Sử dụng tính chất của đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng

NHĨM TỐN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng

Chun đề:
SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐỂ TÍNH
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

Nội dung các dạng toán xoay quanh bài toán ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng với giả
thiết bài toán cho bởi đồ thị hàm liên quan.
Dạng 1. Sử dụng định nghĩa xác định cơng thức diện tích.
Dạng 2. Dựa vào các điểm đồ thị đi qua xác định hàm số đi đến cơng thức tính.

NHĨM TỐN VD – VDC

I. MỘT SỐ DẠNG TOÁN

Dạng 3. Dựa vào tâm đối xứng, trục đối xứng của đồ thị xác định hàm số đi đến cơng thức tính.
Dạng 4. Dựa vào tiếp tuyến của đồ thị xác định hàm số đi đến cơng thức tính.
Dạng 5. Biến đổi đồ thị đưa về tính tốn đơn giản.
Dạng 6. Tính diện tích dựa vào việc chia nhỏ hình.
Dạng 7. Tốn thực tế với giả thiết có đồ thị hàm liên quan.

NHĨM TỐNVD – VDC

/>
Trang 1


NHĨM TỐN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng

II. BÀI TẬP MINH HỌA
1) Dạng 1. Sử dụng định nghĩa xác định công thức diện tích.

Câu 1: (Đề THPT QG 2019) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn

NHĨM TOÁN VD – VDC

bởi các đường y  f x , y  0, x  1 và x  5 (như hình vẽ bên).

y
y=f(x)
-1

O 1

x

5

Mệnh đề nào sau đây đúng?
1

5

1

1

A. S   f (x )dx  f (x )dx .
C. S 

1

5

1

1

B. S 

 f (x )dx  f (x )dx .

1

5

 f (x )dx  f (x )dx .
1

1

1

5

1

1

D. S   f (x )dx  f (x )dx .
Lời giải

Chọn C
Ta có S 

1

1

f (x ) dx   f x  dx 
1

1

5

1

1

 f x  dx   f x  dx .

Câu 2: Cho đồ thị hàm số y  f (x ) trên 0; 8  như hình vẽ.
 

NHĨM TỐNVD – VDC



5

y

3

(S1)
O

(S3)
3

(S2)

5

8

x

Biểu thức nào dưới đây có giá trị lớn nhất?
1

A.

 f (x )dx .
0

3

B.

 f (x )dx .
0

5

C.

 f (x )dx .
0

8

D.

 f (x )dx .
0

Lời giải
Chọn D

/>
Trang 2


NHĨM TỐN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng

Dễ thấy S 3  S 2 . Mà S1 

3

 f (x ), S
0

5

2

  f (x ), S 3 

8

8

5

0

 f (x ) , nên  f (x )dx  S

3

1

 S2  S 3 lớn

nhất.

1

 2 f 2 dx

2

13
như hình vẽ. Biết S1  S 4  ; S 2  S 3 
, tích phân I 
3
384

x

x

bằng

1

y
y=f(x)
S1
-1

A. I  

2
.
3 ln 2

B. I 

O

47

.
64

S2

S3
1
2

1

C. I 

2
.
3

S4

2

x

D. I  

81
.
128 ln 2

Đổi cận: x  1  t 

dt
t ln 2

1
; x 1t 2
2

2
2
1

1
1 
1
81

I   2 f 2 dx 
f t dt 
S3  S4   
.

  f t dt   f t dt  

ln 2 1/2
ln 2 1/2
128 ln 2
 ln 2
1
1

1

x

 
x

Câu 4: Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên dưới được tính theo cơng thức nào sau đây?

/>
Trang 3

NHĨM TỐNVD – VDC

Lời giải
Chọn D
Đặt t  2x  dt  2x ln 2dx  dx 

NHĨM TỐN VD – VDC

Câu 3: Cho hàm số y  f x  liên tục trên  có đồ thị tạo với trục hồnh các miền có diện tích S1, S 2 , S 3, S 4


NHĨM TỐN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng

y

 1 4
3
2


  2 x  x  2 x  4 dx .
1

B.

1 4

3
2
  2 x  x  2 x  1 dx .
1

D.

2

A.

2

 1

4

 1

4

  2 x

1

2

C.

x

2

O

2

  2 x
1

NHĨM TỐN VD – VDC

-1


3
 x 2  x  1 dx .

2


3
 x 2  x  4 dx .


