Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Chuyên đề:
“BÀI TOÁN VỀ TRỊ CỦA HÀM SỐ TRONG ÔN THI THPTQG.”
Môn: Toán
Tổ

: Toán – Tin – Công nghê

Người thực hiên: Phạm Văn Minh
Điên thoại: 036.817.9181
Email:

1
Trường THPT Bình Sơn

1


Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

A.PHẦN MỞ ĐẦU
I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong quá trình tìm tòi, nghiên cứu để viết chuyên đề tôi lựa chọn viết chuyên đề
này vì các lý do sau:
- Bài toán cực trị một trong những bài toán liên quan đến khảo sát hàm số, đây là
một trong những nội dung quan trọng khi ôn thi THPTQG cho học sinh.
- Học sinh vẫn còn gặp khó khăn khi xác định cực trị, số cực trị của hàm số.
- Tạo ra một tài liệu dùng cho việc dạy và học ôn thi THPTQG đạt hiệu quả tốt nhất.
II.MỤC ĐÍCH
Chuyên đề viết ra nhằm đạt các mục đích sau:

- Chuyên đề là tài liệu dạy và học trong việc ôn thi THPTQG, đồng thời cùng
dùng trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi.
- Chuyên đề giúp giáo viên nâng cao chuyên môn.
- Chuyên đề nhằm phát triển và rèn luyện tư duy hàm cho học sinh.
- Đồng thời mong muốn thông qua chuyên đề học sinh có thể nâng cao được điểm
thi
THPTQG.
III.ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH
- Đối tượng dạy học của chuyên đề là học sinh lớp 12A của trường THPT Bình Sơn.
IV.THỜI GIAN DẠY CHUYÊN ĐỀ
- Dự kiến thời lượng giảng dạy chuyên đề là : 9 tiết.
B.NỘI DUNG
I. MỘT SỐ KIẾN THỨC SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ
1. Điểm tới hạn của hàm số
Điểm x0 được gọi là điểm tới hạn của hàm số f ( x) nếu nó thuộc tập xác định
của f ( x ) và f '( x0 ) = 0 hoặc f '( x0 ) không xác định.
Chú ý: Trên mỗi khoảng phân chia bởi hai điểm tới hạn kề nhau, đạo hàm của hàm
số giữ nguyên một dấu.
2. Cực trị của hàm số
2.1. Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên tập D, x0 ∈ D

2
Trường THPT Bình Sơn

2


Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

*) x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại khoảng (a;b) chứa điểm x0

sao cho (a;b) ⊂ D và f(x)trị cực đại của f.
*) x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại khoảng (a;b) chứa điểm
x0 sao cho (a;b) ⊂ D và f(x)>f(x0), với mọi x0 ∈ (a;b)\{x0}. Lúc đó, f(x0) được gọi là
giá trị cực tiểu của f.
- Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số.
- Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị của hàm số.
- Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số f thì điểm (x0; f(x0)) được gọi là điểm cực trị
của đồ thị hàm số f.
2.2. Định lí 1 (Định lí Fecmart-Điều kiện cần để hàm số có cực trị)
Nếu hàm số f có đạo hàm và đạt cực trị tại điểm x0 thì f’(x0) = 0.
2.3. Định lí 2 (Điều kiện đủ - Dấu hiệu 1)
Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các
khoảng (a;x0) và (x0;b). Khi đó:
i) Nếu f’(x)<0, ∀x ∈ (a;x0 ) và f’(x) > 0 ∀x ∈ ( x0 ;b) thì f đạt cực tiểu tại điểm x0
ii) Nếu f’(x)>0, ∀x ∈ (a;x0 ) và f’(x) < 0 ∀x ∈ ( x0 ;b) thì f đạt cực đại tại điểm x0
Quy tắc 1
-Tìm tập xác định.
-Tính f’(x). Tìm các điểm tới hạn.
-Lập Bảng biến thiên.
-Kết luận.
2.4. Định lí 3 (Điều kiện đủ - Dấu hiệu 2)
Giả sử hàm số f có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng (a;b) chứa điểm x0 đồng thời
f’(x0) = 0 và f’’(x0) ≠ 0. Khi đó
i) Nếu f’’(x0) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0
ii) Nếu f’’(x0) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0
Quy tắc 2
-Tìm tập xác định.
-Tính f’(x). Tìm các nghiệm xi của phương trình f’(x) = 0
-Tính f’’(x) và suy ra f’’(xi).

