kinh nghiẹm chứng minh bdt

một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
Th viện SKKN của Quang Hiệu />Phần A: đặt vấn đề
I. lí do:
Mục tiêu giáo dục hiện nay là nâng cao chất lợng, hiệu quả của việc dạy và
học, làm cho kết quả học tập của học sinh ngày một nâng cao. Muốn đáp ứng đợc
yêu cầu đó thì nhiệm vụ của giáo viên và học sinh là: Phải dạy và học thế nào để
đạt hiệu quả cao nhất.
Cùng với các môn học khác, môn toán là môn học giữ vai trò rất quan
trọng. Thông qua môn toán học sinh nắm vững kiến thức toán học, từ đó có cơ sở
thuận lợi để học các môn học khác, cũng nh ứng dụng các kiến thức đã học vào
thực tiễn. Dạy toán tức là dạy phơng pháp suy luận. Học toán là rèn luyện khả
năng t duy logic. Giải toán là hoạt động hấp dẫn và bổ ích. Nó giúp các em nắm
vững thêm kiến thức, phát triển từng bớc năng lực t duy, hình thành kĩ năng kĩ
xảo.
Đối với học sinh bậc trung học cơ sở hiện nay thì nhiều phần trong môn đại
số là rất khó. Một trong các phần đó là phần bất đẳng thức. Các bài toán về bất
đẳng thức thờng khó nhng lại hay, loại toán này rất đa dạng và phong phú, có
nhiều ứng dụng, đặc biệt rèn luyện tốt t duy sáng tạo, kĩ năng suy luận. Để giải tốt
loại toán này cần vận dụng rất nhiều kiến thức một cách linh hoạt. Trong sách giáo
khoa không đề cập nhiều đến dạng toán này, tuy nhiên trong các đề thi học sinh
giỏi, thi vào trung học phổ thông thì lại thờng xuyên có loại toán này. Bên cạnh đó
nếu học tốt các bất đẳng thức sẽ giúp học sinh học tốt hơn các phần khác. Qua tìm
hiểu thực tế tôi thấy học sinh rất sợ dạng bài chứng minh bất đẳng thức. Trớc
thực trạng nh vậy chúng ta không khỏi băn khoăn, trăn trở phải làm thế nào để
tháo gỡ giúp các em bớt đi khó khăn khi gặp các bài toán về bất đẳng thức.
Trong phạm vi nhỏ hẹp này tôi xin đợc trình bày một số ý kiến nhỏ mà qua
thực tế giảng dạy tôi thấy đã làm giảm bớt khó khăn cho học sinh khi giải các bài
toán về bất đẳng thức, làm cho các em say mê, hứng thú học toán hơn.
Trang 1
một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
II. Cơ sở lí luận và thực tiễn:

Bất đẳng thức là một vấn đề lớn trong chơng trình toán phổ thông. Vấn đề
này đợc đa vào một cách xuyên suốt từ lớp một trở lên. Nhng ở các lớp dới bất
đẳng thức cha đợc trình bày một cách cụ thể mà thờng đợc thể hiện dới dạng ẩn.
Cụ thể là:
- ở lớp một, lớp hai, lớp ba thể hiện dới dạng bài tập :
Điền dấu < , > , = thích hợp vào ô trống: 4 2 . . .
- ở lớp bốn, lớp năm còn có thêm dạng:
tìm số tự nhiên x biết rằng: 34 < x < 38
- ở lớp sáu, lớp bẩy bất đẳng thức thể hiện dới dạng: so sánh luỹ thừa, so
sánh phân số, so sánh hai số hữu tỷ. Trong hình học 7 thì có bất đẳng thức tam
giác.
- Đến lớp tám, SGK mới chính thức dành riêng một mục trình bày định
nghĩa và một vài tính chất của bất đẳng thức, thờng chỉ ở dạng đơn giản ngắn gọn.
Cũng từ đó lợng bài tập về bất đẳng thức cũng nhiều và khó hơn, chẳng hạn:
chứng minh biểu thức luôn dơng hay luôn âm, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
của một biểu thức . . . Do vừa mới đợc làm quen và cha đi sâu nghiên cứu về nó,
SGK cũng không nêu ra các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức nên khi giải
bài tập học sinh thờng mắc sai lầm và nhiều khi không biết bắt đầu từ đâu. Vì thế,
học sinh rất sợ các bài tập chứng minh bất đẳng thức. Do đó giáo viên và học sinh
rất vất vả trong việc nghiên cứu, su tầm và tuyển chọn các bài tập của dạng toán
này.
Trong những năm trớc khi dạy ôn thi, bồi dỡng HSG thì phần bất đẳng thức tôi
chỉ hớng dẫn các em qua các bài tập cụ thể mà không tổng hợp, phân dạng cho các
em. Với cách làm nh vậy, tôi thấy khi phải làm các bài tập khác tơng tự các em rất
lúng túng khi tìm lời giải, mặc dù vẫn có một số em làm đợc.
Với mong muốn khắc phục tình trạng này một trong những biện pháp tôi đã
thử nghiệm thấy hiệu quả hơn đó là: đa ra phơng pháp giải rồi áp dụng. Cách
làm đó tạo cho các em hiểu và ghi nhớ có hệ thống, từ đó sẽ dễ dàng hơn khi giải
bài tập về bất đẳng thức.

Trang
2
một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
III . đối tợng, phơng pháp ngnhiệm vụ
1. Đối tợng và phơng pháp nghiên cứu
*Đối tợng nghiên cứu : học sinh THCS
*Phơng pháp nghiên cứu :
+ Điều tra, thực nghiệm, khảo sát kết quả học tập của học sinh.
+ Thực nghiệm giảng dạy bồi dỡng học sinh giỏi lớp 8, 9.
+ Trao đổi trong các nhóm chuyên môn.
+ Điều tra, đánh giá kết quả của học sinh sau khi thực nghiệm đề tài.
2. Nhiệm vụ của đề tài
- Đa ra những kiến thức cơ bản nhất về bất đẳng thức.
- Đề xuất một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức.
- Rèn cho học sinh kĩ năng phân tích tìm lời giải bài toán chứng minh bất đẳng
thức.
- Rèn cho học sinh biết lựa chọn phơng pháp giải hợp lí cho mỗi bài toán.
Muốn vậy phải rèn khả năng phân tích, xem xét bài toán dới nhiều góc độ khác
nhau, cũng nh tính đặc thù của mỗi bài toán, từ đó mà lựa chọn cách giải phù hợp.
Nó giúp phát huy khả năng t duy sáng tạo, linh hoạt, tạo đợc lòng say mê, tự tin và
không ngại ngùng khi gặp bài toàn về bất đẳng thức.
IV.nội dung đề tài
I : Các kiến thức cần nắm vững.
II : Một số phơng pháp thờng dùng để chứng minh bất đẳng thức.
III : Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng.
IV :

Trang
3

một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
Phần B: nội dung
i: các kiến thức cần nắm vững
1-Định nghĩa:
Hai số a và b bất kỳ:
a > b

a - b > 0
a < b

a - b < 0
Chú ý: với dấu

hay
cũng tơng tự.
2 . Tính chất:
2.1 a > b

b < a
2.2 nếu a > b và b > c thì a > c
2.3 nếu a > b, c bất kỳ thì a + c > b + c
3. Hệ quả:
a + c > b + c

a > b
a + c > b

a > b - c
a > b; c > 0

ac > bc
a > b; c < 0

ac < bc
4. Một số kiến thức bổ sung :
4.1 a > b; c > d

a + c > b + d
4.2 a > b; c < d

a c > b - d
4.3 a > b

0; c > d

0

ac > bd
4.4 Nếu a > b và a.b > 0 thì
<
a
1
b
1
4.5 a > b > 0

a
n
> b
n

( n


N*)
4.6 a > b

a
n
> b
n
(n

N*, n lẻ )

ba
>

a
n
> b
n
(n

N*, n chẵn )
4.7 So sánh hai lũy thừa cùng cơ số
m > n, m; n


N*
Nếu a > 1 thì a

m
> a
n

Nếu a = 1 thì a
m
= a
n

Nếu 0 < a < 1 thì a
m
< a
n
4.8 a
2


0

a ;- a
2


0

a dấu = xảy ra

a = 0
4.9
a0a

dấu = xảy ra

a = 0

Trang
4
một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
4.10 -
aaa

a

dấu = xảy ra

a = 0
4.11
baba
++
dấu =xảy ra

ab

0

baba

dấu = xảy ra

ab

0 và
ba

4.12 a
2
+b
2


2ab

a ,b
4.13
ba,ab
2
ba
2
ba
2
2222

+

+
0)2(ab
b
a
a
b
4.15
0)b0,(a
ba
4
b
1
a
1
4.14
>+
>>
+
>+
4.16 2(a
2
+b
2
)

(a+b)
2

a,b
4.17 3(a
2
+b
2
+c
2
)

(a+b+c)
2
4.18 (Bất đẳng thức Côsi) Đối với hai số không âm:
21
2
21
aa
2
aa







+

Dấu= xảy ra

21

aa
=
Mở rộng đối với n số không âm :
n21
n
n21
a...aa
n
a...aa







+++
.
Dấu = xảy ra
n21
a...aa
===
4.19 (Bất đẳng thức Bunhiacôpxki) Đối với bốn số bất kì:

)bb)(aa()baba(
2
2
2
1
2

2
2
1
2
2211
+++
Mở rộng đối với 2n số bất kì :

)b...bb)(a...aa()ba...baba(
n
2
2
2
1
2
n
2
2
2
1
2
nn2211
+++++++++
Dấu = xảy ra

n1; với
====
i0a
a
b

...
a
b
a
b
i
n
2
2
2
1
1

Trang
5
một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
II: một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức thờng dùng
Trong kinh nghiệm này tôi chỉ đa ra cách chứng minh bất đẳng thức
dạng A > B, các bất đẳng thức dạng khác cũng chứng minh tơng tự
1. Dùng định nghĩa.
Để chứng minh A > B ta xét hiệu A- B và chứng minh A- B > 0
*Ví dụ 1: Chứng minh rằng: (a + b)
2

4ab với mọi a, b

R
Hớng dẫn:
Xét hiệu: (a + b)
2

- 4ab = a
2
+ 2ab + b
2
- 4ab
= a
2
- 2ab + b
2
= (a - b)
2
Vì (a b)
2


0 với mọi a, b

R nên (a + b)
2

4ab với mọi a, b

R
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b
Vậy (a + b)
2

4ab với mọi a, b

R

*Ví dụ 2: Chứng tỏ rằng với mọi a, b
R

ta có :

3344
abbaba
++
Hớng dẫn:
Xét hiệu : a
4
+b
4
a
3
b - ab
3
= a
3
(a-b) - b
3
( a-b)
= (a-b) (a
3
- b
3
)
= (a b)
2
(a

2
+b
2
+ab)
= (a-b)
2
Rba,0
4
3b
)
2
b
(a
2
2







++
Dấu = xảy ra khi a = b.
Vậy a
4
+ b
4

a

3
b + ab
3
2. Dùng các phép biến đổi tơng đơng
Muốn chứng minh A > B ta biến đổi
A > B (1)

A


2 2 k
1

1 2 k
1
...
3 k
1

2 k
1

1) 2(k
1
...
2 1 k
1

1 1 k
1

S
1 k
+
+
+
++
+
+
+
=
+
++
++
+
++
=
+
> B
1



A
n
> B
n
(2)
Trong đó (1) là bất đẳng thức cần chứng minh.
(2) là bất đẳng thức đã có (đề bài cho hoặc là hằng bất đẳng thức).

Trang
6
một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
*Ví dụ 3:
Cho các số dơng a và b thỏa mãn điều kiện: a + b = 1.
Chứng minh rằng:
( )
1 9







+






+
b
1
1
a
1
1
Hớng dẫn:

9
b
1b
a
1a
(1)

++

.


ab +a+b+1

9ab (vì ab > 0)


a+b+1

8ab


2

8ab (vì a + b =1)


1

4ab

(a+b)
2


4ab (vì a + b =1)


(a-b)
2

0 (2)
Bất đẳng thức (2) đúng, mà các phép biến đổi là tơng đơng .
Vậy bất đẳng thức (1) đợc chứng minh.
*Ví dụ 4: Cho các số a, b > 0 chứng minh rằng:

4
ab
ba
ab2

+
(1)
Hớng dẫn:
Do a > 0; b > 0 nên ta có thể chia hai vế của bất đẳng thức cho
4
ab
(1)
1

ba
ab 2
4

+



2

4
ab
ba
+
( Do
0ba
>+
)


bab2a0
4
+


( )
2
44
ba0
(2)

Ta thấy (2) đúng với mọi a, b > 0.
Do đó (1) đúng
Dấu = xảy ra

a = b
Vậy bất đẳng thức đợc chứng minh.
*Ví dụ 5: Cho các số a, b > 0.

Trang
7
một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
Chứng minh rằng:
( )
22
ba2ba
++
(1)
Hớng dẫn:
Vì a > 0; b > 0
0ba
>+
Cả hai vế của (1) không âm, bình phơng hai vế ta đợc

( )
( )
( )
( )
( )
)2(0ba
2

+
+++
++
0b2aba
2b2ab2aba
ba2ba(1)
22
2222
2
22
2
Ta thấy (2) đúng nên (1) đúng
Chứng tỏ a > 0; b > 0 thì
( )
22
ba2ba
++

Dấu = xảy ra

a = b
3. Dùng các tính chất của bất đẳng thức
- Sử dụng các tính chất của bất đẳng thức để biến đổi dữ kiện đề bài cho
thành điều phải chứng minh.
- Sử dụng tính chất bắc cầu
Để chứng minh A > B ta chứng minh A > C > D > > M > B.
Từ đó suy ra A > B.
Chú ý: Một số bớc trung gian có thể xảy ra dấu = hoặc

*Ví dụ 6: Cho a + b + c = 1 Chứng minh rằng a
2
+ b
2
+ c
2

3
1


Hớng dẫn
Từ các bất đẳng thức:
a
2
2ab +b
2

0

với mọi a, b (1)
a
2
2ac +c
2

0

với mọi a, c (1)
b

2
2bc +c
2

0

với mọi b, c (3)
Do a + b + c = 1
( )
1cba
2
=++

12ac2bc2abcba
222
=+++++
(4)
Cộng từng vế của (1), (2), (3), (4) ta đợc

( )
1cba3
222
++
3
1
cba
222
++
*Ví dụ 7 : Cho a, b > 0. Chứng minh rằng
4

b
1
a
1
b)(a







++
Hớng dẫn:

Trang
8
một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
Vì a > 0 , b > 0 nên
0
b
1
;0
a
1
>>
Với hai số dơng a, b và hai số dơng
b
1
;

a
1
ta có:
)2(
ab
1
2
b
1
a
1
)1(ab2ba


+
+
(Theo Côsi)
Vì các vế của các bất đẳng thức (1) và (2) đều dơng, nhân từng vế ta đợc:
ab
1
2.ab2
b
1
a
1
)ba(

++
= 4
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b
Vậy với a, b > 0 thì
4
b
1
a
1
b)(a







++
*Ví dụ 8: Cho 0 < a, b, c, d < 1.
Chứng minh rằng: (1- a).(1- b).(1- c).(1- d) >1- a- b- c- d (1)
Hớng dẫn:
Ta có (1- a)(1- b) = 1- a - b + ab
Do a > 0; b > 0 nên ab > 0 từ đó suy ra: (1 - a)(1 - b)>1- a - b (1)
Do c <1 nên 1- c > 0 nhân cả hai vế của (1) với 1- c ta đợc :
(1- a)(1- b)(1- c) >(1- a- b)(1- c)=1- a - b - c + ac + bc
Do a, b, c > 0 nên ac + bc > 0 vì vậy 1- a- b - c + ac + bc > 1- a- b- c
Do đó (1- a)(1- b)(1- c) > 1- a- b - c (2)

Nhân hai vế của (2) với 1- d > 0 ta đợc :
(1- a)(1- b)(1- c)(1- d) > (1- a- b - c)(1- d)
Mà 1- a- b- c- d + ad + bd + cd > 1-a-b-c-d
(vì ad + bd + cd > 0)
Vậy (1- a)(1- b)(1- c)(1- d) >1- a - b - c - d
*Ví dụ 9: Chứng minh rằng: a
4
+ b
4
+ c
4

abc(a + b + c) với mọi a, b, c
Hớng dẫn
áp dụng ví dụ 1

Trang
9
một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức

)2)(cba(abccbcaba
)bc)(ac()bc)(ab()ac)(ab(cbcaba
)1(cbcabacba
222222
222222
222222444
++++
++++
++++
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.

*Ví dụ 10: Chứng minh bất đẳng thức:
nn
1
...
2n
1
1n
1
222
+
++
+
+
+
<1
*)Nn(

Hớng dẫn
Ta có:

hạngsố n

n
1
...
n
1
n
1
nn

1
...
2n
1
1n
1
)n;1k(
n
1
n
1
kn
1
222
22
+++<
+
++
+
+
+
==<
+

suy ra
1
nn
1
...
2n

1
1n
1
222
<
+
++
+
+
+
4. Sử dụng một số bất đẳng thứcđã biết
Xuất phát từ các bất đẳng thức đã biết nh bất đẳng thức Côsi, bất đẳng thức
Bunhiacôpxki, để chứng minh bất đẳng thức đã cho.
Chú ý: Khi sử dụng các bất đẳng thức đã cho cần xét đến điều kiện.
* Ví dụ 12: Cho a, b là 2 số dơng. Chứng minh (a + b) .(ab + 1)

4ab.
* Hớng dẫn:
Vì a > 0, b > 0 ab > 0
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 cặp số dơng (a, b) và (ab;1) ta có:
( )
( )
2 ab2 ab.12 1
1 ab2 b
=+
+
ab
a
Vì 2 của các bất đẳng thức (1) và (2) đều dơng nên ta có

( )( )
4ab ab2 1 b
=++
ab2.aba
Vậy (a + b) . (ab + 1)

4ab
Dấu "=" xảy ra khi
1 b a
1 ab
b
==



=
=
a

Trang
10