đại cương về hàm số

CHƯƠNG II: HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI
Bài 1. HÀM SỐ

R
Hàm
sốđại
f xác
định trên
D là
một quy
“Nếu
một
lượng
y phụ
thuộc
ÔN TẬP
đặtđại
tương
ứngthay
mỗi số
vàotắc
một
lượng
đổix xthuộc
sao D
với
một
chỉtrị
mộtcủa
số,xkítahiệu
f(x),

1. KHÁI NIỆM cho
HÀM
SỐ
với
mộtvàgiá
luôn
số
f(x)
đó
gọi
là
giá
trị
của
hàm
số
f
định được chỉ duy nhất một giá
a) Hàm số xáctại
x.
trị tương ứng của y thì y được gọi
Tập D gọi là tập xác định (hay
Định nghĩa:
là hàm
sốxác
của
x, vàx xgọi
được
gọisốlàhay
miền

định),
là
biến
Ví dụ:
biếnđối
số.”
số của hàm số f


Hàm
cho
bằng
đồ
thị
Hàm
sốsố
cho
bằng
công
thức
Hàm
số
cho
bằng
bảng

Ví dụ 1

Bảng tiêu thụ xăng của
10 một ôtô lọai nhỏ

y

Ví dụ 2

Quãng
đường đi
(km)

(-2,9)

 

 
10

0

 
 
Xăng tiêu thụ 0
(lit)

 
0.8

Ví dụ 3

9
8  
7 20

6
5
4  
3 1.6
2
1 (0,1)

f(x)=2x^2+1
Tập hợp 1

 
30

 
40

 
50

 
2.4
(1,3)

 
3.2

 
4

x

-3

-2

-1

1

2

3


b) Hàm số cho bằng biểu thức
Nếu f(x) là một biểu thức của biến x thì với mỗi giá trị của x, ta
tính được một giá trị tương ứng duy nhất của f(x) (nếu nó xác
định). Do đó, ta có hàm số y = f(x). Ta nói hàm số đó được cho
bằng biểu thức f(x).
Khi cho hàm số bằng biểu thức ta quy ước rằng:
Nếu không có giải thích gì thêm thì tập xác định của
hàm số y = f(x) là tập hợp các số thực x sao cho giá trị
của biểu thức f(x) xác định.
Ví dụ


Tìm tập xác định của các hàm số sau:

1 nếu x < 0
2 nếu x = 0

3 nếu x > 0


c) Đồ thị của hàm số
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D. Ta đã biết:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ
(x;f(x)) với x ⋲ D, gọi là đồ thị của hàm số f. Nói cách
khác,
M(x0,y0) ⋲ D ⇔ x0 ⋲ D và y0 = f(x0).
Qua đồ thị của một hàm số, ta có thể nhận biết được
nhiều tính chất của hàm số đó.


Đồ thị hàm số y = 2x2 – 8 trên đoạn [-2,3]

(-2,0)

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

9
8
7
6
5
4
3
2
1

-1 -1
-2
-3
-4
-5
(-2,-6)
-6
-7

y

(3,10)

f(x)=2x^2-8

x

(2,0)

1

2

(2,-6)
(0,-8)

3

4

5

6

7

8

9

10


2. SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ

a) Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến
Định nghĩa:
Cho hàm số f xác định trên K.
Hàm số f gọi là đồng biến (hay tăng) trên K nếu

∀ x1, x2 ⋲ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2);
Hàm số f gọi là nghịch biến (hay giảm) trên K nếu
∀ x1, x2 ⋲ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).
( K có thể là khoảng ( nửa khoảng, đoạn))


Tổng quát, ta có:
Nếu một hàm số đồng biến trên K thì trên đó, đồ
thị của nó đi lên;
Nếu một hàm số nghịch biến trên K thì trên đó, đồ
thị của nó đi xuống.
( khi nói đồ thị đi lên hay đi xuống, ta luôn kể theo
chiều tăng của đối số, nghĩa là từ trái sang phải).


y = x2 + 1
y

-7

-6

-5

11
10
(-3,10)
(3,10)
9
8

7
6
5
(-2,5)
(2,5)
4
3
2
(-1,2) 1 (1,2)
(0,1)
-4 -3 -2 -1 -1
1
2
3
4
-2
-3

f(x)=x^2+1
T ập hợp 1

x

5

6

7

8

CHÚ
Ý
Nếu f(x1) = f(x2) với mọi x1 và x2 thuộc K, tức là f(x) = c
với với mọi thuộc K (c là hằng số) thì ta có hàm số
không đổi ( còn gọi là hàm hằng) trên k.
Chẳng hạn, hàm số y = 2.
8
7
6
5

(-5,2)

(-4,2)

(-3,2)

(-2,2)

(-1,2)

y

4
3
2
(0,2)
1

T ập hợp 1
y=2

y=2
(1,2)

(2,2)

(3,2)

(4,2)

(5,2)
x

-5

-4

-3

-2

-1

-1
-2
-3

1

2

3

4

5

6


b)Khảo sát sự biến thiên của hàm số
Khảo sát sự biến thiên của hàm số là xem xét hàm số
đồng biến, nghịch biến, không đổi trên các khoảng
(nửa khoảng hay đoạn) nào trong tập xác định của
nó.
Ta có thể sử dụng định nghĩa hoặc nhận xét sau để
khảo sát sự biến thiên của hàm số:
Hàm số f gọi là đồng biến trên K khi và chỉ khi
∀ x1, x2 ⋲ K, x1 ≠ x2 ,
Hàm số f gọi là nghịch biến trên K khi và chỉ khi
∀ x1, x2 ⋲ K, x1 ≠ x2 ,


Như vậy, để khảo sát sự biến thiên của hàm số f trên
K, ta có xét dấu tỉ số trên K.
Người ta thường ghi lại kết quả khảo sát sự biến
thiên của một hàm số bằng cách lập bảng biến thiên

của nó.
Trong bảng biến thiên, mũi tên đi lên thể hiện tính
đồng biến, mũi tên đi xuống thể hiện tính nghịch
biến của hàm số


3. HÀM SỐ CHẴN, HÀM SỐ LẺ

a) Khái niệm hàm số chẵn, hàm số lẻ
Định nghĩa:
Cho hàm số y = f(x) trên tập xác định D
Hàm số f gọi là hàm số chẵn với mọi x thuộc D, ta có –x
cũng thuộc D và f(-x) = f(x)
Hàm số f gọi là hàm số lẻ với mọi x thuộc D, ta có –x cũng
thuộc D và f(-x) = -f(x)
Ví dụ:


Chứng minh các hàm số sau là các hàm số chẵn:
a)
b)
Chứng minh các hàm số sau là các hàm số lẻ:
c)
d)


b) Đồ thị của hàm số chẵn, hàm số lẻ
Định lý:
Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung là trục đối xứng
Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng

12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1

(-4,11)

(-3,4)

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3 -2

(-2,-1)

-1

-1
-2
-3
-4
-5

y

(0,-5)

f(x)=x^2-5
Tập hợp 1

y

f(x)=11

(4,11)

f(x)=4
f(x)=-1

(3,4)

1

2

(2,-1)

3

4

5

6

f(x)=x^3

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1
-2
x
-3
7 8 9
-4
-5
-6
-7
-8

y

Tập hợp 1

8
7
6
5
4
3
2
1

f(x)=4x

x

1

2

3

4

5

6

7

8

f(x)=x+1

8
7
6
5
4
3
2
1

f(x)=x

9

x

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

-1
-2
-3
-4
-5
-6

1

2 3

4

5

6

7


Sơ lược về tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa độ
a)Tịnh tiến một điểm
y

7
6
M1

5

2

4
3

M5

M4

2

2

M0 2

M3

2

1

M2
x

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13


b)Tịnh tiến đồ thị
y

6
5

3

3 3

3

3
o
’3
3

4
3

o

2

3

3

3

1

x

-4

-3

-2

-1

1
-1

Ví dụ khác:

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12


Cho (G) là đồ thị dưới đây biểu thị cho hàm số y =
x2 (màu đen). Ta thực hiện tịnh tiến đồ thị sang lên
trên, xuống dưới, sang trái và sang phải 1 đơn vị
y

7
6
5
4
3
2
1
x

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1
-1

2

3

4

5

6

7

8

9


Định lý:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đồ thị (G) của
hàm số y = f(x); p và q là hai số dương tùy ý. Khi
đó:
1)Tịnh tiến (G) lên trên q đơn vị thì được đồ thị của
hàm số y = f(x) + q;
2)Tịnh tiến (G) xuống dưới q đơn vị thì được đồ thị
của hàm số y = f(x) – q;
3)Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị thì được đồ thị
của hàm số y = f(x + p);
4)Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị thì được đồ thị
của hàm số y = f(x - p).