PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH TRONG BĐT

PH
PH
PH
PHÖÔ
ÖÔ
ÖÔ
ÖÔNG
NG
NG
NGPHA
PHA
PHA
PHAÙ
Ù
Ù
ÙP
P
P
PHE
HE
HE
HEÄ
Ä
Ä
ÄSO
SO
SO
SOÁ
Á
Á
ÁBA

BA
BA
BAÁ
Á
Á
ÁT
T
T
TÑÒ
ÑÒ
ÑÒ
ÑÒNH
NH
NH
NH
Trongthờicấphaikhiđọclờigiảicủakhánhiềubàitoánđặcbiệtlàbấtđẳng
thứctôikhôngthểhiểunổitạisaolạicóthểnghĩranónênhaychorằngđấylà
nhữnglờigiảikhôngđẹpthiếutựnhiên.Đếncấpbakhiđượchọcnhữngkiến
thứcmớitôimớibắtđầucótưtưởngđisâuvàobảnchấtmỗibàitoánvàlờigiải
củachúng.NhưanhHatucdao
Hatucdao
Hatucdao
Hatucdaođãnói:khigặpmộtbàitoánthìđiềuquantrọng
là"nhậnrađâulàkĩthuậtchính,quađógiảithíchđượcvisaolạigiảinhưvậyvà
caohơncảlàvìsaolạinghĩrabàitoán"Trongquátrìnhhọctoánvớilốisuy
nghĩđótôiđãrútravàhiểuđượckhánhiềucáihaytrongmỗibàitoánvàlời
giảicủachúng.Vàcũngtừđócộngthêmmộtsựtổnghợpnhấtđịnhtôiđãrútra
đượcmộtphươngphápchứngminhbấtđẳngthức:"Ph
"Ph
"Ph

"Phươ
ươ
ươ
ương
ng
ng
ngph
ph
ph
phá
á
á
áp
p
p
ph
h
h
hệ
ệ
ệ
ệs
s
s
số
ố
ố
ốb
b
b

bấ
ấ
ấ
ất
t
t
t
đị
đị
đị
định"
nh"
nh"
nh".Đâylàmộtphươngphápkháhayvàmạnhđikèmvớinhữnglờigiải
đẹp,ngắnvàấntượng.
Bâygiờtađixétmộtvàivídụ
Vídụ1
Chocácsốdương.Chứngminhrằng:
Nháp
Nhậnthấydấubằngxảyra
Giảsửthìbấtđẳngthứccầnchứngminhtrởthành:
Nhiệmvụcủachúngtabâygiờlàphảitìmcácsốthựcsaochobấtđẳngthức:
Đúngvớimọi
Giảsửtồntạiđểđúngvớimọi.Tacó:
Đăt
VìvớimọivànênttheođịnhlíFermat
Fermat
Fermat
Fermattacó
Vớicácbạn

THCS
chưađượchọcđạohàmthìphảiphátbiểunhiệmvụtrênnhư
sau:
Tìmcácsốthựcsaochophươngtrình:
Cónghiệmkép.(Tươngtựvớinhữngphầnởbêndưới.)
Bâygiờtachỉcònphảichứngminh:
Thậtvậy
Vậylàsốduynhấtsaochođúngvớimọi
Cùngcácbấtđẳngthứctươngtựtacó:
Quátrìnhtrênđãgiúptabiếtrằngchỉtồntạiduynhấtmộtsốsaochođúng
vớimọivàđiềuđóvượtquacảđiềutamongmuốnlàchỉcầntìmmột
giátrịcủasaođúngvớimọi.Riêngtrongbàinàycòncómộtcách
xácđịnhcựcnhanhlà:
Nhưngđườnglốinàykhôngthểtổngquátđược.Đểkhẳngđịnhđiềuđóhãythử
chứngminhbấtđẳngthức:
Vớicácsốdươngthỏamãn
Ởphíatrêntađãchứngminhbấtđẳngthứcnàysaukhiđãchuẩnhóavàtừta
thấyngayrằngbấtđẳngthức:
Đúngvớimọisốdương.Tathấyrằnglàbấtđẳngthứcthuầnnhấtcòn
thìkhông,nêncũngcócáchkháctìmramàkhôngcầnchuyểnvề(qua
chuẩnhóa).Bâygiờchúngtaphảitìmsaochobấtđẳngthức:
Đúngvớimọisốdương
TabiếtrằngbấtđẳngthứcC
C
C
Cô
ô
ô
ôsi
si

