = (β, δ). Khi đó ánh xạ tuyến tính f có thể
biểu diễn như sau
f : R2 → R2
(x1 , x2 ) → (αx1 + βx2 ; γx1 + δx2 ).
Dễ thấy rằng f là một song ánh khi và chỉ khi
αδ − γβ = 0.
Ta gọi các song ánh tuyến tính từ R2 vào chính nó là các phép biến đổi

tuyến tính trên mặt phẳng. Nhắc lại rằng mặt phẳng R2 có thể đồng nhất
với mặt phẳng phức C, bằng cách đồng nhất các điểm có tọa độ (x, y) ∈ R2
với số phức x + iy ∈ C. Do đó ta có thể xem các ánh xạ tuyến tính trên
mặt phẳng như một ánh xạ từ C vào chính nó. Cụ thể như sau
Đặt
1
[(α + δ) + i(γ − β)] .
2
1
b : = [(α − δ) + i(γ + β)] .
2
z : = x + iy.

a:=


10

Khi đó ta có
1
1
[(α + δ) + i(γ − β)] (x + iy) + [(α − δ) + i(γ + β)] (x − iy).
2
2
1
= [(α + δ)x − (γ − β)y + i(α + δ)y + i(γ − β)x]
2
1
+ [(α − δ)x + (γ + β)y − i(α − δ)y + i(γ + β)x] .
2

1
= [2(αx + βy) + 2i(γx + δy)] .
2
= αx + βy + i(γx + δy).

az + bz =

Do vậy nếu ta đồng nhất điểm có tọa độ (x, y) ∈ R2 với số phức z = x + yi
thì ánh xạ tuyến tính
f : R2 → R2
(x, y) → (αx + βy; γx + δy).
có thể viết lại như sau
f: C→C
z → az + bz.
với a, b được xác định như trên.
Chú ý 1.2.1 Một elip được định nghĩa là tập hợp các điểm trên mặt phẳng
có tổng khoảng cách đến hai điểm cho trước bằng một đại lượng không đổi.
Ta đồng nhất mặt phẳng R2 với mặt phẳng phức C, giả sử hai tiêu điểm
của elip được biểu diễn bởi các số phức u, v ∈ C. Khi đó một elip với hai
tiêu điểm u, v là tập hợp sau
{z ∈ C : |z − u| + |z − v| = L} ,
với L > 0 cho trước.
Một tính chất quan trọng của phép biến đổi tuyến tính là như sau
Bổ đề 1.2.2 Mọi phép biến đổi tuyến tính z → az + bz biến đường tròn
√
đơn vị thành một elip với các tiêu điểm ±2 ab.


11

Chứng minh. Đường tròn đơn vị được tham số như sau
C = eiθ : 0 ≤ θ < 2π .
Gọi E là ảnh của C qua phép biến đổi tuyến tính z → az + bz. Khi đó
E = x = a.eiθ + b.e−iθ : 0 ≤ θ < 2π .
√
√
θ
θ
Đặt z = a.ei 2 và ω = b.e−i 2 , ta có
√
√
√
√
x − 2 ab + x + 2 ab = a.eiθ + b.e−iθ − 2 ab + a.eiθ + b.e−iθ + 2 ab .
√
√
= a.eiθ − 2 ab + b.e−iθ + a.eiθ + 2 ab + b.e−iθ .
= |(z − ω)(z − ω)| + |(z + ω)(z + ω)| .
= (z − ω)2 + (z + ω)2 .
= (z − ω)(z − ω) + (z + ω)(z + ω).
= (z − ω)(z − ω) + (z + ω)(z + ω).
= 2 |z|2 + 2 |ω|2 .
= 2 |a| + 2 |b| .
Vậy các điểm của E nằm trên elip
√
√
x − 2 ab + x + 2 ab = 2 (|a| + |b|) .
Ta có điều phải chứng minh.

