Chương vecto

Chương 9: Vectơ trong mặt phẳng và không gian

Mục lục ...................................................................................................................... 1
Chương 9. VECTƠ . ..............................................................................................................
9.1. VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG ............................................................................... 3
9.1.1. Giới thiệu vectơ ................................................................................................... 3
9.1.2. Các phép toán vectơ ............................................................................................ 4
9.1.3. Phép biểu diễn chính tắc của vectơ trong mặt phẳng........................................ 10
9.2. TỌA ĐỘ VÀ VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN ....................................................... 15
9.2.1. Hệ tọa độ ba chiều............................................................................................. 12
9.2.2. Đồ thị trong không gian .................................................................................... 16
9.2.3. Vectơ trong không gian..................................................................................... 19
9.3. TÍCH VÔ HƯỚNG .................................................................................................... 21
9.3.1. Định nghĩa tích vô hướng ................................................................................. 21
9.3.2. Góc giữa hai vectơ ............................................................................................ 22
9.3.3. Cosin định hướng .............................................................................................. 23
9.3.4. Phép chiếu ......................................................................................................... 24
9.3.5. Công như một tích vô hướng ............................................................................ 25
9.4. TÍCH CÓ HƯỚNG ..................................................................................................... 27
9.4.1. Định nghĩa tích có hướng .................................................................................. 27
9.4.2. Biểu diễn hình học của tích có hướng............................................................... 27
9.4.3. Tính chất của tích có hướng .............................................................................. 29
9.4.4. Tích hỗn tạp và thể tích ..................................................................................... 30
9.4.5. Moment quay .................................................................................................... 31
9.5. ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN ............................................................. 33
9.5.1. Phương trình đường thẳng trong không gian .................................................... 33
9.5.2. Phương trình tham số ........................................................................................ 33
9.5.3. Tham số hóa đường cong .................................................................................. 41
9.6. MẶT TRONG KHÔNG GIAN .................................................................................. 43
Trang 1

Chương 9: Vectơ trong mặt phẳng và không gian

9.6.1. Các dạng phương trình của mặt phẳng trong không gian ................................. 43
9.6.2. Phương pháp vectơ đo khoảng cách trong không gian ..................................... 49
9.7. CÁC MẶT BẬC HAI ................................................................................................. 53
9.7.1. Các mặt bậc hai ................................................................................................. 53
9.7.2. Phương pháp phác họa mặt bậc hai .................................................................. 57
Bài tập chương 9 ......................................................................................................... 65

Trang 2


Chương 9: Vectơ trong mặt phẳng và không gian

Chương 9

VECTƠ

TRONG

MẶT

PHẲNG

VÀ

TRONG

KHÔNG GIAN

9.1. VECTƠ TRONG  2
Nhiều ứng dụng của toán học liên quan đến những đại lượng có cả độ lớn và
hướng như lực, vận tốc, gia tốc và xung lượng. Vectơ là một công cụ quan trọng trong
toán học và trong phần này, chúng tôi giới thiệu về thuật ngữ và ký hiệu của biểu diễn
vectơ.
9.1.1. Giới thiệu về vectơ
Một vectơ là một đại lượng có độ lớn và chiều (như vận tốc hay lực). Đôi khi chúng ta
biểu diễn vectơ như một đoạn thẳng có định hướng, một mũi tên nối từ điểm bắt đầu P
đến điểm kết thúc Q . Hướng của vectơ là hướng của mũi tên và độ lớn là chiều dài của
mũi tên (hình 9.1 a). Chúng ta có thể chỉ ra một vectơ bằng cách viết PQ nhưng trong


thực hành, chúng ta nên viết là P Q . Thứ tự các ký tự chúng ta viết rất quan trọng, PQ
nghĩa là hướng của vectơ là từ P đến Q còn QP nghĩa là hướng của vectơ là từ Q đến
P . Ký tự đầu là điểm bắt đầu còn ký tự sau là điểm kết thúc. Chúng ta ký hiệu độ dài của

vectơ PQ là. Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng độ lớn và chiều (hình
9.1 b).

a. Vectơ PQ có độ dài PQ

b. Hai vectơ bằng nhau

Trang 3


Chương 9: Vectơ trong mặt phẳng và không gian

Hình 9.1. Vectơ trong mặt phẳng
Một vectơ v với độ lớn bằng 0 gọi là vectơ không và được ký hiệu là 0. Vectơ 0

không có hướng cụ thể và được quy ước một hướng bất kỳ.
9.1.2. Các phép toán vectơ
1. Nếu vectơ khác vectơ không và s là một số thực thì vectơ sv gọi là một phép nhân
vô hướng của v . Vectơ sv có độ lớn gấp s lần độ lớn của vectơ v , cùng hướng
với vectơ v nếu s  0 và ngược hướng với vectơ v nếu s  0 .
Ta có PQ   QP và s0  0 với s là số thực tùy ý.

Hình 9.2. Một số vector tỷ lệ với vector u
2. Ta định nghĩa vectơ u  v là tổng của vectơ u và vectơ v . Với cách biểu diễn
theo quy tắc tam giác, vectơ u  v nối từ điểm bắt đầu của vectơ u đến điểm kết
thúc của vectơ v như trong hình vẽ 9.3a.
Vectơ u  v cũng có thể được biểu diễn theo quy tắc hình bình hành như trong
hình vẽ 9.3b.
Phép cộng hai vectơ có tính giao hoán, tức là u  v  v  u .
Ta định nghĩa vectơ u – v là vectơ thỏa mãn v   u – v   u . Cách biểu diễn
vectơ u – v như trong hình vẽ 9.3c.

Trang 4


Chương 9: Vectơ trong mặt phẳng và không gian

a. Quy tắc tam giác

b. Quy tắc hình bình hành

c. Quy tắc hiệu

Hình 9.3
Biểu diễn hình học của vectơ

Vectơ v được biểu diễn trong mặt phẳng tọa độ như trong hình vẽ 9.4, với
điểm bắt đầu là  0, 0  và điểm kết thúc là  v1 , v2  . Khi đó v1 và v2 gọi là các thành
phần chuẩn của vectơ v và ta viết v  v1 , v2 .

Hình 9.4
Các thành phần chuẩn của vectơ trong  2
Nếu P  a, b  và Q  c, d  là các điểm trong mặt phẳng tọa độ thì vectơ PQ có
biểu diễn duy nhất các thành phần chuẩn là PQ  c – a, d – b .

Trang 5


Chương 9: Vectơ trong mặt phẳng và không gian

Hình 9.5
Các phép toán vectơ có thể biểu diễn ở dạng thành phần. Cụ thể, ta có:
a1 , b1



k a,b

a2 , b2  a1  b1 , a2  b2 ;

 ka , kb , với k tùy ý;

a , b  c , d  ac , bd
a,b – c,d  a – c,b – d

Những công thức trên có thể được kiểm chứng bởi hình học giải tích. Ví dụ, quy tắc nhân

vô hướng có thể thu được từ việc sử dụng các mối liên hệ được mô tả bởi hình 9.6 a, từ
9.6 b ta có thể thu được quy tắc cho phép nhân vectơ.

Hình 9.6
Ví dụ 9.1. Phép toán vectơ: Cho các vectơ u  2,  3 và v  1, 7 , tìm
a. u  v
Đáp số: a. 1, 4

