CHUYÊN ĐỀ: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

CHUYÊN ĐỀ: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số (2 tiết).
Bài 2: Cực trị của hàm số (2 tiết)
Bài 3: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số (2 tiết)
Bài 4: Đường tiệm cận (1 tiết)
Bài 5: Đồ thị (1 tiết)
Bài 6: Một số bài toán liên quan (2 tiết).
ĐẶT VẤN ĐỀ
Chương ứng dụng của đạo hàm để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm s ố là m ột ch ủ đ ề quan
trọng trong chương trình toán THPT đặc biệt là chương trình toán l ớp12. Khi h ọc ch ương này giúp cho
người học phát triển được rất nhiều khả năng như khả năng quan sát, khả năng nh ận đ ịnh đ ặc bi ệt là
khả năng tư duy lôgic. Do vai trò quan trọng c ủa ch ương nên nó th ường xu ất hi ện trong các đ ề ki ểm
tra học kỳ lớp 12, đề thi chuyên đề lớp 12 của các trường THPT, đ ề thi h ọc sinh gi ỏi c ấp t ỉnh l ớp 12,
đặc biệt là đề thi THPTQG. Trong đề thi THTQG năm 2019 thì chương khảo sát hàm số có 10 câu trên
50 câu trong đề thi chiếm 20%, cụ thể: 4 câu mức độ nhận bi ết, 3 câu m ức đ ộ thông hi ểu, 1 câu m ức
độ vận dụng, 2 câu mức độ vận dụng cao.
Vì vậy để giúp học sinh có một cái nhìn t ổng thể về ch ủ đề này và n ắm đ ược các d ạng toán th ường
gặp và phương pháp giải nên tôi chọn chủ đề: “ Ứng dụng đạo hàm để khảo sát sự biến thiên và vẽ
đồ thị hàm số”
Nội dung chuyên đề: Gồm 6 bài
Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số (2 tiết).
Bài 2: Cực trị của hàm số (2 tiết)
Bài 3: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số (2 tiết)
Bài 4: Đường tiệm cận (1 tiết)
Bài 5: Đồ thị (1 tiết)
Bài 6: Một số bài toán liên quan (2 tiết).
Trong mỗi bài tôi đưa ra kiến thức cơ bản cần nhớ và có hệ thống bài t ập cùng h ướng d ẫn gi ải đ ược
phân theo các mức độ nhận biết, thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao theo đúng t ỷ l ệ c ủa ma tr ận
đề thi THPTQG. Ngoài ra kết thúc mỗi bài đều có bài t ập tự luy ện cũng đ ược phân theo các m ức đ ộ.
Kết thúc chuyên đề chúng tôi có bài kiểm tra đánh giá 1 tiết.

1


BÀI 1: HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN- HÀM SỐ NGHỊCH BIẾN( 2 TIẾT)
A. Kiến thức cần nhớ :
1. Định nghĩa : Cho hàm số y = f ( x) xác định trên K
a) Hàm số y = f ( x) đồng biến trên K nếu x1 , x2 �K : x1  x2 � f ( x1 )  f ( x2 )
b) Hàm số y = f ( x) nghịch biến trên K nếu x1 , x2 �K : x1  x2 � f ( x1 )  f ( x2 )
Chú ý : K là một khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng
2. Định lý : Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên K

a) Nếu f '( x)  0, x �K thì hàm số f ( x ) đồng biến trên K
b) Nếu f '( x)  0, x �K thì hàm số f ( x) nghịch biến trên K
3. Định lý mở rộng : Giả sử hàm số y  f ( x) có đạo hàm trên K
a) Nếu f '( x) �0, x �K và f '( x )  0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên K

b) Nếu f '( x) �0, x �K và f '( x )  0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên K
c) Nếu f '( x)  0, x �K thì f ( x ) khơng đổi trên K
4. Một số dạng tốn thường gặp
Dạng 1: Xét chiều biến thiên của hàm số
Bài tốn: Xét sự biến thiên của hàm số y = f(x).
Phương pháp: Ta thực hiện các bước sau:
B1: Tìm miền xác định của hàm số.
B2: Tính đạo hàm f ’(x), rồi giải phương trình f ‘(x) = 0.
B3: Lập bảng biến thiên của hàm số.
B4: Kết luận.
Ví dụ: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số: y= x4-2x2+3
D=R
y’ = 4x3-4x; y’=0x=0,x=1,x= -1
BBT:

Hs đb trên các khoảng (-1;0), (1;+ �)
Hs nb trên các khoảng (- �;-1), (0;1)
Dạng 2: Sự biến thiên của hàm số trên một miền.
Bài tốn: Xác định m để hàm số y = f(x, m) đồng biến (hay nghịch biến) trên khoảng I.
Phương pháp: Ta thực hiện các bước sau:
B1: Tìm miền xác định của hàm số.
B2: Tính đạo hàm f ‘(x).
B3: Lập luận cho một số trường hợp (tương tự cho tính nghịch biến) như sau:
xa�
c�
�
nh v�
�
i mo�
i x.
�Hàm so�
��
u�
a�
ng th�
�
c ch�
xa�
y ra ta�
i h�
�
u ha�
n�
ie�

m.
�f '( x) �0 x, da�
Hàm số đồng biến trên R
c đònh vớ
i mọi x �(a, b).
�Hàm sốxá
�
� �f '( x) �0 x �(a, b)
�( dấ
u đẳ
ng thứ
c chỉxả
y ra tại hữ
u hạn điể
m củ
a(a,b) ).
Hàm số đồng biến trên (a, b) �
Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng k. � f ‘(x) x �[a  k , a ], đẳng thức chỉ xảy tại hữu hạn điểm

của [a – k, a] và x �[a – k, a] khơng thoả mãn.

2


B. Luyện tập
 Mức độ nhận biết
y = f ( x)

xác định và có đạo hàm trên K . Khẳng định nào sau đây là sai?
y = f ( x)

f ' x �0, " x �K.
A. Nếu hàm số
đồng biến trên khoảng K thì ( )
f ' x > 0, " x �K
f x
B. Nếu ( )
thì hàm số ( ) đồng biến trên K.
Câu 1: Cho hàm số

f '( x) �0, " x �K

f x
thì hàm số ( ) đồng biến trên K.
f ' x �0, " x �K
f ' x =0
D. Nếu ( )
và ( )
chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên K.
HD: Đáp án C
Câu 2: Cho hàm số y  f ( x ) có bảng biến thiên như sau

C. Nếu

Hàm số y  f ( x ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây
A. (2; 0) .
B. ( �; 2) .
C. (0; 2) .

D. (0; �) .

HD: Đáp án A

 2;0  và  2; � .
Quan sát bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên các khoảng
1
y  x 3  2x 2  3x  1
3
Câu 3: Tìm tất cả các khoảng đồng biến của hàm số
 1;3
A.
HD: Đáp án B

B.

 �;1

và  3; �

y '  x 2  4x  3  0 � x � �;1 � 3; �

Câu 4: Cho hàm số

y

C.

 1; �

. Nên hàm số đồng biến trên

D.

 �;3

 �;1

và  3; �

x2
.
x  1 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên
C. Hàm số đồng biến trên

 �; 1 .

B. Hàm số đồng biến trên

 �; � .

 �; 1 .

D. Hàm số nghịch biến trên

 1; � .

HD: Đáp án B

y

x2
3
� y' 
 0, x.
2
x 1
 x  1

 1;3 ?
Câu 5: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên
x2  2x  1
1
y
y  x3  2x2  3x  1
2
x 2
3
A.
B.
C. y  x  1
HD: Đáp án B
y�
 x 2  4 x  3. y�
�0 � x � 1;3
Có
nên ý B là thỏa mãn.
3
2
Câu 6: Tìm khoảng đồng biến của hàm số y  x  3x  9x.

 1;3
 3; 1
A.
B.
HD: Đáp án C
y�
 3 x 2  6 x  9; y�
�0 � x � 1;3

C.
. Vậy trên

 1;3

 1;3

D.

D.

y

x1
x 2

 �; �

thì hàm số đồng biến
3

y=

x3
- x2 + x
3
.

Câu 7: Cho hàm số
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
�
A. Hàm số đã cho đồng biến trên .
- �;1)
B. Hàm số đã cho nghịch biến trên (
.
1;+�)
- �;1)
C. Hàm số đã cho đồng biến trên (
và nghịch biến trên (
.
- �;1)
1;+�)
(
(
D. Hàm số đã cho đồng biến trên
và nghịch biến
.
2
/
2

/
Lời giải. Đạo hàm: y = x - 2x +1= ( x - 1) �0, " x �� và y = 0 � x = 1.

Suy ra hàm số đã cho luôn đồng biến trên �. Chọn A.

3
2
Câu 8: Hàm số y = x - 3x - 9x + m nghịch biến trên khoảng nào được cho dưới đây?
- 1;3)
- �;- 3)
1;+�)
A. (
.
B. (
hoặc (
.
- �;- 1)
3;+�)
C. �.
D. (
hoặc (
.

/
2
Lời giải. Ta có: y = 3x - 6x - 9.
/
2
Ta có y �0 � 3x - 6x- 9 �0 � - 1�x �3 .

- 1;3)
Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (
. Chọn A.
Câu 9: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên toàn trục số?
3
2
A. y = x - 3x .
3

3
2
B. y = - x + 3x - 3x + 2 .
3

C. y = - x + 3x +1. D. y = x .
HD: Đáp án B
3
Để hàm số nghịch biến trên toàn trục số thì hệ số của x phải âm. Do đó A & D không thỏa mãn.
2
2
Xét B: Ta có y' = - 3x + 6x - 3 = - ( x - 1) �0, " x �� và y' = 0 � x = 1 .
Suy ra hàm số này luôn nghịch biến trên �.
y = f ( x)
Câu 10: Cho hàm số
liên tục trên � và có bảng biến thiên như sau:

5

Trong các mệnh đề sau, có bao nhiêu mệnh đề sai?
- �;- 5)

- 3;- 2)
I. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (
và (
.
- �;5)
(
II. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
.

).
III.Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (
- �;- 2)
IV. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (
.
3
1
2
A. .
B. .
C. .
HD: Đáp án A
- 2;+�

D. 4 .

- �;- 2)
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (
; nghịch biến trên
2;
+�

).
khoảng (

Suy ra II. Sai; III. Đúng; IV. Đúng.
- �;- 3)
- �;- 5)
Ta thấy khoảng (
chứa khoảng (
nên I Đúng.
Vậy chỉ có II sai.
y = f ( x)
Câu 11: Cho hàm số
xác định, liên tục trên � và có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau
đây là sai?
4


1;+�) .
A. Hàm số đồng biến trên (
- �;- 1)
B. Hàm số đồng biến trên (
và
( 1;+�) .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng
( - 1;1) .
D. Hàm
số
đồng
biến
trên

( - �;- 1) �( 1;+�) .

HD: Đáp án D
- �;- 1)
1;+�)
- 1;1)
Dựa vào đồ thị ta có kết quả: Hàm số đồng biến trên (
và (
, nghịch biến trên (
nên các
khẳng định A, B, C đúng.
a;b
Theo định nghĩa hàm số đồng biến trên khoảng ( ) thì khẳng định D sai.

Ví dụ: Ta lấy

- 1,1�( �;- 1) , 1,1�( 1;+�) : - 1,1< 1,1

f - 1,1) > ( 1,1) .
nhưng (

f x
Câu 12: Cho hàm số ( ) liên tục trên � và có đồ thị như
hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?
- �;0)
0;+�)
A. Hàm số đồng biến trên (
và (
.
- 1;0) �( 1;+�) .

B. Hàm số đồng biến trên (
- �;- 1)
1;+�) .
C. Hàm số đồng biến trên (
và (
- 1;0)
1;+�) .
D. Hàm số đồng biến trên (
và (

HD: Đáp án B
 Mức độ thông hiểu
3
2
Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  x  3x  mx  m đồng biến trên khoảng
 �; � .

A. m �11
HD: Đáp án B
 3x2  6 x  m
Có y�
Hàm số đồng biến trên R

C. 1�m �3

B. m �3

۳��
y� 0,
x�۳R

'

9 3m 0

D. m  3

m 3

y = f ( x)
- 1;2)
y = f ( x + 2)
Câu 2: Nếu hàm số
đồng biến trên khoảng (
thì hàm số
đồng biến trên khoảng
nào trong các khoảng sau đây?
- 1;2)
1;4
- 3;0)
- 2;4)
A. (
.
B. ( ) .
C. (
.
D. (
.
HD: Đáp án C
y = f ( x)

y = f ( x + 2)
Tịnh tiến đồ thị hàm số
sang trái 2 đơn vị, ta sẽ được đồ thị của hàm số
. Khi đó, do
- 1;2)
- 3;0)
y = f ( x + 2)
liên tục và đồng biến trên khoảng (
nên hàm số
đồng biến trên (
.
x + 2 �1
;2
��
�1
<
x
+
2
<
2
�
3
<
x
<
0.
(
)
Cách trắc nghiệm nhanh. Ta ốp

hàm số

y = f ( x)

2
Câu 3: Cho hàm số y = 1- x . Khẳng định nào sau đây là đúng?
0;1
A. Hàm số đã cho đồng biến trên [ ]

B. Hàm số đã cho đồng biến trên toàn tập xác định
0;1
C. Hàm số đã cho nghịch biến trên [ ]
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên toàn tập xác định.
HD: Đáp án C
5


Tập xác định

D = [- 1;1]

- x

y' =

; y' = 0 � x = 0

1- x2

. Đạo hàm

.

0;1
Vẽ bảng biến thiên, suy ra được hàm số nghịch biến trên [ ] .
2
Câu 4: Hàm số y = 2x - x nghịch biến trên khoảng nào đã cho dưới đây?
0;2
0;1
1;2
- 1;1)
A. ( ) .
B. ( ) .
C. ( ) .
D. (
.
HD: Đáp án C

Tập xác định

D = [ 0;2]

1- x

y' =

2x - x2

. Đạo hàm

; y' = 0 � x = 1

.

1;2
Vẽ bảng biến thiên, suy ra được hàm số nghịch biến trên khoảng ( ) .

Câu 5: Cho hàm số y = x - 1+ 4- x . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
1;4 .
A. Hàm số đã cho nghịch biến trên ( )
� 5�
�
1; �
.
�
�
�
�
�
B. Hàm số đã cho nghịch biến trên 2�
�
5 �
�
.
�
� ;4�
�
�
C. Hàm số đã cho nghịch biến trên �2 �

D. Hàm số đã cho nghịch biến trên �.
HD: Đáp án C
Tập xác định:

D = [1;4].

Đạo hàm

y' =

1
2 x- 1

y' �=��‫۾‬-=-�=
0
x 1
4 x

Xét phương trình

-

1
2 4- x .

�x �( 1;4)
�
�
�

�x - 1= 4- x

x

5
( 1;4)
2

.

�
5 �
�
.
�
� ;4�
�
�
Vẽ bảng biến thiên, suy ra được hàm số nghịch biến trên khoảng �2 �
Câu 6: Hàm số nào sau đây đồng biến trên �?

A.

y=

2x - 1
x +1 .
3

B. y = 2x - cos2x - 5 .

2

2

C. y = x - 2x + x +1.
D. y = x - x +1 .
HD: Đáp án B
y' = 2+ 2sin2x = 2( sin2x +1) �0, " x ��
Vì
và y' = 0 � sin2x = - 1 .
Phương trình sin2x = - 1 có vô số nghiệm nhưng các nghiệm tách rời nhau nên hàm số đồng biến trên �.
Câu 7: Hàm số nào sau đây đồng biến trên �?
2

y = ( x - 1) - 3x + 2

A.
HD: Đáp án B

y=

Xét hàm số

y=

.

B.

x
2

x +1 .

C.

y=

x
x +1 .

D.

y = tan x

.

x
2

x +1 .

1
y' =>"�
2
( x +1) x2 +1

0, x

�

Ta có
hàm số đồng biến trên �.
Câu 8: Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Hàm số y = 2x + cosx đồng biến trên �.
3
B. Hàm số y = - x - 3x +1 nghịch biến trên �.

C. Hàm số

y=

2x - 1
x- 1

đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
2
- �;0)
D. Hàm số y = 2x + x +1 nghịch biến trên (
.
HD: Đáp án C
4

6


Xét hàm số

y=

2x - 1
x - 1 . Ta

y' =

có

- 1
2
( x - 1)

< 0, " x �1

.
- �;1)
1;+�)
(
(
Suy ra hàm số nghịch biến trên
và
.
f ( x) = x3 + x2 + 8x + cos x
Câu 9: Cho hàm số
và hai số thực a, b sao cho
đúng?
f a = f ( b) .
f a > f ( b) .
A. ( )
B. ( )

a < b.

Khẳng định nào sau đây là

f a < f ( b) .
f a
f b
C. ( )
D. Không so sánh được ( ) và ( ) .
HD: Đáp án C
Tập xác định: D = �.
f�
( x) = 3x2 + 2x + 8- sin x = ( 3x2 + 2x +1) +( 7- sin x) > 0, " x ��.
Đạo hàm
f x
a < b � f ( a) < f ( b)
Suy ra ( ) đồng biến trên �. Do đó
.
 Mức độ vận dụng

Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
 1; � .

y

 m 1 x  2m 2
x m

nghịch biến trên khoảng

�
m 1
�
m 2
�

A. 1 m  2
B. m �1
C.
D. 1�m  2
HD: Đáp án D
m2  m  2
�
y 
2
 x  m  . Hàm số nghịch biến trên  1; � � m2  m  2  0 � m � 2;1
Có
Khi đó hàm số nghịch biến trên các khoảng: (�;  m); (-m;  �)
1;��
) ��
(-m;�)۳
m
1 m 1
Để ycbt được tm thì (
Vậy 1 �m  2
f x
f �x = x2 ( x + 2)
Câu 2: Cho hàm số ( ) có đạo hàm ( )
. Mệnh đề nào sau đây đúng?

- 2;+�) .
A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (
- �;- 2)
0;+�) .
B. Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng (
và (
- �;- 2)
0;+�) .
C. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (
và (
- 2;0) .
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (
HD: Đáp án A
�
x=0
f�
( x) = 0 � �
�
x =- 2
�
.

Ta có
Bảng biến thiên

x

f ( x)
/

-�

-

- 2
0

f ( x)

0

+

0

+�
+

f ( 0)
f ( - 2)

Dựa vào bảng biến thiên, ta có
f x
- 2;+�) .
Hàm số ( ) đồng biến trên khoảng (
Hàm số

f ( x)

- �;- 2)

nghịch biến trên khoảng (
.

7


Câu 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
.
m= -

9
4.

A.
HD: Đáp án D

B.

m

3
2
để hàm số y = x + 3x + mx + m giảm trên đoạn có độ dài bằng 1

C. m�3 .

m= 3 .

D.

m=

9
4.

2
Ta có y' = 3x + 6x + m .

x - x =1
Yêu cầu bài toán � y' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 1 2
�
D ' = 9- 3m> 0 �
m< 3
m< 3
�
�
�
�
�
9
�
�
�
�� D'
� � 9- 3m
��
9 � m=
�
�
�

2
=
1
4
m=
2.
=1 �
�
�
�
�
�
4
3
�
� a
.

 Mức độ vận dụng cao
( x ) có đồ thị như hình bên.
Câu 1: Cho hàm số y  f ( x ) . Hàm số y  f �

Hàm số y  f (2  x) đồng biến trên khoảng
A. (1;3)
B. (2; �)
C. ( 2;1)

D. ( �; 2)

HD: Đáp án C

Hàm số y  f (2  x) đồng biến
y�
f�
(2  x)  0 � f �
(2  x)  0 . Nhìn đồ thị

� 2  x  1 hoặc 1  2  x  4 � x  3 hoặc 2  x  1

3
3
Câu 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình m  3 m  3sin x  sin x có
nghiệm thực?
A. 5
B. 7
C. 3
D. 2
HD: Đáp án D

Ta có:

3

m  3 3 m  3sin x  sin x � m  3 3 m  3sin x  sin 3 x .

3
3
3
Đặt m  3sin x  u � m  3sin x  u thì phương trình trên trở thành m  3u  sin x
Đặt sin x  v thì ta được
�

m  3v  u 3
� 3  v  u    v  u  v 2  uv  u 2  0 �  v  u  3  v 2  uv  u 2  0
�
3
m  3u  v
�
2
2
Do 3  v  uv  u  0, u , v nên phương trình trên tương đương u  v .









3
3
Suy ra m  3sin x  sin x � m  sin x  3sin x .
sin x  t  1 �t �1
f  t   t 3  3t
 1;1 có f � t   3t 2  3 �0, t � 1;1
Đặt
và xét hàm
trên
 1;1 � 1  f  1 �f  t  �f  1  2 � 2 �m �2 .
Nên hàm số nghịch biến trên
m � 2; 1;0;1; 2

Vậy
.
y  f  x
�và f '  x   0 x � 0; � .
f  1  2.
Câu 3: Cho hàm số
có đạo hàm trên
Biết
Khẳng định nào
dưới đây có thể xảy ra ?
f  2017   f  2018 
f  1  2
f  2  1
f  2   f  3  4
A.
B.
C.
D.
HD: Đáp án B

8


Ta có

f  x

đồng biến trên

 0; �

nên:

f  2   f  3  2f  1  4;f  2   f  1  2;f  2018   f  2017 

. Khẳng định có thể xảy ra là

f  1  2

asinx  2
2sinx  a đồng biến trên khoảng
Câu 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
�
a 2
�
a  2
A. 2 �a �2
B. 2  a  2
C. 2  a � 3
D. �
HD: Đáp án D
2
a cos x  2sin x  a   2 cos x  a sin x  2   4  a  cos x
y�


2
2
2sin x  a 
2sin x  a 



Có
.

2


2

�
�
�
�
 mà cos x  0, x �� ;
 
�;
�
�
2
3
2
3
�
�
�
�
Hàm số đồng biến trên
y

� 2
� y�
 0 , x �� ;
�2 3
y=

� 2 �
.
�; �
�2 3 �

�
 � 4  a 2  0 � x � �; 2  � 2; �
�
�

mx - 2m- 3
x- m

Câu 5 : Cho hàm số
với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của
m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S .
A. 5 .
B. 4 .
C. Vô số.
D. 3 .
HD: Đáp án D
y' =

- m2 + 2m+ 3

2

( x - m)
Ta có
.
Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì y' > 0, " x �m
m��
� - m2 + 2m+ 3> 0 � - 1< m< 3 ���
� m= { 0;1;2} .

Câu 6: Biết rằng hàm số y = 2x + asin x + bcosx đồng biến trên �. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
2
2
2
2
2
2
2
2
A. a + b �2 .
B. a + b �2 .
C. a + b �4 .
D. a + b �4 .
HD: Đáp án C
Ta có y' = 2+ a.cos x - b.sin x, " x ��.
Để hàm số đã cho luôn luôn đồng biến trên � khi và chỉ khi y' �0, " x ��( y' = 0 có hữu hạn nghiệm)
( *)
� 2+ a.cos x - b.sin x �0 � b.sin x - a.cos x �2.
2
2

Nếu a + b = 0 thì A đúng & C cũng đúng.

2

( *) �

2

Nếu a + b �0 thì
� sin( x - a ) �

b
2

2

a +b

.sin x -

2
2

2

a +b

đúng với mọi

a

2

2

a +b

.cos x �

2
x �۳�+�
�
2
a + b2

1

2
2

a + b2
a2

b2

4

.

- 1000;1000)
Câu 7: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc khoảng (

để hàm số
y = 2x3 - 3( 2m+1) x2 + 6m( m+1) x +1
2;+�)
(
đồng biến trên khoảng
?

A. 999.
HD: Đáp án B
Ta có

B.

1001.

C.

998.

D.

1998.

y' = 6x2 - 6( 2m+1) x + 6m( m+1) = 6. �
x2 - ( 2m+1) x + m( m+1) �
�
�

.

2

D = ( 2m+1) - 4m( m+1) = 1> 0, " m��.
Xét phương trình y = 0 có
/

/
Suy ra phương trình y = 0 luôn có hai nghiệm x1 < x2 với mọi

Theo định lí Viet, ta có

m.

�x1 + x2 = 2m+1
�
.
�
�
�x1x2 = m( m+1)

9


/
Để hàm số đồng biến trên ( 2;+�) � phương trình y = 0 có hai nghiệm x1 < x2 �2
�
x1 + x2 < 4
2m+1< 4
( x1 - 2) +( x2 - 2) < 0 �
�

�
�
�
��‫�۾‬
m 1
�
�
�
�
�
�
m( m+1) - 2( 2m+1) + 4 �0
( x1 - 2) ( x2 - 2) �0
�x1x2 - 2( x1 + x2 ) + 4 �0 �
�
m��
���
� m= { - 999;- 998;...;1} .
- 1000;1000) .
Vậy có 1001 số nguyên m thuộc khoảng (

Câu 8: Tìm tất cả các giá trị thực của
B. m>- 1 .
C. m<- 1 .
HD: Đáp án C

m

để hàm số
D. m�- 1 .

�
p �
�
x ��
;p�
t ( 0;1)
�
�
�
�
�
2 �
Đặt t = sin x , với
.
t +m
- 1- m
y( t) =
��
� y'( t) =
2
t- 1
( t - 1)

Hàm số trở thành

y=

sin x + m
sin x - 1

�
�
p �
�
;p�
�
�
�
nghịch biến trên khoảng 2 �A. m�- 1 .

.

�
�
�
p �
p �
�
t ' = cosx < 0, " x ��
;p�
;p�
�
�
�
�
�
�2 �
�
Ta có

, do đó t = sin x nghịch biến trên 2 �.
��
� y( t)
( 0;1) ��� y'( t) > 0, " t �( 0;1)

Do đó YCBT

đồng biến trên khoảng

�
- 1- m> 0
��
, " t �( 0;1) � - 1- m> 0 � m<- 1
�
�
t - 1�0
�

.
Nhận xét. Khi ta đặt ẩn t , nếu t là hàm đồng biến trên khoảng đang xét thì giữ nguyên câu hỏi trong đề bài.
Còn nếu t là hàm nghịch biến thì ta làm ngược lại câu hỏi trong đề bài.
C. Bài tập
Câu 1: Tập xác định của hàm số
�\  1
�\  1
. B.
.
A.

y

C.

x 1
x  1 là

�\  1; 1

.

D.

 1; � .

y  f  x

đồng biến trên �. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng ?
f  x1   f  x2 
A. Với mọi x1 , x2 �� ta luôn có
.
x  x2 � f  x1   f  x2 
B. Với mọi x1 , x2 �� ta luôn có 1
.
x  x2 � f  x1   f  x2 
C.Với mọi x1 , x2 �� ta luôn có 1
.
Câu 2: Cho hàm số

D.

f  x1   f  x2 
Với mọi x1 , x2 �� ta luôn có
.

4
2
Câu 3: Hàm số y   x  4 x  1 nghịch biến trên mỗi khoảng nào sau đây ?



A.

3;0

 ;

.

2; �

B.



2; 2

.

4
2

Câu 4: Tập xác định của hàm số y  x  4 x  1 là:
 0; � . B.  �;0  .
 �; � .
A.
C.

C.



.

D.

 1; � .

2; �

D.





2;0 ;

.

2; �

3
Câu 5: Cho hàm số y  x  2 x  1. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên tập �. .

 0; � , nghịch biến trên  �;0  .
B. Hàm số đồng biến trên
C. Hàm số nghịch biến trên tập �.

10


D. Hàm số nghịch biến trên

 0; � , đồng biến trên  �;0  .

Câu 6: Giá trị của m để hàm số
A. m �1 .

B.

m �

3
4.

Câu 7: Tập xác định của hàm số
�\  1
A. �.
B.
.

y

1 3
x – 2mx 2   m  3 x – 5  m
3
đồng biến trên � là:

3
 �m �1
C. 4
.

y

1 3
x  2 x2  3x  1
3
là:

C.

�\  �1

.

Câu 8: Kết luận nào sau đây về tính đơn điệu của hàm số
�\  1
A. Hàm số luôn nghịch biến trên
.

 �; 1 và  1; � .
B. Hàm số luôn nghịch biến trên
�\  1
C. Hàm số luôn đồng biến trên
.
 �; 1 và  1; � .
D. Hàm số luôn đồng biến trên
Câu 9: Hàm số

y

3
  m 1
D. 4
.

D.

 1; � .

y

2x 1
x  1 là đúng?

1 3
x  2 x 2  3x  1
3
đồng biến trên:

 1; � .
A.  2; � . B.

C.  1; 3 .
y

D.  �; 1 và  3; � .

x3
x  2 là:

Câu 10: Tập xác định của hàm số
D  �\  2
D  �\  2
A. D  �. B.
.
C.
.

D.

D  �\  3

.

3
2
Câu 11: Hàm số y   x  3 x  1 đồng biến trên khoảng:
 0; 2  . B. �.
 �;1 .

 2; � .
A.
C.
D.

Câu 12: Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào?

3
2
A. y   x  3 x  1 .
3
2
C. y  x  3x  1 .

y

3
2
B. y   x  3 x  1 .
3
2
D. y  x  3x  1 .

4  mx
x  m nghịch biến trên khoảng  1; � khi m thuộc:

Câu 13: Hàm số
 1; 2  B.  2;2  .
A.

C.

 2;2 .

D.

 1;1 .

Câu 14: Hàm số nào sau đây đồng biến trên � ?

11


1 x

�3 �
y ��
2
x 1
y  log 0,4 ( x  1)
�5 � .
A. y  3 . B.
. C.

D. y  log 5 x .

2
3
Câu 15: Tìm các khoảng đồng biến của hàm số y  1  3x  2 x ?
 �; � .

 1;0  .
 �;0  và  1; � . D.  0;1 .
A.
B.
C.

Câu 16: Hàm số nào sau đây có bảng biến thiên như hình:

A.

y

2x 1
x2 .

B.

y

2x 1
x2 .

C.

y

2x  7
x2 .

D.

y

1  2x
x2 .

x2  x  2
y
x  1 là:
Câu 17: Khoảng đồng biến của hàm số
 �; 3 và  1; � .
 �; 1 và  3; � .
A.
B.
 3; � .
 1;3 .
C.
D.
Câu 18: Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên �
x2
1
y
y x
3
2
x5 .
2 .
A. y  tan x .B. y  x  x  x . C.
D.
4

2
Câu 19: Hỏi hàm số y  x  2 x  2017 nghịch biến trên khoảng nào sau đây ?
 �; 1 . B.  1;1 .
 1;0  .
 �;1 .
A.
C.
D.

Câu 20: Cho K là một khoảng hoặc nữa khoảng hoặc một đoạn. Mệnh đề nào sai?
�
A. Nếu hàm số y  f ( x ) đồng biến trên K thì f ( x ) �0, x �K .
�
B. Nếu f ( x ) �0, x �K thì hàm số y  f ( x ) đồng biến trên K .
�
C. Nếu hàm số y  f ( x ) là hàm số hằng trên K thì f ( x )  0, x �K .
�
D. Nếu f ( x )  0, x �K thì hàm số y  f ( x ) không đổi trên K .

3
2
Câu 21: Cho hàm số y  f ( x)  2 x  3x  12 x  5 . Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng?
A. f ( x) tăng trên khoảng (3; 1) .
B. f ( x) giảm trên khoảng ( 1; 1) .

 5; 10  .
C. f ( x) giảm trên khoảng

D. f ( x) giảm trên khoảng (1; 3) .

1
y   x4  2 x2  3
4
Câu 22: Hàm số

A.

nghịch biến trong khoảng nào sau đây?
 0;  � .
( 2; �) D.
B. ( 2;0) và (0; �) .C.

 �;0  .

Câu 23: Cho hàm số

y

2 x  3
x  1 (C), chọn phát biểu đúng

A. Hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng xác định.
B. Hàm số luôn đồng biến trên �.
�\  1
C. Hàm số có tập xác định
12


D. Hàm số luôn đồng biến trên các khoảng xác định.
3

2
Câu 24: Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số y  3 x  6 x  9 x
A. (�; �) . B. (�; 4) v�(0; �) .C.  1; 3 .
D. (�;1) v�(3; �) .
3
2
Câu 25: Hàm số y   x  3 x  1 đồng biến trên các khoảng nào?
 �;1 . B.  0;2  .
 2; � .
A.
C.
D. �.
Câu 26: Tập nghiệm của bất phương trình + + 11 là:
A.
B.
C.
D.
Câu 27: Trong các hàm số sau, những hàm số nào luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó:
y = (I), y = (II),
y = (III).
A. (I)
B. (I) và (II)
C. (II) và (III)
D. (I) và (IV)
Câu 28: Hàm số y = nghịch biến trên khoảng:
A.
B.
C.
D.
Câu 29: Tìm m lớn nhất để hàm số y = đồng biến trên R.