o

Nếu f’’(xi) < 0 thì f đạt cực đại tại xi

o

Nếu f’’(xi) > 0 thì f đạt cực tiểu tại xi

3
Trường THPT Bình Sơn

3


Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Chú ý: Khi áp dụng qui tắc 2, ta chỉ tìm được các điểm cực trị là nghiệm của
phương trình f’(x)=0, hơn nữa f’’(x) phải bằng khác 0. Ngoài các trường hợp trên,
ta phải sử dụng qui tắc 1.
3. Một số lưu ý về cực trị của một số hàm số:
3
2
3.1 Hàm số bậc ba: y = f ( x) = a.x + b.x + c.x + d ,

a , b, c , d ∈ ¡ , a ≠ 0

TXĐ: R
2
Đạo hàm: y ' = f '( x ) = 3a.x + 2b.x + c

∆ ' = b 2 − 3ac

Để hàm số có cực trị (CĐ và CT) thì ∆ ' > 0
b 
6ac − 2b 2
bc
1
y = f ( x ) =  x + ÷ 3a.x 2 + 2b.x + c +
.x + d −
9a 
9a
9a
3
Ta có:

(

)

Phương trình đường thẳng đi qua CĐ và CT của hàm bậc ba (nếu có) là:
6ac − 2b 2
bc
y=
.x + d −
9a
9a
+ Nếu a < 0 thì: xCT < xCÐ
+ Nếu a > 0 thì: xCÐ < xCT
4

2
3.2 Hàm số trùng phương: y = f ( x) = a. x + b.x + c,

a, b, c ∈ ¡ , a ≠ 0

TXĐ: R
3
Đạo hàm: y ' = f '( x) = 4a.x + 2b.x

Để hàm số có 3 cực trị (CĐ và CT) thì ab < 0
+ Nếu a < 0, b > 0 thì: hàm số có 2 CĐ và 1 CT
+ Nếu a > 0, b < 0 thì: hàm số có 1 CĐ và 2 CT
 −b − b 2
  −b −b 2

A ( 0; c ) , B 
;
+ c÷
, C  −
;
+c÷
÷
÷
 2a 4a
  2a 4a

Tọa độ 3 cực trị là:

S ∆ABC =

−b b 2
.
2a 4 a

a.x 2 + b.x + c
y = f ( x) =
,
d .x + e
3.3 Hàm số phân thức:

 e
¡ \ − 
 d
TXĐ:

4
Trường THPT Bình Sơn

4

a, b, c, d , e ∈ ¡ , a, d ≠ 0


Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

y ' = f '( x) =

a.d .x 2 + 2ae.x + be − dc

( d .x + e )

Đạo hàm:

2

Để hàm số có cực trị (CĐ và CT) thì y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt.
Phương trình đường thẳng qua CĐ và CT là

y=

2a.x + b
d

II. CÁC BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM PHÂN THEO MỨC ĐỘ KIẾN THỨC
MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT
Câu 1: (THPT Chuyên Quang Trung-Bình Phước-lần 1-năm 2017-2018) Cho
hàm số

y = f ( x)

( a; b )

x0 ∈ ( a; b )

. Khẳng định nào sau đây sai ?
y′ ( x0 ) = 0
y′′ ( x0 ) ≠ 0
A.
và
thì x0 là điểm cực trị của hàm số.

B.

và

xác định và có đạo hàm cấp một và cấp hai trên khoảng

y′ ( x0 ) = 0

và

y′′ ( x0 ) > 0

thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số.

y′ ( x0 ) = 0
C. Hàm số đạt cực đại tại x0 thì
.
D.

y′ ( x0 ) = 0

và

y′′ ( x0 ) = 0

thì x0 không là điểm cực trị của hàm số.
Lời giải

Chọn D
Theo định lý về quy tắc tìm cực trị A, C và B đúng.

4
y′ ( 0 ) = 0
y′′ ( 0 ) = 0
D. sai vì xét hàm số y = x trên ¡ thỏa mãn
và
nhưng
x0 = 0 vẫn là điểm cực tiểu của hàm số.
Câu 2: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 1-năm 2017-2018) Giá trị cực tiểu của
3
2
hàm số y = x − 3 x − 9 x + 2 là
A. −20 .
B. 7 .

C. −25 .
Lời giải

Chọn C
TXĐ: D = ¡ .
 x = −1
y′ = 0 ⇔ 
y′ = 3 x − 6 x − 9 . Cho
x = 3
Bảng biến thiên:
2

5
Trường THPT Bình Sơn

5

D. 3 .


Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Vậy giá trị cực tiểu là yCT = −25 .
Câu 3: (THPT Chuyên Bắc Ninh-lần 1-năm 2017-2018) Phát biểu nào sau đây
là sai?
f ′′ ( x0 ) > 0
f ′ ( x0 ) = 0
A. Nếu
và
thì hàm số đạt cực tiểu tại x0 .
f ′′ ( x0 ) < 0
f ′ ( x0 ) = 0
B. Nếu
và
thì hàm số đạt cực đại tại x0 .
f ( x)
f ′( x)
C. Nếu
đổi dấu khi x qua điểm x0 và
liên tục tại x0 thì hàm số
y = f ( x)

đạt cực trị tại điểm x0 .
y = f ( x)
D. Hàm số
đạt cực trị tại x0 khi và chỉ khi x0 là nghiệm của đạo

hàm.
Lời giải
Chọn D
3
→ y ′ = x 2 → y′ = 0 ⇔ x = 0
Xét hàm số y = x 
Hàm số y không đạt cực trị tại điểm x = 0 .
Câu 4: (THPT Nguyễn Khuyến-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số
y = f ( x)

có bảng

biến thiên như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. yCT = 0 .

