PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN TRỰC TIẾP TRONG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG PHI TUYẾT LUẬN VĂN TOÁN HỌC

 

ĐI HC QUC GIA THÀNH PH H CHÍ MINH
TRƯNG ĐI HC KHOA HC T NHIÊN
KHOA TOÁN-TIN HC
————oOo————
Tiu lun tt nghip
Chuyên ngành Gii Tích 

PHƯƠNG PHÁP BIN PHÂN TRC
TIP TRONG PHƯƠNG TRÌNH ĐO
HÀM RIÊNG PHI TUYN

SINH VIÊN THC HIN : NGUYN QUANG HUY
GING VIÊN HƯNG DN : GS.TS DƯƠNG MINH ĐC
GING VIÊN PHN BIN : GS.TS ĐNG ĐC TRNG

THÀNH PH H CHÍ MINH
2012


 

ii 

LI CM ƠN
Li đu, tôi xin dành li cm ơn đn các thy, cô khoa Toán hc đã ging dy cho
tôi sut bn năm đi hc. Đc bit là các thy Đng Đc Trng, Huỳnh Quang Vũ,
Nguyn Thành Long đã dành cho tôi nhiu s quan tâm. Và li cm ơn sâu sc nht
xin đưc gi đn GS. Dương Minh Đc, ngưi thy đã dy tôi t ngày hc đu tiên,
đã truyn cho tôi nim yêu Toán, hưng dn tôi t nhng bưc đu tiên trong hc

và nghiên cu Toán. Cm ơn thy vì đã b nhiu thi gian đ hưng dn tôi hoàn
thành tiu lun tt nghip này.
Tôi xin gi li cm ơn chân thành đn GS. Đng Đc Trng, ngưi thy luôn giúp
đ, đng viên tôi và đã nhn li làm phn bin cho tiu lun.
Sau cùng, tôi mun cm ơn gia đình và nhng ngưi bn đã bên tôi, ng h, giúp
đ tôi mt này, mt khác trong hc tp và cuc sng.

Thành ph H Chí Minh ngày 2 tháng 7 năm 2012
Nguyn Quang Huy.


 

iii 

LI GII THIU
Phương trình đo hàm riêng là mt chuyên ngành đã và đang phát trin mnh
m, đóng vai trò quan trng v mt lý thuyt cũng như ng dng. Xét v mt cu
trúc, các phương trình đo hàm riêng tuyn tính đã đưc nghiên cu khá kĩ lưng.
Tuy nhiên, s hiu bit ca chúng ta v các bài toán phi tuyn còn rt hn ch. Đi
vi các phương trình phi tuyn, da vào đc đim ca mi lp phương trình, ngưi
ta đưa ra mt phương pháp hu hiu đc trưng đ gii chúng. Trong s đó,  phương 
pháp bin phân  là
 là mt công c mnh, đt đưc nhiu kt qu sâu sc. Mc đích ca
tiu lun này là trình bày v mt phương pháp c th trong phép tính bin phân, đó
là  phương pháp bin phân trc tip. C th, các ni dung chính ca tiu lun đưc
b cc như sau:
•   M đu v phương pháp bin

phân trc tip: trong phn này

này,, tác gi trình bày
v ý tưng chính ca phương pháp bin phân trc tip: đưa mt bài toán gii
phương trình v mt bài toán cc tr. Sau đó, đưa ra "cu trúc bin phân" cho
mt lp rng các bài toán thưng gp và sau cùng là các ví d minh ha.

•  Các

đnh lý tn ti cc tiu và ng dng: trong phn này, tác gi trình bày
hai đnh lý v s tn ti cc tiu ca phim hàm. Sau đó, áp dng các đnh lý
này đ gii các bài toán như sau: phương trình elliptic suy bin, bài toán phân
hoch cc tiu siêu mt, bài toán siêu mt cc tiu trong đa tp Riemann, bài
toán giá tr riêng th nht ca toán t p-Laplace, bài toán biên elliptic na
tuyn tính.

Ni dung chính ca tiu lun đưc trình bày da vào các tài liu [Ev97
liu  [Ev97]] và [St96
và [St96]]
đc bit là [St96]
[St96],, mt quyn
quyn sách chuyên
chuyên kho ni ting v phép tính bin phân ca
tác gi Michael Struwe. Công vic ch yu ca tác gi tiu lun là đc hiu, trình
bày chi tit mt s kt qu, chng minh trong chương 1, quyn
quyn [[St96]
St96].. Qua tiu lun
này,, tác gi hc đưc mt s kĩ thut
này
thut cơ bn ca phương pháp bin phân trc tip
trong phương trình đo hàm riêng, c th là đưa mt mt phương trình v dng bin
phân, sau đó áp dng các đnh lý tn ti cc tiu đ chng minh s tn ti nghim;

 

iv 

ngoài ra còn có kĩ thut áp đt ràng buc đ đưa v trưng hp mu mc. Dù đã rt
c gng trong quá trình đc hiu cũng như trong khâu trình bày nhưng tiu lun hn
vn còn nhng sai sót không tránh khi. Tác gi mong nhn đưc s nhn xét, đóng
góp t các thy và các bn đ tiu lun này đưc hoàn thiên hơn.


 

Mc lc
1 Kin
Kin th
thcc chu
chun
n b
 
1.
1.11 Không
Không gian
gian Sobol
Sobolev
ev  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Phép tính
tính vi
vi phân tron

trongg không
không gian đnh
đnh chu
chun
n   . . . . . . . . . . . .

2
2
4

2 M đu v
v phương
phương pháp
pháp bin
bin phân
phân trc
trc tip
 
2.
2.11 Ý tư
tưn
ngg cơ bn
bn   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Bin phân cp
cp mt,
mt, phương
phương trình Euler-Lagran
Euler-Lagrange
ge   . . . . . . . . . . .

7
7
8

3 Các đnh
đnh lý tn
tn ti
ti cc tiu
tiu và
và ng
ng dng
dng
3.1 S tn
tn ti
ti cc
cc tiu
tiu ca phi
phim
m hàm
hàm   . . . . . . . . . . .
3.2 Phương
Phương trìn
trìnhh el
ellip
liptic
tic suy bin
bin   . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Bài toán
toán phân
phân hoc

hochh cc tiu
tiu siêu
siêu mt
mt   . . . . . . . . .
3.4 Bài toán
toán siêu
siêu mt cc tiu
tiu tron
trongg đa tp
tp Riemann
Riemann   . . .
3.5 Mt kt
kt qu
qu tng
tng quát
quát v
v s na lliên
iên tc
tc dưi
dưi   . . . . .
3.6 Bài toán
toán giá
giá tr riên
riêngg th nht
nht ca toán
toán t p-La
p-Lapla
place
ce   .
3.7 Bài toán

toán biên
biên ellipt
elliptic
ic na
na tuyn
tuyn tính
tính   . . . . . . . . . .
Tài liu tham kho

 

1

 
.
.
.
.
.
.
.

11
. . . . . . . 11
. . . . . . . 16
. . . . . . . 20
. . . . . . . 24
. . . . . . . 31
. . . . . . . 36
. . . . . . . 38

43


 

Chương 1
Kin thc chun b
Trong chương này, ta trình bày các khái nim và kt qu quan trng s đưc s 
dng trong trong các phn tip theo ca tiu lun.

1.11 Kh
1.
Khôn
ôngg gi
gian
an So
Sobol
bolev
ev
Cho   Ω ⊂ RN  là mt tp m và cho   p ∈ R  vi   1 ≤  p  ≤ ∞.

Đnh nghĩa 1.1.  Ta đnh nghĩa không gian Sobolev   W 1

,p

(Ω)  b
 bii

W 1,p (Ω) =  { u ∈  L p (Ω) |uxi   ∈  L p (Ω) , i  = 1,...,N } .

 

(1.1)

Trong đó, ta kí hiu   . p  là chun thông thưng trong không gian   L p (Ω)   vi
1  ≤  p  ≤ ∞.

Đnh lý 1.1.   W 1

,p

(Ω)  vi chun 

  
N 

u1,p   =

u p p +

1
p

nu   1  ≤  p < ∞

uxi  p p

i=1

và 

u1,∞  = max {u∞ , ux1 ∞ , ux2 ∞ ,..., uxN ∞}   nu   p  =  ∞

là không gian Banach.  W 1,p(Ω) phn x nu và ch nu   1 <
1  < p <  ∞. Hơn na,  W 1,2 (Ω)
là không gian Hilbert kh ly vi tích vô hưng sau đây 
N 

(u, v )1,2  = (u, v )L2  +

2

(uxi , vxi )L2 .


i=1


 

1.1 Không gian Sobolev

3  

(Xem Mnh đ 9.1, [Br10]
[Br10]).
).

Đnh lý 1.2.  (Bt đng thc Poincaré)  Gi s   1  ≤  p < ∞   và   Ω  b chn. Khi đó 
tn ti mt hng s   C   =  C (Ω,

(Ω, p)  sao cho
(Ω)..
u p  ≤  C ∇u p ,   ∀u  ∈  W 01,p  (Ω)

Đc bit,   ∇u p  là mt chun trong   W 01,p  (Ω)  và nó tương đương vi chun   u1,p .

(Xem H qu 9.19, [Br10
[Br10]).
]).

Đnh lý 1.3.   Cho   f  là hàm trơn tng khúc trên   R   vi   f  ∈  L ∞(R). Khi đó nu 
u  ∈  W 1,p (Ω)  thì   f  ◦ u  ∈  W 1,p (Ω). Hơn na, kí hiu  L
 L  là tp các đim góc ca  f 
 f , ta có 
D(f   ◦
◦ u) =







f  (u)Du   nu   u ∈
/  L,

 

0

(Xem Đnh lý 7.8, [Tru83
[Tru83]).
]).

H qu 1.1.   Cho   u ∈  W 1

,p

nu   u ∈  L.

(Ω)  khi đó   |u| ∈  W 1,p (Ω)   và 
Du   nu   u >  0
 0,,

D(|u|) =

0

 

nu   u  = 0,

 0..
−Du   nu   u < 0

Đnh nghĩa 1.2.  Ta đnh nghĩa

(i)   H 1,p (Ω)  là đy đ hóa ca  { u ∈  C 1 (Ω) :  u1,p  <  ∞}  trong   W 1,p (Ω).
(ii)   W 01,p  (Ω)  là đy đ hóa ca   C c∞  (Ω)  trong   W 1,p (Ω).

Đnh lý 1.4.  (Meyers và Serrin)   Vi   1 ≤  p < ∞   thì   H 1

,p

(Ω) = W 
=  W 1,p (Ω).

Do kt qu này,
này, ta s s dng không phân bit  H 1,p (Ω) v
 vàà W 1,p (Ω) nu 1  ≤  p < ∞.
Đôi khi ta kí hiu   H 01,p  (Ω)  thay cho   W 01,p  (Ω). Vi   p   = 2, ta thưng kí hiu   H 1 (Ω)
thay cho  W 1,2 (Ω)  và   H 01 (Ω)  thay cho   W 01,p  (Ω).
Đnh lý sau đây đóng vai trò cc kì quan trng trong lý thuyt v không gian Sobolev
cũng như trong phương trình đo hàm riêng:


 

1.2 Phép tính vi phân trong không gian đnh chun

4

 Ω  m, b chn và thuc lp   C 1. Khi đó,
Đnh lý 1.5.   (Rellich-Kondrakov) Gi s  Ω

ta có các phép nhúng compact sau:
W 1,p (Ω)
(Ω)  → L q (Ω)
(Ω),, ∀q   ∈
 [1,, p∗ ),   nu  p

  p < N,
∈  [1

 

(1.2)

W 1,p (Ω)
(Ω)  → L q (Ω)
(Ω),, ∀q   ∈
 [ p, ∞),   nu   p  = N
 =  N,,
∈  [ p,

 

(1.3)

W 1,p (Ω)
(Ω)  → C 
 C (Ω)
(Ω),,   nu  p
  p > N,

 

(1.4)
(1.5)

  1  1   1

  =  − .
 p∗  p N 
Đc bit, phép nhúng   W 1,p (Ω)
).
(Ω)  → L p (Ω)  compact vi mi   p  (và mi   N ).

trong đó 

(Xem Đnh lý 9.16, [Br10
[Br10]).
]).

1.2 Phép tính vi phân trong không
không gian đnh chun
chun
(Xem chương 7, [Duc05
[Duc05]).
]).
Trong phn này, ta qui ưc   (E, , E ), (F, .F )  là các không gian đnh chun và
D  là mt tp m trong   E .

Đnh nghĩa 1.3.   Cho f  là
 là ánh x t   D
D  vào F ,  e  là mt vector trong  E  và
 và x  ∈  D .
Ta nói
(i)   f  có
  có đo hàm riêng theo hưng   e  ti   x  là

  ∂f 

(x)  nu và ch nu

∂e
f 
f ((x + te)
te) − f 
f ((x)   ∂f 
 
=
(x).
lim
t→0
t
∂e

(ii)  f  kh vi theo hưng   ti  x  nu  f   có đo hàm riêng theo hưng theo mi hưng ti
x  và tn ti ánh x tuyn tính   Df 
Df ((x)  t   E   vào   F  sao
  sao cho
∂f 
(x) =  Df 
 Df ((x)(
)(ee),   ∀e  ∈  E .
∂e

(iii)   f  kh
  kh vi theo hưng trên   D  nu   f  kh
  kh vi theo hưng ti mi đim   x  ∈  D .
  kh vi Gâteaux   ti  x  nu   f  kh

(iv)   f  kh
  kh vi theo hưng ti   x  và  D
 Df 
f (x)  liên tc.

(v)   f  kh
  kh vi Gâteaux trên  D  nu   f  kh
  kh vi Gâteaux ti mi đim  x  ∈  D .


 

1.2 Phép tính vi phân trong không gian đnh chun

5 

(vi)   f  kh
  kh vi Fréchet   ti   x  nu có mt ánh x   φ  t mt qu cu m   B (0
(0,, δ )  trong   E 
vào F  sao cho   B (x, δ )  ⊂  D ,   limh→0 φ(h) = 0  và
f (x + h) − f 
f ((x) =  D
 Df 
f (x)(
)(h
h) + h φ(h),   ∀h  ∈  B(0
 B (0,, δ ).

(vii)f  kh
  kh vi Fréchet trên  D  nu   f  kh

  kh vi Fréchet ti mi đim   x ∈  D .
(viii)   f   liên tc kh vi Fréchet trên   D   nu   f  kh vi Fréchet trên   D  và ánh x
x  → D
 Df 
f (x)  liên tc t   D
D  vào  L (E, F )
F ), không gian các ánh x tuyn tính liên tc t 
E   vào  F .

Đnh lý 1.6.   Cho   f, g  là 2 ánh x t   D   vào   F  và cho   α ∈ R. Gi s   f   và   g   kh 
vi Gâteaux (ln lưt Fréchet) ti mt đim  x
 x  ∈  D . Lúc đó  f 
 f  +
 + g  và  αf 
 αf  kh vi Gâteaux 
(ln lưt Fréchet) ti   x. Hơn na,
D(f   + g)(
)(x
x) =  Df 
 Df ((x) + Dg
+  Dg((x)  và    D(αf 
αf )(
)(x
x) =  αD
 αDf 
f (x).

  là mt ánh x t tp con   A  c
 ca
a   E   vào   R  và   a  là mt

Đnh nghĩa 1.4.   Cho   f  là
đim trong   A. Ta nói
(i) f  đt
 đ t cc tiu (ln lưt cc đi, cc tr) ti a nu f (
 f (x)  ≥  f (
 f (a) (ln lưt f (
 f (x) ≤  f (
 f (a),
f  đt
  đt cc đi hoc cc tiu ti   a) vi mi   x  ∈  A . Lúc đó   a đưc gi là mt cc tiu
(ln lưt cc đi, cc tr) ca   f  trên
  trên   A.
(ii)f  đt
  đt cc tiu đa phương (ln lưt cc đi đa phương, cc tr đa phương) ti   a
nu có mt s thc dương  r  sao cho  f 
 f ((x)  ≥  f 
 f ((a) (ln lưt  f (
 f (x)  ≤  f (
 f (a),  f  đt cc đi
đa phương hoc cc tiu đa phương ti   a) vi mi   x  ∈  A ∩ B (a, r). Lúc đó   a  đưc
gi là mt cc tiu đa phương (ln lưt cc đi đa phương , cc tr đa phương) ca
f  trên
  trên  A .
(iii) a là mt đim ti hn ca  f  nu
 nu  A m, f  kh
 kh vi theo hưng ti a v
 vàà Df 
 Df ((a)(
)(h
h) = 0

vi mi   h trong   E .
Đnh lý sau cho ta mt điu kin cn đ mt đim là đim cc tr.

Đnh lý 1.7.   Cho   f  là hàm s thc trên tp con m   D   ca   E  và
  và đt cc tr đa 
phương ti   a  ∈  D  và cho   h  là mt vector trong   E . Khi đó nu   f  kh
  kh vi theo hưng   h
ti   a  t thì 
hì   ∂f  (a) = 0.
∂h


 

1.2 Phép tính vi phân trong không gian đnh chun

6 

Đnh lý sau là mt công c hu ích trong phương trình đo hàm riêng.

Đnh lý 1.8.  (Nhân t Lagrange)   Cho   Ω  là mt tp m trong không gian đnh 
chun   E   và   f, g  là hai hàm s liên tc kh vi Fréchet trên   Ω. Đt   M 
M    =   {x   ∈   Ω :
g (x) = 0}. Gi s có   a  ∈  M  sao cho   f (a)  là mt cc tr ca   f (M )   và   Dg
Dg((a)  không 

đng nht   0. Khi đó có mt s thc   λ  sao cho
Df ((a) =  λDg
Df 
 λDg((a).

 

Chương 2
M đu v phương pháp bin phân
trc tip
Trong chương m đu này
này,, ta trình bày mt s khái nim và ý tưng chính ca phương
pháp bin phân và đc bit là phương pháp bin phân trc tip.

2.1 Ý tưng cơ bn
Gi s rng ta đang làm vic trên mt không gian Banach ( (E,
E, .),  M  là tp con m
ca   E  và
 và ta mun tìm li gii ca phương trình
F (
F (u) = 0,

 

(2.1)

trong đó   F  là mt ánh x t   M   vào  L(E, F )
F ), không gian các ánh x tuyn
tuyn tính t 
E   vào  F . Nu tn ti mt phim hàm   J  kh
  kh vi theo hưng trên   M  sao
  sao cho   DJ 
DJ    =  F 

thì ta nói phương trình (2.1
(2.1)) có dng bin phân và gi (2.1
( 2.1)) là  phương trình EulerLagrange  liên
  liên kt vi phim hàm   J . Trong trưng hp này, ta vit phương trình 2.1
trình  2.1
li dưi dng
DJ ((u) = 0,
DJ 
 
(2.2)
tc là u  là nghim ca (2.1
(2.1)) khi và ch khi  u là đim ti hn (critical point) ca phim
hàm   J . Ta gi   β   ∈   R  là mt  giá tr ti hn (critical value)  c
 caa   J  nu
  nu tn ti   u ∈  E 
sao cho  D
 DJ 
J (u) = 0 và  J (
 J (u) =  β . Ngưc li, ta nói  β  là mt  giá tr chính qui (regular 
7


 

2.2 Bin phân cp mt, phương trình Euler-Lagrange

8 

value). Như ta đã bit, nu  J  đt
 đt cc tiu (cc đi) đa phương ti u0 thì  DJ 

 DJ ((u0 ) = 0,

tc   u0  là mt nghim ca (2.1
(2.1).
). Như vy, ta có th đưa vic nghiên cu li gii ca
(2.1)
2.1) v vic nghiên cu s tn ti cc tiu (cc đi) ca phim hàm   J . Đây chính
là ni dung ca phương pháp bin phân trc tip. Phương pháp này hu hiu trong
vic chng minh s tn ti nghim "yu" ca nghim phương trình đo hàm riêng,
sau đó ta cn lý thuyt chính qui hóa, đ nu có th, chng minh nghim "yu" thu
đưc cũng là nghim "c đin" ca bài toán.

2.2 Bin phân cp mt, phư
phương
ơng trình Euler-Lag
Euler-Lagrang
rangee
Gi s  Ω
 Ω  là mt min m, b chn trong
trong   RN  vi biên  ∂ Ω trơn. Ta xét mt lp các bài
toán bin phân thưng gp sau đây. Cho trưc hàm
L  :

N 

R

× R × Ω  → R

ta gi   L là hàm Lagrange. Ta s dùng các kí hiu sau

L = L
 =  L(( p, z, x) =  L(
 L ( p1 ,...,pN , z , x1 ,...,xN )

và

 




D p L  = (L p1 ,...,L pN )

 =  L z
Dz L  = L
Dx L  = (Lx1 ,...,LxN  )

By gi, ta xét các phim hàm có dng sau
J (w) =

 

 

L(Dw
Dw((x), w(x), x)dx

(2.3)

Ω

vi  w  : Ω → R  là hàm trơn, có giá tr trên biên đưc cho trưc:
w  = g
 =  g  trên  ∂ 
 ∂ Ω
Ω.

 

(2.4)

Gi s rng u  là mt hàm trơn tha (2.4
( 2.4)) và cc tiu  J  trong
 trong s các hàm  w  tha (2.4
(2.4).
).
Khi đó ta s chng minh rng   u là nghim ca mt phương trình đo hàm riêng phi


 

2.2 Bin phân cp mt, phương trình Euler-Lagrange

9 

tuyn mà ta gi là phương trình Euler-Lagrange liên kt vi phim hàm   J . Ly   v  là
mt hàm trơn bt kì, i.e,   v  ∈  C c∞  (Ω). Xét hàm bin s thc sau
i(t) =  J (
 J (u + tv)
 tv ),

 

∀t  ∈ R.

Vì   u  là cc tiu ca   J   và   u + tv
 +  tv   =   g  trên   ∂ Ω  vi mi   t   ∈   R   nên   i  đt cc tiu ti
t  = 0, kéo theo   i (0) = 0. Ta tính c th

 
 
N 



i (t) =

L pj (Du + tDv,u + t
 tv,
v, x)vxj   + Lz (Du,u,x
Du,u,x))vdx.

Ω  j =1

Vy,

N 



i (0) =

L pj (Du,u,x
Du,u,x))vxj   + Lz (Du,u,x
Du,u,x))vdx
vdx =
 = 0.

Ω  j =1

Áp dng công thc tích phân tng phn, đ ý rng  v  có giá compact trong  Ω , ta thu
đưc

  



N 

−

Ω

Du,u,x)) vdx
vdx =
 = 0.
Du,u,x))xj   + Lz (Du,u,x
(L pj (Du,u,x

 j =1

Đng thc trên đúng vi mi hàm  v  trơn nên ta suy ra  u  là nghim ca phương trình
đo hàm riêng có cu trúc divergence sau:
N 

−



Du,u,x)) = 0.
Du,u,x))xj   + Lz (Du,u,x
(L pj (Du,u,x

 

(2.5)

 j =1

Đây chính là phương trình Euler-Lagrange mà ta cn tìm.
Ta nêu ra mt s ví d v phương trìnhN  dng bin phân. Trong các ví d sau, ta gi
s   Ω  là mt min m, b chn trong   R .

Ví d 2.1.  (Nguyên lý Dirichlet) Xét
 1 2
L( p, z, x) = | p
 p| .
2

Khi đó   L p   =  p i , Lz   = 0, vì vy phương trình Euler-Lagrange

Euler-Lagrange liên kt vi phim hàm
i

J (w) =

 

1
|Dw |2dx
Ω 2

chínhh là phương trình Laplace:
chín
Laplace:
∆u  = 0.

 

(2.6)


 

2.2 Bin phân cp mt, phương trình Euler-Lagrange

10  

Ví d 2.2.  (Nguyên lý Dirichlet m rng) Cho  ( (aa

i,j

(x))1≤i,j ≤N  là ma trn thc đi

xng vi mi   x ∈  Ω  và  f  là mt hàm thc trên   Ω. Đt
L( p, z, x) =

Khi đó,  L p   =
phim hàm
i



N 
 j =1

N 

 1

ai,j (x) pi p j  − zf .

2 ii,j,j =1


  


ai,j p j , Lz   =  − f , vì vy phương trình Euler-Lagrange liên kt vi
N 

1
ai,j (x)uxi uxj   − ufdx
J (u) =
Ω 2 i,j =1

là

N 

 

ai,j (x)(
)(u
uxi )xj   =  f.
 f .

−

(2.7)

i,j =1

Ta thy (2.7
(2.7)) là phương trình tuyn tính cp hai dng divergence.
f    :   R   →   R, đnh nghĩa nguyên hàm ca nó bi
 Cho mt hàm trơn   f 
Ví
d
2.3.
f ((x)dx. Khi đó, phương trình Euler-Lagrange liên kt vi phim hàm

F ((z ) =   f 
F 

 
z

0

J (w) =

 
Ω

là phương trình Poisson
Poisson phi tuyn
tuyn

1
F ((w)dx
|∇w|2 − F 
2

 =  f ((u).
−∆u  = f 

Ví d 2.4.   Đt
1

L( p, z, x) = (1 + | p
 p|2 ) 2 .

Khi đó, phim hàm Lagrange tương ng
J (w) =

 

1

(1 + |Dw |2 ) 2 dx

Ω

chính là din tích ca đ th hàm   w   : Ω   →   R. Và phương trình Euler-Lagrang
Euler-Lagrangee liên
kt là
N 
  ux
  Du
= 0.
 
(2.8)
=
div
1
1
2
2



(1 + |Du| ) 2

 
i=1

i

(1 + |Du| ) 2



xi

Ta gi (2.8
(2.8)) là phương trình mt cc tiu. Biu thc  v trái ca ((2.8
2.8),
), theo đnh
nghĩa, là   n  ln  đ cong (curvature)  c
 ca
a   u. Vy mt cc tiu là mt có đ cong bng
0.


 

Chương 3
Các đnh lý tn ti cc tiu và ng
dng
3.11 S t
3.

tnn tti
i cc
cc tiu
tiu ca
ca pphi
him
m hàm
hàm
Trong phn này, ta nghiên cu s tn ti cc tiu đa phương ca các phim hàm
và đưa ra nhng điu kin đ đ mt phim hàm b chn dưi và đt đưc cc tiu
ca nó. Các kt qu này không đòi hi đn tính kh vi ca phim hàm cũng như 
nhng điu kin nghiêm ngt v cu trúc không gian nn ca các hàm chp nhn
đưc.

Đnh lý 3.1.   Cho   M  là mt không gian topo Hausdoff và gi s   E 
E    :   M   →
R

∪ {+∞}  tha mãn:

Vi mi   α  ∈ R, tp mc dưi 
K α   =  {u  ∈  M 
 M    :  E (u)  ≤  α }

 

(3.1)

à tp compact.

 
l 

Khi đó   E  b
  b chn dưi trên   M  và đt đưc cc tiu ca nó trên   M .

(3.1)) đưc làm rõ bi các ví d đơn gin sau: hàm
Chú ý 3.1.  S cn thit ca (3.1
s   E (x) = x 2 nu   x ∈  [ −1, 1] \ {0},   = 1  nu  x =
 x  = 0  hay hàm   E (x) =  exp
 exp((x) trên   R là
nhng hàm b chn dưi nhưng không có giá tr nh nht. Đ ý vi trưng hp th 
11


 

3.1 S tn ti cc tiu ca phim hàm

12  

nht  K 14 = [− 12 , 0) ∪ (0,
(0,   12 ] không là tp compact, còn vi hàm th 2 thì  K e   = (−∞, 1]
cũng không là tp compact.
Chng minh.

1. Chng minh   E  b
 b chn dưi.
Nu   E  không
  không b chn dưi thì vi mi s t nhiên   n tn ti   un  ∈  M  sao cho

E (un ) ≤ −n.

Khi đó
un  ∈  K −n  ⊂  K 0 ,   ∀n  ∈ N.

Vy ta có dãy   (un)  ⊂  K 0  mà  K 0  compact nên tn ti dãy con   (un )  sao cho
k

unk   → u  ∈  K 0 .

Vì   E (u)   > E (u) − 1  nên   u   ∈   M \K E 
E (u)−1 . Mà   M \K E 
E (u)−1  là tp m nên tn ti   k0
sao cho
unk   ∈ M \K E
E  (u)−1 ,   ∀k  ≥  k 0

hay
E (unk )  > E (u) − 1,   ∀k  ≥  k0 .

Cho   k  → ∞ ta có  E 
 E ((u) =  −∞, vô lý.
2. Chng minh   E  đt min trên   M .
Đt  a  = inf M 
  sao cho
M  E   ∈ R, ly dãy   (vn )  trong   M  sao
lim E (vn ) =  a.

n→∞

C đnh mt   b > a thì tn ti   n0  sao cho
E (vn ) ≤  b,   ∀n > n0 ,

hay v n  ∈  K b ,   ∀n > n0 . Vì  K b  compact nên  (v
 ( vn ) có mt dãy con hi t v mt đim  v
trong  K b . Vi  c  bt kì ln hơn  a  thì dãy con nói trên s nm hn trong K c  t mt ch


 

3.1 S tn ti cc tiu ca phim hàm

13  

s nào đó tr đi nên  v  cũng là đim dính ca   K c , do đó nm trong  K c  (do  K c  đóng).
Vy
v  ∈
K c ,
 
(3.2)
c>a

suy ra



E (v )  ≤  c,   ∀c > a.

Vy   E (v)  ≤  a  và do đó   E (v) = a , ta có đpcm.

Nhn xét 3.1.
(i) Nu E  tha
 tha mãn đu kin (3.1
(3.1)) thì khi đó vi mi  β , tp K β   =  {u ∈  M 
 M    :  E (u)  > β }
m nên   E  na
  na liên tc dưi.
(ii) Đnh lý 3.1
lý 3.1 trên
 trên vn đúng vi điu kin gim nh hơn như sau: tn ti  β 0  sao cho
=   ∅  và   K β  compact   ∀β   ≤   β 0 . Tht vy, vi mi   β < α  := inf M  E   thì   K β   =   ∅,
K β0   
nên ta phi có   β 0  ≥  α . Nu   β 0   =  α  thì  E  đt cc tiu ti bt kì   u0  ∈  K α  = K 
 =  K β0   =
  ∅.

Xét trưng hp  β 0   > α, khi đó ta có th dùng li chng minh trên vi K 0  trong phn
1 đưc thay bi   K β0   và (3.2
(3.2)) đưc thay bi
v  ∈



K c .

a
Ta xét mt ví d c th như sau, xét hàm   E   : [0,
[0, ∞)  → R,
x

E (x) =



2

  nu   x  ∈  [0,
 [0 , 1],
1],
 [1 , ∞).
  nu   x  ∈  [1,

Rõ ràng   E  đt
  đt cc tiu ti   x   = 0, E (0)
(0) = 0. Tuy nhiên   K 2   =  { x   ∈   [0,
[0, ∞) :   E (x)   ≤
2}  = [0,
[0, ∞)  không compact. Th nhưng rõ ràng   K 1   = [0,
[0, 1]  compact, khác trng và
K β  compact vi mi   β   ≤
[0, β ]  nu   0 ≤  β  ≤  1 .
≤  1 , c th  K β   =  ∅  nu  β < 0  và   K β   = [0,
(iii) Nu   E  na
  na liên tc dưi và tn ti   β 0  sao cho   K β0   =
  ∅  và   K β0  compact thì   K β
compact  ∀ β   ≤ β 0 , và theo nhn xét (ii), kt lun ca Đnh lý 3.1
lý  3.1 vn
 vn còn đúng.
Đnh lý sau đây có rt nhu ng dng trong phương trình đo hàm riêng:

 

3.1 S tn ti cc tiu ca phim hàm

14

Đnh lý 3.2.   Gi s   V  là không gian Banach phn x vi chun   .   và   M   ⊂ V 
là mt tp đóng yu trong V. Gi s   E   :   M   →   R ∪ {+∞}  coercive và na liên tc 
dưi yu (theo dãy) trên   M , tc là các điu kin sau đưc tha:
(i)   E (u)  → ∞   khi   u → ∞ ,
(ii) Vi mi   u  ∈  M và dãy   un   u  yu trong   V ,   (un )  ⊂  M   thì 
E (u)  ≤  li
 lim
m inf 
inf E (un ).
n→∞

Khi đó   E  b
  b chn dưi trên   M  và đt cc tiu ca nó trên   M .
Chng minh.  Ta gi thit   E  không
  không đng nht   +∞.

1. Chng minh   E  b
 b chn dưi.
Nu   E  không
  không b chn dưi thì vi mi s t nhiên   n tn ti   un  ∈  M  sao cho
E (un ) ≤ −n.

Ta suy ra,

lim E (un ) =  −∞.

n→∞

Khi đó   (un )  b chn, vì nu ngưc li thì ta trích đưc mt dãy con  ( (uun )  sao cho
k

lim unk   =  ∞.

k→∞

theo gi thit   (i)  thì   E (un )  → ∞  mâu thun vi tính cht
k

lim E (un ) =  −∞.

n→∞

Vy (u
 ( un ) b chn, mà  V   phn x nên tn ti mt dã
dãyy con  ( (uun ) sao cho  u n    u ∈  V  .
Vì   M  đóng
  đóng yu nên   u ∈  M . Do   (ii)
ii)  ta có
k

E (u)  ≤  li
 lim
m in
inf 

f E (unk ) =  −∞,
k→∞

Do đó   E (u) = −∞, mâu thun vi gi thit   E   :  M   → R ∪ {+∞}.

k


 

3.1 S tn ti cc tiu ca phim hàm

15  

2. Chng minh   E  đt
  đt min trên   M .
Đt  a  = inf M 
  và dãy   (un )  trong  M  sao cho
M  E  và
lim E (un ) =  a.
n→∞

Tương t như chng minh  E  b
 b chn dưi, ta tìm đưc dãy con  ( (uun ) sao cho  un    u
trong   V . Mà   M  đóng
  đóng yu nên   u ∈  M  và theo   (ii)
ii)  thì
k

k

E (u) ≤  li
 lim
m in
inf 
f E (unk ) =  a.
k→∞

Vy   E (u) =  a, tc là  E  đt giá tr nh nht ti   u.
Nhn xét rng đnh lý trên vn đúng nu ta thay   (ii)
ii)  bi điu kin :Vi mi   u  ∈
M và mi dãy   (un)  ⊂  M ,   un    u yu trong  V  thì tn ti dãy con   (un )  tha
k

km
→∞
E (u) ≤  li
 lim
in
inf 
f E (unk ).

Ví d 3.1.  Mt ví d quan trng v hàm na liên tc dưi yu là hàm chun trong
V . Tht vy, nu  u n   u trong  V  thì

vi mi   f   ∈ V   , không gian đi ngu ca  V  , ta

có
|f, un | ≤ f un ,

Qua gii hn khi   n → ∞  ta suy ra
lim
m inf 
inf un .
|f, u| ≤ f  li
n→∞

Do đó
 lim inf 
inf un .
u   = sup |f, u| ≤  lim
f ≤1

n→∞

Tp li đóng ca không gian Banach là ví d quan trng v tp đóng yu.
Ta trình bày mt ng dng ca Đnh lý 3.2
lý  3.2 trong
 trong lý thuyt ti ưu. Trưc ht ta
có đnh nghĩa sau
  là mt tp con
Đnh nghĩa 3.1.   Cho   (V, .) là mt không gian đnh chun,   K  là
khác trng ca   V . Ta nói   K   là  gn k  nu điu kin sau đưc tha mãn: vi mi
x0  ∈  V  , tn ti   k0  ∈  K  sao
  sao cho
 :  k  ∈  K }.
k0 − x0  = min{k − x0  : k


 

3.2 Phương trình el liptic suy bin

16  

H qu sau cho ta đu kin đ đ mt tp là gn k:

H qu 3.1.   Mi tp li, đóng, khác trng trong
trong không gian Banach phn x là 
gn k.
Chng minh.  Gi s   V 
V  là không gian Banach phn x,  K  là
 là tp li, đóng, khác trng

trong   V . Cho   x0  ∈  V  , ta xét hàm   E   :  K   → R, xác đnh bi
f (x) =  x − x0 .

Theo Ví d 3.1
d  3.1 thì
 thì  f  na liên tc dưi yu,   K  đóng
  đóng yu. Mt khác, ta có
f 
f ((x) =  x − x0  ≥  x − x0 ,   ∀x ∈  K.

nên  f 
 f ((x)  → ∞ nu   x → ∞ . Áp dng Đnh lý 3.2
lý  3.2 ta
 ta kt lun  f  có cc tiu trên  K ,
gi là   k0 . Khi đó
 :  k  ∈  K }.

k0 − x0  = min{k − x0  : k

Điu này chng t  K  là tp gn k.

3.22 Ph
3.
Phư
ương
ơng ttrì
rình
nh el
elli
lipt
ptic
ic su
suyy bi
binn
Đnh lý 3.3.   Cho   Ω  là min b chn trong   R

n

,   p   ∈   [2,
[2, ∞)   và   q  là s mũ liên 

  1  1
 p q 
nghim yu   u  ∈  W 01,p  (Ω)  ca bài toán biên 

hp ca   p, tc là   +   = 1  và   f   ∈  W −1,q (Ω), đi ngu ca   W 01,p  (Ω). Khi đó tn ti 

 

−∇.(|∇u| p−2 ∇u) =  f   trong   Ω,

u  = 0  trên   ∂ Ω,

(3.3)

 

(3.4)

theo nghĩa u tha mãn phương trình:

 



(Ω)..
dx =
 = 0,   ∀ϕ ∈  C c∞  (Ω)
∇u|∇u| p−2 ∇ϕ − f ϕ dx

Ω

 

(3.5)

 

3.2 Phương trình el liptic suy bin

17  

Trưc ht ta chng minh b đ sau đây

B đ 3.1.   Đt
(Ω)..
|∇u| p dx,   ∀u  ∈  W 01,p  (Ω)

h(u) =
Ω

 
 

Khi đó   h liên tc kh vi Fréchet trên   V 
V    =  W 01,p  (Ω)  và
Dh((u)(
Dh
)(φ
φ) =  p

|∇u| p−2 ∇u.∇φdx,   ∀u, φ  ∈  V .

Ω

Chng minh.  C đnh   u  ∈  W 01,p  (Ω), ta chng minh   h kh vi Fréchet ti  u . Đt

T (
T (φ) =  p

 

|∇u| p−2 ∇u.∇φdx,   ∀φ  ∈  V .

Ω

Áp dng bt đng thc Holder ta có
T ((φ)| ≤  p
|T 

 
Ω

|∇u| p−1 |∇φ|dx  ≤  p u pL−p 1  φLp   ≤  p u pL−p 1  φV  .

Vy   T   ∈ L(
 L (V, R).
Dg((s) =  p |s| p−2 s, D 2g (s) =
Đt g(s) = | s| p ,   ∀s ∈ R, ta có g kh vi liên tc cp 2 trên R và Dg
 p(
 p( p − 1)|s| p−2 . Áp dng đnh lý Taylor cho   g  ta có
h(u + φ) − h(u) − T (
T (φ) =

 
  



|∇(u + φ)| p − |∇u| p − p|∇φ| p−2 ∇u.∇φ dx

Ω

 1

=

Ω

(1 − t) p(
 := I 
 p( p − 1)|∇(u + tφ
tφ))| p−2 |∇φ|2dtdx
dtdx :=
 I ((φ).

0

Áp dng bt đng thc Holder (vi các s mũ   p2   và  p  −p 2 ) ta có
|I (φ)| ≤   p( p − 1)

 

(|∇u| + |∇φ|) p−2 |∇φ|2 dx

Ω

≤   p( p − 1)|∇u| + |∇φ| pL−p 2  ∇φL2 p
2
.
≤   p( p − 1)|∇u| + |∇φ| pL−p 2  φV  

I (φ)

= 0. T đó, ta kt lun  h kh vi Fréchet ti  u v
 vàà Dh
 Dh((u)(
)(φ
φ) =
Suy ra rng limφ→0
φV  
T 
T ((φ).


 

3.2 Phương trình el liptic suy bin

18  

Bây gi ta chng minh   Dh  liên tc trên   V . Tht vy, ly  u,
 u, v,φ  ∈  V   vi   φV    ≤  1 ,
áp dng bt đng thc Holder và công thc Taylor ta đưc
 v)) − |∇u| p−2 ∇u ∇φdx
|∇(u + v )| p−2 ∇(u + v

Dh((u + v)(
 v )(φ
φ) − Dh
Dh((u)(
)(φ
φ)|   =   p
|Dh

   
 
 
Ω

≤ p

||∇
∇(u + v )| p−2 ∇(u + v ) − |∇u| p−2 ∇u

Ω

 

  p
p−1

(|∇u| p−2 + |∇v | p−2)|∇v |

≤   C 1

Ω

≤   C 

|∇u|

p(p−2)
p−1

|∇v | p

p

1

−

dx

p−1
p

+ |∇v | p dx

Ω

trong đó   C 1 , C  là
 là các hng s thích hp, không ph thuc vào   u, v.
Li áp dng bt đng thc Holder vi các s mũ   pp−−12   và  p − 1  ta có

 

|∇u|

p(p−2)
p−1

|∇v |

p
p−1

−

p(p 12)
p−
Lp

  v 

≤ u

Ω

Vì vy,




p
p−1

p
L

−

p(p 12)
p−

p

p 1
 .
  ≤ uV     v V  

p(p−2)
p−1

−



p

p 1
Dh((u + v )(
)(φ
φ) − Dh
Dh((u)(
)(φ
φ)| ≤   C  uV     v V  

  + v  pV  
|Dh
−

≤   C  u pV  − 2v V    + v  pV  −1






p−1
p

=   C v V   u pV  − 2 + v  pV  −2 .

Điu này dn đn
Dh((u + v ) − Dh
Dh((u)W 
Dh

1,q

−





  ≤ C v V   u pV  − 2 + v  pV  −2 ,

Và do đó

lim (Dh
Dh((u + v ) − Dh
Dh((u)) = 0,
0,

v →0

tc là   Dh  liên tc ti  u  và do đó liên tc trên   W 01,p  (Ω).
Chng minh.  (Đnh lý 3.3
lý 3.3))

1. Đt   h như trong B đ 3.1
đ  3.1 thì
 thì   h  kh vi Fréchet trên   W 01,p  (Ω)  và
 p−2

Dh((u)(
Dh
)(φ
φ) =  T (
 T (φ) =  p

 

|∇u|
Ω

 

1,p

(Ω)..
∇u.∇φdx,   ∀φ  ∈  W 0   (Ω)

  p
p−1

p−1
p

dx

p−1
p


 

3.2 Phương trình el liptic suy bin

Đt

 
 

 1
E (u) =

 p

thì   E  kh
  kh vi Fréchet trên

19  

|∇u| p dx −

Ω
  W 01,p  (Ω)

DE (u)(
)(φ
φ) =

 

Ω

Ω

 và

fudx,   ∀u  ∈  W 01,p  (Ω)
(Ω),,

(∇u|∇u| p−2∇φ − f φ)dx,   ∀φ  ∈  W 01,p  (Ω)
(Ω)..

Vy bài toán (3.3
(3.3)-(
)-(3.4
3.4)) có dng bài toán bin phân.
2. Chng minh   E  coercive.
  coercive.
Do   Ω  m, b chn nên ta có th trang b trên   W 01,p  (Ω)  chun sau đây

  
|∇u| p dx

uW 01,p =

1
p

.

Ω

Khi đó

 1
 p
E (u)   ≥  p uW 01,p − f W  1,q uW 01,p
1
1− p
=   u pW 1,p
.
 − f W  1,q uW 

1,p
0
0
 p
−





−

Vy   E (u) → ∞ khi   uW 01 → ∞ .
,p

3. Chng minh   E  na
 na liên tc dưi yu.
Gi s   un    u trong   H 01,p  (Ω), ta có

 
Ω



 p

 p

dx =
 =  uW 1,p ≤

|∇u| dx
0

li
lim
m in
inf 
f un W 1,p
n→∞

0



 p

= lim inf un  pW 1,p = lim
lim inf 
inf 
n→∞

và vì   f   ∈ W 0−1 ,q (Ω)  nên

 

fudx   = lim
fudx

n→∞

Ω

n→∞

0

|∇un | p dx,
Ω

 

 

f un dx.

Ω

Vy
 1
E (u) =
 p

 

 p

|∇u| dx −

Ω

1
lim in
inf 
f 
≤   lim
n→∞  p
= lim inf 

fudx

Ω

 

|∇un | p dx −   lim

n→∞

Ω

1

n→∞

Ω
(un ).
= lim inf E  p
n→∞

 

|∇un | p dx −

  

 

f un dx

Ω

f un dx
Ω

  


 

3.3 Bài toán phân hoch cc tiu siêu mt

20  

Ta li có  W 01,p  (Ω) là không gian Banach phn x vi  p  ∈  (1,
 (1 , ∞) nên áp dng Đnh
lý
lý 3.2
 3.2 thì
 thì tn ti mt cc tiu ca   E  và
 và đó cũng là nghim yu cn tìm.

3.33 Bà
3.
Bàii to
toán
án phâ
phânn ho
hoc
chh c
ccc ti
tiu
u ssiê
iêuu m
mtt
Cho min  Ω  ⊂ Rn , ta đnh nghĩa  B V 
V (Ω)
(Ω) -  không gian các hàm có bin phân b chn ,
là tp hp các hàm   u ∈  L 1 (Ω)  sao cho

 

|Du|  := sup

Ω

 

(g1 ,...,gn ) ∈  C 01 (Ω; Rn ), |g |

u∇.gdx

.gdx : : g
 g  =

Ω

≤  1



<  ∞.

1.   BV 
BV (Ω)
(Ω)  là không gian vector con ca   L1(Ω)

i) Nu   u ∈  BV 
 B V (Ω)
(Ω)  và   α  ∈ R  thì
αu∇.gdx
.gdx : : g
 g  ∈  C 01(Ω; Rn ), |g | ≤  1

αu))|   = sup
|D(αu
Ω

Ω

 

  
 
 
 

=   |α| sup

Ω

=   |α|

u∇.gdx
.gdx : : g
 g  ∈  C 01 (Ω; Rn ), |g|



≤  1

|Du|  <  ∞.

Ω

(Ω)  thì
ii) Nu  u, v  ∈  BV 
 B V (Ω)

 

|D (u + v )|   = sup

Ω

Ω

≤   sup

Ω

(u + v )∇.gdx
.gdx : : g
 g  ∈  C 01 (Ω; Rn ), |g | ≤  1
u∇.gdx
.gdx : : g
 g  ∈  C 01 (Ω; Rn ), |g| ≤  1

v ∇.gdx
.gdx : : g
 g  ∈  C 01 (Ω; Rn ), |g | ≤  1

+ sup
Ω

=





     

|Dv |  <  ∞.

|Du| +

Ω

Ω

2.   BV 
BV (Ω)
(Ω)  là không gian đnh chun vi 



 

|Du|.

uBV    =  uL1 (Ω) +

Ω

Điu này suy ra t vic  L 1 (Ω)  là không gian đnh chun và chng minh   i), ii)
ii).
3. Ánh x   u → Ω |Du|  là na liên tc dưi trên   L1 (Ω).
Gi s   um  →  u  trong   L1 (Ω), vi mi   g  ∈  C 01 (Ω; Rn ), |g | ≤ 1  ta có

 

 

um ∇.gdx ≤

Ω

 

|Dum |,

Ω


 

3.3 Bài toán phân hoch cc tiu siêu mt

nên

 

um ∇.gdx ≤  lim
 lim inf 
inf 

li
lim
m in
inf 
f 

n→∞

21

n→∞

Ω

Mt khác   um  →  u  trong   L1 (Ω)  nên

 

um ∇.gdx
.gdx =
 = lim

li
lim
m in
inf 
f 
n→∞

Do đó

n→∞

Ω

 

n→∞

Vy

|Dum |.

Ω

 

um ∇.gdx
.gdx =
 =

Ω

 

u∇.gdx.

Ω

 

u∇.gdx ≤  li
 lim
m in
inf 
f 

Ω

 

Ω

(Ω),, |g | ≤ 1
 1..
|Dum |,   ∀g  ∈  C 01 (Ω)

 

 

|Dum |.

 lim
m in
inf 
f 
|Du| ≤  li
n→∞

Ω

4.   BV 
(Ω)  là không gian Banach .
BV (Ω)

Ω

Gi s   (um)  là dãy Cauchy trong   BV 
BV (Ω)
(Ω), khi đó   (um )  cũng là dãy Cauchy trong
L1 (Ω)  mà   L1 (Ω)  Banach nên tn ti   u  ∈  L 1 (Ω)  sao cho   um  hi

t v  u  trong   L1 (Ω).

i) Chng minh  u  ∈  BV 
 B V (Ω)
(Ω).
Ta kim tra Ω |Du|   <  ∞ . Trưc ht   (um )  Cauchy nên b chn, tc tn ti   M <  ∞
sao cho   um BV    < M,   ∀m ∈  N . Do 3) ta có

   

 

 lim
m in
inf 
f 
|Du| ≤ li
n→∞

Ω

 

|Dum | < M <  ∞.

Ω

ii) Chng minh   um  →  u  trong  B V 
V (Ω)
(Ω). Cho    >  0 , tn ti  N 1  sao cho
 
|D(uk  − u j )|  < ,   ∀k,j > N 1 .
2
Ω

 
 

Vì   uk − u j   → uk  − u trong   L1 (Ω)  khi   j  → ∞ nên do 3), ta có
 lim
m in
inf 
f 
|D(uk  − u)| ≤  li

Ω

 j →∞

 

 
|D(uk − u j )| ≤ ,   ∀k > N 1 .

2
Ω

Mà   (uk )  hi t v   u trong   L1(Ω)  nên tn ti   N 2  sao cho
 
uk  − uL1   < ,   ∀k > N 2 .
2

Đt  N 0  = max
 =  max{N 1 , N 2 }, ta đươc
uk  − uBV    < ,   ∀k > N 0 .

5. Vi  Ω  đ trơn thì phép nhúng  B V 
V (Ω)
(Ω)  → L 1(Ω)  là compact.