A. m =1
B. m = 3
C. m = 2
D. Đáp án khác
3
2
Câu 30: Hàm số y = ax + bx + cx + d đồng biến trên R khi nào?
A.
C.
B.
D.

1
A

2
B

3
D

4
C

ĐÁP ÁN
5
6
A
C

11
A

12
A

13
A

14
C

15
D

16
B

17
B

18
D

19
A

20
B

21
C

22
D

23
D

24
C

25
B

26
A

27
B

28
A

29
B

30
A

7
A

8
B

9
D

10
C

13


BÀI 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ( 1,5 TIẾT)
A. Kiến thức cần nhớ

1. Định nghĩa: hàm số f(x) xác định trên tập hợp D ��, x0 �D .
a) điểm x0 là điểm cực đại của hàm số y = f(x) nếu tồn tại một khoảng (a;b)  D chứa điểm x0 sao
cho f(x) < f(x0), x (a;b)\{x0}
f(x0)  giá trị cực đại của hàm số.
Điểm m( x0; f(x0)) điểm cực đại của đồ thị.
b) điểm x0 là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) nếu tồn
tại một khoảng (a;b)  D chứa điểm x0 sao cho f(x) > f(x0), x (a;b)\{x0}
f(x0)  giá trị cực tiểu
Điểm m( x0; f(x0)) điểm cực tiểu của đồ thị.
c) gi trị cực đại và gi trị cực tiểu gọi chung là các cực trị.
* lưu ý:
+) giá trị cực đại ( cực tiểu) nói chung không phải là gtln( gtnn), nó mang tính địa phương trong một

khoảng nào đó, có thể gt cực đại nhỏ hơn gt cực tiểu.
+) hàm số có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên d, cùng có thể hàm số không có cực trị
trên D.
2. Định lí:
+) dấu hiệu cần: nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại đó thì f’(x0) = 0.
+) dấu hiệu đủ:
dấu hiệu 1: (tính theo chiều tăng của trục số)
f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0  x0  là điểm cực đại.
 f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0  x0  là điểm cực tiểu.
dấu hiệu 2: cho hàm số y= f(x) có đạo hàm đến cấp 2 liên tục tại x0.
(x0 )  0
(x0 )  0
�f �
�f �
� x0  la�
�
ie�
m c�
�
ctr�
cu�
a HS
� x0  la�
�
ie�
m c�
�
c�
a�
i cu�

a HS
�
�
�
�
f�
(x0 ) �0
f�
(x0 )  0
�
�
*
*
(x0 )  0
�f �
� x0  la�
�
ie�
m c�
�
ctie�
ucu�
a HS
�
�
f�
(x0 )  0
�
*
3. Phương pháp tìm cực trị:

Quy tắc 1:
B1: tìm f’(x).
B2: tìm cc nghiệm xi ( i = 1,2,...) của phương trình f’(x) = 0.
B3: lập bảng xt dấu  căn cứ dấu hiệu 1 kết luận.
Quy tắc 2:
B1: tính đạo hàm cấp một rồi giải pt: y’ = 0 tìm các nghiệm xi.
B2: tính f”(xi) .
nếu f”(xi) < 0  xi là điểm cực đại
nếu f”(xi) > 0  xi là điểm cực tiểu.
nếu f”(xi) = 0 không thể kết luận được cực trị.
B. Luyện tập
* Mức độ nhận biết
f x
a;b
Câu 1: Cho hàm số ( ) xác định, liên tục và có đạo hàm trên khoảng ( ) . Mệnh đề nào sau đây là sai?
a;b
a;b
đồng biến trên ( ) thì hàm số không có cực trị trên ( ) .
a;b
thì hàm số không có cực trị trên ( ) .

A. Nếu

f ( x)

B. Nếu

f ( x)

a;b

nghịch biến trên ( )

M x ; f ( x0 ) )
f x
x � a;b
C. Nếu ( ) đạt cực trị tại điểm 0 ( ) thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm ( 0
song song
hoặc trùng với trục hoành.
f x
f x
x ;b
x � a;b
a; x
D. Nếu ( ) đạt cực đại tại 0 ( ) thì ( ) đồng biến trên ( 0 ) và nghịch biến trên ( 0 ) .

HD: Đáp án D
Các Mệnh đề A, B, C đều đúng theo định nghĩa trong SGK.
14


f x
x � a;b
Xét mệnh đề D. Vì mệnh đề này chưa chỉ rõ ngoài 0 ( ) là cực đại của ( ) thì còn có cực trị nào khác
nữa hay không. Nếu có thêm điểm cực đại (hoặc cực tiểu khác) thì tính đơn điệu của hàm sẽ bị thay đổi
theo.
f x = x4 - 2x2
x = 0 �( 2;2) , nhưng hàm số này
Có thể xét ví dụ khác: Xét hàm ( )
, hàm số này đạt cực đại tại 0
- 2;0)

0;2 .
không đồng biến trên (
và cũng không nghịch biến trên ( )
y = f ( x)
a;b
Câu 2: Cho hàm số
liên tục trên khoảng ( ) và x0 là một điểm trên khoảng đó. Khẳng định nào

sau đây là đúng?
f' x
A. Nếu ( ) bằng
B. Nếu dấu của
C. Nếu dấu của
D. Nếu dấu của
HD: Đáp án C

0

f '( x)
f '( x)
f '( x)

tại x0 thì x0 là điểm cực trị của hàm số.
đổi dấu từ dương sang âm khi

x

qua x0 thì x0 là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

đổi dấu từ âm sang dương khi

x

qua x0 thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số.

đổi dấu từ âm sang dương khi

x

qua x0 thì x0 là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

f '( x)

đổi dấu khi qua x0 ).
f' x
Mệnh đề B sai. Sửa lại cho đúng là '' Nếu dấu của ( ) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua x0 thì x0 là
điểm cực đại của hàm số '' .
Mệnh đề C đúng, từ đó hiểu rõ tại sao D sai. (Phân biệt điểm cực tiểu của hàm số và điểm cực tiểu của
đồ thị hàm số).
Mệnh đề A sai (phải thêm điều kiện

Câu 3: Cho hàm số
x
y'

y  f  x

xác định, liên tục trên � và có bảng biến thiên như hình dưới đây

�

0
+

0

�

2



0

+

�

1
y
�

5

Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là x  0
B. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là x  2
C. Gía trị lướn nhất của hàm số bằng 1
 2; 5
D. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là

HD: Đáp án D
Điểm là ta nói tọa độ.
4
2
Câu 4: Điểm cực tiểu của hàm số y  x  x  1

A. x  0
B. x  1
C. x  2
D. x  1
HD: Đáp án A
 4 x 3  2 x; y�
 0 � x  0 . Qua x  0 thì y ' đổi dấu từ âm sang dương nên hàm số đạt cực tiểu tại
Có y�
 x  0
y  f  x

Câu 5: Cho hàm số
trị?
A. 3
HD: Đáp án C
Ta có bảng xét dấu sau:

có đạo hàm

B. 0

f ' x  x  x  1

C. 2

2

 2x  3 . Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực
D. 1

15


�

x

f'  x 
Từ đó

 f '  x 

+



0

0

3
2

-

0

1
+

�

0

+

3
x   ;x  0
2
chỉ đổi dấu tại
nên hàm số chỉ có 2 cực trị.

3
Câu 6: Gọi yCD , yCT lần lượt là giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số y = x - 3x . Mệnh đề nào sau
đây là đúng?

yCT = 2yCD .

A.
HD: Đáp án D

B.

yCT =

3
yCD
2
.

C. yCT = yCD .

D. yCT = - yCD .

�
x = 1� y( 1) = - 2
y' = 3x2 - 3; y' = 0 � �
.
�
x = - 1� y( - 1) = 2
�
Ta có
Do đó yCT = - yCD .

Câu 7: Cho hàm số

y  f  x

có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

�

x



y'

0

1



0

�

y

0

�



5

�

4
y CD  5.

B. yCT  0.

A.

C.

min y  4.

D.

�

max y  5.
�

HD: Đáp án A
Phương pháp: Nhìn và phân tích bảng biến thiên.
Cách giải:

Nhận thấy hàm số đạt cực đại tại

x CD  1; yCD  y  1  5.

Câu 8: Cho hàm số y  f ( x ) có bảng biến thiên như sau

Hàm số đạt cực đại tại điểm
x

1.
A.
B. x  0 .

C. x  5 .
D. x  2 .
HD: Đáp án D
Quan sát bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt tiểu tại điểm x  0 và đạt cực đại tại điểm x  2 .
y =f  x 
Câu 9: Cho hàm số hàm số
liên tục trên � và có bảng biến thiên:
x
�
�
1
1
0
y'
y

-

0

�

+

-

0

�

0
3

+

3
16


Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số có đúng hai điểm cực trị.
B. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1 và 1.
C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng 3.
D. Hàm số đạt cực đại tại x  0.
HD: Đáp án D
Hàm số đạt cực đại tại x  0.
y = f ( x)
Câu 10: Cho hàm số
liên tục trên
� và có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số có
bao nhiêu điểm cực trị?
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 5.

HD: Chọn D.
4

2

Câu 11: Cho hàm số y = - x + 2x + 3 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Đồ thị hàm số có 1 điểm cực đại và không có điểm cực tiểu.
B. Đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu và không có điểm cực đại.
C. Đồ thị hàm số có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu.
D. Đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu và 2 điểm cực đại.
HD: Đáp án D
�
x=0
�
y' = - 4x + 4x =- 4x( x - 1) ; y' = 0 � �
x =1 .
�
�
x =- 1
�
Ta có
3

2

Vẽ phát họa bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu và 2 điểm cực đại.
�
a=- 1
�
��
� ab < 0 ��
�
�
�

b= 2
�

Cách 2. Ta có
đồ thị hàm số có ba điểm cực trị.
a=
1
<
0
Vì
nên đồ thị có dạng chữ M. Từ đó suy ra đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu và 2 điểm cực đại.
3
2
Câu 12: Tìm điểm cực trị x0 của hàm số y = x - 5x + 3x +1.

A.

x0 = - 3

hoặc

x0 = 0

C.
hoặc
HD: Đáp án D

x0 =-

x0 = -

1
3.

10
3 .

B.

x0 = 0

D.

x0 = 3

hoặc
hoặc

x0 =

10
3 .

x0 =

1
3.

�
x=3

�
y' = 3x - 10x + 3; y' = 0 � 3x - 10x + 3 = 0 � � 1.
�
x=
�
� 3
2

2

Ta có
* Mức độ thông hiểu
f  x  2x4  4x2  3.
Câu 1: Cho hàm số
Tính diện tích S của tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị của đồ
thị hàm số.
1
S
2
A. S  1
B.
C. S  4
D. S  2
HD: Đáp án D

17


�x  0
f�

 x   8 x  8 x; f �
 x  0 � �
�x  1
�
x  1
�
3

Có

A  1;1 ; B  0;3 ; C  1;1
Từ đó 3 điểm cực trị là
.
Nhận thấy rằng ABC là tam giác cân tại B với đường cao là BM , M là trung điểm của AC .
1
AC  2; BM  2 � S ABC  .2.2  2
2
Tinh được
.
3
2
2
Câu 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y   x  2mx  m x  2 đạt cực tiểu tại x  1.
�
�
m  1
m 1
�
�
m 3

m 3
A. �
B. �
C. m  3
D. m  1
HD: Đáp án C
 3 x 2  4mx  m2 .
Có y�

m 1
�
x  1 � y�
 1  0 � �
m3
�
Hàm số đạt cực tiểu tại
Với m  1 thì y ' đổi dấu + sang – qua x  0 nên x  0 là cực đại (Loại)
Với m  3 thì y ' đổi dấu - sang + qua x  0 nên x  0 là cực tiểu (tm)
2
Câu 3: Tính khoảng cách d giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = ( x +1) ( x - 2) .
A. d = 2 5 .
B. d = 2 .
C. d = 4 .
D. d = 5 2 .
HD: Đáp án A
2

�
x = 0� y= 4
y' = 0 � �

.
�
x = 2� y= 0
�

Ta có y' = ( x - 2) + ( x +1) .2( x - 2) = 3x( x - 2) ;
A 0;4
B 2;0
Khi đó đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là ( ) và ( ) .
Suy ra AB = 2 5 .

3
2
Câu 4: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y =- 2x + 3x +1.
A. y = x - 1.
B. y = x +1.
C. y = - x +1.
D. y = - x - 1.
HD: Đáp án B

Ta có

�
x = 0� y =1
y�
=- 6x2 + 6x; y�
=0� �
.
�
x = 1� y = 2

�

A 0;1
B 1;2
Suy ra đồ thị hàm số đã hai điểm cực trị là ( ) và ( ) .
Khi đó, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị chính là đường thẳng AB có phương trình y = x +1.
�
1� 1�
� y= �
x- �
y�
+ x +1
�
�
�
3
2�
Cách 2. Lấy y chia cho y' , ta được
.

Suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là phần dư trong phép chia, đó là y = x +1 .
Câu 5: Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số
y = ax4 + bx2 + c

với a, b, c là các số thực. Mệnh đề
nào dưới đây là đúng ?
A. Phương trình y�= 0 vô nghiệm trên tập số thực.
B. Phương trình y�= 0 có đúng một nghiệm thực.
C. Phương trình y�= 0 có đúng hai nghiệm thực
phân biệt.

D. Phương trình y�= 0 có đúng ba nghiệm thực phân
biệt.
HD: Chọn D
18


=0
� phương trình y�
Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số có ba điểm cực trị ��
có đúng ba nghiệm
thực phân biệt với a, b, c là các số thực.
y = f ( x)
Câu 6: Cho hàm số
liên tục tại x0 và có bảng biến thiên sau:

Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số có hai điểm cực đại, một điểm cực tiểu.
B. Hàm số có một điểm cực đại, không có điểm cực tiểu.
C. Hàm số có một điểm cực đại, hai điểm cực tiểu.
D. Hàm số có một điểm cực đại, một điểm cực tiểu.
HD: Đáp án D
y = f ( x)
Tại x = x2 hàm số
không xác định nên không đạt cực trị tại điểm này.
Tại x = x1 thì dễ thấy hàm số đạt cực đại tại điểm này.
Tại x = x0 , hàm số không có đạo hàm tại x0 nhưng liên tục tại x0 thì hàm số vẫn đạt cực trị tại x0 và theo
như bảng biến thiên thì đó là cực tiểu.
Vậy hàm số có một điểm cực đại, một điểm cực tiểu.
3
Câu 7: Hỏi hàm số y = x - 3x +1 có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?

A. Không có điểm cực trị.
B. Có một điểm cực trị.
C. Có hai điểm cực trị.
D. Có ba điểm cực trị.
HD: Đáp án B
TXĐ: D = �.

�x3 - 3x +1, x �0
�
3x2 - 3, x > 0
�
y=�
��
�
y
'
=
� 3
� 2
�
�
- x - 3x +1, x < 0
- 3x - 3, x < 0
�
�
Ta có
. Suy ra y' = 0 � x = 1 .
Lập bảng biến thiên ta thấy y' chỉ đổi dấu khi qua x = 1.

Vậy hàm số có một điểm cực trị.

3
2
Câu 8: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x - 3mx + 6mx + m có hai điểm cực trị.
A. m�( 0;2) .
B. m�( - �;0) �( 8;+�) .

C. m�( - �;0) �( 2;+�)
HD: Đáp án C

D. m�( 0;8) .

(
).
Ta có
2
Để hàm số có hai điểm cực trị � x - 2mx + 2m= 0 có hai nghiệm phân biệt
y' = 3x2 - 6mx + 6m= 3 x2 - 2mx + 2m

�
m< 0
� D ' = m2 - 2m> 0 � �
.
�
m> 2
�

Câu 9: Cho hàm số

f ( x) = ( x2 - 3)

2

. Giá trị cực đại của hàm số

1
2.

bằng:

D. 9 .

A. - 8 .
B.
C. 8.
HD: Đáp án C
4
2
� f '( x) = 4x3 - 12x
Ta có f ( x) = x - 6x + 9 ��
.
2
Tính f ''( x) = 12x - 12; f ''( x) = 0 � x = �1.
Vẽ bảng biến thiên, ta thấy f '( x) đạt cực đại tại

f '( x)

x = - 1,

giá trị cực đại

f '( - 1) = 8

Nhận xét: Rất nhiều học sinh đọc đề không kỹ đi tìm giá trị cực đại của hàm số
D.

.

f ( x)

và dẫn tới chọn đáp án
19


* Mức độ vận dụng
3
Câu 1: Cho đồ thị hàm số y  x  3mx  1 có hai điểm cực trị A, B thỏa mãn tam giác OAB vuông tạo O
(O là gốc tọa độ). Khẳng định nào dưới đây là đúng?
1
1
1 m 
  m 1
3
A.
B. 1 m  3
C. 2
D. 2  m  0
HD: Đáp án C
 3 x 2  3m . Hàm số có 2 cực trị khi m  0 và khi đó 2 điểm cực trị là
Có y�



 

A  m ; 2m m  1 ; B

.

m ; 2m m  1

uuu
r uuu
r
1 �1 �
� OA.OB  0 � m  1  4m3  0 � m  ��
 ;1�
2 �2 �
OAB là tam giác vuông
y   m  1 x 4  2  m  3  x 2  1
Câu 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
không có cực

đại.
A.

1 �m �3.

B. m �1.

C. m �1.

D. 1  m �3.

HD: Đáp án A
Phương pháp: Hàm số không có cực đại tức là hàm số chỉ tuyến tính.

m  1 �0
�
�1 m 3.
�
m

3
�
0
�
Trường hợp 1: Hàm số đồng biến. Tức
m  1 �0
�
.
�
m

3
�
0
�
Trường hợp 2: Hàm số nghịch biến. Tức
Suy ra không tìm được m thỏa.
3

2
A  2; 2  .
Câu 3: Đồ thị hàm số y  x  3x  2ax  b có điểm cực tiểu
Tính a  b.
A. a  b  4
B. a  b  2
C. a  b  4
D. a  b  2
HD: Đáp án B

�
a0
a0
�
�
�y '  2   0
��
��
�ab2
�
4  4a  b  2
b2
y  2   2
�
�
�
Ta có:
* Mức độ vận dụng cao
3
2

M 0;2 N 2;- 2)
Câu 1: Cho hàm số y = ax + bx + cx + d . Biết ( ) , (
là các điểm cực trị của đồ thị hàm số. Tính
x
=
2
giá trị của hàm số tại
.
y - 2 =2
y - 2 = 22
y - 2 =6
y - 2 = - 18
A. ( )
.
B. ( )
.
C. ( )
.
D. ( )
.
HD: Đáp án D

Ta có y�= 3ax + 2bx + c .
M 0;2 , N 2;- 2)
Vì ( ) (
là các điểm cực trị của đồ thị hàm số nên
2

�y�
c= 0

� ( 0) = 0 � �
�
;
�
�
�
�
12a+ 4b+ c = 0
( 2) = 0 �
( 1)
�y�
�y( 0) = 2
�
d=2
�
�
��
.
�
�
�
8a+ 4b+ 2c + d =- 2
( 2)
�y( 2) = - 2 �
a=1
�
�
�
�
b= - 3

�
��
� y = x3 - 3x2 + 2 ��
� y( - 2) = - 18.
�
�
c
=
0
�
�
�
( 1)
( 2)
d=2
�
�

Giải hệ

và

, ta được

20


y  x3   m 1 4  x2
Câu 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
có 3 điểm cực trị.

�
�
5;7�\  1
1;3�\  1
 5;7 \  1
 1;3 \  1
A.
B. � �
C.
D. � �
HD: Đáp án A
x0
 m  1 x  x �3x  m  1 �. y� 0 � �
y�
 3x 2 
.
�
�
�
2
2
3
x
4

x

m

1   

*


4  x2
4

x
�
�
�
�
Có
 * có 2 nghiệm phân biệt khác 0
Hàm số có 3 cực trị khi
 * có nghiệm khác 0 �m�۹1 0 m 1
Ta lập bảng biến thiên của VT phương trình (*)

x

2

f'  x 

2
-

0

f  x

2

2
+

0

-

6
0

0
-6

m  1 � 6;6  \  0 � m � 5;7  \  1

Nhìn vào bảng biến thiên thì điều kiện của m là
y = f ( x)
Câu 3: Cho hàm số
có bảng biến thiên sau:

y = f ( x)
Hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị ?
5.
A.
B. 3.
C. 4.
HD: Đáp án B

D.

2.

y = f ( x)
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đồ thị hàm số
cắt trục hoành tại một điểm duy nhất và đồ thị hàm
y = f ( x)
y = f ( x)
số
có hai điểm cực trị suy ra đồ thị hàm số
có 3 điểm cực trị.

y  3 x 4  4 x3  12 x 2  m
Câu 4: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
có 7 điểm cực trị?
A. 3 .
B. 5 .
C. 6 .
D. 4 .
HD: Đáp án D

21


x0
�
�
��

x  1
3
2
2
y�
 12 x  12 x  24 x  0 � 12 x  x  x  2   0
�
x2
�

4
3
2
Xét hàm số y  3x  4 x  12 x  m có
f  x   3x 4  4 x3  12 x 2  m
Lập BBT của đồ thị hàm số
ta có :
4
3
2
y  3 x  4 x  12 x  m
Đồ thị hàm số
được vẽ bằng cách :
+) Lấy đối xúng phần đồ thị hàm số nằm phía dưới trục Ox qua trục Ox .
+) Xóa đi phần đồ thị bên dưới trục Ox .
y  3 x 4  4 x3  12 x 2  m
Do đó để đồ thị hàm số
có 7 điểm cực trị thì :
�f  0   0
m0

�
�
�
5  m  0 � 0  m  5
�f  1  0 � �
�f  2   0
�
32  m  0
�
�

m �Z � m � 1; 2;3; 4
Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
4
2
Câu 5: Cho hàm số y  x  2mx  1  m . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có ba

điểm cực trị tạo thành một tam giác nhân gốc tọa độ O làm trực tâm.
A. m  1
B. m  0
C. m  1
HD: Đáp án C

D. m  2

x 0
�
y '  4x 3  4mx  0 � �2
.
x m

�
Ta có:
Hàm số có 3 điểm cực trị m  0
Khi đó gọi

A  0;1  m  , B



 



m; m 2  m  1 , C  m.  m 2  m  1

là các điểm cực trị của đồ thị hàm số

� m  0, m  1, m  1. Kết hợp đk ta được m  1.

d  2018
�
�
f  x   a x  bx  cx  d
a  b  c  d  2018  0 . Số cực
Câu 6: Cho hàm số
với a, b, c, d ��;a  0 và �
3

trị của hàm số

y  f  x   2018

A. 3
HD: Đáp án D
Ta có hàm số
Do a  0 nên
Để ý

2

bằng

B. 2

g  x   f  x   2018

D. 5

C. 1
là hàm số bậc ba liên tục trên �.

lim g  x   �; lim g  x   �.

x ��

x ��

g  0   d  2018  0;g  1  a  b  c  d  2018  0

nên phương trình

g x  0

có đúng 3 nghiệm phân

biệt trên �.
Khi đó đồ thị hàm số

g  x   f  x   2018

y  f  x   2018
cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt nên hàm số

có đúng 5 cực trị.
22


C. Bài tập
Câu 1: Hàm số nào sau đây không có cực trị?
A. y = x3 + 3x2 – 1
B. y =
B. C. y = - x4 + 1
D. y = - 2x +
Câu 2: Trong các khẳng định sau về hàm số y = , khẳng định nào đúng?
A. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1
C. Hàm số đồng biến trên các khoảng
B. Hàm số đạt cực đại tại x = 1
D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng
Câu 3: Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Hàm số y = - x3 + 3x2 – 3 có cực đại và cực tiểu

