Tài liệu ôn thi Đại học, THPT Quốc gia: Môn Toán: Tóm tắt lý thuyết và giải nhanh toán 12

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

TĨM TẮT LÝ THUYẾT VÀ GIÂI NHANH TỐN 12

fb
.c

PHỈN 1. HÀM SỐ

o

SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

m

1. Đðnh nghïa

x1, x 2  K , x 1  x 2 ( K là khoâng hoặc đoạn hoặc nửa khoâng).

   

f x   f x   y  f x  nghðch biến trên K đồ thð đi xuống tÿ trái sang phâi.
Chú ý: + N u f  x   0, x  a ;b   hàm s f  x  đ ng bi n tr n khoâng a;b  .
+ N u f   x   0, x  a; b   hàm s f  x  nghðch bi n trên khoâng a;b  .
+ N u f  x   0, x  a ;b   hàm s f  x  h ng đ i trên khoâng a;b  .
+ N u f  x  đ ng bi n trên khoâng a;b   f  x   0, x  a ;b .
+ Nếu f  x  nghðch bi n trên khoâng a;b   f  x   0, x  a ;b .

/g

f x 1  f x 2  y  f x đồng biến trên K đồ thð đi lên tÿ trái sang phâi.

2

T
s/

p

u

ro

1

u
ie
iL
a

2. Quy tắc và cơng thức tính đäo hàm





Quy tắc tính đạo hàm: Cho u  u x ; v  v x ; C : là hìng số .

  u  v.


Tích: u.v   u .v  v .u  C .u   C .u .



Tổng, hiệu: u  v







T
n

 

O

C 
u .v  v .u
C .u 
,
v

0





v2

u2
u
Đạo hàm hàm hợp: Nếu y  f u , u  u x  y x  y u .u x .
u 
v 

Thương:   

Bâng công thức tớnh ọo hm:
ọo hm ca hm s cỗp
(C l hỡng số).

x   .x




u   . u


 1

 1

.u

 1 
u
   2 u  0
u

u 

u
u 
u0
2 u





 





 cos u   u.sin u
Page | 1

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

1

 cos x    sin x

0

 sin u   u .cos u

c

 sin x   cos x



o



 1

iH
a

 1 
1
    2 (x  0)
x
x 

1
x 
x 0
2 x

 

x   .x

iD
h

C   0

Đäo hàm của hàm hợp


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01



 tan x   cos1 x

 tan u   cosu

 cot x    sin1 x

 cot u    sin

e  e
a   a .ln a
 ln x   x1

e   u.e
a   u.a .ln a
 ln u   uu

 log x   x ln1 a

u
 log u   u.ln
a

2

fb

2

.c

x

x

o

x

u

2

u

u

a

ro

/g

m

a

u
u

u

u

x

2

Cơng thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức:

u

a    b

Đạo hàm cấp 2 :

T
s/

p


a    c

x

d    f
 ax 2  bx  c  d    e
 2
 
 dx  ex  f 
dx 2  ex  f

 ax  b 
ad  bc
. ;

 
2
 cx  d 
cx  d



x2  2





2

b    c
e    f

.



+ Đðnh nghïa: f   x    f   x  

u
ie
iL
a



+ Ý nghïa cơ học: Gia tốc tĀc thąi cûa chuyển động s  f t täi thąi điểm t 0 là:

 

 

a t0  f  t0 .
* Một số chú ý:


 

 

Nếu hàm số f x và g x cùng đồng biến (nghðch biến) tr n K thì hàm số





f x g x



O

cüng đồng biến (nghch bin) tr n K. Tớnh chỗt ny cũ th kh ng đúng đối vĆi hiệu





   
K thì hàm số f x  .g x  cüng đồng bin (nghch bin) tr n K. Tớnh chỗt ny cũ thể
kh ng đúng khi các hàm số f x  , g x  kh ng là các hàm số dỵng trờn K.
Cho hm s u u x  , xác đðnh vĆi x  a;b  và u x   c;d  . Hàm số f u  x  
cüng xác đðnh vĆi x  a;b  .

Nếu hàm số f x và g x l cỏc hm s dỵng v cựng ng bin (nghch biến) tr n

Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.

Giâ sā hàm số f cò đäo hàm trên K

 

 

 

c

hàm số f đồng biến trên K .

Nếu f ' x  0 vĆi mọi x  K và f ' x  0 chỵ täi một số hĂu hän điểm x  K

1

thì hàm số f nghðch biến trên K .

0



 

Nếu f ' x  0 vĆi mọi x  K và f ' x  0 chỵ täi một số hĂu hän điểm x  K thì

o



iH
a

iD
h



T
n

f x g x .

Page | 2

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Chú ý:

fb

* Đối vĆi hàm phân thĀc hĂu tỵ y

ax b
d
x thỡ dỗu " " khi xột dỗu ọo
cx d

c

hm y  không xây ra.

.c





o

Giâ sā y  f x  ax 3  bx 2  cx  d  f  x  3ax 2  2bx  c.

 

/g

m

Hàm số đồng biến trên

 f  x  0; x 

Hàm số nghðch biến trên

 a  0

   0
  a  0 .


 b  0

 c  0

 

 f  x  0; x 

u

ro

 

 a  0

   0
  a 0 .

b 0

c 0

Trỵng hợp 2 thì hệ số c khác 0 vì khi a  b  c  0 thì f x d

p

T
s/

(ỵng thợng song song hoc trựng vi trýc Ox thì kh ng đĄn điệu)
* Với dạng tốn tìm tham số m để hàm số c a đơn điệu một chiều trên không cị độ
dài bằng l ta giâi như sau:





Bỵc 1: Tớnh y f x ; m  ax 2  bx  c.

