phuong phap he so bat dih

PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH
Trong thời cấp hai khi đọc lời giải của khá nhiều bài toán đặc biệt là bất đẳng thức tôi không
thể hiểu nổi tại sao lại có thể nghĩ ra nó nên hay cho rằng đấy là những lời giải không đẹp thiếu
tự nhiên.Đến cấp ba khi được học những kiến thức mới tôi mới bắt đầu có tư tưởng đi sâu vào
bản chất mỗi bài toán và lời giải của chúng.Như anh Hatucdao đã nói :khi gặp một bài toán thì
điều quan trọng là "nhận ra đâu là kĩ thuật chính,qua đó giải thích được vi sao lại giải như vậy
và cao hơn cả là vì sao lại nghĩ ra bài toán"Trong quá trình học toán với lối suy nghĩ đó tôi đã
rút ra và hiểu được khá nhiều cái hay trong mỗi bài toán và lời giải của chúng.Và cũng từ đó
cộng thêm một sự tổng hợp nhất định tôi đã rút ra được một phương pháp chứng minh bất đẳng
thức:"Phương pháp hệ số bất định". Đây là một phương pháp khá hay và mạnh đi kèm với
những lời giải đẹp,ngắn và ấn tượng.
Bây giờ ta đi xét một vài ví dụ
Ví dụ 1
Cho các số dương .Chứng minh rằng:
Nháp
Nhận thấy dấu bằng xảy ra
Giả sử thì bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
Nhiệm vụ của chúng ta bây giờ là phải tìm các số thực sao cho bất đẳng thức :
Đúng với mọi
Giả sử tồn tại để đúng với mọi .Ta có:
Đăt
Vì với mọi và nên ttheo định lí Fermat ta có
Với các bạn THCS chưa được học đạo hàm thì phải phát biểu nhiệm vụ trên như sau:
Tìm các số thực sao cho phương trình:
Có nghiệm kép . (Tương tự với những phần ở bên dưới.)
Bây giờ ta chỉ còn phải chứng minh :
Thật vậy
Vậy là số duy nhất sao cho đúng với mọi
Cùng các bất đẳng thức tương tự ta có:
Quá trình trên đã giúp ta biết rằng chỉ tồn tại duy nhất một số sao cho đúng với mọi
và điều đó vượt qua cả điều ta mong muốn la chỉ cần tìm một giá trị của sao

đúng với mọi .Riêng trong bài này còn có một cách xác định cực nhanh là :
Nhưng đường lối này không thể tổng quát được.Để khẳng định điều đó hãy thử chứng minh bất
đẳng thức:
Với các số dương thỏa mãn
Ở phía trên ta đã chứng minh bất đẳng thức này sau khi đã chuẩn hóa và từ ta thấy ngay
rằng bất đẳng thức :
Đúng với mọi số dương .Ta thấy rằng là bất đẳng thức thuần nhất con thì không
nên cũng có cách khác tìm ra mà không cần chuyển về (qua chuẩn hóa). Bây giờ chúng
ta phải tìm sao cho bất đẳng thức :
Đúng với mọi số dương
Ta biết rằng bất đẳng thức Côsi là một bất đẳng thức thuần nhất với điều kiện xảy ra dấu bằng
nghiêm ngặt.Do đó khi áp dụng Côsi có trọng số ta sẽ tìm ra những hệ sô thích hợp với một bất
đẳng thức mới xác định được một vế.
Áp dụng Côsi ta có:
Đồng nhất hệ số ta có: .Chú ý rằng việc áp dụng Côsi ở trên dẫn đến việc tìm
các hệ số thành công có được là từ nhận xét về dấu bằng,qua đó ta áp dụng Côsi có trọng số
như ở trên.
Bây giờ ta chỉ cần chứng minh :
Thật vậy ta có:
Mà:
Vậy đúng hay là một bộ số sao cho đúng với mọi số dương
.Theo kiểu này thì không thể khẳng định đây là bộ số duy nhất được.
Cùng các bất đẳng thức tương tự ta có:
Ví dụ 2
Cho các số dương .Chứng minh rằng:
Nháp
Đây là một bài toán hay và khá khó với không dưới ba cách giải.Ở đây chỉ xin trình bày cách
làm phù hợp với bài viết.
Nhận thấy dấu bằng xảy ra
Nhiệm vụ bây giờ là phải đi tìm số thực sao cho bất đẳng thức :

Đúng với mọi số thực dương
Giả sử tồn tại sap cho đúng với mọi số thực dương
Cho thì với mọi dương ta có:
Đặt
Vì với mọi và nên
Việc còn lại là phải chứng minh :
Thật vậy:
Mà :
Vậy đúng tức là giá trị duy nhất sao cho đúng với mọi số dương
Cùng các bất đẳng thức tương tự ta có:
Cũng giống như bài 1 quá trình tìm này cũng đã giúp ta khẳng định chỉ có duy nhất một số
thực thỏa mãn.Bây giờ ta sẽ đi theo một con đường khác có tính chất dự đoán .
Áp dụng Côsi ta có:
Đồng nhất hệ số ta có
Nhận xét:
Cách giải ở hai bài trên đã sử dụng đẳng thức:
Và lúc nào phải đi tìm và lúc nào phải đi tìm thì có thể nói là nhìn thì biết ngay.Ví dụ
như xét bất đẳng thức:
Thì khi cố định cho thì nên bất đẳng thức không thể đúng
với mọi số dương .Biểu diễn số dưới hai dạng trên giúp ta giải quyết được rất nhiều bài
toán dạng này,nhưng liệu còn cách biểu diễn nào nữa không?
Ví dụ 3
Cho các số dương .Chứng minh rằng:
Nháp
Nhận thấy dấu bằng xảy ra
Với các số thực không âm áp dụng Côsi Ta có:
Từ đó chọn:
Cộng các bất đẳng thức trên lại ta có:
Đây là một bài toán trong báo toán tuổi thơ với rất nhiều lời giải khác (không có cách này).Tôi
nghĩ nếu đưa lời giải này lên đó chắc chắn sẽ có nhiều bạn THCS thắc mắc .

Ví dụ 4
Cho các số dương .Chứng minh rằng:
Nháp
Nhận thấy ở cả ba phần dấu bằng xảy ra
a, Áp dụng Côsi ta có:
Cùng các bất đẳng thức tương tự ta có:
b,Ở phần này thì không thể có đoạn dùng Côsi như phần a nhưng ta cũng sẽ thiết lập một bất
đẳng thức tương tự như ở phần a bằng cách tìm số thực sao cho bất đẳng thức :
Đúng với mọi số dương
Giả sử tồn tại sao cho đúng với mọi số dương
Cho thì với mọi dương ta có:
Đặt
Vì với mọi a dương và nên
Ta chỉ còn phải chứng minh:
Thật vậy:
Vậy đúng hay là số duy nhất thỏa mãn đúng với mọi số dương
Cũng như các bài trước cũng có cách dùng Côsi để dự đoán như sau.Dễ thấy vì nếu
ngược lại tức thì khi cố định dương và cho thì nên
không thể đúng với mọi số dương được.Với thì viết lại dưới dạng:
Rồi áp dụng Côsi ta có:
Đồng nhất hệ số ta có ngay
Thực ra thì việc lý luận là để áp dụng Côsi với các số dương.Nhưng cái này cũng không
cần thiết mà có thể áp dụng luôn như sau:
Đồng nhất hệ số ta cũng có
Rõ ràng với vừa tìm được thì ta đã sử dụng Côsi với số âm nhưng điều này cũng không
sao vì đây chỉ là nháp
Cùng các bất đẳng thức tương tự ta có:
c,Tương tự như phần b ta dự đoán được bất đẳng thức :
đúng với mọi số dương .
Nhưng điều này là không đúng vì khi cho thì .Như vậy

phương pháp này không hiệu quả với phần này.
Tuy rằng không đúng nhưng nó vẫn có một tác dụng không hề nhỏ đó vì ta có:
Cùng các đẳng thức tương tự ta có:
Tức là đã quy bất đẳng thức về dạng SOS
Cách giải của dạng này khá hay nhưng không thuộc phạm vi của bài viết này.
Cũng từ việc không đúng với mọi số dương thì ta nghĩ ngay đến bài toán:Tìm tất cả các
số thực sao cho tồn tại số thực thỏa mãn bất đẳng thức:
Đúng với mọi số thực dương