QUAN hệ SONG SONG

QUAN HỆ SONG SONG

QUAN HỆ SONG SONG
PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP
I - HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau
a, b

Phương pháp: Để chứng minh hai đường thẳng
phản chứng.

chéo nhau, ta thường sử dụng phương pháp chứng minh

( P)

 Bước 1 : Giả sử a, b không chéo nhau, tức là có một mặt phẳng
 Bước 2 : Suy ra một kết luận vô lý, trái giả thiết.

chứa cả

a

và

b

.

a, b
 Bước 3 : Kết luận rằng hai đường thẳng

Bài 1: Cho tứ diện

ABCD

M, N

. Gọi

phân biệt cùng thuộc đường thẳng
MP, NQ
.

CD

chéo nhau.

AB P, Q
là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng
.
là hai điểm

MQ, NP

. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

và hai đường thẳng

Lời giải :
MQ, NP

Giả sử

⇒

MQ

không chéo nhau tức là

đồng phẳng

M , N , P, Q

4 điểm

⇒ AB

đồng phẳng
PQ

⇒ MN

và
và

đồng phẳng

CD

đồng phẳng ( Vô lý )

PQ

⇒ MN

và

chéo nhau.

MP, NQ

Giả sử

⇒

và

NP

không chéo nhau tức là

MP

NQ

và

đồng phẳng

M , N , P, Q

4 điểm

⇒ MP

đồng phẳng
NQ

và

NHÓM 5

đồng phẳng
1


QUAN HỆ SONG SONG

⇒ AB

CD

và

đồng phẳng ( Vô lý )

NQ

⇒ MP

và

chéo nhau.
a, b

Bài 2 : Cho hai đường thẳng
C , D.
biệt
a. Chứng minh
b.
c.

M

O

AC

và

BD

chéo nhau. Trên

a

A, B

lấy hai điểm phân biệt

, trên

b

lấy hai điểm phân

chéo nhau.

AC N
BD MN
AB
là một điểm trên cạnh
,
là một điểm trên cạnh
.
có song song với
hay không ?
là điểm trên đoạn

MN

. Chứng minh rằng

AO

cắt

CN

.

Lời giải :
a. Giả sử

AC

⇒

và

4 điểm

⇒ AC

và

BD

đồng phẳng

đồng phẳng

CD

và

BD

và

MN / / AB

⇒

không chéo nhau tức

AC

A, C , B, D

⇒ AB

b. Nếu

BD

thì

đồng phẳng ( Vô lý do a, b chéo nhau )
chéo nhau.

MN

và

AB

đồng phẳng

M , N , A, B

4 điểm

⇒ AM
⇒ AC
⇒ MN

và
và

đồng phẳng

BN
BD

đồng phẳng
đồng phẳng ( Vô lý )

không song song với

AB

c. Ta có :

NHÓM 5

2


QUAN HỆ SONG SONG
O ∈ MN ⇒ O ∈ ( CMN )

A ∈ CM ⇒ A ∈ ( CAN ) ⇒ A ∈ ( CMN )

⇒ AO

AO

và

CN

đồng phẳng

không thể song song với

CN

Thật vậy,

AO / / CN ⇒ O

Giả sử

⇒ AO

và

CN

nằm ngoài đoạn

MN

( Vô lý )

cắt nhau.

Dạng 2 : Chứng minh hai đường thẳng song song
Phương pháp:
*Để chứng minh hai đường thẳng song song ta sử dụng 1 trong các cách sau:
 Chứng minh 2 đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng phương pháp chứng minh song song trong hình
học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lí Talét đảo, ...)
 Sử dụng tính chất bắc cầu chứng minh 2 đường thằng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ
3.
 Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có)
cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
 Áp dụng định lí về giao tuyến của 3 mặt phẳng

Bài 3: Cho tứ diện

ABCD

I, J

. Gọi

lần lượt là trọng tâm các tam giác

ABC

và

ADC

. Chứng minh

IJ / / BD.

