skkn giúp hs lớp 11b3 trường thpt lộc hưng phân tích và giải tốt toán hình học không gian về quan hệ song song bằng phương pháp phân loại thông qua một số bài tập thực hành

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TÂY NINH
TRƯỜNG THPT LỘC HƯNG
TỔ BỘ MÔN: TOÁN
GIÚP HỌC SINH LỚP 11B
3
TRƯỜNG THPT LỘC HƯNG
PHÂN TÍCH VÀ GIẢI TỐT
TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
VỀ QUAN HỆ SONG SONG
BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN LOẠI
THÔNG QUA MỘT SỐ BÀI TẬP THỰC HÀNH
NHÓM GIÁO VIÊN THỰC HIỆN:
Huỳnh Thò Hồng Anh
Huỳnh Nguyễn Hữu Thanh
Đề tài nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng Năm học: 2013 - 2014
Nhóm giáo viên Tổ Tốn Trường THPT Lộc Hưng Trang 2
Đề tài nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng Năm học: 2013 - 2014
1. Tóm tắt đề tài Trang 2
2. Giới thiệu Trang 3
2.1 Hiện trạng Trang 3
2.2 Giải pháp thay thế Trang 4
2.3 Vấn đề nghiên cứu Trang 4
2.4 Giả thuyết nghiên cứu Trang 5
3. Phương pháp Trang 5
3.1 Khách thể nghiên cứu Trang 5
3.2 Thiết kế nghiên cứu Trang 5
3.3 Quy trình nghiên cứu Trang 6
3.4 Đo lường Trang 6
4. Phân tích dữ liệu và bàn luận Trang 6
4.1 Phân tích dữ liệu Trang 6

4.2 Bàn luận Trang 7
5. Kết luận và khuyến nghị Trang 8
5.1 Kết luận Trang 8
5.2 Khuyến nghị Trang 8
Tài liệu tham khảo Trang 9
Phụ lục của đề tài Trang 10
A. Kế hoạch bài học Trang 10
I. Dạng tốn 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng Trang 10
II. Dạng tốn 2: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng. .Trang
18
III. Dạng tốn 3: Chứng minh đường thẳng song song mặt phẳngTrang
24
IV. Dạng tốn 4: Chứng minh hai mặt phẳng song song Trang 28
B. Đề và đáp án bài kiểm tra trước tác động Trang 36
Nhóm giáo viên Tổ Tốn Trường THPT Lộc Hưng Trang 3
MỤC LỤC
Đề tài nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng Năm học: 2013 - 2014
C. Đề và đáp án bài kiểm tra sau tác động Trang 38
D. Bảng tổng hợp điểm Trang 40
Phiếu đánh giá Trang 43
1. Tóm tắt đề tài :
Trong chương trình Tốn hình học lớp 11, phần kiến thức về hình học
khơng gian rất mới mẽ và trừu tượng đối với các em học sinh nhưng thời lượng
luyện tập trên lớp thì q ít ỏi, điều này gây khó khăn cho đa số học sinh, chỉ có
một số em vẽ hình và giải được một số bài tập trong SGK. Nhưng khi luyện tập
hoặc làm kiểm tra thì các em khơng những lúng túng về vẽ hình (nét liền, nét
đứt…) mà còn cách trình bày lời giải chưa chặt chẽ.
Khi giải một bài tốn về chứng minh quan hệ song song trong khơng gian
ngồi u cầu đọc kỹ đề bài, phân tích giả thuyết bài tốn, vẽ hình đúng ta còn
phải chú ý đến nhiều yếu tố khác như: Có cần xác định thêm các yếu tố khác

trên hình vẽ hay khơng? Hình vẽ như thế có tốt chưa? Có thể hiện được hết các
u cầu của đề bài hay chưa? Để giải quyết vấn đề này ta phải bắt đầu từ đâu?
Nội dung kiến thức nào liên quan đến vấn đề được đặt ra, trình bày nó như thế
nào cho chính xác và lơgic… có được như thế mới giúp chúng ta giải quyết
được nhiều bài tốn mà khơng gặp phải khó khăn. Ngồi ra chúng ta còn nắm
vững hệ thống lý thuyết, phương pháp chứng minh cho từng dạng tốn như: tìm
giao tuyến của hai mặt phẳng, tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng,
chứng minh ba điểm thẳng hàng, chứng minh ba đường thẳng đồng quy, chứng
minh hai đường thẳng song song, đường thẳng song song với mặt phẳng, hai
mặt phẳng song song.
Do đó, chúng tơi đã nghiên cứu và đưa ra giải pháp là phân loại, cung cấp
phương pháp và một số bài tập áp dụng để học sinh luyện tập trong các tiết học
tự chọn và phụ đạo nhằm giúp các em học tốt mơn hình học khơng gian về quan
hệ song song.
Nhóm giáo viên Tổ Tốn Trường THPT Lộc Hưng Trang 4
ĐỀ TÀI
Đề tài nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng Năm học: 2013 - 2014
Nghiên cứu được tiến hành trên lớp 11B3 là nhóm tác động; lớp 11B4 là
nhóm đối chứng. Kết quả cho thấy tác động đã có ảnh hưởng đến khả năng phân
tích bài, vẽ hình và giải tốt các dạng bài tập về quan hệ song song trong khơng
gian.
+ Điểm trung bình của nhóm trước tác đợng là: 5.7222222
+ Điểm trung bình của nhóm sau tác đợng là: 7.16666667
Kết quả kiểm tra T-test (độc lập) cho thấy:
P (của điểm bài kiểm tra trước tác đợng) = 0.30147
P (của điểm bài kiểm tra sau tác đợng) = 0.000418
Từ kết quả trên cho thấy rằng có sự khác biệt lớn đới với trung bình của
bài kiểm tra trước và sau tác đợng. Điều đó chứng tỏ rằng khi hướng dẫn học
sinh phân tích, phân loại và làm nhiều bài tập về quan hệ song song đã làm tăng
khả năng giải tốt tốn hình học khơng gian của học sinh.

2. Giới thiệu:
2.1 Hiện trạng:
Trong q trình giảng dạy chương trình Tốn hình học lớp 11, chúng tơi
nhận thấy rằng đa số học sinh lớp 11 cơ bản nói chung và học sinh lớp 11B3 nói
riêng rất e ngại học mơn hình học khơng gian vì các em nghĩ rằng nó rất trừu
tượng. Chính vì thế mà có rất nhiều học sinh học yếu mơn học này. Về phần
giáo viên cũng gặp khơng ít khó khăn khi truyền đạt nội dung kiến thức và
phương pháp giải các dạng bài tập hình học khơng gian.
Khi gặp các bài tốn liên quan đến việc chứng minh quan hệ song song
trong khơng gian đa số học sinh chưa phân loại và định hình được cách giải, nên
gặp khó khăn khi giải bài tập. Trong khi đó có rất nhiều dạng bài tập liên quan
đến chứng minh quan hệ song song trong khơng gian, nhưng chương trình hình
học lớp 11 khơng nêu cách giải tổng qt cho từng dạng và thời gian dành luyện
tập các dạng này lại rất ít. Qua q trình giảng dạy và kiểm tra định kỳ, chúng
tơi nhận thấy nhiều học sinh thường lúng túng khi vẽ hình hoặc trình bày cách
giải khơng rõ ràng hoặc có học sinh còn khơng làm được bài tập liên quan đến
việc chứng minh quan hệ song song trong khơng gian.
Nhóm giáo viên Tổ Tốn Trường THPT Lộc Hưng Trang 5
Đề tài nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng Năm học: 2013 - 2014
Qua nhiều năm giảng dạy mơn học này chúng tơi cũng đúc kết được một
số kinh nghiệm nhằm giúp các em tiếp thu kiến thức tốt hơn, từ đó chất lượng
giảng dạy cũng như kết quả học tập của học sinh ngày được nâng lên. Do đây là
phần nội dung kiến thức mới nên nhiều học sinh còn chưa quen với tính tư duy
trừu tượng, nên chúng tơi nghiên cứu nội dung này nhằm tìm ra những phương
pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh cũng nhằm tháo gỡ những
vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường gặp phải với mong muốn nâng dần
chất lượng giảng dạy tốn học nói chung và mơn hình học khơng gian nói riêng.
2.2 Giải pháp thay thế:
Để giải được bài hình học tốt theo chúng tơi nghĩ có một số giải pháp
tăng cường kỹ năng kiến thức cho học sinh đó là:

-Vẽ hình đúng – trực quan nó gợi mở và tạo điều kiện thuận lợi cho việc
giải các bài tốn và phát huy trí tưởng tượng khơng gian, phát huy tính tích cực
và niềm say mê học tập của học sinh. Vẽ đúng – trực quan hình vẽ giúp học sinh
tránh được các sai lầm đáng tiếc.
-Tăng cường vấn đáp nhằm giúp học sinh hiểu rõ các khái niệm trong
hình học khơng gian như: hình chóp; tứ diện; hình chóp đều; hình lăng trụ; hình
hộp; hình hộp chữ nhật; ….; quan hệ song song của hai đường thẳng; hai mặt
phẳng; đường thẳng và mặt phẳng,…
-Sử dụng đồ dùng dạy học một cách hợp lý như các mơ hình trong khơng
gian, các phần mềm giảng dạy,
-Dạy học theo các chủ đề, các dạng tốn, mạch kiến thức mà giáo viên
phân chia từ khối lượng kiến thức cơ bản của chương trình nhằm giúp học sinh
hiểu sâu các kiến thức mà mình đang có, vận dụng chúng một cách tốt nhất.
Từ các lý do trên chúng tơi đã mạnh dạn khai thác, hệ thống hố các kiến
thức và tổng hợp thành một kinh nghiệm: “Giúp HS lớp 11B3 Trường THPT
Lộc Hưng phân tích và giải tốt tốn hình học khơng gian về quan hệ song
song bằng phương pháp phân loại thơng qua một số bài tập thực hành”.
2.3 Vấn đề nghiên cứu:
Nhóm giáo viên Tổ Tốn Trường THPT Lộc Hưng Trang 6
Đề tài nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng Năm học: 2013 - 2014
Việc rèn kỹ năng phân loại và cung cấp một số bài tập về quan hệ song
song với nhiều dạng khác nhau để học sinh luyện tập thường xun có giúp học
sinh lớp 11 giải tốt các bài tốn hình học khơng gian về quan hệ song song
khơng?
2.4 Giả thuyết nghiên cứu:
Rèn kỹ năng phân loại và cung cấp một số bài tập về quan hệ song song
với nhiều dạng khác nhau để học sinh luyện tập thường xun đã giúp học sinh
lớp 11B3 Trường THPT Lộc Hưng giải tốt các bài tập liên quan về quan hệ
song song trong khơng gian.
3. Phương pháp:

3.1. Khách thể nghiên cứu:
Nghiên cứu được tiến hành trên hai nhóm đối tượng tương đương ở lớp
11B3 và 11B4 Trường THPT Lộc Hưng do giáo viên: Huỳnh Thị Hồng Anh
giảng dạy. Cụ thể như sau:
Tởng sớ và thành phần nam nữ của các nhóm.
Lớp Sớ học sinh các nhóm
Tởng sớ Nam Nữ
11B3 36 17 19
11B4 36 19 17
- Về ý thức học tập , tất cả học sinh ở hai nhóm đều tích cực và chủ động trong
học tập.
- Về chất lượng học tập của năm học trước, hai nhóm gần như tương đương
nhau về chất lượng bộ mơn tốn 10.
3.2. Thiết kế nghiên cứu:
Chọn 36 học sinh lớp 11B3 là nhóm thực nghiệm, 36 học sinh lớp 11B4 là
nhóm đối chứng. Dùng bài kiểm tra 15 phút làm bài kiểm tra trước và sau tác
Nhóm giáo viên Tổ Tốn Trường THPT Lộc Hưng Trang 7
Kết quả : Kiểm chứng để xác định các nhóm tương đương.
Thực nghiệm Đối chứng
ĐIỂM TRUNG BÌNH
5.7222222 5.52777778
p =
0.30147
Đề tài nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng Năm học: 2013 - 2014
động. Hai đề này có độ tương đương nhau. Do chọn thiết kế kiểm tra trước
và sau tác động đối với hai nhóm tương đương nên chúng tơi đã sử dụng
phép kiểm chứng T-test (độc lập) để kiểm chứng sự chênh lệch giữa điểm số
trung bình của hai bài kiểm tra trước và sau tác động.
p =0.30147 > 0.05, từ đó kết ḷn sự chênh lệch điểm sớ trung bình
của hai nhóm thực nghiệm và đới chứng là khơng có ý nghĩa, hai nhóm

được coi là tương đương.
Sử dụng thiết kế 2: Kiểm tra trước và sau tác đợng đới với các nhóm
tương đương.
3.3. Quy trình nghiên cứu:
* Chuẩn bị bài của giáo viên :
- Nhóm 1 là nhóm thực nghiệm : Thiết kế bài dạy có sử dụng
- Nhóm 2 là nhóm đối chứng : Thiết kế bài dạy khơng có sử dụng
* Tiến hành thực nghiệm :
Thời gian tiến hành thực nghiệm vẫn tn theo kế hoạch dạy và học
của nhà trường và theo thời khóa biểu bồi dưỡng và chính khóa để đảm bảo tính
khách quan .
3.4. Đo lường:
- Bài kiểm tra sau tác động.
- Tiến hành kiểm tra và chấm bài.
- Sau khi thực hiện dạy xong các kiến thức về quan hệ song song chúng tơi tiến
hành bài kiểm tra 15 phút. (Nội dung kiểm tra trình bày ở phần phụ lục)
4. Phân tích dữ liệu và bàn luận kết quả:
4. 1 Phân tích dữ liệu:
Nhóm giáo viên Tổ Tốn Trường THPT Lộc Hưng Trang 8
Đề tài nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng Năm học: 2013 - 2014
Phép kiểm chứng T-test so sánh các giá trị trung bình các bài kiểm tra giữa
nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng
Như trên đã chứng minh rằng kết quả hai nhóm trước tác động là tương
đương. Sau tác động kiểm chứng chênh lệch ĐTB bằng T-test cho kết quả p =
0.000418 cho thấy sự chênh lệch giữa điểm trung bình nhóm thực nghiệm và nhóm
đối chứng là rất có ý nghĩa, tức là chênh lệch kết quả ĐTB nhóm thực nghiệm cao
hơn nhóm đối chứng là khơng ngẫu nhiên mà do kết quả của tác động.
Chênh lệch giá trị trung bình chuẩn. SMD =1.029. Điều đó cho thấy mức
độ ảnh hưởng của việc dạy học sinh phân tích, phân loại và làm nhiều bài tốn về
quan hệ song song đối với nhóm thực nghiệm là rất lớn .

Biểu đồ so sánh điểm kiểm tra trước tác đợng (Điểm KT lần 1) và sau tác
động (Điểm KT lần 2) của nhóm thực nghiệm và nhóm đới chứng
Nhóm giáo viên Tổ Tốn Trường THPT Lộc Hưng Trang 9
So sánh điểm trung bình bài kiểm tra sau tác động:
Thực nghiệm Đối chứng
ĐTB
7.16666667 5.777778
Độ lệch chuẩn
1.95 1.35
Giá trị p của T-test
0.000418
Chênh lệch giá trị trung bình chuẩn
( SMD)
1.029
Đề tài nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng Năm học: 2013 - 2014
4
.
2 Bàn luận:
Kết quả bài kiểm tra sau tác động của nhóm thực nghiệm là TBC
=7.16666667, kết quả bài kiểm tra sau tác động của nhóm đối chứng là TBC
=5.777778. Điều đó cho thấy điểm TBC của hai lớp đối chứng và thực nghiệm đã có
sự khác biệt rõ rệt, lớp được tác động có điểm TBC cao hơn lớp đối chứng. Chênh
lệch giá trị trung bình chuẩn của hai bài kiểm tra là SMD =1.029. Điều này có mức độ
ảnh hưởng của tác động là lớn .
Phép kiểm chứng T-test ĐTB sau tác động của hai lớp là p =0.000418 <
0,05 . Kết quả này khẳng định sự chênh lệch ĐTB của hai nhóm khơng phải là do
ngẫu nhiên mà là do tác động.
5. Kết luận và khuyến nghị:
5.1 Kết luận:

Trên đây chỉ là một vài kinh nghiệm nhỏ được rút ra từ thực tế những
năm giảng dạy của bản thân chúng tơi. Phần giải các bài tốn về quan hệ song
song trong khơng gian cũng rất đa dạng, tuy nhiên với khả năng của mình,
chúng tơi chỉ đề cập đến một số dạng đơn giản mà các em thường gặp ở chương
trình lớp 11. Chúng tơi cũng chỉ đi sâu vào vấn đề nhỏ đó là hướng dẫn, giúp
các em có kỹ năng giải tốn trên mảng quan hệ song song trong khơng gian, bởi
vì muốn giải được bài tốn về hình khơng gian ngồi việc nắm vững hệ thống lý
thuyết các định nghĩa, định lý, hệ quả các phương pháp chứng minh học sinh
còn phải biết cách tư duy hình ảnh, kỹ năng vẽ hình.
Việc hướng dẫn học sinh phân tích, phân loại và làm các bài tập áp dụng
về quan hệ song song trong khơng gian đã giúp cho học sinh tự tin giải tốt các
bài tốn hình khơng gian, đồng thời cũng đã nâng dần kết quả học tập của học
sinh lớp 11B3.
5
.
2 Khuyến nghị:
- Đối với giáo viên: Nên nghiên cứu kĩ các phương pháp và nhiều dạng
bài tập về hình học khơng gian khác (như các dạng tốn về quan hệ vng góc
trong khơng gian ), chọn lọc sao cho phù hợp với đối tượng học sinh để hướng
Nhóm giáo viên Tổ Tốn Trường THPT Lộc Hưng Trang 10
Đề tài nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng Năm học: 2013 - 2014
dẫn học sinh nhằm nâng cao sự hiểu biết về mơn hình khơng gian, từ đó giúp
các em học tốt hơn về mơn hình học trong khơng gian.
- Với kết quả của đề tài này, bản thân chúng tơi rất mong đồng nghiệp
quan tâm, chia sẻ và đóng góp ý kiến để đề tài được hồn chỉnh hơn, nhằm giúp
chúng tơi từng bước hồn thiện phương pháp giảng dạy của mình. Đồng thời
các giáo viên bộ mơn tổ Tốn cũng có thể áp dụng cho học sinh lớp 11 của mình
đang giảng dạy nhằm giúp cho học sinh có nền tảng vững chắc về quan hệ song
song trong khơng gian.
1. Sách Hình học 11- Nhà xuất bản Giáo dục, năm 2007

của tác giả Trần Văn Hạo.
2. Sách Bài tập Hình học 11- Nhà xuất bản giáo dục, năm 2007
của tác giả Nguyễn Mộng Hy.
3. Sách Phân loại và phương pháp giải tốn hình học khơng gian lớp 11 - NXB
ĐH Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh, năm 2001
của tác giả Trần Văn Thương - Phạm Đình - Lê Văn Đỗ - Cao Quang Đức.
4. Sách Phân loại và hướng dẫn giải tốn hình học khơng gian 11 - NXB ĐH
Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh, năm 2005
của tác giả Lê Mậu Thống – Lê Mậu Thảo - Trần Đức Hun.
5. Sách Phân loại và phương pháp giải tốn hình học 11 - NXB Hà Nội, năm
2007 của tác giả Lê Mậu Thống – Lê Bá Hào.
Nhóm giáo viên Tổ Tốn Trường THPT Lộc Hưng Trang 11
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Đề tài nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng Năm học: 2013 - 2014
A. Kế hoạch bài học:
Hướng dẫn học sinh nắm phương pháp và cách giải các dạng tốn sau:
I. Dạng tốn 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Trước tiên giáo viên cần cho học sinh nắm được phương pháp giải dạng tốn
này.
I.1. Phương pháp:
* Cách 1: Tìm 2 điểm chung của hai mặt phẳng.
Nếu
( ) ( )
( ) ( )
A
B
α β
α β
∈ ∩



∈ ∩

thì
( ) ( )AB
α β
= ∩
(Hình 1)

Hình 1
- Trong cách này giáo viên cần rèn cho học sinh kỹ năng tìm điểm chung của
( )
α
và
( )
β
cụ thể: Chọn lấy đường thẳng a
( )
α
⊂
và đường thẳng b
( )
β
⊂
sao cho
a và b cùng nằm trên mặt phẳng thứ 3 và khơng song song.
* Cách 2: Tìm 1 điểm chung và song song với một đường thẳng.
Dựa vào các định lý sau:
* Định lý 2:(SGK trang 57) Nếu
( ) ( )

( ) ( )
( ) ( )
a
b
c
α γ
β γ
α β
∩ =


∩ =


∩ =

thì
/ / / /
, ,
a b c
a b c



đồng quy
(Hình
2,3)
Nhóm giáo viên Tổ Tốn Trường THPT Lộc Hưng Trang 12
PHỤ LỤC CỦA ĐỀ TÀI
Đề tài nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng Năm học: 2013 - 2014

* Hệ quả: Nếu
/ /
( ), ( )
( ) ( )
a b
a b
d
α β
α β


⊂ ⊂


∩ =

thì
/ / / /d a b
d a
d b





trùng với
trùng với
(Hình 4)
Hình 2 Hình 3 Hình 4
* Định lý 2 : (SGK trang 61) Nếu

/ /( )
( )
( ) ( )
a
a
b
α
β
α β


⊂


∩ =

thì a // b (Hình 5)
* Hệ quả : Nếu
( ) / /
( ) / /
( ) ( )
d
d
a
α
β
α β





∩ =

thì a // d (Hình 6)
* Định lý 3 : (SGK trang 67) Nếu
( ) / /( )
( ) ( ) a
α β
γ α


∩ =

thì
( ) ( )
/ /
b
a b
γ β
∩ =



(Hình 7)
Hình 5 Hình 6 Hình 7
* Nhận xét: Trong 2 cách trên giáo viên cần chú ý cho học sinh thơng
thường nếu phát hiện được 2 điểm chung trên hình vẽ thì dùng cách 1, còn nếu
chỉ phát hiện 1 điểm chung thì nên suy nghĩ theo cách 2 (dựa vào các định lý và
hệ quả trên).
I.2. Ví dụ cụ thể:

- Giáo viên nên đưa ra các bài tập dễ phát hiện hai điểm chung trước sau đó
hướng dẫn học sinh một cách tỉ mỉ để học sinh có thể hiểu rõ vấn đề hơn.
Ví dụ 1: Trong mp(
α
) cho tứ giác ABCD có AB và CD cắt nhau tại E, AC và
Nhóm giáo viên Tổ Tốn Trường THPT Lộc Hưng Trang 13
Đề tài nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng Năm học: 2013 - 2014
BD cắt nhau tại F. Gọi S là một điểm nằm ngồi mp(
α
). Tìm giao tuyến của
các mặt phẳng sau:
a) (SAB) và (SCD)
b) (SAC) và (SBD)
Hướng dẫn giải
- Với câu a): Giáo viên có thể đặt ra các câu hỏi để học sinh phát hiện:
Câu hỏi 1: Dựa vào tên gọi của hai mặt phẳng hãy xác định điểm chung thứ
nhất là điểm nào?
Với câu hỏi này học sinh dễ dàng phát hiện ra điểm chung thứ nhất là S.
S
∈
(SAB)
∩
(SCD).
Câu hỏi 2: Dựa vào hình vẽ tìm điểm chung thứ
hai của 2 mặt phẳng (SAB) và (SCD)? Vì sao?
Với câu hỏi này học sinh sẽ trả lời điểm chung
thứ hai là E vì:
Ta có:
( )
( ) ( ).

