Vận dụng lý thuyết về hoá lượng tử xây dựng hệ thống bài tập giếng thế trong giảng dạy hoá học ở trường THPT chuyên, phục vụ việc bồi dưỡng học sinh giỏi quốc gia, quốc tế

TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI
----˜˜˜----

HOÁ HỌC LƯỢNG TỬ: GIẾNG THẾ
“Vận dụng lý thuyết về hoá lượng tử xây dựng hệ thống bài tập giếng thế trong
giảng dạy hoá học ở trường THPT chuyên, phục vụ việc bồi dưỡng học sinh giỏi
Quốc gia, Quốc tế”.

LÀO CAI – 2019

1


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Hiện nay, việc giáo dục nói chung và việc dạy hóa học nói riêng từ cấp phổ
thông cho đến bậc cao đẳng, đại học đã rất chú trọng đến cơ sở lý thuyết nền tảng.
Trong hóa học, cơ sở lý thuyết nền tảng gồm có hai phần chính là : Cơ sở lý thuyết về
các quá trình hóa học và cơ sở lý thuyết về cấu tạo nguyên tử, phân tử
Trong vài chục năm gần đây, sự đẩy mạnh việc vận dụng cơ học lượng tử trong
hóa học cùng với sự ứng dụng rộng rãi nhiều phương pháp nghiên cứu hiện đại trong
hóa học đã thúc đẩy nghành khoa học nghiên cứu về cấu tạo nguyên tử phát triển nhanh
chóng và đạt được những thành tựu rực rỡ. Trong thực tế giảng dạy hoá học ở các
trường phổ thông, việc hiểu biết và vận dụng kiến thức về cấu tạo nguyên tử sẽ giúp
học sinh hiểu đầy đủ và sâu sắc cấu tạo các chất hóa học, giải thích được các quy luật
biến đổi tính chất lý hóa của đơn chất , hợp chất cũng như các quá trình hoá học, giúp
giáo viên không những biết cách dạy bản chất vấn đề mà còn thiết kế chính xác, sáng
tạo các tình huống vận dụng cho học sinh, kích thích học sinh say mê học tập, khám
phá thế giới hóa học đầy màu sắc với những ứng dụng thực tế mà môn học hoá học
mang lại cho các em.

Ra đời vào những năm đầu của thế kỉ XX, Cơ học lượng tử phát triển ngày
càng mạnh và ngày nay đã trở thành một trong những lĩnh vực quan trọng trong khoa
học tự nhiên hiện đại. Sự vận dụng Cơ học lượng tử vào hoá học khai sinh ra một
lĩnh vực mới là Hoá học lượng tử. Để đảm bảo tính cập nhật giáo dục – khoa học, nội
dung về hoá lượng tử và ứng dụng của hoá lượng tử trong nghiên cứu cấu trúc của
nguyên tử, phân tử, các phản ứng hoá học đã được đề cập nhiều trong các đề thi học
sinh giỏi Hóa học Quốc gia và Olympic Hóa quốc tế.
Trong thực tế giảng dạy ở các trường phổ thông nói chung và ở các trường
THPT chuyên - là nơi có nhiệm vụ bồi dưỡng nhân tài, đòi hỏi cao trong việc cập nhật
kiến thức khoa học hiện đại và đổi mới phương pháp dạy và học, việc dạy và học môn

2


Hóa ở các lớp chuyên Hóa, việc bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia, mục tiêu nâng cao
thành tích thi Olympic Hóa quốc tế, hiện đại hóa các kiến thức phổ thông gặp một số
khó khăn như:
- Đã có sách giáo khoa dành riêng cho học sinh chuyên hóa song nội dung kiến
thức chưa đủ, không có tính cập nhật và còn có khoảng cách rất xa so với nội dung
chương trình thi học sinh giỏi Hóa quốc gia, đặc biệt là Olympic Quốc tế. Để rút ngắn
khoảng cách đó cần trang bị cho các em một số kiến thức hóa học nâng cao ngang tầm
với chương trình đại học về mức độ vận dụng nhưng vẫn đảm bảo mức độ hợp lý, phù
hợp với trình độ học sinh phổ thông.
- Tài liệu tham khảo chủ yếu trình bày các nội dung lý thuyết mà ít có bài tập
vận dụng hoặc chỉ ở mức đơn giản. Trong những năm qua, giáo viên dạy các lớp
chuyên hóa học phải tự mò mẫm tìm bài cho đủ dạng, đủ loại để tiến hành bồi dưỡng
cho học sinh.
Từ thực tế trên, với mục đích xây dựng một hệ thống lý thuyết và bài tập nâng
cao, chuyên sâu từng vấn đề một để bồi dưỡng học sinh tham dự đội tuyển thi học sinh
giỏi Quốc gia và đặc biệt là thi học sinh giỏi Quốc tế, chúng tôi đã chọn đề tài: “ Vận

dụng lý thuyết về hoá lượng tử để xây dựng một số bài tập giếng thế trong giảng dạy
hoá học ở trường THPT chuyên, phục vụ việc bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia,
Quốc tế”.
2. Mục đích nghiên cứu
- Sử dụng tính toán hóa học lượng tử trong hóa học phổ thông để giải thích một

số vấn đề về cấu tạo nguyên tử, phân tử và một số quá trình hoá học.
3. Nhiệm vụ của đề tài
- Nghiên cứu lí thuyết về cấu tạo nguyên tử trong chương trình hóa học đại
cương và tìm hiểu nội dung giảng dạy phần cấu tạo nguyên tử ở tài liệu giáo khoa
chuyên Hóa học lớp 10.
- Phân loại các bài tập trong tài liệu giáo khoa, sách bài tập, trong các tài liệu

tham khảo có nội dung liên quan cấu tạo nguyên tử , từ đó phân tích việc vận dụng nội
dung hoá học lượng tử vào việc nghiên cứu cấu tạo nguyên tử, phân tử và một số quá
trình hoá học trong giảng dạy hoá học ở các trường chuyên và sưu tầm và phân loại một

3


số bài tập vận dụng hoá học lượng tử trong hoá học phổ thông
- Sử dụng tính toán hóa học lượng tử trong hóa học phổ thông để giải thích một

số vấn đề về cấu tạo và tính chất.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
4.1. Đối tượng nghiên cứu
- Các sách tham khảo, các đề thi học sinh giỏi Hóa quốc gia của Việt Nam và
các nước khác, các đề thi Olympic Hóa quốc tế có nội dung cấu tạo nguyên tử.
4.2. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu chương trình chuyên hóa bậc trung học phổ thông và bậc đại học

chuyên ngành Hóa lý về nội dung cấu tạo nguyên tử.
5. Phương pháp nghiên cứu.
5.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận
- Nghiên cứu cơ sở lý thuyết cấu tạo nguyên tử phục vụ cho việc giải quyết các dạng
bài tập.
- Phân tích, tổng hợp, phân loại và hệ thống hóa các bài tập thuộc phần cấu tạo
nguyên tử trong đề thi Hóa quốc gia của Việt Nam và các nước khác, các đề thi
Olympic Hóa quốc tế
- Các phần mềm tính toán hóa học lượng tử trong hóa học phổ thông để giải
thích một số vấn đề về cấu tạo và tính chất.
5.2. Phương pháp nghiên cứu thực tiễn
- Tìm hiểu thực tiễn giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi ở các lớp chọn, lớp
chuyên Hoá học nhằm phát hiện vấn đề nghiên cứu.
- Trao đổi kinh nghiệm với giáo viên dạy các lớp chọn, lớp chuyên Hoá học và
các đồng nghiệp trong và ngoài tỉnh.

4


CHƯƠNG I. MỘT SỐ CƠ SỞ VÀ TỔNG QUAN
I.1. ĐẠI CƯƠNG VỀ CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
I.1.1. Một số vấn đề tiền cơ học lượng tử liên quan đến cấu tạo nguyên tử
I.1.1.1.Thuyết lượng tử Planck
Theo Planck, một dao động tử dao động với tần số  chỉ có thể phát ra hay hấp
thụ năng lượng theo từng đơn vị nguyên vẹn, từng lượng gián đoạn, được gọi là lượng
tử năng lượng. Lượng tử năng lượng đó tỉ lệ thuận với tần số của dao động.
E  h trong đó h – hằng số Planck, h = 6,625 �10-34 J.s

 - tần số dao động ( 

c
, c- tốc độ ánh sáng trong chân không, c=3 �108m/s,


 - độ dài sóng ,m).

Ý nghĩa quan trọng của thuyết lượng tử Plank là đã phát hiện ra tính chất gián
đoạn hay tính chất lượng tử của năng lượng trong các hệ vi mô. Năng lượng của
electron trong nguyên tử,năng lượng quay....đều nhận những giá trị gián đoạn là :
0, h , 2h ,3h , 4h ....nh

Măt khác, vì năng lượng của dao động tử phát ra hay hấp thụ dưới dạng năng
lượng bức xạ nên thuyết lượng tử Planck cũng có nghĩa là : “Ánh sáng hay bức xạ nói

5


chung gồm những lượng tử năng lượng E  h ”.
I.1.1.2. Lưỡng tính sóng hạt của ánh sáng
I.1.1.2.1. Hiệu ứng quang điện
Hiệu ứng quang điện là hiện tượng giải phóng ra các electron khỏi bề mặt kim
loại dưới tác dụng của bức xạ chiếu vào.
Đối với kim loại xác định , điều kiện để có hiệu ứng quang điện là bức xạ được
chiếu vào bề mặt kim loại phải có một tần số tối thiểu  0 gọi là tần số giới hạn.
Nếu bức xạ có tần số    0 thì năng lượng của bức xạ một phần dùng vào việc giải
phóng electron khỏi bề mặt kim loại, một phần truyền động năng cho electron:
h  h 0 

mv 2
2

I.1.1.2.2. Lưỡng tính sóng- hạt của vật chất
Sự chuyển động của mọi hạt vật chất có khối lượng m và tốc độ v đều liên hệ
với một sóng có độ dài  được xác định bởi hệ thức de Broglie :  

h
h

trong đó
mv p

p- động lượng của hạt.
Ví dụ, tính độ dài sóng của một hạt bụi khối lượng 0,01mg chuyển động với
v=1,0mm/s và độ dài sóng của một electron khối lượng 9,1 �10-31kg chuyển động với
tốc độ 1,0 �106m/s.
Giải:
Electron  

6, 625 �1034 (J�s)
 7,3 �1010 m
9,1�10 31 (kg) �1, 0 �106 (m�s 1 )

6, 625 �1034 (J�s)
 6, 6 �10 23 m
Hạt bụi:  
8
3
1
1, 0 �10 (kg) �1, 0 �10 (m�s )

Đô dài sóng của hạt bụi quá nhỏ, chỉ thể hiện khi tương tác với mạng nhiễu xạ
có khe hở khoảng 6,6 �10-23m. Khoảng cách như thế nhỏ hơn nhiều so với kích thước
nguyên tử (cỡ 10-10m) nên khi tương tác với đối tượng thực, tính chất sóng của hạt bụi
không thể hiện. Trong khi đó bước sóng của elctron lớn hơn nhiều. Sự nhiễu xạ của
sóng như vậy có thể quan sát được khi các electron tương tác với các nguyên tử trong
tinh thể.

6


I.1.1.2.3. Hệ thức bất định Heisenberg
Theo Heisenberg, không thể xác định đồng thời chính xác cả vị trí lẫn động
lượng của vi hạt. Chẳng hạn, một hạt chuyển động theo phương x với độ bất định về
tọa độ là x và độ bất định về động lượng là px thì hệ thức bất định có dạng:
h
h
x �px � hoặc x �v x �
2
2m

Ví dụ: Phép đo tọa độ x của electron có độ chính xác vào khoảng 10 -3 đường
kính nguyên tử (khoảng 10-8cm). Có thể xác định được chính xác tốc độ chuyển động
của electron hay không?
Giải: Khối lượng của electron là 9,1 �10-31 kg.
Theo đầu bài ta có x �108 �103 cm  10 11 cm  1013 m .
h
h
� vx �
2m
2mx

Ta có x �vx �
Thay h 

h
 1, 05 �1034 J .s vào tính được vx �5, 76 �108 m / s
2

mà tốc độ ánh

sáng trong chân không là 3 �108m/s. Vậy không thể xác định được vận tốc vx của
electron khi đã biết tọa độ của nó.
Từ ví dụ này ta thấy tầm quan trọng của nguyên lý bất định ở quy mô nguyên tử.
Chẳng hạn, không thể biết chính xác quỹ đạo chuyển động của electron trong nguyên
tử.
I.1.2. Áp dụng cơ học lượng tử về cấu tạo nguyên tử
Như chúng ta đã biết, ngoài bản chất hạt, các vật thể vi mô chuyển động còn
có bản chất sóng. Do đó, sự chuyển động của vi hạt tuân theo những định luật khác
với những định luật của cơ học cổ điển. Điều này làm xuất hiện một ngành cơ học
mới áp dụng cho các hạt vi mô.
Ngành cơ học mới này được xây dựng trên cơ sở bản chất sóng của các vi hạt
và thể hiện được những đặc tính riêng biệt của thế giới vi mô, đặc biệt là tính lượng
tử (rời rạc, gián đoạn). Do đó, ngành cơ học mới này được gọi là cơ học sóng hay cơ
học lượng tử. Đó là một ngành cơ học lý thuyết, được xây dựng trên nền một hệ các

7


tiền đề cơ sở. Phương trình cơ bản của cơ học lượng tử là phương trình do
Schrodinger tìm ra năm 1926 và được gọi là phương trình Schrodinger.

Dưới đây, ta chỉ đề cập đến một số vấn đề cơ sở của cơ học lượng tử dưới
dạng mô tả định tính và sự áp dụng lý thuyết này cho các bài toán về cấu trúc nguyên
tử, phân tử và liên kết hoá học. Cơ sở của cơ học lượng tử sẽ được trình bày chi tiết
trong giáo trình Hóa học lượng tử ở năm thứ 3 bậc đại học.
Sau đây là một số khái niệm cơ sở của cơ học lượng tử:
I.1.2.1. Hàm sóng
Mỗi trạng thái của một hệ vi mô được đặc trưng bới một hàm xác định, đơn trị
,hữu hạn, liên tục, phụ thuộc vào thời gian t và tọa độ q, ký hiệu là hàm  (q,t) ; gọi là
hàm sóng hay hàm trạng thái.
Hàm sóng  (q,t) không có ý nghĩa vật lý trực tiếp, song bình phương môđun của
2

hàm đó,  (q,t) , cho biết xác suất tìm thấy hệ lượng tử tại một thể tích đơn vị trong
không gian có tọa độ q ở thời điểm t.
Xác suất phát hiện electron trong yếu tố thể tích dv nào đó được xác định bằng
2

dw   (q,t) dv
2

Mật độ xác suất:  (q,t) 

dw
dv

.