  0

a  0

* 

x ; x   y  0 cú 2 nghim phõn bit

u
ie
iL
a

Bỵc 2: Hm s n iu trờn

1

2

Bỵc 3: Hm s n iu trờn không cị độ dài bìng l



 x1  x 2  l  x1  x 2





2

 4x1x 2  l 2  S2  4P  l 2

 

* *

T
n

O

Bỵc 4: Giõi * v giao vi * * để suy ra giá trð m cỉn tìm.

CỰC TRỊ HÀM SỐ

iD
h

1. Đðnh nghïa
Giâ sā hàm số f xác đðnh tr n têp K và x 0  K .

 

+ x0 là điểm cực tiểu cûa hàm số f nếu tồn täi một khoâng a; b chĀa x 0 sao cho
0

0

0

iH
a

 a; b   K và f x   f x  , x  a;b  \ x .
Khi ũ f x ỵc gi là giá trð cực tiểu cûa hàm số f .

 

+ x 0 là điểm cực đäi cûa hàm số f nếu tồn täi một khoâng a;b chĀa x 0 sao cho

 a; b   K và f x   f x  , x  a;b  \ x .
0

0

o

Khi ũ f x 0 ỵc gọi là giá trð cực đäi cûa hàm số f .

1

0

c

+ Điểm căc đäi và điểm căc tiểu gọi chung là điểm cực trð.
+ Giá trð căc đäi và giá trð căc tiểu gọi chung là cực trð.
+ Điểm căc ọi v im cc tiu ỵc gi chung l im cực trð của hàm số và điểm
căc trð phâi là một điểm trong têp hợp K.

Page | 3
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

+ Giá trð căc đäi và giá trð căc tiểu ỵc gi chung l giỏ tr cc tr (hay cc trð)
của hàm số.





fb

+ Nếu x0 là điểm căc trð cûa hàm số thì điểm x 0 ; f (x 0 ) ỵc gi l im cc tr

ca th hm số f .

.c

2. Điều kiện cæn để hàm số đät cực trð

 

  cị đäo hàm

o

Đðnh lí 1: Giâ sā hàm số y  f x đät căc trð täi điểm x 0 . Khi đò, nếu y  f x

 

m

täi điểm x 0 thì f  x 0  0.
Chú ý:

 

/g



Đäo hàm f  x có th bỡng 0 tọi im x0 nhỵng hm s f kh ng đät căc trð täi

ro

điểm x0 .

T
s/

p

u

Hàm số có thể đät căc trð täi một điểm mà täi đò hàm số kh ng cị đäo hàm.
Hàm số chỵ có thể đät căc trð täi một điểm mà täi đò đäo hàm cûa hàm số bìng 0
hc täi đị hàm số kh ng cò đäo hàm.
3. Điều iện đủ để hàm số đät cực trð
Đðnh lí 2: Giâ sā hàm số f đät căc trð täi điểm x 0 . Khi đò, nếu hàm số f cò đäo hàm täi



 


 và f  x   0 trên khoâng
x ; x  h  thì x là m t i m cỵc ai cỷa hm s f x .
 N u f   x   0 trên khoâng x  h; x  và f   x   0 trên khoâng  x ; x  h  thì
x là m t đi m cỵc ti u cỷa hm s f x .
 

điểm x 0 thì f ' x0  0 . N u f  x  0 tr n không x 0  h; x 0
0

0

0

u
ie
iL
a
0

0

Quy tắc tìm cực trð
Quy tắc 1:

0

 
i  1;2;...



Bước 1: Tìm têp xác đðnh. Tìm f  x .



Bước 2: Tìm các điểm x i

0

T
n

O

mà täi đò đạo hàm của hàm số bằng 0 hc

hàm số liên tục nhưng khơng cị đạo hàm.


0

 

  đổi dấu khi đi

Bước 3: Lêp bâng biến thiờn hoc bõng xột dỗu f x . Nu f  x
qua x i thì hàm số đät căc trð täi x i .

 
Nếu f   x   0, f   x   0 thì hàm số
Nếu f   x   0, f   x   0 thì hàm số








iD
h

Đðnh lí 3: Giâ sā y  f x có đäo hàm cå p 2 trong khoâng x 0  h; x 0  h vĆi h  0.
0

f đät căc đäi täi x 0 .

0

0

f đät căc tiểu täi x 0 .

Từ đðnh lí trên, ta cị một quy tắc khác để tìm cực trð của hàm số
Quy tắc 2:

 



Bước 1: Tìm têp xác đðnh. Tìm f  x .



Bước 2: Tìm các nghiệm x i i  1;2;... cỷa phỵng trỡnh f x 0.

Bc 3: Tớnh f  x và tính f  x i .



đät căc đäi täi điểm x i .

i

đät căc tiểu täi điểm xi .

Page | 4

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

1

i

0





c



 
 

Nếu f   x   0 thì hàm số f
Nếu f   x   0 thì hàm số f



o

iH
a

0


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

MỘT SỐ DÄNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ
I. CỰC TRỊ CỦA HÀM ĐA THỨC BẬC BA:

fb

1. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước





ài to n t ng quat: Cho hàm số y  f x ; m  ax 3  bx 2  cx  d. Tìm tham số m để hàm

.c

số có căc đäi, căc tiểu täi x 1, x 2 thóa mãn điều kiện K cho trỵc.

