TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG ĐỘI TUYỂN VIỆT NAM THAM DỰ IMO NĂM 2010

Tài li u b i dư ng ñ i tuy n Vi t Nam
tham d IMO 2010

Tháng 6 - 2010


Vietnamese IMO Team Training Camp 2010

M cl c
1.
2.
3.
4.
5.
6.

Các phương pháp và k thu t ch ng minh
Nguyên lý chu ng và th
Gi i phương trình hàm b ng cách l p phương trình
Các bài toán t i ưu v h các t p h p
V kỳ thi ch n ñ i tuy n Vi t Nam d thi IMO 2010
B t ñ ng th c: M t s ví d và bài t p ch n l c

2 | Tr n Nam Dũng – 6/2010

2
42
50
63
69
80

Vietnamese IMO Team Training Camp 2010

Các phương pháp và k thu t ch ng minh
Trong toán h c cũng như trong cu c s ng, c n bi t:
Linh ho t x lý tình hu ng, ch n l a phương án t i ưu
Tr n Nam Dũng
Trư ng Đ i h c KHTN Tp HCM
Các ñ nh lý toán h c phát bi u v các tính ch t c a các ñ i tư ng toán h c và m i quan
h gi a chúng. Và nh ng kh ng ñ nh này c n ñư c ch ng minh xu t phát t các tiên ñ ,
các ñ nh lý và tính ch t ñã ñư c ch ng minh trư c ñó. Và ñ th c hi n bư c ch ng minh,
ta c n có nh ng quy t c suy di n ñ ch ng minh là ch!t ch" v m!t toán h c.
V i các bài toán Olympic cũng v y, yêu c u ch ng minh m t k#t qu nào ñó luôn hi n
di n, ngay c trong nh ng bài không có c m t “ch ng minh r ng”. Ch ng h$n ñ gi i
phương trình x3 – 3x + 1 = 0 có th ta s" ph i ch ng minh t t c các nghi m c a chúng
thu c ño$n [-2, 2], ñ gi i phương trình hàm f(x2 + f(y)) = f2(x) + y có th ta s" ph i
ch ng minh f là toàn ánh ...
Bài vi#t này nói v hai phương pháp và m t s k thu t ch ng minh cơ b n: ch ng minh
ph n ch ng, ch ng minh quy n$p, ch ng minh ph n ch ng, dùng m nh ñ ph n ñ o,
ph n ví d nh nh t, ví d và ph n ví d , s% d ng nguyên lý Dirichlet, nguyên lý c c h$n,
nguyên lý b t bi#n, s% d ng tô màu, ñ#m b ng hai cách, s p x#p th t …
Cách ti#p c n c a chúng ta là s" thông qua các ví d ñ nói v các phương pháp và k
thu t. & ñây s" ch' có các nh n xét, bình lu n, các nguyên t c chung ch không ñư c
trình bày h th ng như m t lý thuy#t.
Bài vi#t này ñ u tiên ñư c vi#t và trình bày trong chương trình “G!p g g Toán h c
2010”, ñư c t( ch c vào tháng 1 năm 2010, sau ñó ñư c b( sung, hoành ch'nh và trình
bày t$i H i ngh khoa h c “Các chuyên ñ chuyên Toán và ng d ng” t( ch c t$i Ba Vì,
tháng 5/2010. Cu i cùng, ñ chu*n b cho ñ i tuy n Vi t Nam thi Olympic Toán qu c t#,
bài vi#t ñư c b( sung thêm các ph n v Đ#m b ng hai cách, Nguyên lý c c h$n, S p x#p

th t và ng d ng c a các phương pháp và k thu t ch ng minh trong bài toán T i ưu t(
h p.
1. Phép ch ng minh ph n ch ng
M t s ví d m ñ u
Ch ng minh ph n ch ng có th nói là m t trong nh ng vũ khí quan tr ng c a toán h c.
Nó cho phép chúng ta ch ng minh s có th và không có th c a m t tính ch t nào ñó, nó
3 | Tr n Nam Dũng – 6/2010


Vietnamese IMO Team Training Camp 2010
cho phép chúng ta bi#n thu n thành ñ o, bi#n ñ o thành thu n, nó cho phép chúng ta lý
lu n trên nh ng ñ i tư ng mà không rõ là có t n t$i hay không. Ví d kinh ñi n nh t v
phép ch ng minh ph n ch ng thu c v Euclid v i phép ch ng minh
Đ nh lý. T n t i vô s s nguyên t .
& ñây, Euclid ñã gi s% ngư c l$i r ng t n t$i h u h$n s nguyên t p1, p2, …, pn. Ông xét
tích N = p1p2…pn + 1. N ph i có ít nh t 1 ư c s nguyên t p. Khi ñó, do p1, p2, …, pn là
t t c các s nguyên t nên t n t$i i sao cho p = pi. Nhưng khi ñó p | 1, mâu thu,n.
Bài t p
1. Ch ng minh r ng t n t$i vô s s nguyên t d$ng 4k+3.
2. Ch ng minh r ng t n t$i vô s s nguyên t d$ng 4k+1.

Phương pháp xu ng thang
M t ch ng minh n(i ti#ng khác b ng phương pháp ph n ch ng chính là ch ng minh c a
Euler cho ñ nh lý nh Fermat v i trư-ng h p n = 4.
Đ nh lý. Phương trình x4 + y4 = z4 (1) không có nghi m nguyên dương.
Ông ñã gi s% r ng phương trình (1) có nghi m nguyên dương. Khi ñó, theo nguyên lý
c c h n, t n t$i nghi m (x0, y0, z0) v i x0 + y0 + z0 nh nh t. Sau ñó, b ng cách s% d ng
c u trúc nghi m c a phương trình Pythagore x2 + y2 = z2, ông ñi ñ#n s t n t$i c a m t
nghi m (x1, y1, z1) có x1 + y1 + z1 < x0 + y0 + z0. Mâu thu,n.
Phương pháp này thư-ng ñư c g i là phương pháp xu ng thang.

Bài t p
3. Ch ng minh r ng phương trình x3 + 3y3 = 9z3 không có nghi m nguyên dương.
4. Ch ng minh r ng phương trình x2 + y2 + z2 = 2xyz không có nghi m nguyên dương.

S d ng m nh ñ ph n ñ o
Ch ng minh s% d ng m nh ñ ph n ñ o cũng là m t phương án ch ng minh ph n ch ng
hay ñư c s% d ng. Cơ s. c a phương pháp là ñ ch ng minh A
B, ta có th ch ng
minh B → A . V m!t b n ch t thì hai phép suy di n này có v/ gi ng nhau, nhưng trong
th c t# thì l$i khá khác nhau. Ta th% xem xét 1 vài ví d .
Ví d 1. Ch ng minh r ng hàm s

f ( x) =

x
x2 +1

là m t ñơn ánh t R vào R.

4 | Tr n Nam Dũng – 6/2010


Vietnamese IMO Team Training Camp 2010
Ví d 2. Ch ng minh r ng n u (p-1)! + 1 là s nguyên t thì p là s nguyên t .
Trong ví d 1, rõ ràng vi c ch ng minh x1 ≠ x2 suy ra f(x1) ≠ f(x2) khó khăn hơn vi c
ch ng minh f(x1) = f(x2) suy ra x1 = x2, dù r ng v m!t logic, hai ñi u này là tương
ñương.
Trong ví d 2, g n như không có cách nào khác ngoài cách ch ng minh n#u p là h p s , p
= r.s thì (p-1)! + 1 không chia h#t cho p.
Bài t p.

5. Cho hàm s f: R R tho mãn các ñi u ki n sau
1) f ñơn ñi u ;
2) f(x+y) = f(x) + f(y) v i m i x, y thu c R.
6. Cho a, b, c là các s th c không âm tho mãn ñi u ki n a2 + b2 + c2 + abc = 4. Ch ng minh r ng a + b
+ c ≤ 3.

Phương pháp ph n ví d nh nh t
Trong vi c ch ng minh m t s tính ch t b ng phương pháp ph n ch ng, ta có th có
thêm m t s thông tin b( sung quan tr ng n#u s% d ng ph n ví d nh nh t. Ý tư.ng là
ñ ch ng minh m t tính ch t A cho m t c u hình P, ta xét m t ñ!c trưng f(P) c a P là
m t hàm có giá tr nguyên dương. Bây gi- gi s% t n t$i m t c u hình P không có tính
ch t A, khi ñó s" t n t$i m t c u hình P0 không có tính ch t A v i f(P0) nh nh t. Ta s"
tìm cách suy ra ñi u mâu thu,n. Lúc này, ngoài vi c chúng ta có c u hình P0 không có
tính ch t A, ta còn có m i c u hình P v i f(P) < f(P0) ñ u có tính ch t A.
Ví d 3. Cho ngũ giác l i ABCDE trên m t ph ng to ñ có to ñ các ñ nh ñ u nguyên.
a) Ch ng minh r ng t n t i ít nh t 1 ñi m n m trong ho c n m trên c nh c a ngũ giác
(khác v i A, B, C, D, E) có to ñ nguyên.
b) Ch ng minh r ng t n t i ít nh t 1 ñi m n m trong ngũ giác có to ñ nguyên.
c) Các ñư ng chéo c a ngũ giác l i c t nhau t o ra m t ngũ giác l i nh A1B1C1D1E1
bên trong. Ch ng minh r ng t n t i ít nh t 1 ñi m n m trong ho c trên biên ngũ giác l i
A1B1C1D1E1.
Câu a) có th gi i quy#t d dàng nh- nguyên lý Dirichlet: Vì có 5 ñi m nên t n t$i ít nh t
2 ñi m X, Y mà c!p to$ ñ (x, y) c a chúng có cùng tính ch0n l/ (ta ch' có 4 trư-ng h p
(ch0n, ch0n), (ch0n, l/), (l/, ch0n) và (l/, l/)). Trung ñi m Z c a XY chính là ñi m c n
tìm.
Sang câu b) lý lu n trên ñây chưa ñ , vì n#u XY không ph i là ñư-ng chéo mà là c$nh thì
Z có th s" n m trên biên. Ta x% lý tình hu ng này như sau. Đ ý r ng n#u XY là m t
c$nh, ch ng h$n là c$nh AB thì ZBCDE cũng là m t ngũ giác l i có các ñ'nh có to$ ñ
ñ u nguyên và ta có th l!p l$i lý lu n nêu trên ñ i v i ngũ giác ZBCDE, … Ta có th
5 | Tr n Nam Dũng – 6/2010

Vietnamese IMO Team Training Camp 2010
dùng ñơn bi n ñ ch ng minh quá trình này không th kéo dài mãi, và ñ#n m t lúc nào
ñó s" có 1 ngũ giác có ñi m nguyên n m trong.
Tuy nhiên, ta có th trình bày l$i lý lu n này m t cách g n gàng như sau: Gi s% t n t$i
m t ngũ giác nguyên mà bên trong không ch a m t ñi m nguyên nào (ph n ví d ). Trong
t t c các ngũ giác như v y, ch n ngũ giác ABCDE có di n tích nh nh t (ph n ví d nh
nh t). N#u có nhi u ngũ giác như v y thì ta ch n m t trong s chúng. Theo lý lu n ñã
trình bày . câu a), t n t$i hai ñ'nh X, Y có c!p to$ ñ cùng tính ch0n l/. Trung ñi m Z
c a XY s" có to$ ñ nguyên. Vì bên trong ngũ giác ABCDE không có ñi m nguyên nào
nên XY ph i là m t c$nh nào ñó. Không m t tính t(ng quát, gi s% ñó là AB. Khi ñó ngũ
giác ZBCDE có to$ ñ các ñ'nh ñ u nguyên và có di n tích nh hơn di n tích ngũ giác
ABCDE. Do tính nh nh t c a ABCDE (ph n ví d nh nh t phát huy tác d ng!) nên bên
trong ngũ giác ZBCDE có 1 ñi m nguyên T. Đi u này mâu thu,n vì T cũng n m trong
ngũ giác ABCDE.
Bài t p
7. Gi i ph n c) c a ví d 3.
8. (Đ nh lý Bezout) Ch ng minh r ng n#u (a, b) = 1 thì t n t$i u, v sao cho au + bv = 1.
9. Trên m!t ph ng ñánh d u m t s ñi m. Bi#t r ng 4 ñi m b t kỳ trong chúng là ñ'nh c a m t t giác l i.
Ch ng minh r ng t t c các ñi m ñư c ñánh d u là ñ'nh c a m t ña giác l i.

Ph n ch ng trong các bài toán ch ng minh s không t n t i
Phương pháp ph n ch ng thư-ng hay ñư c s% d ng trong các bài toán b t bi n ho!c bài
toán ph hình ñ ch ng minh s không th c hi n ñư c. Sau ñây chúng ta xem xét 2 ví d
như v y.
Ví d 4. Xét hình vuông 7 × 7 ô. Ch ng minh r ng ta có th xoá ñi m t ô ñ ph n còn l i
không th ph kín b ng 15 quân trimino kích thư c 1 × 3 và 1 quân trimino hình ch L.
Ta ch ng minh r ng n#u b ñi m t ô . góc trên bên trái thì ph n còn l$i không th ph
ñư c b ng các quân triminô ñã cho.

Đ làm ñi u này, ta ñánh s các ô vuông như sau
1
1
1
1
1
1
1

2
2
2
2
2
2
2

3
3
3
3
3
3
3

1
1
1
1
1

1
1

2
2
2
2
2
2
2

3
3
3
3
3
3
3

1
1
1
1
1
1
1
6 | Tr n Nam Dũng – 6/2010


Vietnamese IMO Team Training Camp 2010

Khi ñó, nh n xét r ng 1 quân triminô kích thư c 1 × 3 s" che 3 s 1, 2, 3 (n#u nó n m
ngang) ho!c 3 s gi ng nhau (n#u nó n m d c). Như v y t(ng các s mà m t quân
triminô 1 × 3 che luôn chia h#t cho 3. Trong khi ñó d th y quân triminô hình ch L che
3 s có t(ng không chia h#t cho 3.
Bây gi- gi s% ngư c l$i r ng hình vuông 7 × 7 b ñi ô . góc trên bên trái có th ph
ñư c b ng 15 quân triminô 1 × 3 và 1 quân triminô hình ch L thì theo lý lu n trên, t(ng
s các s mà các quân triminô này che s" không chia h#t cho 3. Đi u này mâu thu,n vì
t(ng các s trên các ô còn l$i b ng
20 × 1 + 14 × 2 + 14 × 3 = 90
chia h#t cho 3!
Mâu thu,n trên ch ng t ñi u gi s% là sai và ta có ñi u ph i ch ng minh.
Ví d 5. Hình tròn ñư!c b i 5 ñư ng kính thành thành 10 ô b ng nhau. Ban ñ u trong
m"i ô có 1 viên bi. M"i l n th c hi n, cho phép ch n 2 viên bi b t kỳ và di chuy n chúng
sang ô bên c nh, 1 viên theo chi u kim ñ ng h và 1 viên ngư!c chi u kim ñ ng h . H i
sau m t s h u h n l n th c hi n, ta có th chuy n t t c các viên bi v cùng 1 ô ñư!c
không?
N#u làm th% thì chúng ta s" th y r ng không th th c hi n ñư c yêu c u. Chúng ta có th
cùng l m là d n 9 viên bi v 1 ô, còn 1 viên bi khác thì không th d n ñư c. Nhưng làm
th# nào ñ ch ng minh ñi u này? L-i gi i hóa ra là khá ñơn gi n. Ta s" dùng ph n ch ng
k#t h p v i b t bi#n.
Ta tô màu các ô b ng hai màu ñen tr ng xen k" nhau. G i S là t(ng s viên bi n m . các
ô ñen thì . tr$ng thái ban ñ u ta có S = 5. N#u gi s% ngư c l$i r ng ta có th ñưa các
viên bi v cùng 1 ô thì . tr$ng thái cu i cùng này, ta s" có S = 0 (n#u ta d n các viên bi
v m t ô tr ng) ho!c S = 10 (n#u ta d n các viên bi v m t ô ñen).
Bây gi- ta s" thu ñư c ñi u mâu thu,n n#u ta ch ng minh ñư c qua các l n th c hi n thì
tính ch0n l/ c a S s" không thay ñ(i, t c là n#u ban ñ u S là s l/ thì qua các l n th c
hi n, S s" luôn là s l/ (và s" không th b ng 0 ho!c b ng 10).
N#u nh n xét r ng các ô ñen tr ng xen k" nhau thì ñi u mà chúng ta c n ch ng minh khá
hi n nhiên và chúng tôi xin dành phép ch ng minh chi ti#t cho b$n ñ c.
Bài t p

10. Hình vuông 5 x 5 b ñi ô . g c trên bên trái. Ch ng minh r ng có th ph ph n còn l$i b ng 8 quân
trimino hình ch L nhưng không th ph ñư c b ng 8 quân trimino hình ch kích thư c 1 x 3. Tìm t t c
các giá tr k sao cho có th ph ph n còn l$i b ng k quân trimino 1 x 3 và 8-k trimino hình ch L.
11. Xét hình vuông 7 × 7 ô. Tìm t t c các ô mà n#u ta xóa ñi ô ñó thì ph n còn l$i có th ph kín b ng 15
quân trimino kích thư c 1 × 3 và 1 quân trimino hình ch L.

7 | Tr n Nam Dũng – 6/2010


Vietnamese IMO Team Training Camp 2010
12. Trên vòng tròn ban ñ u theo m t th t tuỳ ý có 4 s 1 và 5 s 0. & kho ng gi a hai ch s gi ng
nhau ta vi#t s 1 và . kho ng gi a hai ch s khác nhau ta vi#t s 0. Các s ban ñ u b xoá ñi. H i sau
m t s l n th c hi n như v y ta có th thu ñư c m t b g m 9 s 0?
13. Cho trư c các hàm s f1(x) = x2 + 2x, f2(x) = x + 1/x, f3(x) = x2 - 2x . Cho phép th c hi n các phép
toán c ng hai hàm s , nhân hai hàm s , nhân m t hàm s v i m t h ng s tuỳ ý. Các phép toán này có th
ti#p t c ñư c th c hi n nhi u l n trên fi và trên các k#t qu thu ñư c. Ch ng minh r ng có th thu ñư c
hàm s 1/x t các hàm s f1, f2, f3 b ng các s% d ng các phép toán trên nhưng ñi u này không th th c
hi n ñư c n#u thi#u m t trong 3 hàm f1, f2, f3.

Ph n ch ng trong các bài toán b t ñ ng th c
Trong ch ng minh b t ñ ng th c, phương pháp ph n ch ng thư-ng dùng ñ ñ o ñi u
ki n và k#t lu n v i nhau trong trư-ng h p ñi u ki n thì ph c t$p, còn b t ñ ng th c c n
ch ng minh thì ñơn gi n.
Ví d 1. Ch ng minh r ng n#u a, b, c là các s th c không âm th a mãn ñi u ki n a2 + b2
+ c2 + abc = 4 thì a + b + c ≤ 3.
Ví d 2. (IMO 2001) Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng ta có b t ñ ng
th c
a
a 2 + 8bc

+

b
b 2 + 8ca

+

c
c 2 + 8ab

≥1

Đ phá các căn th c, ta ñ!t:
x=

a
a + 8bc
2

,y=

b
b + 8ca
2

,z=

c
c + 8ab
2

.

Rõ ràng x, y, z ∈ (0, 1). Ta c n ch ng minh r ng x + y + z ≥ 1. Chú ý r ng
1
a2
x2
b2
y2
c2
z2
x2
y2
z2
.
.
,
=
,
=
=
⇒
=
512 1 − x 2 1 − y 2 1 − z 2
8bc 1 − x 2 8ca 1 − y 2 8ab 1 − z 2

Như v y, ta c n ch ng minh r ng
x + y + z ≥ 1, trong ñó x, y, z ∈ (0, 1) và (1-x2)(1-y2)(1-z2) = 512x2y2z2
Nhưng n#u x + y + z < 1 thì theo b t ñ ng th c AM-GM ta có
(1-x2)(1-y2)(1-z2) > ((x+y+z)2-x2)((x+y+z)2-y2)((x+y+z)2-z2)

= (y+z)(y+z+2x)(z+x)(z+x+2y)(x+y)(x+y+2z)
≥ 2(yz)1/2.4(yzx2)1/4.2(zx)1/2.4(zxy2)1/4.2(xy)1/2.4(xyz2)1/4 = 512x2y2z2.
Mâu thu,n.
Ví d 3. Cho a, b, c, d là các s th c không âm có t(ng b ng 4. Đ!t
Fk = (1+ak)(1+bk)(1+ck)(1+dk)
Ch ng minh r ng F4 ≥ F3.

8 | Tr n Nam Dũng – 6/2010


Vietnamese IMO Team Training Camp 2010
Gi s% ngư c l$i, t n t$i b b n s (a, b, c, d) th a mãn: a, b, c, d ≥ 0, a + b + c + d = 4 và
F4 < F3 (1).
Theo b t ñ ng th c Cauchy-Schwarz, ta có F4F2 ≥ F32, F3F1 ≥ F22, F2F0 ≥ F12 (2). T (1)
và (2) suy ra F4 < F3 < F2 < F1 < F0 = 16 (3). T (3) ta có F4 < 16, suy ra max(a,b,c,d) <
2.
Đ d,n t i mâu thu,n v i (3), ta s" ch ng minh F3 ≥ F1 (4). Ph n này ch ng minh b ng
d n bi#n và ñư c xem như m t bài t p.
Ví d 4. (Cezar Lupu) Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a + b + c +
abc = 4. Ch ng minh r ng
a
b+c

+

b
c+a

+

c
a+b

≥

2
.(a + b + c)
2

Gi i.
Theo b t ñ ng th c Cauchy Schwarz, ta có

(a

)

 a
b
c 
+
+
b + c + b c + a + c a + b 
 ≥ (a + b + c) 2
c+a
a+b 
 b+c

Ti#p t c áp d ng b t ñ ng th c Cauchy Schwarz
(a + b + c)(a (b + c) + b(c + a ) + c(a + b)) ≥ a b + c + b c + a + c a + b

T ñó suy ra
a
b+c

+

b
c+a

+

c
a+b

≥

2
a+b+c
.(a + b + c)
2
ab + bc + ca

Như v y ta ch' còn c n ch ng minh a + b + c ≥ ab + bc + ca.
B t ñ ng th c Schur v i r = 1 có th vi#t dư i d$ng
9abc
≥ 4(ab + bc + ca) − (a + b + c) 2
a+b+c

Bây gi- gi s% ngư c l i, ta có a + b + c < ab + bc + ca thì
9abc

≥ 4(ab + bc + ca) − (a + b + c) 2 > (a + b + c)(4 − (a + b + c)) = abc(a + b + c)
a+b+c

Suy ra a + b + c < 3. Nhưng khi ñó abc < 1 và suy ra 4 = a + b + c + abc < 4, mâu thu,n.
Bài t p
14. (MOP) Cho n ≥ 2 c ñ nh. Cho x1, …, xn là các s dương th a mãn ñi u ki n

1
1
1
+
+ ... +
x1 x 2
xn
1
1
1
Ch ng minh r ng
+
+ ... +
≤ 1.
n − 1 + x1 n − 1 + x 2
n − 1 + xn
x1 + x 2 + ... + x n =

9 | Tr n Nam Dũng – 6/2010


Vietnamese IMO Team Training Camp 2010

15. (Pu-Ro Loh) Cho a, b, c > 1 th a mãn ñi u ki n

1
1
1
+ 2
+ 2
= 1 . Ch ng minh r ng
a −1 b −1 c −1
2

1
1
1
≤ 1.
+
+
a +1 b +1 c +1
16. Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n

1 1 1
+ + ≥ a + b + c . Ch ng minh r ng
a b c

a + b + c ≥ 3abc.

17. (IMO 1991) Cho tam giác ABC và ñi m P n m trong tam giác. Ch ng minh r ng m t trong
các góc ∠PAB, PBC, PCA nh hơn ho!c b ng 300.

M t s ñ%nh lý và tính ch t ch ng minh b ng phương pháp ph n ch ng

Cu i cùng, ta s% d ng phương pháp ph n ch ng ñ ch ng minh m t s tính ch t quan
tr ng trong chương trình toán Olympic.
Đ nh lý.
a) N
b) N
c) N
d) N

u p là s
u p là s
u p là s
u p là s

nguyên t
nguyên t
nguyên t
nguyên t

d
d
d
d

ng 4k+1 thì t n t i x sao cho x2 + 1 chia h t cho p;
ng 4k+3 thì không t n t i x sao cho x2 + 1 chia h t cho p.
ng 6k+1 thì t n t i x sao cho x2 + 3 chia h t cho p;
ng 6k+5 thì không t n t i x sao cho x2 + 3 chia h t cho p.

Ch ng minh
a) Gi s% ngư c l$i, không t n t$i x sao cho x2 + 1 chia h#t cho p. Xét a b t kỳ thu c

A = {1, 2, …, p-1}. D dàng ch ng minh ñư c r ng t n t$i duy nh t m(a) thu c A
sao cho a.m(a) ≡ -1 (mod p). Hơn n a, n#u a ≠ b thì m(a) ≠ m(b). Cu i cùng, do
không t n t$i x ñ x2 + 1 chia h#t cho p nên a ≠ m(a). Như v y các s 1, 2, …, p-1
ñư c phân thành (p-1)/2 c!p (a, b) v i a.b ≡ -1 (mod p). Nhân các ñ ng dư th c
này l$i v i nhau, chú ký (p-1)/2 = 2k, ta có
(p-1)! ≡ (-1)2k ≡ 1 (mod p)
Đi u này mâu thu,n v i ñ nh lý Wilson: (p-1)! ≡ -1 (mod p)!
b) Gi s% t n t$i x sao cho x2 + 1 ≡ 0 (mod p)
x2 ≡ -1 (mod p)
(x2)2k+1 ≡ -1 (mod p)
x4k+2 ≡ -1 (mod p)
M!t khác, theo ñ nh lý nh Fermat, ta có
x4k+2 ≡ 1 (mod p)
T ñây suy ra 2 ≡ 0 (mod p), mâu thu,n. V y ñi u gi s% là sai, t c là không t n t$i x
sap cho x2 + 1 chia h#t cho p.

10 | Tr n Nam Dũng – 6/2010


Vietnamese IMO Team Training Camp 2010
c) d) Đư c ch ng minh tương t d a vào dãy m nh ñ tương ñương sau
Phương trình ñ ng dư x2 + 3 ≡ 0 (mod p) có nghi m
Phương trình x2 + x + 1 ≡ 0 (mod p) có nghi m
Phương trình x3 ≡ 1 (mod p) có nghi m x ≠ 1 (mod p).
Đ nh lý.
R là m t hàm c ng tính nhưng không tuy n tính, thì ñ th% G(f) = (x,
N u f: R
f(x)) trù m&t trong R2.
Có nghĩa là n u f(x+y) = f(x) + f(y) v i m i x, y thu c R và không t n t i a thu c R
sao cho f(x) = ax thì G(f) trù m&t trong R2.

Ch ng minh. Gi s% f là m t hàm c ng tính nhưng không tuy#n tính. Ta ñ!t c = f(1) và
ch n s th c α sao cho f(α) ≠ cα. Ta xét hàm s g m i
g ( x) =

f ( x) − cx
.
f (α ) − cα

Tính c ng tính c a f suy ra g cũng c ng tính trên R. Hơn n a g(1) = 0. S% d ng tính c ng
tính c a g, ta suy ra r ng g(q) = qg(1) v i m i q h u t5. Như v y ta có g(q) = 0 v i m i q
h u t5.
Xét m t ñĩa Dr(x, y) b t kỳ. Ch n s h u t5 q sao cho |q-y| < r/2 và s h u t5 p sao cho |p
– (x-qα)| < r/2. Khi ñó ta có
(p + qα -x)2 + (q-y)2 < r2/4 + r2/4 = r2/2 < r2.
Như v y ñi m (p + qα, q) n m trong ñĩa Dr(x, y). Hơn n a, theo tính c ng tính c a g, ta
có
g(p+qα) = g(p) + qg(α) = qg(α) = q
Suy ra ñi m (p + qα, q) n m trên G(g), ñ th c a g.
Đi u này ch ng t r ng m i ñĩa m. trong R2 ñ u ch a m t ñi m nào ñó c a g. Ta và như
v y G(g) là trù m t trong R2. Ta quay tr. l$i v i f và s" s% d ng thông tin này. Ta có
f(x) = ug(x) + cx,
trong ñó u = f(α) - cα. Xét ñĩa Dr(a, b) b t kỳ trong R2. Xét ñĩa D ñư c cho b.i
D = Ds(a, (b-cα)/u),
v i s=

r2
, β = max{2u 2 ,1 + 2c 2 } .
2β

Vì G(g) trù m t trong R2, ta tìm ñư c s th c y sao cho (y, g(y)) thu c D. Bây gi- xét

ñi m (y, ug(y) + cy) thu c G(f), phép ki m tra tr c ti#p cho th y ñi m này thu c Dr(a, b)
. Đi u này ch ng t r ng G(f) trù m t trong R2.
Đ nh lý.
Cho f, g, h là các ña th c thu c R[x] tho mãn các ñi u ki n
i)
deg(f) = deg(g) + deg(h)
11 | Tr n Nam Dũng – 6/2010


Vietnamese IMO Team Training Camp 2010
deg(g) > deg(h) ho c deg(g) = deg(h) và g* + h* ≠ 0, trong ñó g*, h*
tương ng là các h s cao nh t c a g và h.
Khi ñó v i m i n nguyên dương, t n t i không quá 1 ña th c P(x) có b&c n tho mãn
ñi u ki n
P(f) = P(g)P(h).
ii)

Ch ng minh:
Gi s% P là ña th c b c n tho mãn phương trình (1), deg(f) = f, deg(g) = g, deg(h) = h,
các h s cao nh t c a P, f, g, h tương ng là P*, f*, g*, h*. So sánh h s cao nh t hai v#
c a các ña th c trong phương trình
P(f(x))P(g(x)) = P(h(x))
ta có P*(f*)n.P*(g*)n = P*(h*)n t ñó suy ra P* = (h*/f*g*)n.
Như v y, n#u gi s% ngư c l$i, t n t$i m t ña th c Q b c n (khác P) cũng tho mãn
phương trình (1) thì Q* = P* và ta có
Q(x) = P(x) + R(x) v i 0 ≤ r = deg(R) < n
(ta quy ư c b c c a ña th c ñ ng nh t 0 b ng -∞, do ñó deg(R) ≥ 0 ñ ng nghĩa R không
ñ ng nh t 0)
Thay vào phương trình (1), ta ñư c
(P(f) + R(f))(P(g) + R(g)) = P(h) + R(h)

P(f)P(g) + P(f)R(g) + R(f)P(g) + R(f)R(g) = P(h) + R(h)
P(f)R(g) + R(f)P(g) + R(f)R(g) = R(h)
(2)
Bây gi- ta xét các trư-ng h p
i)
deg(f) ≠ deg(g). Gi s% f > g. Khi ñó b c c a các ña th c . v# trái (2) l n lư t
là nf + rg, rf + ng, rf + rg, và do nf + rg > rf + ng > rf + rg nên v# trái có b c là
nf + rg. Trong khi ñó v# ph i có b c là rh = r(f+g) < nf + rg. Mâu thu,n.
ii)
deg(f) = deg(g). Khi ñó, hai ña th c ñ u tiên . v# trái c a (2) cùng có b c là nf
+ rg = ng + rf và có th x y ra s tri t tiêu khi th c hi n phép c ng. Tuy nhiên,
xét h s cao nh t c a hai ña th c này, ta có h s c a xnf + rg trong ña th c th
nh t và th hai l n lư t b ng P*(f*)nR*(g*)r, R*(f*)rP*(g*)n. Như th#, b c c a
xnf+rg trong t(ng hai ña th c b ng
P*R*f*rg*r(f*(n-r)+g*(n-r)) ≠ 0 do f* + g* ≠ 0. Như v y, b c c a v# trái c a (2)
v,n là nf + rg, trong khi ñó b c c a v# ph i là rh = rf + rg < nf + rg. Mâu thu,n.
Đ nh lý ñư c ch ng minh hoàn toàn.
Bài t p
18. Ch ng minh r ng các phương trình sau ñây không có nghi m nguyên dương
a) 4xy – x – y = z2;
b) x2 – y3 = 7.
19. Ch ng minh r ng không t n t$i hàm s f: N*
a) f(2) = 3;

N* tho mãn các ñi u ki n:

12 | Tr n Nam Dũng – 6/2010


Vietnamese IMO Team Training Camp 2010

b) f(mn) = f(m)f(n) v i m i m, n thu c N*;
c) f(m) < f(n) v i m i m < n.
20. H i có t n t$i hay không các s nguyên x, y, u, v, t th a mãn ñi u ki n sau
x2 + y2 = (x+1)2 + u2 = (x+2)2 + v2 = (x+3)2 + t2.
21. Ch ng minh ñ nh lý sau: Cho f, g, h là các ña th c không h ng th a mãn ñi u ki n deg(f) + deg(g) =
deg(h), Q là m t ña th c cho trư c. Khi ñó, v i m7i s nguyên dương n và s th c a, t n t$i nhi u nh t
m t ña th c P th a mãn ñ ng th-i các ñi u ki n sau: i) deg(P) = n, ii) P* = a iii) P(f)P(g) = P(h) + Q.

2. Quy n p toán h c
Quy n$p toán h c là m t trong nh ng nét ñ!c trưng c a suy lu n trong toán h c. Tư duy
quy n$p r t c n thi#t trong s h c, ñ$i s , t( h p, hình h c và gi i tích, nói chung là trong
t t c các lĩnh v c c a toán h c.
Quy n p toán h c và b t ñ ng th c
G!p các b t ñ ng th c có nhi u bi#n s , ta có th nghĩ ngay ñ#n phép quy n$p toán h c.
Dĩ nhiên, vi c áp d ng quy n$p th# nào luôn là c m t ngh thu t.
Ví d 1. (Ch ng minh b t ñ ng th c Cauchy b ng quy n$p ti#n).
Cho a1, a2, …, an là các s th c không âm. Ch ng minh r ng ta luôn có
a1 + a 2 + ... + a n ≥ n n a1 a 2 ...a n

Trong các tài li u, b t ñ ng th c này thư-ng ñư c ch ng minh b ng phép quy n p lùi,
hay quy n p ki u Cauchy. & ñây chúng ta trình bày m t phép ch ng minh khác.
Cơ s. quy n$p v i n = 1, 2 ñư c ki m tra d dàng. Gi s% b t ñ ng th c ñã ñư c ch ng
minh cho n s . Xét n+1 s không âm a1, a2, …, an+1. Đ!t a1a2…an+1 = An+1. N#u t t c các
s b ng nhau thì b t ñ ng th c ñúng. Trong trư-ng h p ngư c l$i, ph i t n t$i hai s ai, aj
sao cho ai < A < aj. Không m t tính t(ng quát, có th gi s% an < A < an+1. Khi ñó ta có (an
– A)(an+1 – A) < 0, suy ra an + an+1 > anan+1/A + A. T ñó ta có
a1 + a2 + …+ an + an+1 > a1 + … + an-1 + anan+1/A + A(1)
Bây gi- áp d ng b t ñ ng th c Cauchy cho n s a1 + … + an-1 + anan+1/A ta ñư c
a1 + a 2 + ... + a n −1 + a n ≥ n n a1a 2 ...a n −1

a n a n +1
= nA
A

K#t h p v i (1) ta ñư c ñpcm.
Ví d 2. Cho n ≥ 2 và cho x1, x2, …, xn là các s th c thu c [0, 1]. Ch ng minh r ng
x1(1-x2) + x2(1-x3) + … + xn(1-x1) ≤ [n/2]

13 | Tr n Nam Dũng – 6/2010


Vietnamese IMO Team Training Camp 2010
V n ñ . bài toán này là bư c ch ng minh t n
n+1 trong trư-ng h p n ch0n là không
th (do lúc ñó v# ph i không thay ñ(i và ta c n ch ng minh ph n thay ñ(i . v# trái nh
hơn hay b ng 0:
xn(1-xn+1) + xn+1(1-x1) – xn(1-x1) ≤ 0
<=> xn(x1-xn+1) + xn+1(1-x1) ≤ 0
Rõ ràng bi u th c v# trái có th nh n c nh ng giá tr dương và bư c quy n$p c a chúng
ta không th c hi n ñư c.
Ta có th vư t qua ñư c khó khăn này n#u th c hi n bư c quy n$p nh y cách, t c là t n
n+2. Khi ñó, do [(n+2)/2] – [n/2] = 1 nên ta c n ch ng minh:
xn(1-xn+1) + xn+1(1-xn+2) + xn+2(1-x1) – xn(1-x1) ≤ 1.
Đi u này tương ñương v i
A = xn(x1-xn+1) + xn+1(1-xn+2) + xn+2(1-x1) ≤ 1.
B t ñ ng th c này có th ch ng minh ñư c khá d dàng (chúng tôi dành cho b$n ñ c).
Cu i cùng, ta c n ch ng minh cơ s quy n p, trong trư-ng h p này là trư-ng h p n = 2
và n = 3.
x1(1-x2) + x2(1-x1) ≤ 1
và

x1(1-x2) + x2(1-x3) + x3(1-x1) ≤ 1
B t ñ ng th c th nh t ñúng do
x1(1-x2) + x2(1-x1) = 1 – (1–x1)(1–x2) – x1x2 ≤ 1
B t ñ ng th c th hai ñúng do
x1(1-x2) + x2(1-x3) + x3(1-x1) = 1 – (1–x1)(1–x2)(1–x3) – x1x2x3.
Chú ý r ng, trong phép ch ng minh b t ñ ng th c A ≤ 1 (phép ch ng minh quy n$p) có
th s% d ng ñ#n b t ñ ng th c x1(1-x2) + x2(1-x3) + x3(1-x1) ≤ 1.
Ví d 3. Cho n ≥ 2 và x1, x2, …, xn là n s nguyên phân bi t. Ch ng minh r ng
(x1-x2)2 + (x2-x3)2 + … + (xn – x1)2 ≥ 4n – 6
Ta th% xét bư c quy n$p t n n+1. Khi ñó v# ph i thay ñ(i 4 ñơn v , trong khi thay ñ(i
. v# trái là
A = (xn-xn+1)2 + (xn+1-x1)2 – (xn – x1)2
Ta c n ch ng minh A ≥ 4.
N#u nhìn k l$i b t ñ ng th c c n ch ng minh và các ñi u ki n ràng bu c thì ta th y r ng
b t ñ ng th c A ≥ 4 nói chung không ñúng ! V y ph i làm th# nào?
Ta vi#t l$i b t ñ ng th c dư i d$ng
A = xn+1(2xn+1-xn-x1) + 2x1xn
14 | Tr n Nam Dũng – 6/2010


Vietnamese IMO Team Training Camp 2010
Bây gi-, ta m i chú ý ñ#n hai tính ch t quan tr ng c a b t ñ ng th c ban ñ u
1) V# trái không thay ñ(i n#u ta c ng thêm vào m7i s h$ng xi m t ñ$i lư ng a c
ñ nh. Do ñó ta có th gi s% xn+1 = 0
2) Đây là b t ñ ng th c hoán v , do ñó ta có th gi s% xn+1 =
min{x1,x2,…,xn,xn+1}
T ñây suy ra A = 2x1xn ≥ 2.2 = 4 (vì x1, x2 > 0 là các s nguyên phân bi t nên x1x2 ≥
1.2 = 2).
Bài toán ñư c gi i quy#t.
Ví d 4. Cho các s dương a1, a2, …, an th a mãn ñi u ki n a1 + a2 + … + an = n. Ch ng

minh r ng ta có b t ñ ng th c
1
1
1
8(n − 1)
+
+ ... +
−n≥
(1 − a1 a 2 ...a n ) .
a1 a 2
an
n2

Gi i.
Ta ch ng minh k#t qu t(ng quát hơn
1
1
1
+
+ ... +
− n ≥ m n (1 − a1a 2 ...a n )
a1 a 2
an
8(n − 1)
v i m i mn ≤
.
n2

V i n = 1, b t ñ ng th c hi n nhiên ñúng. Gi s% b t ñ ng th c ñã ñúng ñ#n n = k, ta
ch ng minh b t ñ ng th c cũng ñúng v i n = k+1. Th t v y, gi s% ak+1 = max{a1, a2, …,

a1 + ... + a k
≤ 1. Đ!t bi = ai/b suy ra b1 + b2 + … + bk = k. Chú ý là
k
k +1
8k
8(k − 1
 kb + a k +1 
k +1
k
mk +1b a k +1 ≤ mk +1b a k +1 ≤ mk +1 
≤
 = mk +1 =
2
k2
(k + 1)
 k +1 

ak}, suy ra b =

Do ñó, s% d ng gi thi#t quy n$p ta có
1
1
+ ... + − k ≥ mk +1b k +1 a k +1 (1 − b1 ...bk )
b1
bk
⇔

a ...a
1
1 k

+ ... +
− ≥ mk +1b k a k +1 (1 − 1 k k )
a1
ak b
b

⇔

1
1
k
+ ... +
+ mk +1 a1 ...a k a k +1 ≥ + mk +1b k a k +1
b
a1
ak

Cu i cùng, ta ph i ch ng minh

15 | Tr n Nam Dũng – 6/2010


Vietnamese IMO Team Training Camp 2010
1
k
+ mk +1b k a k +1 +
− k − 1 − mk +1 ≥ 0
b
a k +1
k

1
+
− (k + 1) ≥ mk +1 (1 − b k a k +1 )
b a k +1

⇔

1
k
+
− (k + 1) ≥ mk +1 (1 − b k (k + 1 − kb))
b k + 1 − kb
k (k + 1)
⇔ mk +1 ≤
b(k + 1 − kb)(1 + 2b + ... + kb k −1 )
⇔

B t ñ ng th c này ñúng vì mk +1 ≤

8k
(k + 1) 2
≤
+
−
≤
.
,
b
1
,

b
(
k
1
kb
)
4k
(k + 1) 2

V y ta có ñi u ph i ch ng minh.
Bài t p
1. Ch ng minh r ng v i x1 ≥ x2 ≥ … ≥ xn ≥ 0 ta có b t ñ ng th c
n

n

i =1

i =1

∑ xi2 ≤ ∑

xi
i

2. Ch ng minh r ng n#u a1, a2, …, an là các s nguyên dương phân bi t thì ta có b t ñ ng th c


 n
(a + a ) ≥ 2 ∑ ai3 

∑
i =1
 i =1 
n

7
i

2

5
i

3. (B t ñ ng th c Mc-Lauflin) V i m i s th c a1, a2, …, a2n và b1, b2, …, b2n ta có b t ñ ng th c
2


 2n

 n
a
b
(
a
b
a
b
)
≥
−

−
 ∑ a k bk 


∑
∑
∑
2 k 2 k −1
2 k −1 2 k
k =1
k =1

 k =1

 k =1
2n

2n

2
k

2

2
k

4. Cho x1, x2, …, xn là các s th c dương. Ch ng minh r ng

xi2

n
≥
∑
2
2
i =1 xi + xi +1 xi + 2
n

trong ñó xn+1 = x1, xn+2 = x2.
5. Cho a1, a2, …, an là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a1 + a2 + … + an = n. Ch ng minh r ng
(n-1)(a12+a22 +…+an2) + na1a2…an ≥ n2.
6. Cho n ≥ 3 và a1, a2, …, an là các s nguyên dương th a mãn ñi u ki n bi =

ai −1 + ai +1
nguyên v i m i
ai

i = 1, 2, …, n (& ñây an+1 = a1, a0 = an). Ch ng minh r ng khi ñó ta có b t ñ ng th c
n

2n ≤ ∑ bi ≤ 3n − 2
i =1

16 | Tr n Nam Dũng – 6/2010


Vietnamese IMO Team Training Camp 2010
Quy n p trong s h c
Quy n$p ñư c s% d ng r ng rãi trong s h c, ñ!c bi t là trong các bài toán v ñ ng dư, v
b c theo modulo m. Dư i ñây ta xem xét m t s ví d kinh ñi n.

Đ nh lý nh Fermat: N#u p là s nguyên t thì ap – a chia h#t cho p v i m i a nguyên.
Đ nh lý này có th ch ng minh b ng phép quy n$p toán h c, s% d ng tính ch t C pk chia
h#t cho p v i m i k = 1, 2, …, p-1.
Ví d 4. (VMO 1997) Ch ng minh r ng v i m7i s nguyên dương n ñ u ch n ñư c s
nguyên dương k ñ 19k – 97 chia h#t cho 2n.
V i n = 1, n = 2 ta ch n k = 2 nên ch' còn xét v i n ≥ 3. Ta có nh n xét sau
19 2 − 1 = 2 n .t n v i tn l/.
(1)
Th t v y, v i n = 3, kh ng ñ nh 1 ñúng. Gi s% kh ng ñ nh ñúng v i n. Khi ñó
19 2 − 1 = (19 2 − 1)(19 2 + 1) = 2 s n 2 n t n = 2 n +1 ( s n t n ) v i (sntn) l/.
Nh n xét ñư c ch ng minh.
n−2

n −1

n−2

n−2

Ta ch ng minh bài toán b ng quy n$p. V i n = 3 ñúng. Gi s% t n t$i kn thu c N* sao cho
19 kn − 97 = 2 n.a
N#u a ch0n thì 19 k n − 97 chia h#t cho 2n+1. N#u a l/, ñ!t kn+1 = kn + 2n-2. Khi ñó theo nh n

xét ta có
n−2

19 k n +1 − 97 = 19 2 (19 k n − 97) + 97(19 2

n−2

n−2

− 1) = 2 n (19 2 a + 97t n )

chia h#t cho 2n+1 (ñpcm).
Bài t p
4. Ch ng minh r ng v i m i s nguyên dương n s n! tho mãn ñi u ki n sau: v i m i ư c s c a nó,
khác v i n! có th tìm ñư c m t ư c s khác c a n! sao cho t(ng hai ư c s ñó l$i là ư c s c a n!.
5. Ch ng minh r ng n#u s nguyên dương N có th bi u di n dư i d$ng t(ng bình phương c a ba s
nguyên chia h#t cho 3 thì nó cũng có th bi u di n dư i d$ng t(ng bình phương c a ba s không chia h#t
cho 3.
6. Ch ng minh r ng t n t$i vô s h p s n sao cho 3n-1 – 2n-1 chia h#t cho n.

Quy n p trong các bài toán trò chơi
Các bài toán trò chơi chính là d$ng toán s% d ng ñ#n quy n$p toán h c nhi u nh t. Chú ý
là quy n$p toán h c ñ y ñ bao g m hai ph n: d ñoán công th c và ch ng minh công
th c và trong r t nhi u trư-ng h p, vi c d ñoán công th c ñóng vai trò then ch t.
17 | Tr n Nam Dũng – 6/2010


Vietnamese IMO Team Training Camp 2010

Ví d 5. Hai ngư i A và B cùng chơi m t trò chơi. Ban ñ u trên bàn có 100 viên k)o. Hai
ngư i thay phiên nhau b c k)o, m"i l n ñư!c b c k viên v i k ∈ {1, 2, 6} . H i ai là
ngư i có chi n thu&t th ng, ngư i ñi trư c hay ngư i ñi sau?
Ta s" không b t ñ u t 100 viên k8o mà b t ñ u t nh ng s k8o nh hơn. Gi s% ban ñ u
trên bàn có n viên k8o. N#u n = 1, 2, 6 thì rõ ràng ngư-i th nh t có chi#n thu t th ng (ta
g i ñơn gi n là ngư-i th nh t th ng). V i n = 3 thì ngư-i th hai th ng, b.i ngư-i th
nh t ch' có th b c 1 ho!c 2 viên và tương ng ngư-i th hai b c 2 hay 1 viên ñ th ng.
V i n = 4 ngư-i th nh t th ng b ng cách b c 1 viên k8o và ñ*y ngư-i th hai vào th#

thua. Tương t , v i n = 5 ngư-i th nh t th ng. V i n = 7, ngư-i th hai th ng vì c ba
cách ñi có th c a ngư-i th nh t (b c 1, 2, 6 viên) ñ u d,n ñ#n th# th ng cho ngư-i th
hai (tương ng còn 6, 5, 1 viên k8o trên bàn), n = 8 ngư-i th nh t th ng …
B ng cách lý lu n tương t như v y, ta l p ñư c b ng sau

n
KQ

1 2
1 1

3
2

4
1

5
1

6
1

7
2

8
1

9

1

10
2

11 12
1 1

13
1

14
2

15
1

16
1

17
2

T b ng k#t qu , có th d ñoán ñư c là ngư i th nh t s* th ng n u n có s dư là 1, 2,
4, 5, 6 trong phép chia cho 7, và ngư i th hai s* th ng n u n có s dư là 0, 3 trong phép
chia cho 7.
Sau khi có d ñoán ta tìm cách ch ng minh ch!t ch" d ñoán c a mình b ng phép quy
n$p toán h c. Đ!t n = 7k+r v i r = 1, 2, …, 6, 7 ta ch ng minh d ñoán trên b ng quy n$p
theo k. V i k = 0 m nh ñ ñã ñư c ki m ch ng qua b ng trên.
Xét n = 7(k+1) + r v i r = 1, 2, …, 6, 7

N#u r = 1, 2, 6, ngư-i th nh t b c tương ng 1, 2, 6 viên ñ ñưa v trư-ng h p trên bàn
còn 7k+7 viên k8o là th# thua cho ngư-i th hai (theo gi thi#t quy n$p), vì th# ngư-i th
nh t th ng.
N#u r = 3, ngư-i th nh t có 3 cách b c
+ B c 1 viên, còn 7(k+1) + 2 là th# th ng cho ngư-i th hai (ta v a ch ng minh .
trên)
+ B c 2 viên, còn 7(k+1) + 1, tương t cũng là th# th ng cho ngư-i th hai
+ B c 6 viên, còn 7k + 4 viên là th# th ng c a ngư-i th hai (theo gi thi#t quy
n$p).
Như v y trư-ng h p này ngư-i th nh t thua.
N#u r = 4, 5, ngư-i th nh t b c tương ng 1, 2 viên ñ ñưa v trư-ng h p 7(k+1) + 3 là
th# thua cho ngư-i th hai, và vì v y ngư-i th nh t th ng.
Cu i cùng, trư-ng h p r = 7, ngư-i th nh t có 3 cách b c
+ B c 1 viên, còn 7(k+1) + 6 là th# th ng cho ngư-i th hai (ch ng minh . trên)
+ B c 2 viên, còn 7(k+1) + 5 là th# th ng cho ngư-i th hai (ch ng minh . trên)
18 | Tr n Nam Dũng – 6/2010


Vietnamese IMO Team Training Camp 2010
+ B c 6 viên, còn 7(k+1) + 1 là th# th ng cho ngư-i th hai (ch ng minh . trên)
V y ngư-i th nh t thua.
Như th# d ñoán c a chúng ta ñã ñư c ch ng minh hoàn toàn.
Vì 100 chia 7 dư 2 nên theo lý lu n . trên thì ngư-i th nh t có chi#n thu t th ng.
Ví d 6. C&u bé và Freken Bock cùng chơi m t trò chơi. Trên bàn có m t s k)o. Bư c ñi
ñ u tiên, c&u bé chia s k)o thành 3 ñ ng khác r"ng, sau ñó Freken ch n ra 2 ñ ng ñưa
cho Carlson, ñ ng còn l i Freken l i chia ra thành 3 ñ ng khác r"ng và c&u bé l i ch n
ra hai ñ ng ñưa cho Carlson, ñ ng còn l i chia thành 3 ñ ng khác r"ng … Ai ñ n lư!t
mình không ñi ñư!c n a thì thua. H i ai là ngư i có chi n thu&t th ng n u trên bàn có:
a) 7 viên k)o ;
b) 9 viên k)o ;

c) 12 viên k)o ;
d) 14 viên k)o ;
e) M t s k)o b t kỳ.
Bài t p
7. a) Trên b ng có s 2010. Hai ngư-i A và B cùng luân phiên th c hi n trò chơi sau: M7i l n th c hi n,
cho phép xoá ñi s N ñang có trên b ng và thay b ng N-1 ho!c [N/2]. Ai thu ñư c s 0 trư c là th ng
cu c. H i ai là ngư-i có chi#n thu t th ng, ngư-i ñi trư c hay ngư-i ñi sau.
b) Cùng câu h i v i lu t chơi thay ñ(i như sau: M7i l n th c hi n, cho phép xoá ñi s N ñang có trên
b ng và thay b ng N-1 ho!c [(N+1)/2].
8. Có b ng ch nh t g m m x n ô. Hai ngư-i A và B cùng luân phiên nhau tô màu các ô c a b ng, m7i l n
tô các ô t$o thành m t hình ch nh t. Không ñư c phép tô nh ng ô ñã tô. Ai ph i tô ô cu i cùng là thua.
H i ai là ngư-i có chi#n thu t th ng, ngư-i ñi trư c hay ngư-i ñi sau?
9. An và Bình chơi trò ñoán s . An nghĩ ra m t s nào ñó n m trong t p h p X = {1, 2, …, 144}. Bình có
th ch n ra m t t p con b t kỳ A c a X và h i « S c a b$n nghĩ có n m trong A hay không ? ». An s" tr
l-i Có ho!c Không theo ñúng s th t. N#u An tr l-i có thì Bình ph i tr cho An 2.000 ñ ng, n#u An tr
l-i Không thì Bình ph i tr cho An 1.000 ñ ng. H i Bình ph i t t ít nh t bao nhiêu ti n ñ ch c ch n tìm
ra ñư c s mà An ñã nghĩ ?

Quy n p trong bài toán ñ m
Xây d ng công th c truy h i là m t trong nh ng phương pháp quan tr ng ñ gi i bài toán
ñ#m. Tư tư.ng quy n$p . ñây r t rõ ràng: Đ tìm công th c cho bài toán ñ#m v i kích
thư c n, ta s% d ng k#t qu c a bài toán ñ#m tương t v i kích thư c nh hơn.
Ví d 7. (Bài toán chia k8o c a Euler)
Cho k, n là các s nguyên dương. Tìm s nghi m nguyên không âm c a phương trình
x1 + x2 + … + xn = k
(*)
19 | Tr n Nam Dũng – 6/2010


Vietnamese IMO Team Training Camp 2010

Giải. Gọi số nghiệm nguyên không âm của phơng trình trên l S(n, k). Dễ d ng thấy
rằng S(1, k) = 1. Để tính S(n, k), ta chú ý rằng (*) tơng đơng với
x1 + ...+ xn51 = k 5 xn (**)
Suy ra với xn cố định thì số nghiệm của (**) l S(n51, k5xn). Từ đó ta đợc công thức
S(n, k) = S(n51, k) + S(n51, k51) + ...+ S(n51, 0)
Đây có thể coi l công thức truy hồi tính S(n, k). Tuy nhiên, công thức n y cha thật tiện
lợi. Viết công thức trên cho (n, k51) ta đợc
S(n, k51) = S(n51, k51) + S(n51, k52) + ...+ S(n51, 0)
Từ đây, trừ các đẳng thức trên vế theo vế, ta đợc
S(n, k) 5 S(n, k51) = S(n51, k)
Hay S(n, k) = S(n, k51) + S(n51, k)
Từ công thức n y, bằng quy nạp ta có thể chứng minh đợc rằng S(n, k) = Ckn+k51.
Trong nhi u tr-ng h p, vi c xột thờm cỏc bi toỏn ph s" giỳp chỳng ta thi#t l p nờn cỏc
h phng trỡnh truy h i, t ủú suy ra cụng th c truy h i cho cỏc bi toỏn chớnh.
Vớ d 8. Xột t&p h!p E = {1, 2, , 2010}. V i t&p con A khỏc r"ng c a E, ta ủ t
r(A) = a1 a2 + + (-1)k-1ak
trong ủú a1, a2, , ak l t t c cỏc ph n t c a A x p theo th t gi m d n. Hóy tớnh t(ng
S = r ( A) .
A E

!t En = {1, 2, , n} v S n =

r ( A) . Xột Sn+1, b

ng cỏch chia cỏc t p con c a En+1

A E n

thnh 2 lo$i, lo$i khụng ch a n+1 v ch a n+1, ta cú

S n+1 =

r ( A) = r ( A) + r ( A {n + 1}) = r ( A) + (n + 1 r ( A)) = (n + 1)2 .
n

A En +1

A E n

A E n

A E n

A E n

Ghi chỳ. õy l tỡnh hu ng may m n ủ!c bi t khi chỳng ta truy h i m khụng truy h i,
ngha l ra ủ c cụng th c t-ng minh luụn.
Vớ d 9. Cú 2n ng i x p thnh 2 hng d c. H i cú bao nhiờu cỏch ch n ra m t s ng i
(ớt nh t 1) t 2n ng i ny, sao cho khụng cú hai ng i no ủ ng k nhau ủ!c ch n.
Hai ng i ủ ng k nhau l hai ng i cú s th t liờn ti p trong m t hng d c ho c cú
cựng s th t
hai hng.
G i Sn l s cỏch ch n ra m t s ng-i t 2n ng-i x#p thnh 2 hng d c v Tn l s cỏch
ch n ra m t s ng-i t 2n-1 ng-i x#p thnh 2 hng d c, trong ủú khuy#t m t ch7 . ủ u
c a m t hng. Ta cú S1 = 2, T1 = 1.
1 3
2 4
Hỡnh 1. Sn v i n = 5
20 | Tr n Nam Dng 6/2010

Vietnamese IMO Team Training Camp 2010

1 2

Hình 2. Tn v i n = 5
Xét 2n ngư-i x#p thành 2 hàng d c (như hình 1). Ta xét các cách ch n tho mãn ñi u
ki n ñ u bài. X y ra các kh năng sau :
1) Ngư-i . v trí s 1 ñư c ch n : Khi ñó ngư-i . v trí s 2 và s 3 không ñư c
ch n
Có Tn-1 + 1 cách ch n (+1 là do b( sung cách ch n « không ch n gì
c » )
2) Ngư-i . v trí s 2 ñư c ch n : Tương t , có Tn-1 + 1 cách ch n.
3) C hai ngư-i . v trí s 1 và s 2 ñ u không ñư c ch n: Có Sn-1 cách ch n.
V y ta có Sn = Sn-1 + 2Tn-1+ 2 (1).
Xét 2n-1 ngư-i x#p thành 2 hàng d c (như hình 2). Ta xét các cách ch n tho mãn ñi u
ki n ñ u bài. X y ra các kh năng sau :
1) Ngư-i . v trí s 1 ñư c ch n : Khi ñó ngư-i . v trí s 2 không ñư c ch n
có Tn-1 + 1 cách ch n
2) Ngư-i . v trí s 1 không ñư c ch n : có Sn-1 cách ch n.
V y ta có Tn = Sn-1 + Tn-1 + 1 (2)
T (1) ta suy ra 2Tn-1 = Sn – Sn-1 – 2, 2Tn = Sn+1 – Sn – 2. Thay vào (2), ta ñư c
Sn+1 – Sn – 2 = 2Sn-1+ Sn – Sn-1 – 2 + 2
Sn+1 = 2Sn + Sn-1 + 2
T ñây d dàng tìm ñư c
Sn =

(1 + 2 ) n +1 + (1 − 2 ) n +1 − 2
2

Bài t p
10. Tìm s cách lát ñư-ng ñi kích thư c 3 x 2n b ng các viên g$ch kích thư c 1 x 2.
11. Tìm s t t c các b n s (x1, x2, …, xn) sao cho
(i) xi = ± 1 v i i = 1, 2, …, n.
(ii) 0 ≤ x1 + x2 + … + xr < 4 v i r = 1, 2, …, n-1 ;
(iii) x1 + x2 + … + xn = 4.
12. Trên bàn có 365 t m bìa mà trên m!t úp xu ng c a nó có ghi các s khác nhau. V i 1.000 ñ ng An có
th ch n ba t m bìa và yêu c u Bình s p x#p chúng t trái sang ph i sao cho các s vi#t trên chúng ñư c
x#p theo th t tăng d n. H i An, b ra 2.000.000 có th ch c ch n s p x#p 365 t m bìa sao cho các s
ñư c vi#t trên chúng ñư c x#p theo th t tăng d n hay không ?
13. (Bài toán con #ch, IMO 1979) G i A và E là hai ñ'nh ñ i di n c a m t bát giác. T m t ñ'nh b t kỳ
ngo$i tr E, con #ch nh y ñ#n hai ñ'nh k . Khi nó nh y ñ#n ñ'nh E thì nó ng ng l$i. G i an là s các
ñư-ng ñi khác nhau v i ñúng n bư c nh y và k#t thúc t$i E. Ch ng minh r ng a2n-1 = 0,

a2n =

(2 + 2 ) n −1 − (2 − 2 ) n −1

.

2

21 | Tr n Nam Dũng – 6/2010


Vietnamese IMO Team Training Camp 2010
Quy n p và m t s ñ%nh lý trong t i ưu t( h!p
Đ nh lý 1. (Hall, 1935) Cho ñ th hai phe X, Y. V i m7i t p con A thu c X, g i G(A) là
t p các ñ'nh thu c Y k v i m t ñ'nh nào ñó thu c A. Khi ñó ñi u ki n c n và ñ ñ t n
t$i m t ñơn ánh f: X Y sao cho x k f(x) là |G(A)| ≥ |A| v i m i A khác r7ng thu c X.

Ch ng minh. Đi u ki n c n là hi n nhiên: N#u t n t$i ñơn ánh f thì v i m7i A = {x1, x2,
…, xr} thu c X, ta có G(A) ch a các ph n t% phân bi t f(x1), …, f(xr), do ñó |G(A)| ≥ r =
|A|.
Ta ch ng minh ñi u ki n ñ b ng quy n$p theo |X|. Khi |X| = 1, kh ng ñ nh là hi n nhiên.
Gi s% ñ nh lý ñã ñúng v i các t p X v i |X| < n. Gi s% bây gi- |X| = n. Ta xét hai trư-ng
h p:
1) Gi s% v i m i A ⊂ X (A ≠ X), ta có |G(A)| > |A|. Ch n m t ph n t% x0 b t kỳ thu c X,
theo ñi u ki n |G({x0})| ≥ 1, do ñó t n t$i y0 thu c Y k v i X. Ta ñ!t f(x0) = y0. Bây gixét X’ = X \{x} và Y’ = Y \ {y}, A ⊂ X’ và G’(A) là t p các ñ'nh thu c Y’ k v i A. Khi
ñó |G’(A)| ≥ |G(A)| - 1 ≥ |A|. Vì |X’| < |X| nên theo gi thi#t quy n$p, t n t$i ñơn ánh f: X’
Y’ sao cho f(x) k x v i m i x thu c x’. B( sung thêm f(x0) = y0 ta ñư c ñơn ánh f: X
Y th a mãn yêu c u ñ nh lý.
2) Trong trư-ng h p ngư c l$i, t n t$i A ⊂ X (A ≠ X) sao cho |G(A)| = |A|. Khi ñó, do |A|
< |X| nên t n t$i ñơn ánh f: A
G(A). Xét X’ = X \ A, Y’ = Y \ G(A). Xét B thu c X’ và
G(B) là t p các ñ'nh thu c Y’ k v i B. N#u |G(B)| < |B| thì ta có
|G(A ∪ B)| = |G(A)| + |G(B)| < |A| + |B| = |A ∪ B|
mâu thu,n v i ñi u ki n ñ nh lý. Như v y ta có |G(B)| ≥ |B| v i m i B thu c X’. Theo gi
thi#t quy n$p, t n t$i ñơn ánh g: X’
Y’ sao cho g(x) k v i x. Như v y, ta có th xây
d ng ñư c ñơn ánh h: X
Y sao cho h(x) k v i x: c th h(x) = f(x) n#u x thu c A và
h(x) = g(x) n#u x thu c X \ A.
Quan h ≤ trên t p h p X ñư c g i là m t quan h th t n#u th a mãn ñ ng th-i các
ñi u ki n sau:
i)
x ≤ x v i m i x thu c X (tính ph n x$)
ii)
N#u x ≤ y, y ≤ x thì x = y (tính ph n x ng)
iii)
N#u x ≤ y, y ≤ z thì x ≤ z (tính b c c u)

M t t p h p mà trên ñó xác ñ nh m t quan h th t ñư c g i là m t t&p s p th t .
Cho X là m t t p s p th t , hai ph n t% x và y thu c X ñư c g i là so sánh ñư!c n#u x ≤
y ho!c y ≤ x. Trong trư-ng h p ngư c l$i, ta nói x và y không so sánh ñư c.
M t t p con C c a X ñư c g i là m t xích n#u hai ph n t% b t kỳ thu c C ñ u so sánh
ñư c. M t t p con A c a X ñư c g i là m t ñ i xích n#u hai ph n t% b t kỳ thu c A ñ u
không so sánh ñư c.

22 | Tr n Nam Dũng – 6/2010


Vietnamese IMO Team Training Camp 2010
Ph n t% x thu c X ñư c g i là ph n t% c c ñ i n#u t x ≤ y suy ra y = x. Ph n t% x ñư c
g i là c c ti u n#u t y ≤ x suy ra y = x. Ph n t% x thu c X ñư c g i là l n nh t n#u x ≥ y
v i m i y thu c X và ñư c g i là nh nh t n#u x ≤ y v i m i y thu c X. Xích C ñư c g i
là c c ñ$i n#u như không t n t$i m t xích C’ ch a C v i |C’| > |C|. Tương t ta ñ nh
nghĩa ñ i xích c c ñ$i.
Đ nh lý 2. (Dilworth 1950) Cho m t t p s p th t X. S ph n t% l n nh t c a m t ñ i
xích c a X b ng s nh nh t các xích r-i nhau h p thành X.
Ch ng minh 1. G i M = max{|A| | A là ñ i xích} và m là s nh nh t các xích r-i nhau
h p thành X. Như v y t n t$i ñ i xích A c a X ch a M ph n t%. Vì m t xích ch' ch a
ñư c nhi u nh t 1 ph n t% c a 1 ñ i xích nên rõ ràng ta có m ≥ M.
Ta ch ng minh m ≤ M b ng quy n$p theo |X|. G i a là m t ph n t% c c ñ$i c a X và M là
kích thư c c a ñ i xích l n nh t trong X’ = X \ {a}. Khi ñó, theo gi thi#t quy n$p X’ là
h p c a M xích r-i nhau C1, C2, …, CM. Ta c n ch ng minh r ng ho!c X ch a ñ i xích
v i M+1 ph n t%, ho!c X là h p c a M xích. Bây gi-, m i ñ i xích kích thư c M (M-ñ i
xích) trong X’ ch a m t ph n t% t m7i Ci. G i ai là ph n t% l n nh t trong Ci thu c vào
m t M-ñ i xích nào ñó trong X’. D dàng th y r ng A = {a1, a2, …, aM} là m t ñ i xích
(n#u ch ng h$n ai < aj thì vì aj thu c vào m t M-ñ i xích nào ñó và ñ i xích này l$i ch a
m t ph n t% bi c a Ci nên theo tính l n nh t c a ai, ta có bi ≤ ai < aj ñi u này mâu thu,n vì
bi và aj cùng thu c m t ñ i xích). N#u A ∪ {a} là m t ñ i xích trong X thì ta có ñpcm.

Trong trư-ng h p ngư c l$i, ta có a > ai v i i nào ñó. Khi ñó K = {a} ∪ {x ∈ Ci : x ≤ ai}
là m t xích trong X và không có M-ñ i xích trong X \ K (vì ai là ph n t% l n nh t c a Ci
tham gia trong các ñ i xích như v y), vì th# X \ K là h p c a M-1 xích.
Ch ng minh 2. (Theo H. Tverberg 1967)
Hi n nhiên ta có m ≥ M.
Ta ch ng minh M ≥ m b ng quy n$p theo |X|.
Đi u này là hi n nhiên n#u |X|=0.
Gi s% C là xích c c ñ$i trong X.
N#u m i ñ i xích trong X\C có nhi u nh t M-1 ph n t% thì xong.
Gi s% {a1,…, aM} là m t ñ i xích trong P\C.
Đ nh nghĩa S- = {x ∈ X: ∃i [ x ≤ ai]}, S+ {x ∈ X: ∃i [ ai ≤ x]}
Vì C là c c ñ$i, ph n t% l n nh t c a C không n m trong S- .
Theo gi thi#t quy n$p, ñ nh lý ñúng v i S- .
Vì th#, S- là h p c a M xích r-i nhau S-1, …, S-M, trong ñó ai ∈ S-i
.
Gi s% r ng x ∈ S i và x > ai. N#u như t n t$i aj v i x ≤ aj, ta s" có ai < x ≤
aj. Mâu thu,n. Vì v y ai là ph n t% l n nh t trong S-i , i=1,…,M.
Làm tương t ñ i v i S+i, ta có ai là ph n t% nh nh t trong S+i.
K#t h p các xích l$i ta có ñi u ph i ch ng minh.
23 | Tr n Nam Dũng – 6/2010


Vietnamese IMO Team Training Camp 2010
3. Nguyên lý Dirichlet
Nguyên lý Dirichlet . d$ng c( ñi n thư-ng ñư c dùng ñ ch ng minh t n t$i theo ki u
không xây d ng (non-constructive), t c là bi#t ñ i tư ng t n t$i nhưng không ch' ra c
th .
Nguyên lý Dirichlet trong s h c
Trong s h c, nguyên lý Dirichlet thư-ng liên quan ñ#n các bài toán chia h#t, nguyên t
cùng nhau. Ví d các bài toán kinh ñi n sau.

Ví d 1. Ch n ra n+1 s t 2n s nguyên dương ñ u tiên.
a) Ch ng minh r ng trong các s ñư!c ch n, có hai s phân bi t x, y nguyên t
cùng nhau.
b) Ch ng minh r ng trong các s ñư!c ch n, có hai s x > y mà x chia h t cho y.
Ví d 2. Ch ng minh r ng t n s nguyên b t kỳ luôn có th ch n ra m t s ho c m t s
s có t(ng chia h t cho n.
Ví d 3. (Đ nh lý Fermat-Euler v t(ng hai bình phương)
Ch ng minh r ng n u p là s nguyên t d ng 4k+1 thì t n t i các s nguyên a, b sao cho
p = a2 + b2.
Ch ng minh. Vì p có d$ng 4k+1 nên theo k#t qu c a ñ nh lý . ph n ñ u, t n t$i s
nguyên N sao cho N2 + 1 chia h#t cho p, hay nói cách khác, N2 ≡ -1 (mod p). Xét các s
d$ng x + Ny v i x, y là các s nguyên thu c [0, [ p ]] . Có t t c ([ p ] + 1) 2 s như v y.
Vì ([ p ] + 1) 2 > p nên theo nguyên lý Dirichlet, t n t$i hai c!p s (x, y) ≠ (x’, y’) sao cho
x + Ny ≡ x’ + Ny’ (mod p). T ñây suy ra
x – x’ ≡ N(y’ – y) (mod p)
=>
(x – x’)2 ≡ N2(y’ – y)2 (mod p)
Bây gi-, nh l$i r ng N2 ≡ - 1 (mod p), ta suy ra
(x – x’)2 ≡ - (y’ – y)2 (mod p)
(x – x’)2 + (y’ – y)2 ≡ (mod p)
Cu i cùng, chú ý r ng 0 < (x – x’)2 + (y’ – y)2 < 2p ta suy ra ñi u ph i ch ng minh.
Ngoài k thu t kinh ñi n v i chu ng và th , ta có th s% d ng m t bi#n th c a nguyên lý
Dirichlet như sau:
Tính ch t. N#u A, B là các t p h p tho mãn ñi u ki n |A| + |B| > |A ∪ B| thì
≠ 0.
Sau ñây là m t áp d ng c a tính ch t này.
24 | Tr n Nam Dũng – 6/2010

A∩B

Vietnamese IMO Team Training Camp 2010

Ví d 4. Ch ng minh r ng n u p là s nguyên t d ng 4k+3 thì t n t i các s nguyên x, y
sao cho x2 + y2 + 1 chia h t cho p.
Ch ng minh. Đ!t ri = i2 mod p v i i = 1, 2, …, (p-1)/2 và si = – 1 – i2 mod p, i = 1, 2, …,
(p-1)/2 thì d dàng ch ng minh ñư c r ng ri ñôi m t phân bi t và si ñôi m t phân bi t.
Hơn n a, ri và si ñ u thu c {1, 2, …, p-1}.
Đ!t A = {r1, …, r(p-1)/2}, B = {s1, …, s(p-1)/2} thì |A| = |B| = (p-1)/2 và |A ∪ B| ≤ p-1. X y
ra hai trư-ng h p
Trư-ng h p 1. N#u | A ∪ B | < p-1 thì theo tính ch t nên trên, ta có A ∩ B ≠ ∅, t c là t n
i2 + j2 + 1 chia h#t cho p
t$i i, j sao cho ri = sj, tương ñương v i i2 ≡ - 1- j2 (mod p)
(ñpcm).
Trư-ng h p 2. N#u | A ∪ B | = p-1 thì A ∩ B = ∅ và như v y, các s r1, r2, …, r(p-1)/2, s1,
s2, …, s(p-1)/2 ñôi m t phân bi t và ta có
r1 + r2 + …+ r(p-1)/2 + s1 + s2 + …+ s(p-1)/2 = 1 + 2 + … + p-1 ≡ 0 (mod p)
Đi u này mâu thu,n vì theo ñ nh nghĩa c a ri và si, ta có
r1 + r2 + …+ r(p-1)/2 + s1 + s2 + …+ s(p-1)/2 ≡ 12 + 22 + … + [(p-1)/2]2 + (-1-12) + … +
(-1 – [(p-1)/2]2) ≡ -(p-1)/2 (mod p).
V y trư-ng h p 2 không x y ra, và như th# ta rơi vào trư-ng h p 1. Ta có ñi u ph i
ch ng minh.
Ghi chú. Lý lu n A v B và không B suy ra A ñư c g i là Tam ño n lu&n r i.
Bài t p
1. Xét dãy s Fibonacci xác ñ nh b.i F1 = F2 = 1, Fn+1 = Fn + Fn-1 v i m i n ≥ 2. Ch ng minh r ng v i m i
s nguyên dương m > 1. T n t$i vô s s h$ng c a dãy s chia h#t cho m.
2. T kho ng (22n, 23n) ch n ra 22n-1+1 s l/. Ch ng minh r ng trong các s ñư c ch n, t n t$i hai s mà
bình phương m7i s không chia h#t cho s còn l$i.
3. a) Ch ng minh r ng không t n t$i s nguyên dương n sao cho 10n + 1 chia h#t cho 2003.
b) Ch ng minh r ng t n t$i các s nguyên dương m, n sao cho 10m + 10n + 1 chia h#t cho 2003.

4. (Vietnam TST 2001) Dãy s nguyên dương a1, a2, …, an, … tho mãn ñi u ki n
1 ≤ an+1 – an ≤ 2001 v i m i n = 1, 2, 3, … Ch ng minh r ng t n t$i vô s c!p s p, q sao cho q > p và aq
chia h#t cho ap.

25 | Tr n Nam Dũng – 6/2010