phương pháp dạy học môn toán quan hệ vuông góc trong không gian

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
KHOA TOÁN - TIN

PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN
QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
NHÓM 8
Họ và tên các thành viên

: Phạm Thị Thu Hà
Lưu Thị Giang
Trần Thị Lan Anh
Tạ Thị Hà

HÀ NỘI - 2019
1


HỆ THỐNG CÂU HỎI BÀI TẬP
A. TỰ LUẬN
I. LÝ THUYẾT
Câu 1. Hãy nêu định nghĩa góc giữa hai đường thẳng, hai đường thẳng vuông
góc, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Trả lời:
- Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a ' và b ' cùng
đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b .
- Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng
90o

- Một đường thẳng gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc
với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
Câu 2. Lấy ví dụ trong thực tế về hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng

vuông góc mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc. (mỗi cái lấy tối thiểu 3 ví dụ)
Trả lời:
- Hai đường thẳng vuông góc:
- Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: cột cờ vuông góc với sân trường,
cạnh dọc cửa cánh cửa và trần nhà, chân giường vuông góc với nền nhà
- Hai mặt phẳng vuông góc với nhau: sàn nhà và trần nhà, mặt bàn và trần
nhà, hai bức tường đối diện nhau
Câu 3. Hãy cho biết các khẳng định sau là đúng hay sai. Nếu sai hãy sửa
lại để được mệnh đề đúng.
a. Hai đường thẳng vuông góc luôn cắt nhau.
b. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng
nằm trong mặt phẳng (P) thì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P).
c. Nếu hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt thứ ba thì giao tuyến của
chúng vuông góc với mặt thứ ba.
2


d. Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với
nhau.
e. Qua một điểm có vô số đường thẳng vuông góc với một mặt cho trước.
Trả lời:
a. Sai.
Sửa lại: Hai đường thẳng vuông góc có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
b. Đúng
c. Đúng
d. Sai.
Sửa lại: Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì
song song với nhau.
e. Sai
Sửa lại: Qua một điểm chỉ có duy nhất một đường thẳng vuông góc với một

mặt phẳng cho trước.
Trên đây là một trong nhiều các để sửa lại các khẳng định sai thành đúng.
Những cách sửa khác của học sinh nếu đúng vẫn được chấp nhận.
Câu 4. Hãy điền từ còn thiếu vào chỗ trống.
1. Nếu hình hộp có ... mặt chung một đỉnh là hình vuông thì nó là hình lập
phương.
2. Có ... đường thẳng đi qua một điểm cho trước và song song với một mặt
phẳng cho trước.
3. Đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), mọi mặt phẳng (Q) chứa a
thì (Q) ... với (P).
4.Góc giữa hai đường thẳng luôn ... 90 .
5. Có ... đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng
cho trước.
6. Có ... đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng cho
trước.
3


7. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng các từ ... trên mặt
phẳng phẳng này đến mặt phẳng kia.
8. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau, đường thẳng thuộc mặt phẳng này
vuông góc với ... thì vuông góc với mặt phẳng kia.
9. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng ... của đường vuông
góc chung.
Trả lời:
1. 2 hoặc 3 đều được
2. vô số
3. vuông góc
4. nhỏ hơn hoặc bằng (  )
5. vô số

6. duy nhất một ( nếu học sính trả lời là một cũng chấp nhận được)
7. một điểm bất kỳ ( hoặc một đường thẳng bất kỳ)
8. giao tuyến của hai mặt phẳng
9. độ dài
Câu 5. Hãy nêu mối quan hệ giữa góc của hai đường thẳng và góc của hai
vecto chỉ phương của hai đường thẳng đó.
Trả lời: Hai đường thẳng a và b có vecto chỉ phương lần lượt là u và v .
(a, b)   , (u, v)   . Khi đó nếu 0    90 thì    , nếu 90    180 thì

  180  

Câu 6. Dựa vào kiến thức đã học hãy giải thích tại sao khẳng định : Qua một
điểm cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với hai mặt phẳng cắt
nhau cho trước đúng.
Trả lời:
a. Hai mặt phẳng cắt nhau thì chỉ cắt nhau tại một giao tuyến duy nhất, mà
qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng

4


cho trước. Vì vậy qua một điểm cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông
góc với hai mặt phẳng cắt nhau cho trước.
Câu 7. Nối các ý ở cột A tương ướng với các ý ở cột B.
CỘT A

CỘT B

1. a / / b, a   P 

A. a   R 

2. a   P  , b   P 

B. a   Q 

3.  P  / /  Q  , a   P 

C. b   P 

4. a / /  P  , b   P 

a / /b

D. 
a  b

 P    Q   a

5.  P    R 

 Q    R 

E. a  b

Trả lời: 1 – C, 2 – D, 3 – B, 4 – E, 5 – A.
Câu 8. Hãy nêu một số cách tính góc giữa hai mặt phẳng.
Trả lời:
Cho hai mặt phẳng  P  ,  Q  ,  P    Q   d . Các cách tính góc giữa hai mặt
phẳng  P  ,  Q  là:

Cách 1: Dựng đường thẳng  d '   P  ,  d ''   Q  . Góc giữa hai mặt phẳng

 P  ,  Q  là góc giữa hai đường thẳng  d ' ,  d '' .
Cách 2: Dựng đường thẳng  d '   P  ,  d '  d ,  d ''   Q  ,  d ''   d . Góc giữa
hai mặt phẳng  P  ,  Q  là góc giữa hai đường thẳng  d ' ,  d '' .
Cách 3: Đa giác A1 A2 ...An nằm trong mặt phẳng  P  có diện tích là S . Hình
chiếu vuông góc của A1 A2 ...An lên mặt phẳng  Q  là A1' A2' ... An' có diện tích là S ' .
Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng  P  ,  Q  . Khi đó ta có: cos 

S'
.
S

Câu 9. Hãy nêu cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng,
khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng ,khoảng cách từ một đường thẳng
5


đến một mặt phẳng song song với nó, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song
song.
Trả lời:
- Khoảng cách từ A đến đường thẳng d là AH với H là hình chiếu vuông
góc của A lên d .
- Khoảng cách từ A lên mặt phẳng ( P) là AH với H là hình chiếu vuông góc
của A lên ( P) .
- Cho đường thẳng d song song với ( P) . Khoảng cách từ d đến ( P) là
khoảng cách từ một điểm bất kỳ thuộc d đến ( P) .
- Cho hai mặt phẳng ( P ),  Q  song song với nhau. Khoảng cách giữa hai mặt
phẳng ( P) và  Q  là khoảng cách từ một điểm bất kỳ thuộc ( P) đến  Q  .
Câu 10. Một học sinh tính khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b chéo

nhau như sau:
Bước 1: Lấy điểm A bất kỳ thuộc a.
Bước 2: Từ A dựng đường thẳng vuông góc với b, cắt đường thẳng b tại B
Bước 3: Tính độ dài AB, khoảng cách giữa a và b chính là độ dài của AB
Học sinh trên làm như vậy là đúng hay sai?. Nếu sai hãy giải thích tại sao sai?
Hãy nêu các tính của em để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau.
Trả lời:
- Cách làm của bạn là sai. Vì với cách dựng hình như trên thì chưa chắc
AB  a .

- Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Cách 1. Chọn mặt phẳng   chứa đường thẳng a và song song với b . Khi
đó d  a, b   d  b,( )  .
Cách 2. Dựng hai mặt phẳng song song vầ lần lượt chưa hai đường thẳng a, b .
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là khoảng cách giữa hai đường thẳng a, b .
6


II. BÀI TẬP
I. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, đường thẳng
vuông góc với đường thẳng, mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng.
Dạng 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, SA ⟂
(ABC)
a) Chứng minh rằng : BC ⟂ (SAC).
b) Gọi E là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Chứng minh rằng: AE ⟂
(ABC).
c) Gọi mp

đi qua AE và vuông góc với (SAB), cắt SB tại D. Chứng
minh rằng: SB ⟂
d) Đường thẳng DE cắt BC tại F. Chứng minh rằng: AF ⟂ (SAB).
Giải
a)Ta có: BC ⟂ AC (gt)

(1)

Mặt khác, vì
⇒

(2)

Từ (1) và (2) suy ra: BC ⟂ (SAB)
b)Ta có: AE ⟂ SC (gt)

(3)

Theo a) BC ⟂ (SAB) ⇒ AE ⟂ BC (4)
Từ (3) và (4) suy ra: AE ⟂ (SBC).
c)Ta thấy:

≡ (ADE)

Theo b) AE ⟂ (SBC) ⇒ BC ⟂ AE (5)
Trong mp(ADE) kẻ EH ⟂ AD, H ϵ AD. Vì
(6)
Từ (5) và (6) suy ra: SB ⟂ (ADE) hay SB ⟂
7

d)Từ

(7)

Theo c) SB ⟂ (ADE) ⇒ AF ⟂ SB (8). Từ (7) và (8) suy ra: AF ⟂ (SAB).
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB là
tam giác đều, (SAB) ⟂ (ABCD). Gọi I, F lần lượt là trung điểm của AB và
AD. Chứng minh rằng: FC ⟂ (SID).
Giải
Ta có:

⇒ SI ⟂ CF (1)
Mặt khác, xét hai tam giác vuông
ADI và DFC có: AI = DF, AD = DC.
Do đó, ∆AID = ∆DFC từ đó ta có:

⇒
Hay CF ⟂ ID (2). Từ (1) và (2) suy ra:
FC ⟂ (SID). Điều phải chứng minh.
Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B,
SA ⟂ (ABCD), AD = 2a, AB =BC = a. Chứng minh rằng: ∆SCD vuông.
Giải
Ta có:

8


(1)

Gọi I là trung điểm của AD. Tứ giác ABCI là hình vuông.
Do đó,

.

(*)

Mặt khác, ∆CID là tam giác vuông
cân tại I nên:

.

(**)

Từ (*) và (**) suy ra:
hay AC ⟂ CD (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
CD ⟂ (SAC) ⇒ CD ⟂ SC
Hay ∆SCD vuông tại C.
Bài 2: Cho hình chóp đều S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, E là điểm đối
xứng với D qua trung điểm SA. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và
BC. Chứng minh rằng: MN ⟂ BD.
Giải
Gọi I, P lần lượt là trung điểm của AB và SA, O là giao điểm
của AC và BD.
Ta có:
(1)
Mặt khác,
Mà PO ⟂ BD

(*)
(**)

(Vì ∆BPD là cân tại P và O là
trung điểm của BD)
Từ (*) và (**) ta có: BD ⟂ IM (2)
9


Từ (1) và (2) ta có: BD ⟂ (IMN) ⇒ BD ⟂ MN.
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAD
đều, (SAD) ⟂ (ABCD). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC và
CD. Chứng minh rằng: AM ⟂ BP.
Giải
Gọi I là giao điểmcủa AN và BP, H là trung điểm của AD, K là giao
điểm của AN và BH.
Xét ∆ABN và ∆BCP có:AB = BC; BN = CP.
Suy ra: ∆ABN = ∆BCP
⇒
mà
⇒
hay AN ⟂ BP

(1)

(*)
Mặt khác, tứ giác ABNH là hình chữ nhật nên K là trung điểm của HB hay
MK ‖ SH .

(**)

Từ (*) và (**) suy ra: BP ⟂ MH

(2)

Từ (1), (2) suy ra: BP ⟂ (AMN) ⇒ BP ⟂ AM.
Dạng 3: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD =
a

, SA ⟂ (ABCD). Gọi M là trung điểm của AD, I là giao điểm của AC và

BM. Chứng minh rằng: (SAC) ⟂ (SMB).
Giải
10


+ Ta có: SA ⟂ (ABCD)
⇒ SA ⟂ BM (1).
+ Xét tam giác vuông ABM có:
.
Xét tam giác vuông ACD có:
. Ta có

Hay BM ⟂ AC (2).
Từ (1) và (2) suy ra: BM ⟂ (SAC)
mà BM ⊂ (SAC) nên (SAC) ⟂ (SMB).
Bài 2: Cho tứ diện ABCD có AB ⟂ (BCD). Trong tam giác BCD vẽ các
đường cao BE và DF cắt nhau tại O. Trong mp(ACD) vẽ DK ⟂ AC. Gọi H là
trực tâm của tam giác ACD.

a) Chứng minh (ACD) ⟂ (ABE) và (ACD) ⟂ (DFK).
b) Chứng minh OH ⟂ (ACD).
Giải
a) Chứng minh: ( ACD) ⟂ (ABE)
O là trực tâm của tam giác BCD
 BE là đường cao ∆BCD
→ BE ⟂ DC
(1)
 SA ⟂ (ABC) → SA ⟂ DC (2)
Từ (1) và (2) ⇒

11


Chứng minh: (ACD) ⟂ (DFK)
Ta có: DK ⟂ AC

(3)

DF ⟂ (AB, BC) → DF ⟂ (ABC) → DF ⟂ AC

(4)

Từ (3) và (4) suy ra

b) Ta có:
. Điều phải chứng minh.

Bài tập tổng hợp
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông tâm O, SA ⟂ (ABCD).

Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD.
a) CMR: BC ⟂ (SAB), CD ⟂ (SAD), BD ⟂ (SAC)
b) CMR: AH, AK cùng vuông góc với SC. Từ đó suy ra 3 đường thẳng
AH, AI, AK cùng nằm trong một mặt phẳng.
c) CMR: HK ⟂ (SAC). Từ đó suy ra HK ⟂ AI.
Giải
a) Chứng minh: BC ⟂ (SAB)
⇒ BC ⟂ (SAB).

Ta có:
 Chứng minh:
Tương tự,

 Chứng minh:

.
.

b) Ta có:
12


⇒ AH ⟂ SC.
Mặt khác:
⇒ AK ⟂ SC.

Mà:
(1)
.

(2)

Do qua một điểm chỉ có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng
cho trước.
Từ (1) và (2) → AH, AK, AI cùng nằm trên một mặt phẳng.
c) Ta có:

(theo (1)) ⇒(AKH) ⟂( SAC) ⇒ HK ⟂ (SAC)

⇒ HK ⟂ AI.
Bài 2: Cho tứ diện O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi
H là hình chiếu vuông góc của O trên mp(ABC). Chứng minh rằng:
a) BC ⟂ (OAH)
b) H là trực tâm của tam giác ABC.
c)
Giải
Kéo dài AH ⋂ BC =D (D thuộc BC)
Ta có
⇒ OA ⟂ BC.

(1)

Theo bài ra H là hình chiếu của O lên
13


mặt phẳng (ABC) → OH ⟂ (ABC)
⇒ OH ⟂ BC.

(2)

Từ (1) và (2) → (OAH) ⟂ BC
⇒ AH ⟂ BC.

(*)

b) Kéo dài CH ⋂ AB =P (P thuộc AB).
Tương tự ta có
⇒

.

(**)

Từ (*) và (**) suy ra H là trực tâm của tam giác ABC.
c) Ta có

(theo câu a) → OA ⟂ OD ⇒ Tam giác OAD vuông tại

O có OH là đường cao của tam giác:
. (3)
Mặt khác do (OAH) ⟂ BC ⇒ OD ⟂ BC ⇒ Tam giác OBC vuông tại O có
OD là đường cao của tam giác:
.
Thay vào (3) ta được:

Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông cạnh , mặt bên SAB là
tam giác đều và

. Gọi H,K lần lượt là trung điểm của AB và CD.

a) Chứng minh rằng SH ⟂ (ABCD).
b) CMR: SK ⟂ AC và CK ⟂ SD.
Giải
a) Do ∆SAB là tam giác đều suy ra
SA = SB = AB = a.
14


Có H là trung điểm của AB
⇒ AH là đường cao của tam giác đều
có cạnh bằng a →

.

Xét trong tam giác HBC vuông tại B
ta có

; BC =a.

Áp dụng định lý Py-ta-go:
.
Xét trong ∆SHC có:
→

;

;

.

⇒ ∆SHC vuông tại H ⇒ SH ⟂ HC.

(1)

Mặt khác SH ⟂ AB (do ∆SAB là tam giác đều)

(2)

Từ (1) và (2) suy ra SH ⟂ (ABCD).
b) Do ABCD là hình vuông ⇒ AC ⟂ BD.

(3)

Mà H, K lần lượt là trung điểm của AB, AD. Xét trong ∆ABD có HK là
đường trung bình ⇒ HK ‖ BD.

(4)

Từ (3) và (4) ⇒ HK ⟂ AC .
Mặt khác: SH ⟂ AC ( do SH ⟂ (ABCD)). Suy ra AC ⟂ (SHK) ⇒ AC ⟂ HK.
Chứng minh: CK ⟂ SD
Gọi I = CK ⋂ DH. Ta chứng minh CK ⟂ DH

⇒

→ CK ⟂ DH.

Kết hợp SH ⟂ CK (do SH ⟂ (ABCD)) suy ra CK ⟂ (SDH)

15


⇒ CK ⟂ SD.
Bài 4: Cho chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông, SA ⟂ (ABCD).
a) Chứng minh (SAC) ⟂ (SBD)
b) Gọi BE, DF là hai đường cao của ∆SBD. CMR: (ACF) ⟂ (SBC),
(AEF) ⟂ (SAC).
Giải
a) Ta có:

.

Lại có:
⇒ (SAC) ⟂ BD ⇒ (SAC) ⟂ (SBD)
b) Chứng minh: (ACF) ⟂ (SBC)
Ta có:
→ AD ⟂ SB
Mặt khác
→ SB ⟂ AF ⇒ AF ⟂ (ABC)
⇒ (SBC) ⟂ (AFC)
và AF ⟂ SC

(1)

Tương tự ta chứng minh được: AE ⟂ SC

(2)

Từ (1) và (2) suy ra SC ⟂ (AEF) ⇒ (SAC) ⟂ (AEF).

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I cạnh
góc A bằng

, cạnh SC =

và có

và SC ⟂ (ABCD).

a) Chứng minh (SBD) ⟂ (SAC)
b) Trong tam giác SCA kẻ IK ⟂ SA tại K. Tính độ dài IK.
c) Chứng minh rằng góc
và từ đó suy ra (SAB) ⟂ (SAD).
Giải

16


a) Do ABCD là hình thoi ⇒ BD ⟂ AC (1)
SC ⟂ (ABCD) ⇒ SC ⟂ BD

(2)

Từ (1) và (2) suy ra BD ⟂ (SAC)
⇒ (SBD) ⟂ (SAC).
suy ra ∆BAD đều

b) Do góc
⇒

và

.

Xét trong mp(SAC) từ C kẻ CH ⟂ SA.

Xét tam giác vuông CHA:
Mặt khác do SC ⟂ (ABCD) ⇒ SC ⟂ CA → tam giác SAC vuông tại C ta có

⇒
c) Ta có: I là trung điểm của BD ⇒

17


Xét trong tam giác BKD có
⇒ ∆BKD vuông tại K hay
⇒ SA ⟂ BK.

Ta có

Lại có BK ⟂ KD (do ∆BKD vuông tại K) suy ra (SAD) ⟂ BK ⇒ (SAD) ⟂
(SAB).
II. Các dạng toán về góc
Dạng 1: Góc giữa hai đường thẳng
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, SA = a

, SA ⟂

BC. Tính góc giữa hai đường thẳng SD và BC?

Giải
Ta có: BC ‖ AD và

Do đó: (SD, BC) = (SD, AD) =

.

Xét ∆SAD vuông tại A ta có:
.
⇒
Vậy góc giữa hai đường thẳng SD và BC bằng

.

Bài 2: Cho tứ diện ABCD có AB =CD =2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của BC và AD, MN = a

. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD?

Giải
18


Gọi I là trung điểm của BD. Ta có:

Xét tam giác IMN có:
IM =IN = a, MN = a

⇒

. Do đó,

.

Vậy: (AB, CD) =
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Tính cosin của góc
giữa hai đường thẳng SM, DN.
Giải
Ta có:
Nên ∆ABC vuông tại S, suy ra

.

Do đó ∆SAM đều.
Kẻ ME ‖ DN ( E thuộc AD) ⇒

.

Ta có (ABCD) ⟂ (SAB) mà AE ⟂ AB
nên AE ⟂ (SAB) ⇒ AE ⟂ SA.
⇒

và
.

19

⇒ ∆AME cân tại E nên

và

.
Vậy cos(SM, DN) =

.

Dạng 2: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, (SAC)
(ABCD), H là trung điểm của AB, SH=HC, SA=AB. Tính góc giữa đường
thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).
Giải:

Ta có: AH =

. AB = .

SA = AB = a.
SH = HC =
Vì

=
=

=

.
nên ΔSAH vuông tại A hay SA

(ABCD).
20

AB mà (SAB)


Do đó, SA

(ABCD) và AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng

(ABCD).
Ta có:

=

, tan

=

=

và mặt phẳng (ABCD) là góc có tang bằng

. Vậy góc giữa đường thẳng SC
.

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông
góc với mặt phẳng đáy, SA= a

. Tính sin của góc giữa:

a) SC và (SAB).
b)AC và (SBC).
Giải:

a) Ta có: BC AB (gt) và SA
BC

BC( vì SA

(ABCD))

(SAB) do đó: SB là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng

(SAB)
=

.

Ta có:
sin

= sin

=

=

=

21

.


b) Trong mặt phẳng (SAB) kẻ AH
AH

SB (H ∊ SB). Theo a) BC

(SAB)

BC nên AH (SBC) hay CH là hình chiếu vuông góc của AC trên

mặt phẳng (SBC)
=

.

Xét tam giác vuông SAB có:
Vậy sin

= sin

=
=

+
=

=

AH = a

.

.

Bài 3: Cho hình chóp đều S.ABC cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng
góc giữa SA và mặt phẳng (ABC).
Giải:

Gọi D là trung điểm của BC, H là trọng tâm của ΔABC
SH (ABC) và AH = AD = .
=(SA,AH)=
cos

=

a=

vì

,
90 º.

= .
22

. Tính

60 º

= 60 º

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA
(ABCD) và SA=

. Tính góc giữa

a) SC và (ABCD).
b) SC và (SAB).
c) SB và (SAC).
d) AC và (SBC).
Giải:

a)

vì

ta có AC=a
tan

=

.
=

=

Vậy
b) CB

là góc nhọn

=60 º.

60 º.
SA, CB

AB
=

CB
=

(SAB)
vì
23

là góc nhọn


SB=

=

tan

=

=a

=

=

= arctan(

= acrtan(

.

c) Gọi F là giao điểm AC và BD
Ta có BF

, BF

SA

BF (SAC)

Ta có: BF = .BD =
=
Ta có : sin

=

= =

a

=

.
=

=

= arcsin (

.

d) Gọi G là chân đường cao kẻ từ A đến SB
ta có : BC (SAB)

BC

mà AG

SB

AG
=
Ta có: AG =
sin

=

=
=
=

:a

=

vì

=

và AC = a

=
=

= arcsin (

.

Dạng 3: Góc giữa hai mặt phẳng
Bài 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Tính số đo của
góc giữa (BA’C) và (DA’C).
24


Giải:

(H ∊ A’C)

Kẻ BH

(1)
(gt), AA’ (ABCD)

Mặt khác ta có BD
BD (ACA’)

A’C

AA’

BD

(2)

Từ (1) và (2) suy ra:
A’C

A’C

DH. Do đó,

.

Xét tam giác vuông BCA’ có
=
BH = a.
Ta có cos

Vậy

+

=
DH = a.
=

=120º
º.

25