/g

m

o

Phng ph p:

c 1:
Tờp xỏc nh: D  .
2
2
 Đäo hàm: y   3ax  2bx  c  Ax  Bx  C
ước 2:
Hàm số có căc trð (hay có hai căc trð, hai căc trð phân biệt hay có căc đäi và căc tiểu)
 y   0 có hai nghiệm phân biệt và y i dỗu qua 2 nghim ũ


ro

u

phỵng trỡnh y   0 có hai nghiệm phân biệt

T
s/

p



A  3a  0
a  0


 m  D1.
 2
y   B 2  4AC  4b 2  12ac  0
b  3ac  0





ước 3: Gọi x 1, x 2 l hai nghim cỷa phỵng trỡnh y  0.

u
ie
iL
a


B
2b

x 1  x 2   A   3a
.
Khi đò: 

C
c
x .x 


 1 2 A 3a
ước 4: Bi n đ i đi u ki n K v da ng t ng S và ti ch P . T ú giõi ra tỡm ỵc
m D2 .
c 5: K t luån các giá trð m thóa mãn: m  D1  D2 .





* Chú ý: Hàm số bêc ba: y  ax 3  bx 2  cx  d a  0 .

O

2
Ta có: y '  3ax  2bx  c.

Kết luận
Hàm số kh ng cò căc trð.
Hàm số cò hai điểm căc trð.

T
n

Điều kiện

b  3ac  0
b 2  3ac  0
2

Điều kiện để hàm số có cực trð cùng dấu, trái dấu.
 Hm s cú 2 cc tr trỏi du
phỵng trỡnh y   0 có hai nghiệm phân biệt trái dỗu ac 0.


iD
h



Hm s cú hai cc tr cùng dấu



Hàm số có hai cực trð cùng dấu dương

iH
a

 y 0

phỵng trỡnh y 0 cú hai nghim phõn bit cựng dỗu
C
0
P x 1.x 2 


A

1

Page | 5
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

0

c

o


 y   0

B
 phỵng trỡnh y 0 cú hai nghim dỵng phån biệt  S  x 1  x 2    0
A

C
P  x .x 
0
1 2

A


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01



Hàm số có hai cực trð cùng dấu âm

m

o

.c

fb


 y ' 0

B
phỵng trỡnh y 0 cú hai nghiệm âm phân biệt  S  x 1  x 2    0
A

C
P  x .x 
0
1 2

A
 Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trð x 1, x 2 thỏa mãn:
x1    x 2

/g

x1  x 2  

ro



  x1  x 2

Hai căc trð x 1, x 2 thóa mãn x1    x 2













u

 x1   x 2    0  x1.x 2   x1  x 2   2  0











2


 x   x2    0
x .x   x1  x 2    0
 1
 1 2
x  x 2  2
x1  x 2  2


 1
Hai căc trð x 1, x 2 thóa mãn   x1  x 2





T
s/



p

Hai căc trð x 1, x 2 thóa mãn x1  x 2  









u
ie
iL
a

2


 x   x2    0
x .x   x1  x 2    0
 1
 1 2
x  x 2  2
x1  x 2 2


1

Phỵng trỡnh bờc 3 cú 3 nghim lờp thnh cỗp s cng

khi cú 1 nghim l x

b
d
, cú 3 nghim lờp thnh cỗp s nhõn khi có 1 nghiệm là x   3
.
3a
a

i tri tương đ i giưa 2 điêm vơi đương th ng:





B

B

hai phía so vi ỵng thởng .



iD
h


v ỵng thởng : ax  by  c  0.
 c ax  by  c   0 thi hai điểm A, B nëm v

Cho 2 đi m A x A; yA , B x B ; yB
N u ax A  byA

T
n

O

2. Tìm điều kiện để đồ thð hàm số có c c điểm cực đại, cực tiểu nằm cùng phía,
khác phía so với một đường thẳng





N u ax A  byA  c ax B  byB  c  0 thi hai điểm A, B nëm cu ng
Một số trương hơp đ c biêt:
+ Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm cùng về 1 phía đối với trc Oy
hm s cú 2 cc tr cựng dỗu
phỵng trỡnh y 0 cú hai nghim phõn bit cựng dỗu

Page | 6

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

1

+ Cỏc im cc tr cỷa đồ thð nìm cùng về 1 phía đối với trục Ox
phỵng trỡnh y 0 cú hai nghim phân biệt và yC Đ .yCT  0

0

c

o

+ Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm cùng về 2 phía đối với trục Oy
 hàm số có 2 căc trð trỏi dỗu
phỵng trỡnh y 0 cú hai nghim trỏi dỗu

iH
a

phớa so vi ỵng thợng .