2

Nếu lấy tích phân của  (q,t) trong toàn không gian ta sẽ có xác suất tìm thấy hạt

trong toàn không gian tức là bằng 1.
Chú ý: Nếu hàm sóng  là tổ hợp tuyến tính của nhiều hàm sóng  ,

  �ci  i thì mật độ elelctron trên một nguyên tử sẽ bằng
i

�c
�c

2
v

v

2
i

(trong đó cv là hệ số

i

đóng góp của hàm sóng  v thuộc nguyên tử đang xét).
I.1.2.2. Phương trình Schodinger
Schodinger là người đầu tiên đưa ra phương trình mô tả được trạng thái của các
vi hạt, chẳng hạn của electron trong nguyên tử.

8


Đối với vi hạt (electron chẳng hạn) có khối lượng m, chuyển động trong trường

thế năng U(x,y,z), phương trình Schodinger cho trạng thái dừng (là trạng thái của vi hạt
không phụ thuộc vào thời gian) có dạng:

r

(
Trong đó r ) là hàm riêng của toán tử Hamilton
r
ứng với hàm riêng  (r ) .

, E là trị riêng của

� h2
�
  U (x, y, z) �
  E
Hay �
� 2m
�
h - hằng số Planck rút gọn

E- năng lượng toàn phần của hệ
 - toán tử Laplace,  

�2
�2
�2


�

x2 �
y2 �
z2
r

Giải phương trình Schodinger sẽ tìm được hàm  ( r ) và năng lượng E của
electron. Tuy nhiên việc giải chính xác phương trình này chỉ thực hiện đươc với nguyên
tử Hidro và ion dạng Hidro (nguyên tử và ion có 1 electron, như He +,Li2+, Be3+…..Đối
với nguyên tử nhiều electron người ta phái dùng phương pháp gần đúng.
I.1.2.3. Kết quả giải phương trình Schodinger cho nguyên tử Hidro và ion dạng Hidro
Nguyên tử Hidro và ion dạng Hidro là hệ 1 electron và một hạt nhân có mô hình:
Trung tâm là hạt nhân có số đơn vị điện tích Ze 0, một electron có điện tích –e 0 chuyển
động trong trường lực hạt nhân đó.
Ta có phương trình Schodinger có dạng:
� h2 ��2
�2
�2 � Ze02 �

  E
�
�
� 2  2  2 �
x �
y �
z � 4 0 r �
� 2m ��

Kết quả lời giải phương trình Schodinger cho hệ này là:
Hàm riêng là hàm obitan nguyên tử :

r
 nlml (r )  R nl (r) �Ynlml ( ,  )

R (r) là hàm bán kính còn Y ( ,  ) là hàm góc.

9


Hàm  là hàm phức, phụ thuộc vào 3 số lượng tử đó là: số lượng tử chính n, số
lượng tử phụ l và số lượng tử từ m l. Mỗi bộ ba giá trị của n,l,ml ứng với một hàm  nlm

l

gọi là một obital nguyên tử.
Một số hàm sóng của nguyên tử hidro và ion dạng hidro

n
1

l
0

 nlm
ml
 100
0

2

0

0

 200

2s

2

1

�1

 21�1

2px

2

1

�1

 21�1

2py

2

1

0

 210

2pz

l

Obitan
1s

Y ( ,  )

R (r)

1
4

3/2

�z �
2 � � �e  zr / a0
a0 �
�
3/2

1 �z � � zr
1
� � ��

2 �a0 � � 2a0

�  zr/ a0
�e
�
�

5/2

1 �z �
 zr/2 a0
� � �r �e
2 6 �a0 �
5/2

1 �z �
 zr/2 a0
� � �r �e
2 6 �a0 �
5/2

1 �z �
 zr/2 a0
� � �r �e
2 6 �a0 �

a0: bán kính Bohr thứ nhất, a0= 0,053nm
Hàm  nlm có trị riêng tương ứng là En  
l

mZ 2 e04
1
�2
2
2
2h (4 0 ) n

Đây chính là năng lượng của electron, trong đó:
m-khối lượng của một electron
e0 -điện tích cơ sở
h

h
: hằng số Planck rút gọn
2

 0 : hằng số điện môi trong chân không

Z: là số đơn vị điện tích hạt nhân
Thay các giá trị hằng số trên vào ta tính được :
Z2
Z2
En  2,18 �1018 � 2 (J)  13,6 � 2 (eV)
n
n

I.1.2.4. Nguyên tử nhiều electron

10

1
4
3
sin  cos 
2 
3
sin  sin 
2 
3
cos 
2 


Trong nguyên tử nhiều electron, ngoài tương tác giữa các electron và hạt nhân
còn có tương tác giữa các electron với nhau. Ví dụ nguyên tử Heli có 2 electron, coi hạt
nhân đứng yên, r1 và r2 lần lượt là khoảng cách của electron thứ nhất và thứ hai với hạt
nhân, r12 là khoảng cách giữa 2 electron với nhau.Toán tử Hamiltơn có dạng :

1 ,  2 : toán tử Laplace của electron thứ nhất và thứ hai

Số hạng 

2e02
2e02
,
biểu thị lực hút của elctron thứ nhất và thứ hai với hạt
4 0 r1 4 0 r2

nhân.
e02

Số hạng
biểu thị lực đẩy giữa hai electron.
4 0 r12

Phương pháp gần đúng áp dụng cho nguyên tử nhiều electron là mô hình hạt độc
lập. Với mô hình này người ta coi mỗi electron trong nguyên tử chuyển động độc lập
với các electron khác trong một trường xuyên tâm tạo bởi hạt nhân và các electron còn
lại. Kết quả là trạng thái của mỗi electron trong nguyên tử nhiều electron cũng được
đặc trưng bởi một hàm sóng  . Mỗi hàm  cũng phụ thuộc vào 3 giá trị của 3 số
lượng tử n, l, ml gọi là một obital nguyên tử.
I.1.2.5. Phương pháp gần đúng Slater áp dụng cho nguyên tử nhiều electron
Năm 1930, Slater đã đề nghị một phương pháp gần đúng xác định hàm bán kính
Rnl và năng lượng tương ứng của obital đó là

 nl

(năng lượng tương ứng với phân lớp

electron).
Công thức xác định hàm bán kính là:
*

Rnl (r)  c r n 1 �e (Z  b) r/n

*

a0

Năng lượng của 1 electron ở trạng thái được mô tả bới hàm Rnl(r) là :
 nl  

(Z b) 2 e02
(Z b)2
�


13,
6
�
(eV)
(n * ) 2
2a0
(n * ) 2

Trong đó:

11


Z: Số đơn vị điện tích hạt nhân của nguyên tử
b: Hằng số chắn
(Z-b): Số đơn vị điện tích hạt nhân hiệu dụng.
n* : Số lượng tử chính hiệu dụng.
c: Hằng số
a0: Bán kính Borh thứ nhất.
e0: Điện tích cơ bản
I.1.2.6. Số lượng tử spin. Hàm obital spin

uur

Ngoài chuyển động obitan tạo ra mô men động lượng M , electron còn có
r

chuyển động spin tạo ra mômen động lượng spin s .
Theo thực nghiệm, electron có spin s=1/2. Để mô tả trạng thái electron trong
chuyển động spin, ta có hàm sóng spin  ( ) .
Electron ở trạng thái spin được mô tả bởi hàm  ,ký hiệu là � , ứng với trị số
lượng tử spin ms= - ½.
Electron ở trạng thái spin được mô tả bởi hàm  ,ký hiệu là �, ứng với trị số
lượng tử spin ms= + ½.
Từ các nội dung trên ta thấy rằng đối với mỗi electron trong nguyên tử có hàm
r

sóng  nlm (r ) hay hàm obital, với một bộ ba số lượng tử n,l,m l, mô tả chuyển động
l

obital, hàm sóng spin  ,  , với một số lượng tử từ spins ms, mô tả chuyển động spin
của electron đó.
Vậy hàm sóng toàn phần hay hàm obital spin với một bộ bốn số lượng tử
n,l,ml,ms mô tả đầy đủ trạng thái của một electron trong nguyên tử là hàm tích:

r
r
 nlml ms (r ,  )   nlml (r ) �ms ( ).

I.1.2.8. ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER
a. Hộp thế 1 chiều:

12

Trong những bài toán thực tế, ta thường gặp những trường hợp hạt chỉ chuyển
động trong một phạm vi giới hạn bởi một hàng rào thế năng có chiều cao khá lớn, ví dụ
như electrôn trong mạng tinh thể hay nuclôn trong hạt nhân bền, khi đó ta nói rằng hạt
ở trong giếng thế năng.
Ta hãy xét trường hợp hạt nằm trong giếng thế năng có thành cao vô hạn và
chuyển động theo một phương x bên trong giếng thế (hình 8-6). Thế năng U được xác
định theo điều kiện:

Như vậy bên trong giếng thế hạt chuyển động tự do và không thể vượt ra ngoài giếng.
Phương trình Schrodinger của hạt trong giếng thế (U = 0) một chiều (chiều x) có dạng:

(12)

Đặt

k2 

2mE
d 2
 k 2  0
2
2
h , ta có: dx
(13)

Nghiệm của phương trình (13) có dạng: (x)  A sin kx + B cos kx

(14)

A, B là những hằng số được xác định từ điều kiện của hàm sóng. Theo đầu bài thì hạt
chỉ ở trong giếng thế, do đó xác suất tìm hạt tại vùng ngoài giếng thế bằng không và
hàm sóng trong các vùng đó cũng bằng 0. Từ điều kiện liên tục của hàm sóng ta suy ra:

 (0)  0,  (a)  0 . Thay điều kiện này vào (14) ta có:
(0)  A sin (0) + B = 0 � B  0 và (a)  A sin (ka) = 0
B = 0 nên A phải khác 0 (vì nếu A = 0 thì ψ luôn bằng 0 và là một nghiệm tầm thường).
Do đó ta có: sin ka  0  sin n với n = 1,2,…

Từ đó rút ra:

k

n
a

(15)

Như vậy ta có một dãy nghiệm hàm sóng có dạng:

13

 n (x)  A sin

n
x
a

(16)

thỏa mãn điều kiện biên của miền. Hằng số A được xác định từ điều kiện chuẩn hóa (3)
của hàm sóng. Vì hạt không thể ra khỏi giếng nên xác suất tìm thấy hạt trong giếng là
chắc chắn:
a

2
|

(x)
|
� dx  1
0

Tính giá trị tích phân:

Ta tìm được:

A

2
a

Như vậy hàm sóng được xác định hoàn toàn:

 n (x) 

2
n
sin x

a
a ( 17)

Năng lượng của hạt trong giếng thế cũng được tìm thấy khi ta thay biểu thức (15) vào
2

2mE � � 2
2 h2 2 � h 2 � 2
En 
n � 2 �
n
k  2  � �n
2ma 2
h
�8ma �
�a � và nhận được
2

( 18)

Từ các kết quả trên ta rút ra một số kết luận sau:
a. Mỗi trạng thái của hạt ứng với một hàm sóng  n (x)
b. Năng lượng của hạt trong giếng phụ thuộc vào số nguyên n, nghĩa là biến
thiên gián đoạn. Ta nói rằng năng lượng đã bị lượng tử hóa.
Với n = 1 ta có mức năng lượng cực tiểu
1 

E1 

2 h2

�0
2ma 2
ứng với hàm sóng

2

sin x
a
a , mô tả trạng thái chuyển động cơ bản của hạt. Hàm sóng ψ1(x) khác

không tại mọi điểm trong giếng, chỉ có thể bằng 0 tại các vị trí biên (Hình 8-7).
Khoảng cách giữa hai mức năng lượng kế tiếp nhau ứng với các số nguyên n và n+1
bằng:

14


2 h2
E n  E n 1  E n 
(2n  1)
2ma 2

(19)

ΔEn càng lớn khi a và m càng nhỏ. Điều đó có nghĩa là trong phạm vi thế giới vi mô,
sự lượng tử hóa càng thể hiện rõ rệt. Cụ thể, nếu xét hạt electrôn m = 9,1.10-31kg, a ~
5.10-10m thì ΔE ~ 1eV, khoảng cách giữa En+1 và En tương đối lớn, năng lượng bị
lượng tử hóa. Nhưng nếu xét một hạt có m ~10-26kg chuyển động trong miền a~10cm
thì khoảng cách giữa các mức năng lượng ΔE~ 10-20eV khá nhỏ. Trong trường hợp
này có thể coi năng lượng của hạt biến thiên liên tục.

2
n
|  n (x) |2  sin 2
x
a
a
c. Mật độ xác suất tìm hạt trong giếng:

Mật độ xác suất cực đại khi:

sin(

(20)

n
x)  �1
a
.

Do đó xác suất tìm thấy hạt lớn nhất tại:

x  (2m  1)

a
a
2n

m = 0,1,…

Ví dụ: Khi n = 1 xác suất tìm thấy hạt ở điểm x = a/2 là lớn nhất.
Khi n = 2 xác suất tìm thấy hạt ở điểm x = a/4 và x = 3a/4 là lớn nhất...
Mật độ xác suất cực tiểu khi:

sin(

n
x)  0
a
.

Do đó xác suất tìm thấy hạt nhỏ nhất tại

x

ma
a
n

b. Hộp thế ba chiều

15


Trong các bài toán thực tế về cấu tạo nguyên tử, các electron không chỉ chuyển
động trên một phương xác định mà chuyển động trong một vùng không gian hữu hạn.
Để hiểu một cách khái quát về cách giải những bài toán này chúng ta khảo sát mô
hình hộp thế ba chiều. Ở đây, ta giả thiết là khu vực chuyển động của vi hạt là một
hình hộp với các cạnh là a, b, c.
Thế năng của vi hạt trong hộp thế có giá trị xác định, không đổi, để tiện lợi ta

chọn làm điểm gốc và do đó Ux = Uy = Uz = 0.
z
c
0

x

b

y

a

Hình. Hộp thế ba chiều

Phương trình Schroedinger cho vi hạt chuyển động trong hộp thế ba chiều:
+

+

+

=0

(1)

Năng lượng toàn phần E = Ex + Ey + Ez.
Để giải phương trình (2.63), ta đặt:
(x,y,z) = X(x).Y(y).Z(z) = X.Y.Z

(2)

Đặt (2) vào (1), ta có thể tách phương trình thu được ba phương trình có dạng hoàn
toàn giống nhau:
+

X=0

+

Y=0

+

Z=0

16


Lời giải của mỗi phương trình trên giống như trường hợp hộp thế một chiều mà
ta đã biết:

Ở đây,

X(x) =

sin

x

Y(y) =

sin

y

Z(z) =

sin

z

(5)

nx = 1 ; 2 ; 3 ; ... ;

ny = 1 ; 2 ; 3 ; ... ;
nz = 1 ; 2 ; 3 ; ...
Đặt (5) vào (4) ta có hàm sóng (x,y,z) = X(x).Y(y).Z(z) mô tả trạng thái của
vi hạt trong hộp thế ba chiều. Tương ứng với hàm sóng đó, ta có năng lượng của vi
hạt:
E = Ex + Ey + Ez
= +

=

+

( +

+

)

(6)

Ở đây, trong bài toán về hộp thế ba chiều ta thấy xuất hiện ba số lượng tử n x, ny,
nz. Số các số lượng tử như vậy bằng số bậc tự do của hạt chuyển động

17


CHƯƠNG II
MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG LÍ THUYẾT HOÁ HỌC LƯỢNG TỬ XÂY
DỰNG BÀI TẬP GIẾNG THẾ PHỤC VỤ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC
GIA, QUỐC TẾ
II.1. BÀI TẬP VỀ HOÁ HỌC LƯỢNG TỬ - GIẾNG THẾ
I.1.1. Một số nội dung lý thuyết cần ghi nhớ
I.1.1. Hạt trong hộp thế một chiều
Electron chuyển động trong giếng thế theo phương x
Ta giả thiết có một vi hạt (electron) chuyển động theo phương x và trong khu
vực OA = a, ta có mô hình “hộp thế một chiều”
Phạm vi hạt chuyển động là: 0

. Hai điều kiện biên của bài toán là:khi

x = 0  Ψ(x) = Ψ(0) = 0 và x = OA = a  Ψ(x) = Ψ(a) = 0. Thế năng của hạt cũng là
hàm của tọa độ x, nghĩa là U(x). Trị số của thế năng đó là:
khi x

0 hoặc x

a

U(x) =
0 khi 0

a

18


Như vậy, trong phạm vi hộp thế, thế năng bằng 0, nghĩa là hạt chuyển động
hoàn toàn tự do.

V=

Phương trình Schrodinger trong trường hợp này có dạng

Giải phương trình vi phân trên ta có
- Hàm sóng:  n (x)  A sin

n
x
a

- Năng lượng
n = 1,2,3… số lượng tử chính
h – hằng số Plank
m khối lượng electron

L chiều rộng giếng thế
I.1.1. Một số bài tập vận dụng
I.1.1.1 Một số bài tập giếng thế
Bài 1: 1e chuyển động trong giếng thế 1 chiều bị kích thích bằng ánh sáng có
bước sóng 1,374.10-5 m để chuyển từ mức cơ bản lên mức cao hơn, xác định mức năng
lượng cao hơn mà electron cần chuyển tới. Biết rộng giếng thế là 10nm.
Hướng dẫn:
Ánh sáng để kích thích electron theo yêu cầu của đề bài có năng lượng

 h

c
3.108
 6, 626.1034.
 1, 447.1020
5

1,374.10

19

 J


Năng lượng ánh sáng nên để kích thích electron từ mức n = 1 lên mức n’ > n

 n '  1  6, 626.10 
�    

34 2

2

8.9,1.1031.L2

 n '  1  6, 626.10 

8.9,1.10 .  10.10 

34 2

2

� 1, 447.1020

19 2

31

� n'  5
Bài 2: Xác định sự biến thiên  giữa 2 mức năng lượng n =2 và n = 1 theo J;
kJ/mol; eV; cm-1 cho 1e chuyển động trong giếng thế 1 chiều rộng 1nm.
Hướng dẫn
Biến thiên năng lượng của 2 mức n = 2 và n = 1

 6, 626.10   2  1 

8.9,1.10 .  1.10 
34 2

   2  1

�   1,809.1019

2

2

19 2

31

 J

 Năng lượng cho 1 mol electron = 1,809.10-19.6,02.1023.10-3 = 108,915(kJ)


1,809.1019

 9100,51(cm 1 )
Năng lượng tính theo cm :  
2
34
8
2
h.c.10
6, 626.10 .3.10 .10
-1

Bài 3: 1 electron chuyển động trong hộp thế 1 chiều cần bước sóng có độ dài

8080nm để kích thích từ mức n = 2 lên mức n = 3. Tính chiều dài hộp thế.
Hướng dẫn
Năng lượng của ánh sáng kích thích electron từ mức n = 2 lên mức n = 3

32  22  .h 2

c
  h   

8me .a 2
2
2
34
6, 626.1034.3.108  3  2  .  6,626.10 
�

8080.1019
8.9,1.1031.a 2

2

� a  3,5.109  m 
Bài 4 :
a. Tính bước sóng của một bức xạ điện từ cần để kích thích một electron từ trạng thái
cơ bản lên mức năng lượng n = 5 trong một hộp thế một chiều dài 40.0 pm.

20


b. Một electron trong một hộp thế một chiều cần bước sóng 8080 nm để kích thích từ

trạng thái n = 2 lên n = 3. Tính độ dài của hộp thế này.
c. Một electron trong hộp thế một chiều 10.0 nm được kích thích từ trạng thái cơ bản
đến một trạng thái cao hơn bằng cách hấp thụ một photon của bức xạ điện từ có bước
sóng 1.374×1025 m. Xác định trạng thái năng lượng cuối của bước chuyển này.
d. Điều gì sẽ xảy ra với các mức năng lượng của một electron bị giữ trong một hộp thế
một chiều khi chiều dài hộp thế tăng lên? Dự đoán mức năng lượng ở trạng thái cơ bản
của electron trong một hộp thế một chiều độ dài 10 -6 m sẽ thấp hay cao hơn so với trong
hộp thế 10-10 m?
Hướng dẫn:
a.

b.

c.

21


d. Theo công thức , khi L tăng lên thì E n sẽ giảm và khoảng cách giữa các mức năng
lượng cũng sẽ giảm. Vậy năn gluowwngj mức trạng thái cơ bản của electron trong hộp
thế 10-6m sẽ thấp hơn so với hộp thế 10-10 m.
Bài 5. Môt electron chuyển động trong giếng thế một chiều bị kích thích bằng
ánh sáng hấp thu với bước sóng 1,374.10-5 m để chuyển từ mức cơ bản lên mức cao
hơn. Hãy xác định mức năng lương cao hơn, n mà electron cần chuyển tới, biết rằng
độ rông của giếng thế là 10,0 nm.
Cho: h = 6,626.10-34 Js ; c = 2,9979.108 m/s ;mp = 9,109.10-31 kg
Phân tích: Áp dụng công thức tính năng lượng khi electron chuyển động trong
giếng thế một chiều, ta có thể tìm được hiệu năng lượng giữa mức cao và mức cơ bản
như sau:

22


Kết luận: Như vậy, mức năng lượng n mà electron cần chuyển tới có giá trị là n = 5
Bài 6. Cho electron chuyển động trong giếng thế một chiều với độ dài a = 1,0
nm. Hãy tính năng lượng các mức theo J; kJ.mol; eV và

cho các trường hợp sau:

a)
b)
Cho 1 eV = 1,6.

J; 1

J

HD:
Áp dụng công thức chung E =
Để dễ dàng tính phần cố định:
J

a)

= 3.6,02.
(kJ/mol)
(eV)

23

J = 18,06.

J


b)
Cũng bằng cách tương tự như câu a có các giá trị

Bài 7. Hãy xác định sự biến thiên năng lượng E theo J, kJ.mol-1, eV và cm-1
giữa 2 mức năng lượng nc = 2 ; nt = 1 cho 1 electron chuyển động trong giếng thế một
chiều có chiều rộng là 1,0 nm.
Phân tích:
h2
Năng lượng được tính theo công thức: E = n
.
8mL2
2

Do đó:

(6,62.1034 ) 2
E=
= 6,02.10-20 J.
31
9 2
8.9,1.10 �(1,0.10 )

Các hệ số chuyển đổi: E(kJ/mol) =

NA

E (J)
103

1 eV = 1,6.10-19 J ;1 cm-1 = 1,986.10-23 J
Từ các số liệu này, ta dễ dàng tính được E theo các đơn vị J, kJ/mol, eV, cm-1
E21 = E2-E1 = (4-1)

h2
= 36,02.10-20 J = 1,806.10-19 J
2
8mL

Vậy, kết quả cuối cùng thu được là:
E21 = 1,806.10-19 J = 108,72 kJ.mol-1 = 1,13 eV = 9093,6 cm-1
I.3.1.1 Một số ứng dụng bài tập giếng thế:
+ Mô hình giếng thế được xây dựng để giải gần đúng bài toán năng lượng của hệ liên
hợp cacbon mạch thẳng.
+ Giản đồ năng lượng MO:

LUMO: MO không bị chiếm có NL thấp nhất
LUMO

HOMO: MO bị chiếm có NL cao nhất

HOMO

+ Quy tắc:
- Có bao nhiêu AO thì có bấy nhiêu MO tương ứng tạo ra.

24

Bài 1: Cho 2 hệ: etylen và trans-1,3,5-hexatrien. Chiều dài 2 phân tử lần lượt là
289pm và 867pm
a. Sử dụng mô hình hạt trong hộp thế 1 chiều để xác định :
- Hai mức năng lượng đầu tiên của các e- tương ứng.
- Bốn mức năng lượng đầu tiên của e- trong 1,3,5-hexatrien.
b. Với mỗi cấu tử trên, hãy xây dựng giản đồ năng lượng và điền các electron -  tương
ứng
c. Tính bước sóng ánh sáng để kích thích 1e- từ HOMO lên LUMO đối với mỗi cấu
tử.
Hướng dẫn

n 2 .h 2
a. Sử dụng CT: En 
8ma 2

 J
E

b. Giản đồ năng lượng MO
E

LUMO
(n=4)
HOMO
(n=3)

LUMO
(n=3)

HOMO
(n=2)
etylen

Trans – hexa-1,3,5trien

c. Năng lượng ánh sáng để kích thích 1e từ HOMO lên LUMO với:
* etylen:  

h 2  32  22 
8me .a

2

 6, 626.10   3  2  �   3,395.10

8.9,1.10 .  298.10 
34 2

2

2

12 2

31

hc 6, 626.1034.3.108

 5,85.108 m

 Bước sóng ánh sáng:  
18

3,395.10

* trans-hexa-1,3,5-trien:

 

h 2  42  32 
8me .a

2

 6, 626.10   4  3  �   5, 616.10

8.9,1.10 .  867.10 
34 2

31

2

2

12 2

25

19

 J

18

 J