2

Lời giải
Chọn B
Từ hình vẽ ta thấy phần diện tích hình phẳng cần tính là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm
3
3
1
5
x  ; y  g x   x 4  x 2  và hai đường thẳng x  1; x  2 .
2
2
2
2

Ngoài ra ta thấy đường y  f x  nằm trên đường y  g x  trên đoạn 1;2 nên ta có diện tích


phần gạch chéo trên hình vẽ là:

S

 3
3   1 4
5 
2
  2 x  2   2 x  x  2 dx 
1 


2

 1

2

  2 x
1

4


3
 x 2  x  1 dx .
2


NHĨM TỐNVD – VDC

số: y  f x  

Câu 5: Cho hình phẳng H  giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y  f1 x  và y  f2 x  liên tục trên đoạn

a; b  và hai đường thẳng x  a , x  b (tham khảo hình vẽ dưới). Cơng thức tính diện tích của hình H  là
 

y

y=f1(x)

y=f2(x)
O

/>
a

c1

c2 b x

Trang 4


NHĨM TỐN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng

A. S 

 f x   f x  dx .
a

1

B. S 

2

b

 f x   f x  dx .
a

1

D. S 

2

b

  f x   f x  dx .
1

a

2

b

b

 f x  dx   f x  dx .
a

2

a

1

Lời giải

Chọn A
Theo định nghĩa ứng dụng tích phân tích diện tích hình phẳng.
Câu 6: Cho hàm số y  f x  xác định và liên tục trên đoạn 3; 3 và có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng diện



tích hình phẳng S1; S 2 giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f x  và đường thẳng d lần lượt là a;b . Tính tích
1

phân

NHĨM TỐN VD – VDC

C. S 

b

 f 3x dx .
1

y

y=f(x)

2

-3

O

S1

-2

3

1
S2

-4

a b
A.    2.
3 3

B.

a b
  2.
3 3

x

a b
C.    2.
3 3
Lời giải

d

D.

a b
  2.
3 3

Chọn A
Đặt t  3x  dt  3dx  dx 
1

3

1
dt
3

3

1
1
 f 3x dx  3  f t dt  3  f x dx
1
3
3
Gọi phương trình của đường thẳng d là y  g x  . Ta có

/>
Trang 5

NHĨM TỐNVD – VDC

-1


NHĨM TỐN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng
1

1

1

3

3



1
1
2.2  2.2   f x dx  a 
2
2
3

3

3


1

 g x dx   f x dx  a

1

 f x   g x dx  b 



3


1

1

 f x dx  a

NHĨM TỐN VD – VDC



g x   f x dx  a 



3

1


1
f x dx   .4.4  .2.2  b 

2
2

3

 f x dx  b  6
1

Do đó
1



1

f 3x dx 

3
1
3
 1
1
1 
  a  b  6   a  b  2.
f
x
dx


f
x
dx

f
x
dx







 3



3 3
3  3
3 3

1


Câu 7: Cho hàm số y  f (x ) liên tục trên  và có đồ thị C  là đường cong như hình bên. Diện tích hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị C  , trục hoành và hai đường thẳng x  0, x  2 (phần tô màu) là

y

3

1

2

0

1

A. S   f (x )dx   f (x )dx .
C. S 

1

B. S 

2

 f (x )dx .

D. S 

0

2

1



0

NHÓM TOÁNVD – VDC

O

x

2

f (x )dx   f (x )dx .
1

2

 f (x )dx .
0

Lời giải
Chọn B
Diện tích S của hình phẳng cần tìm là: S 

2

 f x dx .
0

Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình f x   0, x   0;2 có nghiệm duy nhất là x  1 .
 

/>
Trang 6


NHĨM TỐN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng

Do đó S 

1

2

0

1

 f x  dx   f x  dx .

Vậy S 

1

2

0

1

NHĨM TỐN VD – VDC

Dựa vào đồ thị ta thấy f x   0, x  0;1 và f x   0, x  1;2 .
 
 

 f x  dx   f x dx .

Câu 8: Cho hàm số y  f x  liên tục trên a;b  , có đồ thị như hình vẽ sau:
 

y

O

B

A

P
M
b

N
a

x

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
b

A.


a
b

C.


a

f  x  dx là diện tích hình thang ABMN .
f  x  dx là dộ dài đoạn MN .

b

B.

 f  x  dx

là dộ dài đoạn BP .

a

b

D.

 f  x  dx

là dộ dài đoạn cong AB .

a

NHĨM TỐNVD – VDC

Lời giải
Chọn B
b

 f  x  dx  f x 
a

b
a

 f b   f a   BM  PM  BP .

 

Câu 9: Cho hàm số y  f x  liên tục trên  và hàm số y  g x   x f x 2

có đồ thị trên đoạn 0;2 như hình vẽ bên. Biết diện tích miền được tơ màu là
 

S 

5
. Tính tích phân I 
2

5
4
C. I  10
A. I 

y

4

 f x  dx

y=g(x)

1

5
2
D. I  5
B. I 

S

Lời giải

Chọn D

Quan sát đồ thị ta thấy g x   0, x  1;2 .
 

/>

O

1

2 x

Trang 7


NHĨM TỐN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng

y

NHĨM TỐN VD – VDC

y=g(x)

S
1

O

Từ giả thiết ta có S  I 

2


1

g x  dx 

5

2

2


1

2 x

g x  dx 

2

 x f x  dx  2
2

5

1

Đặt x  t  2x dx  dt . Khi x  1  t  1 , khi x  2  t  4
2



2



 

x f x 2 dx 

1

4

1
5
f t  dt  

2 1
2

4


1

f t  dt  5 

4

 f x  dx  5  I
1

Câu 10: Cho hàm số y  f x  xác định và liên tục trên tập số thực. Miền hình phẳng trong hình vẽ được

giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  và trục hồnh đồng thời có diện tích S  a . Biết rằng
1
2
0

b
và f 3  c . Tính
2

1

 f x dx .
0

NHĨM TỐNVD – VDC



2x  1f  2x dx 

y
y=f'(x)
O

A. a  b  c.

B. a  b  c.

1

C. a  b  c.
Lời giải

3

x

D. a  b  c.

Chọn A
Đặt t  2x  dt  2dx
/>
Trang 8


NHĨM TỐN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng
1
2


0

1

b
1
2x  1f ' 2x dx  2  2  t  1f  t dt 
0

1

1

0

0

 t  1f  t dt  b   x  1f  x dx  b

1

 x  1f  x dx  b  x  1 f x 
0

Ta lại có a 

1


0

1
0

1

  f x dx 
0

NHĨM TỐN VD – VDC

u  x  1
du  dx
Đặt 
 
dv  f  x dx
v  f x 


1

 f x dx  2f 1  f 0  b
0

3

f  x dx   f  x dx  a  f 1  f 0  f 1  f 3  2 f 1  f 0  a  c
1

1

 f x dx  2f 1  f 0  b  a  b  c.

Do đó

0

Câu 11: Cho hàm số y  f x  có đạo hàm liên tục trên  . Đồ thị hàm số y  f ' x  như hình bên dưới.
Biết diện tích hình phẳng H  bằng

A. I 

5
.
24

8
19
2
và f 1  ; f 2   . Tính I 
3
12
3

B. I 

8
.
13

C. I 

0

 f ' 2x dx .


1
2

4
.
13

y

D. I 

4
.
26

NHĨM TỐNVD – VDC

y=f'(x)

(K)

-1

2

O

x

(H)

Lời giải
Chọn A

I 

0




1
2

2

Ta có

0

0

1
1
f ' 2x dx  
 I   f ' t dt   f ' x dx
2 1
2 1
t 2 x
dt 2dx



1

f ' x dx 

0



1

2

f ' x dx   f ' x dx  f 2  f 1 
0

/>
0

8

 f ' x dx  3
1

Trang 9


NHĨM TỐN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng

2 19
 


3 12

8

 f ' x dx  3
1

5

 f ' x dx  12 .
1

Do đó I 

0

1
5
f ' x dx 
.

2 1
24

Câu 12: Cho hàm số y  f x  xác định và liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ bên. Biết diện tích các hình
phẳng A, B , C  giới hạn bởi đồ thị hàm số f x  và trục hoành lần lượt bằng
3

 15 f 2x  4  3x
1

2

124 37 53
; ; . Tích phân
15 60 60



 5 dx bằng

NHĨM TỐN VD – VDC



0

0

y
y=f(x)
(B)

-2

O

1

(C) 2 x

(A)

B.

437
.
4

C. 293 .

D.