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Đặc biệt:
+ Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm cùng về phía trên đối với trục Ox

.c

fb

y .y  0
phỵng trỡnh y 0 cú hai nghim phân biệt và  C Đ CT
yC Đ  yCT  0

Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm cùng về phía dưới đối với trục Ox

m

o

y .y  0
.
 phỵng trỡnh y 0 cú hai nghim phõn biệt và  C Đ CT
yC Đ  yCT  0

/g

+ Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm về 2 phớa i vi trc Ox
phỵng trỡnh y  0 có hai nghiệm phân biệt và yC Đ .yCT  0

u

ro

(áp dung khi không nh m đươc nghiêm và viết được phương trình đường thẳng đi qua hai
điểm cực trð của đồ thð hàm số)
Hoðc: Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm về 2 phía đối với trục Ox
 đồ thð cít trýc Ox täi 3 điểm phõn bit



phỵng tri nh honh giao i m f x  0 co 3 nghi m phân bi t (áp dung khi

p

nh m được nghiêm)

T
s/

3. Phương trình đường thẳng qua c c điểm cực trð

 2c 2b 2 
y.y
y .y 
bc
hoặc g  x   9ay 
hoặc g x  y 
g x  
x  d 
2
3y 
9a 
9a
3

 

 

u
ie
iL
a

Khoâng cách giữa hai điểm cực trð của đồ thð hàm số ậc 3 là

AB 

b 2  3ac
4e  16e 3
vĆi e 
a
9a

II. CỰC TRỊ CỦA HÀM BẬC 4 TRÙNG PHƯƠNG y  ax  bx  c
4

2

a  0

O

MỘT SỐ KẾT Q CỈN NHỚ
 Hàm số có một căc trð  ab  0.
 Hàm số có ba căc trð  ab  0.

T
n

a  0
.
b  0

a  0
 Hàm số cò đúng một căc trð và căc trð là căc đäi  
.
b  0
a  0
 Hàm số có hai căc tiểu và một căc đäi  
.
b  0
a  0
 Hàm số có một căc tiểu và hai căc đäi  
.
b  0
 Hàm số cò đúng một căc trð và căc trð là căc tiểu  

1

0

c

täo thành tam giác ABC thóa mãn dĂ kiện: ab  0 .

b
 
b

;   ,C   ;  
2a 4a  
2a 4a 

o




iH
a

iD
h



4
2
Giâ sā hàm số y  ax  bx  c có 3 căc trð: A(0;c), B   

Page | 7
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

MỘT SỐ CƠNG THỨC GIẢI NHANH
y

.c

fb
o

Tổng qt:



b 3
cot

2
8a
2

A
O

x

m

B

/g

Cơng thức thỏa mãn ab  0

Dữ kiện
Tam gi{c ABC vuông c}n tại A

ro

b 3  8a
b 3  24a
32a 3 (S 0 )2  b 5  0

Tam gi{c ABC đều

Tam gi{c ABC có diện tích S ABC  S 0

u

Tam gi{c ABC có diện tích max (S 0 )

p

S0  

T
s/

Tam gi{c ABC có b{n kính đường trịn nội tiếp

rABC  r0

r 

u
ie
iL
a

Tam gi{c ABC có b{n kính đường trịn ngoại tiếp

RABC  R

C

b5
32a 3

b2

b3 

4 a 1  1 

8a 


R

b 3  8a
8ab

Tam gi{c ABC có độ d|i cạnh BC  m0

am02  2b  0

Tam gi{c ABC có độ d|i AB  AC  n0

16a 2n02  b 4  8ab  0

Tam gi{c ABC có O l| t}m đường trịn ngoại tiếp
Tam gi{c ABC có cạnh BC  kAB  kAC
Trục ho|nh chia tam gi{c ABC th|nh
hai phần có diện tích bằng nhau

b 2  4 2 ac
b 2  8ac

 

Đồ thð hàm số C : y  ax 4  bx 2  c cít trýc Ox tọi

b2

36
ac
5

0

phổn tr n v phổn dỵi bỡng nhau.

100
ac
9

c

 bx 2  c và trýc hồnh cị diện tớch

b2

o

4 im phồn bit lờp thnh cỗp s cng
nh tham số để hình phỵng giĆi hän bći đồ thð
4

iH
a

Tam giác ABC cị điểm căc trð cách đều trýc hồnh

C  : y  ax

b 2  6ac
b 3  8a  4ac  0
b 2  2ac
b 3  8a  4abc  0
b 3  8a  8abc  0
b 3 .k 2  8a(k 2  4)  0

iD
h

Tam gi{c ABC cùng điểm O tạo th|nh hình thoi
Tam gi{c ABC có O l| t}m đường trịn nội tiếp

T

n

Tam gi{c ABC có trọng t}m O
Tam gi{c ABC có trực t}m O

b 2  4ac
b(8a  b 3 )  0

O

Tam gi{c ABC có cực trị B,C  Ox
Tam gi{c ABC có 3 góc nhọn

Page | 8

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

1

2 

2  

 c y  c  
0
 b 4a

 b 4a

2

2
Phỵng trỡnh ỵng trủn ngoọi tip ABC : x  y  


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

GIÁ TRỊ LỚN NHÇT - GIÁ TRỊ NHỎ NHÇT
I. Đðnh nghïa.

 

 f (x )  M , x  D
x  D, f (x 0 )  M
 0

 

 Số M gọi là giá trð lớn nhất cûa hàm số y  f x trên D nếu: 

.c

fb

Cho hàm số y  f x xác đðnh trên têp D.

o

Kí hiệu: M  max f ( x) .
xD

m

 f (x )  m, x  D
x  D, f (x 0 )  m
 0

 

 Số m gọi là giá trð nhỏ nhất cûa hàm số y  f x trên D nếu: 

/g

Kí hiệu: m  min f (x ) .
x D

ro

2. Phương pháp tìm GTLN,GTNN
* Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách khâo sát trực tiếp

 

 

Bước 1: Tính f  x và tìm các điểm x1, x 2,..., x n  D mà täi đò f  x  0 hoðc hàm số

u



T
s/

p

kh ng cò đäo hàm.
+ Bước 2: Lêp bâng biến thi n v ri suy ra giỏ tr ln nhỗt, giỏ tr nhú nhỗt cỷa hm s.
* Tỡm GTLN, GTNN ca hàm số tr n một đoän
 Bước 1:

 

u
ie
iL
a

 Hàm số đã cho y  f x xác đðnh và liên týc tr n đoän a;b  .

 

 

 

 Tìm các điểm x1, x 2,..., x n trên không a;b , täi đị f  x  0 hoðc f  x
kh ng xác đðnh.

    

  



Bước 2: Tính f a , f x1 , f x 2 ,..., f x n , f b .



Bước 3: Khi đò:


          
 min f x   min f x  , f x  ,..., f x  , f a  , f b  .

 max f x  max f x 1 , f x 2 ,..., f x n , f a , f b .
1

n

2

T
n

a ,b 

O

a ,b 

* Tìm GTLN, GTNN của hàm số tr n một hoâng
 Bước 1: Tớnh ọo hm f (x ) .

Tỡm tỗt cõ cỏc nghim x i (a;b) cỷa phỵng trỡnh

iD
h

Bc 2:

f (x ) 0 v tỗt cõ cỏc im i  (a;b) làm cho f (x ) kh ng xác đðnh.
 Bước 3. Tính A  lim f (x ) , B  lim f (x ) , f (x i ) , f (i ) .
x a

x b

So sánh cỏc giỏ tr tớnh ỵc v kt luờn M max f (x ) , m  min f (x ) .
(a ;b )

iH
a

 Bước 4.

(a ;b )

Nếu giá trð lớn nhất (nhó nhất) là A hoặc B thì kết luận khơng cị giá trð lớn nhất (nhó nhất).

 

1

Page | 9
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

0

c

 

o

  
  



min f x  f a
 a ;b 
+ N u y  f x đ ng bi n trên a;b  thì   
.
f x f b
max
 a ;b 
min f (x )  f b
 a ;b 
.
+ N u y  f x nghich bi n trên a;b  thì   
f (x )  f a

max
 a ;b 


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

fb

1. Đường tiệm cận ngang
Cho hàm số y  f (x ) xác đðnh trên một không vơ hän (là không däng

.c

a;  , ;b





hoc ; ). ỵng thợng y y0 l ỵng tim cn ngang (hay tim

cờn ngang) cûa đồ thð hàm số y  f (x ) nu ớt nhỗt mt trong cỏc iu kin sau thóa mãn:

o

lim f (x )  y0, lim f (x ) y0

x

x

/g

m

2. ng tim cn ng
ỵng thợng x x 0 ỵc gi l ỵng tim cn đứng (hay tiệm cên đĀng) cûa đồ
thð hàm số y f ( x) nu ớt nhỗt mt trong cỏc iu kin sau ỵc thúa món:

ro

lim f (x ) , lim f (x )  , lim f ( x)  , lim f ( x)  

x x 0

x x0

x x 0

Lưu ý: VĆi đồ thð hàm phån thĀc däng y 

u

c  0; ad  bc  0

lu n cò tiệm cên

a

d
và tiệm cên đĀng x   .
c
c

T
s/

p

ngang là y 

ax  b
cx  d

x x0

KHÂO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1. Sơ đồ hâo sát hàm số



u
ie
iL
a

 

Cho hàm số y  f x .

Tìm tập xác đðnh của hàm số.
Sự biến thi n
 Chiều biến thi n.
i. Tính y ' .

ii. Tỡm cỏc nghim cỷa phỵng trỡnh y ' 0 và các điểm täi đị y ' khơng

kh ng xỏc nh.
Tỡm cỏc ỵng tim cờn cỷa hm s (nếu cò).
 Lêp bâng biến thi n.
Đồ thð.
 Liệt k các điểm đðc biệt ( điểm căc đäi, điểm căc tiểu, tåm đối xĀng,…)
 Xác đðnh giao điểm cûa (C) vĆi Ox, Oy (nếu cị).
 Vẽ đồ thð.

1

0

c

o

iH
a

iD
h



Tìm căc trð (nếu cị).
Tìm các giĆi v căc; các giĆi hän täi ,   và täi các điểm mà hàm số

T
n




O

xác nh.
iii. Xột dỗu y ' v suy ra cỏc khoõng biến thi n cûa hàm số.

Page | 10

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

2. KHÂO SÁT MỘT SỐ HÀM ĐA THỨC VÀ PHÅN THỨC:

a  0

a) HÀM SỐ BẬC BA y  ax 3  bx 2  cx  d

fb

TRƯỜNG HỢP

a0

a 0

Phương trình y  0 có
/

y

y

.c

2 nghiệm ph n iệt

1
1

o

O

x

1

m

1

O

/g

/
Phương trình y  0 có

1

O

x

1

p

O

x

y

y

u
ie

iL
a

T
s/

nghiệm

1

1

u
Phương trình y /  0 vơ

y

y

ro

nghiệm kép

x

1
1

O

x

1

1

O

x

O

TRƯỜNG HỢP
Phương trình y  0 có
/

a  0

a 0
y

T
n

b) HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG y  ax 4  bx 2  c

a0
y

1

1

O

x

1

iH
a

iD
h

3 nghiệm ph n iệt

1

O

x

1

0

c

o

Page | 11
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Phương trình y /  0 có

y

y

1 nghiệm.

fb

1

.c

1
1

O

x

1

/g

m

o

O

c) HÀM SỐ NHÇT BIẾN y 

ax  b
cx  d

x

 c  0, ad  bc  0 
D  ad  bc  0

u
ie
iL
a

T
s/

p

u

ro

D  ad  bc  0

MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ

Däng 1:
Ta có

 

 f x 
y  f x   
f x

  



 

 

Tÿ đồ thð C : y  f x suy ra đồ thð C  : y  f x .

khi x  0
khi x  0

 

 

* Cách vẽ C  từ C :

T
n

O

  là hàm chẵn n n đồ thð C nhên Oy làm trýc đối xĀng.

và y  f x

 



+ Giữ nguyên phæn đồ thð b n phâi Oy cûa đồ thð C : y  f x .

 

iD
h

+ Bó phỉn đồ th bờn trỏi Oy cỷa C , lỗy i xng phæn đồ thð được giữ qua Oy.

 

suy ra đồ thð C   : y  x  3 x .
Biến đổi C  :
+ Bó phỉn đồ thð cûa C  bên trái

Oy, giĂ nguyên C  bên phâi Oy.

Ví dụ: Tÿ đồ thð C : y  f x  x 3  3x

y

2

3

3

iH
a

1

O

-1

C  : y  x

 3x

x

-2

C  : y  x

y

-1

1

O

x

Page | 12

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

1

-2

0

+ Lỗy i xng phổn th ỵc
gi qua Oy .

3x

c

o

3


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

 

Däng 2:



 
f x   0
f x   0

 

Tÿ đồ thð C : y  f x suy ra đồ thð C  : y  f x .

fb

Nội dung:

.c

 





f x
y f x 
f x





Ta có:

 

khi
khi

* Cách vẽ C  từ C :

 

o

+ Giữ ngun phỉn đồ thð phía tr n Ox cûa đồ thð (C): y  f x .

m

+ Bó phỉn th phớa dỵi Ox cỷa (C), lỗy i xng phỉn đồ thð bð bỏ qua Ox.

 

 

/g

Ví dụ: Tÿ đồ thð C : y  f x  x3  3x

y

C  : y  x

2

suy ra đồ thð y  x  3x .

 

3

 3x

1

ro

Biến đổi C :

3

-1

dỵi

+ Bú phổn th cỷa C

u



O

x

-2

p

Ox , gi nguyờn C phớa trờn Ox.
y

T
s/

+ Lỗy i xĀng phỉn đồ thð bð bó
qua Ox .

C  : y x

2

u

ie
iL
a

-1

O

1

3

3x

x

ta lổn lỵt bin i 2 đồ thð y  f  x  và y  f x 

Chú ý vĆi däng: y  f x
Ví dụ: Tÿ đồ thð

C  : y  f x   x

3

 3 x . Biến đổi

T
n

3

3

 3 x ta ỵc th

-1

O

1

x

iD
h

3

2

3

x 3x

O



y x 3 x . Bin i C ỵc


C  : y  x
C  : y  x

C  : y 

 3x suy ra đồ thð

3

thð C  : y  x

y

3x .

 
  
 
   

khi u x   0
u x  .v x   f x 
Ta có: y  u  x  .v x   
u x .v x  f x  khi u x   0

    
* Cách vẽ C   từ  C  :
+ Giữ nguyên phæn đồ thð tr n miền u  x   0 cûa đồ thð C  : y  f x  .

+ Bó phỉn đồ thð tr n miền u  x   0 cûa C  , lỗy i xng phổn th b b qua Ox.
Dọng 3:

Tÿ đồ thð C : y  u x .v x suy ra đồ thð C  : y  u x .v x .

1

0

c

o

iH
a

Page | 13
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Ví dụ

 

suy ra đồ thð C   : y  x  1 2x

a) Tÿ đồ thð C : y  f x  2x 3  3x 2  1

.c

fb

2

 
 





m

o


f x
y  x  1 2x 2  x  1  
f x





x 1

khi x  1
khi x  1

y



 

ra đồ thð C  : y 

1

x 1

 x


y
 x  1
x  1  x

 x 1

 
khi x   ;1

khi x  1; 

Đồ thð (C’):

.

  vĆi x  1 ,

+ Bó phỉn đồ thð cûa C

  vĆi

giĂ nguy n C

x 1.

Ox.
y

T
s/

O

x

x

p

1

x
suy
x 1

+ Lỗy i xng phổn đồ thð bð bó qua

u

(C')

ro

/g

Đồ thð (C’):
+ GiĂ nguy n (C) vĆi x  1 .
+ Bó (C) vĆi x 1 . Lỗy i xng phn
th ú qua Ox.

 

b) Tÿ đồ thð C : y  f x 

1

x

u
ie
iL
a

(C)

Nhên xét: Trong quá trình thăc hiện phép
suy đồ thð n n lấy đối xứng các điểm đặc
iệt cûa (C): giao điểm vĆi Ox, Oy, CĐ, CT…

O
1

x

O

Nhên xét: Đối vĆi hàm phån thĀc thì n n
lấy đối xứng các đường tiệm cận để thăc
hiện phép suy đồ thð mt cỏch tỵng i
chớnh xỏc.

TIP TUYN



T
n

1. Tip tuyn : Cho hàm số y  f  x  , cò đồ thð (C). Tiếp tuyến cûa



 x  x   y .
Trong đò: Điểm M x ; y  (C ) ỵc gi l tip im. ( vi y  f x  ).

k  f ' x  là hệ số góc cûa tiếp tuyến.
2. Điều iện tiếp xúc: Cho hai hàm số C  : y  f x  và C '  : y  g x 
 f  x   g x 
Đồ thð C  và C   tiếp xỳc nhau khi chợ khi h phỵng trỡnh:
cũ nghim.
f  x   g x 
đồ thð (C) täi điểm M 0 x 0 ; y0  (C ) cò däng: y  y  x 0
0

0

iD
h

0

0

0

0

0

0

iH
a

/

/

y

là f (x )  g(x ) 1 . Khi đò:

Page | 14

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

x

1



x0 O

0

Phỵng trỡnh honh giao im cỷa (C 1 ) và (C2 )

y0

c

Cho hàm số y  f (x ) cò đồ thð (C 1 ) và y  g(x ) cò đồ thð (C2 ) .

o

TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

 Số giao điểm cûa (C1 ) và (C 2 ) bỡng vi s nghim

cỷa phỵng trỡnh 1 .

fb



Nghim x 0 cỷa phỵng trỡnh 1 chớnh l

.c

honh x 0 cûa giao điểm.
 Để tính tung độ y 0 cûa giao điểm, ta thay hoành độ x 0 vào

 

o

 

y  f x hoðc y  g x .

m

 Điểm M  x0 ; y0  là giao điểm cûa (C 1 ) và (C 2 ) .

/g

Bài tốn tìm điểm cố đðnh của họ đường cong
Xét họ ỵng cong (C m ) cũ phỵng trỡnh y f (x, m) , trong đò f là hàm đa thĀc theo

ro

1.

ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG

T
s/

p

u

biến x vĆi m là tham số sao cho bêc cûa m không quỏ 2. Tỡm nhng im c nh thuc h
ỵng cong khi m thay i?
Phng phỏp giõi:
+ Bc 1: ỵa phỵng trỡnh y f ( x, m) v dọng phỵng trỡnh
theo ốn m cũ dọng sau: Am B  0 hoðc Am2  Bm  C  0 .
+ Bước 2: Cho các hệ số bìng 0 , ta thu ỵc h phỵng trỡnh v giõi h phỵng trình:

u
ie

iL
a

A  0
A  0

hoðc B  0 .

B  0
C  0


+ Bước 3: Kết luên:
- Nếu hệ v nghim thỡ h ỵng cong (C m ) kh ng cị điểm cố đðnh.
- Nếu hệ cị nghiệm thì nghiệm đò là điểm cố đðnh cûa (C m ) .
Bài toỏn tỡm im cũ ta nguy n:
Cho ỵng cong (C ) cũ phỵng trỡnh y f (x ) (hm phồn thc). Hóy tỡm nhng im

T
n

O

2.

im, qua ỵng thợng.

iH
a

iD
h

cũ ta nguy n cỷa ỵng cong?
Nhng im cũ ta độ nguyên là những điểm sao cho câ hoành độ và tung độ của
điểm đò đều là số nguyên.
 Phương pháp giâi:
+ Bước 1: Thăc hiện phép chia đa thĀc chia tā số cho méu số.
+ Bước 2: Lêp luên để giâi bài tốn.
3. Bài tốn tìm điểm cị tính chỗt i xng:
Cho ỵng cong (C ) cũ phỵng trỡnh y  f (x ) . Tìm nhĂng điểm đối xĀng nhau qua một

 

 

Bài toán 1: Cho đồ thð C : y  Ax 3  Bx 2  Cx  D trên đồ thð C
Phương pháp giâi:

 

 là hai điểm tr n C  đối

1

xĀng nhau qua điểm I .

0



+ Gọi M a; Aa 3  Ba 2  Ca  D , N b; Ab 3  Bb 2  Cb  D

c



o

đối xứng nhau qua điểm I (x I , yI ) .

tìm những cặp điểm

Page | 15
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


a  b  2x I
.
A(a 3  b 3 )  B a 2  b 2  C a b 2D 2yI


Giõi h phỵng trỡnh tỡm ỵc a, b t ũ tỡm ỵc toọ M, N.
+ Ta có 

fb









 

 

tìm

là hai điểm tr n

C 

.c

Trường hợp đặc biệt : Cho đồ thð C : y  Ax 3  Bx 2  Cx  D . Trên đồ thð C

o

những cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ.
 Phương pháp giâi:



 

Gọi M a, Aa 3  Ba 2  Ca  D , N b, Ab 3  Bb 2  Cb  D

m





/g

đối xĀng nhau qua gốc tọa độ.


a  b 0
.
3
3
2
2
A
(
a

b
)

B
a

b

C
a

b

2
D

0


Giõi h phỵng trỡnh tỡm ỵc a, b t ũ tỡm ỵc toọ M , N .
Ta có 



ro











 

 

u

Bài tốn 3: Cho đồ thð C : y  Ax 3  Bx 2  Cx  D trên đồ thð C

tìm những cặp điểm

Phương pháp giâi:





T
s/

p

đối xứng nhau qua đường thẳng d : y  A1x  B1 .

 

 Gọi M a; Aa3  Ba2  Ca  D , N b; Ab3  Bb2  Cb  D



C 

là hai điểm tr n

đối

xĀng nhau qua ỵng thợng d .

4.

Bi toỏn tỡm im c biệt, hoâng cách
 Lý thuyết:

 



Cho điểm M x 0 ; y0

A B

2

.

  y
2

2

 y1



2

ax  b
tiếp tuyến täi M cít TCĐ, TCN ć A và B thì M là trung
cx  d

2
ad  bc .
c2

Các bài toán thường gặp:

Bài toán 1: Cho hàm số y 

ax  b
cx  d

iH
a

Diện tích tam giác IAB kh ng đổi: SIAB 


2

 x1

iD
h

+ Cho hàm phån thĀc: y 
điểm cûa AB.

x

và ỵng thợng d : Ax By C 0 , thì không cách tÿ M đến d là

Ax 0  By0  C
2

 AB 

T
n



h M ;d 





O



+ Cho hai điểm A x1; y1 ; B x 2 ; y2



u
ie
iL
a

I  d
(1)
(vĆi I là trung điểm cûa MN v u d l vect chợ phỵng
MN .u d 0 (2)
cỷa ỵng thợng d ). Giõi h phỵng trỡnh tỡm ỵc M, N.
Ta cú:



c 0, ad bc  0 cò đồ thð C  . Hãy tìm trên (C )

C  cị tiệm cên đĀng x dc

do tớnh chỗt cỷa hm phồn thc, thð nìm về hai phía

Page | 16

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

1

cûa tiệm cên đĀng. N n gọi hai số  ,  là hai s dỵng.

0

+

c

o

hai im A v B thuc hai nhỏnh thð hàm số sao cho khoâng cách AB ngắn nhất.
 Phương pháp giâi:


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

d
d
d
 x A       ; yA  f (x A ) .
c
c
c
d
d
d
Nếu B thuộc nhánh phâi: x B    x B       ; yB  f (x B ) .
c
c
c

Nếu A thuộc nhánh trái: x A  



fb




 y
2



2





p dýng bỗt ợng thc Cauchy s tỡm ra kết q.

o

.c

Sau đị tính: AB 2  x B  x A

B

 

m

Bài toán 2: Cho đồ thð hàm số C

 yA

 



2





2

  a    a     yB  yA .





cị phương trình y  f (x ) . Tìm tọa độ điểm M

thuộc (C ) để tổng khoâng cách từ M đến hai trục tọa độ nhó nhất.
Phương pháp giâi:



/g



 

Gọi M x ; y và tổng khoâng cách tÿ M đến hai trýc tọa độ là d thì d  x  y .

ro

Xét các khoâng cách tÿ M đến hai trýc tọa độ khi M nìm ć các vð trí đðc biệt:
Tr n trýc hồnh, tr n trýc tung.
 Sau đị xét tổng qt, nhĂng điểm M cị hồnh độ, hc tung độ lĆn hĄn hoành độ
hoðc tung độ cûa M khi nìm tr n hai trýc thì lội đi kh ng xột n.
Nhng im củn lọi ta ỵa v tỡm giỏ tr nhú nhỗt cỷa thi hm s da vo ọo
hm ri tỡm ỵc giỏ tr nhú nhỗt cûa d .
Bài toán 3: Cho đồ thð (C ) cị phương trình y  f ( x) . Tìm điểm M trên (C ) sao cho


T
s/

p

u

khoâng cách từ M đến Ox ằng k lần khoâng cách từ M đến trụcOy .
Phương pháp giâi:

u
ie
iL
a






 f x  kx
.

 f x  kx
y  kx
(C )
đồ
thð
hàm
số
y  kx

Theo đæu bài ta cò y  k x  
Bài

y  f ( x) 

toán

4:

Cho

iD
h

T
n

d
a
; tiệm cên ngang y  .
c
c
 d a
; cỷa hai tim cờn.
Ta tỡm ỵc ta giao điểm I 
 c c
Tiệm cên đĀng x 

2



2


d 
a

Gọi M x M ; yM  là điểm cæn tìm. Khi đị: IM   x M     yM    g x M 
c
c

S dýng phỵng phỏp tỡm GTLN - GTNN cho hm s g thu ỵc kt quõ.
2

iH
a



trỡnh

O



phng

ax b
c  0, ad  bc  0  . Tìm tọa độ điểm M trên (C ) sao cho độ dài MI ngắn
cx  d

nhất (với I là giao điểm hai tiệm cận).
 Phương pháp giâi:


cị

Bài tốn 5: Cho đồ thð hàm số (C ) cị phương trình y  f (x ) và đường thẳng

d : Ax  By  C  0 . Tìm điểm I trên (C ) sao cho khoâng cách từ I đến d là ngắn nhất.


Phương pháp giâi:





A2  B 2

Page | 17
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

1

 Khâo sát hàm số y  g(x ) để tìm ra điểm I thóa mãn y u cỉu.

0

Ax 0  By 0  C

c

 

 Khoâng cách tÿ I đến d là g(x 0 )  h I ; d 

o

 Gọi I thuộc (C )  I x 0 ; y0 ; y0  f (x 0 ) .


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

PHỈN II. MŨ VÀ LOGARIT

fb

LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA.

m

o

.c

1. KHÁI NIỆM LŨY THