giao án đê ôn tập HSGL9 mới

Phòng GD & ĐT Hà Trung Đề thi học sinh giỏi lớp 9
Trờng THCS Hà Yên Năm học: 2010 2011
Môn: Toán. Thời gian: 120 phút.
đề đề xuất
Bài 1 (3.0đ) Biến đổi đơn giản các biẻu thức.
a. A =
81
34
2.
25
14
2.
16
1
3
b. B =
10099
1
9998
1
...
32
1
21
1
+
+
+
++
+
+

+
Bài 2: (4.0đ) Rút gọn và tính giá trị của biểu thức.
a. C =
baab
baab

+
1
:
Với a =
2003
11
20
b =
2003
11
18
b. Tìm các căp số (x,y) nguyên dơng thỏa mãn
x
2
- y
2
= 2003
Cõu 3 : ( 5im ) gii phng trỡnh
a)
xx
x


1

36
= 3 + 2
2
xx

b)
4
2 4 2
2 2 2
1 1
3 3 2 5
3 1
( x )
( x ) x x
( x ) ( x )

+ + =

Bi 4: (3.0 im)
Cho na ng trũn (O, R) ng kớnh AB. EF l dõy cung di ng
trờn na ng trũn sao cho E thuc cung AF v EF = R. AF ct BE ti H.
AE ct BF ti C. CH ct AB ti I
a. Tớnh gúc CIF.
b. Chng minh AE.AC + BF. BC khụng i khi EF di ng trờn na
ng trũn.
c. Tỡm v trớ ca EF t giỏc ABFE cú din tớch ln nht. Tớnh din
tớch ú.
Bi 5 ( 3 im)
Cho tam giỏc ABC nhn v O l mt im nm trong tam giỏc. Cỏc tia AO,
BO, CO ln lt ct BC, AC, AB ti M, N, P. Chng minh :

AM BN CP
+ +
OM ON OP

9
Bài 6 (2điểm). Cho 3 số a, b, c thỏa mãn
0 , , 2a b c
và a+b+c=3. Chứng
minh
3 3 3
9a b c+ +
.
đáp án và thang điểm
Câu Đáp án Thang
điểm
1
a. Kết quả
45
196
k
b. 9
1.5 đ
1.5 đ
2
a. Rút gọn : a - b
Tính đợc kết quả: 2
b. x
2
- y

2
= 2003
(x - y)(x + y)=2003
=> x -y và x+ y là ớc cùng dấu của 2003
Mà Ư(2003)
{ }
2003;1

vì x, y dơng nên x+y> x-y
Ta xét hai trờng hợp



=
=
= >



=+
=



=
=
= >

=+
=
1001
1002
1
2003
1001
1002
2003
1
y
x
yx
yx
y
x
yx
yx
1.0đ
1.0đ
0.25đ

0.25đ
0.25đ
0.5đ
0.5đ
Vậy cặp số (x,y) nguyên dơng thảo mãn x
2
-y
2

= 2003
là (x,y) = (1002,1002) 0.25đ
3
a) ĐK 0 < x < 1 và x
2
1
Kh mu v trỏi ta c phng trỡnh:
3(
xx
+
1
) = 3 + 2
2
xx

Đặt
xx
+
1
= t đk : 0 < t <
2
Phng trỡnh vit thnh : t
2
- 3 t + 2 = 0
Kt lun: x = 0 ; x = 1 l nghim ca phng trỡnh ó
cho
b)
0,5đ
0,5đ
0,5đ

0,5đ
0,5đ
4
điều kiện:
1
3
x
x
≠



≠ ±


Đặt a =(x-1)
2
; b = x
2
- 3
Phươngtrình
4
2 4 2
2 2 2
1 1
3 3 2 5
3 1
( x )
( x ) x x
( x ) ( x )

−
+ − + = − −
− −
trở thành:
2
4
2
2 2 4 2 2
4 2
2 2 2
1
2
1 1 1
1 2
1 1
a
b a b
b a
a a b ( a b )
Ta có : b a b a b
b a b a a b
+ + = +
+ +
+ + = + + ≥ = + + ≥ +
+ +
Dấu = xãy ra khi
2
1
1
a b

b

= =

=

khi đó x = 2
Vậy nghiệm của phương trình là x = 2
- BE, AF là hai đường cao của ∆ABC ⇒ CI là đường cao
thứ ba hay CI⊥AB
- ⇒Tứ giác IHFB nội tiếp ⇒ ∠HIF = ∠HBF hay ∠CIF =
∠EBF .
- ∆EOF đều nên ∠EOF = 60
0
.
- ⇒ EF = 60
0
⇒ ∠CIF = ∠EBF = 30
0
.
- Chứng minh ∆ACI đồng dạng với ∆ABE
- được:
AIABAEAC
AE
AI
AB
AC
..
=⇒=
- Tương tự ∆BCI đồng dạng với ∆BAE được:

BIBABFBC
BF
BI
BA
BC
..
=⇒=
0,5®
0,5®
0,5®
0,5®
0,5®
1®
1®
A
B
E
F
C
H
I
5
- Cộng được: AE.AC + BF. BC = AB.AI + AB.BI
=AB(AI + IB) = AB
2
= const.
- Chứng minh ∆ABC đồng dạng với ∆FEC.
-
4
1

2
22
=






=






=
R
R
AB
EF
S
S
ABC
FEC

ABCABFE
SS
4
3

=⇒
- Để
ABFE
S
lớn nhất ⇒
ABC
S
lớn nhất ⇒ CI lớn nhất. C
chạy trên cung chứa góc 60
0
vẽ trên AB nên CI lớn nhất khi
I ≡ O ⇒ ∆CAB cân ⇒ EF // AB.
- Lúc đó
4
3.3
3.
2
3..2
2
2
R
SR
RR
S
ABFEABC
=⇒==


N
A

B
C
O
K
H
M
P
Từ A và O kẻ AH
⊥
BC
OK
⊥
BC (H, K
∈
BC)
⇒
AH // OK
Nên
OM OK
AM AH
=
(1)
1
.
2
1
.
2
BOC
ABC

OK BC
S
OK
S AH
AH BC
= =

(2)
(1) , (2)
⇒
BOC
ABC
S
OM
S AM
=
Tương tự :
AOC
ABC
S
ON
S BN
=

AOB
ABC
S
OP
S CP
=

Nên
1
BOC AOC AOB
ABC ABC ABC
S S S
OM ON OP
AM BN CP S S S
+ + = + + =
(3)
Với ba số dương a,b,c ta chứng minh được:
(a+ b + c) (
1 1 1
a b c
+ +
)
≥
9
1®
0,5đ
0,5đ
1đ
6
Nên (
)( ) 9
OM ON OP AM BN CP
AM BN CP OM ON OP
+ + + + ≥
(4)
Từ (3) ,(4) suy ra :

9
AM BN CP
OM ON OP
+ + ≥
(đpcm)
V× vai trß cña a, b, c nh nhau, kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶
sö:
a b c
≤ ≤
.
Khi ®ã v×
0 , , 2a b c≤ ≤
vµ a+b+c=3 nªn ta cã 0
≤
a
≤
1
⇒
3
a a≤
1
≤
c
≤
2
⇒
(c-1)(c-2)(c+3)
≤
0
⇒

3
7 6c c≤ −
XÐt hai trêng hîp cña b
+NÕu 0
≤
b
≤
1
⇒

3
b b≤
. Khi ®ã ta cã
3 3 3
7 6a b c a b c+ + ≤ + + −
Mµ a+b+7c-6 = (a+b+c)+6c-6
≤
3+6.2-6=9
⇒
3 3 3
9a b c+ + ≤
+ NÕu 1
≤
b
≤
2
⇒
3
7 6b b≤ −
Khi ®ã ta cã

( )
3 3 3
7 6 7 6 7 6 12 9 6 9a b c a b c a b c a a+ + ≤ + − + − = + + − − = − ≤
(v×
-6a
≥
0)
KÕt luËn
3 3 3
9a b c+ + ≤
(®pcm)
1đ
0,5®
0,5®
0,5®
0,5®