Lời giải :
Gọi

E

là trung điểm

Xét tam giác

Xét tam giác

NHÓM 5

ABC

ADC

AC

có

có

I

J

.
⇒

BI 2
=
BE 3

⇒

DJ 2
=
DE 3

là trọng tâm

là trọng tâm

3


QUAN HỆ SONG SONG
⇒

BI DJ 2
=
=

BE DE 3

Xét tam giác

BED

có :

BI DJ
=
⇒ IJ / / BD
BE DE

S . ABCD
ABCD
SC
M
Bài 4: Hình chóp
, đáy
là hình bình hành. Lấy một điểm
thuộc cạnh
. Mặt phẳng
( ABM )
SD
N
NM / / CD
cắt
tại điểm . Chứng minh rằng
.
Lời giải :

Ta có :
( AMB) ∩ ( SDC ) = M 

AB ⊂ ( AMB )
 ⇒ AB / / CD

CD ⊂ ( SDC )

⇒ ( SDC ) ∩ ( SAB ) = Mx / / AB / /CD
mà
N ∈ SD ⇒ N ∈ ( SDC )
N ∈ ( ABM )

⇒ N ∈ Mx ⇒ MN / /CD / / AB

S . ABCD

ABCD

M , N , P, Q

có đáy
là hình bình hành. Lấy
Bài 5: Cho hình chóp
SD, AD
MN / / SB, NP/ / CD, MQ/ / AB.
sao cho

BC , SC ,

lần lượt trên

PQ / / SA
a)

Chứng minh

b) Gọi

K

là giao điểm

.

MN

PQ

và

. Chứng mình

SK / / AD / / BC

.

Lời giải:
a) Ta có :

NHÓM 5

4


QUAN HỆ SONG SONG
DQ CM
=
(1)
DA CB
CM CN
MN / / SB ⇒
=
(2)
CB CS
CN DP
NP / / CD ⇒
=
(3)
CS DS
MQ / / AB ⇒

(1), (2), (3) ⇒

Từ

DQ DP
=
⇒ PQ / / SA
DA DS

b)

( SAD ) ∩ ( SBC ) = S 

K ∈ MN ⇒ K ∈ ( SBC )  ⇒ SK = ( SAD ) ∩ ( SBC )

K ∈ PQ ⇒ K ∈ ( SAD ) 
Ta có :

AD ⊂ ( SAD ) 

BC ⊂ ( SBC )  ⇒ SK = ( SAD ) ∩ ( SBC )
AD / / BC 
⇒ SK / / AD / / BC
Bài 6: Cho hình chóp
SA, SB.
trung điểm
a. Chứng minh rằng

b. Tìm giao điểm
c. Kéo dài

AN

và

P

S . ABCD

MN / / CD

của

DP

SC

có đáy

ABCD

là hình thang với cạnh đáy

AB > CD

M, N

. Gọi

lần lượt là

.

( AND )
và mặt phẳng

cắt nhau tại

I

.

. Chứng minh rằng

SI / / AB / /CD

. Tứ giác

SABI

là hình gì ?

Lời giải:

( SAB )
a. Trong
M

xét tam giác

là trung điểm

NHÓM 5

SAB

có

SA

5


QUAN HỆ SONG SONG

N

là trung điểm

⇒ MN

SB

là đường trung bình của tam giác

Mặt khác,

ABCD

là hình thang

SAB ⇒ MN / / AB

⇒ AB / / CD

⇒ MN / /CD

b. Gọi

E = AD ∩ BC
( SEB), SC ∩ EN = P ⇒ P ∈ ( AEN ) ⇒ P ∈ ( ADN ) ⇒ P = SC ∩ ( ADN )

Trong
c.
AN ⊂ ( SAB ) 

DP ⊂ ( SDC )  ⇒ ( SAB ) ∩ ( SDC ) = I
AN ∩ DP = I 

( SAB ) ∩ ( SDC ) = S
Mặt khác

⇒ ( SAB ) ∩ ( SDC ) = SI
Ta có :


AB ⊂ ( SAB )


CD ⊂ ( SDC )
 ⇒ SI / / AB / /CD
( SAB ) ∩ ( SDC ) = SI 

AB / /CD

⇒ MN / / AB, MN =

( SAB )

Trong
Mà

,xét tam giác SAB có MN là đường trung bình

1
AB (1)
2

AB / / SI ⇒ SI / / MN

NHÓM 5

6


QUAN HỆ SONG SONG

Xét tam giác

( 2)

(1)

Từ

SAI

MN / / SI ⇒

có

⇒ SI / / AB, SI = AB ⇒ SABI

và

là hình bình hành.

Bài 7: Cho hình chóp
.Gọi

MA MN 1
1
=
= ⇒ MN = SI
SA
SI
2
2

I

và

J

S . ABCD

có đáy là hình thang

lần lượt là trọng tâm tam giác

( BCI )

SA, SD

cắt mặt phẳng

SAD

ABCD

với đáy

, tam giác

SBC

AD

và

BC

AD =, BC = b

có

a>b

với

( ADJ )

SB, SC

và

cắt mặt phẳng

M, N

tại

P, Q.

tại

MN / / PQ.

a. Chứng minh
b. Giả sử

AM

cắt

BP

EF/ / MN / / PQ

a
DN
b
E CQ
F
EF
tại ,
cắt
tại . Chứng minh
. Tính
theo và .

Lời giải :

a.

I ∈ ( IBC ) ∩ ( SAD ) 

AD / / BC

 ⇒ ( SAD ) ∩ ( IBC ) = PQ
AD ⊂ ( SAD )


BC ⊂ ( IBC )


I ∈ PQ

với

PQ / / AD / / BC

và

.

Tương tự :
J ∈ ( JAD ) ∩ ( SBC ) 

AD / / BC

 ⇒ ( JAD ) ∩ ( SBC ) = MN
AD ⊂ ( JAD )


BC ⊂ ( SBC )


với

J ∈ MN

và

MN / / AD / / BC

MN / / PQ

Do đó

b. Ta có :

NHÓM 5

7

;


QUAN HỆ SONG SONG
E ∈ AM ⇒ E ∈ ( AMND ) 
 ⇒ E ∈ ( AMND ) ∩ ( BPCQ )
E ∈ PQ ⇒ E ∈ ( BPCQ ) 
Ta lại có :
F ∈ DN ⇒ F ∈ ( AMND ) 
 ⇒ F ∈ ( AMND ) ∩ ( BPCQ )
F ∈ CQ ⇒ F ∈ ( BPCQ ) 

EF = ( AMND ) ∩ ( BPCQ )
Vậy
Ta có :

MN ⊂ ( AMND ) 

PQ ⊂ ( BPCQ )  ⇒ EF / / PQ / / MN

MN / / PQ


Gọi

K = EF ∩ PC

EK / / BC ⇒

Ta có

Do

Do

I

J

Do đó

Mà

KE PE
=
BC PB

là trọng tâm của tam giác

là trọng tâm của tam giác

SAD

SBC

PI / / AD ⇒

SP 2
=
AS 3

MJ/ / BC ⇒

SM 2
=
AB 3

và

và

SP SM 2
PE PM
=
= ⇒ PM / / AB ⇒
=
SA AB 3
EB AB

PM SP 2
=
=
AB SA 3

Do đó

PE 2
EK PE
PE
1
1
2
= ⇒
=
=
=
=
=
EB
3
EB 3
BC PB PE + EB 1 +
5
1+
PE
2

NHÓM 5

8


QUAN HỆ SONG SONG
2

2
2
BC = b ⇒ KF = a
5
5
5
2
⇒ EF = EK + KF = (a + b)
5
EK =

Dạng 3: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng dựa vào quan hệ song song
Thiết diện chứa một đường thẳng // với một đường thẳng cho trước
Phương pháp: Sử dụng hệ quả của định lý 3 đường giao tuyến
Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) có điểm chung M và lần lượt chứa hai đường thẳng
song song d và d ' thì giao tuyến của (P) và (Q) là đường thẳng đi qua M song song với d và d’

Bài 8: Hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Xác định giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau:
a. (SAB) và (SCD)
b. (SAD) và (SBC).
Lời giải:
a.

AB ⊂ ( SAB )



CD ⊂ ( SCD )

 ⇒ ( SAB) ∩ ( SCD ) = Sx / / AB / / CD

( SAB ) ∩ ( SCD ) = S 

AB / / CD

b.

AD ⊂ ( SAD )



BC ⊂ ( SBC )

 ⇒ ( SAD) ∩ ( SBC ) = Sy / / AD / / BC
( SAD ) ∩ ( SBD ) = S 

AD / / B C


Bài 9: Cho hình chóp

S . ABCD

ABCD

đáy
là hình thang với các cạnh đáy
SAB
AD BC G
trung điểm của các cạnh
và

, là trọng tâm tam giác
.

( SAB )
a. Xác định giao tuyến hai mặt phẳng
NHÓM 5

AB

và

CD

I, J

. Gọi

lần lượt là

( IJG )
và
9


QUAN HỆ SONG SONG

b. Tìm điều kiện của

AB

và

CD

( IJG )
để thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng

là hình bình hành.

Lời giải :
a. Ta có

⇒ IJ

ABCD

I, J

là hình thang và

AD, BC

là trung điểm trung điểm của

là đường trung bình của hình thang

ABCD ⇒ IJ / / AB

Vậy
G ∈ ( SAB ) ∩ ( IJG ) 


AB ⊂ ( SAB )

 ⇒ ( SAB ) ∩ ( IJG ) = MN / /IJ / / AB
IJ ⊂ ( IJG )


AB / /IJ

M ∈ SA, N ∈ SB

với

b. Thiết diện của hình chóp
Gọi

Do

E

G

là trung điểm của

Lại có
Vì

cắt bởi mặt phẳng

SAB

MN / / AB ⇒

và

nên

MNJI

MN SG 2
2
=
= ⇒ MN =
AB SE 3
3

là hình thang.
⇔ MN = IJ ⇔

là hình bình hành

ABCD

2
1
AB = ( AB + CD ) ⇔ AB = 3CD
3
2

Bài 10: Cho tứ diện

có các cạnh bằng
BD
KB = 2 KD
điểm trên cạnh
sao cho
.

NHÓM 5

là tứ giác

MNJI .

1
( AB + CD )
2

MN / / IJ

MNJI

( IJG )

AB.

là trọng tâm tam giác
IJ =

S . ABCD

6a.

I, J

Gọi

AC , BC.

lần lượt là trung điểm của

Gọi

K

10

là một


QUAN HỆ SONG SONG

ABCD

a. Xác định thiết diện của tứ diện

( IJK ) .
với mặt phẳng

Chứng minh thiết diện là hình thang cân.

a.

b. Tính diện tích thiết diện theo
Lời giải
a. Ta có :
AB ⊂ ( ABD )



IJ ⊂ ( IJK )

 ⇒ Kx / / AB/ /IJ
AB / /IJ

( ABD ) ∩ ( IJK ) = Kx 

Giả sử

Kx ∩ AD = H

Thiết diện của tứ diện
Ta có

IJ / / KH ⇒

ABCD

tứ giác

( IJK )

với mp

IJKH

là

IJKH .

là hình thang.

∆ACD = ∆BCD ( c − c − c ) ⇒ HI = JK
Mặt khác

⇒ IJKH

là hình thang cân

b. Trong tam giác

Trong tam giác
Trong tam giác

ABC

ABD

BJK

IJ =

ta có :

ta có :

1
AB = 3a
2

HK KD 1
1
=
= ⇒ HK = AB = 2a
AB BD 3
3

, ta có

1
BC = 3a
2
2
BK = BD = 4a
3
BJ =

Áp dụng định lý cosin, ta có :
NHÓM 5

11

QUAN HỆ SONG SONG
HK 2 = BJ 2 + BK 2 − 2.BJ .BK .cosB = ( 3a ) + ( 4a ) − 2.(3a).(4 a) − 2.(3a).(4 a).cos 60 o ⇒ JK 2 = 13a 2 ⇒ JK = a 13
2

2

KP = JK 2 − PJ 2 =

Xét hình thang IJKH, hạ đường cao KP ta có :
⇒ S IJKH =

a 51
2

1
5a 2 51
IJ
+
KH
=
(
)
2
4

II – ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG
Dạng 1: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
Phương pháp 1

a ⊄ ( P)

b ⊂ ( P) ⇒ a / / ( P )
a / / b


Phương pháp 2

( P ) / / ( Q )
⇒ a / / ( Q)

a ⊂ ( P )

Phương pháp 3

a ⊄ ( P )

b ⊥ ( P ) ⇒ a / / ( P )
b ⊥ a


Bài 1. Cho tứ diện

ABCD

a) Chứng minh rằng

BD

I, J

. Gọi

là trung điểm của

//

Chứng minh rằng

CD

.

.

là trọng tâm của các tam giác
HK

và

( AIJ )

H, K
b) Gọi

BC

ABC

và

ACD

( ABD )
//

.

Lời giải

NHÓM 5

12


QUAN HỆ SONG SONG

( BCD )
a. Xét

có

IJ

là đường trung bình của

∆BCD

⇒ IJ BD
//
 BD //IJ


 IJ ∈ ( AIJ ) ⇒ BD // ( AIJ ) .W
 BD ∉ ( AIJ )


Ta có

H

b. Ta có

Và

K

(

là trọng tâm

là trọng tâm

∆ACD

AH 2
= .
AI 3

AK 2
= .
AJ 3

⇒

AH AK  2 
=
 = ÷⇒ HK //IJ
AI
AJ  3 

AIJ )

Xét

∆ABC

⇒

có

mà

IJ //BD

⇒ HK //BD

Ta có

Bài 2

 HK //BD


 BD ∈ ( ABD ) ⇒ HK // ( ABD ) .W
 HK ∉ ( ABD )


. Cho hình chóp

là trung điểm của
với

AB

cắt

CI

AB

tại

N

S . ABCD

có đáy là hình bình hành

. Lấy điểm

M

trong đoạn

AD

ABCD

sao cho

. Gọi

G

AD = 3 AM

là trọng tâm của tam giác
. Đường thẳng qua

M

SAB

. Chứng minh

Lời giải

( ABCD )
Xét

NHÓM 5

có

và

I

và song song

NG // ( SCD )

AM 1
=
AD 3

và

MN //AB

13


QUAN HỆ SONG SONG

⇒

IN 1
=
IC 3

( SAB )

Xét

có

G

( SIC )
Trong

Ta có

có

∆SAB

là trọng tâm

⇒

IG 1
=
IS 3

IN IG  1 
=
 = ÷⇒ NG //SC
IC IS  3 

 NG //SC


 SC ∈ ( SCD ) ⇒ NG // ( SCD ) .W
 NG ∉ ( SCD )


Dạng 2: Xác định thiết diện
Phương pháp 1

a / / b

a ⊂ ( P ) ⇒ ( P ) ∩ ( Q ) = ∆ / / a / / b

b ⊂ ( Q )

Phương pháp 2

a / / ( P )

⇒ d / /a
a ⊂ ( Q )

( P ) ∩ ( Q ) = d

Phương pháp 3

a / / ( P )

⇒ d / /a
a / / ( Q )

( P ) ∩ ( Q ) = d

Bài 3. Cho hình chóp
điểm của
song với
NHÓM 5

SA

SC

S . ABCD

có đáy là hình bình hành

ABCD O
AC
BD M
,
là giao điểm của
và
,
là trung

(α)
. Tìm thiết diện của mặt phẳng
và

AD

với hình chóp

S . ABCD

(α)
nếu

qua

M

và đồng thời song

.
14


QUAN HỆ SONG SONG
Lời giải

(α)

M

qua

Ta có

và song song với

AD


AD // ( α )

⇒ MN //AD
 AD ⊂ ( SAD )
( α ) ∩ ( SAD ) = MN



SC// ( α )

⇒ NQ //SC
 SC ⊂ ( SCD )
( α ) ∩ ( SCD ) = NQ


AD // ( α )

 AD ⊂ ( ABCD ) ⇒ PQ //AD
( α ) ∩ ( ABCD ) = PQ


Q
Nối

và

M

(α)

MNPQ
Vậy

là thiết diện tạo bởi

Bài 4. Cho tứ diện đều

AJ = 2 JD

. Gọi

M

a. Tìm tập hợp điểm

ABCD

cạnh

và hình chóp
a

. Gọi

I

.

AC J
AD
là trung điểm
, là một điểm trên cạnh
sao cho

là điểm di động trọng tam giác
M

S . ABCD

BCD

( IMJ )
sao cho mặt phẳng

luôn song song với

.

b. Tính diện tích thiết diện của tự diện

ABCD

( IMJ )
với mặt phẳng

.

Lời giải

a. Ta có


AB // ( IMJ )

AB ⊂ ( ABC )
⇒ IH //AB

( IMJ ) ∩ ( ABC ) = IH


NHÓM 5

15

AB

.


QUAN HỆ SONG SONG

và


AB // ( IMJ )

AB ⊂ ( ABD )
⇒ JK //AB.


( IMJ ) ∩ ( ABD ) = JK

AB // ( JIHK )

AB // ( IMJ ) ⇒ ( IMJ ) ≡ ( JIHK )

Vậy

Mà

mà

 M ∈ ( BCD )
⇒ M ∈ HK


 HK ∈ ( BCD )

Vậy tập hợp điểm

M

là đoạn

HK

.

III – HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

Dạng 1: Chứng minh hai mặt phẳng song song
Phương pháp: Để chứng minh hai mặt phẳng song song ta có thể thực hiện theo một trong các hướng sau:
 Chứng minh trong mặt phẳng này có hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia.
 Chứng minh hai mặt phẳng đó cùng song song với mặt phẳng thứ ba.
ABCD, AC

S . ABCD

Bài 1: Cho hình chóp
đáy là hình bình hành
( OMN ) / / ( SAD )
SC , CD
điểm của
. Chứng minh
.
Lời giải.
Trong

∆ADC

⇒ ON / / AD
Trong

∆SDC

⇒ MN / / SD

có

cắt

BD

tại

O

M,N

.Gọi

lần lượt là trung

ON

là đường trung bình
AD ⊂ ( SAD ) ⇒ ON / / ( SAD )

mà
có

MN

là đường trung bình
SD ⊂ ( SAD ) ⇒ MN / / ( SAD )

mà

Như vậy:
OM ⊂ ( OMN ) , ON ⊂ ( OMN )


ON / / ( SAD ) , MN / / ( SAD ) ⇒ ( OMN ) / / ( SAD )

OM ∩ ON = { N }

S . ABCD

ABCD

Bài 2: Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Gọi
( HIK ) / / ( ABCD )
SA, SB, SC.
Chứng minh rằng:
.
NHÓM 5

H, I, K

lần lượt là trung điểm của

16


QUAN HỆ SONG SONG

a) Gọi

M

là giao điểm của

AI

( SMN ) / / ( HIK )
CI .
KD N
DH
và
, là giao điểm của
và
Chứng minh rắng:

.
Lời giải.
a) Ta có:
IH / / AB, AB ⊂ ( ABCD ) ⇒ IH / / ( ABCD )

IK / / BC , BC ⊂ ( ABCD ) ⇒ IK / / ( ABCD )
Khi đó:
 IH ⊂ ( IHK ) , IK ⊂ ( IHK )

 IH / / ( ABCD ) , IK / / ( ABCD ) ⇒ ( IHK ) / / ( ABCD )

 IH ∩ IK = { I }

∆SBC
IK / / BC
b) Trong

có
IK
SI
IK 1
IK
MI 1
⇒
=
⇔
=
⇒
=
=
IK / / BC / / AD
BC SB
AD 2
AD MA 2
. Mà
⇒I

là trung điểm

⇒ IH / / SM

MA

. Khi đó,

IH

là đường trung bình trong

IH ⊂ ( IHK ) ⇒ SM / / ( IHK )

∆SAM

( 1)

mà

( 2)
SN / / IK IK ⊂ ( IHK ) ⇒ SN / / ( IHK )
*Tương tự:
,
SM ∩ SN = { S }
( 3)
Lại có
( 1) ( 2 ) ( 3) ⇒ ( SMN ) / / ( IHK )
Từ
,
,
(α)
(α)
(β)
Dạng 2: Xác định thiết diện của
với hình chóp khi biết
với mặt phẳng
cho trước.
Phương pháp: Để xác định thiết diện trong trường hợp này ta sử dụng các tính chất sau.
Nếu hai mặt phẳng song song bị cắt bởi một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của hai mặt phẳng đó song

( P ) / / ( Q )

⇒ ( P ) ∩ ( R ) = d '/ / d , M ∈ d '
( R ) ∩ ( Q ) = d

M ∈ ( P ) , M ∈ ( R )
song với nhau. Cụ thể:
NHÓM 5

17


QUAN HỆ SONG SONG

S . ABCD

Bài 3. Cho hình chóp

có đáy

ABCD

M, N

là hình bình hành. Gọi

(α )

CD

. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi
là hình gì?

đi qua

MN

lần lượt là trung điểm của

AB

,

( SAD )
và song song với mặt phẳng

. Thiết diện

Lời giải.

( α ) / / ( SAD )

( SAD ) ∩ ( SAB ) = SA

 M ∈ ( α ) , M ∈ ( SAB )

Ta có
⇒ ( α ) ∩ ( SAB ) = MK / / SA, K ∈ SB

( α ) / / ( SAD )


( SAD ) ∩ ( SCD ) = SD

 N ∈ ( α ) , N ∈ ( SCD )

Tương tự
⇒ ( α ) ∩ ( SCD ) = HN / / SD, H ∈ SC

(α )
Khi đó thiết diện của
với hình chóp là tứ
HKMN
giác
.
( ABCD ) , ( SBC ) ( α )
Ba mặt phẳng
và
đôi một
MN , HK , BC
cắt nhau theo ba giao tuyến là
mà
MN / / BC ⇒ MN / / HK
.
Vậy thiết diện là hình thang .
Bài 4. Cho hình chóp

( P)
song song với
S . ABC
chóp

?
Lời giải.

NHÓM 5

S . ABC

có đáy là tam giác

( ABC )

cắt đoạn

SA

tại

M

ABC

sao cho

thỏa mãn

AB = AC = 4

SM = 2MA

, góc

·
BAC

là

30o

. Mặt phẳng

( P)
. Tính diện tích thiết diện của

và hình

18


QUAN HỆ SONG SONG
( P ) / / ( ABC )

( ABC ) ∩ ( SAB ) = AB

 M ∈ ( P ) , M ∈ ( SAB )

Ta có:
⇒ ( P ) ∩ ( SAB ) = MN / / AB, N ∈ SB

( P ) ∩ ( SBC ) = NK / / BC, K ∈ SC
Tương tự

( P)

Khi đó, thiết diện của
với hình chóp SABC
là tam giác MNK.
2
2
S ∆MNK  MN   SM 
4
=
=
÷ 
÷ =
S ∆ABC  AB   SA  9
Ta có:
4
4 1
16
⇒ S ∆MNK = S ∆ABC = . AB. AC.sin 30o =
9
9 2
9
Dạng 3: Một số ứng dụng của định lí Thales.
Phương pháp: Định lí Thales thường được ứng dụng nhiều trong các bài toán tỉ số hay các bài toán chứng
minh đường thẳng song song với một mặt phẳng cố định.
AM CN
=
M
,

N
AB
,
CD
ABCD
MB ND
Bài 5. Cho tứ diện
và
là các điểm thay đổi trên cạnh
sao cho
. Chứng minh
MN
luôn song song với một mặt phẳng cố định.
Lời giải.

Ta có:

AM CN
=
MB ND

nên theo định lí Thales thì
MN , AC , BD
các đường thẳng
cùng song song
(α)
với mặt phẳng
.

(β)

Gọi

là mặt phẳng đi qua AC và song song
(β)
(α ) / /( β )
với BD thì
cố định và
⇒ MN / / ( β )
cố định.

NHÓM 5

19


QUAN HỆ SONG SONG

Bài 6. Cho hình hộp

với các đỉnh sao cho

ABCD. A ' B ' C ' D '

AB ', DD ', CB '

. Trên ba cạnh

AM D ' N B ' P
=

=
AB D ' D B ' C '

M , N, P

lần lượt lấy ba điểm

không trùng

.

( MNP ) / / ( AB ' D ')
a) Chứng minh rằng

.

( MNP )

b) Xác định thiết diện khi cắt bởi mặt phẳng

với hình hộp.

Lời giải.
AB, B ' C '
a) Do
⇒ AB ', MP, BC '

( α ) ,( β ) ,( γ )

chéo nhau và

AM
B'P
=
AB B ' C '

lần lượt nằm trong ba mặt phẳng

song song ( Theo định lí Thales đào).
AB '/ / ( β )
BC '/ / ( β )
BC '/ / AD '
Khi đó
và
mà
nên
AD '/ / ( β )

⇒ ( β ) / / ( AB ' D ' )

MP ⊂ ( β ) ⇒ MP / / ( AB ' D ')

mà
MN / / ( AB ' D ' )
Tương tự:
MN ∩ MP = { M }
Lại có
( MNP ) / / ( AB ' D ')
Vậy
b) Tự làm.

NHÓM 5

20