B.

max y = 5
¡

.

C. yC Ð = 5 .
Lời giải

D.

min y = 4
¡

.

Chọn C
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 1 , yC Ð = 5 ; đạt
cực tiểu tại x = 0 , yCT = 4 ; hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất.

6
Trường THPT Bình Sơn

6


Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Câu 5: (THPT Nguyễn Khuyến-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Đồ thị hàm
số nào trong bốn hàm số liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây, có
đúng một cực trị?
A. y = x − 3 x + x .
3

2

B. y = x + 2 x − 3 . C. y = − x − 4 x + 5 .
Lời giải
4

2

3

D.

y=

2x − 3
x +1 .

Chọn B
3
2
Ta có đồ thị hàm số y = ax + bx + cx + d với a ≠ 0 luôn có hai hoặc không có

cực trị.
Đồ thị hàm số

y=

ax + b
cx + d với ad − bc ≠ 0 không có cực trị.

Câu 6: (THPT Viêt Trì-Phú Thọ-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số
bảng biến thiên sau:

Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đạt cực đại tại x = 2.
C. Hàm số đạt cực đại tại x = −2.

y = f ( x)

có

B. Hàm số đạt cực đại tại x = 3.
D. Hàm số đạt cực đại tại x = 4.
Lời giải

Chọn A
y = y ( 2 ) = 3.
Hàm số đạt cực đại tại x = 2 và CĐ
y = y ( 4 ) = −2.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 4 và CT
Câu

7:

(TT

Diêu

Hiền-Cần

Thơ-tháng

11-năm

y = x3 − 3 x 2 + 3x − 4 có bao nhiêu cực trị?
A. 1 .
B. 2 .
C. 0 .

Lời giải
Chọn C

2017-2018)

Hàm

số

D. 3 .

y′ = 3 x 2 − 6 x + 3 = 3 ( x − 1) ≥ 0 ∀x ∈ ¡
Ta có
,
. Hàm số đã cho có đạo hàm không
đổi dấu trên ¡ nên nó không có cực trị.
2

7
Trường THPT Bình Sơn

7


Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Câu 8: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 2-năm 2017-2018) Cho hàm số
có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

y = f ( x)

y

2
O

x

−2
A. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 2 .
B. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 2 .
C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất bằng −2 .
D. Hàm số có ba điểm cực trị.
Lời giải
Chọn B
Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số có 2 cực trị.
Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và giá trị cực đại bằng 2 .
Hàm số đạt cực tiểu tại

B ( 1; −1)

và giá trị cực tiểu bằng −2 .

Câu 9: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 2-năm 2017-2018) Tìm giá trị cực đại yCĐ
3
của hàm số y = x − 12 x − 1
A. yCĐ = −17 .
B. yCĐ = −2 .

C. yCĐ = 45 .

D. yCĐ = 15 .

Lời giải
Chọn D
2
Ta có: y′ = 3x − 12 .

 x = −2 ⇒ y = 15
⇔
 x = 2 ⇒ y = −17 .
Cho y ′ = 0
 y ′′ ( −2 ) = −12 < 0
⇒
 y ′′ ( 2 ) = 12 > 0
Ta lại có: y′′ = 6 x
nên hàm số đạt cực đại tại x = −2 và giá
trị cực đại của hàm số bằng yCĐ = 15 .
Câu 10: (THPT Ngô Sĩ Liên-Bắc Giang-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số
y = f ( x)

có đạo hàm trên ¡ . Mệnh đề nào dưới đây đây là đúng?

A. Nếu

f ′ ( x0 ) = 0

8
Trường THPT Bình Sơn

thì hàm số đạt cực trị tại x0 .

8


Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

f ′ ( x0 ) = f ′′ ( x0 ) = 0

thì hàm số không đạt cực trị tại x0 .
C. Nếu đạo hàm đổi dấu khi x qua x0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x0 .
D. Nếu hàm số đạt cực trị tại x0 thì đạo hàm đổi dấu khi x qua x0 .
B. Nếu

Lời giải
Chọn D
Ta xét từng đáp án:
f ′ ( x0 ) = 0
f ′( x)
Đáp án A: Nếu
nhưng
không đổi dấu khi x chạy qua x0 thì
hàm số vẫn không đạt cực trị tại x0 nên đáp án A sai.
f ′ ( x0 ) = f ′′ ( x0 ) = 0
Đáp án B: Với điều kiện
thì không đủ cơ sở để khẳng định
được hàm số có đạt cực trị hay không nên đáp án B sai.
Đáp án C: Nếu đạo hàm đổi dấu khi x chạy qua x0 thì chỉ suy ra được hàm
số đạt cực trị tại x0 chứ chưa suy ra được hàm số đạt cực tiểu tại x0 .
Đáp án D: Đúng.

