BÀI GIẢNG : TOÁN CAO CẤP A1 HỆ ĐẠI HỌC GIẢNG VIÊN : THS. HUỲNH VĂN HIẾU

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

BÀI GIẢNG :
TOÁN CAO CẤP A1
HỆ ĐẠI HỌC

GIẢNG VIÊN : THS. HUỲNH VĂN HIẾU
NĂM HỌC 2015-2016


TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HCM

09/2015

TOÁN CAO CẤP A1 ĐẠI HỌC
PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH
Số tiết: 45
Chương 1. Hàm số một biến số
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số
Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số
Chương 4. Lý thuyết chuỗi
Tài liệu tham khảo
1. Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Toán cao cấp A1 – C1
– ĐH Công nghiệp TP. HCM.

2. Nguyễn Đình Trí – Toán cao cấp (Tập 2)
– NXB Giáo dục.
3. Đỗ Công Khanh – Toán cao cấp (Tập 1, 4)
– NXB ĐHQG TP.HCM.
4. Nguyễn Viết Đông – Toán cao cấp (Tập 1)

– NXB Giáo dục.
5. Nguyễn Thừa Hợp – Giải tích (Tập 1)
– NXB ĐHQG Hà Nội.

Giảng viên: ThS. Huỳnh Văn Hiếu
Tải Slide bài giảng Toán A1 Đại học tại

Tailieuhvh.webnode.vn

 Chương 1. Hàm số một biến số

BÀI 1 : GIỚI HẠN DÃY SỐ (THAM KHẢO)
BÀI 2 : GIỚI HẠN HÀM SỐ

2.1. Bổ túc về hàm số
2.1.1. Định nghĩa hàm số
Cho hai tập khác rỗng X , Y   .
Hàm số f (hoặc ánh xạ f ) từ X vào Y là một quy luật
mà mỗi x  X xác định được duy nhất một y  Y .

Khi đó:
 Miền xác định (MXĐ) của f , ký hiệu D f , là tập X .
 Miền giá trị (MGT) của f là:
G  y  f (x ) x  X .



KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN



1


TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HCM

09/2015

 Chương 1. Hàm số một biến số

 Nếu f (x1 )  f (x 2 )  x1  x 2 thì f là đơn ánh.
 Nếu f (X )  Y thì f là toàn ánh (hay tràn ánh).

 Nếu f vừa đơn ánh vừa toàn ánh thì f là song ánh.
VD 1. Các hàm số:
• f :    với y  f (x )  2x là đơn ánh.
• f :   [0; ) với f (x )  x 2 là toàn ánh.
• f : (0; )   với f (x )  ln x là song ánh.

 Hàm số y  f (x ) được gọi là hàm chẵn nếu:
f (x )  f (x ), x  D f .
Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung.

 Chương 1. Hàm số một biến số

 Hàm số y  f (x ) được gọi là hàm lẻ nếu:
f (x )  f (x ), x  D f .

Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ.

2.1.2. Hàm số hợp
Cho hai hàm số f và g thỏa điều kiện Gg  D f .
Khi đó, hàm số h(x )  (f  g )(x )  f [g(x )] được gọi là
hàm số hợp của f và g .

Chú ý.

( f  g )(x )  (g  f )(x ).

VD 2. Hàm số y  2(x 2  1)2  x 2  1 là hàm hợp của
f (x )  2x 2  x và g(x )  x 2  1.

 Chương 1. Hàm số một biến số

2.1.3. Hàm số ngược
Hàm số g được gọi là hàm số ngược của hàm số f nếu:
x  g(y ), y  G f .
Ký hiệu là: g  f 1 .
VD 3. Cho f (x )  2x thì:
f 1(x )  log 2 x , x  0.

Nhận xét
Đồ thị của hàm số y  f 1 (x ) đối xứng với đồ thị của
hàm số y  f (x ) qua đường thẳng y  x .

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HCM

09/2015

 Chương 1. Hàm số một biến số

2.1.4. Hàm số lượng giác ngược
a) Hàm số y = arcsin x
• Hàm số y  sin x có hàm ngược trên
  
f 1 : [1; 1]   ; 
 2 2


x  y  arcsin x .

  
 ;  là
 2 2



VD 4. arcsin 0  0 ;


arcsin(1)   ;
2
3

arcsin

 .
2
3

 Chương 1. Hàm số một biến số

b) Hàm số y = arccos x
• Hàm số y  cos x có hàm ngược trên [0; ] là
f 1 : [ 1; 1]  [0;  ]

x  y  arccos x .

VD 5. arccos 0  ;
2
arccos(1)   ;

arccos

3

1 2
.
 ; arccos

2
6
2
3

Chú ý

arcsin x  arccos x 


, x  [1; 1].
2

 Chương 1. Hàm số một biến số

c) Hàm số y = arctan x

  
• Hàm số y  tan x có hàm ngược trên  ;  là
 2 2 
  
f 1 :    ; 
 2 2 
x  y  arctan x .

VD 6. arctan 0  0 ;

arctan(1)   ;
4

arctan 3  .
3
Quy ước. arctan  




, arctan    .
2
2

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

3


TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HCM

09/2015

 Chương 1. Hàm số một biến số

d) Hàm số y = arccot x
• Hàm số y  cot x có hàm ngược trên (0; ) là
f 1 :   (0; )

x  y  arc cot x .

;
2
3
arc cot(1) 
;
4

arc cot 3  .
6

Quy ước. arc cot()  0, arc cot()  .

VD 7. arc cot 0 

 Chương 1. Hàm số một biến số

2.2. Giới hạn hàm số
2.2.1. Các định nghĩa
 Định nghĩa 1. Cho hàm f (x ) xác định trong (a; b ) .
Ta nói f (x ) có giới hạn là L (hữu hạn) khi x tiến đến
x 0  [a ; b ] nếu với mọi   0 cho trước, ta tìm được số
  0 sao cho khi 0  x  x 0   thì f (x )  L   .

Ký hiệu là: lim f (x )  L .
x x 0

 Định nghĩa 2 (định nghĩa theo dãy)
Cho f (x ) xác định trong (a; b ). Ta nói f (x ) có giới hạn
là L (hữu hạn) khi x  x 0  [a ; b ] nếu với bất kỳ dãy
{x n } trong (a ; b ) \ {x 0 } mà x n  x 0 thì f (x n )  L .

 Chương 1. Hàm số một biến số

 Định nghĩa 3 (giới hạn tại vô cùng)
• Ta nói f (x ) có giới hạn là L (hữu hạn) khi x  
nếu với mọi   0 cho trước ta tìm được số M  0 sao
cho khi x  M thì f (x )  L   .
Ký hiệu là: lim f (x )  L .
x 

• Ta nói f (x ) có giới hạn là L (hữu hạn) khi x  
nếu với mọi   0 cho trước ta tìm được số m  0 sao
cho khi x  m thì f (x )  L   .
Ký hiệu là: lim f (x )  L .
x 

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

4


TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HCM

09/2015

 Chương 1. Hàm số một biến số

 Định nghĩa 4 (giới hạn vô cùng)
• Ta nói f (x ) có giới hạn là L   khi x  x 0 nếu với
mọi số M  0 lớn tùy ý, ta tìm được số   0 sao cho
khi 0  x  x 0   thì f (x )  M .
Ký hiệu là: lim f (x )   .
x x 0

• Ta nói f (x ) có giới hạn là L   khi x  x 0 nếu với
mọi số m  0 tùy ý, ta tìm được số   0 sao cho khi
0  x  x 0   thì f (x )  m .
Ký hiệu là: lim f (x )   .
x x 0

 Chương 1. Hàm số một biến số

 Định nghĩa 5 (giới hạn 1 phía)
• Nếu f (x ) có giới hạn là L (L có thể là  ) khi x  x 0
( x 0 hữu hạn) và x  x 0 thì ta nói f (x ) có giới hạn phải
tại x 0 . Ký hiệu: lim f (x )  L hoặc lim f (x )  L .
x x 0 0

x x 
0

• Nếu f (x ) có giới hạn là L (L có thể là  ) khi x  x 0
( x 0 hữu hạn) và x  x 0 thì ta nói f (x ) có giới hạn trái
tại x 0 . Ký hiệu: lim f (x )  L hoặc lim f (x )  L .
x x 0 0

