CM ĐỊNH lý đảo về dấu TAM THỨC bậc HAI

ĐỊNH LÝ ĐẢO VỀ DẤU TAM THỨC BẬC HAI
Giới thiệu: bài giảng bao gồm các nội dung: đinhk lý đảo về dấu tam thức bậc hai, một số ví dụ, bài tập
áp dụng và phương pháp giải bất phương trình bậc hai bằng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai. Đây là
dạng toán khó và có trong các đề thi học kỳ của các năm.
Định lý: Xét một tam thức bậc hai f(x) = ax 2 + bx + c. Nếu tồn tại một số α ∈R nào đó sao cho a.f(α) thì có
2 kết luận sau:
a. Tam thức f(x) = 0 có hai nghiệm x1; x2.
b. Số α nằm giữa 2 nghiệm này: x1 < α < x2.
Chứng minh: Ta dễ dàng thấy rằng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai chỉ là hệ quả của định lý thuận
mà thôi.
Thật vậy: Xét f(x) = ax2 + bx + c. Giả sử rằng ∆ ≤ 0 ⇒ f(x) cùng dấu a hoặc = 0 ∀x ⇒ a.f(x)≥0 ∀x
Điều này mâu thuẩn với giả thuyết ∃α ∈R: a.f(x) <0. Vậy giả sử ∆≤0 là sai nghĩa là ta phải có: ∆ > 0 (a)
Và cũng theo định lý thuận ta có f(x) có hai nghiệm x1; x2.
x1;

x2 và

f(x)

thay

dấu

như

sau:

⇒ số α phải nằm giữa 2 nghiệm x1 < α < x2.
Áp dụng:
1. Không cần giải phương trình so sánh số 1 và 2 nghiệm của phương trình: 2x 2 + 3x – 1985 = 0
2. So sánh một số α cho trước với 2 nghiệm của một phương trình bậc hai f(x) = ax 2 + bx + c = 0 ( mà

không cần giải phương trình).
* Chú ý: Thực ra để biết 1 hoặc 2 trường hợp nào sẽ xảy ra ta chỉ cần so sánh số α với 1 số nghiệm nào
đó mà ta biết chắc chắn là nghiệm ở trong khoảng 2 nghiệm là được: x 1 < x0 < x2.
Nếu α < x0 ⇒ α < x1 < x0 < x2.
Nếu α > x0 ⇒ x1 < x0 < x2 < α.
Nhưng thông thường ta chọn: x0 = S/2 ( vì S/2 thì bao giờ cũng ở giữa hai nghiệm).
Ví dụ:


1. Hãy so sánh 1 với 2 nghiệm của phương trình: 2012x2 + 2011x – 2 = 0
2. So sánh số 2 với 2 nghiệm của phương trình: 3x 2 + 4x + 1 = 0, mà không cần phải giải.
* Toám lại: xét f(x) = ax2 + bx + c
Nếu a.f(x) < 0 ⇒ x1 < α < x2
Nếu a.f(x) > 0. Tính ∆
Ngược

Muốn có x1 < α < x2 ⇒ a.f(x) < 0

lại: