Bài giảng PPDH hình học gửi cho SV

Bài giảng PPDH hình học
(đề cương)
PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC HÌNH HỌC
Giảng viên: Nguyễn Thị Minh Vân
Tài liệu tham khảo:
[1]. Phương pháp dạy - học hình học ở trường phổ thông, Lê Thị Hoài Châu.
[2]. Học toán và dạy toán như thế nào? , Nguyễn Tiến Dũng.
[3]. Vẻ đẹp của toán học, A.S.Posamentier.
[4]. Hình học phẳng, Kiselev.
[5]. Ôn luyện giải toán hình học bằng phương pháp véc tơ, Nguyễn Gia Cốc.
[6]. Các phép biến hình trong mặt phẳng và ứng dụng giải toán hình học, Nguyễn Đăng Phất.
[7]. Các phép biến hình trong mặt phẳng, Nguyễn Mộng Hy.
[8]. Các bài toán hình học không gian, Y.V.Praxolov
[9]. Lịch sử toán học giản yếu, Nguyễn Thủy Thanh.
[10]. Những yếu tố cơ bản của Didactic Toán, nhiều tác giả.
Phần 1: Đề cương môn học, 4 tiết / tuần
Nội dung tuần
Câu hỏi
Tài liệu tham
Tuần
khảo
1
ND1: Tổng quan về lịch sử hình học
?
[1], [9], Internet
ND2: Các phương pháp tiếp cận hình
học sơ cấp
ND3: Dạy hình học – vì sao?
2

ND4: Quan điểm thực nghiệm trong

dạy học hình học
ND5: Quan điểm tiên đề trong dạy học
hình học
ND6: Đọc sách “Dạy toán và học toán
như thế nào?”

[1], [2], [3], [4]

3

Dạy học véc tơ
ND7: Lịch sử hình thành lí thuyết véc
tơ – kết luận sư phạm rút ra từ phân
tích lịch sử
ND8: Về định nghĩa véc tơ
ND9: Dạy – véc tơ
ND10: Những sai lầm thường gặp của
học sinh

[1], [5]

4

ND11: Dạy học giải toán bằng phương
pháp véc tơ, một số bài toán cơ bản.
ND12: tập giảng 1 nội dung về véc tơ

[1], [5]

5

Dạy học phương pháp tọa độ
ND13: Phương pháp tọa độ trong
trường phổ thông: lớp 10, lớp 11
ND14: Dạy học giải toán bằng phương
pháp tọa độ
ND15: Một số bài toán cơ bản

[1], [4]

6

ND16: Một số bài toán cơ bản (tt),
Bàn về một số bài toán hình phẳng tọa
độ trong đề thi đại học

[4], [5], Internet

7

8

9

10

11

ND17: Tập giảng một nội dung về

phương pháp tọa độ
Dạy học phép biến hình
ND18: Lịch sử phép biến hình, những
kết luận sư phạm rút ra
ND19: phép dời hình, phép đồng dạng
trong toán học và phép biến hình trong
trường phổ thông
ND20: Dạy học phép biến hình
ND20: Dạy học phép biến hình (tt)
ND21: Các bài toán cơ bản
ND23: Tập giảng
Dạy học hình học không gian
ND24: Hình vẽ trong dạy học hình
không gian
ND25: Dạy học hình học không gian
ND26: Những sai lầm thường gặp
ND27: Những bài toán cơ bản
ND28: Tập giảng
ND29: Bàn về sách giáo khoa
ND30: Bàn về các phương pháp, phần
mềm áp dụng trong dạy học hình học.

[1], [6], [7]

[1], [6], [7]

[1], [8]

[1], [8]

Phần 2: BÀI GIẢNG
Chương 1: Mở đầu
1.1 Tổng quan về Lịch sử phát triển hình học
Lịch sử toán học nói chung, lịch sử hình học nói riêng được trình bày chi tiết ở nhiều sách,
theo nhiều cách khác nhau, tuy nhiên, theo con đường tiếp cận hình học, từ trực giác, mô tả
đến suy luận, chứng minh, bài giảng chọn trình bày theo sách [1], như tác giả sách đã viết
“Có ý kiến đồng nhất hình học với phương pháp suy diễn. Nói như vậy là để nhấn mạnh vai
trò của hình học đối với việc rèn luyện kỹ năng lập luận cho học sinh. […].Lập luận trong
hình học rất phong phú vì trước hết nó dựa trên việc quan sát hình vẽ, xây dựng phỏng đoán,
xem xét có phê phán phỏng đoán vừa được hình thành và cuối cùng là tìm một sự hợp thức
có tính thuyết phục bằng cách chứng minh. Đây là một quá trình trong đó mối liên hệ giữa
trực giác và tính chặt chẽ của lập luận thường xuyên được duy trì” (Lê Thị Hoài Châu,
2004). Ngoài ra bài giảng còn tham khảo thêm sách [9].
STT
Các Thời kì phát
Một số chi tiết và câu hỏi, SV phải nghiên cứu thêm tài liệu
triển
để hoàn chỉnh bài học
1

Thời Ai Cập và
Babylon cổ

-

Mốc thời gian:
Ai
Cập:
hai

papyrus – sách cỏ
lau lưu truyền
được là papyrus
Rhind ở Luân đôn
và papyrus ở
Moskva),
được
xem là di tích
toán học Ai Cập
cổ đại, từ thế kỉ
XXI đến khoảng
thế kỉ XVIII trước
công nguyên
Babylon là các
quốc gia tồn tại từ
thế kỉ XX đến thế
kỉ II trước công
nguyên.

-

Hình học nảy sinh từ đâu?
Người Ai Cập cổ đã biết tính diện tích hình chữ nhật,
hình tam giác, hình thang và hình tròn; thể tích hình
hộp chữ nhật, hình trụ:
+ Thể tích tích hình hộp, hình lập phương, hình lăng
trụ, hình trụ bằng diện tích đáy nhân chiều cao
+Diện tích tứ giác có 4 cạnh a, b, c, d bằng ( +
)×( + )
+ Diện tích hình tròn đường kính d bằng diện tích

hình vuông cạnh
Ngoài ra hình học Ai cập cổ đại có thể còn phát triển
xa hơn những gì được biết, bởi theo Democritus
“không ai trội hơn tôi trong lĩnh vực dựng hình từ
những đường kèm theo chứng minh, kể cả những
người đạc điền ở Ai Cập”([9], tr.11
)
Các bảng đất sét nung của người Babylon đã chứng tỏ
rằng họ đã tính được diện tích các hình phẳng, hình
tròn, thể tích những vật thể đơn giản,…
+ Diện tích hình tròn được tính bằng bình phương
chiều dài đường tròn chia cho 12
+ Người Babylon đã biết về định lí Pitago, tìm ra
được các bộ ba như 45 – 60 – 75, 72 – 65 – 97, 3456
– 3367 – 4825

Hình học là tập
hợp các kiến
thức về đo đạc Tuy nhiên ở giai đoạn này, những kiến thức hình học chưa


và tính toán

2

Thời Hy Lạp Cổ
Mốc thời gian:
thế kỉ VI – IV
trước
công

nguyên (khi nói
toán học cổ Hy
Lạp nghĩa là nói
toán học viết
bằng tiếng Hy
Lạp trong khoảng
thời gian này)

được xem xét tổng thể trong một mối liên hệ logic và hình
học chưa đạt đến trình độ suy diễn, chỉ dừng lại ở mức độ là
những kiến thức về đo đạc tính toán.
? Như vậy, nhận thức về hình học bắt nguồn từ điều gì?
Quy trình nhận thức của học sinh có như vậy hay không?
Việc giảng dạy khi đó phải đáp ứng điều kiện gì?
-

-

Hình học là một
khoa học suy diễn
và trừu tượng

-

3

Thế kỉ thứ III
trước
công
nguyên

-

Người Hy Lạp cổ đại đã biết tổ chức khoa học bằng
sự hình thành các trường phái toán học, mở đầu là
trường phái Ioni – nơi sinh ra nền toán học Hy Lạp.
Nền toán học này chẳng những đã đặt ra những câu
hỏi kiểu Phương Đông “làm thế nào” mà còn đặt tiếp
câu hỏi mang tính khoa học hiện đại “tại sao?”, và kể
từ giai đoạn này thì hình học nhanh chóng trở thành
một khoa học suy diễn và trừu tượng:
Thales: Bạn biết gì về những khám phá của nhà
toán học này?
Pythagore đã mang lại nhiều biến đổi sâu sắc cho hình
học bằng cách cố gắng chứng minh các định lí bằng
suy luận logic chứ không dựa vào trực giác bằng cách
dựa trên một số cơ sở đầu tiên, Pythagore được xem
là người đầu tiên xây dựng hình học như một khoa
học suy diễn, các phát minh hình học của ông:
+ Định lý về tổng các góc trong tam giác
+ Chia mặt phẳng thành các đa giác đều (tam giác
đều, hình vuông, lục giác đều).
+ Giải phương trình bậc hai bằng hình học
+ Dựng một đa giác có diện tích cho trước và đồng
dạng với một đa giác cho trước
Ngoài ra còn có những khám phá quan trọng nào
của Pythagore?
+ Hypocrate, thuộc trường phái Pythagore cũng dùng
các quy tắc suy diễn, đã đạt đến trình độ cao để chứng
minh một số kết quả hình học, chẳng hạn “diện tích

hai hình viên phân đồng dạng tỉ lệ với 2 hai dây cung
căng chúng”, biết tính diện tích của một số nguyệt
hình.
Platon: “không ai cần vào dưới mái vòm của tôi nếu
không phải là một nhà hình học”. Các phép chứng
minh của trường phái Platon đã mang đặc trưng toán
học, tách khỏi những yếu tố thu được qua kinh
nghiệm hoặc quan sát đơn giản
Đến thế kỉ thứ 3 trước công nguyên, kiến thức hình
học của người Hy Lạp đã là một khối lượng lớn
phong phú không chỉ về nội dung mà còn về phương
pháp chứng minh, điều đó đặt nền móng cho sự ra đời


Hình học – lý
thuyết được xây
dựng theo tư
tưởng của phương
pháp tiên đề
4

Thế kỉ
XVIII

XVII,

-

Hình học của thời
kì toán học cao

cấp

-

-

-

5

Thế kỉ XIX:
Hình học phi
Euclid

-

của môn Cơ sở hình học mà mục đích là nghiên cứu
việc sắp xếp các kiến thức hình học theo một trình tự
suy luận hợp logic.
Nhà toán học nổi bật là Euclid
Euclid: Bạn biết gì về Euclid và thành tựu toán học
của ông?
Thắng lợi của cách mạng tư sản Anh và sự phát triển
của xã hội tư bản chủ nghĩa đã thúc đẩy sự phát triển
mạnh mẽ của khoa học kĩ thuật. Hàng loạt phát minh
quan trọng đã thay đổi hẳn bộ mặt thế giới như máy
hơi nước, tạo ra xu hướng nghiên cứu cơ học lý
thuyết. Từ đó toán học bắt đầu quan tâm đến chuyển
động và các đại lượng biến thiên, dẫn đến sự phát
triển của một số ngành toán học mới:

Hình học giải tích của René Descartes và Pierre
Fermat - sự kết hợp giữa hình học và đại số ra đời đã
đánh dấu một bước ngoặc quan trọng trong lịch sử
phát triển của hình học và toán học. Tư tưởng cơ bản
của hình học này là biểu diễn các quan hệ hình học
bằng những phương trình đại số thông qua trung gian
là một hệ tọa độ, từ đó chuyển bài toán hình học
thành bài toán đại số - dễ giải hơn bài toán ban đầu.
Nhờ đóng góp của nhiều nhà toán học khác, hình học
giải tích được phát triển từ mặt phẳng lên không gian,
và từ đó giúp toán học nói chung, hình học nói riêng
thoát khỏi kiểu tư duy cụ thể của không gian vật lí để
đạt tới đỉnh cao của sự trừu tượng và khái quát.
Hình học họa hình – lý thuyết về việc biểu diễn các
hình không gian lên mặt phẳng cũng ra đời và phát
triển mạnh trong thời kì này, do yêu cầu của ngành
xây dựng và kiến trúc, tạo điều kiện cho sự xuất hiện
của hình học xạ ảnh.
Việc giải các bài toán tính độ dài, diện tích, thể tích
liên quan đến sự ra đời của phép tính tích phân. Các
bài toán tìm tiếp tuyến của một đường cong, xác định
cực trị của một hàm số thì có liên hệ đến sự hình
thành phép tính vi phân. Môn hình học vi phân là sự
áp dụng của phép tính vô cùng bé vào hình học được
phát triển rộng rãi ở thế kỉ XVIII.
Định đề 5 của hình học Euclid:
? hãy phát biểu định đề 5
Vì định đề không được phát biểu đơn giản như các
tiên đề nên bị nghi ngờ là tiên đề thừa. Nhiều nhà toán
học nghĩ nó là một định lí, được suy ra từ các tiên đề

còn lại. Quá trình chứng minh trong mấy nghìn năm
lịch sử đã chứng minh rằng nó không phải là một định


6

Thế kỉ XX
Hệ tiên đề hoàn
chỉnh đầu tiên của
hình học Euclid

-

-

-

-

lý, và từ nó đã nảy sinh một hình học mới: hình học
phi Euclid.
? Phân tích sự khác nhau giữa tiên đề và định đề?
Như vậy: công nhận định đề 5 ta có hình học Euclid,
không công nhận định đề 5 ta có hình học phi Euclid
Hình học Lobatchevski – Bolyai: Hãy cho biết Hình
học này là gì?
Ngoài hình học hyperbolic, còn có hình học phi
Euclid khác là hình học Riemann.
Hình học mà Euclid xây dựng mặc dù đã rất thành
công nhưng vẫn còn chứa nhiều thiếu sót như:

+ chưa chọn các khái niệm cơ bản làm xuất phát
điểm để định nghĩa các khái niệm khác nên đã đi vào
vòng luẩn quẩn khi dùng cái chưa được định nghĩa để
định nghĩa một số khái niệm
+ Hệ tiên đề mà Euclid xây dựng vừa thừa vừa thiếu:
thiếu tiên đề về thứ tự và liên tục, thừa tiên đề “tất cả
các góc vuông đều bằng nhau”,…
Euclid đã dựa trên sự mô tả thế giới thực tế để đi vào
lý thuyết thông qua tiến trình suy diễn. Thực tế là một
cái giá cụ thể để tham khảo về nghĩa, các đối tượng
thường được hình thành từ những đối tượng đã tồn tại
Những thiếu sót trên đã được bổ sung một cách đầy
đủ, chính xác bởi David Hilbert . Lý thuyết xây dựng
theo hệ tiên đề Hilbert nhờ vào một nghĩa cụ thể nào,
hoàn toàn dựa trên sự hình thức hóa kết hợp với tính
chính xác của quy tắc suy luận.
Hệ tiên đề đầy đủ của Hình học Euclid gồm 5 nhóm
tiên đề: liên thuộc, thứ tự, toàn đẳng, liên tục, song
song
…
Cũng như toán học nói chung, hình học thế kỉ XX là
một khoa học rất đa dạng, phong phú không chỉ về
nội dung mà còn phương pháp nghiên cứu. Những tư
tưởng lớn xuất hiện vào cuối thế kỉ trước đã được thế
hệ mới các nhà toán học bổ sung, phát triển, hoàn
thiện.

? Phân tích lịch sử đem lại kết luận sư phạm nào?
1.2 Quan hệ giữa đại số - giải tích – hình học
Sơ đồ về sự phát triển của Hình học:

Phần 2: BÀI GIẢNG
Chương 1: Mở đầu
1.1 Tổng quan về Lịch sử phát triển hình học
Lịch sử toán học nói chung, lịch sử hình học nói riêng được trình bày chi tiết ở nhiều sách,
theo nhiều cách khác nhau, tuy nhiên, theo con đường tiếp cận hình học, từ trực giác, mô tả
đến suy luận, chứng minh, bài giảng chọn trình bày theo sách [1], như tác giả sách đã viết
“Có ý kiến đồng nhất hình học với phương pháp suy diễn. Nói như vậy là để nhấn mạnh vai
trò của hình học đối với việc rèn luyện kỹ năng lập luận cho học sinh. […].Lập luận trong
hình học rất phong phú vì trước hết nó dựa trên việc quan sát hình vẽ, xây dựng phỏng đoán,
xem xét có phê phán phỏng đoán vừa được hình thành và cuối cùng là tìm một sự hợp thức
có tính thuyết phục bằng cách chứng minh. Đây là một quá trình trong đó mối liên hệ giữa
trực giác và tính chặt chẽ của lập luận thường xuyên được duy trì” (Lê Thị Hoài Châu,
2004). Ngoài ra bài giảng còn tham khảo thêm sách [9].
STT
Các Thời kì phát
Một số chi tiết và câu hỏi, SV phải nghiên cứu thêm tài liệu
triển
để hoàn chỉnh bài học
1

Thời Ai Cập và
Babylon cổ

-

Mốc thời gian:
Ai
Cập:

hai
papyrus – sách cỏ
lau lưu truyền
được là papyrus
Rhind ở Luân đôn
và papyrus ở
Moskva),
được
xem là di tích
toán học Ai Cập
cổ đại, từ thế kỉ
XXI đến khoảng
thế kỉ XVIII trước
công nguyên
Babylon là các
quốc gia tồn tại từ
thế kỉ XX đến thế
kỉ II trước công
nguyên.

-

Hình học nảy sinh từ đâu?
Người Ai Cập cổ đã biết tính diện tích hình chữ nhật,
hình tam giác, hình thang và hình tròn; thể tích hình
hộp chữ nhật, hình trụ:
+ Thể tích tích hình hộp, hình lập phương, hình lăng
trụ, hình trụ bằng diện tích đáy nhân chiều cao
+Diện tích tứ giác có 4 cạnh a, b, c, d bằng ( +
)×( + )

+ Diện tích hình tròn đường kính d bằng diện tích
hình vuông cạnh
Ngoài ra hình học Ai cập cổ đại có thể còn phát triển
xa hơn những gì được biết, bởi theo Democritus
“không ai trội hơn tôi trong lĩnh vực dựng hình từ
những đường kèm theo chứng minh, kể cả những
người đạc điền ở Ai Cập”([9], tr.11
)
Các bảng đất sét nung của người Babylon đã chứng tỏ
rằng họ đã tính được diện tích các hình phẳng, hình
tròn, thể tích những vật thể đơn giản,…
+ Diện tích hình tròn được tính bằng bình phương
chiều dài đường tròn chia cho 12
+ Người Babylon đã biết về định lí Pitago, tìm ra
được các bộ ba như 45 – 60 – 75, 72 – 65 – 97, 3456
– 3367 – 4825

Hình học là tập
hợp các kiến
thức về đo đạc Tuy nhiên ở giai đoạn này, những kiến thức hình học chưa


2) Tính tổng

= 1+2+3+⋯+

=

(

)

bằng cách biểu diễn T bằng 1 tam giác

vuông cân. Đặt 2 tam giác như vậy cạnh nhau thành 1 hình chữ nhật cạnh n và n+1, từ
đó suy rs 2T = n(n+1).
3) G. Roberval đã chỉ ra một kết quả tương đương với tích phân

=

bằng các

tam giác vuông cân như sau:
Ta xem 1 đoạn thẳng được xem như tạo thành từ vô hạn đoạn thẳng nhỏ được biểu
diễn bởi các điểm, số điểm tương ứng với các số tự nhiên. Khi đó ta lần lượt xem xét
các tam giác vuông cân cạnh lần lượt tạo bởi 4, 5, 6,…điểm; ta thu được tổng số điểm
S trong tam giác:
-

Tam giác cạnh 4 điểm

= . 4 + . 4 = 10

-

Tam giác cạnh 5 điểm

= . 5 + . 5 = 15

-

Tam giác cạnh 6 điểm

= . 6 + . 6 = 21

-

…………………
Các số . 4, . 5, . 6,…là số điểm trên nửa cạnh là phần số điểm nhiều hơn của tam
giác so với một nửa hình vuông
Vì số đường thẳng nhỏ (số điểm) trong một tam giác hay hình vuông là vô hạn nên số
đường thẳng nhỏ (số điểm) của 1 nửa cạnh là quá nhỏ so với phần còn lại của tổng, có
thể bỏ qua sự có mặt của nó. Do đó, tam giác xem như bằng một nửa hình vuông. Lí
luận trên tương ứng với

=

.

Tương tự như vậy khi tính tổng số điểm trong một hình chóp tứ giác đều, tìm được
hình chóp tứ giác đều bằng một phần ba hình lập phương, tương ứng suy ra
=

-

!"#

4) Người Hy Lạp dùng phương pháp tỉ lệ và phương pháp áp dụng diện tích để giải các
phương trình đơn giản
Phương trình ax = bc – dùng tỉ lệ thức a:c = b: x bằng cách dùng định lí Thales với các

đoạn song song chắn 2 cạnh của 1 góc
Phương trình
= , x là trung bình nhân của hai số dương
Giải phương trình bậc hai
−
+
= 0 bằng phương pháp diện tích:
Ta có hai nghiệm r, s của phương trình sẽ có tổng bằng a và tích bằng b2.
Phương trình tương đương
−
+
=0⟺
= ( − )
Vế trái là diện tích của 1 hình có cạnh bằng b, vế phải là diện tích hình chữ nhật với hai
cạnh có tổng bằng a. Vì tích 2 nghiệm là b2 nên b là trung bình nhân của 2 nghiệm. hãy
giải bằng phương pháp dựng hình?
Xem thêm trên


/>.html
5) Xem ví dụ 4 ở [1], trang 32
6) Tính hợp thức của số phức được giải thích trong phạm vi hình học.
“…Wessel quy ước ghi một đoạn thẳng đơn vị đã được xác định bởi kí hiệu +1, đoạn
thẳng đơn vị đối với nó là -1. Một đoạn thẳng đơn vị khác, vuông góc với đoạn thẳng
đầu và có chung gốc thì được kí hiệu là &. Khi đó, theo định nghĩa về phép nhân 2

1.2.2

đường thì & = 1. −1 = −1, do đó & = √−1…” xem [1], trang 96 -98.
Hay “Argand tìm cách biểu diễn trung bình nhân của hai đơn vị đối nhau và cuối

cùng đi đến chỗ dùng véc tơ để biểu diễn các số phức. Ông còn thiết lập tương ứng
giữa các phép toán trên số phức với phép toán véc tơ. Ta có thể thấy ở đây là hình học
đã được sử dụng như một phương tiện mang lại nghĩa cho một khái niệm đại số”
Một số ví dụ trong chương trình phổ thông hiện tại?
Hình học giải tích – giải các bài toán hình học bằng đại số
Sự phát triển của hình học đòi hỏi phải xét những bài toán liên quan đến các đường cong,
mặt cong phức tạp, khi đó phương pháp tổng hợp bộc lộ hạn chế của mình. Nó khiến các
nhà hình học mong muốn tìm một phương pháp tổng quát không lệ thuộc vào hình vẽ.
Cuối thế kỉ 16, đại số đã phát triển một phương pháp hiệu quả không chỉ trên các số mà
trên mọi loại đại lượng. Viète đã gán cho các đối tượng một kí hiệu và làm cho các tính
toán đại số trở nên dễ dàng. Phương pháp đồ thị của Oresme cho phép biểu diễn tương
quan giữa các đối tượng. Sự phát triển của đại số đã cho phép thay thế những lời giải viện
dẫn đến hình học bằng những lời giải thuần túy đại số.
Chính những tiền đề đó đã tạo điều kiện cho toán học chuyển sang một bước tiến quyết
định: hình học giải tích ra đời!
Hình học giải tích ta gọi ngày nay là một phương pháp nghiên cứu hình học của Descarte
mà mấu chốt là đặt tương ứng một đường cong hình học với một phương trình đại số. Từ
đó để giải bài toán hình học ta dịch nó sang ngôn ngữ các phương trình đại số, biến đổi
chúng về dạng đơn giản nhất có thể được, rồi dùng các phép dựng hình học để giải
chúng, bằng cách sử dụng các tương ứng đã được thiết lập giữa các phép toán đại số với
các phép dựng hình học.
Hình học giải tích còn được hoàn thiện thêm bởi Fermat.
Như vậy, nếu như trước đó đại số phải nhờ đến hình học để tìm nghĩa cho các bài toán
đại số thì bây giờ đại số đã như một khoa học độc lập, thậm chí còn được ưu tiên hơn so
với hình học. Descartes đã cởi bỏ nguyên tắc về tính thuần nhất (đặt tương ứng 1 số với
độ dài, tích hai số với diện tích, tích ba số với thể tích – chỉ xét số dương) và quan hiệm
rằng đại số có thể nghiên cứu những phương trình thuộc mọi dạng mà không cần quan
tâm đến nghĩa hình học của nó. Khái niệm đại lượng không còn là một cái gì đó được rút
ra từ sự trừu tượng hóa các đối tượng cụ thể nữa – nó thuần túy là sản phẩm của tư duy.
Hình học giải tích đã phát triển nhanh chóng nhờ sự nghiên cứu của nhiều nhà toán học

như J. Wallis, Newton.


Ví dụ về giải bài toán hình học bằng đại số:
1) Các đường conic vốn được xác định qua giao tuyến của mặt phẳng với mặt nón tròn
xoay được Wallis đại số hóa bằng những phương trình.
2) Giải bài toán hình học phẳng, hình học không gian bằng đại số cộng với lí thuyết véc
tơ đưa đến phương pháp tọa độ trong giải toán.
3) Ví dụ về 1 bài toán thi quốc gia 2016: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác
ABC vuông cân tại B, AC = 2a. Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC)
là trung điểm của đoạn thẳng AC, đường thẳng A’B tạo với mặt phẳng (ABC) một
góc 450. Tính theo a thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ và chứng minh A’B vuông góc với
B’C.
1.2.3 Giải tích toán học ra đời – sức mạnh của phương pháp đại số càng được củng cố.
Cùng với phương pháp đại số, phương pháp giải tích mà nền tảng là khái niệm hàm số và
đại lượng vô cùng bé đã mang lại một phương tiện hữu hiệu cho việc nghiên cứu các
conic nói riêng, các đường cong và mặt cong nói chung. Hơn thế, phép tính tích phân của
giải tích còn cho phép giải quyết các bài toán tìm độ dài, diện tích, thể tích, vốn không
phải dễ dàng giải được trong phạm vi hình học.
1.2.4 Hình học véc tơ – sự mở rộng kĩ thuật đại số vào hình học.
“Nếu Hình học giải tích là phương pháp đại số hóa hình học bằng cách dùng hệ tọa độ
làm trung gian để chuyển các đối tượng và quan hệ hình học thành các đối tượng và quan
hệ đại số, từ đó chuyển bài toán hình học thành bài toán đại số thì Lý thuyết véc tơ lại
được hình thành từ xu hướng xây dựng một hệ thống tính toán trong nội tại Hình học. Nó
cho phép đại số hóa hình học nhưng không thoát ly khỏi hình học như cách làm của Hình
học giải tích”.
- Ta có thể làm toán đại số trên các đối tượng hình học.
? phân tích sự trình bày hình học giải tích và hình học véc tơ trong chương trình
phổ thông. Điều này gây nên hiểu lầm gì?
1.2.5 Sự trở lại của phương pháp tổng hợp trong nghiên cứu hình học.

Nhằm thiết lập lại sự cân bằng giữa các phương pháp giải tích và tổng hợp trong nghiên cứu
hình học, Monge đã nghiên cứu về “Hình học họa hình” vì hình học họa hình mang lại cho
các phép tính giải tích phức tạp nhất sự rõ ràng.
Sau công trình của Monge, hình học giải tích phát triển song song với hình học họa hình,
hình học vi phân, nhưng vai trò thống trị của hình học đối với đại số không còn nữa. Thậm
chí các phương pháp đại số và giải tích vẫn chiếm ưu thế trong nghiên cứu hình học.
1.3 Các phương pháp tiếp cận hình học sơ cấp
“Hình học sơ cấp” là khoa học mà đối tượng nghiên cứu là các hình hình học của không gian
vật lí hai, ba chiều. Để nghiên cứu hình học sơ cấp ta có thể dựa trên ít nhất 3 phương pháp:
phương pháp tổng hợp, phương pháp giải tích và phương pháp véc tơ.
- Phương pháp tổng hợp: ? bạn hiểu gì về phương pháp tổng hợp
- Phương pháp giải tích: phương pháp này khắc phục được những khó khăn của phương
pháp tổng hợp như phụ thuộc hình vẽ hoặc trường hợp hình vẽ là những đường phức tạp


-

như parabo, hypebol, đường xoắn ốc, đường hình tim,…mặt hyperboloit. Tuy nhiên
phương pháp giải tích lại thoát ly khỏi hình học, mất yếu tố trực quan.
Ví dụ: Trong mặt phẳng cho 2 điểm A, B. Tìm tập hợp những điểm M có khoảng cách
đến B bằng 3 lần khoảng cách đến A.
Phương pháp véc tơ: với phương pháp này người ta có thể cộng, trừ, nhân, chia trực tiếp
trên các đối tượng hình học, không thoát ly khỏi phạm vi hình học, và vì thế vừa tận dụng
được công cụ đại số, vừa khai thác được phương diện trực giác trong quá trình tìm tòi lời
giải bài toán. Mặt khác, bằng cách đặt véc tơ vào hệ tọa độ, người ta có thể chuyển phép
toán trên véc tơ thành phép toán trên số, đó chính là phương pháp véc tơ – tọa độ. Từ đây
là có phương pháp tọa độ là kết hợp của phương pháp giải tích và phương pháp véc tơ –
tọa độ.
Với đặc điểm của 3 phương pháp nghiên cứu hình học trên, với đặc điểm tâm sinh lí của
học sinh ta có con đường trình bày hình học ở trường phổ thông như sau:

Phương pháp
tổng hợp

PP véc tơ

PP giải
tích
PP véc tơ

PP giải
tích
PP véc tơ

Đại số hóa
hình học

PP giải
tích

Sách giáo khoa VN hiện tại trình bày hình học theo hướng nào?
1.4 Dạy hình học – vì sao?
Mời SV cho ý kiến về hai quan điểm trong dạy - học toán ở trường phổ thông:
- Để thích hợp với thời đại máy tính, “cần đại số hóa” môn toán ở trường phổ thông, đặc
biệt là loại bỏ hình học Euclid truyền thống vì nó quá lạc hậu.
- Phải “hình học hóa” môn toán, vì chúng ta luôn sống trong thế giới hình học, ở đâu, lúc
nào cũng cần có trí tưởng tượng không gian, cần tư duy và thao tác trên hình vẽ
Vậy, vì sao cần dạy học hình học cho học sinh phổ thông? Bạn hãy đưa ra những dẫn
chứng cho 3 lí do a, b, c
a. Hình học đem lại trí tưởng tượng không gian

b. Hình học gắn với tư duy logic
c. Hình học gắn với đời sống
d. Hình học trong nghệ thuật
Hình học vốn bắt nguồn từ thời cổ đại, vốn là một bộ phận của văn hóa nhân loại.
Hình học có trong:
- Nghệ thuật tạo hình


-

Các nếp gấp của một bức tượng (là biểu hiện của những hiểu biết hình học về các biên
thấy được của một hình)
- Kiến trúc: những người xây dựng giáo đường xưa kia không thể làm nên các kiệt tác nếu
không có một hiểu biết cơ bản về hình học Euclid. Kiến trúc ngày nay cũng không thể
không dùng hình học để diễn tả lại những ý tưởng của mình.
- Các nhà quy hoạch đô thị cũng phải dùng hình học để lập nên những đô thị mới nổi tiếng
như những ô bàn cờ ở New York, những đường phố huyết mạch nối liền các công trình
nghệ thuật ở Rome hay Paris,..
“Tất cả những ai đã từng nghiên cứu hình học chút ít đều biết rõ rằng ngắm nghía một
hình vẽ đẹp tự nó cũng có thể đem lại sự hài lòng về mặt thẩm mĩ. Hình học luôn đóng
vai trò quan trọng trong việc giáo dục thẩm mĩ cho học sinh”.
e. Hình học trong toán học
Hình học sơ cấp được xem như “một khoa học đã chết” (Bourbaki) vì hiện nay không còn
những nghiên cứu (theo đúng nghĩa của nó) về hình học sơ cấp.
Nhưng liệu ta có nên tiếp tục dạy hình học sơ cấp cho học sinh phổ thông?
Nên, vì:
Nền toán học từ xuất phát điểm bắt đầu từ tư duy hình học. Hãy xem lại lịch sử phát triển
của toán học, hình học sơ cấp là tiền đề của các môn hình học cao cấp, ngay cả giải tích,
ngành khoa học sinh sau đẻ muộn cũng khởi đầu từ phương pháp vét cạn với tư duy hình
học. Tiến trình đó không lí do gì bị gián đoạn.

f. Hình học và các khoa học khác
Toán học nói chung, hình học nói riêng luôn đồng hành cùng các khoa học khác.
Hình học có mặt trong các khoa học sau:
- Hóa học: hình học cần thiết cho việc hiểu cấu trúc vật chất, như cấu trúc các tinh thể
- Sinh học: sự mô tả các kiểu xếp lá, xếp hoa trong thực vật hay sự mã hóa các protein.
- Địa lí và thiên văn học: đo đạc các vùng đất, nghiên cứu và biểu diễn sự vận động của các
hành tinh.
- Vật lí: biểu diễn các lực bằng véc tơ, tích véc tơ trong điện học, phép dời hình biểu diễn
các chuyển động, trường véc tơ và gradiăng trong từ học, dạng toàn phương trong thuyết
tương đối,…Mối quan hệ giữa vật lí và hình học là mối quan hệ hai chiều.
1.5 Quan điểm thực nghiệm trong dạy học hình học
Quan điểm thực nghiệm trong dạy học hình học thể hiện qua hai tiêu chí:
1.5.1 Hình thành kiến thức bằng con đường mô tả, thực nghiệm
Những sách giáo khoa theo xu hướng này hình thành các khái niệm và tính chất hình học
theo tiến trình quan sát – thực nghiệm – mô tả - khái quát hóa.
Yêu cầu chủ yếu của dạy – học hình học, nhất là đối với bậc trung học cơ sở, là luyện tập
sử dụng các dụng cụ quen thuộc để vẽ hình, đo đạc, rồi quan sát và mô tả hình, qua đó
hiểu và vận dụng được các khái niệm, rút ra được một số tính chất của các hình.
?Sách giáo khoa Việt Nam có trình bày theo con đường này.
1.5.2 Không yêu cầu cao về suy luận diễn dịch