Câu 11: (THPT Ngô Sĩ Liên-Bắc Giang-lần 1-năm 2017-2018) Số cực trị của
4
2
hàm số y = x + 2 x − 3 là

A. 0 .

C. 3 .

B. 2 .

D. 1 .

Lời giải
Chọn D
Tập xác định D = ¡ .

y′ = 4 x3 + 4 x = 4 x ( x 2 + 1)

.

y ′ = 0 ⇔ x = 0 ⇒ y = −3 .

y ′′ = 12 x 2 + 4 .

y′′ ( 0 ) = 4 > 0 ⇒
Hàm số có một cực tiểu.
Vậy hàm số có một cực trị.
Câu 12: (THPT Tam Phước-Đồng Nai-lần 1-năm 2017-2018) Tìm điểm cực đại
4

2
của đồ thị hàm số y = x − 2 x + 2 .

A.

( −1;1) .

B.

( 2;0 ) .

( 1;1) .

C.
Lời giải:

Chọn D
3
Ta có y′ = 4 x − 4 x .

9
Trường THPT Bình Sơn

9

D.

( 0; 2 ) .

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

 x =1
y′ = 0 ⇔  x = −1
 x = 0
.
Cách 1:

2
Cách 2: y′′ = 12 x − 4
y′′ ( 0 ) = −4 ⇒
điểm cực đại.
y′′ ( 1) = 8

y′′ ( −1) = 8
y = f ( x)
Câu 13: (SGD Vĩnh Phúc-KSCL lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số
có
bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Khẳng định nào sau đây là đúng?

x

−∞

+

y′
y

2

−

0
3

−∞

4

0

+

+∞
+∞

−2

A. Hàm số đạt cực đại tại x = 4 .
C. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 .

B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = −2 .
D. Hàm số đạt cực đại tại x = 2 .
Lời giải

Chọn D
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
Hàm số đạt cực đại tại x = 2 , giá trị cực đại yCĐ = 3 .
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 4 , giá trị cực đại yCT = −2 .

Câu 14: (THPT Lục Ngạn-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số
y = x 4 − 3x 2 + 2 . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau

A. Hàm số có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu.
B. Hàm số có đúng một điểm cực trị.
C. Hàm số luôn đồng biến trên ¡ .
D. Hàm số có 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại.

10
Trường THPT Bình Sơn

10


Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Lời giải
Chọn D
x = 0
y′ = 4 x − 6 x = 2 x ( 2 x − 3) = 0 ⇔ 
x = ± 3
4
2

2.
Hàm số y = x − 3x + 2 có TXĐ : D = ¡ ;
Bảng biến thiên:
3

2

Vậy hàm số có 2 cực tiểu và 1 cực đại.
Câu 15: (THPT Lục Ngạn-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số
y = f ( x)

liên tục và có đạo hàm tới cấp hai trên
khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

( a; b ) ;

x0 ∈ ( a; b )

. Chọn

 f ′ ( x0 ) = 0

f ′′ ( x0 ) < 0
A. Nếu 
thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số.
 f ′ ( x0 ) = 0

f ′′ ( x0 ) ≠ 0
B. Nếu 
thì x0 là một điểm cực trị của hàm số.
 f ′ ( x0 ) = 0

f ′′ ( x0 ) > 0
C. Nếu 
thì x0 là một điểm cực đại của hàm số.
D. A, B, C đều sai.

Lời giải
Chọn B
Câu 16: (THPT Triêu Sơn 3-Thanh Hóa năm 2017-2018) Có bao nhiêu điểm cực
trị của hàm số
A. 3 .

y=

1
x?

C. 0 .

B. 2 .

D. 1 .

Lời giải
Chọn C
Điều kiện x ≠ 0 .
1
y′ = − 2 < 0
x
Ta có
với mọi x ≠ 0 . Vậy hàm số không có cực trị.

11
Trường THPT Bình Sơn

11

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Câu 17: (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) Cho hàm số
biến thiên như sau

y = f ( x)

có bảng

Hàm số đạt cực đại tại
A. x = 1 .

B. x = 0 .

C. x = 5 .

D. x = 2 .

Lời giải
Chọn D
Qua bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực đại tại điểm x = 2 .
Câu 18: (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-lần 2 năm 2017-2018) Cho hàm số
y = f ( x)

liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên như sau. Kết luận nào sau
đây đúng.

x

−∞

y′

−1
+ 0 +

1
0

−

0

+
+∞

2

y

+∞

2

19
12

−∞

B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 .
D. Hàm số đạt cực đại tại x = 2 .