Lời giải

NHĨM TỐNVD – VDC

A. 28 .

158
15

Chọn A
3





Tính  15 f 2x  4  3x 2  5 dx 

1

3

3

15
f (2x  4)d (2x  4)   (3x 2  5)dx

2 1
1

2

15

f x dx  36
2 
2

2
0
1
2
 15  124 37 53 
15
15 

  
Mà

f
x
dx

f
(
x
)
dx

f
(
x
)
dx

f
(
x
)
dx






 15  60  60   64
2 
2

2
2
0
1
 2


3

Vậy

 15f 2x  4  3x
1

2



 5 dx  64  36  28

/>
Trang 10


NHĨM TỐN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng

Câu 13: (Đề thi thử THPT QG VTED năm 2019) Cho hàm số y  f x  xác định và liên tục trên đoạn
5; 3 có đồ thị như hình vẽ bên. Biết diện tích các hình phẳng A, B , C , D  giới hạn bởi đồ thị hàm số



1

 2f 2x  1  1dx bằng

NHĨM TỐN VD – VDC

f x  và trục hoành lần lượt bằng 6; 3;12;2 . Tích phân

3

y

(C)
(A)

(D)

B. 25 .

A. 27 .

O

(B)

-5

3

D. 21





1

1

1

Tính  2 f 2x  1  1 dx  2  f 2x  1dx  dx  2  f 2x  1
3



3

3

3

d 2x  1
2

4

3

 f x dx 4

5

3

Mà

 f x dx
5

bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f x  và trục hồnh

NHĨM TOÁNVD – VDC

C. 17 .
Lời giải

Chọn A
1

x

3

Suy ra

 f x dx  6  3  12  2  23
5

1

Vậy

 2f 2x  1  1dx  23  4  27
3

Câu 14: Cho đường cong C  : y  8x  27x 3 và đường thẳng y  m cắt C  tại hai điểm phân biệt nằm

trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ Oxy và chia thành 2 miền phẳng có diện tích S 1, S 2 bằng nhau
(tham khảo hình vẽ). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. 0  m 

1
.
2

B.

1
 m  1.
2

/>
C. 1  m 

3
.
2

D.

3
m 2.
2
Trang 11


NHĨM TỐN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng

y
S2

y=m
x

O

Lời giải
Chọn C
Phương trình hoành độ giao điểm 8x  27x 3  m . Giả sử như hình vẽ, hồnh độ các giao điểm là
8a  27a 3  m
0  a  b . Ta có hệ 
1 . Gọi F x  là một nguyên hàm của hàm số
8b  27b 3  m

3
f x   8x  27x  m .

NHĨM TỐN VD – VDC

S1

Khi đó các diện tích
S1 

a


0

a

f (x )dx   f x dx  F 0  F a ; S 2 

Theo giả thiết thì

0

b


a

f (x )dx 

b

 f x dx  F b   F a  .
a

27b 4

 mb  0 .
4
4
32
Kết hợp với (1), ta được b   m 
.
9
27
Câu 15: Cho hàm số y  f x  xác định và liên tục trên đoạn 2;1 . Biết rằng diện tích hình phẳng S1, S 2


giới hạn bởi đồ thị hàm số f x  và đường thẳng y  g x   ax  b lần lượt là m, n . Tính tích phân
S1  S 2  F b   F 0  4b 2 

NHĨM TỐNVD – VDC

I 

1

 f x dx.
2

y
3
S2
S1
y=g(x)

-2

-1

O

1

x

y=f(x)

/>
Trang 12


NHĨM TỐN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng

9
A. I  m  n  .
2

9
B. I  n  m  .
2

9
C. I  m  n  .
2
Lời giải

9
D. I  n  m  .
2

I 



1



2

f x dx 

1



2

1

1

2

2

f x dx   g x dx   g x dx 

1

1

1

2

1

2

1



2

1

 f x   g x dx  g x dx



2

1
9

 f x   g x dx   f x   g x dx   g x dx  m  n  2 .3.3  m  n  2

NHĨM TỐN VD – VDC

Chọn C

NHĨM TỐNVD – VDC

/>
Trang 13


NHĨM TỐN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng

2) Dạng 2. Dựa vào các điểm đồ thị đi qua xác định hàm số đi đến cơng thức tính.

Câu 1: Cho các hàm số f x   ax 2  bx  c và g x   mx  n có đồ thị lần lượt là đường cong C  và

(phần tơ màu) là S 

NHĨM TỐN VD – VDC

đường thẳng d (như hình vẽ). Biết AB  5 . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị C  và đường thẳng d

p
(trong đó p, q  N * ; (p ; q )  1 ). Khẳng định nào sau đây đúng?
q

y

(C)

A
d
O

A. p  q  20 .

5 x

1

B

B. p  11q .

C. pq  69 .

D. p  q  35 .

Lời giải
Chọn D
Ta có A(0;c)  (C ), B(0; n )  d và AB  5  c  n  5 (c  n )
Phương trình hồnh độ giao điểm của C  và d

Lại có hồnh độ giao điểm của C  và d là x  1 và x  5 nên (*) có dạng a(x  1)(x  5)  0
Đồng nhất hệ số ta được a  1

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi C  và d là

S

5


1

5

(x  1)(x  5) dx  x 2  6x  5 dx 
1

32
3

Suy ra p  32, q  3  p  q  35.

NHĨM TỐNVD – VDC

ax 2  bx  c  mx  n  ax 2  (b  m )x  c  n  0  ax 2  (b  m)x  5  0(*)

Câu 2: Cho hai hàm số f x   ax 3  bx 2  cx  d và g x   mx  n ( a,b, c, d, m, n   ). Biết rằng đồ
thị hàm số y  f x  và y  g x  cắt nhau tại ba điểm có hồnh độ 1;2; 3 (tham khảo hình vẽ phía bên
dưới); đồng thời diện tích S1  45 (phần hình phẳng tơ màu xanh). Tính diện tích S 2 (phần hình phẳng tô
màu đỏ).
A. S 2 

7
.
3

B. S 2 

7
.
12

/>
C. S 2 

128
.
3

D. S 2 

7
.
6

Trang 14


NHĨM TỐN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng

y

2

O

S1

3

NHĨM TỐN VD – VDC

-1

y=f(x)

x

S2

y=g(x)

Lời giải
Chọn A
Ta có phương trình hồnh độ giao điểm f x   g x   a x  1x  2x  3  0
Có S1 

2

 a x  1x  2x  3dx  45 
1

3

Vậy S 2   4 x  1x  2x  3dx 

2

45
a  45  a  4.
4

7
.
3

A. 4 .

B.

4
.
3

C.

1
.
3

NHĨM TỐNVD – VDC

Câu 3: Hình phẳng được tơ màu ở trong hình vẽ bên được giới hạn bởi một đồ thị hàm số bậc 3 với một
đường thẳng  cùng với trục hồnh và trục tung. Diện tích hình phẳng đó bằng
D. 2

y

2

-2

O

1

x

Lời giải
Chọn A
/>
Trang 15


NHĨM TỐN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng

Ta có đồ thị hàm số bậc ba y  ax 3  bx 2  cx  d có:

+ Giao với Oy tại điểm có tung độ bằng 2  d  2
+ Đi qua điểm 1; 0  a  b  c  2

NHĨM TỐN VD – VDC

+ Đi qua điểm 2; 0  8a  4b  2c  2  4a  2b  c  1

+ Có x  1 là điểm cực trị của hàm số nên là nghiệm của phương trình

y '  0  3a  2b  c  0
Từ đó a  1; b  0; c  3

Vậy hàm số bậc ba là: y  x 3  3x  2

Ta có đường thẳng đi qua hai điểm 2; 0; 0;2 là y  x  2
Giao điểm của hai đồ thị là x  2; x  0; x  2

Vậy diện tích hình phẳng giới hạn với hai đồ thị trên như hình vẽ là: S 

2

 4x  x dx  4
3

0

Chọn đáp án A.
Câu 4: (Đề THPT QG 2018) Cho hai hàm số f x   ax 3  bx 2  cx 

1
và g x   dx 2  ex  1
2

a,b, c, d,e    . Biết rằng đồ thị hàm số y  f x  và y  g x  cắt nhau tại 3 điểm có hồnh độ lần lượt là
3 ; 1 ; 1 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị đã cho có diện tích bằng

y

A. 5

B.

9
2

-1

O

NHĨM TỐNVD – VDC

-3

1

x

C. 8

D. 4

Lời giải

Chọn D

Từ giao điểm hai đồ thị ta có f x   g x   a x  3x  1x  1 .
Suy ra a x  3x  1x  1  ax 3  b  d  x 2  c  d  x 
Xét hệ số tự do suy ra 3a  
Do đó f x   g x  

3
1
a  .
2
2

3
2

1
x  3x  1x  1 .
2

/>
Trang 16


NHĨM TỐN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng
1

1

1
1
Diện tích bằng S   x  3x  1x  1 dx   x  3x  1x  1 dx  4 .
2 3
2 1

hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số y  f x  . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

hai đường cong y  f x  và y  g x  gần nhất với kết quả nào dưới đây?

y

y=f(x)

1 3
2

O

A. 4, 5 .

B. 4,25 .

NHĨM TỐN VD – VDC

Câu 5: Cho hai hàm số f x   x 3  ax 2  bx  c và g x   f dx  e  với a,b, c, d   có đồ thị như

x

3

y=g(x)