Những chương trình xây dựng theo quan điểm thực nghiệm mặc dù đã chú ý rèn luyện
khả năng suy luận diễn dịch cho học sinh bậc trung học phổ thông vẫn không yêu cầu cao
về mặt này.
Hoạt động thực hành trên các hình hình học vẫn chiếm vị trí quan trọng trong dạy học
hình học không gian. Thông qua hoạt động trên các khối hình mà một số mệnh đề liên
quan đến đường thẳng và mặt phẳng trong không gian cũng như tính chất của các hình
hình học được hình thành.
1.6 Quan điểm tiên đề trong dạy học hình học

Theo quan điểm tiên đề, giai đoạn nghiên cứu hình học bằng mô tả - thực nghiệm đã được
tiến hành ở lớp dưới nên bắt đầu từ trung học cơ sở phải chuyển sang trình bày hình học như
một khoa học suy diễn, dù không quá hình thức qua trừu tượng.
Những sách giáo khoa xây dựng hình học theo xu hướng này thường giới thiệu tường minh
các tiên đề, giải thích việc dùng tiên đề để chứng minh định lí và đặt lên hàng đầu các chứng
minh suy diễn.
Sách giáo khoa hiện tại cũng trình bày hình học theo quan điểm tiên đề nhưng đã chú trọng
đến tính mô tả - thực nghiệm ở bậc trung học cơ sở hơn so với sách giáo khoa giai đoạn
trước.
• Sự cần thiết của các hoạt động thực nghiệm
Đối với bậc trung học phổ thông thì rõ ràng là phải từng bước nâng cao yêu cầu rèn luyện suy
luận diễn dịch, phát triển tư duy logic. Dạy học hình học ở bậc này phải tạo ra bước chuyển thật
sự trong khả năng suy luận và phương pháp tư duy cho học sinh.
Tuy nhiên, vẫn có thể, thậm chí nhiều khi cần thiết, dựa vào thực nghiệm – quy nạp. về mặt sư
phạm, những hoạt động kiểu này góp phần vào việc gợi động cơ cho học sinh hoặc giúp học sinh
nhận thấy ý nghĩa của tri thức hay mối liên hệ giữa hình học và thực tiễn.
Hơn nữa, bản chất của hoạt động toán học phải bao gồm quan sát – thực nghiệm – quy nạp. Do
vậy việc dạy học, dù chú trọng ở năng lực suy diễn vẫn nên cho học sinh quan sát, thực nghiệm
và đưa ra kết luận, từ đó định hướng chứng minh. Để hoạt động quan sát, thực nghiệm ít tốn thời
gian có thể dùng các phần mềm toán học.


Chương 2
DẠY - HỌC CHỦ ĐỀ VÉC TƠ1

2.1 Lịch sử hình thành lí thuyết véc tơ
• Vì sao phải nghiên cứu lịch sử hình thành tri thức?
• Một chút chuyển hóa sư phạm
Tri thức và thể chế
Thể chế I: (I- institution – tiếng Pháp)

- Một thể chế I là một tổ chức (tập thể) xã hội cho phép, thậm chí áp đặt lên
các chủ thể của nó những cách làm và cách nghĩ riêng.
Ví dụ: đất nước VN với những quy định đối với các hoạt động giáo dục tạo ra
thể chế dạy học ở VN.
Trong phần này khi nói đến “thể chế” ta chỉ nói đến “thể chế dạy học” hoặc
liên quan đến hoạt động học thuật, khoa học: Thể chế dạy học VN, thể chế dạy
học Pháp, Mỹ…không liên quan đến “thể chế chính trị”.
Tri thức S: (S – savoir – tiếng Pháp)
- Mọi tri thức S đều được gắn liền với ít nhất một thể chế I.
“Một tri thứ không tồn tại “lơ lửng” trong một xã hội rỗng: mỗi tri thức
đều xuất hiện ở một thời điểm nhất định, trong một xã hội nhất định, như là
được cắm sâu vào một hoặc nhiều thể chế.” (Chevallard, 1989)
Từ đây ta có các mệnh đề sau:
- Mỗi tri thức đều là tri thức của 1 thể chế
- Cùng một đối tượng tri thức có thể sống trong nhiều thế chế khác nhau
- Để có thể tồn tại trong một thể chế, mỗi tri thức đều phải tuân theo một số
ràng buộc nào đó. Điều đó kéo theo việc tri thức phải bị biến đổi để phù
hợp với đòi hỏi của thể chế.
Đặc trưng này của tri thức trong các thể chế dẫn đến việc phân biệt nhiều kiểu
thao tác liên quan đến tri thức:
- Tạo ra tri thức => Thể chế tạo ra tri thức
1

Chương này được trích chủ yếu từ công trình của Lê Thị Hoài Châu, tham khảo từ [1] và [10], các bài tập
được lấy từ [5]. Ngoài ra còn có />

-

Sử dụng tri thức => Thể chế sử dụng tri thức
Dạy học tri thức => Thể chế dạy học

Thao tác chuyển tri thức từ thể chế này sang thể chế khác => thể chế
chuyển đổi , gọi là noosphère
Ta có sơ đồ sơ đồ sau:
Là quá trình chuyển đổi đối tượng tri thức O (object), đối tượng tri thức O
mang nghĩa rộng hơn tri thức S, nó gồm S và tất cả những gì liên quan đến
S.
I1: Thể chế tham chiếu của đối tượng tri thức O
I2: Thể chế chuyển đổi – noosphère
I3: Thể chế đích của đối tượng tri thức O bị biến đổi – O’.

O

I1

I2

O'

I3

Khi I3 là một thể chế dạy học thì quá trình chuyển đổi đối tượng tri thức O
sang đối tượng tri thức O’ được gọi là quá trình chuyển hóa sư phạm
(transposition didactique)
Chuyển hóa sư phạm
Lí thuyết chuyển hóa sư phạm là lí thuyết đề cập đến các vấn đề chuyển hóa các đối
tượng tri thức bác học thành đối tượng tri thức được giảng dạy. Mục tiêu của nó là nghiên
cứu:
- Vấn đề hợp pháp của các đối tượng tri thức được giảng dạy: tri thức giảng dạy
được hợp pháp hóa như thế nào? Dựa vào tri thức tham chiếu nào? Cái gì quyết
định sự hiện diện của tri thức này (mà không phải của tri thức khác) trong hệ

thống dạy học?
- Việc xuất hiện một cách có hệ thống sự chênh lệch giữa tri thức được dạy với các
tri thức tham chiếu hợp pháp hóa nó (sự chênh lệch sinh ra do những ràng buộc


trên hoạt động của hệ thống dạy học, và do đó trên tri thức): đó là sự chênh lệch
nào? Những ràng buộc nào có thể giải thích cho sự chênh lệch này?
Các giai đoạn chủ yếu của qui trình chuyển hóa sư phạm là:
Tri thức bác học
(Thể chế tạo tri

Tri thức cần dạy
(Thể chế chuyển

Tri thức được dạy
(Thể chế dạy học)

Quá trình chuyển đổi này đôi khi tạo ra sự khác biệt (đôi khi khá lớn) giữa tri thức
cần dạy và tri thức được dạy so với tri thức bác học.
Khi đó, nghiên cứu khoa học luận (trong đó có nghiên cứu lịch sử) về tri thức
cần dạy sẽ cho phép làm rõ sự khác biệt này, và do đó là đặc trưng của tri thức cần
dạy so với tri thức bác học. Nó giúp ta có cái nhìn không hoàn toàn bị bó hẹp trong
hệ thống dạy học hay bó hẹp trong phạm vi chương trình và sách giáo khoa.
Trong quá trình biến đổi, những vấn đề mà tri thức cho phép giải quyết đã bị lãng
quên, tri thức có thể được trao cho chức năng hoàn toàn mới, là cơ sở cho sự hình
thành những tri thức khác phức tạp hơn sinh ra từ thể chế sử dụng nó.
Những biến đổi mà tri thức phải chịu để trở thành đối tượng dạy học “rất ít khi
xuất phát từ một lí do có bản chất khoa học luận gắn liền với sự sản sinh ra tri
thức. Những biến đổi đó thường mang tính giải pháp tình huống, chủ yếu là tuân
theo các ràng buộc nội tại của thể chế dạy học” ([1], tr.89).

“Việc chỉ giới hạn trong thể chế dạy học để xem xét tri thức cần dạy như thế sẽ
không cho phép ta hình dung được đầy đủ cái gì có thể, hay ngược lại không thể,
cái gì cần phải xảy ra trong dạy học. Vì thiếu những hiểu biết khoa học luận,
người ta lầm tưởng rằng tri thức cần dạy được quy định bởi chương trình và sách
giáo khoa dường như là “trong suốt”, là một bản copy, tuy đã được đơn giản hóa
những vẫn trung thành của tri thức toán học, và do đó mà không có gì phải bàn
cãi.
Để tránh quan niệm sai lầm này người ta cần phải trở lại với cội nguồn của lịch sử
của tri thức. Lịch sử sẽ giúp chúng ta vạch rõ quá trình xây dựng tri thức của cộng
đồng các nhà khoa học, sự phụ thuộc của nó vào những lĩnh vực toán học có liên
quan, từ đó xác định nghĩa của tri thức, tình huống mang lại nghĩa đó, những vấn
đề gắn liền với nó, vị trí tương đối của nó trong một tri thức tổng quát hơn. Phân
tích đó trả lại cho tri thức những nghĩa rộng hơn, phong phú hơn, đầy đủ hơn, điều
mà việc nghiên cứu đơn thuần chương trình và sách giáo khoa không thể mang
lại”. ([1], tr.90)
“Ngoài ra, phân tích lịch sử còn giúp ta dự đoán được những khó khăn, chướng
ngại mà học sinh có thể gặp phải trong quá trình chiếm lĩnh một tri thức. Phân tích


-

đó cho phép làm rõ những động lực hay chướng ngại, những bước nhảy quan niệm
hay điều kiện cho sự xuất hiện khái niệm”. ([1], tr.90)
• Quay lại lịch sử hình thành lí thuyết véc tơ:
Khái niệm véc tơ được nảy sinh từ hai xu hướng nghiên cứu:
Xu hướng thứ nhất nhắm đến việc xây dựng các hệ thống “tính toán trong nội tại
hình học”.
Xu hướng thứ hai liên quan đến việc mở rộng tập số thực, trong đó những công
trình tìm cách biểu diễn đại lượng ảo (số phức) đóng vai trò quan trọng.

Những hệ thống tính toán đầu tiên trong nội tại hình học
Leibniz và hình
học vị trí

-

-

-

-

Tính toán tâm
tỉ
cự
của
Mobius

-

Leibniz (1646 – 1716) xuất phát từ nhận xét rằng
phương pháp giải tích của Descartes và Fermat, mặc
dù là công cụ khá mạnh cho việc giải bài toán hình
học, đã tạo ra tấm màn che lấp trực giác hình học là
cái thực sự xảy ra trong quá trình giải toán.
Leibniz muốn tìm cách đại số hóa hình học nhưng
không thoát khỏi phạm vi hình học, tức là tìm một
phương pháp cho phép bảo toàn bản chất hình học của
bài toán.
Hình học vị trí của Leibniz được hình thành trên quan

hệ “tương đẳng” :
+ hai cặp điểm được gọi là tương đẳng nếu khoảng
cách giữa hai điểm của từng cặp bằng nhau.
+ hai bộ 3 điểm được gọi là tương đẳng nếu hai tam
giác do chúng tạo nên có thể chồng khít lên nhau,…
Từ khái niệm tương đẳng, Leibniz đi đến các quỹ tích:
+ Với A, B cho trước, quỹ tích những điểm X sao cho
A, X tương đẳng với A, B là một hình cầu; quỹ tích
những điểm X sao cho A, X tương đẳng với B, X là
một mặt phẳng.
Hình học vị trí bị thất bại với 2 lí do:
Với khái niệm tương đẳng, khi xét đến quan hệ giữa
hai điểm, Leibniz chỉ giữ lại độ dài, không có sự phân
biệt giữa AB và BA, không xét đến các phương khác
nhau trong không gian.
Trong hình học vị trí, không có các phép toán trên các
đối tượng hình học.
Mặc dù không chủ đích xây dựng lí thuyết véc tơ
nhưng Tính toán tâm tỉ cự của Mobius lại là một mô
hình toán học giống với hệ véc tơ ngày nay và chiếm
vị trí quan trọng trong lịch sử hình thành lí thuyết véc


-

-

-

-

Tính
toán
tương
đẳng
của Bellavitis
(1833)

tơ.
Tính toán tâm tỉ cự quan tâm đến các vấn đề sau:
Xem xét mối quan hệ giữa các đoạn thẳng cộng tuyến
(cùng phương).
Xem sự thay đổi về chiều ứng với sự thay đổi về dấu,
tức AB = - BA.
Đưa vào quy tắc cộng các đoạn thẳng cộng tuyến, sau
đó mở rộng quy tắc dấu và quy tắc cộng.
Định hướng phần mặt phẳng liên quan đến một tam
giác bằng cách xem nó là một đại lượng được ghi
bằng ba chữ cái kí hiệu các đỉnh và gắn thêm vào một
dấu: ABC = BCA = CAB = - ACB = - BAC = - CBA.
Khái quát hóa phép cộng và trừ các đoạn thẳng định
hướng cộng tuyến cho trường hợp không cộng tuyến
nhưng đồng phẳng vào năm 1843.
Năm 1862, xây dựng tích hình học (bằng tích véc tơ
ngày nay về phương diện số nhưng không đồng nhất
vì là một hình bình hành định lướng chứ không phải
một đoạn thẳng định hướng) , tích chiếu (tích vô
hướng)
Mặc dù trong Tính toán tâm tỉ cự còn nhiều điểm mập
mờ thiếu căn cứ hoặc thiếu chính xác, Grassmann lí

giải rằng “việc thiếu thói quen kết hợp cả độ dài và
phương trong một đại lượng duy nhất là nguyên nhân
của sự lúng túng này” ([1], tr. 94) nhưng thành công
của nó ở 2 vấn đề sau là đóng góp quan trọng cho sự
hình thành lí thuyết véc tơ:
+ đã hình thành các phép toán trên các thực thể hình
học. Các thực thể được xem xét trên cả 2 phương diện
số và sự định hướng trong không gian
+ phép nhân hai đoạn thẳng (định hướng) được đề
cập

- Hai đoạn thẳng được gọi là tương đẳng nếu chúng song
song, cùng hướng và có độ dài bằng nhau.
- Kí hiệu “˜” được dùng để biểu diễn các đoạn thẳng tương
đẳng cho phép viết các đẳng thức và phương trình theo cách
viết tương đương với kiểu viết véc tơ ngày nay.
- Phép cộng các của hai hay nhiều đoạn thẳng được định
nghĩa bằng quan hệ tương đẳng: đặt các đoạn sao cho điểm
đầu của mỗi đoạn trùng với điểm cuối của đoạn trước đó,
tổng là đoạn thẳng tương đẳng với đoạn nối điểm đầu của
đoạn đầu tiên và điểm cuối của đoạn cuối cùng. Tổng không


đổi khi thay một đoạn thẳng bằng một đoạn tương đẳng với
nó.
- Tích của một đoạn với một số cũng được định nghĩa.
- Trong một phương trình tuyến tính đối với các đoạn, có thể
thực hiện những tính toán như với một phương trình đại số.
- Độ nghiêng của một đường được xác định bởi góc do
đường đó tạo nên với phương nằm ngang tính từ trái sang

phải (xét trong mặt phẳng).
- Tích hai đoạn đồng phẳng là một đoạn có độ nghiêng bằng
tổng các độ nghiêng, chiều dài bằng tích các chiều dài.
“Mô hình của Bellavitis chứa nhiều yếu tố của lí thuyết véc
tơ hiện đại. Ngày nay, để định nghĩa véc tơ chúng ta còn sử
dụng quan hệ tương đẳng này. Hơn thế, phép cộng, phép
nhân với một số trong mô hình Bellavitis trùng với các phép
toán tương ứng trên véc tơ ngày nay”.
- “Bellavitis đã thử mở rộng lí thuyết của mình sang
không gian nhưng không thành công. Khó khăn mà
ông đụng phải là nghĩa của tích hai đoạn. Rõ ràng là
trong mặt phẳng, phương và hướng của một đoạn
thẳng hoàn toàn xác định bởi độ nghiêng của nó.
Nhưng điều đó không còn đúng trong không gian. Và
tích của hai đoạn theo nghĩa của Bellavitis không xác
định trong trường hợp này”.
- “Lịch sử đã chỉ ra rằng vấn đề khái quát hóa vào
không gian ba chiều các tính toán véc tơ trong mặt
phẳng luôn đụng phải vấn đề gai góc là phép nhân.
Người ta thấy rõ điều này trong việc mở rộng những
hệ thống gắn liền với việc biểu diễn hình học các số
phức”.
Biểu diễn hình học các số phức
“Ngay từ đầu thế kỉ XV, việc mở rộng các tính toán đại số đòi hỏi phải
đưa vào khái niệm căn bậc hai của số âm với tư cách đại lượng trung
gian cho tính toán, đặc biệt là để giải các phương trình bậc ba. Vấn đề
hợp thức hóa căn bậc hai của số âm luôn là mối quan tâm của nhiều nhà
toán học cho đến tận thế kỉ XIX. Một số người tìm cách giải quyết vấn
đề này với sự giúp đỡ của hình học, giống như trước kia đã dùng mô
hình lỗ lãi, được mất (biểu diễn trên đường thẳng số) để giải thích cho

