Luận Văn Định lý Aharonov - Casher

Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD: TS. Tạ Ngọc Trí

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
_ _ _ _***_ _ _ _

PHẠM THỊ GẤM

ĐỊNH LÝ AHARONOV - CASHER
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán Giải tích

Hà Nội - 2012

Phạm Thị Gấm K34C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD: TS. Tạ Ngọc Trí

LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu nhà trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2, các thầy cô trong khoa Toán, các thầy cô trong tổ Giải tích đã giúp đỡ và
tạo điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khóa
luận của mình.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Tạ Ngọc Trí, người Thầy đã
luôn quan tâm, tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn thành khoá luận của
mình.

Trong khuôn khổ có hạn của một bài khoá luận, do điều kiện thời gian và
trình độ có hạn; và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa học nên không tránh
khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định. Vì vậy, em kính mong nhận được những
góp ý của thầy cô và các bạn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên
Phạm Thị Gấm

Phạm Thị Gấm K34C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD: TS. Tạ Ngọc Trí

LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và nghiên
cứu, bên cạnh đó em được sự quan tâm của các thầy cô giáo trong khoa Toán,
đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của TS.Tạ Ngọc Trí.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành bài khoá luận này, em đã tham khảo một
số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Em xin cam đoan kết quả của đề tài “ Định lý Aharonov - Casher” là công
trình nghiên cứu của riêng em dưới sự hướng dẫn của TS. Tạ Ngọc Trí.

Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên
Phạm Thị Gấm

Phạm Thị Gấm K34C - Toán

Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD: TS. Tạ Ngọc Trí

Mục lục
LỜI CẢM ƠN
LỜI CAM ĐOAN
BẢNG KÍ HIỆU
MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 5
CHƢƠNG 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN ................................................ 7
1.1 Không gian Banach. ..................................................................................... 7
1.2. Không gian Hilbert..................................................................................... 8
1.3. Toán tử tuyến tính. .................................................................................... 11
1.3.1. Toán tử tuyến tính bị chặn. ................................................................ 11
1.3.2 Toán tử tuyến tính không bị chặn. ...................................................... 20
2

CHƢƠNG 2. ĐỊNH LÝ AHARONOV - CASHER TRONG  ................ 23
2.1 Zero mode của toán tử Weyl - Dirac.......................................................... 23
2.2 Bài toán về zero mode. ............................................................................... 26
2.3 Zero mode trong không gian hai chiều. ..................................................... 28
KẾT LUẬN ......................................................................................................... 32
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................. 33

Phạm Thị Gấm K34C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD: TS. Tạ Ngọc Trí

BẢNG KÍ HIỆU
n

Không gian thực n chiều



Tập số phức, đơn vị ảo kí hiệu là i

 0

Tập các hàm trơn có giá compact

L2 (R3 )

Không gian các hàm bình phương khả
tích trên R3

S2
x

Hình cầu đơn vị trong R3
Chuẩn của vectơ x

I

Toán tử đồng nhất

I2

Ma trận 

0 1

KerA

Hạt nhân của toán tử A

dim X

Số chiều của không gian vectơ X

x  x0

x  x0 , x  x0



Kết thúc chứng minh

Phạm Thị Gấm K34C - Toán

1 0


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD: TS. Tạ Ngọc Trí

MỞ ĐẦU

1.Lý do chọn đề tài:
Khi một vấn đề mới ra đời các thuật ngữ xung quanh nó sẽ nhanh chóng
được biết đến và định nghĩa một cách cụ thể. Vấn đề về zero mode cũng không
nằm ngoài quy luật đó.
Vấn đề về zero mode được xuất hiện lần đầu tiên trong vật lý. Việc nghiên
cứu đề tài này ở các khía cạnh khác nhau theo quan điểm toán học đã được rất
nhiều nhà toán học quan tâm như J. M. Loss, H. T. Yau, D. M. Elton,C. Adam,
B. Muratori, C. Nash … Thực tế năm 1979, Aharonov - Casher đã xây dựng và
chứng minh được công thức tính số zero mode của toán tử Weyl – Dirac

 .(i  A) trong R 2 .
Dưới sự gợi ý của thầy Tạ Ngọc Trí và bản thân em cũng có hứng thú khi
tìm hiểu một đề tài khá mới. Em mạnh dạn quyết định đi vào tìm hiểu và nghiên
cứu đề tài “ Định lý Aharonov - Casher ”.
Với mong muốn hiểu biết sâu hơn về định lý Aharonov - Casher và các kết
quả liên quan cùng với sự hướng dẫn tận tình của TS. Tạ Ngọc Trí, em lựa chọn
đề tài “ Định lý Aharonov - Casher ”
2. Mục đích nghiên cứu:
Tìm hiểu định lý Aharonov - Casher trong R 2 và chứng minh của định lý
này.

Phạm Thị Gấm K34C - Toán

5

Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD: TS. Tạ Ngọc Trí

3. Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Nghiên cứu định lý Aharonov - Casher trong R 2
- Nghiên cứu sự phát triển của bài toán này trong những năm gần đây.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu:
- Đối tượng nghiên cứu: Định lý Aharonov – Casher trong R 2 và chứng minh
của định lý này.
- Phạm vi nghiên cứu: Định lý Aharonov – Casher và các kết quả có liên quan.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu:
- Sử dụng kiến thức, phương pháp của giải tích hàm.
- Sưu tầm, nghiên cứu các tài liệu có liên quan.
6. Cấu trúc khóa luận:
Ngoài phần mục lục, phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo,bài khóa luận
của em gồm có 2 chương đó là:
Chương 1: Một số kiến thức cơ bản.
Chương 2: Định lý Aharonov - Casher trong R 2 .

Phạm Thị Gấm K34C - Toán

6


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD: TS. Tạ Ngọc Trí

CHƢƠNG 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN
Trong chương này chúng ta sẽ đưa ra một số khái niệm và tính chất của toán tử
tuyến tính bị chặn và toán tử tuyến tính không bị chặn.
1.1 Không gian Banach.
Định nghĩa 1.1.1 ( Không gian định chuẩn ).
Một không gian định chuẩn ( hay không gian tuyến tính định chuẩn ) là
không gian tuyến tính X trên trường K ( K là trường số thực R hoặc là trường số
phức  ) cùng với ánh xạ từ X vào tập số thực  , kí hiệu là . và đọc là chuẩn,
thoả mãn các tiên đề sau:
1 ( x  X ) x  0, x  0  x  0;
2) x  X    K   x   x ;
3) x, y  X  x  y  x  y .
Số x gọi là chuẩn của vectơ x. Ta cũng kí hiệu không gian định chuẩn là X.
Định nghĩa 1.1.2 ( Sự hội tụ trong không gian định chuẩn )
Dãy điểm  xn  của không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ tới điểm
x X nếu lim xn  x  0. Kí hiệu lim xn  x hay xn  x khi n   .
n

Phạm Thị Gấm K34C - Toán

n 

7


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD: TS. Tạ Ngọc Trí

Định nghĩa 1.1.3 ( Dãy cơ bản ).

Dãy điểm  xn  trong không gian định chuẩn X được gọi là dãy cơ bản ( hay
dãy Cauchy) nếu

lim xm  xn  0

m , n 

Định nghĩa 1.1.4 (Không gian Banach ).
Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach, nếu mọi dãy cơ
bản trong X đều hội tụ.
Định lý 1.1.1 (Một số tính chất)
Giả sử  xn  ,  yn  là các dãy trong không gian định chuẩn X.  n  là dãy số
trong K . Khi đó :
1) Nếu xn  a thì xn  a
2) Nếu xn  a, yn  b thì xn  yn  a  b
Nếu n   thì n xn  .a
3) Nếu  xn  ,  yn  là các dãy cơ bản trong X;  n  là dãy cơ bản trong K thì

 xn  yn  ,  n xn 

là các dãy cơ bản trong X.

1.2. Không gian Hilbert.
Định nghĩa 1.2.1 (Tích vô hướng ).
Cho không gian tuyến tính X trên trường K7( K là trường số thực  hoặc
trường số phức  ). Ta gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ
tích Descartes X  X vào trong trường K , kí hiệu .,. , thoả mãn các tiên đề
sau:
Phạm Thị Gấm K34C - Toán

8


Khóa luận tốt nghiệp đại học

1)  x, y  X 

GVHD: TS. Tạ Ngọc Trí

y , x  x, y ;

2)  x, y, z  X 

x  y, z  x, z  y, z ;

3)  x, y  X  (  K )  x, y   x, y ;
4)  x  X  x, x  0 nếu x  0,

x, x  0 nếu x  0 .
Các phần tử x,y,z… gọi là các nhân tử tích vô hướng, số x, y gọi là tích vô
hướng của hai nhân tử x,y ; các tiên đề 1), 2), 3), 4) gọi là hệ tiên đề tích vô
hướng.
Định lí 1.2.1. (Bất đẳng thức Schwarz)
Đối với mỗi

x  X ta đặt
x 

(1.1)

x, x .

Khi đó x, y  X ta có bất đẳng thức Schwarz
x, y  x y .

(1.2)

Chứng minh:
Nếu x, y  0 thì bất đẳng thức (1.2) hiển nhiên đúng.
Nếu x, y  0 , thì với mọi   ta có

0  x   x, y y, x   x, y y
 x   x, y y, x   x, y y, x   x, y x, y y, y
2

 x  2 x, y
2

2

  2 x, y

2

2

y .

Ta nhận được một tam thức bậc hai đối với  không âm với mọi giá trị

  .Do đó
Phạm Thị Gấm K34C - Toán

9


Khóa luận tốt nghiệp đại học

x, y

4

 x, y

2

x

2

Vì vậy x, y  x y

GVHD: TS. Tạ Ngọc Trí

2

y  0  x, y
2

 x

2

y  x, y  x y .
2

(x, y  X )

Bất đẳng thức Schwarz được chứng minh.
Hệ quả 1.2.1 Công thức (1.2) xác định một chuẩn trên không gian X.
Định nghĩa 1.2.2 ( không gian Hilbert )
Ta gọi một tập hợp    gồm những phần tử x,y,z,… nào đấy là không
gian Hilbert, nếu tập H thoả mãn các điều kiện:
1) H là không gian tuyến tính trên trường K
2) H được trang bị một tích vô hướng .,. ;
3) H là không gian Banach với chuẩn x 

x, x , x  H

Ví dụ 1.2.1.
Không gian L2 (R3 ) là không gian các hàm số với bình phương khả tích trên

R3 .
f ( x), g ( x)  L2 (R3 ) ta đặt : f , g 



f ( x) g ( x)dx.

R3

Chuẩn sinh bởi tích vô hướng trên là :
1

f 


2
f , f    f 2 ( x)dx 
 R3




Khi đó không gian L2 ( 3 ) cùng với tích vô hướng trên là một không gian
Hilbert.
Ví dụ 1.2.2.
Ký hiệu  k là không gian véctơ thực k chiều.
Phạm Thị Gấm K34C - Toán

10


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD: TS. Tạ Ngọc Trí

Với x   xn    k , y   yn    k ta đặt
k

x, y   xn yn
n 1

Chuẩn sinh bởi tích vô hướng trên là:

x 

k

x

x, x 

2
n

n 1

, x   xn    k

Khi đó không gian véctơ thực  k cùng với tích vô hướng trên là một không gian
Hilbert.
Ví dụ 1.2.3.
Ký hiệu l2 là không gian véctơ các dãy số phức x   xn  sao cho chuỗi số


x
n 1

2

n

hội tụ. x   xn   l2 , y   yn   l2 ta đặt:


x, y   xn yn
n 1

Chuẩn sinh ra bởi tích vô hướng trên là:

x 



x
n 1

n

2

, x   xn   l2

Khi đó không gian véctơ l2 cùng với tích vô hướng trên là một không gian
Hilbert.
1.3. Toán tử tuyến tính.
1.3.1. Toán tử tuyến tính bị chặn.
Định nghĩa 1.3.1 ( Toán tử tuyến tính ).
Phạm Thị Gấm K34C - Toán

11


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD: TS. Tạ Ngọc Trí

Cho hai không gian vectơ bất kỳ X và Y. Một ánh xạ A: X  Y gọi là một ánh
xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu:
1) (x, x'  X ) A( x  x' )  Ax  Ax' .
2) (x  X ) (  K ) A x   Ax.
Ở đây để cho gọn ta viết Ax thay cho A( x) .
Nếu X  Y ta nói A là toán tử trong X.
Ví dụ 1.3.1 :

X  Y  Cka ,b (Không gian các hàm số có đạo hàm liên tục đến cấp k trên  a; b )
Ax(t )  a0 x(t )  a1 x' (t )  ...  ak x( k ) (t )
trong đó a0 , a1, ..., ak là những hằng số ( hoặc những hàm số cho trước của t
k

thuộc C a ,b ) là toán tử tuyến tính. A gọi là toán tử vi phân.
Định nghĩa 1.3.2 ( Toán tử tuyến tính liên tục).
Cho X,Y là hai không gian định chuẩn. Toán tử tuyến tính A: X  Y gọi là
liên tục tại

x0  X nếu :

xn   X , xn  x0 (n  ) thì Axn  Ax0 (n  ).
Toán tử

A gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc X.

Định nghĩa 1.3.3 ( Toán tử tuyến tính bị chặn).
Cho X,Y là hai không gian định chuẩn. Toán tử tuyến tính A: X  Y gọi là bị
chặn (giới nội) nếu có một hằng số k  0 sao cho:
(x  X ) ,

Ax  k x .

Định nghĩa 1.3.4 (Chuẩn của toán tử).

Phạm Thị Gấm K34C - Toán

12


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD: TS. Tạ Ngọc Trí

Số k  0 nhỏ nhất trong định nghĩa 1.3.3 gọi là chuẩn của toán tử A và kí
hiệu là A .
Định lí 1.3.1 ( Ba mệnh đề tương đương về toán tử tuyến tính liên tục).
Cho X ,Y là hai không gian định chuẩn. Toán tử tuyến tính A : X  Y . Khi
đó các mệnh đề sau tương đương:
1) A liên tục;
2) A liên tục tại x0  X ;
3) A bị chặn.
Chứng minh:

1)  2) : Giả sử toán tử A liên tục. Theo định nghĩa, toán tử A liên tục tại mỗi
điểm x  X , do đó A liên tục tại điểm x0  X .
2)  3) : Giả sử toán tử A liên tục tại điểm x0  X , nhưng toán tử A không bị
chặn.
Khi đó: (n  N * ) (xn  X )
Hiển nhiên xn  0 , đặt yn 

Axn  n xn .

xn
1
, thì yn   0 (n  )
n
n xn

Nghĩa là yn  0 khi n   

yn  x0  x0 (n  )

Theo giả thiết, ta có:

A( yn  x0 )  Ax0  0(n  )  Ayn  0(n  )
Nhưng Ayn  A(

xn
1
) 
Axn  1 . Điều này mâu thuẫn với chứng minh
n xn
n xn

trên.
Vì vậy toán tử A liên tục tại

x0 thì A bị chặn.

3)  1): Giả sử toán tử A bị chặn.
Phạm Thị Gấm K34C - Toán

13


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD: TS. Tạ Ngọc Trí

Theo định nghĩa k  0 sao cho Ax  k x , x  X . Lấy một điểm bất kỳ
x  X và dãy điểm tuỳ ý xn   X hội tụ tới

x . Ta có :

Axn  Ax  A( xn  x)  k xn  x  0(n  ) .

Do đó A liên tục tại điểm

x.

Do đó tính chất bất kỳ của x  X nên A liên tục trên X.
Định nghĩa 1.3.5 ( Toán tử ngược ).
Cho X,Y là hai không gian định chuẩn. Cho toán tử tuyến tính f : X  Y ,

nếu tồn tại toán tử g thỏa mãn g ( f ( x))  x ( x  X ) thì g được gọi là toán tử
ngược của toán tử f . Ta thường ký hiệu toán tử ngược của toán tử f là f 1 .
Định lý 1.3.2 ( Tính liên tục của toán tử ngược).
Cho X,Y là hai không gian định chuẩn. Toán tử tuyến tính A : X  Y có
toán tử ngược A1 liên tục khi và chỉ khi tồn tại hằng số   0 sao cho:

Ax   x ,(x  X ).

(1.3)

1

Khi đó A1  .


Chứng minh:
Trước hết ta chứng minh toán tử ngược A-1 của toán tử tuyến tính A là toán tử
tuyến tính. Thật vậy, lấy hai phần tử y1 , y2 Y và hai số tùy ý a, b. Khi đó, tồn
tại hai phần tử x1 , x2  X sao cho y1  Ax1 , y2  Ax2 . Do đó

A(ax1  bx2 )  aAx1  bAx2  ay1  by2
Suy ra
A1 (ay1  by2 )  ax1  bx2  aA1 y1  bA1 y2

Điều kiện cần
Phạm Thị Gấm K34C - Toán

14

Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD: TS. Tạ Ngọc Trí

Giả sử toán tử tuyến tính A có toán tử ngược A-1 liên tục. Theo chứng minh trên
A-1 là toán tử tuyến tính. Do đó theo định lý về ba mệnh đề tương đương của
toán tử tuyến tính liên tục, A-1 bị chặn. Suy ra tồn tại hằng số C  0 sao cho

A1 y  C y , y Y .
Nhờ đó ta được
C Ax  A1 ( Ax)  x  Ax 

Đặt  

1
x ,(x  X ).
C

1
ta nhận được hệ thức (1.3).
C

Điều kiện đủ
Giả sử toán tử tuyến tính A thỏa mãn điều kiện (1.3). Khi đó với

x1 , x2  X , x1  x2 ta có

 x1  x2  A( x1  x2 )  Ax1  Ax2  Ax1  Ax2 .
Do đó A có toán tử ngược A-1. Theo chứng minh trên, toán tử A-1 tuyến tính.
Nhờ đó với mọi phần tử y  Y ta có:

y  A( A1 y )   A1 y  A1 y 

1



y.

Suy ra, A-1 là toán tử tuyến tính bị chặn hay toán tử tuyến tính liên tục và
A1 

1



.

Định lý được chứng minh.



Định nghĩa 1.3.6 ( Toán tử liên hợp, toán tử tự liên hợp ).
Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Hilbert H. Toán tử
A* : H  H gọi là toán tử liên hợp của A, nếu

Ax, y  x, A* y ,(x, y  H ).
Phạm Thị Gấm K34C - Toán

15

Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD: TS. Tạ Ngọc Trí

Khi A  A* thì toán tử A gọi là toán tử tự liên hợp hay toán tử đối xứng.
Nói cách khác, nếu A là toán tử tự liên hợp thì

Ax, y  x, Ay ,  x, y  H .
Định lý 1.3.3: Cho X,Y là hai không gian Hilbert và A : X  Y là toán tử tuyến
tính bị chặn. Khi đó tồn tại toán tử A* : Y  X là toán tử liên hợp với toán tử A.
Chứng minh:
Với mỗi phần tử cố định tuỳ ý y  Y ta đặt
f y ( x)  Ax, y , x  X

x, x, a, b  P ta có
f y (ax  bx)  A(ax  bx), y  aAx  bAx, y
 a Ax, y  b Ax, y  af y ( x)  bf y ( x)

Theo bất đẳng thức Schwarz

f y ( x)  Ax, y  A . y . x , x  X
Nghĩa là f y tuyến tính bị chặn và f y  A . y . Theo định lý Riesz, tồn tại duy
nhất phần tử y*  X sao cho

f y ( x)  x, y* , x  X , f y  y*
Đặt y*  A* y ta nhận được một ánh xạ A* : Y  X thoả mãn hệ thức

Ax, y  x, A* y , x  X , y Y .
Theo định nghĩa, A* là toán tử liên hợp với toán tử A.

Định lý được chứng minh.



Định lý 1.3.4: Toán tử tuyến tính bị chặn A trên không gian Hilbert H là tự liên
hợp khi và chỉ khi tích vô hướng Ax, x là số thực đối với mọi x  H .
Phạm Thị Gấm K34C - Toán

16


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD: TS. Tạ Ngọc Trí

Chứng minh :
Điều kiện cần:
Giả sử A là toán tử tự liên hợp. Theo định nghĩa ta có:
Ax, x  x,Ax  Ax, x , x  H

Do đó tích vô hướng Ax, x là số thực với mọi x  H .
Điều kiện đủ:
Giả sử toán tử A thoả mãn điều kiện tích vô hướng Ax, x là số thực với
mọi x  H . x, y  H ta có

A( x  y), x  y  Ax, x  Ax, y  Ay, x  Ay, y
A( x  iy), x  iy  Ax, x  i Ax, y  i Ay, x  Ay, y
Từ đó suy ra

Ax, y  Ay, x  2a, i Ax, y  i Ay, x  2b

Trong đó a, bR . Do đó

Ax, y  a  bi, Ay, x  a  bi
Ta lại có
Ay, x  y, A* x  A* x, y

hay
A* x, y  Ay, x  a  bi  Ax, y , x, y  H

Vì vậy A*  A , nghĩa là toán tử A tự liên hợp.



Định lý 1.3.5: Nếu A là toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert H thì

A  sup Ax, x .
x 1

Phạm Thị Gấm K34C - Toán

17


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD: TS. Tạ Ngọc Trí

Chứng minh:
Đặt K  sup Ax, x .
x 1

Với mọi x  H mà x  1 ta có

Ax, x  Ax x  A
Do đó K  A .
Với z  H mà z  0 , đặt y 

z
, thì y  1 và
z

z z
,
z z

K  Ay, y  A

 Az, z  K z



1
z

2

Az, z

2

Bất đẳng thức trên đúng với cả z  0 . Vì vậy,

Az, z  K z , z  H
2

Giả sử z  H , Az  0 , do đó z  0 . Đặt

p

Az
1
, u  Az
z
p

Ta có

A( pz  u ), pz  u  A( pz  u ), pz  u
 p 2 Az, z  p Az , u  p Au, z
 Au, u  p 2 Az, z  p Az , u  p Au, z  Au, u
 2 p Az, u  2 p Au, z  2 Az, pu  2 pu, Az  4 Az, Az  4 Az
Do đó

Phạm Thị Gấm K34C - Toán

18


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Az 
2

GVHD: TS. Tạ Ngọc Trí

1
1
A( pz  u ), pz  u  A( pz  u ), pz  u
4
4



1
2
 K pz  u  pz  u
4

2

  12 K  pz

2

 u

2



1 
1
2
2
 K  p 2 z  2 Az   K Az z
2 
p


 Az  K z
Hiển nhiên, bất đẳng thức trên đúng với cả z  H mà Az  0 . Suy ra:

Az  K z , z  H  A  K
Vì vậy A  K . Định lý được chứng minh.



Nhờ định lý vừa chứng minh, nếu toán tử tự liên hợp A thoả mãn hệ thức

Ax, x  0, x  H thì A là toán tử không.
Định nghĩa 1.3.7

(Toán tử dương).

Toán tử tuyến tính A gọi là toán tử dương trên không gian Hilbert H nếu nó
là toán tử tự liên hợp và
Ax, x  0,(x  H )

Định nghĩa 1.3.8

(Toán tử xác định dương).

Toán tử tuyến tính A gọi là toán tử xác định dương trên không gian Hilbert
H nếu tồn tại hằng số   0 sao cho Ax, x   x , x  H .
Định nghĩa 1.3.9 ( Toán tử compact).
Toán tử tuyến tính A trên không gian Hilbert H gọi là toán tử compact
( hay toán tử hoàn toàn bị chặn) nếu, với mỗi dãy bị chặn  xn  trong H, dãy

 Axn  chứa một dãy con hội tụ.
Phạm Thị Gấm K34C - Toán

19


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD: TS. Tạ Ngọc Trí

Định lý 1.3.6 ( Các tính chất của toán tử compact).
1. Toán tử compact là hoàn toàn bị chặn.
2. Cho A là toán tử compact trong không gian Hilbert H và B là toán tử bị chặn
trong H thì A  B và B  A là toán tử compact.
3. Toán tử A là toán tử compact trong không gian Hilbert H khi và chỉ khi A biến
một dãy hội tụ yếu thành dãy hội tụ mạnh. Nghĩa là :
yêú
A compact  xn  x  Axn  Ax, xn , x  H

4. Toán tử compact biến một dãy trực chuẩn thành một dãy hội tụ mạnh.
Định nghĩa 1.3.10 ( Toán tử unita ).
Toán tử tuyến tính bị chặn A trên không gian Hilbert H gọi là toán tử unita

nếu A* A  AA*  I trên H.
1.3.2 Toán tử tuyến tính không bị chặn.
Cho H là không gian Hilbert, DA là miền xác định của toán tử A, DA  H .
Định nghĩa 1.3.11 ( Toán tử tuyến tính không bị chặn).
Toán tử tuyến tính A: DA  H gọi là toán tử không bị chặn nếu tồn tại dãy
số xn  , xn  DA, xn  1,  n  1, 2,... và Axn   khi n   .
Thông thường ta xét trường hợp DA là không gian con tuyến tính trù mật
trong không gian Hilbert H.
Ví dụ 1.3.2 Cho A là toán tử compact trong không gian Hilbert vô hạn chiều
H. Nếu A khả nghịch thì A
Thật vậy, giả sử

1

không bị chặn.

vn   H ,  n  1,2,... là dãy trực chuẩn và

Phạm Thị Gấm K34C - Toán

20

zn  Avn .


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD: TS. Tạ Ngọc Trí

1

yêú
Khi đó zn  0 (khi n   ) nhưng A zn 
 0 (khi n   ).

Ví dụ 1.3.3 Cho T là toán tử xác định trong không gian con S của không gian
''
2
L2 ( ) sao cho Tf  x    f  x   x f  x  , f  S .

Nếu

f j  (2 j !)
j



1
2

 1 
j



1 1 2
x
4 2

e

d j  x2
(e )
dx j

Thì

f j  S , f j  1và Tf j  2 j  1,( j  1,2...)
Do đó Tf j  2 j  1   khi

j   (  f j  là cơ sở trực chuẩn của không gian

L2 ( ) ).
Vậy T là toán tử không bị chặn.
Cho toán tử không bị chặn A : DA  H

Định nghĩa 1.3.12

Toán tử A gọi là toán tử đóng nếu với mỗi dãy x j   DA , x j  x và

Ax j  y thì x  DA và Ax  y .
'
Toán tử A gọi là toán tử mở rộng của toán tử A nếu DA  DA' và

Ax  A' x, x  DA
Toán tử A gọi là đóng được nếu
nhất của toán tử đóng
Định nghĩa 1.3.13

A là mở rộng đóng.Mở rộng đóng nhỏ

A gọi là bao đóng. Ký hiệu là

( Toán tử liên hợp)

Phạm Thị Gấm K34C - Toán

21

A.


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD: TS. Tạ Ngọc Trí

Cho toán tử không bị chặn A : DA  H ký hiệu là D A* là tập hợp các phần
tử y  H , với mỗi z  H
Ta có

Ax, y  x, z , x  DA
Với mỗi y  DA* ta đặt A* y  z và gọi
Định nghĩa 1.3.14

A* là toán tử liên hợp của A .

Cho toán tử không bị chặn A : DA  H

Toán tử A gọi là toán tử đối xứng nếu toán tử liên hợp

A* là mở rộng của

toán tử A.
Toán tử A gọi là toán tử tự liên hợp nếu A đối xứng và DA*  DA .
Nếu bao đóng A tự liên hợp thì toán tử đối xứng A gọi là toán tử tự liên
hợp cốt yếu.
Chú ý 1:
Có thể không tồn tại toán tử liên hợp của toán tử không bị chặn. Nếu toán tử
A đóng được thì luôn tồn tại toán tử liên hợp. Toán tử A đóng được khi và chỉ
khi D A là tập trù mật trong H. Trong trường hợp này ta có A*  A.
*

Để chứng minh toán tử đối xứng A là tự liên hợp ta cần chỉ ra rằng A là
đóng và hạt nhân của A  i là tầm thường hoặc miền giá trị A  i H trùng với H.
Để chứng minh toán tử đối xứng A là tự liên hợp cốt yếu ta cần chỉ ra rằng
A là đóng và hạt nhân của A  i là tầm thường hoặc miền giá trị của A  i trù
mật trong H.

Phạm Thị Gấm K34C - Toán

22


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD: TS. Tạ Ngọc Trí

CHƢƠNG 2
ĐỊNH LÝ AHARONOV - CASHER TRONG

2

Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu khái niệm zero mode của toán tử
Weyl-Dirac, Sau đó là nội dung và kết quả chứng minh của định lý Aharonov Casher. Các kiến thức trong chương này được trích dẫn từ  4,8,10,12.
2.1. Zero mode của toán tử Weyl - Dirac.
Định nghĩa 2.1.1 ( Ma trận Pauli).
Các ma trận
0 1
 0 i 
1 0 
, 2  
, 3  



1 0
i 0 
 0 1

1  

và

(2.1)

i là đơn vị ảo, i 2  1 , được gọi là các ma trận Pauli.

Định nghĩa 2.1.2 ( Curl của thế vector).
Trong giải tích vector, các curl ( hoặc rotor) là một vector mô tả sự quay
cực của một trường vector 3-chiều. Tại mỗi điểm trong trường này, curl được
biểu thị bằng một vector. Các thuộc tính của vector ( chiều dài và chiều) đặc

trưng cho vòng quay tại điểm đó.
Cụ thể A  ( A1, A2 , A3 ) thì CurlA  ( 2 A3  3 A2 , 3 A1  1 A3 , 1 A2   2 A1 )
Định nghĩa 2.1.3 ( Thế vector).

Phạm Thị Gấm K34C - Toán

23


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD: TS. Tạ Ngọc Trí

Cho trường vector A   A1, A2 , A3  với Aj   j  1, 2,3 là các hàm nhận
giá trị thực của x   3 . Ta gọi A là thế vectơ ( vector potential) hay thế vị từ
(magnetic potential) của từ trường B, trong đó
B:  curlA  ( B1, B2 , B3 )
Với

B1   2 A3  3 A2 , B2  3 A1  1 A3 , B3  1 A2   2 A1

(2.2)

Định nghĩa 2.1.4
Trong L2   3  , toán tử p  i được gọi là toán tử động lượng
(momentum); toán tử p  A hoặc  i1  A1, i 2  A2 , i3  A3  được gọi là
toán tử động lượng từ (magnetic momentum).
Định nghĩa 2.1.5

( Toán tử Weyl – Dirac).

Trong L2 ( 3 ) cho thế vectơ A  ( A1, A2 , A3 ) .
Toán tử

DA :  . p  A

(2.3)

được gọi là toán tử Weyl – Dirac.
Trong L2 ( 3 ) toán tử D A là toán tử tự liên hợp.
Định nghĩa 2.1.6 ( Toán tử Pauli).
Bình phương của D A được gọi là toán tử Pauli và ký hiệu là PA , tức là:
PA   . p  A  

2

(2.4)

Nếu A và A' là hai thế vectơ trong  3 thì ta có

 .A. .A'   A.A'  i . A  A' 
Do đó
PA   . p  A     p  A    .B.
2

Phạm Thị Gấm K34C - Toán

2

24

(2.5)