Đề thi Toán 9

PHÒNG GIÁO DỤC&ĐÀO TẠO
HUYỆN BUÔN ĐÔN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC THCS CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2009-2010
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài:150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (3 điểm): Cho a, b, c > 0 thỏa a + b + c = 1
Chứng minh rằng:
64
1
1
1
1
1
1
≥






+






+







+
cba
Câu 2 (3 điểm): Tìm tất cả các số thực x, y, z thỏa mãn phương trình:
x + y + z + 4 = 2
2
−
x
+ 4
3
−
y
+ 6
5
−
z
Câu 3 (4 điểm): Giải hệ phương trình sau:










=
+
=
+
=
+
2
1
1
5
1
1
2
zx
xyz
zy
xyz
yx
xyz
Câu 4 (2 điểm): Cho
112
1
112
1
2
++
−
−+
=
x

Tính giá trị của biểu thức:
A = (x
4
– x
3
– x
2
+ 2x – 1)
2003
Câu 5 (4 điểm): Cho hình thoi ABCD có góc A = 120
0
, tia Ax tạo với tia AB góc BAx
bằng 15
0
và cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng DC tại N.
Chứng minh:
222
3
411
ABANAM
=+
Câu 6 (4 điểm): Cho tam giác ABD vuông tại D, lấy C là điểm thuộc cạnh AB. Kẻ
CH vuông góc với AD (H
∈
AD). Đường phân giác của góc BAD cắt đường tròn đường
kính AB tại E, cắt CH tại F; DF cắt đường tròn trên tại K.
a) Chứng minh rằng tứ giác AFCK nội tiếp.
b) Chứng minh ba điểm K, C, E thẳng hàng.
c) Cho BC = AD, kẻ CI song song với AD (I
∈

DK). Chứng minh CI = CB và DF là
đường trung tuyến của tam giác ADC.
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC THCS CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2009-2010
Môn: TOÁN
Câu 1 (3 điểm):
Ta có
a
1
1
+
=
a
a 1
+
=
a
cbaa
+++
(0,5 điểm)
Do a, b, c > 0, theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

a
1
1
+
=
a

cbaa
+++
≥

a
bca 22
2
+

≥

a
bca .2.2
2
=
a
bca
4
2
4
Vậy:
a
1
1
+

≥

a
bca

4
2
4
(0,5 điểm)
Tương tự:

b
1
1
+

≥

b
acb
4
2
4
(0,5 điểm)

c
1
1
+

≥

c
abc
4

2
4
(0,5 điểm)
Từ đó, suy ra:

abc
cba
cba
4
444
.64
1
1
1
1
1
1
≥






+







+






+
= 64 (đpcm) (1 điểm)
Câu 2 (3 điểm):
ĐK: x
≥
2 ; y
≥
3 ; z
≥
5
Ta có:
x + y + z + 4 = 2
2x −
+ 4
3y −
+ 6
5z −

⇔
(x - 2 - 2
2x −
+ 1) + (y - 3 - 2.2

3y −
+ 4) + (z-5 - 2.3
5z −
+ 9) = 0
(0,5 điểm)

⇔
(
2x −
-1)
2
+ (
3y −
- 2)
2
+ (
5z −
- 3)
2
= 0 (0,5 điểm)

⇔
2 1 0
3 2 0
5 3 0
x
y
z

− − =



− − =


− − =


(0,5 điểm)

⇔
2 1
3 2
5 3
x
y
z

− =


− =


− =


(0,5 điểm)
⇔
2 1

3 4
5 9
x
y
z
− =


− =


− =

(0,5 điểm)

⇔
3
7
14
x
y
z
=


=


=


(0,5 điểm)
Câu 3 (4 điểm): Giải hệ phương trình:









=
+
=
+
=
+
2
1
1
5
1
1
2
zx
xyz
zy
xyz
yx
xyz

⇔









=
+
=
+
=
+
3
2
6
5
2
1
xyz
zx
xyz
zy
xyz
yx
⇔










=+
=+
=+
(3)
3
211
(2)
6
511
)1(
2
111
xyyz
xyxz
xzyz
(1 điểm)
(1) + (2) + (3):
(4) 1
111
=++
yzxyxz
(0,5

điểm)
Lấy (4) – (1):
2
11
=
xy
(0,5 điểm)
(4) – (2):
6
11
=
yz
(0,5 điểm)
(4) – (3):
3
11
=
xz
(0,5 điểm)
Vậy xy = 2, yz = 6, xz = 3
Ta có: (xyz)
2
= 36 ⇒ xyz = 6 hay xyz = -6
Trường hợp 1: xyz = 6. Ta có: x = 1, y = 2, z = 3 (0,5 điểm)
Trường hợp 2: xyz = -6. Ta có: x = -1, y = -2, z = -3 (0,5 điểm)
Câu 4 (2 điểm):
Ta có
112
1
112

1
2
++
−
−+
=
x
=
112
112112
2
−+
++−++
(0,5 điểm)
=
2
2
2
2
=
(0,5 điểm)
Ta lại có:
A = (x
4
– x
3
– x
2
+ 2x – 1)
2003

=
( )
( )
[ ]
2003
3
11
+−−
xxx
(0,5 điểm)
Thay x =
2
vào A, ta được:
A =
( )( )
[ ]
2003
122212
+−−
=
( )( )
[ ]
2003
1212
+−
= 1
2003
= 1 (0,5
điểm)
Câu 5 (4 điểm):

Vẽ hình; viết GT, KL đúng (0,75
điểm)
Trên cạnh DC lấy điểm E sao cho góc DAE bằng 15
0
, suy ra
∧
NAE
= 90
0
(0,5 điểm)
BAMDAE
Λ=Λ⇒
(g.c.g) (0,5 điểm)
⇒
AE =AM (0,25 điểm)
Xét tam giác EAN vuông tại A, đường cao AH,
ta có:
222
111
AHANAE
=+
(0,5 điểm)
suy ra:
222
111
AHANAM
=+
(1) (0,5 điểm)
Xét tam giác đều ADC, đường cao AH
ta có: AH

2
=
22
4
3
4
3
ABAD
=
(2) (0,5 điểm)
Từ (1), (2) suy ra
222
3
411
ABANAM
=+
(Đpcm) (0,5 điểm)
Câu 6 (4 điểm):
Vẽ hình và viết giả thiết kết luận đúng và đầy đủ (0,5 điểm)
D
I
C
E
K
BA
H
F
a) Ta có CH
⊥
AD và BD

⊥
AD (gt)
⇒
∧∧
=
DBAHCA
( hai góc đồng vị) mà
2
1
==
∧∧
DBADKA
Sđ DA (0,5 điểm)
⇒

∧∧
=
DKAHCA
Mà
∧∧
DKAHCA,
cùng chắn FA nên tứ giác AFCK nội tiếp. (0,5 điểm)
b) Ta có
2
1
==
∧∧
DAEDKE
Sđ DE
2

1
==
∧∧
DKCFAC
SđFC do tứ giác AFCK nội tiếp. (0,5 điểm)
Mà
∧∧
=
DAEFAC
(gt)
⇒

∧∧
=
DKCDKE
vậy hai tia KC và KE trùng nhau
Vậy K, C, E thẳng hàng (0,5 điểm)
c) Ta có AD//IC (gt) suy ra
∧∧
=
ICADAB
(đồng vị)
Mà
2
1
==
∧∧
DKBDAB
Sđ DEB
⇒

∧∧
=
ICADKB
(0,25 điểm)
⇒
0
180
=+=+
∧∧∧∧
DKBICBICAICB
nên tứ giác KBCI nội tiếp
⇒
2
1
==
∧∧
CIBEKB
Sđ BC và
2
1
==
∧∧
IBADKE
Sđ IC (0,25 điểm)
Mặt khác
∧∧
=
DKEEKB
( vì cùng chắn hai cung EB, ED bằng nhau)
⇒

∧∧
=
CIBIBA
vậy tam giác BIC cân tại C nên BC = IC (0,5 điểm)
* Ta có AD = BC và AD//IC (gt)
⇒
IC = AD và AD//IC nên tứ giác ADCI là hình bình hành
⇒
DF đi qua trung điểm của AC (tính chất đường chéo hình bình hành )
Vậy DF là đường trung tuyến của tam giác ADC. (0,5 điểm)
Ghi chú: Thí sinh có thể giải nhiều cách khác nhau nếu đúng, chặt chẽ, vẫn được điểm tối đa.