MOT SO DANG TOAN HH THCS

CHƯƠNG 1. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
VỀ ĐA GIÁC
CHƯƠNG 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ HÌNH
HỌC
CHƯƠNG 3. CÁC PHƯƠNG PHÁP SUY LUẬN,
CHỨNG MINH TRONG HÌNH HỌC
CHƯƠNG 4. CÁC BÀI TOÁN VỀ THẲNG HÀNG,
ĐỒNG QUY, NGUYÊN LÝ DIRICHLET


Mục tiêu môn học


Kiến thức:

-

Nắm vững được những kiến thức cơ bản về các phương pháp
suy luận, chứng minh trong giải toán hình học

-

Nắm vững một số phương pháp giải các dạng toán hình học
thường gặp ở THCS.



Kỹ năng:

-

Vận dụng các phương pháp vào suy luận và định hướng giải,
chứng minh các bài toán hình học.

-

Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán hình học, phân tích tìm
tòi con đường giải các dạng toán hình học, từ đó có thể trang
bị kiến thức vận dụng vào việc giảng dạy và nghiên cứu.



Thái độ: nghiêm túc, chặt chẽ, chính xác logic.


Quy định về đánh giá
Đánh giá thường xuyên: Trọng số 0,4. Điểm trung bình
của các điểm thành phần sau:
-

Tích cực trên lớp, sửa bài tập, làm việc nhóm và
trình bày báo cáo.

-

Làm bài kiểm tra 90 phút.

-

Tham gia đầy đủ các buổi lên lớp theo quy định.

Đánh giá cuối kỳ: Trọng số 0,6. Bài thi hết môn học,
thời gian 90p, hình thức thi tự luận.


Tài liệu tham khảo
1.
2.
3.

4.
5.
6.

7.

Văn Như Cương (chủ biên), Hình học sơ cấp và thực
hành giải toán, NXB ĐHSP, 2005.
Vũ Hữu Bình, Tìm cách giải bài toán hình học cấp
THCS, NXBGD, 2013.
Vũ Dương Thụy (chủ biên), Thực hành giải toán, Giáo
trình đào tạo giáo viên THCS, NXBGD, 1998.
Nguyễn Vũ Thanh, Chuyên đề bồi dưỡng HS giỏi toán
THCS Hình học, NXBGD, 2010.
Vũ Hữu Bình, Các bài toán về Giá trị lớn nhất, nhỏ
nhất trong hình học phẳng ở THCS, NXBGD, 2002.
Vũ Hữu Bình, Nâng cao và phát triển Toán 7, 8, 9,
NXBGD.
Các chuyên đề bồi dưỡng Hình học THCS.

CHỦ ĐỀ LÀM TIỂU LUẬN NHÓM
Nhóm 1. Các bài toán về tam giác đồng dạng. Sử dụng tỉ số
diện tích để giải các bài toán hình học.
Nhóm 2. Các bài toán về tứ giác, chứng minh tứ giác nội tiếp
đường tròn.
Nhóm 3. Các bài toán chứng minh các điểm thẳng hàng và các
đường thẳng đồng quy.

Nhóm 4. Các bài toán về cực trị hình học.
Nhóm 5. Các phương pháp suy luận trong giải toán hình học.

Nhóm 6. Các phương pháp chứng minh trong giải toán hình
học.


Yêu cầu sản phẩm nhóm
Hình thức (2đ): trình bày logic, khoa học, sạch đẹp, văn bản
được đánh máy bằng Word, công thức toán sử dụng Mathtype
(>10 trang A4).
 Nội dung (6đ): trình bày gồm: Một số kiến thức cơ bản liên
quan+ Ví dụ minh họa + Nhận xét, bình luận + Hệ thống bài
tập + Hướng dẫn giải.
Chú trọng vào việc phân tích định hướng tìm tòi lời giải,
sử dụng sơ đồ phân tích đi lên, đi xuống nhằm phát triển tư duy
cho HS; khai thác bài toán nhằm phát triển các phương pháp
suy luận cho HS; lựa chọn hệ thống bài tập đa dạng, có nhiều
phương pháp giải.
 Báo cáo trên lớp (2đ): trình bày khoa học, cô đọng, phân công
thành viên trong nhóm; thu hút sự tham gia của các thành
viên khác trong lớp.






Thời gian nộp: Hạn chót đến ngày 19/4/2020.



Hình thức nộp: Nộp file word qua email cho GV



Liên hệ GV:

 0975 989 209



Chương 1.
CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐA GIÁC
1.1. Các bài toán về đa giác

1.2. Các hệ thức lượng trong tam giác

1.3. Các bài toán về diện tích đa giác và
tỉ số diện tích


1.1. Các bài toán về đa giác







Tam giác – Tam giác đồng dạng
Hình thang
Hình bình hành
Hình chữ nhật
Hình thoi và hình vuông


Tam giác – Tam giác đồng dạng








Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác
Tính chất đường trung bình của tam giác
Tính chất đồng quy của các đường cao, trung tuyến,
phân giác, trung trực trong tam giác
Tính chất đường phân giác trong tam giác
Định lí Talet
Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác
Tỉ số đồng dạng

Ví dụ 1.1. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB < AC. Gọi I
là trung điểm của AC. Qua I kẻ đường vuông góc với
BC, qua C kẻ đường vuông góc với AC, chúng cắt nhau
tại E. Chứng minh rằng AE vuông góc với BI.

Hướng dẫn
Hướng 1: Sử dụng tam giác đồng dạng suy ra hai góc
vuông bằng nhau. Kẻ đường cao AH, K là giao điểm AE
và BI. Chứng minh 𝐴𝐾𝐵 = 900 .

Hướng 2: Sử dụng tính chất 3 đường cao trong tam
giác suy ra hai đường thẳng vuông góc.
Gọi D là giao điểm của AB và EI. Ta chứng minh cần
được BICD và CD//AE.


Ví dụ 1.2. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, điểm D thuộc
1

cạnh AB sao cho 𝐴𝐷 = 𝐴𝐵. Gọi M là trung điểm của BC.
3
Đường thẳng đi qua B và vuông góc với DM cắt AC tại E.
1
3

Chứng minh rằng 𝐴𝐸 = 𝐴𝐶.

Hướng dẫn:
Do tam giác ABC vuông cân nên BT quy về chứng minh
hai đoạn thẳng bằng nhau hoặc chứng minh hai đường
thẳng song song DE // BC.
+ Hướng 1: Tạo ra 2 tam giác bằng nhau chứa 2 cạnh
tương ứng bằng nhau. Lấy K trên tia đối của AB sao cho
AK = AE. Ta chứng minh AD = AE.
+ Hướng 2: Sử dụng định lí Talet. Gọi F là điểm đối xứng
của C qua A. Tam giác BFE có D là trực tâm nên ED//CB.
 Xét bài toán tổng quát


Hình thang – Hình bình hành – Hình chữ
nhật – Hình thoi – Hình vuông

Hoạt động nhóm trên lớp: mỗi nhóm từ 5 – 6 HV
Nội dung: Thiết kế sơ đồ tư duy thể hiện mối liên hệ giữa
các tứ giác
 Định nghĩa các hình
 Các dấu hiệu nhận biết
 Các tính chất
Yêu cầu: đúng, đủ, đẹp.
Nhóm có sản phẩm tốt nhất được điểm cộng.




Bài toán 1: Cho tam giác ABC. Lấy điểm D và E trên
cạnh AB và AC sao cho BD = CE. Gọi M, N là trung
điểm của BC và DE. Đường thẳng qua M và N lần lượt

cắt AB và AC tại P và Q. Chứng minh 𝑀𝑃𝐵 = 𝑀𝑄𝐶.



Bài toán 2: Cho tam giác ABC có Â=1200 , các tia phân
giác AD, BE, CF. Chứng minh tam giác EDF vuông.



Bài toán 3: Cho tam giác ABC. Dựng về phía ngoài tam
giác hai tam giác đều ABE, ACF. Dựng hình bình hành
AEDF. Chứng minh tam giác BDC đều.



Bài toán 4: Chứng minh rằng trong một tứ giác nội
tiếp đường tròn, tích hai đường chéo bằng tổng các
tích các cặp cạnh đối diện.




Bài toán 5: Cho hình bình hành ABCD. Một đường
thẳng cắt AB ở E, AD ở F và cắt đường chéo AC ở G.
Chứng minh rằng:
𝐴𝐵
𝐴𝐸

+

𝐴𝐷
𝐴𝐹

=

𝐴𝐶
.
𝐴𝐺



Bài toán 6: Cho AC là đường chéo lớn của hình bình
hành ABCD. Hạ CE, CF lần lượt vuông góc AB, AD.
Chứng minh rằng: 𝐴𝐵. 𝐴𝐸 + 𝐴𝐷. 𝐴𝐹 = 𝐴𝐶 2 .



Bài toán 7: Trên cung nhỏ BC của đường tròn ngoại
tiếp tam giác đều ABC, lấy điểm P bất kì. Các đoạn
thẳng AP, BC cắt nhau tại Q. Chứng minh
𝑃𝑄 𝐶𝑄
1
1
1
=
;
=
+
.
𝑃𝐵 𝐶𝐴 𝑃𝑄 𝑃𝐵 𝑃𝐶



Bài toán 8: Chứng minh rằng nếu đoạn nối các trung
điểm của cặp cạnh đối diện một tứ giác bằng nửa tổng
hai cạnh kia thì tứ giác đó là hình thang.



Bài toán 9: Trên hai cạnh của góc xOy ta lấy hai đoạn
thẳng AB và CD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của
các cạnh AC, BC, BD, DA. Tìm điều kiện tương ứng của
góc xOy và các đoạn thẳng AB, CD để EFGH lần lượt là
hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông.



Bài toán 10: Chứng minh rằng các đường phân giác
trong của một hình bình hành cắt nhau tạo thành một
hình chữ nhật có đường chéo bằng hiệu hai cạnh kề của
hình bình hành.




Bài toán 11. Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH vuông
góc AC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của HC và
AD. Chứng minh rằng BN vuông góc MN.



Bài toán 12. Cho tam giác ABC. Dựng về phía ngoài
tam giác các hình vuông ABDE và ACGH. Gọi M, N, P,
Q lần lượt là trung điểm của các cạnh EH, EB, BC,
CH. Chứng minh:

a)

BH = CE và BH  CE.

b)

Tứ giác MNPQ là hình vuông.


1.2. Các hệ thức lượng trong tam giác
Định lý Pytago
 Hệ thức lượng trong tam giác vuông
- Hệ thức về cạnh và đường cao
- Tỉ số lượng giác của góc nhọn
- Hệ thức về cạnh và góc
 Hệ thức lượng trong tam giác bất kì
- Định lý Côsin và định lý Sin
- Công thức đường trung tuyến



Ví dụ 1.3. Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao
AH. Biết AB:AC = 3:4 và AB+AC=21 cm. Tính các cạnh

của tam giác và độ dài các đoạn AH, BH, CH.


Hướng dẫn:

Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Ta tính được 𝐴𝐵 = 9, 𝐴𝐶 = 12, 𝐵𝐶 = 15, 𝐴𝐻 = 7,2 𝑐𝑚
Đặt BH = x (0Ta giải được BH = 5,4, CH = 9,6 (cm).


1.3. Các bài toán về diện tích đa giác
và tỉ số diện tích
Công thức diện tích tam giác
 Diện tích hình thang, hình bình hành, hình thoi, hình
chữ nhật, hình vuông, tứ giác, đa giác
 Một số kết quả liên quan diện tích và tỉ số diện tích:
- đường trung tuyến chia tam giác thành 2 tam giác có
diện tích bằng nhau.
- AA’//BC thì SABC = SA’BC.


𝑆𝐴𝐵𝐷
𝑆𝐴𝐶𝐷

-

D thuộc cạnh BC, ta có

-

AH và A’K lần lượt là đường cao của tam giác ABC,
𝑆𝐴𝐵𝐶
𝐴𝐻
A’BC, ta có
= ′ .
𝑆𝐴′ 𝐵𝐶

-

=

𝐵𝐷
.
𝐶𝐷

𝐴𝐾

M, N nằm trên AB, AC của ABC, ta có

𝑆𝐴𝑀𝑁
𝑆𝐴𝐵𝐶

=

𝐴𝑀 𝐴𝑁
. .
𝐴𝐵 𝐴𝐶

Ví dụ 1.4. Cho tam giác ABC có diện tích 1. Trên cạnh
AB, AC lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho AM = 3BM,
AN = 4CN. Đoạn BN cắt đoạn CM tại O. Tính diện tích
tam giác AOB và AOC.

Hướng dẫn
Sử dụng giả thiết AM = 3BM, AN = 4CN suy ra tỉ số
diện tích.
Đặt SAOB = x, SAOC = y (0Từ giả thiết ta có 𝑆𝐴𝑂𝑀 =

3𝑥
, 𝑆𝐴𝑂𝑁
4

=

4𝑦
.
5

Ta có SBAN=SABO+SOAN, SACM=SACO+SOAM
1
2

3
8

Từ đó ta giải hệ phương trình được 𝑥 = , 𝑦 = .

Bài toán 13. Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = b, AB
= c. Tính độ dài các đường trung tuyến, đường cao, đường
phân giác theo a, b, c.
Bài toán 14. Cho tam giác ABC vuông cân tại A và điểm M
nằm giữa B và C. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của điểm M
trên AB và AC. Chứng minh rằng 𝑀𝐵2 + 𝑀𝐶 2 = 2𝑀𝐴2 .
Bài toán 15. Cho hình vuông ABCD và điểm I thay đổi nằm
giữa A và B. Tia DI cắt BC tại E. Đường thẳng kẻ qua D vuông

góc DE cắt BC tại F. Chứng minh rằng tổng
phụ thuộc vào vị trí điểm I.

1
𝐷𝐼2

+

1
𝐷𝐸 2

không

Bài toán 16. Chứng minh định lý về đường phân giác trong
tam giác.
Bài toán 17. Chứng minh tổng các khoảng cách từ một điểm
tùy ý thuộc miền trong của một tam giác đều đến ba cạnh của
nó không phụ thuộc vào vị trí của điểm đó.

Bài toán 18: Cho tam giác ABC, ha, hb, hc lần lượt là đường cao
xuất phát từ các đỉnh A, B, C và r là bán kính đường tròn nội tiếp
tam giác ABC. Chứng minh:
1
1
1
1
+
+ = .
ℎ𝑎 ℎ𝑏 ℎ𝑐 𝑟
Bài toán 19: Cho tam giác đều ABC trọng tâm G. Từ điểm O khác
G ở trong tam giác, kẻ đường thẳng OG cắt các đường thẳng BC,
CA, AB lần lượt tại A’, B’, C’. Tính tổng
𝑂𝐴′ 𝑂𝐵′ 𝑂𝐶′
+
+
𝐺𝐴′ 𝐺𝐵′ 𝐺𝐶′
Bài toán 20: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao AA’,
BB’, CC’ và trực tâm H. Tính tổng
𝐻𝐴′ 𝐻𝐵′ 𝐻𝐶′
+
+
𝐴𝐴′ 𝐵𝐵′ 𝐶𝐶′
Bài toán 21: Cho điểm M ở miền trong tam giác ABC. Các đường
thẳng AM, BM, CM cắt các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại A’, B’, C’.
Tính tổng
𝐴𝑀 𝐵𝑀 𝐶𝑀
+
+
𝐴𝐴′ 𝐵𝐵′ 𝐶𝐶′

CHƯƠNG 2.
CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC

2.1. Bài toán cực trị hình học

2.2. Phương pháp giải bài toán cực trị
hình học

2.3. Một số kiến thức liên quan