C. 3, 63 .

D. 3, 67 .

Lời giải

Chọn A
Từ đồ thị suy ra f (x )  a (x  3)2 .x và f (1)  4  a  1

NHĨM TỐNVD – VDC

 f (x )  (x  3)2 x

3
g (x ) là hàm số bậc ba nên g(x )  m(x  )2 (x  3) và g(1)  4  m  8
2

3
 g(x )  8(x  )2 (x  3)
2
Vậy S 
Câu 6: Cho

hai



1

3

f x   g x  .dx 

hàm

số

y

9
 4, 5
2

f x   ax 3  bx 2  cx  1

1

và

g x   dx 2  ex  1 với a; b; c; d ; e là các số thực. Biết rằng đồ thị

của hàm số y  f x  và y  g x  cắt nhau tại ba điểm A, B, C có

-1

hồnh độ lần lượt là 1; 1; 2 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới
37
.
12

8
C. .
3

B.

27
.
12

5
D.
.
12
Lời giải

O
-1

hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng
A.

y=f(x)

A

-3

1

2

B

C
y=g(x)

Chọn A

/>
Trang 17

x


NHĨM TỐN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng

Ta có



 



f x   g x   ax 3  bx 2  cx  1  dx 2  ex  1  ax 3  b  d  x 2  c  e  x  2

1; 1; 2 nên phương trình f x   g x  có ba nghiệm là 1; 1; 2 .

Kết hợp với điều kiện giả thiết suy ra f x   g x   a x  1x  1x  2 .

Đồng nhất hệ số tự do hai dạng biểu thức f x   g x  ta được 2a  2  a  1 .
Vậy f x   g x   x  1x  1x  2  x 3  2x 2  x  2 .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho là:
S

2



1

x 3  2x 2  x  2dx 

37
.
12

NHĨM TỐN VD – VDC

Vì đồ thị của hàm số y  f x  và y  g x  cắt nhau tại ba điểm A, B, C có hồnh độ lần lượt là

Câu 7: Hình phẳng H  được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số đa thức bậc bốn y  f (x ) và y  g (x ).

Biết rằng đồ thị của hai hàm số này cắt nhau tại đúng ba điểm phân biệt có hồnh độ lần lượt là −3;−1;2.
Diện tích của hình phẳng H  (phần gạch sọc trên hình vẽ bên) gần nhất với kết quả nào dưới đây?

y

-3

O
-3
5

-1

2

x

A. 3,11 .

B. 2, 45 .

C. 3, 21 .

NHĨM TỐNVD – VDC

-3
2

D. 2, 95

Lời giải
Chọn A
Tại điểm có hồnh độ x  3 hai đồ thị hàm số này tiếp xúc với nhau.
Có f (x )  g(x )  a x  3 (x  1)(x  2).
2

Mà f (0)  g(0) 

Vì vậy S(H ) 

2



3

3  3 
9
9
1
   
.
 a.9.1.(2) 
a 
5
10
20
 2  10
f (x )  g(x ) 

2



3



2
1
3733
x  3 (x  1)(x  2) dx 

 3,11.

20
1200

Câu 8: Cho hàm số bậc ba y  f (x ) và hàm số bậc hai y  g(x ) có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng phần diện
tích S1 giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số bằng 4 . Tính phần diện tích S 2 giới hạn bởi hai đồ thị hàm số.

/>
Trang 18


NHĨM TỐN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng

y

NHĨM TỐN VD – VDC

y=g(x)
-1

O

1

3
S

S1

x

2

y=f(x)
A. S 2  4 .

B. S 2  2 .

C. S 2  1 .

D. S 2 

Lời giải

3
2

Chọn A
Dựa vào đồ thị của hai hàm số ta thấy hai đồ thị cắt nhau tại các điểm có hồnh độ lần lượt là

Mặt khác diện tích S1  4 

Từ đó suy ra S 2 

NHĨM TỐNVD – VDC

1, 1, 3 nên f x   g x   a x  1x  1x  3 và a  0 .
1

 a(x  1)(x  1)(x  3)dx  4  a  4
1

3

3

1

1

 g(x )  f (x )dx   4(x  1)(x  1)(x  3)dx  4

Vậy chọn đáp án A.

Câu 9: Cho hàm số y  f (x ) xác định và liên tục trên đoạn 5; 3 . Biết rằng diện tích hình phẳng S1, S 2 , S 3


giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f (x ) và đường thẳng y  g x   ax 2  bx  c lần lượt là m, n, p . Tích
3

phân

 f (x )dx

bằng

5

A. m  n  p 

211
.
45

B. m  n  p 

208
24
.
C. m  n  p 
.
45
5
Lời giải

D. m  n  p 

26
.
5

Chọn B

Đồ thị hàm y  g x  đi qua các điểm O 0; 0, A 2; 0, B 3;2 nên
/>
Trang 19


NHĨM TỐN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng

m n  p 




3



5
3



5

2



5

0

 f x   g x  dx 




2

3

g x   f x  dx 



0

NHĨM TỐN VD – VDC


a  2
c  0

15


4a  2b  0  b  4  g x  2 x 2  4 x .
  15




15
15
9
a


3
b

2

c  0




 f x   g x  dx



3

f x dx   g x dx .
5

3

f x dx  m  n  p   g x dx  m  n  p 
5

208
45

y
5

2

S1
-5

-2

-1

O

S2

y=g(x)

S3

x

2 3

NHĨM TỐNVD – VDC

y=f(x)

Câu 10: Cho hàm số y  f (x ) là hàm số đa thức bậc bốn và có đồ thị như hình vẽ.

y

1

-1

O

1

x

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y  f (x ); y  f '(x ) có diện tích gần bằng số nào sau
đây?
A. 34, 8 .

B. 60 .

C. 63, 5

D. 72, 3

Lời giải
Chọn C
/>
Trang 20


NHĨM TỐN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng

Hàm số đã cho có đồ thị đối xứng nhau qua trục tung nên nó là hàm số chẵn. Lại có hàm số
y  f (x ) là hàm đa thức bậc bốn nên hàm số đã cho là hàm trùng phương. Do đó
f (x )  ax 4  bx 2  c , a  0 .

 f (1)  0

a  b  c  0


a 1


 f (0)  1

 c  1
 b  2
(0;1) nên ta có hệ 

 f '(1)  0




4a  2b  0

c  1

 f '(0)  0

Với a  1, b  2, c  1 ta có f (x )  x 4  2x 2  1 ; f '(x )  4x 3  4x ; f ''(x )  12x 2  4 thỏa

f ''(0)  0, f ''(1)  0 nên các giá trị a  1, b  2, c  1 thỏa mãn yêu cầu bài tốn.

NHĨM TỐN VD – VDC

Từ hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số đi qua các điểm (1; 0) , (0;1) và có điểm cực tiểu (1; 0) , điểm cực đại

Phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y  f (x ); y  f '(x ) :

x 2  1  0
x  2x  1  4x  4x  x  1  4x x  1   2

x  4x  1  0
4

2

3







2

2

2



x  1



x  2  5

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y  f (x ); y  f '(x ) là

S


2 5



1
2 5


1

2 5



1

x 4  4x 3  2x 2  4x  1 dx



x 4  4x 3  2x 2  4x  1 dx 

 x
1

2 5

4

1

 x

4

2 5



 4x 3  2x 2  4x  1 dx 

NHĨM TỐNVD – VDC



f (x )  f (x ) dx 



 4x 3  2x 2  4x  1 dx  63, 52

/>
Trang 21


NHĨM TỐN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng

3) Dạng 3. Dựa vào tâm đối xứng, trục đối xứng của đồ thị xác định hàm số đi đến cơng thức tính.
Câu 1: Cho hàm số y  f (x )  x 4  16x 3  21x 2  20x  3 và

y

y=f(x)

y=g(x)

diện tích hình phẳng S1, S 2 , S 3 giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f (x )
và

đường

cong

y  g x 

lần

lượt

m, n, p .

là

Tính

M  a b  m  p  n .

-4

2456
A. M 
.
15

2531
B. M 
.
15

C. M 

D. M 

2411
.
15

NHĨM TỐN VD – VDC

hàm số y  g x   a x  2  b có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng
2

-3

-2

-1

O

x

-1

2501
.
15
Lời giải

S1

S3

S2

-3
-4

Chọn B

Đồ thị hàm y  g x  đi qua các điểm O 0; 0, A 2; 4 nên

4a  b  0
a  1
2



 g x   x  2  4  x 2  4x .


b  4
b  4


Nhận xét đồ thị hai hàm số nhận đường thẳng x  2 là trục đối xứng nên m  p  m  p  0 .
1



1







Do đó, a  b  n  5   f x   g x  dx  5   x 4  8x 3  20x 2  24x  3 dx 
3

3

2531
.
15

Câu 2: Cho hàm số y  x  bx  5 (*) có đồ thị như hình vẽ. Gọi S1, S2, S 3 lần lượt là diện tích của hình
4

2

y

B

A

A.

32
.
5

B. 16 .

/>
O

C. 5 .
Lời giải

C

x

D.

19
.
3

Trang 22

NHĨM TỐNVD – VDC

phẳng A , B  , C  giới hạn bởi đồ thị hàm số (*) và trục hoành. Biết S1  S 3  S2 . Giá trị của S 2 là


NHĨM TỐN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng

Chọn A
Đồ thị hàm số (*) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt  b  0

Vì đồ thị hàm số (*) nhận trục tung làm trục đối xứng nên S1  S 3  S 2 
t1

Do đó

 (x

2

4

2

t1

0



t2

 bx  5)dx  -  (x  bx  5)dx 

4

t2

 (x
0

4

S2
2

 S3

 bx 2  5)dx  0

1 5 1 3
1
1
t2  bt2  5t2  0  t24  bt22  5  0(2)
5
3
5
3

NHĨM TỐN VD – VDC

Gọi t1, t2 (t1  t2 ) là nghiệm dương của phương trình x 4  bx 2  5  0 . Ta có t24  bt22  5  0 (1)

Từ (1) và (2) suy ra b 2  36  b  6 (vì b <0) và t1  1
1

Vậy S 2  2  (x 4  6x 2  5)dx 
0

32
suy ra Chọn A
5

NHĨM TỐNVD – VDC

/>
Trang 23

NHĨM TỐN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng

4) Dạng 4. Dựa vào tiếp tuyến của đồ thị xác định hàm số đi đến cơng thức tính.

Câu 1: (Đề HSG Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y  f x  là hàm đa thức bậc bốn và có đồ thị như hình vẽ.

NHĨM TỐN VD – VDC

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y  f x ; y  f  x  có diện tích bằng

y

y = f(x)

1
-2

O

-1

1

x

-1

A.

127
.
40

B.

107
.
5

13
.
5
Lời giải

C.

D.

127
.
10

Chọn B

Từ giả thiết đi đến f x   a x  2 x  1 .
2

2

2
2
1
1
 f x   x  2 x  1
4
4
2
2
1
1
1
 f  x   x  2x  1  x  1x  2  x  2x  12x  1 .
2
2
2
x  1

Phương trình f x   f  x   x  2x  1 x 2  x  2  4x  2  0  x  2

x  4
Vậy hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của f x  và f  x  là:



S  

4

2

NHĨM TỐNVD – VDC

Vì đồ thị đi qua điểm A 0;1 nên a 



2
2
1
1
107
.
x  2 x  1  x  2x  12x  1 dx 

4
2
5

Câu 2: Cho đồ thị hàm số f (x )  x 3  ax 2  bx  c có đồ thị C  . Đường thẳng d qua hai điểm A, B trên
hình vẽ là tiếp tuyến của C  tại A . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d và C  bằng:

/>
Trang 24


NHĨM TỐN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng
y

O

2

NHĨM TỐN VD – VDC

-1

x

-1
d

y=f(x)

A. 6,75

B. 4,5

C. 8,45

D. 4,75

Lời giải
Chọn A
Đường thẳng d : y  mx  n cắt đồ thị hàm số f (x )  x 3  ax 2  bx  c tại điểm có hồnh độ
x  1; x  2 trong đó tại điểm có hồnh độ x  1 là điểm tiếp xúc của hai đường.





Vì vậy x 3  ax 2  bx  c  (mx  n )  (x  1)2 (x  2).

S 

2



1

(x 3  ax 2  bx  c )  (mx  n ) dx 

2



1

(x  1)2 (x  2) dx  6, 75.

Câu 3: Cho hàm số y  x  ax  bx  c có đồ thị C  . Biết rằng tiếp
3

2

y

tuyến d  của C  tại điểm A có hồnh độ bằng 1 cắt C  tại B có
hồnh độ bằng 2 (xem hình vẽ). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d 

B

và C  (phần gạch chéo trong hình vẽ) bằng
A.
C.

13
.
2

27
.
4

B.
D.

25
.
4

11
2

A
-1 O

2 x

Lời giải

Chọn C

Ta có A 1;a  b  c  1

và y   3x 2  2ax  b  y  1  3  2a  b .

/>
Trang 25

NHĨM TỐNVD – VDC

Diện tích hình phẳng cần tính bằng: