Bài tập xử lý tín hiệu số solution final dsp fall semester

ĐÁP ÁN
Bài 1: (2.5 điểm)
Theo định nghĩa của dãy số Fibonaci f(n), hai số hạng đầu tiên là 0 là 1 (e.g. f(0) và
f(1)=1), các số kế tiếp là tổng của hai số đứng trước.
a. Viết dãy số f(n) cho 10 số Fibonaci đầu tiên f(n) cho n=0, 1,…9 theo định nghĩa.
b. Tính 4 điểm FFT cho dãy số trong câu a.
c. Xác định biểu thức tổng quát cho đáp ứng xung nhân quả f(n) dựa vào tính của
dãy số Fibonaci và tìm F(z) là biết đỗi Z của f(n).
Bài 1: (2.5 điểm)
Theo định nghĩa của dãy số Fibonaci f(n), hai số hạng đầu tiên là 0 là 1 (e.g. f(0) và
f(1)=1), các số kế tiếp là tổng của hai số đứng trước.
a. Viết dãy số f(n) cho 10 số Fibonaci đầu tiên f(n) cho n=0, 1,…9 theo định nghĩa.
f(n) = {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34}
b. Tính 4 điểm FFT cho dãy số trong câu a.

24

88

33

9

15-25j

15

40

-22

55

15

25

16+25j

-25j

c. Xác định biểu thức tổng quát cho đáp ứng xung nhân quả f(n) dựa vào tính của
dãy số Fibonaci và tìm F(z) là biết đỗi Z của f(n).
f (n)   (n  1)  f (n  1)  f (n  2)
F ( z )  z 1  z 1F ( z )  z  2 F ( z )
F ( z) 

z 1
1  z 1  z  2

CuuDuongThanCong.com

/>

Bài 2: (3.5 điểm)
Cho một hệ thống rời rạc LTI nhân quả có hồi qui như trong hình vẽ, với ngõ vào x(n),
nhiễu hệ thống e(n) và ngõ ra y(n):
e(n)
+
x(n)

+
_

H1(z)

+

y(n)
H2(z)

a. Ngõ ra trong miền z có thể biểu diễn theo dạng
Y ( z)  H x ( z) X ( z)  H e ( z) E( z)
Tìm Hx(z) và He(z) theo H1(z) và H2(z)
b. Xác định H1(z) và H2(z) để
0.25 z 1
H x ( z) 
(1  0.5 z 1 )(1  0.25 z 1 )

H e ( z) 

1
(1  0.5 z )(1  0.25 z 1 )
1

c. Tìm ngõ ra của hệ thống y(n) khi ngõ vào và tín hiệu nhiễu đều là tín hiệu mũ với
biên độ giảm dần
x(n)  0.75n u (n),
e(n)  0.25n u (n)
d. Tìm ngõ ra của hệ thống y(n) khi ngõ vào dạng tuần hoàn và không có tín hiệu
nhiễu

x(n)  2e jn , e(n)  0
Bài 2: (3.5 điểm)
Cho một hệ thống rời rạc LTI nhân quả có hồi qui như trong hình vẽ, với ngõ vào x(n),
nhiễu hệ thống e(n) và ngõ ra y(n):
e(n)
+
x(n)

+
_

H1(z)

+

y(n)
H2(z)

a. Ngõ ra trong miền z có thể biểu diễn theo dạng
Tìm Hx(z) và He(z) theo H1(z) và H2(z)
(1 điểm)
Y ( z )  E ( z )  H1 ( z ) X ( z )  H 2 ( z )Y ( z ) 

CuuDuongThanCong.com

/>

 Y ( z )1  H1 ( z ) H 2 ( z )   H1 ( z ) X ( z )  E ( z )
H1 ( z )
1

X ( z) 
E( z)
1  H1 ( z ) H 2 ( z )
1  H1 ( z ) H 2 ( z )
H1 ( z )

 H x ( z )  1  H ( z ) H ( z )
1
2

1
 H e ( z) 

1  H1 ( z ) H 2 ( z )

 Y ( z) 

b. Xác định H1(z) và H2(z) để
(1 điểm)
0.25 z 1
H x ( z) 
(1  0.5 z 1 )(1  0.25 z 1 )

H e ( z) 

1
(1  0.5 z )(1  0.25 z 1 )
1

H1 ( z )

0.25 z 1
0.25 z 1
H x ( z) 


1  H1 ( z ) H 2 ( z ) (1  0.5 z 1 )(1  0.25 z 1 ) 1  0.25 z 1 (3  0.5 z 1 )
1
1
H e ( z) 

1
1  H1 ( z ) H 2 ( z ) (1  0.5 z )(1  0.25 z 1 )
 H1 ( z )  0.25 z 1

1
 H 2 ( z )  3  0.5 z

c. Tìm ngõ ra của hệ thống y(n) khi ngõ vào và tín hiệu nhiễu đều là tín hiệu mũ với
biên độ giảm dần
x(n)  0.75n u (n),
e(n)  0.25n u (n)
(1 điểm)

0.25 z 1
1
Y (z) 
X (z) 
E (z)
1
1

1
(1  0.5 z )(1  0.25 z )
(1  0.5 z )(1  0.25 z 1 )
0.25 z 1
1

1
1
1
1
(1  0.5 z )(1  0.25 z )(1  0.75 z ) (1  0.5 z )(1  0.25 z 1 ) 2
B
A0
A1
A2
B2
B3






1
1
1
1
1
(1  0.5 z ) (1  0.25 z ) (1  0.75 z ) (1  0.5 z ) (1  0.25 z ) (1  0.25 z 1 ) 2


CuuDuongThanCong.com

/>

A0 

0.25 z 1
0 .5

 2
1
1
(1  0.25 z )(1  0.75 z ) z  0.5 0.5  (0.5)

0.25 z 1
1

 0 .5
A1 
1
1
(1  0.5 z )(1  0.75 z ) z  0.25  1  (2)
A2 

0.25 z 1
1/ 3
1/ 3



 1 .5
1
1
(1  0.5 z )(1  0.25 z ) z  0.75 (1  2 / 3)  (1  1 / 3) (1 / 3)  (2 / 3)

B0 

1
(1  0.25 z 1 ) 2

B1 

B2 


z  0.5

1
4
0.52


d 
1
1
1  1  (0.5)



1 

1 
 0.25 d ( z )  (1  0.5 z )  z  0.25  0.25 (1  0.5 z 1 ) 2


z  0.25

1
0.5
 2
 0.25 (1) 2

1
1

 1
1
(1  0.5 z ) z  0.25  1

1
0 .5
1 .5
4
2
1





1

1
1
1
1
(1  0.5 z ) (1  0.25 z ) (1  0.75 z ) (1  0.5 z ) (1  0.25 z ) (1  0.25 z 1 ) 2
 1 .5
3
1 .5
1




1
1
1
(1  0.5 z ) (1  0.25 z ) (1  0.75 z ) (1  0.25 z 1 ) 2

 Y ( z) 





 y (n)   3  0.5n  1.5  0.25n  1.5  0.75n  (n  1)  0.25n u (n)
d. Tìm ngõ ra của hệ thống y(n) khi ngõ vào dạng tuần hoàn và không có tín hiệu
nhiễu
x ( n )  2 e j  n , e( n )  0
(1 điểm)
y (n)  H (   )  2e jn  H ( z  e j )  2e jn 

0.25 z 1
 2e jn
(1  0.5 z 1 )(1  0.25 z 1 ) z  e j  1

 0.25
1
 4 jn  4 jn
 2e jn 
 2e jn 
e 
e
(1  0.5)(1  0.25)
3  2 .5
3 5
15
4
 e j (n   / 2)  0.267  e j (n  / 2 )
15



Câu 3 (2 điểm) : Cho hệ thống rời rạc LTI có đáp ứng xung h(n) = 0.5n u(n–1).

CuuDuongThanCong.com

/>

a. Viết phương trình sai phân vào-ra và vẽ 1 sơ đồ khối thực hiện hệ thống.
b. Tìm giá trị của mẫu tín hiệu ngõ ra y(n=1) khi tín hiệu ngõ vào x(n) = {1,

0, 0, –1}.
c. Tìm giá trị của mẫu tín hiệu ngõ ra y(n=1) khi tín hiệu ngõ vào x(n) = u(–
n–1).
d. Tìm giá trị của mẫu tín hiệu ngõ ra y(n=1) khi tín hiệu ngõ vào x(n) = 1.

Câu 3:
a. H(z) = 0.5

z 1
1  0.5 z 1

Y(z) = H(z).X(z)  y(n) = 0.5x(n-1) + 0.5y(n-1)

a1 = -0.5, b0 = 0, b1 = 0.5
b. y(1) = x(0)h(1) + x(3)h(-2) = 1 x 0.5 = 0.5
 0.5 z 1
c. Y(z) = H(z).X(z) =
 y(1) = 0.5
(1  0.5 z 1 )(1  z 1 )

d. y(n) =





k 1

k 1

 h(k ) x(n  k ) =  0.5 k =

0.5
=1
1  0.5

Câu 4 (2.5 điểm) : Cho hệ thống LTI nhân quả có hàm truyền H(z) =
z 1
2

.
1
1  0.5 z
1  0.5 z 1

a. Vẽ sơ đồ cực-zero và kiểm tra tính ổn định của hệ thống.
b. Tìm đáp ứng xung của hệ thống.
c. Viết phương trình sai phân vào-ra và vẽ 1 sơ đồ khối thực hiện hệ thống.

CuuDuongThanCong.com

/>

d. Tìm giá trị của mẫu tín hiệu ngõ ra y(n=2) khi tín hiệu ngõ vào x(n) =
4δ(n) – δ(n – 2).
Câu 4:

1
0.8
0.6

Imaginary Part

0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1

a.

-0.5

0
Real Part

0.5

1

Ổn định
b. h(n) = 0.5n-1u(n-1) + 2.(-0.5)nu(n)
c. y(n) = 2x(n) + 0.5x(n-2) + 0.25y(n-2)

a1 = 0, a2 = -0.25, b0 = 2, b1 = 0, b2 = 0.5
d. Y(z) = H(z).X(z) = 8 + 2z-2  y(2) = 2

hay dung tích chập hay dung bảng chập

CuuDuongThanCong.com

/>

Câu 5 (2.5 điểm) : Cho hệ thống rời rạc LTI nhân quả có phương trình vào-ra
y(n) = x(n–1) – 0.5y(n–1).
a. Tìm hàm truyền H(z) và đáp ứng xung h(n) của hệ thống.
b. Vẽ phác thảo biên độ đáp ứng tần số |H(w)| và xác định đặc tính tần số
(thông thấp, thông cao, thông dải hay chắn dải) của hệ thống.
c. Tìm giá trị của mẫu tín hiệu ngõ ra y(n=3) khi tín hiệu ngõ vào x(n) =
0.5nu(n).
d. Tìm tín hiệu ngõ vào x(n) để tín hiệu ngõ ra y(n) = δ(n–1).

Câu 5:
a. H(z) =

z 1
và h(n) = (-0.5)n-1u(n-1)
1
1  0.5 z

2

1.8

Magnitude

1.6

1.4

1.2

1

0.8

0

1

2

3
4
Frequency (rad/s)

5

6

7

b. Thông cao
c. Y(z) = H(z).X(z)  y(3) = 0.5nu(n)-(-0.5)nu(n) y(3) = 0.25
d. X(z) = Y(z) / H(z) = 1 + 0.5z-1  x(n) = {1, 0.5}

CuuDuongThanCong.com

/>

Câu 6 (2.5 điểm) : Cho định nghĩa DFT-N điểm và IDFT-N điểm như sau:
L 1

X (k )   xn e  j 2kn / N

, k  0,1,2,..., N  1

n 0

xn  

1
N

N 1

 X k e

j 2kn / N

, n  0,1,2,..., N  1

k 0

a. Tính DFT-4 điểm của tín hiệu x(n) = {2, 1, 1, 2, 19, 11, 19, 11}.
b. Tính IDFT-4 điểm của tín hiệu X(k) = {66, 1 + j, 16, 1 – j}.
c. Vẽ sơ đồ thực hiện và tính FFT-4 điểm của tín hiệu x(n) = {66, 1 – j, 16, 1

+ j}.
d. Vẽ 1 sơ đồ tổng quát thực hiện FFT-8 điểm.

Câu 4:
a. X(k) = {66, 1 + j, 16, 1 – j}.
b. x(n) = {21, 12, 20, 13}.
c. X(k) = 4 x {21, 12, 20, 13}.

CuuDuongThanCong.com

/>

d.

CuuDuongThanCong.com

/>