A. Hàm số có hai điểm cực trị.
C. Hàm số có ba điểm cực trị.

Lời giải
Chọn A
Câu 19: (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số
y = f ( x)

có bảng biến thiên như sau

12
Trường THPT Bình Sơn

12


Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Tìm giá trị cực đại yCĐ và giá trị cực tiểu yCT của hàm số đã cho.
A. yCĐ = 4 và yCT = −1 .
B. yCĐ = 1 và yCT = 0 .
C. yCĐ = −1 và yCT = 1 .
D. yCĐ = 4 và yCT = 0 .
Lời giải
Chọn D
Qua bảng biến thiên ta thấy yCĐ = 4 và yCT = 0 .

Câu 20: (THPT Triêu Thị Trinh-lần 1 năm 2017-2018) Điểm cực đại của đồ thị
3
2
hàm số y = x − 5 x + 7 x − 3 là:
 7 32 
 ;− ÷
1;0 )
(
A.
.
B.  3 27  .

C. x = 1 .
Lời giải

D. y = 0 .

Chọn A
y′ = 3 x 2 − 10 x + 7 , y ′′ ( x ) = 6 x − 10
 x = 1, y = 0
y′ = 0 ⇔ 
 x = 7 , y = − 32
3
27 .

 y ′ ( 1) = 0

y ′′ ( 1) = −4 < 0
( 1;0 ) .
Vì 

nên điểm cực đại của đồ thị hàm số là
Câu 21: (THPT Lương Thế Vinh-Hà Nội năm 2017-2018) Hàm số nào trong
bốn hàm số được liệt kê dưới đây không có cực trị?
2x −1
y=
4
3
y= x
x +1 .
A.
B. y = x .
C. y = − x + x .
D.
.
Lời giải
Chọn A
3
2x −1
y′ =
>0
2
y=
x
+
1
(
)
x + 1 ta có
Xét hàm số
với x ≠ −1 nên hàm số không có cực

trị.
Câu 22: (THPT Thạch Thành 2-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Điểm cực
3
đại của đồ thị hàm số y = x − 3x + 5 là điểm
N ( −1;7 )
P ( 7; − 1)
Q ( 3;1)
A.
.
B.
.
C.
.
Lời giải
Chọn A
Tập xác định D = ¡ .

13
Trường THPT Bình Sơn

13

D.

M ( 1; 3)

.


Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

x = 1
⇔
 x = −1 .
Ta có y′ = 3 x − 3 . Do đó y′ = 0 ⇔ 3 x − 3 = 0
Bảng biến thiên
2

Dựa vào bảng biến thiên, điểm

2

N ( −1;7 )

là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

Câu 23: (THPT Thạch Thành 2-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Điểm cực tiểu
3
của đồ thị hàm số y = x − 3x + 5 là điểm
N ( 1;3)
M ( 1; − 3)
P ( 7; − 1)
A.
.
B.
.
C.
.
Lời giải
Chọn A

2
Ta có y′ = 3 x − 3 .

D.

Q ( 3;1)

.

y ′ = 0 ⇔ x = ±1 .

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, điểm

N ( 1;3)

là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

Câu 24: (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 3 năm 2017-2018) Cho hàm số
y = x3 − 3x 2 . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 0 . B. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 .
C. Giá trị cực đại của hàm số bằng −4 . D. Hàm số đạt cực đại tại x = 2 .

Lời giải
Chọn B
2
= 3x ( x − 2 )
Ta có y′ = 3x − 6 x
.

x ∈ ( −∞;0 ) ∪ ( 2; +∞ )
x ∈ ( 0; 2 )
Do đó y′ > 0 với mọi
và y′ < 0 với mọi
.
3
Câu 25: (SGD Bắc Ninh năm 2017-2018) Hàm số y = x − 3x + 2 có giá trị cực đại
bằng
A. 0 .
B. 20 .
C. −1 .
D. 4 .

14
Trường THPT Bình Sơn

14


Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Lời giải
Chọn D

x = 1 ⇒ y = 0
2
′
y
=
0

⇔
3
x
−
3
=
0
⇔
 x = −1 ⇒ y = 4
2

Ta có: y′ = 3 x − 3 . Xét
.
 y′′ ( 1) = 6 > 0
⇒
 y′′ ( −1) = −6 < 0 . Suy ra hàm số đạt cực đại tại x = −1 . Vậy
Và: y′′ = 6 x
yCĐ = 4 .
Câu 26: (SGD Bắc Ninh năm 2017-2018) Hàm số
cực trị?
A. 1 .
B. 2 .
C. 0 .

y=

2x −1
x − 1 có bao nhiêu điểm

D. 3 .

Lời giải
Chọn C

D = ¡ \ { 1}
Tập xác định
.
−1
y′ =
< 0, ∀x ∈ D
2
x − 1)
(
Ta có
.
Do đó hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định và không có cực
trị.
Câu 27: (THPT Chuyên Lê Quý Đôn-Đà Nẵng năm 2017-2018) Cho đồ thị

( C)

3
2
của hàm số y = − x + 3x − 5 x + 2 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào
đúng ?

A.

( C)

không có điểm cực trị.

C.

( C)

có ba điểm cực trị.

B.
D.
Lời giải

( C)

có hai điểm cực trị.

( C)

có một điểm cực trị.

Chọn A
2
= −3 ( x − 1) − 2 < 0 ∀x ∈ ¡
Tập xác định: D = ¡ . Ta có: y′ = −3 x + 6 x − 5
,
.
Suy ra đồ thị hàm số không có điểm cực trị.
2

y = f ( x)

Câu 28: (THPT Chuyên Quốc Học-Huế năm 2017-2018) Cho hàm số
có đạo hàm cấp 2 trên khoảng K và x0 ∈ K . Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. Nếu

f ′′ ( x ) > 0

15
Trường THPT Bình Sơn

y = f ( x)
thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số
.

15


Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

f ′′ ( x ) = 0

thì x0 là điểm cực trị của hàm số
y = f ( x)
C. Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số
thì
y = f ( x)
D. Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số
thì
Lời giải
Chọn C
B. Nếu

y = f ( x)

.
f ′ ( x0 ) = 0
.
f ′′ ( x0 ) = 0
.

y = f ( x)
f ′ ( x0 ) = 0
Mệnh đề đúng là: “Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số
thì
”.
Câu 29: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 3 năm 2017-2018) Hàm số
y = x 4 − 2 x 2 + 1 có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1 .
B. 0 .
C. 3 .

D. 2 .

Lời giải
Chọn B
Tập xác định: D = ¡ .
3
Đạo hàm: y′ = 4 x − 4 x .

x = 0
⇔

y′ = 0
 x = ±1 .
Bảng biến thiên:

Do đó hàm số có 3 điểm cực trị.
Câu 30: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 3 năm 2017-2018) Cho hàm số
y = f ( x)

có bảng biến thiên như hình dưới đây. Khẳng định nào sau đây là

đúng?

16
Trường THPT Bình Sơn

16


Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

A. Hàm số đạt cực tiểu tại x = −2 .
C. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 .

B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 4 .

D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 .
Lời giải

Chọn B
Câu 31: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 3 MĐ 234 năm học 2017-2018) Cho

y = f ( x)
hàm số
có bảng biến thiên như hình dưới đây. Khẳng định nào sau
đây là đúng?
A. Hàm số đạt cực đại tại x = −3 .
B. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 .
C. Hàm số đạt cực tiểu tại x = −4 .
D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 .

Hướng dẫn giải
Chọn B
Dựa vào bảng biến thiên hàm số đạt cực đại tại x = 0 .
Câu 32: (THPT Hồng Quang-Hải Dương năm 2017-2018) Cho hàm số
có đồ thị như hình bên. Tìm số cực trị của hàm số

A. 3 .

B. 4 .

C. 2 .
Lời giải

y = f ( x)

y = f ( x)

D. 1

Chọn A
Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số có ba điểm cực trị trong đó có hai điểm

cực tiểu và một điểm cực đại.
3
Câu 33: (THPT Kinh Môn 2-Hải Dương năm 2017-2018) Hàm số y = x − 3x đạt
cực tiểu tại x bằng ?
A. −2 .
B. −1 .
C. 1 .
D. 0 .
Lời giải

17
Trường THPT Bình Sơn

17


Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Chọn C

x = 1
⇔
 x = −1 .
Ta có: y′ = 3x − 3 = 0
Bảng biến thiên:
2

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 .
Câu 34: (THPT Phan Đăng Lưu-Huế-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

f ( x)

B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 3

A. Hàm số có hai điểm cực trị.
.
C. Hàm số có một điểm cực trị.
0.

D. Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng
Lời giải

Chọn A
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có đạo hàm cấp 1 và y′ = 0 tại
x = −1 và không xác định tại x = 0 , đồng thời y′ đổi dấu khi đi qua các điểm
x = −1 và x = 0 .
Do đó hàm số có hai điểm cực trị là x = −1 và x = 0 .
Câu 35: (THPT Thanh Miên 1-Hải Dương-lần 1 năm 2017-2018) Tìm điểm cực
tiểu của hàm số
A. x = 0 .

f ( x ) = ( x − 3) e x

.

B. x = 2 .

C. x = 1 .
Lời giải

Chọn B

18
Trường THPT Bình Sơn

18

D. x = 3 .


Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

f ( x ) = ( x − 3) e x ⇒ f ′ ( x ) = e x + ( x − 3) e x ( x − 2 ) e x = 0 ⇔ x = 2
Hàm số
,
,
x
x
x
2
f ′′ ( x ) = e + ( x − 2 ) e = ( x − 1) e
f ′′ ( 2 ) = e > 0
;
nên x = 2 là điểm cực tiểu của
hàm số.

Câu 36: (THPT Xuân Trường-Nam Định năm 2017-2018) Cho hàm số
có bảng biến thiên như hình bên:
x

y'

–∞

2
+

0

4
–

0

y = f ( x)

+∞
+

3

+∞

y
–∞

-2

Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. Hàm số đạt cực đại tại x = 3 .

C. Hàm số đạt cực đại tại x = 2 .

B. Hàm số đạt cực đại tại x = 4 .
D. Hàm số đạt cực đại tại x = −2 .

Lời giải
Chọn C
Giá trị cực đại của hàm số là y = 3 tại x = 2 .
Câu 37: (THPT Lương Văn ChasnhPhus Yên năm 2017-2018) Cho hàm số
y = f ( x)

, có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 .

B. Hàm số không có cực đại.
D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = −6 .

C. Hàm số có bốn điểm cực trị.

Lời giải
Chọn A
Từ bảng biến thiên của hàm số ta thấy y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt và y′
đổi dấu qua các nghiệm này. Do đó các mệnh đề “Hàm số không có cực
đại” và “Hàm số có bốn điểm cực trị” bị LOẠI.

y = y ( 2 ) = −6
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và có giá trị cực tiểu bằng CT
.

Câu 38: (THPT Chuyên Biên Hòa-Hà Nam-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số

y = f ( x)

có đồ thị như hình vẽ bên

Hàm số đạt cực đại tại

19
Trường THPT Bình Sơn

19


Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

A. x = 0

B. x = 1

C. x = −3

D. x = −1
Lời giải

Chọn A.
Từ đồ thị hàm số y = f (x) ta có bảng biến thiên
−∞
x

-1
0
1

f ′( x )

+∞

-

f ( x)

0

+

0

-

0

+

-3
-4
-4

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 0 .
Câu 39: (THPT Mộ Đức-Quãng Ngãi-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số

y = f ( x)

Hàm số
A. 5 .

xác định, liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên dưới đây

y = f ( x)

có bao nhiêu điểm cực trị?
B. 2 .

C. 1 .
Lời giải

D. 3 .

Chọn D
Dựa vào bảng biến thiên hàm số

y = f ( x)

có ba điểm cực trị.

Câu 40: (THPT Lê Quý Đôn-Hà Nội năm 2017-2018) Cho hàm số
bảng biến thiên như sau:

Phát biểu nào sau đây đúng?
A. Hàm số đạt cực đại tại x = 2 .

có

B. Hàm số có 3 cực tiểu.

C. Hàm số có giá trị cực tiểu là 0 .

D. Hàm số đạt cực đại tạo x = 4 .
Lời giải

Chọn A

20
Trường THPT Bình Sơn

y = f ( x)

20


Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Từ bảng biến thiên ta chọn đáp án

A.

Câu 41: (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 2 năm 2017-2018) Cho hàm số

y = f ( x)

có bảng biến thiên:

Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đạt cực đại tại x = 3 .
C. Hàm số đạt cực đại tại x = 4 .

B. Hàm số đạt cực đại tại x = 1 .
D. Hàm số đạt cực đại tại x = −2 .
Lời giải

Chọn B
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 1 .
Câu 42: (THPT Phan Châu Trinh-DakLak-lần 2 năm 2017-2018) Cho hàm số

y = f ( x)

xác định, liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên:

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số có đúng một cực trị.
B. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1 .
C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng 1 .
D. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 1 .
Lời giải
Chọn D
Dựa vào BBT. Hàm số có hai cực trị ⇒ A sai.
Hàm số có giá trị cực tiểu bằng −1 ⇒ B sai.
Hàm số không có GTNN, GTLN ⇒ C sai.
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 1 .
Câu 43: (THPT Can Lộc-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Trong các hàm số sau,

hàm số nào có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu?
A. y = − x + x + 3 .
4

2

B. y = x + x + 3 .
C. y = − x − x + 3 .
Lời giải
4

2

4

Chọn A

21
Trường THPT Bình Sơn

21

2

D. y = x − x + 3 .
4

2

Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị nên loại B, C.
4

Vì đồ thị hàm số có hai điểm cục đại nên hệ số x có giá trị âm.
Câu 44: (THPT Lê Quý Đôn-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số

y = f ( x)
x

xác định trên ¡ và có bảng xét dấu của đạo hàm như sau.

−∞

x1

−

y′

x2

+

0

y = f ( x)

Khi đó số cực trị của hàm số

A. 3 .
B. 2 .

P

−

+∞

x3

0

+

là
C. 4 .
Lời giải

D. 1 .

Chọn A

x
Do hàm số xác định trên ¡ và có biểu thức đạo hàm đổi dấu ba lần tại 1 ;
x2 x3
;

nên hàm số

y = f ( x)

có ba cực trị.

Câu 45: (THPT Chuyên Tiền Giang-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số

y = x 3 − 3x + 2 . Tọa độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là
A.

( −2;0 ) .

B.

( −1; 4 ) .

C.
Lời giải

( 0;1) .

D.

( 1; 0 ) .

Chọn B
x = 1
y′ = 0 ⇔ 
y′ = 3 x − 3 ,
 x = −1 .
Ta có

2

y′′ = 6 x , y ( 1) = 6 > 0 nên hoành độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là x = −1 ,

yCT = 4

.

y = x2 − 4x + 3

Câu 46: (THPT Đức THọ-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Hàm số
có cực tiểu tại
A. x = 4 .
B. x = 0 .
C. y = −1 .
D. x = 2 .
Lời giải
Chọn D
Tập xác định: D = ¡ .
Ta có: y′ = 2 x − 4 , y ′ = 0 ⇔ x = 2 .

22
Trường THPT Bình Sơn

22


Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 .

y = x 2 − 4 x + 3 là Parabol có đỉnh là ( 2;1) và có a = 1 > 0

Cách 2: Đồ thị hàm số
nên x = 2 là điểm cực tiểu.

Câu 47: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 4 năm 2017-2018) Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
y
3

y = f ( x)

2
O

x

−1

A. Điểm cực đại của hàm số là 3 .
B. Giá trị cực đại của hàm số là 0 .
C. Giá trị cực tiểu của hàm số bằng −1 .
D. Điểm cực tiểu của hàm số là −1 .
Lời giải
Chọn C
Từ đồ thị hàm số suy ra giá trị cực tiểu của hàm số bằng −1 .
Câu 48: (THPT Lê Xoay-Vĩnh phúc-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số

y = f ( x)

có bảng biến thiên như sau

Hàm số đạt cực tiểu tại
A. x = −5 .
B. x = 2 .

C. x = 3 .
Lời giải

D. x = 1 .

Chọn B
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2 .

23
Trường THPT Bình Sơn

23


Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

Câu 49: (THPT Chuyên Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Số điểm cực trị của đồ thị
4
2
y
=
−
x

+
2
x
+ 2 là
hàm số

B. 3 .

A. 2 .

C. 0 .
Lời giải

D. 1 .

Chọn B
Ta có

y′ = −4 x3 + 4 x .

x =0
⇔  x = −1
 x = 1
y′ = 0
.
Bảng xét dấu

Vậy đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị.
Câu 50: (THPT Đặng Thúc Hứa-Nghê An-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số

y = f ( x)

có bảng biến thiên như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và x = 1 .

B. Giá trị cực tiểu

của hàm số bằng −1 .
C. Giá trị cực đại của hàm số bằng 2 . D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = −2 .
Lời giải
Chọn A
Dựa vào BBT, hàm số không đạt cực trị tại x = 0 .
Câu 51: (THPT Chuyên Hạ Long-Quãng Ninh lần 2 năm 2017-2018) Cho hàm số

y = f ( x)

xác định, liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên như sau

Hàm số đạt cực đại tại

24
Trường THPT Bình Sơn

24


Chuyên đề : Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi THPTQG.

A. x = 5 .

B. x = 1 .

C. x = 2 .
Lời giải

D. y = 5 .

Chọn B
Dựa vào bảng biến thiên, ta có tại x = 1 , đạo hàm của hàm số đổi dấu từ

( +)

sang

( −)

nên hàm số có điểm cực đại là x = 1 .

Câu 52: (THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng-lần 2 năm 2017-2018) Cho hàm
số

y = f ( x)

xác định, liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên:

Khẳng định nào sau đây sai?

M ( 0; −3)

A.
là điểm cực tiểu của hàm số.
B. Đồ thị hàm số có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
C.

f ( 2)

D.

x0 = 2

được gọi là giá trị cực đại của hàm số.
được gọi là điểm cực đại của hàm số.
Lời giải

Chọn A
A sai vì phát biểu đúng là: “

M ( 0; −3)

là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số”.

f ( x ) = x 4 − 8 x3 + 1

Câu 53: (PTNK-ĐHQG TP HCM-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số
.
Chọn mệnh đề đúng.
A. Nhận điểm x = 6 làm điểm cực đại. B. Nhận điểm x = 6 làm điểm cực
tiểu.
C. Nhận điểm x = 0 làm điểm cực đại. D. Nhận điểm x = 0 làm điểm cực

tiểu.
Lời giải
Chọn B
x = 0
f ′( x) = 0 ⇔ 
3
2
2
f ′ ( x ) = 4 x − 24 x = 4 x ( x − 6 )
x = 6 .
;
Bảng biến thiên

25
Trường THPT Bình Sơn

25