C. Hàm số y = x3 + 3x + 1 có cực trị
B. Hàm số y = không có cực trị
D. Hàm số y = có hai cực trị
Câu 4: Cho hàm số y = . Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. thì hàm số có cực đại và cực tiểu
C. thì hàm số có cực trị
B. thì hàm số có hai điểm cực trị
D. Hàm số luôn có cực đại và cực tiểu .
3
Câu 5: Điểm cực tiểu của hàm số y = - x + 3x + 4 là:
A. x = - 1
B. x = 1
C. x = -3
D. x = 3
Câu 6: Điểm cực đại của hàm số y = là :
A. x = 0
B. x =
C. x =
D. x =
Câu 7: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = là :
A. y = x + 5
B. y = 2x + 5
C. y = 2x + 1
D. y = 2x
Câu 8: Đồ thị hàm số y = có hai điểm cực trị nằm trên đường thẳng y = ax + b với:
A. a + b = 4
B. a + b = - 4 C. a + b = 2
D. a + b = - 2
3
2

Câu 9: Biết đồ thị hàm số y = x – 3x + 1 có hai điểm cực trị. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
cực trị là:
A. y = 2x – 1
B. y = -2x – 1 C. y = 2x + 1
D. y = -2x + 1
3
2
Câu 10: Biết đồ thị hàm số y = x – x – 2x + 1 có hai điểm cực trị. Phương trình đường thẳng đi qua hai
điểm cực trị là:
A. y = 3x + 5
B. y = - 3x – 5 C. y =
D. y =
3
2
Câu 11: Biết khi m < -1 hoặc m > 1 thì hàm số y = x – 3mx + 3x + 2 có hai cực trị, khi đó phương trình
đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
A. y = 2mx + m – 2
C. y = - 2mx +3m - 1
2
B. y = 2( 1 + m )x + m + 2
D. y = 2( 1 - m2)x + m + 2
Câu 12: Cho hàm số y = x3 – mx2 + 3x + 1. Hàm số có cực đại và cực tiểu khi :
A. -3 < m < 3
B. m
C. m < -3
D. m < - 3 hoặc m > 3
4
2
Câu 13: Hàm số y = mx + 2(m – 2)x – 1 có 3 cực trị khi:
A. m < 2

B. m > 0
C. 0 < m < 2
D.
Câu 14: Giá trị của m để hàm số y = đạt cực đại tại x = 0?
A. m = 2
B. m = 1
C. m = 1 hoặc m = 2
D. m = 6
3
Câu 15: Giá trị nào của m để điểm I(-1;6) là điểm cực đại của đồ thị hàm số y = x – 3mx2 – 9x + 1(Cm):
A. m = - 1
B. m =
C. m = 1
D. m = 2
3
2
3
Câu 16: Cho hàm số y = x – 3mx + 4m (Cm). Đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng
nhau qua đường thẳng (d): y = x khi:
A.
B.
C. m = 2
D. m = - 2
Câu 17: Hàm số y = có:
A. Một cực đại và hai cực tiểu
C. Một cực đại và không có cực tiểu
B. Một cực tiểu và hai cực đại
D. Một cực tiểu và một cực đại
Câu 18: Toạ độ điểm cực đại của đồ thị hàm số y = là:
A. (-1 ; 2)

B. (1 ; 2)
C.
D. (1 ; -2)
3
2
Câu 19: Tích các giá trị cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số y = x – 3x + 1 bằng:
A. – 6
B. 0
C. – 3
D. 3
3
Câu 20: Hàm số y = x – mx + 1 có hai cực trị khi:
A. m < 0
B. m > 0
C. m = 0
D.
3
Câu 21: Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = x – 3x + 1 là:
23


A. (-1 ; -1)
B. (1 ; 3)
C. (-1 ; 1)
D. (1 ; -1)
Câu 22: Đồ thị hàm số nào sau đây có 3 cực trị:
A. y = x4 – 2x2 – 1
B. y = x4 + 2x2 C. y = 2x4 + 4x2 – 4
D. y = - x4 – 2x2 – 1
Câu 23: Khoảng cách giữa 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x3 – 3x + 4 là:

A. 4
B.
C. 5
D.
Câu 24: Cho hàm số y = . Để hàm số đạt cực trị tại x1, x2 thoả mãn
x1 + 2x2 = 1, thì giá trị m cần tìm là:
A. m = 2 hay m =
C. m = 1 hay m =
B. m = -2 hay m =
D. m = - 1 hay m =
3
2
2
Câu 25: Đồ thị hàm số y = x – ( 3m + 1)x + ( m + 3m + 2)x + 3 có điểm cực tiểu và điểm cực đại nằm về
hai phía của trục tung khi :
A. 1 < m < 2
B. 2 < m < 3
C. – 2 < m < - 1
D. – 3 < m < - 2
Câu 26: Cho hàm số y = . Gọi A(x1 ; y1), B(x2 ; y2) là toạ độ 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số thì tỉ số bằng:
A. (1 + m2)
B.
C.
D.
4
2
Câu 27: Khẳng định nào sau đây là đúng về hàm số y = x + 4x + 2:
A. Đạt cực tiểu tại x = 0
C. Có cực đại và không có cực tiểu
B. Có cực đại và cực tiểu

D. Không có cực trị
Câu 28: Cho hàm số y = . Hàm số đạt cực trị tại x1, x2 thoả x1 < - 2 < x2 khi :
A. m < 2 hoặc m > 6
B. 2 < m < 6
C. < m < 2
D. m <
3
2
2
2
Câu 29: Tìm m để hàm số y = - x + 3x + 3(m – 1)x – 3m – 1 có cực đại và cực tiểu và các điểm cực trị
của đồ thị hàm số cách đều gốc toạ độ O (ĐH – B – 2007):
A. m =
B. m = 3
C. m = 0, m =
D. m = 0, m = 2
4
2
Câu 30: Giá trị m để đồ thị hàm số y = x + mx – 1 nhận điểm I(1 ; - 2) làm điểm cực tiểu là:
A. m = 2
B. m = - 2
C. m = 1
D. m = 4
ĐÁP ÁN
1
B

2
B

3
C

4

5
A

6
A

7
B

8
B

9
D

10
C

11
D

12
D

13

C

14
A

15
C

16
A

17
A

18
B

19
C

20
B

21
D

22
A

23

D

24
A

25
C

26
C

27
A

28
D

29
A

30
B

D

24


BÀI 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ (2 TIẾT)
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ.

1. Định nghĩa.
y  f  x
Cho hàm số
xác định trên tập D.
 Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số
M  max f ( x)
x�D
Kí hiệu:
.

y  f  x

trên D nếu:

�f ( x) �M , x �D
�
x0 �D, f ( x0 )  M
�

.

�f ( x) �m, x �D
�
x0 �D, f ( x0 )  m
�

y  f  x
 Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên D nếu:
.

m  min f ( x)
x�D
Kí hiệu:
.
2. Phương pháp tìm GTLN,GTNN
2.1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y  f ( x ) trên K bằng phương pháp sử dụng bảng biến thiên .
Lưu ý: K có thể là khoảng, đoạn, nửa khoảng, ...
 Bước 1: Tìm TXĐ.
f�
 x  và tìm các điểm x1 , x2 ,..., xn �K mà tại đó f �
 x   0 hoặc hàm số không có
 Bước 2: Tính
đạo hàm.
 Bước 3: Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
2.2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn liên tục.
a. Định lý.
Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
y  f  x
 a; b liên tục.
b. Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số
trên một đoạn
x , x ,..., xn
 a; b  , tại đó f �
 x   0 hoặc f �
 x  không xác
 Bước 1: Tìm các điểm 1 2
trên khoảng
định.
f  a  , f  x1  , f  x2  ,..., f  xn  , f  b  .
 Bước 2: Tính

 Bước 3: Khi đó:
max f  x   max  f  x1  , f  x2  ,..., f  xn  , f  a  , f  b   .
  a ,b 
min f  x   min  f  x1  , f  x2  ,..., f  xn  , f  a  , f  b   .
  a ,b 
y  f  x
 a; b 
Chú ý: Cho hàm số
liên tục trên
�
min f  x   f  a 
� a ;b
�
max f  x   f  b 
�
y  f  x
a; b

�
 Nếu
đồng biến trên
thì  a;b
.
�
min f ( x )  f  b 
� a ;b 
.
�
max
f

(
x
)

f
a


�
y  f  x
 a; b thì � a;b
 Nếu
nghịch biến trên
 Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó.
B. LUYỆN TẬP.
* Mức độ nhận biết

Câu 1.

Cho hàm số y  f ( x) xác định, liên tục trên (4; 4) và có bảng biến thiên trên ( 4; 4) như
bên. Phát biểu nào sau đây đúng?
25