( )
E AB E SAB
E SAB SCD
E CD E SCD
 ∈ ⇒ ∈

⇒ ∈ ∩

∈ ⇒ ∈


Câu hỏi 3: Vậy (SAB) và (SCD) có giao tuyến là đường thẳng nào?
Ta có:
( ) ( )SE SAB SCD
= ∩
.
- Với câu b) tương tự cách làm câu a).
Học sinh có thể phát hiện ra ngay giao tuyến
là SF, nhưng với câu b) giáo viên cần u cầu
học sinh tự mình giải thích vì sao.
Có
( )
( ) ( ).
( )
F AC F SAC
F SAC SBD
F BD F SBD
 ∈ ⇒ ∈

⇒ ∈ ∩


∈ ⇒ ∈


Vậy
( ) ( )SF SAC SBD
= ∩
Ví dụ 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. H, K lần lượt
là trung điểm của BC và CD, M là điểm bất kỳ thuộc SA.
Nhóm giáo viên Tổ Tốn Trường THPT Lộc Hưng Trang 14
Đề tài nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng Năm học: 2013 - 2014
Xác định giao tuyến của (MHK) và (SAD).
Hướng dẫn giải
- Với Ví dụ 1 học sinh dễ dàng xác định
được 2 điểm chung nhưng với ví dụ 2 để xác
định được điểm chung thứ hai học sinh cần
linh hoạt vận dụng phương pháp.
- Giáo viên có thể đưa ra một số câu hỏi:
Câu hỏi 1: (MHK) và (SAD) có điểm chung
thứ nhất là điểm nào?
Với câu hỏi này học sinh dựa vào hình vẽ thấy
M
∈
(MHK)
∩
(SAD).
Câu hỏi 2: Để tìm điểm chung thứ hai ta chọn hai đường thẳng nào lần lượt
thuộc (MHK), (SAD) và cùng nằm trong mặt phẳng thứ ba mà chúng khơng
song song nhau?
Với câu hỏi này học sinh chọn hai đường thẳng là HK và AD cùng nằm trong

mặt thứ ba là (ABCD). Khi đó kéo dài HK và AD cắt nhau tại E.
Câu hỏi 3: Chứng minh E là điểm chung của (MHK) và (SAD)?
Ta có:
( )
( ) ( )
( )
E HK E MHK
E MHK SAD
E AD E SAD
∈ ⇒ ∈

⇒ ∈ ∩

∈ ⇒ ∈

.
Câu hỏi 4: (MHK) và (SAD) có giao tuyến là đường thẳng nào?
Ta có
( ) ( )ME MHK SAD= ∩
.
- Trong ví dụ 2 giáo viên nên nhấn mạnh cho học sinh ghi nhớ: Hai đường
thẳng trong khơng gian muốn cắt nhau thì chúng phải cùng thuộc một
mặt phẳng và khơng song song.
-Sau đó giáo viên phân lớp thành bốn nhóm để thảo luận Ví dụ 3 và Ví dụ 4 sau
đây:
Nhóm 1: Vẽ hình và xác định các giả thuyết trên hình vẽ
Nhóm 2: Đặt các câu hỏi gợi mở cách làm bài cho từng câu
Nhóm 3: Đưa ra các câu trả lời tương ứng
Nhóm 4: Tóm tắt trình bày lời giải từng câu lên bảng
Nhóm giáo viên Tổ Tốn Trường THPT Lộc Hưng Trang 15

Đề tài nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng Năm học: 2013 - 2014
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thang (AB // CD). Tìm
giao tuyến của các mặt phẳng sau:
a) (SAD) và (SBC). b) (SAB) và (SDC).
Lời giải:
a) Ta có S là điểm chung thứ nhất.
Trong mp(ABCD) có AD cắt BC tại E
( )
( )
E AD E SAD
E BC E SBC
∈ ∈
 
⇒ ⇒
 
∈ ∈
 
Suy ra : SE = (SAD) ∩ (SBC).
b) Ta có S là điểm chung thứ nhất.
Lại có:
( )
( ) ( ) ( ) thì / / / / .
/ /
x x
AB SAB
CD SCD SAB SCD S S AB CD
AB CD
⊂



⊂ ⇒ ∩ =




Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là trung điểm của AD và BC.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (JAD).
b) M là một điểm trên đoạn AB, N là một điểm trên đoạn AC.
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (DMN).
Lời giải:
a) Ta có: I ∈ AD ⇒ I ∈ (JAD). Vậy I là
điểm chung của 2 mp (IBC) và (JAD) (1)
Ta có: J ∈ BC ⇒ J ∈ (IBC). Vậy J là
điểm chung của 2 mp (IBC) và (JAD) (2)
Từ (1) và (2) ta có : IJ = (IBC) ∩ (JAD).
b) Trong mp(ACD) có : CI cắt DN tại E.
Vậy E là điểm chung của hai mp(IBC) và
(DMN). (3)
Trong mp(ABD) có : BI cắt DM tại F.
Nhóm giáo viên Tổ Tốn Trường THPT Lộc Hưng Trang 16
Đề tài nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng Năm học: 2013 - 2014
Vậy F là điểm chung của hai mp(IBC) và (DMN). (4)
Từ (3) và (4) ta có : EF = (IBC) ∩ (DMN).
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi. Gọi O là giao
điểm hai đường chéo AC và BD. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt
phẳng
( )
α
đi qua O, song song với AB và SC.
* Nhận xét : GV cần cho học sinh hiểu rõ các điều kiện của

( )
α
và cần xác định
giao tuyến của
( )
α
với các mặt của hình chóp. Khi làm bài học sinh sẽ lúng
túng khơng biết xác định giao tuyến với mặt phẳng nào trước. Khi đó giáo viên
cần chỉ cho học sinh nên ưu tiên với những mặt phẳng chứa điểm
( )
α
đi qua và
chứa đường thẳng mà
( )
α
song song.
* Hướng dẫn giải
Giáo viên có thể đưa ra các câu hỏi để gợi ý học sinh
Câu hỏi 1: Xác định giao tuyến của
( )
α
với mặt phẳng nào trước?
+ Xác định giao tuyến của
( )
α
với (ABCD)
Câu hỏi 2: Mặt phẳng
( )
α
và (ABCD) có những

điểm chung nào?
Thấy O
∈

( ) ( )
ABCD
α
∩
Câu hỏi 3: Xác định giao tuyến của
( )
α
với
(ABCD) ta làm thế nào? Vì sao?
Thấy
( )
( )
/ /AB
AB ABCD
α


⇒

⊂


Theo Định lý 2 (SGK –
Trang 61) có giao tuyến của
( )
α

và (ABCD) phải song song với AB.
Từ O kẻ đường thẳng d // AB, d
∩
BC = N, d
∩
AD = M
Vậy
( ) ( )
d ABCD
α
= ∩
hay đoạn giao tuyến là MN.
Nhóm giáo viên Tổ Tốn Trường THPT Lộc Hưng Trang 17
Đề tài nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng Năm học: 2013 - 2014
+ Xác định giao tuyến của
( )
α
với (SBC)
Câu hỏi 4: Xác định được mấy điểm chung và đó
là điểm nào?
Thấy N
∈

( )
( )SBC
α
∩
Câu hỏi 5: (SBC) và
( )
α

có quan hệ gì?
Thấy
( )
( )
//SC
SC SBC
α



⊂


Câu hỏi 6: Xác định giao tuyến của
( )
α
và (SBC)
bằng cách nào?
Nên giao tuyến của
( )
α
và (SBC) phải song song với SC.
Từ N kẻ d’ // SC cắt SB tại P. Vậy
( )
( )SBC
α
∩
= d’ hay đoạn giao tuyến là NP.
+ Xác định giao tuyến của
( )

α
với
( )SAB
Câu hỏi 7: Xác định được mấy điểm chung và đó là điểm nào?
Thấy P
∈

( )
( )SAB
α
∩
Câu hỏi 8 : (SAB) và
( )
α
có quan hệ gì?
Thấy
( )
( )
//AB
AB SAB
α



⊂


Câu hỏi 9 : Xác định giao tuyến của
( )
α

và (SAB)
bằng cách nào?
Nên giao tuyến của
( )
α
và (SAB) phải song song
với AB.
Từ P kẻ d’’// AB cắt SA tại Q. Vậy d’’ =
( )
( )SAB
α
∩
hay đoạn giao tuyến là PQ.
+ Xác định giao tuyến của
( )
α
với
( )SAD
Câu hỏi 10:
( )
α
và (SAD) có mấy điểm chung và
đó là những điểm nào?
Thấy M
∈

( )
( )SAD
α
∩

và Q
∈

( )
( )SAD
α
∩
Nhóm giáo viên Tổ Tốn Trường THPT Lộc Hưng Trang 18
Đề tài nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng Năm học: 2013 - 2014
Câu hỏi 11:
( )
( )SAD
α
∩
là đoạn giao tuyến nào?
Vậy
( )
( )SAD
α
∩
theo đoạn giao tuyến là MQ.
Câu hỏi 12: Xác định thiết diện?
Thiết diện là hình thang MNPQ.
-Tiếp theo giáo viên phân lớp thành bốn nhóm để thảo luận Ví dụ 6 sau đây:
Nhóm 1: Vẽ hình và xác định các giả thuyết trên hình vẽ
Nhóm 2: Đặt các câu hỏi gợi mở cách làm bài cho từng câu
Nhóm 3: Đưa ra các câu trả lời tương ứng
Nhóm 4: Tóm tắt trình bày lời giải từng câu lên bảng
Ví dụ 6: Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ và các điểm M , N lần lượt thuộc các
cạnh AB, DD’( M, N khơng trùng với các đầu mút A,B ,D ,D’của các cạnh ).

Hãy xác định thiết diện của hình hộp bị cắt bởi mặt phẳng (MNB)? Thiết diện là
hình gì ?
Lời giải:
Ta có : (MNB)
∩
(AA’B’B)= MB=BA
(MNB)
∩
(AA’D’D) = AN
(MNB)
∩
(DD’C’C) = NL
(trong đó L = Nx
∩
CC’, L
∈
Nx // DC )
(MNB)
∩
(BB’C’C) = LB
⇒
thiết diện là tứ giác ABLN.
Mặt khác: NL //= DC; DC //= AB
⇒
NL //= AB
Nên thiết diện ABLN là hình bình hành.
I.3. Bài tập đề nghị:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy khơng phải hình thang.Tìm các giao
tuyến sau:
a) (SAC)


(SBD) b) (SAB)

(SCD) c) (SAD)

(SBC)
Nhóm giáo viên Tổ Tốn Trường THPT Lộc Hưng Trang 19
Đề tài nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng Năm học: 2013 - 2014
Bài 2: Cho tứ diện ABCD.Trên các cạnh AB,AC lần lượt lấy các điểm M,N sao
cho MN khơng song song BC,trong tam giác BCD lấy điểm I. Tìm các giao
tuyến sau:
a) (MNI)

(ABC) b) (MNI)

(BCD)
c) (MNI)

(ABD) d) (MNI)

(ACD)
Bài 3: Cho tứ diện ABCD.Trong 2 tam giác ABC và BCD lấy 2 điểm M,N. Tìm
các giao tuyến sau:
a) (BMN)

(ACD) b) (CMN)

(ABD) c) (DMN)

(ABC)

Bài 4: Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm I, trong 2 tam giác BCD và
ACD lần lượt lấy 2 điểm J,K.Tìm các giao tuyến sau:
a) (ABJ)

(ACD) b) (IJK)

(ACD)
c) (IJK)

(ABD) d) (IJK)

(ABC)
Bài 5: Cho tứ diện ABCD với I là trung điểm BD. Gọi E, F là trọng tâm các
tam giác ABD và CBD. Tìm giao tuyến của:
a) (IEF) và (ABC) b) (IAF) và (IEC)
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD, có ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N,
P lần lượt là trung điểm của BC, CD, SO. Tìm giao tuyến của mp(MNP) với các
mặt phẳng (SAB), (SAD), (SBC) và (SCD).
Bài 7: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J và K lần lượt là các điểm trên cạnh AB, BC
và CD sao cho
1 2 4
, ,
3 3 5
AI AB BJ BC CK CD= = =
. Tìm giao tuyến của (IJK) và
(ABD).
II. Dạng tốn 2: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

II.1. Phương pháp:
Để tìm giao điểm của d và

( )
α
ta có thể thực hiện theo hai cách sau:
* Cách 1: Muốn tìm giao điểm của đường thẳng d với mp(α) ta tìm giao điểm
của đường thẳng d với một đường thẳng a nằm trên mp(α).
Tóm tắt : Nếu
( )
A d
A a
α
∈


∈ ⊂

thì A = d ∩ (α) (Hình 8)
Nhóm giáo viên Tổ Tốn Trường THPT Lộc Hưng Trang 20
Đề tài nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng Năm học: 2013 - 2014

* Cách 2: Nếu
đường thẳng a
chưa có trên hình vẽ thì ta tìm a như sau:
+ Bước 1: Chọn mặt phẳng
( )
β
chứa d (Nên chọn mặt phẳng
( )
β
sao cho dễ
tìm giao tuyến với

( )
α
)
+ Bước 2: Xác định giao tuyến
( )
a
α
=
∩
( )
β
.
+ Bước 3: A =
a d∩
+ Bước 4: Chứng minh A = d
∩

( )
α
. (Hình 9)
* Nhận xét: Vấn đề của bài tốn là xác định cho được đường thẳng a. Nhiệm vụ
của giáo viên là hướng dẫn, gợi mở cho học sinh biết cách tìm đường thẳng a và
chọn mp(β) sao cho phù hợp với từng u cầu của bài tốn trong trường hợp
đường thẳng a chưa có trên hình vẽ.
II.2. Ví dụ cụ thể:
- Với dạng tốn này trước hết giáo viên nên cho học sinh làm một ví dụ đơn
giản để học sinh có thể hình dung ra các bước làm đối với dạng tốn này.
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm của AB, N là điểm thuộc
cạnh AD sao cho
2

3
AN AD=
. Xác định giao điểm của MN với mặt phẳng
(BCD).
* Nhận xét : - HS dễ dàng phát hiện ra đường thẳng a chính là đường thẳng
BD.
- GV cần lưu ý cho học
sinh điều kiện để hai đường thẳng cắt
nhau là hai đường thẳng phải cùng nằm
trên một mặt phẳng và khơng song song
* Hướng dẫn giải
Nhóm giáo viên Tổ Tốn Trường THPT Lộc Hưng Trang 21
Đề tài nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng Năm học: 2013 - 2014
Cách 1:Trong ∆ABD có:
2
3
AN AD=
và
1
2
AM AB=
, suy ra MN khơng song
song BD.
Gọi
( )
E MN
E MN BD
E BD BCD
∈


= ∩ ⇒

∈ ⊂

Vậy E = MN ∩ (BCD).
Cách 2 :
Câu hỏi 1: Chọn mặt phẳng chứa MN là mặt phẳng nào?
- Với câu hỏi này học sinh dễ dàng chọn được mặt phẳng là mặt phẳng (ABD).
Câu hỏi 2: Xác định giao tuyến của (ABD) và (BCD)?
Ta dễ thấy BD = (ABD)
∩
(BCD).
Gọi E = MN
∩
BD.
Câu hỏi 3: Chứng minh E = MN
( )BCD
∩
?
Ta có
( )
( )
E MN
E MN BCD
E BD E BCD
∈

⇒ = ∩

∈ ⇒ ∈


.
- Sau khi học sinh đã hiểu được các bước làm thì giáo viên có thể giao bài tập
khó hơn. Cụ thể:
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB. Gọi
I, J lần lượt là trung điểm của SA và SB, M là một điểm tùy ý thuộc đoạn SD.
a) Tìm giao điểm của đường thẳng BM với mp(SAC).
b) Tìm giao điểm của đường thẳng IM với mp (SBC).
c) Tìm giao điểm của đường thẳng SC với mp(IJM).
* Nhận xét: Câu a) HS dễ nhầm lẫn đường BM cắt SC. Khơng nhìn ra được
đường thẳng nào nằm trong mp(SAC) để cắt được BM.
Câu b) HS gặp khó khăn khi khơng
nhìn ra được đường nào nằm trong mp(SBC) để
cắt IM.
* Hướng dẫn giải:
a) Với ý a) ta dễ dàng thực hiện từng bước. Giáo
viên có thể gợi ý học sinh bằng cách đặt ra các câu
hỏi:
Nhóm giáo viên Tổ Tốn Trường THPT Lộc Hưng Trang 22
Đề tài nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng Năm học: 2013 - 2014
Câu hỏi 1: Chọn mặt phẳng nào chứa BM mà dễ xác định giao tuyến với mp
(SAC)?
Với câu hỏi này học sinh sẽ xác định được mp cần chọn là mp (SBD).
Câu hỏi 2: Xác định giao tuyến của (SBD) và (SAC)?
Với bước này học sinh sẽ xác định được 2 điểm chung của (SAC) và (SBD).
Dễ thấy S
∈
(SAC)
∩
(SBD).

Gọi O = AC
∩
BD. Khi đó O
∈
(SAC)
∩
(SBD).
Vậy SO = (SAC)
∩
(SBD)
Câu hỏi 3: Xác định giao điểm E của SO và BM?
Câu hỏi 4: Chứng minh E = BM
∩
(SAC)?
Với bước này học sinh sẽ xác định được ngay điểm E vì SO và BM cùng thuộc
mp (SBD).
Gọi E = SO
∩
BM.
Khi đó
( )
( ) ( )
E BM
E BM SAC
E SO SAC E SAC
∈

=> = ∩

∈ ⊂ ⇒ ∈


.
b) Giáo viên nên đặt các câu hỏi để phát hiện vấn đề.
Câu hỏi 5: Mặt phẳng chứa IM và dễ xác định giao tuyến với (SBC) là mặt
phẳng nào?
Chọn mặt phẳng (SAD) chứa IM
Câu hỏi 6: Xác định (SAD)
∩
(SBC)?
Ta có S
∈
(SAD)
∩
(SBC).
Gọi P = AD
∩
BC. Khi đó
( )
( )
P AD P SAD
P BC P SBC
∈ ⇒ ∈


∈ ⇒ ∈

=> P
∈
(SAD)
∩

(SBC).
Vậy SP = (SAD)
∩
(SBC).
Gọi F = SP
∩
IM
Câu hỏi 7: Chứng minh F = IM
∩
(SBC)?
Ta có
( ) ( )
F IM
F SP SBC F SBC
∈


∈ ⊂ => ∈


=> F = IM
∩
(SBC).
Nhóm giáo viên Tổ Tốn Trường THPT Lộc Hưng Trang 23
Đề tài nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng Năm học: 2013 - 2014
c) Với ý c) học sinh sẽ khó phát hiện và tìm ra được
mặt phẳng chứa SC, giáo viên cần hướng dẫn để học
sinh có thể phát hiện ra được mặt phẳng cần xét.
Câu hỏi 8: Trong hình vẽ có nhiều mặt phẳng chứa
SC hãy chọn 1 mặt phẳng mà dễ xác định giao tuyến

với (IJM)?
Học sinh sẽ chọn được mặt phẳng là (SBP).
Câu hỏi 9: Xác định (SBP)
∩
(IJM)?
Thấy J
∈
(SBP)
∩
(IJM) ( Vì
J SB
∈
)
Mặt khác
(IJ ) ( )
F IM
F M SBP
F SP
∈

⇒ ∈ ∩

∈

Vậy JF = (SBP)
∩
(IJM)
Gọi K = SC
∩
JF

Câu hỏi 10: Chứng minh K = SC
∩
(IJM)?
Thấy
(IJ )
(IJ ) (IJ )
K SC
K SC JF K SC M
K JF M K M
∈

= ∩ => => = ∩

∈ ⊂ ⇒ ∈

- Tiếp theo giáo viên phân lớp thành bốn nhóm để thảo luận Ví dụ 3 sau đây:
Nhóm 1: Phân tích và giải câu a.
Nhóm 2: Phân tích và giải câu b.
Nhóm 3: Phân tích và giải câu c.
Nhóm 4: Phân tích và giải câu d,e.
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có AB và CD khơng song song. Gọi M là
điểm thuộc miền trong của ∆SCD.
a) Tìm giao điểm N của đường thẳng CD và mp(SBM)
b) Tìm giao tuyến của hai mp(SBM) và (SAC)
c) Tìm giao điểm I của đường thẳng BM và mp(SAC)
d) Tìm giao điểm P của đường thẳng SC và mp(ABM), từ đó suy ra giao
tuyến của hai mp(SCD) và (ABM).
e) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(ABM).
Nhóm giáo viên Tổ Tốn Trường THPT Lộc Hưng Trang 24
Đề tài nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng Năm học: 2013 - 2014

Lời giải :
a) Trong mp(SCD) có SM cắt CD
tại N.
( )
( )
N SM N SBM
N CD SBM
N CD N CD
∈ ∈
 
⇒ ⇒ ⇒ = ∩
 
∈ ∈
 
b) Trong mp(ABCD), ta có:
AC ∩ BN = O
( )
( ) ( )
( )
O AC O SAC
SO SAC SBN
O BN O SBN
∈ ∈
 
⇒ ⇒ ⇒ = ∩
 
∈ ∈
 
c) Trong mp(SBN), ta có
BM cắt SO tại I.

Mà SO ⊂ (SAC) ⇒ I = BM ∩ (SAC).
d) Trong mp(SAC), ta có SC cắt AI tại P
Mà AI ⊂ (ABM) ⇒ P = SC ∩ (ABM)
Trong mp(SCD), ta có PM cắt SD tại K.
( )
( ) ( )
( )
K PM K ABM
PK ABM SCD
K SD K SCD
∈ ∈
 
⇒ ⇒ ⇒ = ∩
 
∈ ∈
 
e) Ta có : (ABM) ∩ (ABCD) = AB
(ABM) ∩ (SBC) = BP
(ABM) ∩ (SCD) = PK
(ABM) ∩ (SAD) = KA
Vậy tứ giác ABPK là thiết diện cần tìm.
II.3. Bài tập đề nghị:
Bài 1: Cho tứ diện SABC. Gọi I và H lần lượt là trung điểm của SA và AB.
Trên đoạn SC ta lấy điểm K sao cho CK = 3KS
Nhóm giáo viên Tổ Tốn Trường THPT Lộc Hưng Trang 25