si
silàmộtbấtđẳngthứcthuầnnhấtvớiđiềukiện
xảyradấubằngnghiêmngặt.DođókhiápdụngC
C
C
Cô
ô
ô
ôsi
si
si
sicótrọngsốtasẽtìmra
nhữnghệsôthíchhợpvớimộtbấtđẳngthứcmớixácđịnhđượcmộtvế.
ÁpdụngC
C
C
Cô
ô
ô
ôsi
si
si
sitacó:
Đồngnhấthệsốtacó:.ChúýrằngviệcápdụngC
C
C
Cô
ô
ô
ôsi

si
si
siởtrêndẫn
đếnviệctìmcáchệsốthànhcôngcóđượclàtừnhậnxétvềdấubằng,quađóta
ápdụngC
C
C
Cô
ô
ô
ôsi
si
si
sicótrọngsốnhưởtrên.
Bâygiờtachỉcầnchứngminh:
Thậtvậytacó:
Mà:
Vậyđúnghaylàmộtbộsốsaochođúngvớimọisố
dương.Theokiểunàythìkhôngthểkhẳngđịnhđâylàbộsốduynhấtđược.
Cùngcácbấtđẳngthứctươngtựtacó:
Vídụ2
Chocácsốdương.Chứngminhrằng:
Nháp
Đâylàmộtbàitoánhayvàkhákhóvớikhôngdướibacáchgiải.Ởđâychỉxin
trìnhbàycáchlàmphùhợpvớibàiviết.
Nhậnthấydấubằngxảyra
Nhiệmvụbâygiờlàphảiđitìmsốthựcsaochobấtđẳngthức:
Đúngvớimọisốthựcdương
Giảsửtồntạisaochođúngvớimọisốthựcdương
Chothìvớimọidươngtacó:

Đặt
Vìvớimọivànên
Việccònlạilàphảichứngminh:
Thậtvậy:
Mà:
Vậyđúngtứclàgiátrịduynhấtsaochođúngvớimọisốdương
Cùngcácbấtđẳngthứctươngtựtacó:
Cũnggiốngnhưbài1quátrìnhtìmnàycũngđãgiúptakhẳngđịnhchỉcóduy
nhấtmộtsốthựcthỏamãn.Bâygiờtasẽđitheomộtconđườngkháccótính
chấtdựđoán.
ÁpdụngC
C
C
Cô
ô
ô
ôsi
si
si
sitacó:
Đồngnhấthệsốtacó
Nhậnxét:
Cáchgiảiởhaibàitrênđãsửdụngđẳngthức:
Vàlúcnàophảiđitìmvàlúcnàophảiđitìmthìcóthểnóilànhìnthìbiết
ngay.Vídụnhưxétbấtđẳngthức:
Thìkhicốđịnhchothìnênbấtđẳngthức
khôngthểđúngvớimọisốdương.Biểudiễnsốdướihaidạngtrêngiúpta
giảiquyếtđượcrấtnhiềubàitoándạngnày,nhưngliệucòncáchbiểudiễnnào
nữakhông?
Vídụ3

Chocácsốdương.Chứngminhrằng:
Vídụ4
Chocácsốdương.Chứngminhrằng:
Nháp
Nhậnthấyởcảbaphầndấubằngxảyra
a,ÁpdụngC
C
C
Cô
ô
ô
ôsi
si
si
sitacó:
Cùngcácbấtđẳngthứctươngtựtacó:
b,ỞphầnnàythìkhôngthểcóđoạndùngC
C
C
Cô
ô
ô
ôsi
si
si
sinhưphầnanhưngtacũngsẽ
thiếtlậpmộtbấtđẳngthứctươngtựnhưởphầnabằngcáchtìmsốthựcsao
chobấtđẳngthức:
Đúngvớimọisốdương
Giảsửtồntạisaochođúngvớimọisốdương

Chothìvớimọidươngtacó:
Đặt
Vìvớimọiadươngvànên
Tachỉcònphảichứngminh:
Thậtvậy:
Vậyđúnghaylàsốduynhấtthỏamãnđúngvớimọisốdương
CũngnhưcácbàitrướccũngcócáchdùngC
C
C
Cô
ô
ô
ôsi
si
si
siđểdựđoánnhưsau.Dễthấy
vìnếungượclạitứcthìkhicốđịnhdươngvàchothì
nênkhôngthểđúngvớimọisốdươngđược.Với
thìviếtlạidướidạng:
RồiápdụngC
C
C
Cô
ô
ô
ôsi
si
si
sitacó:
Đồngnhấthệsốtacóngay

ThựcrathìviệclýluậnlàđểápdụngC
C
C
Cô
ô
ô
ôsi
si
si
sivớicácsốdương.Nhưngcái
nàycũngkhôngcầnthiếtmàcóthểápdụngluônnhưsau:
Đồngnhấthệsốtacũngcó
RõràngvớivừatìmđượcthìtađãsửdụngC
C
C
Cô
ô
ô
ôsi
si
si
sivớisốâmnhưngđiều
nàycũngkhôngsaovìđâychỉlànháp
Cùngcácbấtđẳngthứctươngtựtacó:
c,Tươngtựnhưphầnbtadựđoánđượcbấtđẳngthức:
đúngvớimọisốdương.
Nhưngđiềunàylàkhôngđúngvìkhichothì.
Nhưvậyphươngphápnàykhônghiệuquảvớiphầnnày.
Tuyrằngkhôngđúngnhưngnóvẫncómộttácdụngkhônghềnhỏđóvìta
có:

Cùngcácđẳngthứctươngtựtacó:
TứclàđãquybấtđẳngthứcvềdạngSOS
SOS
SOS
SOS
Cáchgiảicủadạngnàykháhaynhưngkhôngthuộcphạmvicủabàiviếtnày.
Cũngtừviệckhôngđúngvớimọisốdươngthìtanghĩngayđếnbàitoán:
Tìmtấtcảcácsốthựcsaochotồntạisốthựcthỏamãnbấtđẳngthức:
Đúngvớimọisốthựcdương
Đâylàmộtbàitoánkhôngkhónhưngnóthểhiệnmộtýtưởng.Vàvớimỗitìm
đượctasẽcóđượcmộtbàitoánmới.
Phíatrêntađãđixétcácvídụlàcácbấtđẳngthứcthuầnnhất.Vàcâuhỏiđặtra
làkhinàothìsửdụngđượcphươngphápnàytrongcácbấtđẳngthứcthuầnnhất?
Bằngkinhnghiệmcủabảnthânthìtôichorằngđiềukiệncầnđểcóthểsửdụng
phươngphápnàyvớicácbấtđẳngthứcthuầnnhấtlà:
1,Dấu"="củabấtđẳngthứcxảyra<=>cácbiếnsốbằngcácgiátrịtrongmột
tậphữuhạnnàođó(thườngthìtậpđóchỉcómộtsốcùnglắmlàhai)
2,Bấtđẳngthứclàtổngcủamộtdãycácbiểuthứcđốixứngnhauvàtồntạimột
cáchchuẩnhóađểmỗibiểuthứcchỉcònphụthuộcvàomộtbiếnsốhoặccác
biểuthứclàhoánvịliêntiếpcủanhau.
Đâychỉlàđiềukiệncầncònchứcònđiềukiệnđủthìtôichỉbiếtthửchotừng
bàitoán.
Bâygiờtađixétvídụvềbấtđẳngthứccóđiềukiện.
Vídụ5
Chocácsốdươngthỏamãn
Chứngminhrằng:
Nháp
Nhậnthấydấubằngxảyra
Tacó:
Rõràngkhinhìnbàinàytacóngaytưtưởngbanđầulàphảitìmsốthựcsao

chobấtđẳngthức:
Đúngvớimọisốthực
Giảsửtồntạisaochođúngvớimọisốdương.
Tacó:
Đặt
Vìvớimọivànên
Bâygiờtachỉcònphảichứngminh:
Thậtvậy:
Vậyđúnghaylàgiátrịcầntìm.
Cùngcácbấtđẳngthứctươngtựtacó:
Từbàitoántrêntađiđếncáchgiảichomộtlớpcácbàitoánbấtđẳngthứccó
điềukiệndạngsau:
Chocácsốthựcthỏamãn:
Chứngminhrằng:
Vìbấtđẳngthứccầnchứngminhvàcảbiểuthứcởđiềukiệncủabàitoánđều
mangtínhđốixứngvớicácbiếnnêndấubằngthườngđạtđượckhicácbiến
bằngnhau.Việctaphảilàmlàtìmsốthựcsaochobâtđẳngthức:
Đúngvớimọisốthựcthỏamãnđềbài.Đâylàmộtđườnglốicơbảnđểgiải
quyếtdạngtoánnày.Đồngthờivớicácbấtđẳngthứcthuầnnhấtthìsaukhi
chuẩnhóatasẽchuyểnngaybàitoánvềdạngnày.
V
V
V
Ví
í
í
íd
d
d
dụ

ụ
ụ
ụ6
6
6
6
Chocácsốthựckhôngâmthỏamãn:
Tìmgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức:
Nháp
Khácvớinhữngbàitoántrướclàcácbấtđẳngthứcxácđịnhđượcngaydấu
bằng,đâylàmộtbàitoáncựctrịcóđiềukiệnchưaxácđịnhđượcđiểmcựctrị.
Tacó:
BâygiờtheođườnglốichungtatìmsốthựcsaochoBĐT:
Đúngvớimọisốthực
Giảsửtồntạisaochođúngvớimọisốthực
Tacó:
Đặt
Tacó:vớimọi.VìnêntheođịnhlíRolle
Rolle
Rolle
Rolletồn
tạicho.Xéthệphươngtrình:
Bâygiờtaphảichứngminh:
Thậtvậy:
Màtacó:
Vậyđúnghaylàgiátrịduynhấtcầntìm.
Cùngcácbấtđẳngthứctươngtựtacó:
Dấubằngxảyra
làmộthoánvịcủa
Vậygiátrịlớnnhấtcủabiểuthứclà

ỞbàibàycũngcóthểdùngC
C
C
Cô
ô
ô
ôsi
si
si
sinhưsau:
Vàđâycũngchínhlàcáchtrìnhbàylờigiảinàycủachúngta.Tôiđưavídụnày
lênđểthểhiệnrằngkhôngphảilúcnàokhisửdụngphươngphápnàytacũng
cầnphảicódấubằngcủabấtđẳngthứcxảyrakhitấtcảcácbiếnsốbằngnhau
Cómộtđiềuchúýrằnghầuhếtcácbàitoánkhisửdụngphươngphápnàyđều
cóthểmởrộngchobiếnsố.Tuyvậyởtrêntôichỉlấycácvídụcácbấtđẳng
thứccóbabiếnsốvìtôinghĩnóhaynhấtkhichỉcóbabiến.
Hyvọngquabàiviếtnàycácbạnđãhiểuđượcphầnnàonộidungcủaphương
phápnày.Sauđâylàmộtsốbàitậpápdụng(córấtnhiềutrêndiễnđàn)
Bài1
Chocácsốdương.Chứngminhrằng:
Bài2
Chocácsốthựcdương.Chứngminhrằng:
Bài3
Chocácsốdương.Chứngminhrằng:
Bài4
Chocácsốdương.Chứngminhrằng:
Bài5
Chocácsốdươngthỏamãn.Chứngminhrằng:
Bài6
Cholàđộdàibacạnhcủamộttamgiác.Chứngminhrằng:

Bài7
Chocácsốdương.Chứngminhrằng:
Bài8
Chocácsốdươngthỏamãn.Chứngminhrằng:
Bài9
Chocácsốdươngthỏamãn.Tìmgiátrịlớnnhấtcủabiểu
thức:
Bài10
Chocácsốthựcdương.Chứngminhrằng:

Phụlục
1,BấtđẳngthứcC
C
C
Cô
ô
ô
ôsi
si
si
simởrộng
Chocácbiếnsốdươngvàcácsốthựcdươngchotrước
.Khiđóđặttacó:
Dấubằngxảyra
2,ĐịnhlíFermat
Fermat
Fermat
Fermat
Chohàmsốliêntụctrên.Khiđónếuhàmsốđạtcựctrịtại
thì

3,ĐịnhlýRolle
Rolle
Rolle
Rolle
Chohàmsốliêntụctrênkhoảngthỏamãnthìtồntại
saocho