File394 - PT _ HE PT BAC CAO

GIÁO VIÊN HƯỚNG
DẪN :
ĐỖ KIM SƠN

1/ LÝ THUYẾT
2/ BÀI TẬP ÁP DỤNG

NHỮNG NGƯỜI THỰC
HIỆN :
ψ NGUYỄN DUY HIỂN
ψ HÀ QUỐC KHÁNH


1 LÝ THUYẾT
2 ÁP DỤNG
1 CÁCH GIẢI
2 BÀI TẬP
1 ĐỊNH NGHĨA
2 CÁCH GIẢI :
- Ví dụ
- Giải bài toán
1/ Phương trình trùng phương:
DẠNG : ax4+bx2+c= 0
CÁCH GIẢI :
Ví dụ
Giải bài toán
2/ Phương trình bậc 4
DẠNG : (a+x)(x+b)(x+c)(x+d)=k với a+b=c+d
CÁCH GIẢI :
Ví dụ
Giải bài toán

:ax4+bx3+cx+d=0
1 Cách giải :
2 Ví dụ :
I / ĐỊNH LÝ VIET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA :
II / ĐỊNH LÝ BEZU :
III/ LƯC ĐỒ HOOCNE :

I
II
III
IV

ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CHỨA CĂN THỨC :
ĐẶT ẨN PHỤ :
PHƯƠNG PHÁP QUI VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI :
ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO :

I/ Phương trình bậc cao có nghiệm nguyên :
Nếu phương trình bậc cao có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó là ước
của số hạng tự do( không chứa biến x )
∗ Ví dụ 1 : Giải phương trình x3 + 8x -9 = 0
Ta có :
x3 + 8x – 9 = 0
3
<=> x - x2 + x2 - x+ 9x – 9 = 0
<=> ( x-1 )( x2+x+9 ) = 0


 x −1 = o

x = 1
<=>
 2
2
 x + x + 9 = 0v.nghiem
x + x + 9 = 0
Vậy phương trình có nghiệm x = 1
∗ Ví dụ 2 : Giải phương x4 + 8x3 + 14x2 – 8x- 15= 0
<=> x4 - x3 + 9x3 - 9x2 + 23x2 - 23x + 15x - 15 = 0
<=>
(x3 + 9x2 + 23x + 15)(x - 1) = 0
<=>
(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x - 1) = 0
 x = −1
 x = −3

<=>
 x = −5

x = 1
Vậy phương trình có 4 nghiệm x = -1 , x = 1 , x = 3, x = -5
∗ Ví dụ 3 : Phân tích phương trình thành nhân tử :
P= a10+a5+1
Nhận xét : Nếu ta thêm vào P các số hạng a9, a8, … ,a và đồng
thời bớt đi các số
hạng ấy thì P sẽ có 21 số hạng do đó ta có thể phân tích P thành 2
thừa số : một thừa
số gồm 3 số hạng và một thừa số gồm 7 số hạng .
P= a10+a5+1
P= a10 + a9 – a9 + a8 – a8 + a7–a7+a6–a6+a5–a5 +a4–a4+a3–a3+a2–a2+a–a+1

P= a8(a2+a+1) –a7(a2+a+1)+a5(a2+a+1) –a4(a2+a+1)+a3(a2+a+1) –
a(a2+a+1)+( a2+a+1)
P= (a2+a+1)(a8–a7+a5–a4+a3–a+1)
<=> 

BÀI TẬP ỨNG DỤNG
Bài 1: Tìm các nghiệm nguyên x :
a/ x4 – x2 +2x + 2 =0
b/ x(x+2)(x2 + 2x + 3)=0
c/ x(x+1)(x+7)(x+8)=0
d/ x(x7 + 6) + 25=0
Bài 2: Chứng minh rằng các phương trình sau không có nghiệm
nguyên :
a / x 3 + y 3 = 2004
b / x 4 − 5x 2 y 2 + 4 y 4 = 3
c / ( x + y ) + x 4 + y 4 = 3996
4

d / x2 − y3 = 7
Bài 3: Tìm các nghiệm nguyên: x3 + y3 = 3xy + 3
Bài 4: Tìm các nghiệm nguyên: x3 – y3 = xy +25
Bài 5: Tìm các nghiệm nguyên: x2 + y3 = y6
Bài 6: a/ Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
2x3 + xy – 7 = 0
b/ Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
y2 – x(x+1)(x+2)(x+3) = 1
Bài 7: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
x4 – y4 – 20x2 + 28y2 = 107
Bài 8: Tìm tất cả các số nguyên x, y biết x > y> 0 thỏa mãn:
x3 + 7y = y3 + 7x

Bài 9: Tìm tất cả các nhiệm nguyên của phương trình:


y2 + y = x 4 + x3 + x2 + x
Bài 10: Tìm cặp số nguyên dương (a;b) thoả mãn phương trình:
(a – 2b)2 + b4 = 169
Bài 11: Với giá trò nào của m; p ta có đẳng thức:
(m + 1)(p2 – m2 + 4) = m2
Bài 12: Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm
nguyên:
y14 + y 24 +  + y144 = 1599
Bài 13: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
xy3 + 2xy – 243y2 + x = 0
Bài 14: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
a / x3 − 2 y 3 − 4z 3 = 0
b / x 3 − 3 y33 − 9 z 3û3= 0
Hướng dẫn: a/ x =2(y + 2z3), suy ra x chẵn .Đặt x=2x1.Tương tự ta
được y=2y1,z=2z1.Ta đươcï nghiệm duy nhất x= 0, y= 0, z= 0.
Bài 15 : Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau đây :
a/ x4+11x2-12=0
b/ 2x4+5x2+3=0
c/ n4+6n3+11n2+6n=0
d/ x4+x2+1=0
e/ a4x-a2x3+a3x2-ax4=0
f/ a5-ax4+a4x-x5=0
g/ x5+x4+x3+x2+x+1=0
h/ x8+x4+1=0
k/ x12+x6+1=0
l/ x16+x8+1=0
II/ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM HƯU TỶ:

M
Nếu phương trình có nghiệm hữu tỷ
thì M là ước của số hạng tự do N
N
là ước dương khác 1 của hệ số của số hạng cao nhất
Ví dụ 1 : X4 – ( 3 2 − 5 ) X3 – 4X2 - ( 4 5 + 12 2 )X -12 10 = 0
<=> x4 - 3 2 x3 + 5 x3 – 4x2 - 4 5 x - 12 2 x −12 10 = 0
<=>
(x2-4 ) (x + 5 )(x+ 3 2 ) = 0
 x = −2
x = 2

<=>
x = − 5

 x = −3 2
Vậy phương trình có nghiệm x = 2, x = −2, x = − 5, x = −3 2
Chú ý :
a ) Trong phương trình đối xứng , nếu a là 1nghiệm thì 1/a cũng là nghiệm
của phương trình
b ) Phương trình đối xứng bậc lẻ bao giờ cũng có một trong các nghiệm là
x=-1
c ) Phương trình đối xứng bậc chẵn 2n bao giờ cũng đưa về phương trình bậc
n bằng cách đặt
1
ẩn phụ y=x+
x
III/PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA HAI ẨN TRỞ LÊN
Ví dụ 1:Tìm các ngiệm nguyên của phương trình:
x(x+1)(x+2)(x+3) = y2 (1)

⇔(x2+3x)(x2+3x+2) = y2


Đặt x2+3x+1 = a ≥ ,ta được:
(a-1)(a+1) = y2
⇔a2-1 = y2
⇔(a-y)(a+y) = 1
a+y = a-y, do đó y = 0, thay vào (1) ta được:x 1=0; x2= -1; x3= -2; x4= -3
Đáp số: (0;0), (-1;0), (-2;0), (-3,0).
Ví dụ 2: Tìm các ngiệm nguyên của phương trình:
x3 – y3 = xy+8 (1)
Giải
Cách 1:
{x – y{.{x2 + xy +y2{ = {xy + 8{
Ta thấy x = y thì phương trình vô nghiệm⇒ x≠ y
Do x, y nguyên nên {x – y{ ≥ 1
{x2 + xy + y2{ ≤ {xy +8{
x2 + xy + y2 ≤ {xy + 8{
(2)
Xét 2 trường hợp:
a/ xy + 8 < 0. Khi đó (2) trở thành:
x2 + xy + y2 ≤ - xy –8
(x + y)2 ≤ -8 (loại)
b/ xy + 8 ≥ 0. Khi đó (2) trở thành:
x2 + xy + y2 ≤ xy + 8
x2 + y 2 ≤ 8
Do đó: x2, y2 ∈ [0 ; 1; 4]

 2 =1
x

 2
 y = 4
hoặc
 2=4
x
 2
 y = 1
Nếu x= 0 thì từ (1)có y3 = -8, nên y= -2
Nếu y= 0 thì từ (1) có x3= 8,nên x= 2
Nếu x,y đều khác 0 thì x2,y2 ∈ [1;4].Do x ≠ y (giải thích ở trên) nên
chỉ có :
Như vậy trong hai số x và y có một số chẵn ,một số lẻ.Khi đó
vế trái của (1) lẻ ,còn vế phải của (1) chẵn ,không xảy ra.
Cách 2 : Đáp số : (0 ; -2 ) ,( 2 ; 0)
3

3

x − y = xy + 8
⇔ ( x − y ) + 3 xy ( x − y ) = xy + 8
đặt
x - y = a,xy = b tacó
:
3

a 3 + 3ab = b + 8

⇔ a 3 − 8 = −b( 3a − 1)
⇒ a 3 − 83a − 1

(

)

⇒ 27 a 3 − 8 3a − 1

do 27 a 3 − 13a − 1 ⇒ 2153a − 1 ⇒ 3a − 1 ∈ { ± 1;±5;±43;±215}
do 3a − 1 : 3 dư 2 ⇒ 3a − 1 ∈ { − 1;5;−43;215}
Ta có:
3a-1
-1
5
-43

215


A
0
2
-14
72
B=
-8
0
-64
-1786
Chú ý rằng (x-y)2 + 4xy ≥ 0 nên a2 + 4b ≥ 0, do đó chỉ có a=2; b=0. ta
được x-y = 2; xy=0
Đáp số: (0; -2),(2:0)

Ví dụ 3: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:

(x

2

(x

2

)(

)

3

)

3

+ y x + y 2 = ( x + y)

)(

+ y x + y = ( x + y)
⇔ xy ( 3 x + 3 y − xy − 1) = 0
2

Giải

x = 0 ⇒ y∈Z
⇔ y = 0 ⇒ x∈Z
3 x + 3 y − xy − 1 = 0(1)

(1) ⇔ ( x − 3)( y − 3) = 8 = 1.8 = −1. − 8 = 2.4 = −2. − 4 = 8.1 = −8. − 1 = 4.2 = −2. − 4
Giả
sử
: x ≥ y, tược các
nghiệm
: (11;4) , ( 4;11) , ( 7;5) , ( 5;7 ) , ( 2;−5) , ( − 5;2) , (1;−1) , ( − 1;1) , ( 0; k ) , ( t ;0)
vớik;t là
số
nguyên
tuỳ
ý.
3
Hướng dẫn: a/ x =2(ỷ3 + 2z3), suy ra x chẵn .Đặt x=2x1.Tương tự ta
được y=2y1,z=2z1.Ta đươcï nghiệm duy nhất x= 0, y= 0, z= 0.
IV/ Phương trình bậc ba :
1 Đònh nghóa : là phương trình có dạng ax3 + bx2 + cx + d = 0
2 Phương pháp giải :
B1 : Tìm nghiệm của phương trình như sau
•a+b+c+d=0→phương trình có nghiệm x=1
•a-b+c-d=0→phương trình có mghiệm x=-1
•Có nghiệm la ước số của d chia cho ước số của a
B2 : Chia ax3 + bx2 + cx + d cho x-1
B3 : Giải phương trình bậc 2 còn lại
Ví dụ:Giải phương trình sau
1/ x3 + 5x2 + 3x − 9 = 0 (1)
2/ x3 + 3x2 + x − 5 = 0 (2)

Giải :
∗ (1)
x3 + 5x2 + 3x − 9 = 0 (a+b+c+d=0)
→Phương trình có nghiệm x=1
Lấy (1) chia cho x-1thì
(1) <=> x2+6x+9=0
<=>(x+3)2=0
<=> x= -3
Vậy tập nghiệm S=1;-3
∗ (2) x3 + 3x2 + x − 5 = 0 (a+b+c+d=0)
→Phương trình có nghiệm x=1
Lấy (2)chia cho x-1thì
(2) <=> x2+4x+5=0
Phương trình có ∆’=-3<0→Phương trình vô nghiệm
Vậy tập nghiệm S=1
V / Phương tình bậc 4 :
1/ Phương trình trùng phương :
♦ Dạng ax4+bx2+c= 0
♦ Giải đặt t=x2≥ 0


•Nếu t=0→x=0
x = − t

•Nếu t >0→  x = t

•Nếu t<0→x vô nghiệm
♦ Nhận xét :Nếu phương trình trùng phương có 1 nghiệm
là x thì nó củng có 1 nghiệm là –x
Ví dụ :

1 Giải phương trình: x4-x2-6=0
2 Tìm mđể phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt
:
mx4+(2m-3)x2+m-1=0
Giải :
1/ x4-x2-6=0
2
Đặt t=x ≥ 0thì
t = 3
Phương trình<=>t2-t-6=0 <=> 
 t = −2(loại)
x = 3
Với t=3→
VậyS={ 3; − 3 }
 x = − 3
2/ mx4+(2m-3)x2+m-1=0
Nếu x là nghiệm của phương trình thì –x cũng là nghiệm
nên để phương trình có ba nghiệm thì sẽ có 1 nghiẹâm x= -x
<=>x=0
→m-1=0<=>m=1
Với m=1 ta có phương trình x4-x2=0
x = 0

<=>  x = 1
 x = −1
Vậy phương trình có 3 nghiệm khi m=1
∗ Phương trình bậc 4 dạng :
(x+a)4+(x+b)4=0
a+ b
Cách giải _ Đặt t=x+

2
_ Đưa về phương trình trùng phương
2/ Phương trình bậc 4 dạng :
(a+x)(x+b)(x+c)(x+d)=k với a+b=c+d
Cách giải :Đặt t=(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
Ví dụ :Giải phương trình :x(x-2)(x+2)(x-4)= -7(1)
Giải :Đặt t=x(x-2)=(x-1)2-1≥ 0
(1)<=> (x2-2x)(x2-2x-8)= -7
<=> t2-8t +7=0
t = 1
<=> 
t = 7
Với t=1 thìx2-2x=1
∆’=1+4=5>0


 x = 1+ 5
<=> 
 x = 1− 5

Vậy S={ 1+ 5;1− 5 }

Với t=7 thì x2-2x=7
∆’=1+7=8>0
 x = 1+ 2 2
<=> 
Vậy S={ 1+ 2 2;1− 2 2 }
 x = 1− 2 2
VI/ Phương trình bậc 4 dạng : ax4+bx3+cx2±bx+a =0 (a ≠ 0)
Cách giải :chia cho x2 ≠ 0

1
1
Ptrình <=>a(x2+ 2 )+b(1+ )+c+0
x
x
1
1
Đặt t=x+ điều kiện t = x + ≥ 2
x
x
4
3
Ví dụ : Giải phương trình :x +3x +6x2+3x+1=0
Chia cả 2 vế của phương trình cho x2≠ 0
3 1
Ptrình <=> x2+3x+6+ + 2 =0
x x
1
1
<=> x2+ 2 +3(x+ ) +6=0 (*)
x
x
Đặt t = x +

1
≥2
x

(*)<=> t2+3t+2=0
 t = −1(loại)

<=> 
n)
 t = −2(nhậ

1
= -2
x
<=> x2+2x+1=0
<=> x=-1
Vậy S={-1}

Với t=-2 thì x+

I/ Đònh lý Viet đối với phương trình bậc 3 :
1/ Cho phương trình bậc ba :
ax3+bx2+cx+d=0 Với a≠ 0
Giả sử phương trình có 3 nghiệm thực ; x1,x2,x3 (kể cả
trường hợp phương trình có nghiệm kép ) .Khi đó ta có


−b

 x1 + x2 + x3 = a

c

 x1x2 + x2x3 + x3x1 =
a

d


 x1x2x3 = − a

2 / Đảo lại giả sử cho ba số thực x1,x2,x3
Đặt : S1=x1+x2+x3
S2=x1x2+x2x3+x3x1
S3=x1x2x3
Khi đó phương trình bậc ba :
x3-S1x2+S2x-S3=0 nhận x1,x2,x3 làm nghiệm
II/ Đònh lý Bezu :
Nhắc lại một số đònh nghóa sau :
Cho đa thức P(x) = anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 ,với an≠ 0
Khi đó P(x)gọi là đa thức bậc n, và kí hiệu deg P(x)=n
Giá trò x=x0 gọi là nghiệm của đa thức P(x),nếu P(x0)
Ta có kết quả sau đây , và thường đươc gọi là đinh lý Bezu
“Đa thức P(x) có nghiệm x=x0<=>P(x)chia hết cho x-x0”
- Ý nghóa của đònh lý Bezu : Xét phương trình P(x) =0, trong đó
P(x)là một đa thức màdegP(x)≥ 3.Nếu như một cách nào đó ta
biết trước x0 là một nghiệm của phương
trình ấy. Khi ấy theo đònh lý Bezu, thì ta dưa phương trình đã cho về
dạng
tương đương hoặc dạng tích :
( x-x0)Q(x)=0,
trong đó
degQ(x)=degP(x) -1
Nói cách khác khi nhờ đònh lý Bezu cho phép ta hạ bậc một
phương trình
bậc cao, nếu như ta biết được một nghiệm của nó.
III/ Lược đồ Hoocne
Ý nghóa : p dụng lược đồ Hoocne để tính giá trò của đa thức ,

để chia một đa thức bậc cao cho một nhò thức bậc nhất, nhờ đó
có thể tính giá trò của một đa thức hoặc một biến”x”
nào
đó một cách dễ dàng .
Trong một số trường hợp, lược đồ Hoocne sẽ giúp việc tính toán
dơn giản đi rất nhiều .
a/ tính giá trò của đa thức :
Cho đa thức P(x)=anxn+an-1xn+1+…+a1x+a0. Hãy tính giá trò của đa
thức trên khi x=α, tức là tính P(α) . Từ đo,ù tacó bảng như sau :

α

an
a0
bn
b0

an-1

an-2

…ak

…a1

bn-1

bn-2

…bk

…b1

Trong bảng trên an,an-1,…a1,a0 là các hệ số đã biết của đa thức
P(x), αlà giá trò của biến x mà ta cầ tính P(x). Chỉ lưu ý rằng : Khi
viết các hệ số an,an-1,…,a1,a0 ta phải viế đầy đủ theo ý nghóa sau
đây : Nếu trong đa thức P(x) chẳng hạn khuyết số hạng chứa
xk(0≤ k. Các giá trò bn,bn-1,..,b1,b0 được tính theo thứ tự giảm dần bn,bn-1,…cho


đến b1,b0.Việc tính toán các gía trò ấy theo công thúc truy hồi sau
đây :
bn=an,
bn-1=αbn+an-1,
bn-2=αbn-1+an-2,
……………………………
bk=αbk+1+ak,
……………………………
b1=αb2+a1,
b0=αb1+a0.
Khi đó ta chứng minh được f(α)=b0
Thí dụ 1 : Tính giá trò của đa thức P(x)=3x5+7x4-12x2+6x+3 khi x=2.
Lập bảng sau đây(với chú ý rằng trong đa thức P(x) khuyết số
hạng x3, nên hệ số a3=0)
3
7
0
-12
6

3
α= b5
b4
b3
b2
b1
b0
2
b5=3
b2=2.26-12=40
b4=2.3+7=13
b3=2.40+6=86
b3=2.13+0=26
b0=2.86+3=175
Vậy P(2)=175
Chú ý : Bảng trên là bảng “diễn giải”đê3 bạn đọc dễ theo dõi
cách lập bảng .Trong thực tế bảng Hoocne chỉ cần có dạng sau :

2

3
7
3
3
13
175

0

-12

6

26

40

86

b/ Chia đa thức cho nhò thức bậc nhất x-α :
Nếu như trong bảng Hoocne b0=0, thì điều đó có nghóa là P(α)=0.
Theo đònh lý Bezu, thì do α là nghiệm của đa thức P(x), nên
P(x) chia hết cho x-α
Tring trường hợp này bảng Hoocne có dạng :
an
an-1
...a1
a0
2
bn
bn-1
…b2
b0
Từ bảng trên ,ta đã chứng minh được rằng khi đó :
P(x)=(x-α)(bnxn-1+bn-1xn-2+…+b2x+b1)
Nói cách khác ta đã tiến hành xong phép chia đa thức (x) cho nhò
thức bậc nhất x-α
Thí dụ 2 : tính giá trò của đa thức x3-12x+16=0 biết phương trình có 1
nghiệm là x=2
Giải

3
Chia đa thức x -12x+16=0 cho x-2
Lập bảng Hoocne sau đây (p dụng với α=2):
1
0
-12
16
2
1
2
-8
0


Vậy x3-12x+16=(x-2)(x2+2x-8)=0
x = 2
<=> 
 x = −4

1/ Đưa phương trình về dạng phương trình không chứa
căn thức :
*Tìm tập xác đònh
 f ( x) = 0

*Biến đổi đưa về dạng f(x).g(x)…….h(x)=0 ⇔  g ( x ) = 0
 h( x ) = 0

*Có thể dùng ẩn phụ để giải.
VD1:
3

đk: x ≥ −2
1− x + x = 2 = 1
(t ≥ 0)
Đặt : t = x + 2
Phương trình (1) tở thành:

(1)

⇔ 3 3 − t2 + t = 1
⇔ 3 3 − t2 = 1− t
⇔ 3 − t 2 = (1 − t )3
⇔ t 3 − 4t 2 + 3t + 2 = 0
⇔ (t − 2)(t 2 − 2t − 1) = 0
t = 2
x = 2

⇔ t = 1 + 2
⇔
x =1 = 2 2
t = 1 − 2(loai : t ≥ 0)

VD2:Giải phương trình : 2 x 3 − 3x + 3 2 x 3 − 3 x + 1 = x 2 + 1 + 3 x 2 + 2
Xét: f (t ) = t + 3 t + 1 trên R
(2) ⇔ f (2 x 3 − 3x) = f ( x 2 + 1)
Ta có : ∀t1 , t2 ∈ R : t1 < t2 thì ta có
Vâïy f(t) đồng biến trên R
Theo tính đơn điệu của hàm số ta có:

(2)

(3) ⇔ 2 x 3 − 3x = x 2 + 1
⇔ 2 x3 − x 2 − 3x − 1 = 0
1
⇔ ( x + ) ( 2 x2 − 2 x − 2) = 0
2
1

x = − 2
⇔
1± 5

 x = 2
VD3:Giải phương trình
x2 − 4x = 8 x −1
⇔ x 4 − 8 x3 + 16 x 2 = 64 x − 64
⇔ x 4 − 8 x3 + 16 x 2 − 64 x + 64
⇔ x 4 ( x 2 − 8 x + 8) + 8( x 2 − 8 x + 8) = 0
⇔ ( x 2 − 8 x + 8)( x 2 + 8) = 0
x = 4 = 2 2
 x 2 + 8 = 0(loai )
⇔ 2
⇔ 1
 x2 = 4 − 2 2
 x − 8x + 8 = 0

2/ Đặt ẩn phụ.
Tìm tập xác đònh.
Thay thế các biểu thức chứa ẩn bằng một ẩn phụ . giải phương
trình mới với ẩn phụ từ đó tìm nghiệm phương trình đã cho.

Phương pháp đặt ẩn phụ rất thông dụng có thể kết hợp cách
đặt ẩn phụ với nhiều phương pháp khác.
VD1:Giải phương trình:
x3 + x 2 − 1 + x3 + x 2 + 2 = 3

ĐK
3
2
 x + x − 1 ≥ 0
 3
2
 x + x + 2 ≥ 0
Đặt : y = x 3 + x 2

Giải

( y ≥ 0)

Phương trình đã cho trở thành


y −1 + y + 2 = 3
 y −1 ≥ 0

⇔ y + 2 ≥ 0

 y − 1 + y + 2 + 2 ( y − 1) ( y + 2 ) = 9
y ≥1

⇔  y ≥ −2

 2
 y + y − 2 = 4 − y
y ≥1

⇔ y ≤ 4
 2
2
 y + y − 2 = ( 4 − y )
1 ≤ y ≤ 4
⇔
9 y = 18
⇔ y=2
Do đó ta có :

x3 + x 2 = 2 ⇔ x3 + x 2 − 2 = 0

⇔ ( x − 1) ( x 2 + 2 x + 2 ) = 0 ⇔ x − 1 = 0 ⇔ x = 1

Vậy x=1

3/Phương pháp qui về phương trình bậc hai :

Bằng cách đổi biến thích hợp y=ϕ(x) , ta qui về phương trình bậc
hai đối với y.
Mỗi nghiệm y tìm được của phương trình bậc hai trung gian , ta
giải tiếp phương trình
phương trình ẩn x
ϕ(x)= y
Phương trình (1) thường có dạng đơn giản hơn nhiều so với phương
trình ban đầu . Tuỳ

dạng cụ thể của (1) , mà ta có phương pháp xử lý thích hợp .

Các bài tập ứng dụng:
Bài 1:
6
x − 7 x2 + 6 = 0
HD : Dat : x 2 = k ≥ 0 ⇒ k 3 − 7 k + 6 = 0
x = 4 6

DS : 
2
x =

Bài 2:

(

10 − 6

)

2

3 x 2 + 21x + 18 + 2 x 2 + x + 7 = 2
HD : Dat : x 2 + 7 x + 7 = a ≥ 0 ⇒ x 2 + 7 x + 7 = a 2
pt : 3a 2 + 2a − 5 = 0

4/ Đưa về hệ phương trình bậc cao

Thông thường pp này được sử dụng khi phải giải một pt vô tỉ có
chứa nhiều căn thức cùng số mũ ,và được kết hợp sử dụng với pp
đặt ẩn phụ.

4

57 − x + 4 x + 40 = 5

Ví dụ 1: dat : u = 4 57 − x ; v 4 x + 40 ,Ta có hệ sau :
u + v = 5
u + v = 5

2
⇔
 4 4

2

u
+
v
−
2
uv
− 2u 2 v 2 = 97
(
)
u + v = 97
 


u + v = 5
⇔
4
2 ( uv ) − 100uv + 528 = 0
u + v = 5
u + v = 5

⇔  uv = 6 ⇔ 
(uv=44 loại)
uv = 6
 uv = 44

 u = 2

 x = 41
v = 3
⇔
⇔
 u = 3
 x = −24

 v = 2

(34 − x) 3 x + 1 − ( x − 1) 3 34 − x
3
34 − x − 3 x + 1
Điều kiện để hệ phương trình có nghóa là :
33
3
(1)

34 − x − 3 x + 1 ≠ 0 <=> 34x ≠ x+1 <=>x ≠
2
Với điều kiện (1) , ta đặt u= 3 34 − x
;v= 3 x + 1 .
u 3 + v 3 + 35
u 3 + v 3 = 35
 3
3
⇔


Khi đó ta có hệ sau :  u v − v u = 3u
uv(u + v) = 30
 u −v

Ví dụ 2: Giải phương trình :

(u + v)3 − 3uv(u + v) = 35
u + v = 5
<=> 
<=> 
uv = 6
uv(u + v) = 30
u = 3
u = 2
<=> 
hoặc 
v = 2
v = 3
34 − x = 27

34 − x = 8
<=> 
hoặc 
x +1 = 8
 x + 1 = 27
<=> x=7hoặc x=26
Ví dụ 3:

(

17 − x 2 = 3 − x

)

2

Giải
Đặt u= x ; v=3- x , khi đó đưa phương trình đã cho về hệ sau :


u + v = 3
u + v = 3
<=> 
<=>  4
4
2
2
 17 − u = v
u + v = 17
Vậy hệ có nghiệm u=2 , v=1 hoặc u=1 , v=2

 x = 2
3 − x = 2
<=> 
hoặc 
3 − x = 1
 x = 1
<=> x=4 hoặc x=1
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1=4 hoặc x2=1
 x + y = 3 x + y (1)
Bài 3: 
 x − y = 3 x − y − 12 (2)
x ≥ y
Đk: 
x ≥ − y
(1) ⇔ ( x + y ) 6 = ( 3 x + y ) 6
x = − y
⇔ ( x + y ) 3 = ( x + y ) 2 ⇔ ( x + y ) 2 ( x + y − 1) = 0 ⇔ 
.
x + y = 1
Thay x=-y vào phương trình (2),ta được : y = -2 ⇒ x = 2.
BÀI 4:
 x y + y x = 30

 x x + y y = 35
Giải:
Điều kiện
u = x
Đặt 
v = y

:x ≥

0 ; y ≥0

u ≥ 0
;
.
v ≥ 0

uv (u + v) = 30
Ta được hệ  3
3
u + v = 35
Đặt S=u+v ,P=uv ta có:
SP = 30
S = 5
⇔
 3
P = 6
S − 3PS = 35
Vậy u,v là các nghiệm không âm của pt:
X =2
X2-5X+6=0 ⇔
X =3
u = 2 u = 3
⇒
∨
v = 3 v = 2
x = 4 x = 9
∨

từ đó hệ có 2 nghiệm 
y = 9 y = 4

Bài 5:
2( x + y ) = 3(3 x 2 y + 3 xy 2 )
3
 x + 3 y = 6
Giải:
Đặt u= 3 x ,v= 3 y ta có hệ


2(u 3 + v 3 ) = 3uv(u + v )

u + v = 6
2(u + v)[(u + v ) 2 − 3uv] = 3uv(u + v)
⇔
u + v = 6
2(36 − 3uv) = 3uv
⇔
u + v = 6
uv = 8
u = 2 u = 4
⇔
⇔
∨
u + v = 6
v = 4 v = 2

3 x = 2
u = 2

x = 8
⇔
a)với 
ta có 
3 y = 4
v = 4
 y = 64
3 x = 4
u = 4
 x = 64
⇔
b)với 
ta có 
3 y = 2
v = 2
y = 8
Vậy hệ có 2 nghiệm ( 8; 64 ),( 64 ; 8 )
4 1 + 5 x + 4 5 − y = 3

BÀI 6: 5 x − y = 11
−1

x ≥
5 .
Đk: 
 y ≤ 5

u = 4 1 + 5 x , u ≥ 0
Đặt 
.

v = 4 5 − y , v ≥ 0

u + v = 3
u = 1 u = 2 1 + 5 x = 16 1 + 5 x = 1
⇔
∨
⇒
∨
Ta có hệ phương trình:  4
4
v = 2 v = 1
5 − y = 1
5 − y = 16
u + v = 14
x = 3 x = 0
⇔
∨
 y = 4  y = −11
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: ( 3; 4 ), ( 0 ; -11 ).
3 10 x − y + 3 x − y = 3
BÀI 7 : 
2 x + y + 3 x − y = 5
Đặt

u = 3 10 x − y ⇒ u 3 = 10 x − y
v = 3 x − y ≥ 0 ⇒ v 2 = 3 x + y.
u + v = 3.

Ta có :

u3 + v2 = 7x ⇒ x =

u3 − v2
7

3u 3 − 10v 2
Mà y = 3 x − v =
(2) .
7
Thay x,y vào phương trình thứ hai của hệ: 5u 3 − 12v 2 + 7v = 35(3) .
Với v=3-u,thay vào phương trình (3): 5u 3 − 12u 2 + 65u − 122 = 0 ⇔ u = 2 ⇒ v = 1.
 3 + 2 x 2 y − x 4 y 2 + x 2 (1 − 2 x 2 ) = y 4
BÀI 8: 
1 + 1 + ( x − y ) 2 = − x 2 ( x 4 + 1 − 2 x 2 − 2 xy 2 ).
 4 − (1 − x 2 y ) 2 = y 4 − x 2 + 2 x 4 .(1)
Hệ đã cho ⇔ 
− 1 + ( x − y ) 2 = 1 + x 6 + x 2 − 2 x 4 − 2 x 3 y 2 .(2).
2


Cộng (1) và (2) theo từng vế ,ta được :
4 − (1 − x 2 y ) 2 − 1 + ( x − y ) 2 = x 6 − 2 x 3 y 2 + y 4 + 1
⇔ 4 − (1 − x 2 y ) 2 = 1 + ( x − y ) 2 + ( x 3 − y 2 ) 2 + 1.(3)
 4 − (1 − x 2 y ) 2 ≤ 2
Ta thấy: 
 1 + ( x − y ) 2 + ( x 3 − y 2 ) 2 + 1 ≥ 2
 4 − (1 − x 2 y ) 2 = 2.
x 2 y = 1




2
Nên (3) xảy ra ⇔  1 + ( x − y ) = 1 ⇔  x − y = 0 ⇔ x = y = 1
 3
x 3 = y 2
2 2

( x − y ) + 1 = 1

1 + 1 − x 2 


1.

( 1− x)

3.
4.
5.
6.

3
3
3
3

− (1 + x)3 ÷ = 2 + 1 − x 2


1

2
3
3
x − 2 + x + 3 = 2x +1
2 x − 1 = x 3 16 − 3 2 x + 1
x + 1 + 3 x − 1 = 3 5x
2 x − 1 + 3 2 x − 1 = 3 3x + 1
2 −1 − x + 4 x =

2.

3

4

Bài tập giải toán :
a) 4 57− x + 4 x + 40 = 5
b)

3

(3x + 1)2 + 3 (3x − 1)2 + 3 9x2 − 1 = 1

x + y + z = a
 2
2
2
2
19.giải hệ:  x + y + z = a
 x3 + y3 + z 3 = a 3



( 1)

Giải :
đTa có : xy + yz + xz = b ∧ xyz = c ,ta có : x 2 + y 2 + z 2 = a 2 − 2b ⇒ b = 0

(

)

x 3 + y 3 + z 3 = a a 2 − 3b + 3c ⇒ c = 0
x + y + z = a

Vậy : ( 1) ⇔  xy + yz + xz = 0
 xyz = 0

x,y,z là nghiệm của phương trình : X 3 − aX 2 + 0 X + 0 = 0


phương trình có nghiệm X 1 = 0, X 2 = 0, X 3 = a
Vậy : ∀a ∈ R ,hệ có nghiệm : ( a, 0, 0 ) ( 0, a, 0 ) ( 0, 0, a )

BÀI TẬP ỨNG DỤNG
Bà
i 1:
Chứ
ng minh rằ
ng phương trình sau khô
ng cónghiệ

m nguyê
n:
x3 + y 3 + z 3 = 2003
Bà
i 2:
Tìm cá
c nghiệ
m nguyê
n : x4 + y4 + z4 + t4 = 1995
Bà
i 3:
Tìm cá
c nghiệ
m nguyê
n : x3 + y3 + z3 -3xyz = 1
Bà
i 4:
Tìm cá
c nghiệ
m nguyê
n : x7 + y7 = 7z

1/ Tìm nghiệm nguyên các của phương trình sau :
♦ x2+(x+1)2=y4+(y+1)4
♦
1+x+x2+x3=y4
♦
1+x+x2+x3+x4=y2
♦
1+ x+x2+x3+x4=y3

♦
x6+3x+1=y4
♦
(x-2)4-x4=y3
♦
1+x+x2=y2
♦
x2=(y3+3y2+2y)(y+3)
♦
x6+3x2+1=y4
2/ Choba số a,b,c thỏa điều kiện :
a2 + b2 + c2 = 1
♦  3 3 3
Chứng minh : a+b2+c3=1
a
+
b
+
c
=
1

♦
♦

a3+b3+c3=3abc thì a+b+c=0 hoặc a=b=c
a + b + c = 0
tính giá trò biểu thức T= (a-1)1999+b2000+

ab + bc + ca = 0

(c+1)2001


3/ Chứng minh rằng nếu a >2thì hệ sau vô nghiệm:
 x5 − 2y = a
 2 2
 x + y = 1
4/ Chứng minh rằng nếu : a+b+c+d=0 thì:
a3+b3+c3+d3=3(ac-bd)(b+d)
5/ Giải phương trình :
• 2(x2+20=5 x3 + 1
• 2(x2+2x++3)=5 x3 + 3x2 + 3x + 2
• 2(x2-3x+2)=3 x3 + 8
• 2(x2+2)=5 1+ x3
6/ Tìm tất cả các nghiệm của phương trình sau :
x3(x2-7)2-36x=0
7/Giải các phương trình chứa tham số sau :
. (x+a+b)((x+b+c)(x+c+a)(a+b+c)=abcx với abc≠ 0
. x4-10x3-2(a-11x2)+2(5a+6)x+2a+a2=0
9x8 + 84x6 + 126x4 + 36x2 + 1
9a8 + 84a6 + 126a4 + 36a2 + 1
. a. 8
+x.
=0
x + 36x6 + 126x4 + 84x2 + 9
a8 + 36a6 + 126a4 + 84a2 + 9

8/ Giải các phương trình sau :
ο 23+7x2-28x+12=0
ο x4+x3-7x2-x+6=0

ο (x+2)4+x4=82
ο (x+4)4=2(2x+13)3+50(2x+13)
ο x4-5x2-2x+3=0
ο (x2-2x+2)4-20x2(x2-2x+2)2+64x4=0
ο x8+2x6-12x4-13x2+42=0
ο (x3+9x2+23x+15)(x+7)=9
ο 9(x3+18x2+107x+210)=24x
ο x4+4x3+3x2+2x-1=0
ο x4+2x3+2x2=x2+2x+1
9/ Giải các phương trình sau đây:
♥ 36(x2+11x+30)(x2+11x+31)=(x2+11x+12)(x2+9x+20)
(x2+13x+42)
1
1
1
1
+ 2
+ 2
=
♥ 2
x + 9x + 20 x + 11x + 30 x + 13x + 42 18
4x2 + 16
3
5
7
♥ 2
− 2
= 2
+ 2
x + 6 x +1 x + 3 x + 5

10/ Giải các phương trình sau :
643=(x-2)3+(3x+2)3
(x2+1)3+(1-3x)3=(x2-3x+2)3
25200 − x4
2x2+5x+1960=
x
11/ Giải phương trình đối xứng sau:
2x4+3x2-16x2+3x+2=0
x7-2x6+3x5-x4-x3+3x2-2x+1=0


12/ Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau :
∇ x5=x4+x3+x2+x+2
∇ 3x3+5y3=26
∇ x4+2y4+3x2y2+3x2+5y2=14
∇ x4+x2+6=y4
∇ x4=y2(y-x2)
∇ x4+x2+1=y2
∇ x3-y3-2y2-3y-1=0
∇ y3-x3=2x+1
∇ x4-y4+z4+2x2z2+3x2+4z2+1=0
∇ x4+x2+4=y2-y
13/ Giải hệ :
∇ x2-4x2y2+5y2=169
∇ 3x4+2y4+y4+4x2y2+2x2y2=26-2x2y2
∇ 6x3+z3-15x2z=3x2y2z-(y2+5)3
∇ (x2+4y2+28)2=17(x4+y4+14y2+49)
14/ Tìm nghiệm nguyên không âm của phương trình :
x3y3-4xy3+y2+x2-2y-3=0

15/ Giải các hệ phương trình sau :
 x3 + y3 = 7
⊕ 
 xy(x + y) = −2
 x + y + xy = 5
⊕  4 4 2 2
x + y + x y = 7
4
4
 x + y = 17
⊕  2 2
 x + y + xy = 3
2
2
3xy − x − y = 5
⊕  2 2 4 4
 7x y − x − y = 155
2
2
(x + y )xy = 78
⊕  4 4
 x + y = 97
3
2
2
3
 x − xy − yx + y = 3
⊕  3
2
2

3
 x + xy + yx + y = 15
2
 x + 3y = 9
⊕  4
2
 y + 4(2x − 3)y − 48y + 48x + 155 = 0
4
2 2
4
 x − 2x y + 3y = 9
⊕  4
2 2
4
 x − 4x y + 5y = 5
3
3
 x + y = 1
⊕  2
2
3
 x y + 2xy + y = 2
3
3
 x + y = 1
⊕  5 5
2
2
 x + y = x + y

2x3 9y3 = (x y)(2xy + 3)
2
2
x xy + y = 3
x3 + y2 = 2
2
2
x + xy + y y = 0
x2y2 2x + y2 = 0
2
3
2x 4x + 3+ y = 0



x4 + y4 = 2
3
2
2
x 2x + 2x = y
x3y = 9

3x + y = 6

16/Giaỷi caực heọ phửụng trỡnh 3 aồn sau :
x + y + z = 1
2 2 2
x + y + z = 1
x3 + y3 + z3 = 1

y + 2 = (3 x)3

(2z y)(y + 2) = 9+ 4y
2 2
x + z = 4x
z 0

y3 9x2 + 27x 27 = 0
3
2
z 9y + 27y 27 = 0
x3 9z2 + 27z 27 = 0

2x2
x2 + 1 = y

3y2
=z
4 2
y + y +1

4z4
=x
6 4 2
z + z + z +1
x + y = z
3 3 3
x + y = z
18/ Giaỷi heọ :

4 2 698
x + y =
81

x2 + y2 + xy 3x 4y + 4 = 0

19:Gổai phửụng trỡnh nghieọm nguyeõn:
1.
x2 + (x+1)2 = y4 + (y+1)4
2.
1 + x + x 2 + x3 + x 4 = y2
3.
1 + x + x 2 + x3 = y 3


x6 + 3x2+ 1 = y4
(x-2)4 - x4 = y3
6.
1 + x + x 2 = y2
7.
x2 +(x+y)2 = (x+90)2
8.
xy + 1 = z (x,z,y:nt)
9.
+ y4 + z4 + t4 = 4xzyt
10.
2(x+2x + 2z + 2y = 2336
11.
3(x2 + xy + y20) = x + 8y
12.

x2 + y2 + z2 + t2 = 2xzyt
13.
x4 y) + xy = x2+y2
14.
x^6 + x3y = y3 + 2y2
15.
2 x = x2
16.
x2 + y2 + z2 + 3(x+y+z) + 5=0
17.
30(xyz + xy + yz + zt + 1) = 40(xz+t+x+z)
18.
x3 + y3 = 3xy + 3
19.
x30(x30 + y4) = y2004
20.
x3 + 13y2 + 4xy = (yz)2
20:Chứng minh phương trình sau không có nghiệm nguyên:
3x5 –x3 +6x2 –18x =2004
4.
5.

21:Giải phương trình:
a) a4+b4+c4+d4=4abcd
b) a4+b4=32(với a+b=4)
c) 8(a3+b3)=2(a3+b3) (a,b ≥ 0)
d) a8+b8+c8= a2b2c2(ab+bc+ac)
e) a4+b4+c4= abc(a+b+c)
22: Giải các phương trình :
a)

x 3 35− x3 (x + 3 35− x3 ) = 30
b)
x3+1=2 3 2x − 1
23:Giải phương trình
2000 x 4 + x 4 x 2 + 2000 + x 2
= 2000
1999
Gợi ý: Đặt a=2000(khi đó a>1) , và đưa về phương
trình dạng tích
a/

b/

) (

(

5

x2 + 1 − x +

x2 + 1 + x

)

5

= 123

Gợi ý :

Đặt u= x 2 + 1 − x ; v= x 2 + 1 − x , khi đó dễ thấy uv=1 , đưa
phương trình về dạng
u5+v5=123
c/ 21 − 13x 4 + 19 x 2 = (6 x 2 + 28) x 2 − 1
d/

3

Gợi ý : Đặt điều kiện x ≥ 1 , ta đặt t= x 2 − 1 ≥ 0
−x −1 = 1 − x + 2
Gợi ý :
Đặt y= 3 − x − 1

e/ x 3 35 − x 3 ( x + 3 35 − x 3 ) = 30
Gợi ý : Đặt y=

3

35 − x

Bài 24 : Giải phương trình trên N


x2+y3=y6
Bài 25 : Giải phương trình trên Z
x2+y3=y6
Bài 26 : Giải phương trình trên R
a/ x5-x=0
b/ x7-14x5+49x3-36x=0
Bài 27 : Giải hệ phương trình :

 x 3 − 3x 2 y − xy + 2 x − 2 = 0
 3
2 2
2
 x y − 3 x y − xy + 2 xy + x − 2 y − 2 = 0

Tìm hai chữ số cuối của các số :
C=2999
D=3999
14
E= 14(14 )
Chứng minh rằng trong biểu diễn th65p phân của chúng :
a/ Các số an và an+4 có cùng chữ số hàng đơn vò
9
9
b/ Các số 99 và 999 có hai chữ số cuối cùng giống nhau