Nhận xét 1.2.3 Bằng cách thay đổi các hệ số a, b nếu cần, từ bổ đề trên,

ta có thể tìm được phép biến đổi tuyến tính biến mọi elip cho trước có tâm
là gốc tọa độ thành một đường tròn.
Ngoài tính chất trên, các phép biến đổi tuyến tính trên mặt phẳng còn có
các tính chất sau.
Mệnh đề 1.2.4 Các phép biến đổi tuyến tính trên mặt phẳng
(1) Biến đường thẳng thành đường thẳng;


12

(2) Biến elip thành elip;
(3) Bảo toàn tỷ lệ của các đoạn thẳng trên một đường thẳng;
(4) Biến tiếp tuyến của một elip thành tiếp tuyến của ảnh của elip đó;
(5) Bảo toàn tâm tỉ cự cùng với tọa độ tỉ cự của một hệ điểm.
Tương tự như đường elip, đường hyperbol được định nghĩa là tập hợp
các điểm trên mặt phẳng có giá trị tuyệt đối hiệu khoảng cách đến hai
điểm cho trước bằng một đại lượng không đổi. Xét trên mặt phẳng phức,
các hyperbol được xác định như sau
{z ∈ C : ||z − u| − |z − v|| = L} ,
trong đó u, v ∈ C là các tiêu điểm và L > 0 là hằng số. Các tiếp tuyến của
một elip hoặc hyperbol được đặc trưng thông qua kết quả sau
Mệnh đề 1.2.5 Cho (T ) là một elip hoặc hyperbol với hai tiêu điểm F1 , F2 ,
cho điểm P ∈ (T ) và đường thẳng (d) đi qua P . Khi đó (d) là tiếp tuyến
của (T ) khi và chỉ khi (d) là phân giác của góc tạo bởi P F1 , P F2 .


13

Chương 2

Định lý Siebeck cho đa thức bậc ba
Chương này trình bày tính chất hình học của các điểm tới hạn của
một đa thức bậc ba. Cụ thể hơn, cho P là một đa thức bậc ba, khi đó
các nghiệm của đạo hàm P được gọi là các điểm tới hạn của P . Theo
định lý Gauss - Lucas, thì các điểm đó nằm miền trong của tam giác tạo
bởi ba đỉnh là các nghiệm của P , ở đây giả sử P có ba nghiệm phân biệt.
Chương này trình bày nội dung theo tài liệu số [2] .

2.1

Tính chất hình học của các điểm tới hạn

Trong phần này trình bày vị trí tương đối của các điểm tới hạn của một
đa thức với các nghiệm của nó. Vị trí tương đối của các điểm tới hạn và
các nghiệm thực của một hàm khả vi thực được mô tả trong Định lý Rolle.
Nói rằng, giữa hai nghiệm thực của một hàm khả vi thực luôn có một điểm
tới hạn. Tuy nhiên, Định lý Rolle không còn đúng cho các hàm khả vi phức.
Chẳng hạn, xét hàm số f (z) = e2πiz −1 có hai điểm tới hạn là 0 và 1 nhưng
f (z) = 2πie2πiz không có điểm tới hạn. Từ đó, câu hỏi đặt ra là tìm cách
mở rộng Định lý Rolle cho các hàm phức. Trong mục này trình bày một
câu trả lời cho câu hỏi trên.
Định nghĩa 2.1.1 Số phức z0 ∈ C được gọi là điểm tới hạn của đa thức
f (z) nếu f (z0 ) = 0.


14

Bổ đề 2.1.2 Cho đa thức
f (z) = (z − z1 )m1 (z − z2 )m2 ...(z − zp )mp , p > 1,
trong đó z1 , z2 , ..., zp ∈ C đôi một phân biệt và m1 , m2 , ..., mp ∈ N∗ .

Khi đó các điểm tới hạn của f (z) khác z1 , z2 , ..., zp là nghiệm của hàm sau
p

F (z) =
j=1

mj
.
z − zj

Chứng minh. Đặt
p

(z − zk )mk , 0 ≤ i < p.

gi (z) =
k=i+1

Khi đó g0 (z) = f (z) và
f (z) = (z − z1 )m1 g1 (z) = (z − z1 )m1 (z − z2 )m2 g2 (z).
Ta có
f (z) = (z − z1 )m1 g1 (z) + m1 (z − z1 )m1 −1 g1 (z).
m1
f (z).
= (z − z1 )m1 g1 (z) +
z − z1
Tương tự
g1 (z) = (z − z2 )m2 g2 (z) +

m2

g1 (z).
z − z2

Do đó
f (z) = (z − z1 )m1 (z − z2 )m2 g2 (z) +

m1
m2
+
f (z).
z − z1 z − z2

Tiếp tục quá trình trên ta thu được
f (z) = f (z)

m1
m2
mp
+
+ ... +
= f (z)F (z).
z − z1 z − z2
z − zp

Từ đó suy ra các điểm tới hạn khác không điểm của hàm f (z) là nghiệm
của hàm F (z), và ngược lại các nghiệm của F (z) chính là các điểm tới hạn.
Ta có điều phải chứng minh.


15

Định lý 2.1.3 (Xem [6]) Cho các số phức khác không ω1 , ω2 , ..., ωp sao cho
γ ≤ argωj < γ + π, j = 1, 2, ..., p,
trong đó ω là một số thực. Khi đó tổng
p

ω=

ωj
j=1

khác 0.
Chứng minh. Xét trường hợp γ = 0. Khi đó
0 ≤ argωj < π, j = 1, 2, ..., p.
Với mỗi j, ta có
ωj = rj (cos ϕj + i sin ϕj ),
trong đó rj = |ωj | > 0 (vì ωj = 0) và ϕj = argωj ∈ [0; π).
Từ đó
Imωj ≥ 0, ∀j = 1, p.
Nếu argωj = 0 thì ωj = rj > 0.
Ngược lại, nếu 0 < argωj < π thì Imωj = rj sin ϕj > 0.
Do đó nếu argωj = 0 với ∀j thì ωj ∈ R+ với ∀j = 1, 2, ..., p, dẫn đến ω = 0.
Nếu tồn tại j0 để 0 < argωj0 < π thì Imωj0 > 0, suy ra
p

Imω =

Imωj > 0.
j=1

Nếu ω = 0 đặt ωj = e−γ ωj . Khi đó ta có 0 ≤ arg ωj < π.
Lặp lại chứng minh trên ta được
p

e−γ ωj = 0.
j=1

Do vậy ω = 0. Ta có điều phải chứng minh.
Tiếp theo ta trình bày Định lý Gausss- Lucas nói lên tính chất hình học
của một đa thức phức.


16

Định lý 2.1.4 (Định lý Gauss - Lucas) (Xem [6]) Cho f (z) là một đa
thức khác hằng. Khi đó tất cả các điểm tới hạn của f (z) khác nghiệm của
f (z) nằm trong bao lồi H của các nghiệm của f (z).
Chứng minh. Giả sử tồn tại z0 không nằm trong bao lồi của các nghiệm
của f (z) mà f (z0 ) = 0. Theo Định lý cơ bản của đại số ta luôn có thể viết
f (z) thành tích các nhân tử bậc nhất như sau
f (z) = (z − z1 )m1 (z − z2 )m2 ...(z − zp )mp , mi ∈ N∗ .
Khi đó theo Bổ đề 2.1.2 , z0 là một nghiệm của hàm
F (z) =

m2
mp
m1
+
+ ... +
.

z − z1 z − z2
z − zp

Tức là F (z0 ) = 0. Do đó F (z0 ) = 0. Vì vậy
p

F (z0 ) =
j=1

mj
= 0.
z0 − zj

Ta viết
z0 − zj = ρj eiφj , ,
trong đó ρj = |z0 − zj | > 0 và φj = arg(z0 − zj ).
Ta có

p

F (z0 ) =
j=1

mj iφj
e .
ρj

Vì z0 không thuộc miền trong của bao lồi H của z1 , z2 , ..., zp nên tồn tại
một đường thẳng L trên mặt phẳng phức đi qua z0 mà H thuộc một nửa
mặt phẳng phức chia ra bởi L. Khi đó, tồn tại số thực γ mà

γ ≤ arg(z0 − z) < π + γ, ∀z ∈ H.
Nói riêng
γ ≤ arg(z0 − zj ) < π + γ, ∀j = 1, 2, ..., p.
Do đó
γ ≤ arg(

mj iφj
e ) < π + γ.
ρj


17

Vì vậy theo Định lý 2.1.3 , tổng
p

F (z0 ) =
j=1

mj iφj
e = 0.
ρj

Ta có điều phải chứng minh.

2.2

Elip Steiner

Trong phần này ta mô tả elip tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác tại

trung điểm của các cạnh. Một elip như vậy xác định duy nhất, nó được gọi
là elip Steiner. Nó có liên hệ với các điểm tới hạn của một đa thức bậc ba.
Cụ thể hơn, các điểm tới hạn của một đa thức bậc ba chính là tiêu điểm
của elip Steiner.
Định nghĩa 2.2.1 Cho tam giác ABC, hai điểm F1 , F2 được gọi là liên hợp
đẳng cự đối với tam giác ABC nếu các cặp đường thẳng (AF1 , AF2 ),
(BF1 , BF2 ), (CF1 , CF2 ) là đối xứng nhau qua các đường phân giác của
các góc A, B, C của tam giác ABC.
Mệnh đề 2.2.2 Cho (E) là một elip với các tiêu điểm F1 , F2 , cho A là
điểm nằm ngoài elip. Kẻ các tiếp tuyến AT1 , AT2 của elip (E) đi qua A.
Khi đó, các góc T1 AF1 và T2 AF2 là bằng nhau.
Chứng minh.


18

Gọi G1 , G2 là các điểm đối xứng với F1 , F2 qua các đường thẳng AT1 , AT2
tương ứng. Vì AT2 là tiếp tuyến của elip (E) nên AT2 F1 = F2 T2 y (với T2 y là
tia đối của tia T2 A). Ta lại có G2 T2 y = F2 T2 y. Vậy AT2 F1 = G2 T2 y. Suy ra
ba điểm F1 , T2 , G2 thẳng hàng. Tương tự, ba điểm F2 , T1 , G1 thẳng hàng.
Xét tam giác AG1 F2 và AG2 F1 ta có
AG1 = AF1 , AG2 = AF2 .
Mà
F1 G2 = F1 T2 + T2 G2 = F1 T2 + T2 F2 .
và
F2 G1 = F2 T1 + T1 G1 = F2 T1 + T1 F1 .
Từ đó F1 G2 = F2 G1 và

AG1 F2 =

AG2 F1 . Dẫn đến G1 AF2 = G2 AF1 .

Suy ra T1 AF1 = T2 AF2 . Ta có điều phải chứng minh.
Bài toán Heron. Trên mặt phẳng cho đường thẳng (d) và hai điểm A, B
nằm cùng phía so với đường thẳng (d). Tìm điểm C thuộc (d) sao cho
CA + CB nhỏ nhất.
Lời giải.
Gọi B1 là điểm đối xứng với B qua (d), gọi P là giao điểm của AB1 với (d).
Với mọi điểm X ∈ (d), ta có
XB + XA = XA + XB1 ≥ AB1 .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi X ≡ P . Vậy điểm X ∈ (d) mà XA + XB
nhỏ nhất là điểm P .
Đáp án của bài toán Heron chính là điểm cực tiểu của hàm số
f : (d) → R
C → CA + CB.


19

Định lý 2.2.3 (Định lý Steiner) Cho tam giác ABC.
(i) Nếu elip (E) nội tiếp tam giác ABC có các tiêu điểm F1 , F2 . Khi đó
F1 , F2 là liên hợp đẳng cự đối với tam giác ABC.
(ii) Nếu F1 , F2 là hai điểm liên hợp đẳng cự đối với tam giác ABC thì
tồn tại duy nhất một elip nội tiếp tam giác ABC nhận F1 , F2 là tiêu điểm.
Chứng minh.
(i) Đây là hệ quả trực tiếp của mệnh đề trên.
(ii) Gọi X1 , X2 là các điểm đối xứng với F1 , F2 qua các đường thẳng
AB và BC. Ta có BF1 = BX1 , BF2 = BX2 . và X1 BF2 = F1 BX2 , do đó
X1 F2 = X2 F1 .
Đặt X1 F2 = X2 F1 = m và A1 = F1 X2

BC, C1 = X1 F2

AB. Ta có

F1 A1 + F2 A1 = F1 X2 = F2 X1 = F1 C1 + F2 C1 = m.
Theo bài toán Heron, ta có A1 là điểm cực tiểu của hàm
f : BC → R
X → F1 X + F2 X.
Do đó elip (E) gồm các điểm X mà F1 X + F2 X = m tiếp xúc với
đường thẳng BC tại A1 . Tương tự elip (E) cũng tiếp xúc với đường thẳng
AB tại C1 và elip (E) tiếp xúc với AC.
Vì m là giá trị nhỏ nhất của F1 X + F2 X khi X chạy trên các cạnh của
tam giác ABC nên m là cố định. Elip tiếp xúc với các cạnh tam giác với
tiêu điểm F1 , F2 chính là tập hợp
{X : XF1 + XF2 = m} .
nên nó tồn tại duy nhất. Định lý được chứng minh.
Định nghĩa 2.2.4 Tam giác trung tuyến của một tam giác là tam giác
có ba đỉnh là ba trung điểm của các cạnh của tam giác đó.
Định lý 2.2.5 (Xem [2]) Cho tam giác ABC. Khi đó có các khẳng định sau


20

(i) Một elip nội tiếp của tam giác ABC được xác định duy nhất bởi tâm
của nó.
(ii) Nếu tâm của elip nội tiếp tam giác ABC là điểm αA + βB + γC
với α, β, γ dương và α + β + γ = 1, thì các tiếp điểm của elip chia
các cạnh của tam giác ABC theo tỉ lệ
1 − 2β 1 − 2γ 1 − 2α

,
,
.
1 − 2γ 1 − 2α 1 − 2β
Chứng minh. (Trong chứng minh này ta quy ước nội tiếp tức là nội tiếp
tam giác)
(i) Xét trường hợp đặc biệt, khi elip nội tiếp (E) là đường tròn tâm O.
Gọi (E ) là một elip nội tiếp khác, với tâm O, giả sử tiêu điểm của (E )
là F1 , F2 . Theo mệnh đề trên F1 , F2 là liên hợp đẳng cự đối với tam giác
ABC. Ta có O là trung điểm của F1 , F2 . Nếu F1 khác F2 thì AO đồng thời
là trung tuyến và là phân giác của tam giác AF1 F2 . Do đó AO ⊥ F1 F2 .
Tương tự ta cũng chứng minh được BO ⊥ F1 F2 , CO ⊥ F1 F2 . Dẫn đến
A, B, C cùng thuộc một đường thẳng vuông góc với F1 F2 tại O. Điều này
mâu thuẫn vì ABC là một tam giác. Vậy F1 ≡ F2 , tức là (E ) phải là một
đường tròn, do đó (E) ≡ (E ).
Xét trường hợp tổng quát, giả sử (E), (E ) là các elip nội tiếp có cùng tâm.
Giả sử tâm là gốc tọa độ của mặt phẳng. Gọi h là một phép biến đổi
tuyến tính biến (E) thành một đường tròn. Vì h biến các elip thành
các elip và bảo toàn các trung điểm của các đoạn thẳng, ảnh của tam giác
ABC qua h là một tam giác, mà h(E) là đường tròn nội tiếp và h(E )
là elip nội tiếp tam giác đó và có cùng tâm. Từ chứng minh trên suy ra
h(E) ≡ h(E ). Do đó, (E) ≡ (E ).
(ii) Nếu tâm của elip nội tiếp (E) là điểm αA + βB + γC với α, β, γ dương
và α + β + γ = 1, xét phép biến đổi tuyến tính h biến (E) thành một
đường tròn. Gọi tam giác A B C là ảnh của tam giác ABC qua h. Vì h
bảo toàn tâm tỉ cự và các tọa độ tỉ cự nên α, β, γ tỉ lệ với các cạnh của
tam giác A B C . Vì thế các tiếp điểm của h(E) với tam giác A B C chia


21

các cạnh của tam giác đó theo tỉ lệ
α+γ−β α+β−γ β+γ−α
,
,
.
α+β−γ β+γ−α α+γ−β
Ánh xạ h bảo toàn tỉ lệ của các điểm thẳng hàng, do đó elip (E) chia
các cạnh của tam giác ABC theo tỉ số như trên. Định lý được chứng minh.

2.3

Định lý Siebeck

Trong phần trước ta biết rằng nghiệm của đạo hàm của đa thức bậc ba
nằm miền trong của tam giác tạo bởi các nghiệm của đa thức đó. Tuy nhiên,
ta có thể biết chính xác vị trí các điểm tới hạn đó thông qua Định lý Siebeck
bậc ba. Trong phần này, ta trình bày nội dung của định lý Siebeck cho
đa thức bậc ba. Định lý phát biểu như sau
Định lý 2.3.1 (Xem [2]) Cho tam giác ABC, các số α, β, γ dương và
α + β + γ = 1. Gọi zA , zB , zC là các số phức lần lượt ứng với các điểm
A, B, C trên mặt phẳng phức. Đặt
L(z) = α ln(z − zA ) + β ln(z − zB ) + γ ln(z − zC ).
Gọi F1 , F2 là các điểm tới hạn của L(z). Khi đó F1 , F2 là tiêu điểm của
một elip nội tiếp tam giác ABC và chia các cạnh của tam giác ABC theo
tỉ lệ
β γ α
; ; .
γ α β
Ngược lại, cho elip (E) nội tiếp tam giác ABC, tồn tại một hàm L(z)

có dạng như trên mà có các điểm tới hạn là tiêu điểm của (E).
Bổ đề 2.3.2 Trên mặt phẳng phức cho tam giác ABC sao cho A trùng
với gốc tọa độ. Khi đó phân giác góc BAC trùng với trục ảo khi và chỉ khi
zB .zC < 0.


22

Chứng minh. Giả sử zB = reiθ , zC = seiϕ với r, s > 0. Khi đó
zB .zC < 0 ⇔ θ + ϕ = 2kπ + π.
tương đương với tia AB và AC đối xứng nhau qua trục ảo.
Chứng minh.(Định lý 2.3.1) Đạo hàm của L(z) là
L (z) =

β
γ
α
+
+
.
z − zA z − zB z − zC

Gọi F1 , F2 là nghiệm của L (z). Khi đó F1 , F2 là nghiệm của phương trình
z 2 − α(zB +zC )+β(zA +zC )+γ(zA +zB ) z+α.zB .zC +β.zC .zA +γ.zA .zB = 0.
Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử zA = 0 và trục ảo là phân
giác của góc BAC (theo bổ đề trên tương đương zB .zC < 0). Ta có
F1 .F2 = α.zB .zC < 0. Suy ra trục ảo cũng là phân giác góc F1 AF2 . Tức là
AF1 và AF2 là đối xứng nhau qua phân giác của góc BAC. Tương tự,
ta cũng chứng minh được BF1 , BF2 là đối xứng nhau qua phân giác của
ABC, CF1 , CF2 là đối xứng nhau qua phân giác của BCA. Vì vậy F1 và

F2 là liên hợp đẳng cự đối với tam giác ABC. Tâm I của elip là trung
điểm của F1 F2 nên
I=

β+γ
α+γ
α+β
zA +
zB +
zC .
2
2
2

Tức là I là tâm tỉ cự của A, B, C với tọa độ tỉ cự là
(

β+γ α+γ α+β
;
;
).
2
2
2

Theo Định lý 2.2.5, elip (E) là elip nội tiếp tam giác duy nhất và tiếp xúc
với tam giác ABC tại các tiếp điểm chia các cạnh theo tỉ lệ
β γ α
; ; .
γ α β

Ngược lại, cho elip nội tiếp (E) của tam giác ABC, các tiếp điểm chia
các cạnh của tam giác ABC theo tỉ lệ có dạng
β γ α
; ; ,
γ α β