3
4

1
2

c. 3u  v

b. u
b. 3 / 2,  9 / 4

c. 13 / 2,  25 / 2
Trang 6


Chương 9: Vectơ trong mặt phẳng và không gian

Vectơ au  bv gọi là một sự kết hợp tuyến tính của vectơ u và vectơ v .
Nếu u  u1 , u2 và v  v1 , v2 thì
au  bv  a u1 , u2  b

v1 , v2



au1  bv1 , au2  bv2

Các phép cộng và nhân vectơ bởi vô hướng khá giống với phép cộng và nhân thông
thường. Định lý sau trình bày một số tính chất hữu ích cho các phép toán vectơ :
Định lý 9.1. Các tính chất của phép toán vectơ
Cho các vectơ u, v, w trong mặt phẳng và các vô hướng s và t . Ta có
Tính chất giao hoán:

u  v  v  u

Tính chất kết hợp:

u

Tính chất kết hợp của phép nhân:

 st  u

Tính đồng nhất của phép cộng:

u  0  u

Tính đảo ngược của phép cộng:

u 

Tính chất phân phối các vectơ:

s

Tính chất phân phối các vô hướng:

s  u  v   su  sv

 v   w  u   v  w
 s  tu 

 u 

 0

 t  u  su  tu

Ví dụ 9.2. Sử dụng vectơ chứng minh các tính chất hình học
Chứng minh rằng đoạn thẳng nối hai trung điểm hai cạnh của một tam giác thì song song
với cạnh thứ ba và có độ dài bằng một nửa cạnh thứ ba.

Hình 9.7

Trang 7


Chương 9: Vectơ trong mặt phẳng và không gian

Giải
Xét tam giác ABC và P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AC và BC .
Theo giả thiết thì AP 

và PQ 

1
1
AC và BQ  BC , ta cần chứng minh rằng PQ song song với AB
2
2

1
1
AB , nghĩa là ta cần thiết lập phương trình vectơ PQ  AB .
2
2

Ta có
1
AC  PQ  BQ
2
1
1
1
 ( A B  BC )  P Q  B C  A B  P Q
2
2
2

AB  AP  PQ  QB 

Vậy ta có

1
AB  PQ . (Điều phải chứng minh).
2

Khi một vectơ u được biểu diễn ở dạng thành phần u  u1 , u2 , độ dài của vectơ u
được tính bởi
|| u || 

u 12  u 22

Đây là một ứng dụng đơn giản của định lý Pytago như trong hình 9.8a.
Một mối quan hệ quan trọng liên quan đến độ dài của các vectơ u, v bất kỳ là bất đẳng
thức tam giác
|| u  v ||  || u ||  || v ||

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi các vectơ

u và v cùng hướng. Để thiết lập bất đẳng thức

tam giác, ta có thể sử dụng hình 9.8b.

a. Độ dài vector u

b. Bất đẳng thức tam giác
Trang 8


Chương 9: Vectơ trong mặt phẳng và không gian

Hình 9.8

Đối với dạng thành phần, các vectơ bằng nhau nếu các thành phần của chúng bằng nhau,
nghĩa là
Nếu u  u1 , u2 và v  v1, v2

thì ta định nghĩa
 u1  v1
uv 
 u2  v2

Ví dụ 9.3. Nếu u  8 , 2 và v  3, 5 , tìm

s và t sao cho su  tv  w biết w  2, 8

.
Đáp số: s  1, t  2 .
Ví dụ 9.4. Sử dụng vectơ trong bài toán vận tốc.
Con tàu đặc biệt, Earthrace, thu hút sự chú ý khi nó chuyển động. Một con sông rộng 4 dặm
chảy về hướng nam với tốc độ dòng chảy 5 dặm/ giờ. Trong một cuộc triển lãm, con tàu
phải chạy thẳng từ đông sang tây, qua một điểm quan sát trong 20 phút. Hỏi hướng đi cần
đạt được của con tàu?

Hình 9.9. Con tàu Earthrace
Giải

Trang 9


Chương 9: Vectơ trong mặt phẳng và không gian

\

Hình vẽ 9.10
Giả sử B là vectơ vận tốc của con tàu theo hướng hợp với phương ngang một góc 
. Nếu dòng chảy của con sông có vận tốc C thì C  5  mi / h  và C chỉ hướng nam.
Hơn nữa, bởi vì con tàu chuyển động từ đông sang tây trong 20 phút (tức là 1/3 giờ), vận
tốc hữu dụng của con tàu là vector V chỉ hướng tây. Ta sẽ tính V để tìm vận tốc hữu
dụng của con tàu cũng như tìm độ lớn và hướng của B .
V

= Độ rộng con sông / thời gian chuyển động  4  1 2 ( m i / h )
1/3

Vận tốc hữu dụng của con tàu V là tổng của B và C . Vì V và C vuông góc
với nhau, theo định lý Pytago ta tìm được
|| B || 

|| V ||2  || C ||2 

12 2  5 2  13

Dựa vào hình vẽ 9.10, ta có
ta n  

5
5
h a y   ta n  1 ( )  0 .3 9 4 8 .
12
12

Vậy con tàu chuyển động với vận tốc 13 mi / h theo hướng hợp với phương ngang một
góc xấp xỉ 0.3948 rad hay 22.62 o .

Một vectơ đơn vị là một vectơ có độ dài bằng 1 và một vectơ định hướng cho
vectơ v khác không cho trước là một vectơ đơn vị

u

u cùng hướng với vectơ v, xác định bởi

v .
|| v ||

Trang 10


Chương 9: Vectơ trong mặt phẳng và không gian

Ví dụ 9.5. Tìm một vectơ định hướng cho vectơ v  2,  3
Đáp số:

2 13 3 13
,
13
13

9.1.3. Phép biểu diễn chính tắc của vectơ trong mặt phẳng
Các vectơ đơn vị i  1, 0 và j  0, 1 lần lượt chỉ chiều dương của các trục
O x và O y và được gọi là các vectơ cơ sở chính tắc. Bất kỳ vectơ trong mặt phẳng

v  v1, v2  có thể được biểu diễn như là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ

i , j vì

v  v1 , v2  v1 1, 0  v2 0,1  v1i  v2 j
Phép biểu diễn trên đây gọi là phép biểu diễn chính tắc của vectơ

v và là phép biểu

diễn duy nhất qua các vectơ cơ sở chính tắc. Các thành phần v1,v2 được gọi lần lượt là
thành phần nằm ngang và thành phần thẳng đứng của v.

Hình 9.11
Ví dụ 9.6. Tìm biểu diễn chính tắc của vectơ
Nếu u  3i  2 j , v   2 i  5 j và w  i  4 j thì biểu diễn chính tắc của vectơ
2u  5v  w là gì?

Đáp số:  5i  33 j
Ví dụ 9.7. Vectơ liên kết hai điểm
Tìm biểu diễn chính tắc của vectơ PQ biết P  3,  4 và Q 2, 6 .
Đáp số:  5 i  10 j
Ví dụ 9.8. Tính toán hợp lực
Trang 11


Chương 9: Vectơ trong mặt phẳng và không gian

Hai lực F1 và F2 cùng tác động lên một vật thể. Giả sử lực F1 có độ lớn là 3N và cùng
hướng vectơ (-i), lực F2 có độ lớn là 2N và cùng hướng với vectơ u  3 i  4 j . Tìm lực tác
5

5

động thêm F3 vào vật để vật đứng yên.
Giải

Hình 9.12
Để vật đứng yên thì F1  F2  F3  0 .
F1   3i ; F2  2u 

6
8
i j.
5
5

Ta có
F3   F1  F2 
2

9
8
i j
5
5

2

1
9 8
|| F3 ||       
145 ( N ).
5

 5 5
9.2. HỆ TỌA ĐỘ VÀ VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN 3
9.2.1. Hệ tọa độ ba chiều
Ta đã biết, mỗi điểm trong mặt phẳng được biểu diễn bởi cặp số thực có thứ tự

 a , b  , ở đó a là hoành độ,

blà tung độ. Đó là lí do, mặt phẳng được gọi là không gian

hai chiều. Để biểu diễn các điểm trong không gian, trước tiên ta chọn một điểm cố định
O , gọi là điểm gốc và ba đường thẳng định hướng đi qua O đôi một vuông góc với

nhau, được gọi là các trục tọa độ mà ta gọi là trục x, trục y , trục z . Ba trục tọa độ xác

Trang 12


Chương 9: Vectơ trong mặt phẳng và không gian

định ba mặt phẳng tọa độ. Mặt phẳng xy là mặt phẳng chứa trục

x và trục y ; mặt phẳng

yz là mặt phẳng chứa trục y và trục z ; mặt phẳng xz là mặt phẳng chứa trục x và trục z .

Hình 9.13. Hệ trục tọa độ trong không gian ba chiều

Hình 9.14

a là khoảng cách đã định hướng từ mặt

phẳng yz đến P , gọi b là khoảng cách từ mặt phẳng xz đến P , gọi c là khoảng cách từ
Với bất kì điểm P trong không gian, gọi

mặt phẳng xy đến P . Khi đó, ta biểu diễn điểm P bởi một bộ sắp thứ tự  a, b, c  các số
thực và ta gọi a , b , c là các tọa độ của P ;

a là hoành độ, b là tung độ, c là cao độ.

Ví dụ 9.9: Vẽ các điểm sau trong không gian ba chiều (không sử dụng công nghệ):
a.

 3,

4,  5

b. 10, 20, 10

c. (  12, 6 , 12 )

Trang 13


Chương 9: Vectơ trong mặt phẳng và không gian

a.

 12,

18, 6

e.  20, 10, 18

Giải
Bước 1: Vẽ trục

x và trục y , đánh dấu đoạn chia. Phác họa mặt phẳng xy .

Bước 2: Vẽ trục z , đánh dấu đoạn chia. Sử dụng nét đứt cho các phần bị che khuất.

Bước 3: Vẽ các khoảng cách x  3 và y  4 trên mặt phẳng xy . Tô đậm các đoạn thẳng
vuông góc với các trục

x và y . Bạn có thể sử dụng bút chì màu hoặc bút dạ để làm việc

này.

Bước 4: Vẽ khoảng cách z . Vẽ đường nối từ mặt phẳng xy . Ta có điểm P  3, 4,  5 .

Trang 14


Chương 9: Vectơ trong mặt phẳng và không gian

Các điểm còn lại được vẽ tương tự như trong hình dưới đây.

Trong 2 , khoảng cách từ gốc tọa độ O 0,0 tới điểm  a, b là d 

a 2  b2 .

Trong 3 , khoảng cách từ gốc tọa độ O  0,0,0 tới điểm  a, b, c là d 

a 2  b2  c2 .

Hình vẽ 9.15. Khoảng cách từ gốc tọa độ tới điểm (a, b, c)

Trang 15


Chương 9: Vectơ trong mặt phẳng và không gian

Công thức khoảng cách 3 chiều
Khoảng cách PP
1 2 giữa các điểm P1  x1, y2 , z3  và P2  x2 , y2 , z2  là:

PP
1 2 

 x2  x1    y2  y1    z2  z1 
2

2

2

Ví dụ 9.10. Tìm khoảng cách giữa điểm P 10, 20, 10 và Q -12, 6, 12
Đáp số: 6 19 .
9.2.2. Đồ thị trong 3
Đồ thị của một phương trình trong 3 là tập hợp các điểm  x, y, z  có tọa độ thỏa
mãn phương trình đó. Đồ thị này được gọi là một mặt.
 Mặt phẳng

Bài học vẽ hình: Vẽ mặt thẳng đứng x  2 và mặt nằm ngang y  0 trong không gian
ba chiều.
Bắt đầu với mặt phẳng xy và trục

z

như trong ví dụ 1, ta vẽ đường thẳng x  2

trong mặt phẳng. Bây giờ, qua mỗi đầu mút của đoạn thẳng đã vẽ, ta vẽ các đoạn thẳng
song song với trục z .

Tô bóng phần mặt phẳng x  2 không bị che khuất trong mặt phẳng xy . Xóa các
phần bị khuất và vẽ nét đứt các phần bị khuất của các trục.

Trang 16


Chương 9: Vectơ trong mặt phẳng và không gian

Tương tự, ta vẽ và tô bóng mặt phẳng y  0 . Vẽ giao tuyến của hai mặt.
Sử dụng bút chì màu hay bút dạ để phân biệt các mặt phẳng.

Ví dụ 9.11. Vẽ đồ thị các mặt phẳng cho bởi các phương trình sau:

a) x  4

b) y  z  5

c) x  3y  2z  6

Đáp số:

 Mặt cầu

Trang 17


Chương 9: Vectơ trong mặt phẳng và không gian

Mặt cầu là tập hợp các điểm trong không gian cách một điểm cố định một khoảng
cách cho trước.
Nếu P  x, y, z  là một điểm trên mặt cầu tâm C  a, b, c  với bán kính
cách từ C đến P bằng r . Vậy r 

 x  a   y  b   z  c
2

2

2

r

thì khoảng

.

Hình vẽ 9.16. Đồ thị của mặt cầu tâm (a,b,c) và bán kính r.
Phương trình mặt cầu: Phương trình chính tắc của mặt cầu có tâm  a, b, c và
bán kính

r

là:

 x a  y b  z c
2

2

2

 r2

Đặc biệt, nếu tâm là gốc O thì phương trình mặt cầu là: x 2  y 2  z 2  r 2
Ví dụ 9.12. Chỉ ra rằng x 2  y 2  z 2  4 x  6 y  3  0 là phương trình của một mặt
cầu, tìm tâm và bán kính của nó.
Đáp số: ( x  2 ) 2  ( y  3) 2  z 2  1 6
 Mặt trụ
Một vết cắt của mặt trong không gian là đường cong có được bằng cách giao mặt
cầu với mặt phẳng. Nếu các mặt phẳng song song cắt một mặt cho trước và các vết cắt là
các đường cong đồng dạng với nhau, mặt cho trước được gọi là mặt trụ. Ta định nghĩa
mặt trụ với các vết cắt chính C gọi là đường chuẩn và các đường sinh L là mặt có được
bằng cách di chuyển các đường thẳng song song với L dọc theo biên của đường cong C ,
như trong hình vẽ 9.17.

Trang 18


Chương 9: Vectơ trong mặt phẳng và không gian

Hình 9.17. Mặt trụ
Chúng ta chủ yếu xét các mặt trụ với đường chuẩn là một đường conic và đường
sinh là một trong các trục tọa độ. Chẳng hạn, ta có:

x2  y2  5 ( khuyết z ) là mặt trụ tròn với các đường sinh song song với trục z .
y2  z2  9 ( khuyết x) là mặt trụ hyperbolic với các đường sinh song song với trục x.
x 2  2 z 2  25

( khuyết y ) là mặt trụ elliptic với các đường sinh song song với trục y .

Mặt trụ tròn

Mặt trụ hyperbolic

Mặt trụ elliptic

Hình 9.18. Các loại mặt trụ
9.2.3. Vectơ trong 3
Một vectơ trong 3 là một đoạn thẳng có định hướng trong không gian. Vectơ PP
1 2 với
điểm bắt đầu P1  x1, y1, z1  và điểm kết thúc P2  x2 , y2 , z2  có dạng biểu diễn thành phần là

PP
1 2  x2  x1, y2  y1, z2  z1
Phép cộng hai vectơ và phép nhân của vectơ bởi một vô hướng trong không gian 3
được định nghĩa như trong không gian 2 . Ngoài ra, các tính chất đại số của vectơ trong
3 cũng giống như trong 2 .

Ba vectơ sau đây đóng vai trò quan trọng trong không gian 3 :

Trang 19


Chương 9: Vectơ trong mặt phẳng và không gian

i  1,0,0

j  0,1,0

k  0,0,1

Các vectơ i , j , k được gọi là các vectơ cơ sở chuẩn. Chúng có độ dài bằng 1 và
có cùng hướng với hướng dương với các trục x, y, z .
Với gốc tọa độ O và vectơ Q ( a 1 , a 2 , a 3 ) , ta có thể biểu diễn vectơ O Q dưới
dạng:

O Q  a 1i  a 2 j  a 3 k
Hơn nữa, vectơ PP
1 2 với điểm bắt đầu P1  x1, y1, z1  và điểm kết thúc P2  x2 , y2 , z2  có
dạng biểu diễn là

PP
1 2  ( x2  x1)i ( y2  y1) j  (z2  z1)k ,
và có độ dài || P1 P2 ||  ( x 2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2  ( z2  z1 ) 2 .

Hình 9.19
Ví dụ 9.13. Tìm dạng biểu diễn chuẩn của vectơ P Q với điểm bắt đầu P  1, 2, 2 và
điểm kết thúc Q  3,  2, 4 .
Đáp số: PQ  4 i – 4 j  2 k
Ví dụ 9.14. Tìm độ lớn của vectơ v  2 i  3 j  5 k và khoảng cách giữa hai điểm

A1, 1,  4 A1, 1,  4 và B  2, 3, 8 .
Đáp số: || v ||  38 , || AB ||  13

Trang 20


Chương 9: Vectơ trong mặt phẳng và không gian

Nếu
với

v là một vectơ khác không trong

3 thì ta có một vectơ đơn vị

u cùng hướng

v xác định bởi u  v

|| v ||

Ví dụ 9.15. Tìm vectơ đơn vị cùng hướng với vecto P Q nối từ P  1, 2, 5 đến

Q  0, 3,7  .
Đáp số:

1
5
2

i
j
k
30
30
30

Ví dụ 9.16. Vectơ P Q với điểm bắt đầu P1,0,  3 và có độ dài 3. Tìm Q sao cho P Q
song song với v  2i  3 j  6 k .
Đáp số: Q 13/ 7,  9 / 7,  3/ 7 hoặc Q 1/ 7, 9 / 7, 39 / 7 

9.3. TÍCH VÔ HƯỚNG
9.3.1. Định nghĩa tích vô hướng
Định nghĩa. Tích vô hướng của vectơ v  ai
1  a2 j  a3k và vectơ w=bi
1  b2 j  bk
3 là
một số thực, ký hiệu là

v w, được cho bởi:

v  w  a1b1  a2b2  a3b3
Tích vô hướng còn được gọi là tích trong.
Xét trong mặt phẳng, ta có tích vô hướng của vectơ v  a1, a2 và vectơ w = b1,b2 là:

v  w  a1b1  a2b2
Ví dụ 9.17.
a. Tính tích vô hướng của vectơ v  – 3i  2 j  k và vectơ w  4 i – j  2 k
b. Tính tích vô hướng của vectơ v  4, –1, 3 và vectơ w  –1, – 2, 5
Đáp số:

a. – 12

b. 13

Trang 21


Chương 9: Vectơ trong mặt phẳng và không gian

Định lý 9.2. Các tính chất của tích vô hướng
Nếu u , v, và
1) v  v  v

w là các vectơ trong

2 hoặc 3 và

c là một số thực thì

2

2) 0  v  0
3) v  w  w  v
4) c ( v  w )  ( cv )  w  v  ( cw )
5) u  ( v  w )  u  v  u  w

9.3.2. Góc giữa 2 vectơ
Định lý 9.3. Nếu  (0     ) là góc giữa 2 vectơ khác không u và v thì
cos 

vw
v w

Hình 9.20. Góc giữa hai vectơ
Ví dụ 9.18. Cho tam giác ABC với các đỉnh là A1, 1, 8 , B  4, – 3, – 4 và C  –3, 1, 5 .
Tìm góc tại đỉnh A.

Đáp số: Xấp xỉ 1.19 rad hay 6 8 o .
Trang 22


Chương 9: Vectơ trong mặt phẳng và không gian

Công thức dạng hình học của tích vô hướng

vw  v

w cos 

trong đó  (0     ) là góc giữa các vectơ v và w.
Ví dụ 9.19. Cho các vectơ v và w có độ dài là 4 và 6, và góc giữa chúng là  , tìm v  w.
3

Đáp số: 12
Hai vectơ được gọi là vuông góc hay trực giao nếu góc giữa chúng là    .
2

Định lý 9.4. Định lý về tính trực giao
Hai vectơ khác không

v và w trực giao nếu và chỉ nếu

vw  0.

Vectơ 0 được xem là vuông góc với mọi vectơ.
Ví dụ 9.20. Xác định xem cặp vectơ nào trong số các vectơ sau trực giao:
u  3i  7 j – 2 k ; v  5i – 3 j – 3k ; w  j – k

Đáp án:

u và v trực giao, v và w trực giao.

9.3.3. Góc định hướng và Cosine định hướng
Các góc định hướng của một vectơ khác không
mà vectơ

v là các góc

 ,  , và  thuộc  0, 

v tạo với các trục dương x, y, và z .

Hình 9.21
cos  , cos  , v à cos 

được gọi là cosin định hướng của vectơ v   v 1 , v 2 , v 3  .

Ta có:

Trang 23


Chương 9: Vectơ trong mặt phẳng và không gian

Ta có

cos  

vi
v
 1
v i
v

cos  

v j
v
 2
v j
v

cos  

vk
v
 3
v k
v

cos2   cos 2   cos2   1 .

Vì vậy, ta được
v  v1 , v2 , v3  v cos  , v cos  , v cos 
 v cos  ,cos  , cos 

Ví dụ 9.21. Tìm các góc định hướng của vectơ v   2 i  3 j  5 k và kiểm lại đẳng thức
co s 2   co s 2   co s 2   1 .

Đáp số:   109 ,   61 ,  36
0

0

0

9.3.4. Phép chiếu
Cho

v và w là hai vectơ trong

2 sao cho chúng có chung điểm đầu như trong

v một đường vuông góc với đường
thẳng chứa w , ta xác định một vectơ u gọi là phép chiếu vectơ của v trên w . Phép chiếu
vô hướng của v trên w (còn gọi là thành phần của v dọc theo w ) là độ dài của hình chiếu
hình 9.22. Nếu ta dựng từ điểm kết thúc của vectơ

vectơ u, ký hiệu là u .

Hình 9.22
Gọi  là góc nhọn tạo bởi

v và w . Khi đó, ta có

Trang 24


Chương 9: Vectơ trong mặt phẳng và không gian

|| u ||  || v || cos 
 vw 
 || v || 

 || v || || w || 
vw

|| w ||

Nếu góc  là góc tù, cosin của  âm và || u ||   || v || cos  . Ta có
u   || v || cos  

w
|| w ||

vw  w 
|| w ||  || w || 
vw


w
|| w ||2


 vw 

w
 ww 

Phép chiếu. Nếu

v và w là các vectơ khác không thì phép chiếu vectơ của v xuống w

 vw 
là một vectơ, ký hiệu là projwv và projwv  
w
 ww

Phép chiếu vô hướng của

v xuống w là một số, ký hiệu là compwv và compwv 

vw
|| w ||

Chú ý: comp w v  0 khi 0     ; comp w v  0 khi      .
2

2

Ví dụ 9.22. Tìm phép chiếu vectơ và phép chiếu vô hướng của v  2 i  3 j  5 k xuống
w  2i – 2 j – k .

Đáp số: projw v   14 i  14 j  7 k ; comp w v   7
9

9

9

3

9.3.5. Công như một tích vô hướng

Công như một tích vô hướng
Nếu lực F làm một vật thể chuyển động từ điểm

đến điểm

thì công thực hiện được là

Trang 25