x x 
0

Chú ý
lim f (x )  L  lim f (x )  lim f (x )  L.
x x 0

x x 

x x 

0

0

 Chương 1. Hàm số một biến số

2.2.2. Tính chất
Cho lim f (x )  a và lim g(x )  b . Khi đó:
x x 0

x x 0

1) lim [k .f (x )]  k .a (k  )
x x 0

2) lim [ f (x )  g(x )]  a  b
x x 0

f (x ) a
 (b  0)
x x 0
x x 0 g(x )
b
5) Nếu f (x )  g(x ), x  (x 0  ; x 0  ) thì a  b .
6) Nếu f (x )  h(x )  g(x ), x  (x 0  ; x 0  ) và
lim f (x )  lim g(x )  L thì lim h(x )  L .
3) lim [ f (x )g(x )]  ab ;

x x 0

4) lim

x x 0

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

x x 0

5


TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HCM

09/2015

 Chương 1. Hàm số một biến số

Một số kết quả giới hạn cần nhớ
1) lim

( x ) 0

sin (x )
tan (x )
 lim
 1.

(
x
)

0
(x )

(x )

ln x
x

lim
0
x  x 
x   x

2) Nếu   1,   1 thì lim

3) Nếu lim u(x )  a  0, lim v(x )  b thì:
x x 0

x x 0

v (x )

lim [u(x )]

x x 0

 ab .

x

1

1

4) lim 1    lim 1  x x  e .
x  
x 0
x 


 Chương 1. Hàm số một biến số

Một số kết quả giới hạn cần nhớ

5) Xét L  lim

an x n  an1x n 1  ...  a 0

x  b x m
m

 bm 1x m 1  ...  b0

, ta có:

an

nếu n  m ;
bm
b) L  0 nếu n  m ;
a) L 

c) L   nếu n  m .

 Chương 1. Hàm số một biến số

2.2.3. Một số ví dụ

1  3x  1
.
x 0
x

VD 1. Tìm giới hạn L  lim

VD 2. Tìm giới hạn L  lim

3

x 0

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

x  8  4  2x
.
x

6


TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HCM

09/2015

 Chương 1. Hàm số một biến số



VD 3. Tìm giới hạn L  lim  x 2  2x  x .

x  



VD 4. Tìm giới hạn L  lim x  2  x 2  1 .

x  

 Chương 1. Hàm số một biến số

tan 1  x , x  1

VD 5. Cho hàm số f (x )  
 sin2 x 2  1

 3x 2  3 , x  1.

Tính f (1), lim f (x ) và lim f (x ).
x 1

x 1

 Chương 1. Hàm số một biến số
2x


x 1
 x  x 2  1 
VD 6. Tìm giới hạn L  lim 
 .
x  
 x  3 

A. L  9 ;

B. L  4 ;

C. L  1;

D. L  0 .
2x


 3x 1

4x 2  3 
BTT. Tìm giới hạn L  lim 

.
3 3
x  
x  2 


KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

7


TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HCM

09/2015

 Chương 1. Hàm số một biến số

 x 2  x  3 2x 3

VD 7. Tìm giới hạn L  lim 
.

2
x  
 x  1 
A. L   ;

B. L  e 3 ;

C. L  e 2 ;

D. L  1.

2x

3x  2 

BTT Tìm giới hạn L  lim 1 

 .
x  

2x 2  x  1 

A. L   ;

B. L  e 3 ;

C. L  e 2 ;

D. L  1.

 Chương 1. Hàm số một biến số
1

 cos x x 2
VD 8*. Tìm giới hạn L  lim 
 .
x 0 
 cos 2x 
3

A. L   ;

B. L  e 2 ;

1

C. L  e 2 ;

D. L  1.

………………………………………

 Chương 1. Hàm số một biến số

§3. ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉ – VÔ CÙNG LỚN
3.1. Đại lượng vô cùng bé

a) Định nghĩa
Hàm số (x ) được gọi là đại lượng vô cùng bé (VCB)
khi x  x 0 nếu lim (x )  0 (x 0 có thể là vô cùng).
x x 0





VD 1. (x )  tan3 sin 1  x là VCB khi x  1 ;
(x ) 

1
ln 2 x

là VCB khi x   .

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

8


TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HCM

09/2015

 Chương 1. Hàm số một biến số

b) Tính chất của VCB

1) Nếu (x ), (x ) là các VCB khi x  x 0 thì
(x )  (x ) và (x ).(x ) là VCB khi x  x 0 .
2) Nếu (x ) là VCB và (x ) bị chận trong lân cận x 0
thì (x ).(x ) là VCB khi x  x 0 .

3) lim f (x )  a  f (x )  a  (x ), trong đó (x ) là
x x 0

VCB khi x  x 0 .

 Chương 1. Hàm số một biến số

c) So sánh các VCB
• Định nghĩa
(x )
Cho (x ), (x ) là các VCB khi x  x 0 , lim
 k.
x x 0 (x )

Khi đó:

– Nếu k  0 , ta nói (x ) là VCB cấp cao hơn (x ),
ký hiệu (x )  0((x )) .
– Nếu k   , ta nói (x ) là VCB cấp thấp hơn (x ).

– Nếu 0  k   , ta nói (x ) và (x ) là các VCB
cùng cấp.

– Đặc biệt, nếu k  1, ta nói (x ) và (x ) là các VCB
tương đương, ký hiệu (x )  (x ) .

 Chương 1. Hàm số một biến số

VD 2.
• 1  cos x là VCB cùng cấp với x 2 khi x  0 vì:
x
2 sin 2
1  cos x
2  1.
lim
 lim
2
2
x 0
x 0
2
x
x 
4  

 2 
• sin2 3(x  1)  9(x  1)2 khi x  1 .

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

9


09/2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HCM

 Chương 1. Hàm số một biến số

• Tính chất của VCB tương đương khi x → x0

1) (x )  (x )  (x )  (x )  0((x ))  0((x )).
2) Nếu (x )  (x ), (x )  (x ) thì (x )  (x ).
3) Nếu  1(x )  1(x ),  2 (x )  2 (x ) thì
1(x ) 2 (x )  1(x )2 (x ).
4) Nếu (x )  0((x )) thì (x )  (x )  (x ).

 Chương 1. Hàm số một biến số

• Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao
Cho (x ), (x ) là tổng các VCB khác cấp khi x  x 0
(x )
thì lim
bằng giới hạn tỉ số hai VCB cấp thấp
x x 0 (x )

nhất của tử và mẫu.

VD 3. Tìm giới hạn L  lim

x 3  cos x  1

x 0

x4  x2

.

 Chương 1. Hàm số một biến số

• Các VCB tương đương cần nhớ khi x → 0

1) sin x  x ;

2) tan x  x ;

3) arcsin x  x ;
x2
5) 1  cos x  ;
2

4) arctan x  x

7) ln(1  x )  x ;

8) n 1  x  1 

6) e x  1  x ;
x
.
n

Chú ý
Nếu u(x ) là VCB khi x  0 thì ta có thể thay x bởi
u(x ) trong 8 công thức trên.

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

10


09/2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HCM

 Chương 1. Hàm số một biến số

VD 4. Tính giới hạn L  lim

ln(1  2x sin2 x )
sin x 2 . tan x

x 0

VD 5. Tính L  lim

sin



.



x  1  1  x 2  3 tan2 x
sin x 3  2x

x 0

.

 Chương 1. Hàm số một biến số

x  2t  t 2

VD 6. Cho hàm số y  f (x ) thỏa: 
.
y  t 2  3t 4

Khi x  0 , chọn đáp án đúng?
x2
x2
A. f (x )  ;
B. f (x )  ;
4
2

x
C. f (x )  ;
D. f (x )  3x 2 .
2

 Chương 1. Hàm số một biến số

Chú ý
Quy tắc VCB tương đương không áp dụng được cho
hiệu hoặc tổng của các VCB nếu chúng làm triệt tiêu tử
hoặc mẫu của phân thức.

VD. lim

e x  e x  2

x 0

lim

x 0

x2

 lim

(e x  1)  (e x  1)

x2
x  (x )

 lim
 0 (Sai!).
x 0
x2
x 0

x3
x3
 lim
  (Sai!).
tan x  x x  0 x  x

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

11


TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HCM

09/2015

 Chương 1. Hàm số một biến số

3.2. Đại lượng vô cùng lớn
a) Định nghĩa
Hàm số f (x ) được gọi là đại lượng vô cùng lớn (VCL)
khi x  x 0 nếu lim f (x )   ( x 0 có thể là vô cùng).
x x 0

VD 7.

cos x  1

là VCL khi x  0 ;
2x 3  sin x
x3  x 1
là VCL khi x   .
x 2  cos 4x  3

Nhận xét. Hàm số f (x ) là VCL khi x  x 0 thì
1
là VCB khi x  x 0 .
f (x )

 Chương 1. Hàm số một biến số

b) So sánh các VCL
• Định nghĩa

Cho f (x ), g(x ) là các VCL khi x  x 0 , lim

x x 0

Khi đó:

f (x )
k.
g(x )

– Nếu k  0 , ta nói f (x ) là VCL cấp thấp hơn g (x ) .

– Nếu k   , ta nói f (x ) là VCL cấp cao hơn g (x ) .

– Nếu 0  k   , ta nói f (x ) và g(x ) là các VCL
cùng cấp.

– Đặc biệt, nếu k  1, ta nói f (x ) và g(x ) là các VCL
tương đương. Ký hiệu f (x )  g (x ) .

 Chương 1. Hàm số một biến số

VD 8.
•

3

1

khi x  0 vì:
2x  x
3
3

1
  3 lim 2x  x  3 lim x   .
lim  :

x 0 
x 0
x 0 x 3
 x 3 2x 3  x 

x3
x

3

là VCL khác cấp với

3

• 2 x 3  x  1  2 x 3 khi x   .

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

12


TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HCM

09/2015

 Chương 1. Hàm số một biến số

• Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp

Cho f (x ) và g(x ) là tổng các VCL khác cấp khi x  x 0
f (x )
thì lim
bằng giới hạn tỉ số hai VCL cấp cao nhất
x x 0 g (x )
của tử và mẫu.

 Chương 1. Hàm số một biến số

VD 9. Tính các giới hạn:
x 3  cos x  1
x 3  2x 2  1
A  lim
; B  lim
.
x 
x 
3x 3  2x
2 x 7  sin2 x

…………………………………………………………

 Chương 1. Hàm số một biến số

§4. HÀM SỐ LIÊN TỤC
4.1. Định nghĩa
• Số x 0  Df được gọi là điểm cô lập của f (x ) nếu

  0 : x  (x 0  ; x 0  ) \ {x 0 } thì x  D f .
• Hàm số f (x ) liên tục tại x 0 nếu lim f (x )  f (x 0 ).
x x 0

• Hàm số f (x ) liên tục trên tập X nếu f (x ) liên tục tại
mọi điểm x 0  X .
Chú ý. Hàm f (x ) liên tục trên đoạn [a ; b ] thì có đồ thị là
một đường liền nét (không đứt khúc) trên đoạn đó.

Quy ước. Hàm f (x ) liên tục tại mọi điểm cô lập của nó.

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

13


TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HCM

09/2015

 Chương 1. Hàm số một biến số

4.2. Định lý
• Tổng, hiệu, tích và thương của các hàm số liên tục tại
x 0 là hàm số liên tục tại x 0 .
• Hàm số sơ cấp xác định ở đâu thì liên tục ở đó.
• Hàm số liên tục trên một đoạn thì đạt giá trị lớn nhất và
nhỏ nhất trên đoạn đó.

 Chương 1. Hàm số một biến số

4.3. Hàm số liên tục một phía
• Định nghĩa
Hàm số f (x ) được gọi là liên tục trái (phải) tại x 0 nếu
lim f (x )  f (x 0 ) ( lim f (x )  f (x 0 )).
x x 0

x x 0

• Định lý
Hàm số f (x ) liên tục tại x 0 nếu
lim f (x )  lim f (x )  f (x 0 ).

x x 0

x x 0

 Chương 1. Hàm số một biến số

 3 tan2 x  sin2 x

,x 0
VD 1. Cho hàm số f (x )  
.
2
x


,
x

0

Giá trị của  để hàm số liên tục tại x  0 là:
1
3
A.   0;
B.   ;
C.   1;

D.   .
2
2

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

14


TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HCM

09/2015

 Chương 1. Hàm số một biến số


ln(cos x )

,x 0
VD 2. Cho hàm số f (x )   arctan2 x  2x 2
.

