Ánh xạ không giãn xác suất và điểm bất động

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận
tình của Tiến sĩ Hà Đức Vượng, người thầy đã hướng dẫn và truyền cho
tác giả những kinh nghiệm quí báu trong học tập và nghiên cứu khoa
học. Thầy luôn động viên và khích lệ để tác giả vươn lên trong học tập
và vượt qua những khó khăn trong quá trình hoàn thành luận văn. Tác
giả xin bày tỏ lòng kính trọng, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất
đối với thầy.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, Phòng Sau đại học, Khoa Toán và Tổ Giải tích cùng
với các quý thầy cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc
tốt đẹp chương trình cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp.
Tác giả chân thành cảm ơn Sở GD và ĐT Bắc Giang, Trường THPT
Lạng Giang số 3 đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tác giả an tâm học tập
và hoàn thành tốt luận văn.

Hà Nội, tháng 9 năm 2010
Tác giả


ii

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới
sự hướng dẫn của TS. Hà Đức Vượng. Luận văn không hề trùng lặp với
đề tài khác.
Trong quá trình nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành quả
khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 9 năm 2010
Tác giả


Mục lục

Mở đầu

1

1

6

Kiến thức chuẩn bị
1.1. Không gian lồi địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

7

1.1.1. Tập lồi, tập cân, tập hút trong không gian vectơ.

7

1.1.2. Không gian tôpô. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.1.3. Không gian vectơ tôpô. . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.1.4. Không gian lồi địa phương . . . . . . . . . . . . .

17

1.2. Không gian định chuẩn xác suất . . . . . . . . . . . . . .

31

1.2.1. Chuẩn tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

1.2.2. Một số chuẩn tam giác cơ bản . . . . . . . . . . .

32

1.2.3. Không gian định chuẩn xác suất . . . . . . . . . .

33

Điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian
lồi địa phương

39

iii

iv

2.1. Ánh xạ không giãn trong không gian lồi địa phương . . .

41

2.2. Điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian
lồi địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

3 Một số kết quả về điểm bất động của ánh xạ không giãn
xác suất

48

3.1. Ánh xạ không giãn xác suất . . . . . . . . . . . . . . . .

49

3.1.1. Ánh xạ không giãn xác suất . . . . . . . . . . . .

49

3.1.2. Cấu trúc chuẩn tắc xác suất . . . . . . . . . . . .

50

3.1.3. Không gian lồi chặt xác suất . . . . . . . . . . . .

52

3.2. Điểm bất động của ánh xạ không giãn xác suất . . . . .

53

Kết luận

54

Tài liệu tham khảo

55


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Nhiều bài toán khác nhau của khoa học và kỹ thuật đã dẫn đến việc
nghiên cứu vấn đề sau:
Cho X là một không gian, ánh xạ T : M → M là ánh xạ đi từ tập con
M của không gian X vào chính nó. Xét phương trình phi tuyến T x = x
(x ∈ M ), dưới các điều kiện cụ thể hãy khẳng định sự tồn tại nghiệm
của phương trình đó? Điểm x ∈ M thỏa mãn phương trình T x = x được
gọi là điểm bất động của ánh xạ T trên tập M .
Việc nghiên cứu vấn đề trên đã góp phần đắc lực cho việc giải quyết
hàng loạt bài toán quan trọng trong Toán học nói riêng, trong Khoa học
kỹ thuật nói chung. Điều này dẫn đến một hướng nghiên cứu mới trong
Toán học và đã hình thành nên “Lý thuyết điểm bất động”.

Lý thuyết điểm bất động là một trong những lĩnh vực quan trọng của
Giải tích hàm phi tuyến. Ngay từ đầu thế kỉ 20 các nhà toán học trên
thế giới đã quan tâm đến lĩnh vực này và cho tới nay có thể khẳng định
lý thuyết điểm bất động đã phát triển hết sức sâu rộng, trở thành công
cụ không thể thiếu để giải quyết nhiều bài toán khác nhau. Sự phát triển
của lĩnh vực này gắn liền với tên tuổi các nhà toán học lớn trên thế giới
như Banach, Brouwer, Schauder, Tykhonov, Kakutani, Ky Fan, . . .
Những kết quả kinh điển của lý thuyết điểm bất động, đồng thời cũng


2

là những công trình khởi đầu cho lĩnh vực nghiên cứu này như Nguyên
lý ánh xạ co Banach, Nguyên lý điểm bất động Brouwer được
áp dụng ở nhiều lĩnh vực của Toán học hiện đại như: Phương trình vi
phân, Phương trình tích phân, Lý thuyết điều khiển, Lý thuyết tối ưu
hóa, Đại số, Giải tích số, . . .
Trên cơ sở các nguyên lý cơ bản trên, Lý thuyết điểm bất động đã
phát triển theo 2 hướng chính:
- Hướng thứ nhất nghiên cứu về điểm bất động của các ánh xạ dạng co,
mở đầu là Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922).
- Hướng thứ hai nghiên cứu về điểm bất động của các ánh xạ liên tục,
mở đầu là Nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912).
Vào những năm 60 của thế kỉ 20, một hướng mới có thể xem là trung
gian của hai hướng trên đã xuất hiện trong Lý thuyết điểm bất động. Đó
là việc nghiên cứu điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không
gian Banach. Một câu hỏi đặt ra là: cần điều kiện gì trên tập M và
không gian X để tồn tại điểm bất động của một ánh xạ không giãn
T : M → M?
Vì như chúng ta đã biết, mọi ánh xạ co đều là ánh xạ không giãn và

mọi ánh xạ không giãn đều liên tục nên các điều kiện này phải mạnh
hơn điều kiện trong Nguyên lý ánh xạ co Banach và yếu hơn điều kiện
trong Nguyên lý điểm bất động Brouwer.
Câu trả lời chính xác phải đợi đến năm 1965 mới được Browder và
G¨ohde độc lập tìm ra. Để giải quyết bài toán này, hai nhà toán học trên


3

đã sử dụng kĩ thuật độc đáo dựa vào những thành tựu của một hướng
nghiên cứu mới có tên là: “Hình học các không gian Banach” do Clarkson
khởi xướng năm 1936.
Năm 1942 Lý thuyết về không gian metric xác suất được giới thiệu
bởi Menger. Đó là sự mở rộng “xác suất” của khái niệm metric thông
thường: thay cho việc xét khoảng cách d(x, y), người ta xét hàm phân
bố Fx,y (t) biểu diễn xác suất để cho d(x, y) < t, với t là một số thực.
Khái niệm này đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học, đặc biệt
là Schweizer và Sklar đã xây dựng thành lý thuyết về không gian metric
xác suất, viết thành sách chuyên khảo xuất bản năm 1983. Sau đó nó
được phát triển và có ứng dụng rất quan trọng trong Vật lý lượng tử,
Lý thuyết dòng và Lý thuyết bậc . . . được nghiên cứu bởi El Naschie và
Abdolrahman Razani Maryam Shirdarvazdi.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này, nhờ sự giúp đỡ,
hướng dẫn tận tình của TS. Hà Đức Vượng, tôi mạnh dạn chọn nghiên
cứu đề tài:

“Ánh xạ không giãn xác suất và điểm bất động” .
Ngoài lời mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn có ba
chương nội dung:
Chương 1: trình bày về không gian vectơ tôpô, không gian lồi địa

phương, không gian định chuẩn xác suất, mối liên hệ giữa không gian
lồi địa phương và không gian định chuẩn xác suất.
Chương 2: trình bày về ánh xạ không giãn và định lý về điểm bất


4

động của ánh xạ không giãn trong không gian lồi địa phương.
Chương 3: trình bày về ánh xạ không giãn xác suất và định lý về điểm
bất động của ánh xạ không giãn xác suất.

2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn là xây dựng một bài tổng quan về ánh xạ
không giãn xác suất và điểm bất động của lớp ánh xạ này. Công trình
nghiên cứu dựa trên các kết quả của TS. Hà Đức Vượng trong bài báo “A
fixed point theorem for nonexpansive mappings in locally convex spaces”
đăng trên tạp chí Vietnam Journal of Mathematics năm 2006.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Với mục đích nghiên cứu ở trên, nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn
là:
- Nghiên cứu về không gian lồi địa phương và điểm bất động của ánh xạ
không giãn trong không gian lồi địa phương.
- Nghiên cứu về không gian định chuẩn xác suất, mối liên hệ giữa không
gian lồi địa phương và không gian định chuẩn xác suất.
- Nghiên cứu về điểm bất động của ánh xạ không giãn xác suất.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của luận văn là: Ánh xạ không giãn
xác suất và điểm bất động của lớp ánh xạ này.

5

5. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận, tài liệu chuyên khảo.
- Phân tích, tổng hợp kiến thức.

6. Dự kiến đóng góp mới
Đây là bài tổng quan về ánh xạ không giãn, không giãn xác suất và
điểm bất động của chúng. Giúp người đọc hiểu được mối liên hệ giữa
không gian lồi địa phương và không gian định chuẩn xác suất. Từ đó dựa
trên kết quả về điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian
lồi địa phương để tìm ra kết quả về điểm bất động của ánh xạ không
giãn xác suất trong không gian định chuẩn xác suất.


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị

Mở đầu
Một cách đơn giản để đưa một tôpô vào một không gian vectơ sao
cho tôpô tương thích với cấu trúc đại số là cho trước một chuẩn. Tuy
nhiên, lớp không gian đó chưa đủ rộng để nghiên cứu các vấn đề cụ thể
của giải tích, bởi vì nhiều không gian vectơ quan trọng nảy sinh mà tôpô
tự nhiên trên nó không thể cho được bởi chuẩn nào. Ta sẽ khảo sát lớp
không gian này, chúng tổng quát hơn các không gian định chuẩn và gọi
là các không gian vectơ tôpô.
Ở chương này, chúng tôi trình bày một số kết quả cần thiết về tập
lồi, tập cân, tập hút - là công cụ quan trọng trong việc khảo sát tôpô

của không gian vectơ tôpô, không gian lồi địa phương - không gian tổng
quát hơn không gian định chuẩn nhưng vẫn bảo toàn nhiều tính chất
của không gian định chuẩn, nửa chuẩn, mối liên hệ giữa họ nửa chuẩn

6


7

và tính chất lồi địa phương.
Tiếp theo, chúng tôi trình bày về chuẩn tam giác, hàm phân bố, không
gian định chuẩn xác suất, và chỉ ra rằng ứng với mỗi không gian định
chuẩn xác suất ta có thể xây dựng một không gian lồi địa phương mà
tôpô trong chúng trùng nhau.

1.1.

Không gian lồi địa phương

1.1.1.

Tập lồi, tập cân, tập hút trong không gian vectơ.

Định nghĩa 1.1.1. [8]. Cho X là không gian vectơ trên trường K (thực
hoặc phức). A ⊂ X.
a) Tập A được gọi là lồi nếu ∀x, y ∈ A, ∀t ∈ [0, 1] ta có
tx + (1 − t)y ∈ A.
b) Tập A được gọi là cân nếu với mọi x ∈ A ta đều có λx ∈ A khi
|λ|

1, λ ∈ K.
d) Tập A được gọi là tuyệt đối lồi nếu nó là tập lồi và cân.
c) Tập A được gọi là hút nếu với mọi x ∈ X đều tồn tại t > 0 sao

cho x ∈ sA với mọi s thỏa mãn |s|

t.

Nhận xét 1.1.1. Bao đóng của một tập lồi là lồi. Thật vậy
Giả sử A là tập lồi và x1 , x2 ∈ A. Với t ∈ [0, 1], đặt
x = tx1 + (1 − t)x2


8

Giả sử U là một lân cận của điểm 0. Do x1 , x2 ∈ A nên
(xi + U ) ∩ A = ∅
do đó tồn tại xi ∈ (xi + U ) ∩ A

(i = 1, 2)

(i = 1, 2)

Đặt x = tx1 + (1 − t)x2 . Khi đó
x ∈ t(x1 + U ) + (1 − t)(x2 + U ) = x + U
suy ra
(x + U ) ∩ A = ∅
hay
x = tx1 + (1 − t)x2 ∈ A
chứng tỏ A là tập lồi.

Ví dụ 1.1.1.
1. H + = {x ∈ Rn : x, a
2. B = {x ∈ Rn : ||x||

α, α ∈ R, a ∈ Rn } là tập lồi trong Rn .
1} là tập lồi, cân trong Rn .

Mệnh đề 1.1.1. Nếu tập A là tuyệt đối lồi khi và chỉ khi ∀x, y ∈ A,
∀λ, µ thỏa mãn: |λ| + |µ|

1 ta có
λx + µy ∈ A.

Chứng minh.
Giả sử A lồi và cân, x, y ∈ A và |λ| + |µ|

1.


9

Nếu λ = 0 hoặc µ = 0 thì rõ ràng λx + µy ∈ A.
Nếu λ = 0 và µ = 0 thì

λ
|λ| x

∈ A và

µ
|µ| y

∈ A (do A là tập cân).

hơn nữa
|λ|
|µ|
+
=1
|λ| + |µ| |λ| + |µ|
nên
λx + µy = (|λ| + |µ|)

|λ| λx
|µ| µy
+
|λ| + |µ| |λ| |λ| + |µ| |µ|

Vậy λx + µy ∈ A, với x, y ∈ A và |λ| + |µ|

∈ A.

1.

Ngược lại nếu λx + µy ∈ A, với x, y ∈ A và |λ| + |µ|

1 thì dễ dàng suy

ra A là tập lồi và cân.

Định lý 1.1.1. Cho A, B ⊂ X, x ∈ X và α ∈ K. Kí hiệu
x + A = {x + y|y ∈ A} ,
αA = {αy|y ∈ A} ,
A + B = {y + z|y ∈ A, z ∈ B}
Khi đó
a) Nếu A là tập lồi thì αA, x + A là các tập lồi. Hơn nữa nếu B là tập
lồi thì A + B cũng là tập lồi.
b) Nếu A là tập cân thì αA là tập cân. Hơn nữa nếu B là tập cân thì
A + B cũng là tập cân.
c) Nếu A là tập hút, {rn } là dãy số không bị chặn thì
∞

X=

rn A
n=1


10

d) Nếu A là tập cân thì với mọi α ∈ K thỏa mãn |α| = 1 thì αA = A.
e) Nếu A là tập cân thì với mọi α, β ∈ K sao cho |α|

|β| thì αA ⊂ βA.

Chứng minh.
Phép chứng minh của a) và b) là tầm thường. Ở đây chúng tôi xin
trình bày phép chứng minh của c) d) và e).
c) Dễ thấy 0 ∈ A vì A là tập hút nên với x = 0 ∈ X tồn tại t > 0 sao

cho với mọi s thỏa mãn |s|

t ta có 0 ∈ sA hay tồn tại y ∈ A sao cho

0 = sy hay 0 = y ∈ A.
Lấy x ∈ X. Vì A là tập hút nên tồn tại t > 0 sao cho với mọi s ∈ K mà
|s| > t thì x ∈ sA.
Vì {rn } không bị chặn nên tồn tại n0 để |nr0 | > t và khi đó x ∈ nr0 A.
∞

Từ đó ta có X ⊂

rn A.
n=1

Bao hàm thức ngược lại là hiển nhiên.
d) Giả sử A là tập cân và |α| = 1.
Ta có |α| = 1
Lại có |α−1 | = 1

1 nên αA ⊂ A.
1 nên α−1 A ⊂ A. hay A ⊂ αA.

Vậy α−1 A = A.
Bây giờ giả sử A là tập cân và |α|

|β|.

Nếu β = 0 thì α = 0 nên αA ⊂ βA.
Nếu β = 0 thì

α
β

1


11

nên theo định nghĩa tập cân ta có
α
A⊂A
β
tức là αA ⊂ βA.

Định lý 1.1.2. Giả sử (Ai )i∈I là một họ khác rỗng các tập con của X
và A =

Ai . Khi đó
i∈I

a) Nếu Ai là tập lồi với mọi i ∈ I thì A là tập lồi.
b) Nếu Ai là tập cân với mọi i ∈ I thì A là tập cân.
Chứng minh.
a) Lấy tùy ý x, y ∈ A và t ∈ [0, 1].
Khi đó với mỗi i ∈ I, do Ai là tập lồi và x, y ∈ Ai nên
tx + (1 − t)y ∈ Ai .
Suy ra tx + (1 − t)y ∈ A hay A là tập lồi.
b) Lấy tùy ý α ∈ K thỏa mãn |α|

1.

Vì mỗi Ai là tập cân nên αA ⊂ A, ∀i ∈ I.
Do đó
αAi ⊂

αA =
i∈I

Ai = A
i∈I

Vậy A là một tập cân.

Định nghĩa 1.1.2. [3]. Cho A là tập con của không gian X, ta gọi bao
lồi của A là giao của tất cả các tập lồi chứa A. Kí hiệu convA.


12

1.1.2.

Không gian tôpô.

Định nghĩa 1.1.3. Cho tập X = ∅, một họ T các tập con của X được
gọi là một tôpô trên X nếu:
a) ∅, X ∈ T
b) Nếu (Gα )α∈I ⊂ T thì

Gα ∈ T
α∈I

c) Nếu G1 , G2 ∈ T thì G1 ∩ G2 ∈ T
Cặp (X, T) được gọi là không gian tôpô. Mỗi phần tử của X được gọi
là một điểm, mỗi phần tử của T được gọi là tập mở (hay T - mở).

Ví dụ 1.1.2.
1. Với mọi tập X, giả sử T1 là họ tất cả các tập con của X. Khi đó T1
là một tôpô trên X.
2. Với mọi tập X, giả sử T2 = {∅, X}. Khi đó T2 là một tôpô trên X.
3. Giả sử X = {0, 1, 2} thì khi đó T3 = {∅, X, {0}, {1, 2}} là một tôpô
trên X.

Định nghĩa 1.1.4. Cho (X, T) là không gian tôpô, A ⊂ X, x0 ∈ X. A
được gọi là lân cận của x0 nếu tồn tại tập mở G ∈ T sao cho x0 ∈ G và
G ⊂ A.


13

Nhận xét 1.1.2. Nếu Ux là tập hợp tất cả các lân cận của điểm x thuộc
không gian tôpô X thì Ux có các tính chất sau:
1) x ∈ U với mọi U ∈ Ux .
2) Nếu U ∈ Ux và V ∈ Ux thì U ∩ V ∈ Ux .
3) Nếu U ∈ Ux và U ⊂ V thì V ∈ Ux .
4) Nếu U ∈ Ux thì tồn tại V ∈ Ux sao cho U ∈ Uy với mọi y ∈ V (ta
có thể lấy V là phần trong của U ).
Ngược lại, giả sử X là một tập hợp tùy ý và với mỗi phần tử x ∈ X
chỉ ra được một tập hợp (không rỗng) Ux các tập con của của X. Khi
đó nếu các điều kiện trên được thỏa mãn thì, ta có thể xác định được
một tôpô duy nhất trên X, bằng cách xác định các tập hợp mở sao cho

với mỗi x, Ux là tập hợp tất cả các lân cận của x. (Tập A ⊂ X là mở
nếu với mọi x ∈ A đều tồn tại U ∈ Ux sao cho U ⊂ A.)

Định nghĩa 1.1.5. Giả sử X và Y là hai không gian tôpô. Ánh xạ
f :X→Y
Hàm f được gọi là liên tục tại điểm x ∈ X nếu với mọi lân cận V của
f (x) trong Y đều tồn tại một lân cận U của x trong X sao cho f (U ) ⊂ V.
Hàm f được gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi x ∈ X.
Hàm f được gọi là một phép đồng phôi nếu f và f −1 liên tục.

Định nghĩa 1.1.6. Một không gian tôpô (X, T) gọi là tách (Hausdorff)
nếu và chỉ nếu với 2 điểm bất kì khác nhau x, y ∈ X tồn tại U, V ∈ T


14

thỏa mãn x ∈ U, y ∈ V và U ∩ V = ∅.

Định nghĩa 1.1.7. Một tập hợp con Vx của tập hợp Ux các lân cận của
x được gọi là một cơ sở lân cận của x nếu với mỗi U ∈ Ux đều tồn tại
V ∈ Vx sao cho V ⊂ U .
Chẳng hạn các tập hợp mở chứa x lập thành một cơ sở lân cận của
x.

1.1.3.

Không gian vectơ tôpô.

Định nghĩa 1.1.8. Giả sử X là một không gian vectơ trên trường K
(thực hay phức). Một tôpô trên X được gọi là tương thích với cấu trúc

đại số của X nếu các phép toán cộng hai vectơ, nhân một vô hướng với
một vectơ trong X là liên tục. Nghĩa là
a) Với mỗi cặp (x, y) ∈ X × X và V là một lân cận tùy ý của x + y thì
tồn tại các lân cận V1 của x và V2 của y sao cho V1 + V2 ⊂ V .
b) Với mỗi x ∈ X, α ∈ K và V là lân cận tùy ý của αx, tồn tại ε > 0 và
lân cận U của x sao cho với mọi β ∈ K mà |β − α| < ε thì βU ⊂ V .
Một không gian vectơ tôpô trên K là một không gian vectơ cùng với
một tôpô tương thích.
Mệnh đề 1.1.2. [8]. Với mỗi a ∈ X, phép tịnh tiến f : f (x) = x + a là
một phép đồng phôi từ X lên chính nó.


15

Chứng minh.
Nếu f (x) = x + a = y thì f −1 (y) = x = y − a. Do đó f là song ánh
từ X lên chính nó.
Hơn nữa, f và ánh xạ ngược của nó liên tục
Vậy f là một phép đồng phôi.
Từ mệnh đề trên ta suy ra: nếu U là lân cận của điểm gốc thì U + a
là lân cận của điểm a. Đặc biệt nếu U là một cơ sở lân cận của điểm gốc
thì U + a là một cơ sở lân cận của a.
Như vậy toàn bộ cấu trúc của X được xác định bởi một cơ sở lân cận
của điểm gốc. Nên ta sẽ làm việc chủ yếu với các lân cận của điểm gốc.

Mệnh đề 1.1.3. [8]. Với mỗi số khác không α ∈ K, ánh xạ f : f (x) =
αx là một phép đồng phôi từ X lên chính nó. Đặc biệt nếu U là một lân
cận của điểm gốc thì với mọi α = 0, αU cũng là lân cận của điểm gốc.
Chứng minh.
Nếu f : f (x) = αx = y thì f −1 (y) = x = α−1 y.

Vậy f là song ánh liên tục hay f là một phép đồng phôi.

Định lý 1.1.3. [8]. Nếu U là một cơ sở lân cận của điểm gốc thì với
mỗi U ∈ U ta có:
a) U là tập hút.
b) tồn tại V ∈ U sao cho V + V ⊂ U .


16

c) tồn tại lân cận cân của điểm gốc W ⊂ U .
Chứng minh.
a) Giả sử x ∈ X, đặt f (λ) = λx thì f liên tục tại λ = 0,
Do đó tồn tại một lân cận {λ : |λ| ≤ ε} của 0 ∈ K được ánh xạ vào U .
Vậy λx ∈ U khi |λ| ≤ ε.
Do đó x ∈ µU khi |µ| ≥ ε−1 hay U là tập hút.
b) Đặt g(x, y) = x + y thì g liên tục tại x = 0, y = 0, do đó tồn tại
hai lân cận V1 và V2 sao cho x + y ∈ U khi x ∈ V1 và y ∈ V2 . Tồn tại
V ∈ U với V ⊂ V1 ∩ V2 . Vậy V + V ⊂ U .
c) Đặt h(λ, x) = λx thì h là liên tục tại λ = 0, x = 0, do đó tồn tại
một lân cận V và số ε > 0 sao cho λx ∈ V khi |λ| ≤ ε và x ∈ V .
Vậy λV ⊂ U khi |λ| ≤ ε, do đó εV ⊂ µU khi |µ| ≥ 1.
Suy ra εV ⊂ W =

µU .
|µ|≥1

Vì εV là một lân cận (theo mệnh đề trên) nên W cũng là một lân cận.
Nếu x ∈ W và 0 < |λ| ≤ 1 thì với |µ| ≥ 1 ta có x ∈ µλ U , vậy λx ∈ µU
khi |λ| ≤ 1. Thành thử λx ∈ W .

Vậy W cân và chứa trong U .
Từ mệnh đề này suy ra rằng mọi không gian vectơ tôpô đều có một
cơ sở gồm những lân cận cân. Trong các không gian vectơ tôpô quan
trọng nhất và thường được sử dụng thì còn có cả một cơ sở gồm những
lân cận lồi của điểm gốc, đó là không gian lồi địa phương.


17

1.1.4.

Không gian lồi địa phương

Định nghĩa 1.1.9. Không gian vectơ tôpô có một cơ sở gồm những lân
cận lồi của điểm gốc được gọi là không gian vectơ tôpô lồi địa phương
hay không gian lồi địa phương.

Định lý 1.1.4. Một không gian lồi địa phương X có một cơ sở U những
lân cận của điểm gốc với các tính chất sau:
a) Nếu U ∈ U, V ∈ U thì tồn tại W ∈ U sao cho W ⊂ U ∩ V .
b) Nếu U ∈ U thì αU ∈ U với ∀α = 0.
c) Mỗi U ∈ U là tuyệt đối lồi và hút.
Ngược lại, cho một tập U (khác rỗng) những tập con của không gian
vectơ X với các tính chất a) - c) thì tồn tại một tôpô làm cho X trở
thành một không gian lồi địa phương với U là một cơ sở lân cận của
điểm gốc.
Chứng minh.
Nếu X là không gian lồi địa phương thì theo định nghĩa, tồn tại một
cơ sở lân cận lồi.
Nếu U là một lân cận lồi thì

µU là một lân cận cân chứa trong U
|µ|≥1

(mệnh đề 1.1.3).
µU cũng là lồi vì là giao của các tập lồi.
|µ|≥1

Như vậy tồn tại một cơ sở V gồm những lân cận tuyệt đối lồi. Khi đó
cở sở lân cận phải tìm là tập hợp U tất cả các tập hợp αV với α = 0 và


18

V ∈ V.
Thật vậy, theo mệnh đề 1.1.3, các tập hợp của U là những lân cận và U
là một cơ sở.
Khi đó
Nếu U ∈ U, V ∈ U thì U ∩ V ∈ U, suy ra tồn tại W ∈ U sao cho
W ⊂U ∩V.
Từ cách xây dựng U, suy ra nếu U ∈ U thì αU ∈ U với ∀α = 0.
Từ đó và từ mệnh đề 1.1.3, suy ra mỗi U ∈ U là tuyệt đối lồi và hút.
Ngược lại giả sử U là tập hợp với các tính chất a) - c).
Gọi V là tập hợp tất cả các tập con của X chứa một tập hợp của U và
với mỗi x ∈ X ta lấy V + x là tập hợp các lân cận của x.
Trước hết, ba mệnh đề
1) x ∈ U với mọi U ∈ V + x.
2) Nếu U ∈ V + x và V ∈ V + x thì U ∩ V ∈ V + x.
3) Nếu U ∈ V + x và U ⊂ V thì V ∈ V + x.
là hiển nhiên đúng.

Nếu V ∈ V thì tồn tại U ∈ U với U ⊂ V . Dễ dàng chứng minh được
rằng V + x là lân cận của mọi điểm thuộc 21 U + x.
Vậy nếu U ∈ V + x thì tồn tại V ∈ V + x sao cho U ∈ Vy với mọi y ∈ V .
Để chứng minh tính liên tục của phép cộng tại x = a, y = b ta giả sử
U ∈ U, thế thì nếu x ∈ 21 U + a và y ∈ 12 U + b thì x + y ∈ 12 U + a + b .
Cuối cùng để chứng minh rằng λx liên tục tại λ = α, x = a ta chỉ việc
tìm η và δ sao cho λx − αa ∈ U khi |λ − α| < η và x ∈ δU + a.


19

Nhưng tồn tại µ > 0 sao cho a ∈ µU , do đó ta chọn η sao cho 0 < 2η <
µ−1 và chọn δ sao cho 0 < 2δ < (|α| + η)−1 thì khi đó
λx − αa = λ (x − a) + (λ − α) a ∈ (|α| + η) δU + ηµU ⊂ U.
Định lý được chứng minh.

Hệ quả 1.1.1. Giả sử V là một tập hợp tùy ý những tập hợp con tuyệt
đối lồi và hút của không gian vectơ X. Khi đó tồn tại trên X một tôpô
yếu nhất và tương thích với cấu trúc đại số, sao cho mỗi tập hợp thuộc V
là một lân cận. Với tôpô ấy, X là một không gian lồi địa phương và một
cơ sở lân cận của điểm gốc được tạo thành bởi các tập hợp ε(

Vi ),

1≤i≤n

ε > 0, Vi ⊂ V.
Chứng minh.
Tập hợp U tất cả các tập con có dạng ε(

Vi ), ε > 0, Vi ⊂ V thỏa

1≤i≤n

mãn các điều kiện.
a) Nếu U ∈ U, V ∈ U thì tồn tại W ∈ U sao cho W ⊂ U ∩ V .
b) Nếu U ∈ U thì αU ∈ U với ∀α = 0.
c) Mỗi U ∈ U là tuyệt đối lồi và hút.
Vậy U trở thành một cơ sở lân cận trong một tôpô T trên X làm X
trở thành không gian lồi địa phương.
Hơn nữa trong mọi tôpô tương thích (trong đó các tập hợp của V là
những lân cận) thì các tập của U cũng phải là những lân cận (theo
Nhận xét 1.1.2 và Mệnh đề 1.1.3). Vậy tôpô T là tôpô yếu nhất trong


20

mọi tôpô tương thích.
Từ đây trở đi, ta sẽ chỉ nghiên cứu trên các không gian lồi địa phương.
Trong thực tế đó là những không gian ta thường gặp.

Định nghĩa 1.1.10. [3]. Cho X là không gian lồi địa phương, D ⊂ X
và hàm f : D → R, trong đó R = R ∪ {−∞, +∞}, các tập:
domf = {x ∈ D| f (x) < +∞} ,
epif = {(x, α) ∈ D × R| f (x) ≤ α} ,
được gọi lần lượt là miền hữu hiệu và trên đồ thị của hàm f .
Hàm f : D → R được gọi là lồi trên D nếu trên đồ thị của nó là một
tập lồi trong X × R.

Nhận xét 1.1.3. Nếu f là hàm lồi thì domf lồi.

Thật vậy, domf là hình chiếu của epif trên X:
domf = {x ∈ X| f (x) < +∞} = {x|∃r, (x, r) ∈ epif }.
Lại có f là hàm lồi nên epif là hàm lồi, như vậy domf là ảnh của tập
lồi epif qua một ánh xạ tuyến tính. Do đó domf lồi.

Định lý 1.1.5. [3]. Giả sử D là tập lồi trong không gian lồi địa phương
X, hàm f : D → (−∞, +∞]. Khi đó, f là lồi trên D khi và chỉ khi với


21

mọi t ∈ [0, 1], với mọi x, y ∈ D ta có
f (tx + (1 − t)y)

tf (x) + (1 − t)f (y).

Chứng minh.
Giả sử f là hàm lồi trên D. Ta chứng minh
f (tx + (1 − t)y)

tf (x) + (1 − t)f (y).

Hiển nhiên bất đẳng thức là đúng khi t = 0 hoặc t = 1.
Xét t ∈ (0, 1).
Không thể xảy ra trường hợp f (x) < +∞ và f (y) < +∞ mà f (tx +
(1 − t)y) = +∞ (do domf lồi). Nếu x ∈
/ domf hoặc y ∈
/ domf thì
f (x) = +∞ hoặc f (y) = +∞, do đó bất đẳng thức là đúng.
Do epif lồi, ∀(x, r) ∈ epif, ∀(y, s) ∈ epif, ∀t ∈ (0, 1) ta có

t(x, r) + (1 − t)(y, s) = (tx + (1 − t)y, tr + (1 − t)s) ∈ epif
suy ra
f (tx + (1 − t)y)

tr + (1 − t)s

chọn r = f (x), s = f (y) ta được
f (tx + (1 − t)y)

tf (x) + (1 − t)f (y).

Ngược lại, giả sử ∀t ∈ [0, 1], ∀x, y ∈ D ta có
f (tx + (1 − t)y)

tf (x) + (1 − t)f (y).

Lấy (x, r) ∈ epif, (y, s) ∈ epif, ∀t ∈ (0, 1) ta phải chứng minh
t(x, r) + (1 − t)(y, s) ∈ epif.