BÀI TẬP VỀ ỨNG DỤNG MỘT SỐ NGUYÊN LÝ CƠ BẢN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

 

TẠO
BỘ GIÁO DỤC
DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI
ĐẠI HỌC
HỌC SƢ PHẠM
PHẠM HÀ NỘ
NỘI
************ 

 NGUYỄ N QUỐC PHƢƠNG 

BÀI TẬP VỀ Ứ NG
NG DỤNG
MỘT SỐ NGUYÊN LÝ CƠ BẢN
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số 
Mã số
số : 60.46.05

HỌC TOÁN HỌ
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
LUẬN
HỌC

Ngƣời hƣớ ng
ng dẫ
dẫn khoa họ
học: PGS - TS Dƣơng Quốc
Quốc Việ

Việt

HÀ NỘ
NỘI - 2011


 

MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU ................................
..................................................................
....................................................................
......................................................
....................4 
.................................................................
......................................
... 6 
CHƢƠNG I: NGUYÊN LÝ DIRICHLET..............................

1.1   Nguyên lý Dirichlet: ..........................................
..................... ...........................................
...................................
............. 6 
1.2  Một số ví dụ: ........................................................................................ 6 
1.2.1   Những bài toán khi giải phải nhận ra “lồng”: .................................
............... .................... 6 
1.2.2   Những bài toán khi giải phải nhận ra cả thỏ và lồng: .................
......................
..... 8 
1.3  Một số bài tậ p .........................................

.................... ...........................................
...........................................
........................
... 9 
1.3.1  Đề bài ............................................................................................... 9 
1.3.2  Lờ i giải ........................................................................................... 11 

CHƢƠNG II: NGUYÊN LÝ CƠ BẢN CHO CÁC BÀI TOÁN ĐẾM ........... 16 
2.1   Nguyên lý đếm: .................................................................................. 16 
2.1.1   Nguyên lý cộng: ............................................................................. 16 

2.1.2   Nguyên lý nhân: ...................
.............................
...................
...................
...................
...................
...................
........... 16 
2.1.3  Hoán vị - Chỉnh hợ  p - Tổ hợ  p: ..............
.......................
...................
...................
...................
.............. 16 
2.1.4   Nguyên lý bù tr ừ: ........................................................................... 17 

2.2  Một số ví dụ: ...................................................................................... 18 
2.2.1  Các bài toán sử dụng nguyên lý cộng và nhân để giải: ................. 18 
2.2.2  Các bài toán sử dụng hoán vị - chỉnh hợ  p - tổ hợp để giải: ........... 20 

2.2.3  Các bài toán sử dụng nguyên lý bù tr ừ  để giải: ............................ 21 
2.2.4  Sử dụng phép song ánh: ..............
.......................
...................
...................
..................
...................
..............
.... 21  
2.3  Một số bài tậ p .........................................
.................... ...........................................
...........................................
....................... 23 
2.3.1  Đề bài ............................................................................................. 23 
2.3.2  Lờ i giải ........................................................................................... 28 

CHƢƠNG III: NGUYÊN LÝ CỰ C TR Ị R ỜI R ẠC ............................................... 53 
3.1   Nguyên lý cực tr ị r ờờ i  r ạc: ................................................................... 53 
3.2  Một số ví dụ: ...................................................................................... 53 
3.2.1  Áp dụng nguyên lý để giải toán hình học: ...............
................................
......................
..... 53 

2


 

3.2.2 

3.2.3 
3.2.4 
3.3 

Áp dụng nguyên lý để giải các bài toán số học và đại số: ............
............ 57 
Tìm cực tr ị r ờờ i  r ạc: ......................................................................... 59 
Thiết lậ p thứ tự trên các yếu tố bình
 bình đẳng ..................................... 60 

Một số bài tậ p:....................................................................................

 
3.3.1
3.3.2 

63 

 
 
bài
................................
................
................................
................................
.................................
............................
...........
63
Đề

Lờ i giải ........................................................................................... 64 

CHƢƠNG IV: NGUYÊN LÝ XUỐ NG THANG ................................................... 68 
4.1   Nguyên lý xuống thang: ..................................................................... 68 
4.2  Một số ví dụ: ...................................................................................... 68 
4.2.1   Nguyên lý xuống thang với phƣơng trình nghiệm nguyên ............
............ 68  
4.2.2   Nguyên lý xuống thang trong hình h ọc ......................................... 69 
4.3 

.................... ...........................................
...........................................
....................... 70 
Một số bài tậ p .........................................

 
4.3.1
4.3.2 

 
Đề
Lờ i bài
giải.............................................................................................
........................................................................................... 70
71 

CHƢƠNG V: PHƢƠNG PHÁP HÀM SINH .............................
..........................................................
............................. 78 
5.1 

Phƣơng pháp hàm sinh ....................................................................... 78 

5.2  Một số ví dụ: ...................................................................................... 78 
5.2.1  Xác định số hạng tổng quát của dãy số truy hồi .................
............................
........... 78  
5.2.2  Phƣơng pháp hàm sinh cho các bài toán chứng minh, rút gọn ......
...... 80 
5.2.3  Phƣơng pháp hàm sinh cho bài toán đếm số nghiệm .................... 81 
 
.................... ...........................................
...........................................
....................... 84 
5.35.3.1
M
số bài
ột Đề
ậ p .........................................
 
 bài t.............................................................................................
84 
5.3.2  Lờ i giải ........................................................................................... 85 

K ẾT LUẬ N ..............................
.................................................................
......................................................................
.........................................................
...................... 91 
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................

...................................................................
..............................................................
............................92  

3


 

LỜ I MỞ 
MỞ  ĐẦ
ĐẦU
U

Các nguyên lý cơ bản tuy r ất
ất đơn giản, nhƣng việc vận dụng nó nhƣ thế 
nào trong tình huống cụ thể thật không đơn giản chút nào.
Luận văn tậ p tr ung
ung sƣu tầm, phân loại, hệ thống, sáng tác, giải các bài toán
về  5 nguyên lý cơ bản, đó là: Nguyên lý Dirichlet; Nguyên lý cự c tr ị r ờ 
ời  r ạc;
 Nguyên lý xuống thang; Nguyên lý cơ bản cho các bài toán đếm; Phƣơng

 pháp hàm sinh và đƣa ra hệ thống bài tậ p phù hợ  p. Luận văn đƣợ c chia làm 5
chƣơng  sau đây:


  Chương I: Nguyên lý Dirichlet . Chương này gồm 3 phần chính: Phát
biểu về  nguyên lý Dirichlet, các ví dụ  điển hình được chia làm 2 loại
(những bài toán khi gi ải phải nhận ra thỏ và những bài toán khi giải

phải nhận ra cả l ồng và thỏ). Cuối cùng là hệ th ống bài t ập chọn lọc có
lời giải. 



m. Trước hết
  Chương II: Nguyên lý cơ bản cho các bài toán đế m.
chúng tôi nhắc lại nguyên lý cộng, nguyên lý nhân và nguyên lý bù tr ừ,

định nghĩa hoán vị, chỉnh hợp, t ổ hợp. Sau đó là các ví dụ điển hình cho
các dạng toán được trình bày lời giải một cách chi tiết theo các cách
khác nhau. Cuối cùng là hệ thống bài t ập với lời giải chi tiết.


  Chương III: Nguyên lý cực trị  rời rạc. Chương này gồm các vấn đề:
Phát biểu nguyên lý cực trị  rời rạc; Các ví dụ  điển hình, phân dạng v ề 
áp dụng nguyên lý để giải các bài toán hình học, giải các bài toán đại số 
và số học, tìm cực trị rời rạc, thiết lập thứ t ự trên các yếu t ố bình đẳng.
Sau cùng là một số bài t ập chọn lọc với lời giải chi tiết. 



  Chương IV: Nguyên lý xuống thang. Chương này gồm ba phần chính:

Sơ lược về  nguyên lý xuống thang; Các ví dụ  điển hình về  nguyên lý
xuống thang cho phương trình nghiệm nguyên và cho các bài toán
hình học. Cuối cùng là hệ thống bài t ập chọn lọc có lời giải chi tiết.

4

 



sinh.
  Chƣơng V: Phƣơng pháp hàm sinh.

Chƣơng này cũng bao gồm 3 phần:
Phần đầu nêu khái niệm hàm sinh và ki ến th ức h ỗ tr ợ 
ợ . Ph ần 2 gồm các ví
dụ điển hình sử dụng phƣơng pháp hàm sinh để tìm số hạng tổng quát của

dãy số cho dƣớ i dạng truy hồi, sử dụng phƣơng pháp hàm sinh cho các bài
toán chứng minh, rút gọn và sử  dụng phƣơng pháp hàm sinh cho các bài

toán đếm số nghiệm. Phần 3 là hệ thống bài tậ p có lờ i giải. 
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Dƣơng Quốc Việt,

ngƣờ i th ầy đã tận tình hƣớ ng
ng dẫn và tạo mọi điều kiện thuận l ợ i giúp tác giả 
hoàn thành luận văn này. 
Hà nội, ngày 15 tháng 9 năm 2011 
Tác giả 

5


 

CHƢƠNG I:
I: NGUYÊN LÝ DIRICHLET 
1.1  Nguyên lý Dirichlet:

Khi giải một s ố bài toán số h ọc và hình học chúng ta đã đƣợ c làm quen
vớ i một nguyên lí r ất nổi tiếng về sự tồn tại, đó là nguyên lí Dirichlet hay vẫn
gọi là “Nguyên lí Lồng và Thỏ”. Nguyên lí đƣợ c phát biểu nhƣ sau:
Phát biểu 1: Không thể  nhốt 5 chú thỏ  vào 2 chiếc lồng, sao cho mỗi lồng
không quá 2 chú.
Phát biểu 2: Có 10 cái lồng, mỗi cái chỉ nhốt đƣợ c nhiều nhất là 10 con và có
101 con thỏ thì có ít nhất 1 con thỏ ở  ngoài
 ngoài lồng. 
Phát biểu 3 : N ếu k lồng chứa kn+1 thỏ, thì tồn t ại một trong các lồng chứa ít
nhất n+1 thỏ.
.… 

Tuy đƣợ c phát biểu dƣớ i nhiều dạng khác nhau nhƣng cái cốt của nguyên lí
vẫn là chỉ  ra  sự   t ồn t ại. Nguyên lí không xác định đƣợc chính xác đối tƣợ ng
ng
nhƣng việc chỉ ra nó tồn tại đã mang lại nhiều ý nghĩa trong cuộc sống cũng
nhƣ trong toán học.
Cái khó của nguyên lý này là ph ải nh ận bi ết đƣợ c ho ặc t ự sáng tạo ra “lồng”
và “thỏ”.  Các yếu tố  “thỏ” và “lồng” thƣờ ng
ng bị  che khuất, chúng đòi hỏi
i gi i ph i t  phát hi n.

ngƣờ  ả

ả ự

1.2  Một số
số ví dụ
dụ:

ệ

1.2.1  Nh
Nhữ 
ữ ng
ng bài toán khi giả
giải phả
phải nhận
nhận ra “lồng”: 
“lồng”: 
Ví dụ
dụ 1: Chứng minh r ằng trong n + 1 số nguyên dƣơng phân biệt không vƣợ t
quá 2n, bao giờ  cũng có 2 số nguyên tố cùng nhau.
các số t ừ  1 đế n 2n thành n tậ p h ợ  p

*+

;;{3;4};…;{2n
{3;4};…;{2n-1;2n}.
Vì ta có n+1 số nên theo nguyên lý Dirichlet có 2 s ố trong cùng một tậ p h ợ  p.

 Lờ i gi ải:  Chia

Rõ ràng hai số đó nguyên tố cùng nhau.

6

 

Trong lờ i giải này ta đã sáng tạo ra n lồng,đó chính là n tậ p hợ  p.

Ví dụ  2: Cho hình vuông và 13 đƣờ ng
ng thẳng phân biệt sao cho mỗi đƣờ ng
ng
thẳng đó chia hình vuông thành 2 tứ giác có tỉ số diện tích là 2:3. Ch ứng minh
r ằng có ít nhất 4 đƣờ ng
ng thẳng trong số 13 đƣờ ng
ng thẳng đã cho đồng quy.
 Lờ i giải:  Nếu một đƣờ ng
ng thẳng chia một hình vuông thành 2 t ứ giác có tỉ  số 
diện tích là 2:3 thì nó phải đi qua điểm nằm trên đƣờ ng
ng nối trung điểm hai
cạnh đối diện của hình vuông và chia đoạn đó theo tỉ  số là 2:3. Trong hình
vuông thì có tất cả  4 điểm nhƣ vậy và 13 đƣờ ng
ng thẳng đã cho đều đi qua 1
ng thẳng trong số 13
trong 4 điểm đó. Theo nguyên lý Dirichlet, ít nhất 4 đƣờ ng
đƣờ ng
ng thẳng đã cho đồng quy  điều phải chứng minh.
Ví dụ
dụ 3: Cho a, b, c, d, e, f, g, h, k là các h ằng số thực khác 0, còn x, y là các

⟹

 biến, đặt A = ax + by + c, B = dx + ey + f, C = gx + hy + k. Ch ứng minh r ằng

trong 8 hệ sau có ít nhất một hệ vô nghiệm:

                         
                     
 ,

,

,

,

 ,

,

,

 

 Lờ i giải: Mỗi miền nghiệm của một hệ tƣơng ứng vớ i một miền mở  trong
 trong mặt

 phẳng, bị giớ i hạn bởi ba đƣờ ng
ng thẳng có phƣơng trình là A = 0; B = 0; C = 0.
ng thẳng chỉ phân mặt ph
p hẳng thành tối đa 7 miền nên trong 8 hệ  đã
Vì 3 đƣờ ng
cho có ít nhất một hệ vô nghiệm.
Ví dụ

d ụ 4
 4::  Ngƣờ i ta tung ngẫu nhiên nhiều hơn 200 viên sỏi vào một mảnh đất
hình vuông có diện tích 100m2. Chứng minh r ằng tồn tại 3 viên thẳng hàng
hoặc lập thành 3 đỉnh một tam giác có diện tích không vƣợ t quá 0,5m2.
 Lờ i gi ải:  Ta chia đám đất thành 100 ô vuông bằng nhau bởi các đƣờ ng
ng thẳng
song song vớ i các cạnh c ủa hình vuông. Vì số viên sỏi l ớn hơn 200 nên ắt có
 ba viên
v iên A; B; C thuộc cùng một ô vuông. Nếu A, B, C không th ẳng hàng thì
chúng lậ p thành một tam giác nằm trong một hình vuông có độ dài bằng 1m.
2

Do đó diện tích của nó không vƣợ t quá 0,5m .

7


 

Trong lờ i giải bài toán này ta đã phải sáng tạo ra 100 cái lồng, đó là 100 ô
vuông.

Ví dụ
dụ 5: Vớ i n là một số nguyên dƣơng cho trƣớ c,
c, chứng minh r ằng trong n +
1 số nguyên dƣơng tùy ý, luôn tồn tại 2 số có hiệu chia hết cho n.
 Lờ i giải: Nhận xét r ằng các số dƣ có đƣợ c khi mang chia n + 1 s ố nguyên cho
n ch ỉ có thể  là 0,1,2,…,n –  1.
 1. Vì vậy ắt ph ải có hai số khi chia cho n có cùng
số dƣ. Do đó hiệu hai số này phải chia hết cho n.

Số lồng mà ta cần nhận ra trong bài toán này chính là n.

1.2.2  Nh
Nhữ 
ữ ng
ng bài toán khi giả
giải phả
phải nhậ
nhận ra cả
cả th
 thỏỏ và lồ
lồng:
Ví dụ  1: Chứng minh r ằng luôn tồn tại một số  nguyên dƣơng n, không vƣợ t
 –  1
 1 chia hết cho 2011.
quá 2010, để 2n – 
i
 Lờ i giải: Xét dãy ai  = 2 , i = 1,2,3,…,2011. Nhận thấy các số  trong dãy đều
không chia hết cho 2011. Vì vậy, khi mang những số này chia cho 2011 thì
các số  dƣ của nó chỉ n ằm trong tậ p 2010 số  { 1,2,3,…,2010}. Do có 2011 số 
nên phải có 2 số a t > a h khi chia cho 2011có cùng số dƣ. Đặt n = t –  h, khi đó
n < 2011 và at  – 
–   ah  = ah(2n  – 
–  1)
  1) chia hết cho 2011, nên 2n –  1
  1 chia hết cho
2011.
Mấu chốt là ta phải tạo ra 2011 thỏ  ai  = 2i, i =1,2,3,…,2011 và 2010 lồng
{1,2,3,..,2010}.
Ví dụ

d ụ  2: Chứng minh r ằng trong n + 1 s ố  nguyên dƣơng không vƣợ t quá 2n,
 bao giờ   cũng tồn tại hai số  sao cho số  này là bội của số  kia(Bài toán của
Erdos).
 Lờ i gi ải: Gọi

các số đã cho là a1,a2,…,an+1. Bây giờ  ta
  ta phân tích các số này ở  

dạng tiêu chuẩn: a i =

 

.bi v ớ i b i là số tự nhiên lẻ, i = 1,2,3,…,n+1. Nhƣ vậy

ta đƣợ c n + 1 số t ự nhiên lẻ b1, b
  2,…,bn+1  không vƣợt quá 2n. Nhƣ vậy, trong
2n số nguyên dƣơng đầu tiên, chỉ có n số lẻ, cho nên trong các số b1,b2,…,bn+1 

8


 



 b và am =
ắt phải có hai số  nhƣ nhau, chẳng hạn b j  = bm  = b. Khi đó a j  =  b
 b sẽ có một số là bội của số kia.
Đây là một bài toán mà khi giải ta phải nhận ra n lồng, đó là n số  lẻ 



  2
nằm trong các số không vƣợ t quá 2n, sáng t ạo ra n + 1 thỏ b1, b
,…,bn+1.
Ví dụ
dụ 3: Ngƣời ta sơn tất cả các cạnh và đƣờ ng
ng chéo của một hình lục giác lồi

 bở i hai màu khác nhau, mỗi cạnh hoặc đƣờ ng
ng chéo chỉ  đƣợ c sơn một màu.
Chứng minh r ằng
ằng trong đó tồn tại một tam giác có ba cạnh cùng màu.
 Lờ i giải:  Giả sử lục giác đó là ABCDEF và hai màu sơn là xanh và đỏ. Trong

5 đoạn AB,AC,AD,AE,AF phải có ba đoạn đƣợc sơn cùng màu. Chẳng hạn 3
đoạn đó là AB,AC,AD, và đƣợc sơn  màu đỏ. Ta xét tiếp 3 đoạn BC,CD,DB.
 Nếu trong ba đoạn này có một đoạn đƣợc sơn màu đỏ , ch ẳng hạn BC, thì ba
cạnh của tam giác ABC đƣợc sơn cùng màu đỏ. Nếu ba đoạn BC,CD,DB
không có đoạn nào sơn màu đỏ thì nó phải đƣợc sơn toàn màu xanh   khi đó
tam giác BCD có ba cạnh đƣợc sơn cùng màu xanh.

1.3  Một số
số bài tậ
tập
1.3.1  Đề bài

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ cho đa giác lồi có số cạnh không nhỏ hơn 5 và
tất cả  các đỉnh có tọa độ  nguyên(ta gọi chúng là các điểm nguyên). Chứng
minh r ằng bên trong hoặc trên cạnh đa giác có ít nh ất một điểm nguyên khác

nữa.

Bài 2: Trong mặt phẳng cho 25 điểm sao cho từ 3 điểm bất k ỳ trong số chúng

đều tìm đƣợc hai điểm có khoảng cách nhỏ  hơn 1. Chứng minh r ằng tồn tại
một hình tròn có bán kính bằng 1 chứa không ít hơn 13 điểm.
Bài 3: Giả sử a,b,x0 là các số tự nhiên khác 0. Chứng minh r ằng, trong dãy x0,
x1= ax0+b, x2 = ax1+b,…,xn= axn-1+b,…có vô hạn số là hợ  p số.
Bài 4: Chứng minh r ằng nếu x1,x2,…,x12 là nghiệm của hệ bất phƣơng trình:

9


 

       

   
        
 

     
 
  
 

thì có ít nhất 3 số âm.
Bài 5: Chứng minh r ằng trong một hình tròn có bán kính b ằng 1, không thể 
có nhiều hơn 5 điểm sao cho khoảng cách giữa 2 điểm bất k ỳ trong chúng đều
lớn hơn 1. 

Bài 6: Cho 40 số nguyên dƣơng a1,a2,….,a19 và b1,b2,…,b21 thỏa mãn:
 

Chứng minh r ằng tồn tại 4 số ai, a j,bk ,,bbl sao cho

 

Bài 7: Tại một vòng chung k ết cờ  vua
 vua có 8 bạn thí sinh thi đấu theo thể thức
vòng tròn( bất k ể hai thí sinh nào cũng phải thi đấu vớ i nhau một ván). Chứng
minh r ằng t ại một th ời điểm b ất k ỳ c ủa cu ộc thi bao giờ   cũng có ít nhất 2 thí
sinh có số ván đã đấu là nhƣ nhau. 

Bài 8: Một cửa hàng đồ điện trong mỗi ngày bán đƣợ c ít nhất một chiếc quạt
và trong mỗi tu ần bán đƣợ c không quá 12 chiếc. Chứng minh r ằng trong một
số ngày liên tiếp nào đó cửa hàng đã bán đƣợ c tổng số 20 chiếc quạt.

Bài 9: Cho dãy số u1,u2,…,un trong đó ui bằng 0 hoặc bằng 1 thỏa mãn điều
kiện sau: Bất k ỳ  2 bộ  5 số liên tiế p nào từ  dãy số  đã cho đều không trùng
nhau. Chứng minh r ằng
ằng n ≤ 36. 

Bài 10: Cho một dãy gồm 4n số  dƣơng có tính chất: 4 số khác nhau bất k ỳ 
của dãy lậ p thành một cấ p số nhân. Chứng minh r ằng dãy số đó phải có ít nhất
n số bằng nhau.

10

 

Bài 11: Số hạng thứ nhất và công sai d ≠ 0 của một cấ p số cộng có vô hạn số 
hạng là các số nguyên. Chứng minh r ằng tồn tại một số hạng của dãy mà biểu
diễn thậ p phân của nó chứa chữ số 9.

          

Bài 12: Cho dãy số nguyên u1,u2,…,un  với n ≥ 2. Chứng minh r ằng tồn tại
dãy con
 trong đó 1 ≤ k 1 < … < km ≤ n sao cho 
  n.

Bài 13: Chứng minh r ằng không tồn tại một dãy tăng các số  tự nhiên u1; u2;
u3; …; un;…sao cho vớ i mọi n và m ta có umn = um + un.

Bài 14:  Ngƣời
ng tròn vớ i tổng độ dài các
Ngƣời ta sơn đen một số cung của đƣờ ng

cung đó bé hơn nửa đƣờ ng
ng tròn. Chứng minh r ằng tồn t ại một đƣờ ng
ng kính có
hai đầu không bị sơn đen. 
ng tròn bán kính b ằng 1 cho 7 điểm phân biệt mà
Bài 15: Trong một đƣờ ng
khoảng cách giữa hai điểm bất k ỳ  đều không nhỏ  hơn 1. Chứng minh r ằng
trong 7 điểm đã cho có ít nhất một điểm trùng vớ i tâm.
1.3.2  Lời giải

Bài 1: Từ  đề bài suy ra số đỉnh c ủa đa giác lớn hơn hoặ c bằng 5. Mỗi c ặ p s ố 
nguyên (xi ,yi) chỉ có thể rơi vào 1 trong 4 trƣờ ng
ng hợ  p sau: x i chẵn và yi chẵn;
xi chẵn và yi lẻ; xi lẻ và y i chẵn; xi lẻ và yi lẻ. Vì ta có nhiều hơn hoặc bàng 5

đỉnh nên có ít nhất hai đỉnh mà hoành độ  và tung độ của chúng có tính chẵn lẻ 
giống nhau. Khi đó trung điể m của đoạn thẳng nối hai điểm này là một điểm
nguyên và hiển nhiên trung điểm đó nằm trên hoặc trong cạnh của đa giác. 
Bài 2:  Nếu 2 điểm bất k ỳ trong số  25 điểm đã cho đều có khoảng cách nhỏ 
hơn 1 thì ta chọn một điểm bất k ỳ làm tâm vẽ một đƣờ ng
ng tròn bán kính bằng 1
thì hình tròn vừa dựng sẽ chứa cả 25 điểm đó. Trong trƣờ ng
ng hợ  p có hai điểm,
giả  sử là A và B có kho ảng cách không nhỏ  hơn 1, vẽ hình tròn (C1) tâm A
 bán kính 1 và đƣờ ng
ng tròn (C2) tâm B bán kính 1. Khi đó không tồ n tại điểm
nào trong 25 điểm đã cho nằm ngoài cả (C1) và (C2). Thật v ậy, giả  sử  ngƣợ c

11


 

lại có điểm C nằm ngoài (C1)và (C2), rõ ràng khi đó AB ≥ 1, AC ≥ 1, CB ≥ 1
mâu thuẫn vớ i giả  thiết. Nhƣ vậy có ít nhất một trong hai đƣờ ng
ng tròn (C1)
hoặc (C2) chứa không ít hơn 13 điểm đã cho. 



Bài 3: Dễ  thấy xn= axn-1+b   xn-1+b >xn-1  vớ i mọi số  tự  nhiên n ≠ 0. Do đó
x0,x1,x2,…,xn,…lậ p thành một dãy số  tăng.Và x1= ax0+b>a nên các số  hạng
của dãy k ể từ x1 đều lớn hơn a. Đặt d = ƢCLN(a,b).
ng h ợp d > 1, khi đó x i chia hết cho d vớ i mọi i≥1, suy ra điều
Xét trƣờ ng
 phải chứng minh.
ng hợp d = 1, khi đó a và xk  (k≥1) nguyên tố cùng nhau. Gọi N
Xét trƣờ ng
là số nguyên dƣơng nguyên tố cùng nhau vớ i a. Xét các số xk ,xk+1,…,xk+N, vớ i
k 1. Khi đó ta tìm đƣợ c 2 số x p, xq(p > q) có cùng số dƣ (modN). Do đó x p  – 
–  



xq = a(x p-1-xq-1) và (a,N) = 1, suy ra x p-1-xq-1 chia hết cho N. Tiế p tục quá trình
đó x p-2 - xq-2,…, x p-q+k -xk  chia hết cho N. Chọn N = xk  (thì N > a ≥ 1)  , ta suy ra
x p-q+k   chia hết cho N. Do đó x p-q+k   là hợ  p số. Nhƣ vậy trong dãy xk ,xk+1,…, 
xk+N có chứa hợ  p số là x p-q+k .Thay thế xk  bở i x p-q+k+1 ta lại có trong dãy x h, xh+1,

…,

 *+

trong dãy

 (  h = p-q+k+1) cũng chứa một hợ  p số. Từ  đó suy ra các hợ  p số 
 là vô hạn.

Bài 4: Giả sử trong 12 số x1, x2, …, x12, là nghiệm của hệ bất phƣơng trình đã

cho có ít hơn 3 số dƣơng. Khi đó bao giờ  cũng chọn đƣợ c bốn chỉ số liên tiế p
i-1, i, i+1, i+2 sao cho x i-1, xi, xi+1+, xi+2  đều âm. Theo các bất phƣơng trình
trong hệ, ta có: xi-1 - xi + xi+1 > 0, xi - x i+1 + xi+2 > 0. Từ  đó suy ra xi-1 + xi+2 >
0. Điều này mâu thuẫn vớ i giả  thiết xi-1  và xi+2  đều âm. Vì vậy số  các số 
dƣơng phải lớn hơn hoặc bằng 3. Hoàn toàn tƣơng tự ta chứng minh đƣợ c cho
các số âm.
Bài 5: Xét 6 điểm trong đƣờ ng
ng tròn
tròn tâm O. Ta sẽ  chứng minh r ằng trong 6
điểm đó tồn tại hai điểm có khoảng cách ≤ 1. Ta xét điểm P1, kéo dài OP1 cắt
ng tròn tại A. Lấy trên đƣờ ng
ng tròn, về hai phía của A điểm B và C sao cho
đƣờ ng

12


 

̂̂
 =

 = 600. Nếu trong hình quạt AOB có chứa một điểm khác P1, ta

gọi là P2, thì dễ thấy P 1P2  ≤ 1. Tƣơng tự, n ếu trong hình quạt AOC chứa một

điểm khác P1. Ta chia hình quạt lớ n BOC thành 4 hình qu ạt bằng nhau, suy ra
0

góc ở   tâm của mỗi hình quạt bằng 60 . Ta có 5 điểm còn lại trong 4 hình

quạt, vì vậy có ít nhất một hình quạt chứa 2 điểm đang xét, suy ra khoảng
cách giữa hai điểm đó ≤ 1. Từ đó ta có điều phải chứng minh.

Bài 6: Gọi S là tậ p các tổng có dạng ai  + b j  với 1≤ i  ≤ 19, 1≤ j  ≤ 21, khi

 || 

đó = 19.21 = 399. Từ giả thiết suy ra các phần tử của S chỉ nhận các giá tr ị 
từ 2 đến 400.
 Nếu S = {2,3,…,400} thì a 1  = b1  = 1 và a19  = b21  = 200, suy ra điều phải
chứng minh.
 Nếu S ≠ {2,3,…,400} thì tồn t ại 2 phần tử c ủa S có cùng giá tr ị. Giả sử đó là
ai + bk = a j + bl, ta cũng suy ra điề u phải chứng minh.

Bài 7: Xét một thời điểm bất k ỳ c ủa cuộc thi. Nếu có ít nhất hai ngƣời chƣa

thi đấu thì bài toán là hi ển nhiên. Nếu t ồn tại đúng một ngƣờ
ngƣờii chƣa chơi ván
nào thì 7 thí sinh còn l ại, mỗi ngƣời thi đấu tối thiểu là 1 ván, tối đa là 6 ván,
theo nguyên lý Dirichlet tồn t ại 2 thí sinh có số  ván thi đấu nhƣ nhau.   Tƣơng
tự, nếu cả 8 ngƣời đã thi đấu thì mỗi ngƣờ i phải đấu ít nhất 1 ván và tối đa là
7 ván nên cũng tồn tại 2 thí sinh có số ván đấu nhƣ nhau. 
Bài 8: Xét 21 ngày liên tiế p b ất k ỳ. G ọi S(n) là số qu
 q uạt mà cửa hàng đó bán
đƣợc tính đến ngày thứ n (1≤ n ≤ 21). Vì trong mỗi ngày, cửa hàng bán đƣợ c
ít nhất một chiếc quạt nên {S(n)} là dãy tăng nghiêm ngặt. Hơn nữa, trong
mỗi tuần cửa hàng bán đƣợ c không quá 12 chiếc quạt nên 1≤ S(n)≤ 36 vớ i
mọi n =



 . Vì { S(n) / 1 ≤ n ≤ 21} có 21 số   hạng nên theo nguyên lý



Dirichlet, tồn tại 1 ≤  i S(i) < 36 nên ta phải có S(j) –  S(i)
 S(i) = 20. Vậy k ể từ ngày thứ i+1 đến ngày thứ 
 j cửa hàng đã bán đƣợ c tổng cộng 20 chiếc quạt.

13


 

Bài 9: Giả sử n ≥ 37. Ta biết r ằng,từ một dãy có n s ố (n ≥ 5) thì có n –  4
 4 cách
chọn bộ gồm 5 số liên tiế p của dãy. Vì n ≥ 37 nên n - 4 ≥ 33 > 25. Hơn nữa, ta
lại chỉ có 25 cách lậ p các bộ gồm 5 số (a1, a2, a3, a4, a5), trong đó ai = 0 hoặc ai
= 1. Suy ra từ  dãy n ≥ 37 tồn t ại ít nhất hai bộ 5 số liên tiế p trùng nhau (mâu
thuẫn). Vậy ta phải có n ≤ 36. 

Bài 10: Vì n = 1 thì bài toán là hi ển nhiên nên chỉ cần xét n > 1. Gi ả sử trong
dãy số  đã cho,mỗi số  hạng của nó chỉ  lặ p lại nhiều nhất là n  –   1 lần. Khi đó
theo nguyên lý Dirichlet, trong 4n s ố  dƣơng đó bao giờ   cũng chọn đƣợ c 5 số 
khác nhau là a,b,c,d,e. Không mất tính tổng quát, giả sử a < b < c < d < e. Khi

đó 4 số a, b, c, d và 4 số a, b, c, e đều lậ p thành cấ p số nhân. Do đó

   



  nên e = d. Điều này mâu thuẫn vớ i giả  thiết e ≠ d. Vậy ta có điều phải
chứng minh.

Bài 11: Số  hạng thứ  s của cấ p số  cộng tính bở i công thức us  = u1 +(s -1).d,

trong đó u1  là s ố  hạng đầu tiên, d là công sai. Không mất tính tổng quát, giả 
sử d > 0. Theo nguyên lý Dirichlet, trong d + 1 số sau: 9, 99, 999 ,…,
 

⏟


có hai số  có cùng số  dƣ khi chia cho d. Tức là luôn tồn tại số  có dạng

99…

 chia hết cho d. Giả sử u1 là số nguyên có n ch ữ số. Bổ sung các


⏟ 



⏟

          


     

chữ s ố 0 nếu c ần, ta có thể  coi k ≥ n và số  A = 99…

 chia hết cho d.

Khi đó nếu đặt m =   thì số hạng thứ m + 1 trong cấ p số cộng đã cho có biểu
diễn thậ p phân chứa chữ số 9.

Bài 12: Xét n +1 số 

. Theo nguyên lý

Dirichlet trong n+1 số  đó phải có ít nhất 2 số 


  

 ,

 khi chia cho n có cùng s ố dƣ (0≤ j < k ≤ n, ở  đây ta hiểu khi j = 0 thì

14


 


 
  

   



   

 là số  0). Điều đó có nghĩa là số 
 chia hết cho n. Suy ra

cho n.

 ) -

 chia hết

Bài 13: Giả  sử  tồn tại dãy thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn n là số  tự nhiên
lớn hơn u2. Khi đó u2n = un + u 2 < u n + n. Điều này chứng tỏ các số un+1, un+2,

…, u2n là n số nguyên phân biệt nằm trong đoạn [un+1, un+ n-1]. Đoạn này chỉ 
gồm n –  1
 1 số nguyên phân biệt, nên giả sử sai  điều phải chứng minh.
Bài 14: Ta sơn xanh tất cả các cung đối xứng vớ i các cung đã bị sơn đen của
ng tròn. Từ  giả  thiết suy ra tổng độ dài tất cả  các cung đã bị  sơn bé hơn
đƣờ ng
nửa vòng tròn. Do đó tồ n t ại một điểm chƣa bị  sơn, và đƣờng kính qua điểm
ng kính cần tìm.
này chính là đƣờ ng
Bài 15: Giả  sử  không có điểm nào trong 7 điểm đã cho  trùng vớ i tâm. Chia
hình tròn đã cho thành 6 hình quạ t bằng nhau. Theo nguyên lý dirichlet, tồn

tại hai điểm cùng nằm trong hình qu ạt( k ể cả  biên),
biên), nhƣ vậy khoảng cách giữa
hai điểm đó nhỏ  hơn 1 (mâu thuẫn vớ i giả  thiết). Do đó phải có ít nhất một
điểm trùng tâm.

⟹

15


 

Chƣơng II: NGUYÊN LÝ CƠ BẢN
BẢN CHO CÁC BÀI TOÁN ĐẾM
ĐẾM
2.1  Nguyên lý đếm:
đếm:

Bài toán đếm s ố  phần tử  của một tậ p hợ  p xuất hi ện khá phổ  biến trong khoa
học cũng nhƣ trong đờ i sống. Nếu số phần tử không nhiều thì ta có thể đếm số 
 phần tử  của nó bằng cách liệt kê. Tuy nhiên n ếu số  phần tử  của nó lớ n thì

cách đếm tr ực tiế p là không khả  thi. Ba nguyên lý cơ bản nhất cho các bài
toán đếm là nguyên lý cộng, nguyên lý nhân và nguyên lý bù tr ừ. 
2.1.1  Nguyên lý cộ
cộng:
Giả  sử  một công việc có thể  tiến hành theo một trong k phƣơng án A1,
A2,…, Ak . Có n1 cách chọn phƣơng án A1, n 2 cách chọn phƣơng án A2,…, nk  
cách chọn phƣơng án Ak . Khi đó công việc có thể đƣợ c thực hiện bở i n1 + n2 +
… + nk  cách.

2.1.2  Nguyên lý nhân:
Giả  sử  một công việc A gồm k công đoạn A1, A2, …,  Ak  .
  . Công đoạn
A1  có thể  thực hiện theo n1  cách, công đoạn A2  có thể  thực hiện theo n2 

cách,…, công đoạn Ak  có thể th ực hi ện theo nk   cách. Khi đó công việc đó có
thể thực hiện theo n1.n2…nk  cách.
2.1.3  Hoán vị
vị - Chỉ
Chỉnh hợ 
hợ p - Tổ
Tổ hợ 
 hợ p:
p:
Hoán vị
vị  : Cho tậ p A g ồm n phần tử  (n ≥  1). Mỗi cách sắ p thứ  tự  n phần tử 
của tậ p hợp A đƣợ c gọi là một hoán vị của n phần tử đó. 
Số hoán vị của n phần tử là: Pn = n! =1.2.3...n.(n ≥ 1). 

Chỉỉnh hợ 
Ch
h ợ p:
p: Cho tậ p hợ  p A gồm n phần tử (n ≥ 1). Mỗi bộ gồm k phần tử (1

≤ k ≤ n) sắ p thứ tự của tập A đƣợ c gọi là một chỉnh hợ  p chậ p k c ủa n phần tử 
đó.
Số chỉnh hợ  p chậ p k của n phần tử là:

 =

    
16

(1 ≤ k ≤ 1). 


 

Tổ h
 hợ 
ợ p:
p: Cho tậ p hợ  p A gồm n phần tử (n ≥ 1). Mỗi tậ p hợ  p con của A gồm k
 phần tử phân biệt (0 ≤  k ≤ n), đƣợ c gọi là một tổ hợ  p chậ p k của n phần tử đã
cho.
Số tổ hợ  p chậ p k của n phần tử là:

2.1.4  Nguyên lý bù trừ 
trừ : 

vớ i (0 ≤ k ≤ n).
 
 
 =

Nguyên lý bù tr ừ là một quy t ắc h ữu hi ệu, trong việc gi ải quy ế t những

bài toán đế m.
m. 
Khi hai công việc có th ể  được làm đồng thời, ta không th ể  dùng quy

t ắc cộng để tính s ố cách thực hiện nhiệm vụ g ồm cả hai việc. Để tính đúng số 
cách thực hiện nhiệm vụ  này ta cộng s ố  cách làm việc thứ  nh ấ t và s ố cách
làm việc thứ hai r ồi trừ  đi số cách làm đồng thời cả hai việc. Ta có th ể phát
bi ểu
 ểu nguyên lý đế m này b ằng ngôn ngữ  tập hợp. Cho A1, A2 là hai tập hữu
hạn, khi đó 

∪
     |  |                
      
  
∪∪∪
│A1  A2│ =│A1│ +│A2│- │A1∩A2│.

Từ đó vớ i 3 tậ p hợ  p A1,A2,A3, ta có:

 

B ằng quy nạp, với k tập hữu hạn A1,A2,…,Ak ta có:

k-1
│ A1  A2  …  Ak│ =N1 –
 – N2 +N3 -…+ (-1) Nk.

 ấ y t ừ k tập
Trong đó Nm  (1≤ m≤ k) là tổ ng ph ần tử c ủa t ấ t cả các giao m tập l ấ 
đã cho. 
Bây giờ ta đồng nh ấ t tập Am(1 ≤ m ≤ k) với tính ch ấ t Am cho trên tập hữu hạn

U nào đó và đế m xem có bao nhiêu ph ần t ử  của U sao cho không thỏa mãn

17


 

b ấ t kỳ một tính ch ấ t A m  nào. Gọi N là s ố ph ần tử c ủa U,
có:
 = N - │ A1   A2    …

 

 là s ố c ần đế m.
m. Ta

k

 Ak│ = N – N1 + N2 -…+ (-1) Nk.. 

 ∪∪∪

Trong đó Nm  là tổng các phần tử  của U thỏa mãn m tính chất lấy từ k tính
chất đã cho. Công thức này đƣợ c gọi là nguyên lý bù tr ừ. Nó cho phép tính
qua các Nm trong trƣờ ng
ng hợ  p các số này dễ tính toán hơn. 
Ngoài các nguyên lý trên ta còn có th ể sử dụng phép song ánh, p hương pháp

đế m b ằng hệ thức truy h ồi,… 

2.2  Một số

số ví dụ
dụ:
2.2.1  Các bài toán sử 
sử  dụ
 dụng nguyên lý cộ
cộng và nhân để
để gi
 giảải:
Ví dụ
dụ 1: Có bao nhiêu số tự nhiên
a)  Lẻ có 4 chữ số, đôi một khác nhau.
b)  Chẵn có bốn chữ số đôi một khác nhau.
 Lờ i giải:

a)  Mỗi số  tự nhiên có 4 chữ  số  có dạng
một số thỏa mãn đầu bài đòi hỏi.





  Công đoạn 1, chọn d: có 5 cách.



  Công đoạn 2, chọn a: có 8 cách.



  Công đoạn 3, chọn b: có 8 cách.



  Công đoạn 4, chọn c: có 7 cách .
cách .

 . Ta cần chọn a,b,c,d để  đƣợ c

Theo quy tắc nhân có 5.8.8.7 = 2240 số thỏa mãn yêu cầu đòi hỏi.
 b)  Mỗi s ố t ự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau có một trong các dạng:
hoặc



(d ϵ {2,4,6,8}). Theo quy t ắc nhân:

1.  Dạng

 có 9.8.7 = 504 số,


18



 


 

2.  Dạng



(d ϵ {2,4,6,8}) có 4.8.8.7 = 1792 số.

Do đó theo quy tắc cộng có 504 + 1792 =2296 số thỏa mãn bài toán.
Trong câu a) của ví dụ 1 ta chỉ cần sử dụng quy tắc nhân, trong câu b) của
ví dụ 1 ta sử dụng quy tắc cộng k ết hợ  p quy tắc nhân.
Ví dụ  2: Trong 6 chữ s ố 0, 1, 2, 3, 4, 5 có th ể l ập đƣợ c bao nhiêu số gồm
 bốn chữ số khác nhau và trong bốn chữ số nhất thiết phải có chữ số 1.
 Lờ i giải:
Cách 1: Mỗi số cần lậ p có một trong các dạng


  Dạng



  Dạng




  có 5.4.
5.4.3
3 = 60 số.

  

,

  có 4.4.3 = 48 số. Tương tự  mỗi dạng

 

 

cũng có 48 số.

Vậy theo quy tắc cộng, có 60 + 48 + 48 + 48 =204 s ố thoả mãn đề bài.
Cách 2:  Số các

số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là : 5.5.4.3 = 300. Số các

số tự nhiên có 4 ch ữ số khác nhau trong đó không có mặt chữ số 1 là 4.4.3.2
= 96. Do đó số các số thỏa yêu cầu đề bài là: 300 –  96
 96 = 204.

Ví dụ
dụ 3: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 l ậ p tất cả các số gồm bốn chữ 
số không trùng nhau. Hãy tìm t ổng của tất cả các số này.
 Lờ i giải:
Cách 1:  Gọi

A là tậ p hợ  p các số  thoả  mãn đề bài. Ta có


∈
 


  

3024 số. Đối vớ i số bất kì
A sao cho 

| |  ∈
  = 9 . 8. 7. 6 =
 =

   A đều tồn tại duy nhất một số 

   

 = 11110.  Do đó t ậ p A g ồm 3024: 2 = 1512 cặ p
 =

 +

số, mỗi cặ p có tổng là 11110. Vậy tổng tất cả các số trong A là: 1512.11110
= 16798320. 

Cách 2:  Số  các

số  có dạng

tƣơng tự, mỗi dạng:

,

lập đƣợ c là 8.7.6 = 336 số. Hoàn toàn

,… ,

19

cũng có 336 số. Do đó tổng tất


 

cả  các chữ  số  hàng nghìn của tất cả  các số  lập đƣợ c là 336(1+2+…+9)
=15120. Hoàn toàn tƣơng tự, tổng các chữ số hàng trăm, chục, đơn vị của tất
cả các số l ập đƣợ c mỗi loại cũng là: 22680. Vậy tổng t ất c ả các số lập đƣợ c
là: 15120(1+10+100+1000) = 16798320.
2.2.2  Các bài toán sử 
sử  dụ
 dụng hoán vị
vị - chỉ
chỉnh hợ 
hợ p - tổ
tổ hợ 
 hợ p để
để gi
 giảải:

Ví dụ  1: Có 6 tem thƣ khác nhau và 6 phong bì khác nhau, hỏ i có bao nhiêu
cách chọn 3 tem thƣ dán vào 3 phong bì. 
 Lờ i giải:



Công đoạn 1, chọn ra 3 phong bì: Có  cách.
Công đoạn 2, chọn ra 3 tem thƣ: Có  cách.
Công đoạn 3, dán 3 tem tthƣ
hƣ vừa chọn vào 3 phong bì đã chọn : Có 3! Cách.
Theo quy tắc nhân, có
  = 2400 cách.
Trong bài này ta sử dụng hoán vị và tổ hợ  p k ết hợ  p vớ i quy tắc nhân.
Ví dụ
dụ 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có 13 chữ số sao cho chữ số 0 xuất hiện 2
lần, chữ số 1 xuất hiện 3 lần, các chữ số khác xuất hiện đúng một lần.

    

 Lờ i giải:

Xét 13 ô tr ống:
Ta cần đặt các chữ số 0,1,2,3,4 vào các ô( m ỗi ô một ch ữ số) để đƣợ c một số 
thỏa mãn yêu cầu bàn toán.






  Công đoạn 1: Đặt 2 chữ số 0 vào, có



  Công đoạn 2: Đặt 3 chữ số 1 vào, có



  Công đoạn 3: Đặt 8 chữ số còn lại vào, có 8! cách.

  

Theo quy tắc nhân có tất cả 
toán.

  cách.
 cách.

 = 439084800 số thỏa mãn yêu cầu bài
 =

20


 

2.2.3  Các bài toán sử 
sử  dụ
 dụng nguyên lý bù trừ 
trừ   để
để gi
 giảải:
Ví dụ
d ụ 1: Một lớ  p có 4 học sinh giỏi toán, 5 học sinh giỏi văn, 2 học sinh giỏi

cả  toán và văn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn m ột h ọc sinh làm lớp trƣở ng
ng sao
cho học sinh đó phải giỏi toán hoặc văn? 
 Lờ i giải: Số cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 4 + 5 –  2
 2 = 7 cách.

Ví dụ
d ụ  2 :  Trong tập S = {1,2,…,280} có bao nhiêu số  không chia hết cho 2,
3,5,7?
Lờ i giải: Ta đếm xem trong tậ p S có bao nhiêu số chia hết cho ít nhất một
trong các số 2,3,5,7.
Kí hiệu A1 = {k  S: k chia hết cho 2}, A2 = {k  S: k chia hết cho 3}, A3 = {k






 S: k chia hết cho 5}, A4 = {k  S: k chia hết cho 7}.


∪ ∪ ∪ 
| |     




       
∪∪∪

Khi đó A1 A2   A3   A4  là tậ p các số chia hết cho ít nhất một trong các số 
2,3,5,7. Ta có:

 

Tƣơng tự: |A2| = ; |A3|=
; |A4| =
|A1∩A4| =
; |A2∩A3| = ; |A2∩ A4| =

; |A1∩A2| =

; |A1∩A3| =




; |A3∩A4| = ; |A1∩A2∩ A3| =

|A1∩A2∩A4| = ; |A1∩A3∩A4|= ; |A2∩A3∩A4| =

;
;

A1∩A2∩A3∩A4| = .

Sử dụng công thức bao hàm và loại tr ừ,
c:
ừ, ta tìm đƣợ c:

|A1 A2 A3 A4| = 216.
Thành thử trong tậ p S có 280 –  216
 216 = 64 số không chia hết cho 2,3,5,7.

2.2.4  Sử  dụ
 dụng phép song ánh:

Ví dụ
dụ 1: Có thể lập đƣợ c bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau sau cho
chữ số đứng trƣớ c luôn lớn hơn chữ số đứng sau.
 Lờ i giải: Mỗi tậ p hợ 
 p gồm 4 chữ số tự nhiên khác nhau đều lập đƣợ c duy nhất

một số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán, ngƣợ c lại, từ mỗi số tự nhiên thỏa

21


 

mãn yêu cầu bài toán ta cũng đƣợ c lậ p từ một tậ p hợ  p duy nhất gồm 4 chữ số 
tự nhiên khác nhau. Do đó số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là



 = 210.

Ví dụ  2: Có bao nhiêu cách chọn năm số t ừ  mƣờ i tám số  nguyên dƣơng đầu
tiên sao cho tr ị tuyệt đối của hiệu hai số bất kì đều lớn hơn 2? 
 Lờ i giải: Giả sử a1 < a 2 < a 3 < a 4 < a 5 là năm số đƣợ c ch ọn.

Xét bộ (b1, b2, b3,

 b4, b 5) = (a1, a2 - 1, a3  – 
–   2, a 4  – 
–  3,
 3 , a5  – 
–  4)
  4) thì b1, b 2, b3, b 4, b 5 là 5 số nguyên

dƣơng khác nhau trong số mƣờ i bốn số nguyên dƣơng đầu tiên. Ngƣợ c lại, từ 
5 số  nguyên dƣơng khác nhau b 1, b 2, b3, b4, b5 trong số  14 số  nguyên dƣơng
đầu tiên (không mất tính tổng quát, giả sử b1 < b2 < b3 < b 4 < b5 ) ta xây dựng
đƣợ c bộ (a1, a2, a3, a4, a5) = (b1, b2 +1, b3 + 2, b4 + 3, b5 + 4) là bộ năm số thoả 
mãn điều ki ện bài toán. Do vậy có một song ánh giữa tậ p các cách chọn năm
số thỏa mãn bài toán v ớ i tậ p các cách chọn năm số khác nhau từ mƣờ i bốn số 
  cách chọn năm số  từ  mƣờ i
nguyên dƣơng đầu tiên. Do đó có
tám số nguyên dƣơng đầu tiên sao cho tr ị tuy ệt đối c ủa hiệu hai số bất kì đều
lớn hơn 2. 
Ví dụ  3:  (Vô địch Ucraina 1996) Gọi M là tất cả các số  nguyên dƣơng viết
trong hệ  thậ p phân có n chữ  số 1, n chữ  số  2 và không có một chữ  số  nào
khác. Gọi N là tậ p t ất cả các số viết trong hệ th ậ p phân có n chữ s ố, ch ỉ ch ứa

 

các số 1, 2, 3, 4 và số các chữ  số  1 bằng số các chữ  số 2. Chứng minh r ằng
│M│ =│N│.
 Lờ i giải: Ta sẽ xây dựng một song ánh giữa M và N nhƣ sau: 

Vớ i mỗi số có n chữ số thuộc N cho tƣơng ứng vớ i một số có 2n chữ số thuộc
M theo quy tắc sau: Đầu tiên, viết hai phiên bản c ủa số này k ề nhau thành số 
có 2n chữ  số. Sau đó, các chữ  số  3 ở   n chữ  số  đầu đƣợc đổi thành chữ  số  1,
chữ số 3 ở  n
 n chữ số sau đƣợc đổi thành chữ số 2.

Tƣơng tự, chữ số 4 ở  n
 n chữ số đầu đƣợc đổi thành chữ số 2, còn chữ số 4 ở  n
 n
chữ số sau đƣợc đổi thành chữ số 1.

22


 

 Nhƣ thế, ta thu đƣợ c một số có đúng n chữ số 1 và n chữ số 2. Rõ ràng đây là
đơn ánh từ N vào M.
Để chứng minh song ánh ta xây d ựng ánh xạ ngƣợc nhƣ sau: Vớ i mỗi số có n
chữ số 1 và n chữ số 2 thuộc M, ta cắt n chữ số đầu và n ch ữ số cuối r ồi cộng
chúng theo cột theo quy tắc: 1 + 1 = 2, 2+ 2 = 1, 1 + 2 = 3, 2 + 1 = 4 ta thu

đƣợ c một số có n chữ số gồm các chữ số 1, 2, 3, 4 vớ i số các chữ số 1 bằng số 
các chữ số 2.
Vậy ta đã thiết lập đƣợ c song ánh giữa M và N và │M│ =│N│.
2.3  Một số
số bài tậ
tập
2.3.1  Đề bài

Bài 1: Một tố p có 30 nam và 15 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lậ p ra một nhóm 6
ngƣời sao cho có đúng 2 nữ?
Bài 2: Cho m ≤ k ≤ n . Chứng minh r ằng:

          

.

Bài 3: Có bao nhiêu số khác nhau gồm 7 chữ số sao cho tổng các chữ số của
mỗi số là một số lẻ.

Bài 4: Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số đƣợ c tạo thành từ các chữ số 0, 1, 2,
3, 4, 5, 6 sao cho:
a. Các chữ số có thể giống nhau.
 b. Các chữ số phải khác nhau.

Bài 5: Xế p ngẫu nhiên n quả cầu phân biệt vào N cái hộ p phân biệt.
a. Có bao nhiêu cách sắ p xế p sao cho hộ p thứ  nhất đƣợ c n1  quả, hộ p thứ hai
 N đƣợ c n N quả? (n = n1 + n2 + … + n N).
đƣợ c n2 quả, …, hộ p thứ N
 b. Có bao nhiêu cách sắ p xế p sao cho hộ p thứ k đƣợc đúng m quả?
Bài 6: Tìm số các số  nguyên dƣơng không vƣợ t quá 100, và hoặc là số  lẻ,
hoặc là bình phƣơng, hoặc là lập phƣơng của một số nguyên.

23


 

Bài 7: Trong một version của ngôn ngữ BASIC tên của một biến là một chuỗi

gồm 1 hoặc 2 ký tự, mỗi ký tự là chữ cái (trong bảng chữ cái tiếng Anh) hoặc
chữ  số  thậ p phân và không phân biệt chữ hoa và chữ  thƣờng. Hơn nữa, một
tên biến phải bắt đầu bở i một chữ cái và một tên biến phải khác vớ i 5 chuỗi
gồm 2 kí tự đã đƣợ c dành riêng cho ngôn ngữ. Hỏi có bao nhiêu tên biến khác
nhau trong Version này của BASIC.

Bài 8: Mỗi ngƣờ i sử dụng trên một hệ thống máy tính có một “password”, dài
từ 6 đế n 8 ký tự, trong đó mỗi ký tự là một chữ in hoa hoặc một chữ số thậ p
 phân. Mỗi “password” phải có ít nhất một chữ  số. Hãy tính số  “password”
khác nhau có thể lập đƣợ cc..

Bài 9: Cho một n  –  giác
 giác lồi trong đó không có 3 đƣờng chéo nào đồng quy.
Hỏi có bao nhiêu giao điểm các đƣờ ng
ng chéo nằm trong đa giác. 
Bài 10:  Một số  điện thoại d1d2d3d4d5d6d7  đƣợ c gọi là dễ  nhớ   nếu dãy d1d2d3 
giống hoặc d4d5d6  hoặc d5d6d7  (hoặc cả hai). Mỗi di  (1 ≤ i ≤ 7) là một trong
các giá tr ị từ 0, 1, 2, …., 9, tính số  các số điện thoại dễ nhớ .

Bài 11: Cho tậ p A = {0, 1, 2, 3, 4}. Từ tậ p hợ  p A thành lập đƣợ c bao nhiêu số 
có 7 chữ số mà chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt một lần.

Bài 12: Xét hoán vị (a1, a2, a3, a4, a5, a6) của (1, 2, 3, 4, 5, 6) sao cho có ít nhất
4 số đƣợc đổi chỗ. Tính số hoán vị có đƣợ c.
c.

Bài 13: Tìm số các ƣớ c số của 11236680 k ể cả chính nó.
Bài 14: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có th ể lập đƣợ c bao nhiêu số t ự 
nhiên, mỗi số  gồm 6 chữ  số khác nhau và tổng các chữ  số hàng chục, hàng

trăm, hàng nghìn bằng 8.
Bài 15:  Đội thanh niên xung kích của một trƣờ ng
ng phổ thông có 12 h ọc sinh,
gồm 5 học sinh lớ  p A, 4 học sinh lớ  p B và 3 học sinh lớ  p C. Cần ch ọn 4 học
sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 l ớ  p
trên. H i có bao nhiêu cách ch

ỏ

y?

ọn nhƣ vậ

24


 

Bài 16:  Từ  7 chữ  số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 t ạo đƣợ c bao nhiêu số  lẻ có 5 chữ  số 
khác nhau và lớn hơn 25000. 

Bài 17:  Một hộp có 5 viên bi đỏ khác nhau, 4 viên bi vàng khác nhau và 9
viên bi xanh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 6 viên bi sao cho có đủ 
3 màu.

Bài 18: Một lớ  p 50 h ọc sinh trong đó có 4 cặp sinh đôi. Cầ n cử 5 học sinh đi
dự  đại h ội sao cho trong đoàn không có cặp anh em sinh đôi nào. Hỏ i có bao
nhiêu cách chọn.

Bài 19:  Có n + 1 điểm phân biệt nằm trên đƣờ ng

ng tròn. Hỏi có bao nhiêu
ng g ấ p khúc có n c ạnh không khép kín, không tự c ắt có đỉnh là các điể m
đƣờ ng
đã cho? 
ng thẳng phân biệt và 6 đƣờ ng
ng tròn phân
Bài 20: Trong mặt phẳng cho 10 đƣờ ng
 biệt. Tìm số  giao điểm tối đa có thể có giữa các đƣờ ng
ng thẳng và đƣờ ng
ng tròn

đó. 
Bài 21:  Một cửa hàng có 10 lon nƣớ c giải khát đôi một khác nhau dùng để 
 bầy hàng. Ngƣờ i ta xếp các lon đó thành hình quả núi, số lon từ hàng cuối
cùng lên hàng trên lần lƣợt là 4,3,2,1. Hàng ngày, ngƣời ta đổi v ị trí các lon

đó vớ i nhau sao cho không có hai ngày nào b ầy nhƣ nhau. Hỏi nếu bắt đầu
 bầy từ ngày 1-1-2000 thì chủ  cửa hàng có thể  tiến hành theo cách nhƣ trên
đến ngày nào?
Bài 22: Cho tậ p hợp A = {1, 2, 3,…, n} trong đó n là số  nguyên dƣơng lớ n
hơn 1. Hỏi có bao cặ p s ắ p th ứ t ự (x, y) thoả mãn x, y thuộc A và x không bé
hơn y. 
Bài 23: Cho số nguyên dƣơng n. Tính số  các số nguyên dƣơng không lớn hơn
n(n+1)(n+2) mà chúng không chia h ết cho n, n+1, n+2.
Bài 24: Cho S là tậ p hợ  p có 6 phần tử. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai tậ p
h  p con c a S không nh t thi t phân bi t sao cho h  p c a chúng b ng S?

ợ 

ủ

ấ

ế

ệ

25

ợ  ủ

ằ