2


3,
x

0


Giá trị của  để hàm số liên tục tại x  0 là:
17
17
3
3
A.   ; B.    ; C.    ; D.   .
12
12
2
2

 Chương 1. Hàm số một biến số

4.4. Phân loại điểm gián đoạn

• Nếu hàm f (x ) không liên tục
tại x 0 thì x 0 được gọi là
điểm gián đoạn của f (x ).

y
(C )

O x0
x
• Nếu tồn tại các giới hạn:
lim f (x )  f (x 0 ), lim f (x )  f (x 0 )
x x 0

x x 0

nhưng f (x 
), f (x 0 ) và f (x 0 ) không đồng thời bằng
0
nhau thì ta nói x 0 là điểm gián đoạn loại một.
Ngược lại, x 0 là điểm gián đoạn loại hai.
……………………………………………………………………………

 Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số
BÀI 1 : ĐẠO HÀM
BÀI 2 : VI PHÂM
BÀI 3 : CÁC ĐỊNH LÍ CƠ BẢN VỀ HÀM KHẢ VI – CỰC TRỊ
BÀI 4 : KHAI TRIỂN TAYLOR - MACLAURIN
BÀI 5 : QUY TẮC L’HOSPITAL

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

15


TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HCM

09/2015

 Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

§1. ĐẠO HÀM
1.1. Các định nghĩa
a) Định nghĩa đạo hàm
Cho hàm số y  f (x ) xác định trong lân cận (a ; b ) của

x 0  (a; b). Giới hạn:

f (x 0  x )  f (x 0 )
y
 lim
x  0 x
x  0
x
(nếu có) được gọi là đạo hàm của y  f (x ) tại x 0 .
Ký hiệu là f (x 0 ) hay y (x 0 ).
lim

 Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

Nhận xét. Do x  x  x 0 nên:
f (x 0 )  lim

f (x )  f (x 0 )

x x 0

x  x0

.

b) Đạo hàm một phía
Cho hàm số y  f (x ) xác định trong lân cận phải
f (x )  f (x 0 )
(x 0 ; b ) của x 0 . Giới hạn lim
(nếu có)

x  x0
x x 0
được gọi là đạo hàm bên phải của y  f (x ) tại x 0 .
Ký hiệu là f (x 0 ). Tương tự, f (x 0 ).
Nhận xét. Hàm số f (x ) có đạo hàm tại x 0 khi và chỉ khi

f (x 0 )  f (x 0 )  f (x 0 ).

 Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

c) Đạo hàm vô cùng
y
• Nếu tỉ số
  khi x  0 thì ta nói y  f (x ) có
x
đạo hàm vô cùng tại x 0 .
• Tương tự, ta cũng có các khái niệm đạo hàm vô cùng
một phía.

VD 1. Cho f (x )  3 x  f (0)   ,
f (x )  x  f (0 )   .
Chú ý
Nếu f (x ) liên tục và có đạo hàm vô cùng tại x 0 thì tiếp
tuyến tại x 0 của đồ thị y  f (x ) song song với trục Oy .

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

16

09/2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HCM

 Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

1.2. Các quy tắc tính đạo hàm

1) Đạo hàm tổng, hiệu, tích và thương của hai hàm số:
(u  v )  u   v  ;
(uv )  u v  uv  ;

k 
 u  u v  uv 
   kv  , k   ;
  
.
 v 
 v 
v2
v2
2) Đạo hàm của hàm số hợp f (x )  y[u(x )]:
f (x )  y (u ).u (x ) hay y (x )  y (u ).u (x ).

3) Đạo hàm hàm số ngược của y  y(x ) :
1
.
x (y ) 

y (x )

 Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

Đạo hàm của một số hàm số sơ cấp

   .x

1) x 

1

;

2)

3) sin x   cos x ;

5) tan x  

 x   2 1x ;

4) cos x    sin x ;

1


6) cot x   

2

cos x
 1  tan2 x ;

1
sin2 x

;

 Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

   e ;

7) e x

x



  x1 ;

9) ln x

11) arcsin x  =
13) arctan x  

   a .ln a ;

8) a x



10) loga x

1
1x

2

1
1x

2

x

  x.ln1 a ;
1

;

12)arccos x  =

;

1
14) arc cot x  
.
1  x2

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

1 x2

;

17


TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HCM

09/2015

 Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

1.3. Đạo hàm hàm số cho bởi phương trình tham số

Cho hàm số y  f (x ) có phương trình dạng tham số
x  x (t ), y  y(t ). Giả sử x  x (t ) có hàm số ngược
và hàm số ngược này có đạo hàm thì:
y
y (t )
y (x ) 
hay yx  t .
x (t )
xt

 Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

x  2t 2  1


VD 2. Tính y (x ) của hàm số cho bởi 
, t  0.

y  4t 3


x  et


VD 3. Tính yx (1) của hàm số cho bởi 
.

y  t 2  2t


 Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

1.4. Đạo hàm cấp cao
• Giả sử f (x ) có đạo hàm f (x ) và f (x ) có đạo hàm thì
 f (x )  f (x ) là đạo hàm cấp hai của f (x ).
• Tương tự ta có:

f (n )(x )  f (n1)(x ) là đạo hàm cấp n của f (x ).





KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

18


TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HCM

09/2015

 Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

VD 4. Cho hàm số f (x )  sin 2 x . Tính đạo hàm f (6)(0).
A. f (6)(0)  32 ;

B. f (6)(0)  32 ;

C. f (6)(0)  16 ;

D. f (6)(0)  0 .

VD 5. Tính f (n )(x ) của hàm số f (x )  (1  x )n 1 .

 Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

VD 6. Tính y (n ) của hàm số y 

1
2

x  3x  4

.

VD 7. Tính đạo hàm f (n )(x ) của hàm số f (x )  sin x .

 Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

1.5. Đạo hàm của hàm số ẩn

• Cho phương trình F (x, y )  0 (*).
Nếu y  y(x ) là hàm số xác định trong 1 khoảng nào đó
sao cho khi thế y(x ) vào (*) ta được đồng nhất thức thì
y(x ) được gọi là hàm số ẩn xác định bởi (*).

• Đạo hàm hai vế (*) theo x , ta được Fx  Fy.yx  0 .
Vậy yx  

Fx
, F   0.
Fy y

y (x )  yx được gọi là đạo hàm của hàm số ẩn y(x ).

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

19


TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HCM

09/2015

 Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

VD 8. Cho hàm ẩn y(x ) xác định bởi xy  e x  e y  0 .
Tính y (x ).

VD 9. Cho hàm ẩn y(x ) xác định bởi:
xy  e x  ln y  0 (*). Tính y (0).

 Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

VD 10. Cho hàm ẩn y(x ) xác định bởi:
y
ln x 2  y 2  arctan . Tính y (x ).
x

 Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

Chú ý
Ta có thể xem hàm ẩn y(x ) như hàm hợp u(x ) và thực
hiện đạo hàm như hàm số hợp.

VD 11. Cho hàm ẩn y(x ) xác định bởi:

y 3  (x 2  2)y  2x 4  0 (*). Tính y (1).

Giải. Đạo hàm hai vế phương trình (*) theo x , ta được:
3y 2y   2xy  (x 2  2)y   8x 3  0 (**)
 y (x ) 

8x 3  2xy

3y 2  x 2  2

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

.

20


TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HCM

09/2015

 Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

Thay x  1 vào phương trình (*), ta được:
y 3  y  2  0  y  1  y(1)  1 .
y (1) 

Suy ra:

8.13  2.1.1

5
 .
3.1  1  2 2
2

2

Đạo hàm hai vế phương trình (**) theo x , ta được:
3 2y(y )2  y 2y    2y  4xy   (x 2  2)y   24x 2  0.


5
Thay các giá trị x  1, y  1, y   vào phương trình:
2
 25

3
3   y   y   36  0  y (1)   .
 2

8

 Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

§2. VI PHÂN
2.1. Vi phân cấp một
Hàm số y  f (x ) được gọi là khả vi tại x 0  D f nếu
 f (x 0 )  f (x 0  x )  f (x 0 ) có thể biểu diễn dưới

f (x 0 )  A.x  0(x )
dạng:
với A là hằng số và 0(x ) là VCB khi x  0 .
Khi đó, đại lượng A.x được gọi là vi phân của hàm
số y  f (x ) tại x 0 . Ký hiệu df (x 0 ) hay dy (x 0 ) .

Nhận xét
• f (x 0 )  A.x  0(x )

f (x 0 )
x

 A

0(x )
x

 Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

f (x 0 )

x  0

 A  f (x 0 )  A .
x
 df (x 0 )  f (x 0 ).x hay df (x )  f (x ).x .
• Chọn f (x )  x  df (x )  x  dx  x .



Vậy df (x )  f (x )dx hay dy  y dx .

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

21


09/2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HCM

 Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

VD 1. Tính vi phân cấp 1 của f (x )  x 2e 3x tại x 0  1 .

VD 2. Tính vi phân cấp 1 của y  arctan(x 2  1) .

VD 3. Tính vi phân cấp 1 của hàm số y  2ln(arcsin x ) .

 Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

2.2. Vi phân cấp cao
Giả sử y  f (x ) có đạo hàm đến cấp n thì:

d ny  d (d n 1y )  y (n )dx n

được gọi là vi phân cấp n của hàm y  f (x ).
VD 4. Tính vi phân cấp 2 của hàm số y  ln(sin x ).

 Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

VD 5. Tính vi phân cấp n của hàm số y  e 2x .

VD 6. Tính vi phân cấp 3 của f (x )  tan x tại x 0 

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN



.
4

22


TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HCM

09/2015

 Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

Chú ý
Khi x là một hàm số độc lập với y thì công thức
d n y  y (n )dx n không còn đúng nữa.

Quy tắc tính vi phân cấp n
n

1) d (k .u )  k .d nu ;
2) d n (uv ) 

d n (u  v )  d n u  d nv ;

n

C nkd nku.d kv với d 0u  u, d 0v  v .

k 0

VD 7. Tính vi phân cấp 10 của hàm số y  (x 3  x )e x .

Giải. Đặt u  e x , v  x 3  x  y  uv .

 Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

Nhận thấy d 4v  0 , nên ta suy ra:
3

k 10k
0 10
d 10 (uv )   C 10
d
u.d k v  C 10
d u.d 0v
k 0

1 9
2 8
3 7
 C 10
d u.dv  C 10
d u.d 2v  C 10
d u.d 3v ().

Ta có:

d n u  e x dx n , n  7; 8; 9; 10 ;

d 0v  x 3  x , dv  (3x 2  1)dx ,

d 2v  6xdx 2 , d 3v  6dx 3 .
Thay các vi phân trên vào (*), ta được:
d 10y  (x 3  30x 2  269x  710)e xdx 10 .
………………………………………………

 Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

§3. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ HÀM KHẢ VI
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
3.1. Các định lý
3.1.1. Bổ đề Fermat
Cho hàm số f (x ) xác định trong (a ;b ) và có đạo hàm tại
x 0  (a ;b). Nếu f (x ) đạt giá trị lớn nhất (hoặc bé nhất)
tại x 0 trong (a ;b ) thì f (x 0 )  0 .
3.1.2. Định lý Rolle
Cho hàm số f (x ) liên tục trong [a;b ] và khả vi trong
(a ;b ). Nếu f (a )  f (b) thì c  (a;b) sao cho f (c )  0 .

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

23


TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HCM

09/2015

 Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

3.1.3. Định lý Cauchy

Cho hai hàm số f (x ), g(x ) liên tục trong [a;b ], khả vi
trong (a ;b) và g (x )  0, x  (a;b ).
Khi đó, c  (a ;b ) sao cho:
f (b )  f (a ) f (c)

.
g(b )  g (a ) g (c)
3.1.4. Định lý Lagrange
Cho hàm số f (x ) liên tục trong [a ;b ], khả vi trong (a ;b).
Khi đó, c  (a ;b ) sao cho:
f (b )  f (a )
 f (c ).
b a

 Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

3.2. Cực trị của hàm số
3.2.1. Hàm số đơn điệu
a) Định nghĩa
Cho hàm số f (x ) liên tục trong trong (a;b).
Khi đó:
• f (x ) được gọi là tăng ngặt trong (a ;b) nếu
f (x1 )  f (x 2 )
 0 , x1, x 2  (a ;b ) và x1  x 2 .
x1  x 2
• f (x ) được gọi là giảm ngặt trong (a;b) nếu
f (x1 )  f (x 2 )
 0 , x1, x 2  (a ;b ) và x1  x 2 .
x1  x 2

 Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

• f (x ) được gọi là tăng hay giảm không ngặt trong (a;b)
f (x1 )  f (x 2 )
f (x1 )  f (x 2 )
 0 hay
 0,
nếu
x1  x 2
x1  x 2
x1, x 2  (a;b ) và x1  x 2 .
• f (x ) được gọi là đơn điệu trong (a;b) nếu
f (x ) tăng ngặt hay giảm ngặt trong (a ;b).
• f (x ) đơn điệu trong (a ;b) và liên tục trong (a;b ] thì
f (x ) đơn điệu trong (a;b ] (trường hợp khác tương tự).

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

24