các số âm. Chính trong quá trình tìm cách biểu diễn hình học các số
phức (thời đó được gọi là “ảo”, “phi lí”, “không thể”) mà họ đến với
tính toán véc tơ”. Việc biểu diễn hình học các số phức được thực hiện
độc lập bởi 5 nhà toán học, nhưng mô hình của họ lại khá giống nhau, ta
trình bày mô hình của Wessel và Argand, một người xuất phát từ hình


và tính toán

2

Thời Hy Lạp Cổ
Mốc thời gian:
thế kỉ VI – IV
trước
công
nguyên (khi nói
toán học cổ Hy
Lạp nghĩa là nói
toán học viết
bằng tiếng Hy
Lạp trong khoảng
thời gian này)

được xem xét tổng thể trong một mối liên hệ logic và hình
học chưa đạt đến trình độ suy diễn, chỉ dừng lại ở mức độ là
những kiến thức về đo đạc tính toán.
? Như vậy, nhận thức về hình học bắt nguồn từ điều gì?
Quy trình nhận thức của học sinh có như vậy hay không?
Việc giảng dạy khi đó phải đáp ứng điều kiện gì?

-

-

Hình học là một
khoa học suy diễn
và trừu tượng

-

3

Thế kỉ thứ III
trước
công
nguyên

-

Người Hy Lạp cổ đại đã biết tổ chức khoa học bằng
sự hình thành các trường phái toán học, mở đầu là
trường phái Ioni – nơi sinh ra nền toán học Hy Lạp.
Nền toán học này chẳng những đã đặt ra những câu
hỏi kiểu Phương Đông “làm thế nào” mà còn đặt tiếp
câu hỏi mang tính khoa học hiện đại “tại sao?”, và kể
từ giai đoạn này thì hình học nhanh chóng trở thành
một khoa học suy diễn và trừu tượng:
Thales: Bạn biết gì về những khám phá của nhà
toán học này?
Pythagore đã mang lại nhiều biến đổi sâu sắc cho hình

học bằng cách cố gắng chứng minh các định lí bằng
suy luận logic chứ không dựa vào trực giác bằng cách
dựa trên một số cơ sở đầu tiên, Pythagore được xem
là người đầu tiên xây dựng hình học như một khoa
học suy diễn, các phát minh hình học của ông:
+ Định lý về tổng các góc trong tam giác
+ Chia mặt phẳng thành các đa giác đều (tam giác
đều, hình vuông, lục giác đều).
+ Giải phương trình bậc hai bằng hình học
+ Dựng một đa giác có diện tích cho trước và đồng
dạng với một đa giác cho trước
Ngoài ra còn có những khám phá quan trọng nào
của Pythagore?
+ Hypocrate, thuộc trường phái Pythagore cũng dùng
các quy tắc suy diễn, đã đạt đến trình độ cao để chứng
minh một số kết quả hình học, chẳng hạn “diện tích
hai hình viên phân đồng dạng tỉ lệ với 2 hai dây cung
căng chúng”, biết tính diện tích của một số nguyệt
hình.
Platon: “không ai cần vào dưới mái vòm của tôi nếu
không phải là một nhà hình học”. Các phép chứng
minh của trường phái Platon đã mang đặc trưng toán
học, tách khỏi những yếu tố thu được qua kinh
nghiệm hoặc quan sát đơn giản
Đến thế kỉ thứ 3 trước công nguyên, kiến thức hình
học của người Hy Lạp đã là một khối lượng lớn
phong phú không chỉ về nội dung mà còn về phương
pháp chứng minh, điều đó đặt nền móng cho sự ra đời

-

-

-

-

-

nó với khái niệm số phức bằng các kết quả chứng
minh được: đường thẳng song song với trục thực viết
là ± , vuông góc với trục thực thì được viết ± √−1
và mọi đường thẳng của mặt phẳng sẽ được biểu diễn
ở dạng + √−1. Từ đó ông thiết lập được sự tương
ứng giữa các phép toán trên đại lượng ảo với việc
dựng hình học các đường.
Trong các chứng minh trên, Argand chỉ rõ sự không
cần thiết phải cố định điểm gốc. Như vậy là ở đây,
khái niệm véc tơ đã được xác định một cách ngầm ẩn.
Hơn thế, ông còn chứng minh được là trong mặt
phẳng mọi đường thẳng đều được phân tích thành tổ
hợp tuyến tính của hai đường không cộng tuyến và sự
phân tích này là duy nhất.
Phương pháp của Argand được hoàn thiện thêm cùng
với các nhà nghiên cứu khác, phương pháp này cũng
được mở rộng vào không gian 3 chiều nhưng phép
nhân vẫn chưa được khái quát hóa thành công.
Hamilton (1805 – 1865) xác định được các hệ số p, q,
r (không phải số thức) trong công thức biểu thị các

đường thẳng trong không gian của Servoir (cùng
nghiên cứu với Argand) là 1 )*2 + 3 )*4 + - )*5,
với 2, 4, 5 là góc tạo bởi đường thẳng này với ba trục
vuông góc trong Lý thuyết các quaterneon.
Theo quan điểm Hamilton, đại số có thể được xem
như khoa học về thời gian, số âm là sự quay ngược lại
với thời gian. Để giải thích tính hợp thức của số phức,
ông xây dựng một cấu trúc đại số trên các cặp hai
phần tử. Trên tập hợp các cặp, ông định nghĩa phép
cộng hai cặp, phép nhân một cặp với một số, sau đó là
phép nhân hai cặp:
(a1, a2)(b1, b2) = (a1b1 – a2b2, a1b2 + a2b1)
Với định nghĩa như vậy về phép nhân, ta có (0,1)(0,1)
= (-1, 0), số phức đã có được sự hợp thức!
Hamilton là người đầu tiên đưa ra thuật ngữ véc tơ
theo nghĩa toán học rõ ràng. Trong không gian, véc tơ
là bộ ba (x, y, z) hay đoạn thẳng mà nó biểu diễn.

2.2 Kết luận sư phạm rút ra từ phân tích lịch sử
Lịch sử hình thành lí thuyết véc tơ đã chỉ ra những khó khăn mà các nhà toán học gặp
phải:
- Việc định hướng các đối tượng hình học.


- Việc xây dựng phép toán nhân trên các đường định hướng.
Vậy việc học về véc tơ có đem lại khó khăn như thế cho học sinh? Kết quả nghiên
cứu của Lê Thị Hoài Châu cho thấy những khó khăn mà học sinh phải đương đầu là:
- Khó khăn trong việc vượt ra khỏi sự thống trị của mô hình metric để xem xét một
hình học được định hướng.
- Khi đã vượt ra khỏi ảnh hưởng của mô hình metric thì lại khó khăn trong việc

chiếm lĩnh hai đặc trưng định hướng của véc tơ.
- Khó khăn trong việc hiểu bản chất kép đại số - hình học của các phép toán véc tơ.
2.3 Về định nghĩa véc tơ
2.3.1 Nhắc lại định nghĩa không gian véc tơ
Phần này được trích từ sách “Toán học cao cấp, tập 1, Đại số và Hình học giải
tích” của nhóm tác giả Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, tr. 233
– 235:
“ Xét tập V khác rỗng mà mỗi phần tử ta quy ước gọi là một véc tơ và trường số
thực R. Giả sử trong V ta định nghĩa được hai phép toán: phép cộng hai véc tơ và
phép nhân véc tơ một véc tơ với một số thực.
Phép cộng hai véc tơ là một luật hợp thành trong 7 × 7 → 7 cho phép tạo ra từ
cặp véc tơ x, y ∈ V một véc tơ duy nhất là tổng của chúng, kí hiệu là x + y.
Phép nhân véc tơ với một số , còn gọi là tích của chúng, kí hiệu kx.
Nếu 10 yêu cầu (tiên đề) sau được thỏa mãn với mọi x, y, z ∈ 7 và k, l ∈ : thì tập
V được gọi là không gian véc tơ trên trường R:
(1) Nếu x và y ∈ 7 thì x + y ∈ 7
(2) x + y = y + x, ∀ , < ∈ 7
(3) x + (y + z) = (x + y) + z, ∀ , <, = ∈ 7
(4) Tồn tại véc tơ > ∈ 7 sao cho > + = + > = , ∀ ∈ 7
Phần tử > được gọi là phần tử trung hòa của phép cộng, (hay của V).
(5) Với mỗi ∈ 7, tồn tại phần tử − ∈ 7 sao cho
x + (-x) = (-x) +x = >
Phần tử − được gọi là phần tử đối xứng (hay phần tử đối) của x.
(6) Nếu ? ∈ : và ∈ 7 thì ? ∈ 7
(7) k(x+y) = kx +ky, ∀ , < ∈ 7, ∀? ∈ :
(8) (k+l)x = kx + lx, ∀ ∈ 7, ∀?, @ ∈ :
(9) k(lx) = (kl)x, ∀ ∈ 7, ∀?, @ ∈ :
(10) 1.x = x, ∀ ∈ 7
…

Thí dụ: tập : tập các véc tơ hình học trong mặt phẳng có chung gốc hay là tập
các véc tơ hình học tự do trong mặt phẳng trong đó ta đồng nhất các véc tơ
tương đẳng (tức là các véc tơ cùng phương, cùng hướng, cùng độ dài là một) là
một không gian véc tơ với với hai phép toán, cộng hai véc tơ và nhân véc tơ
với một số thực.
Tương tự, :A tập các véc tơ hình học trong không gian hay các véc tơ hình học
tự do trong không gian (trong đó ta đồng nhất các véc tơ tương đẳng) cùng hai
phép toán trên là một không gian véc tơ.”
2.3.2 Các cách định nghĩa véc tơ
Theo [1],véc tơ có thể định nghĩa theo các cách sau:
Định nghĩa véc tơ trong Toán học
“Véc tơ được xét ở đây là véc tơ được nghiên cứu trong hình học. Tập hợp
các véc tơ hình học là một mô hình của không gian véc tơ tổng quát trong
đại số tuyến tính. Từ quan điểm toán học thuần túy, người ta có thể định
nghĩa khái niệm véc tơ hình học qua hệ tiên đề của không gian véc tơ, qua
lớp tương đương các đoạn thẳng định hướng hoặc qua lớp tương đương các
cặp điểm sắp thứ tự”
Định nghĩa Định nghĩa qua lớp tương Định nghĩa qua lớp tương
qua hệ tiên đương các đoạn thẳng định đương các đoạn thẳng sắp
thứ tự
đề của không hướng
gian véc tơ
- Xét các cặp điểm sắp
Xem
mục
- Một đoạn thẳng trên đó
thứ tự (A, B) trên mặt
2.3.1 trên
đã xác định điểm mút

phẳng, trong đó A là
nào là điểm đầu, điểm
điểm đầu, B là điểm
mút nào là điểm cuối,
gọi là một đoạn thẳng
cuối. Hai cặp điểm
(A, B) và (C, D) được
định hướng.
gọi là tương đương, kí
- Đoạn thẳng có điểm đầu
A, điểm cuối B được kí
hiệu (A, B) ~ (C, D).
hiệu AB.
nếu hai đoạn thẳng
- Những đường thẳng
AD và BC có cùng
song song với nhau xác
trung điểm.
định
một
phương.
- Quan
hệ
“tương
Phương của đoạn thẳng
đương” trên có tính
định hướng là phương
chất phản xạ, đối
của đường thẳng chứa
xứng, bắc cầu. Do đó,

nó.
tập hợp các cặp điểm
- Hai đoạn thẳng định
trên đường thẳng
hướng được gọi là cùng
được phân thành các
phương nếu nó thuộc


-

-

-

-

-

-

hai đường thẳng song
song hoặc cùng phương.
Mỗi phương có hai
hướng (chiều) ngược
nhau.
Hướng của đoạn thẳng
định hướng là hướng từ
điểm đầu đến điểm cuối,
theo một trong hai

hướng của đường thẳng
chứa nó.
Hai đoạn thẳng định
hướng AB, CD gọi là
cùng hướng nếu chúng:
• Nằm trên hai đường
thẳng song song với
nhau và cùng thuộc
nửa mặt phẳng có bờ
là đường thẳng AC
nối hai điểm đầu của
chúng
• Hoặc cùng thuộc
một đường thẳng và
một trong hai tia
chứa tia còn lại
Hai đoạn thẳng định
hướng được gọi là
tương đương nếu chúng
có cùng độ dài và cùng
hướng.
Quan hệ “tương đương”
trên có tính chất phản
xạ, đối xứng, bắc cầu do
đó nó chia các đoạn
thẳng thành các lớp
tương đương.
Mỗi lớp tương đương
được gọi là một véc tơ.
Lớp tương đương chứa

đoạn thẳng định hướng
AB được gọi là một véc
EEEEEF . Đoạn
tơ và kí hiệu CD

-

-

-

-

lớp tương đương.
Hai cặp điểm thuộc
cùng một lớp khi và
chỉ khi chúng tương
đương. Mỗi lớp tương
đương gọi là một véc
tơ.
Lớp tương đương
chứa cặp điểm sắp thứ
tự (A, B) được kí hiệu
EEEEEF . Cặp điểm (A,
là CD
B) được gọi là một
đại diện cho véc tơ
EEEEEF .
CD
EEEEEF là lớp tất

Véc tơ CD
cả các cặp điểm sắp
thứ tự tương đương
với (A, B).
Nếu (A, B) ~ (C, D)
EEEEEF hay EEEEEF
thì véc tơ CD
GH
chỉ là một và ta có thể
EEEEEF = GH
EEEEEF .
viết CD


Hình học – lý
thuyết được xây
dựng theo tư
tưởng của phương
pháp tiên đề
4

Thế kỉ
XVIII

XVII,

-

Hình học của thời
kì toán học cao

cấp

-

-

-

5

Thế kỉ XIX:
Hình học phi
Euclid

-

của môn Cơ sở hình học mà mục đích là nghiên cứu
việc sắp xếp các kiến thức hình học theo một trình tự
suy luận hợp logic.
Nhà toán học nổi bật là Euclid
Euclid: Bạn biết gì về Euclid và thành tựu toán học
của ông?
Thắng lợi của cách mạng tư sản Anh và sự phát triển
của xã hội tư bản chủ nghĩa đã thúc đẩy sự phát triển
mạnh mẽ của khoa học kĩ thuật. Hàng loạt phát minh
quan trọng đã thay đổi hẳn bộ mặt thế giới như máy
hơi nước, tạo ra xu hướng nghiên cứu cơ học lý
thuyết. Từ đó toán học bắt đầu quan tâm đến chuyển
động và các đại lượng biến thiên, dẫn đến sự phát
triển của một số ngành toán học mới:

Hình học giải tích của René Descartes và Pierre
Fermat - sự kết hợp giữa hình học và đại số ra đời đã
đánh dấu một bước ngoặc quan trọng trong lịch sử
phát triển của hình học và toán học. Tư tưởng cơ bản
của hình học này là biểu diễn các quan hệ hình học
bằng những phương trình đại số thông qua trung gian
là một hệ tọa độ, từ đó chuyển bài toán hình học
thành bài toán đại số - dễ giải hơn bài toán ban đầu.
Nhờ đóng góp của nhiều nhà toán học khác, hình học
giải tích được phát triển từ mặt phẳng lên không gian,
và từ đó giúp toán học nói chung, hình học nói riêng
thoát khỏi kiểu tư duy cụ thể của không gian vật lí để
đạt tới đỉnh cao của sự trừu tượng và khái quát.
Hình học họa hình – lý thuyết về việc biểu diễn các
hình không gian lên mặt phẳng cũng ra đời và phát
triển mạnh trong thời kì này, do yêu cầu của ngành
xây dựng và kiến trúc, tạo điều kiện cho sự xuất hiện
của hình học xạ ảnh.
Việc giải các bài toán tính độ dài, diện tích, thể tích
liên quan đến sự ra đời của phép tính tích phân. Các
bài toán tìm tiếp tuyến của một đường cong, xác định
cực trị của một hàm số thì có liên hệ đến sự hình
thành phép tính vi phân. Môn hình học vi phân là sự
áp dụng của phép tính vô cùng bé vào hình học được
phát triển rộng rãi ở thế kỉ XVIII.
Định đề 5 của hình học Euclid:
? hãy phát biểu định đề 5
Vì định đề không được phát biểu đơn giản như các
tiên đề nên bị nghi ngờ là tiên đề thừa. Nhiều nhà toán
học nghĩ nó là một định lí, được suy ra từ các tiên đề

còn lại. Quá trình chứng minh trong mấy nghìn năm
lịch sử đã chứng minh rằng nó không phải là một định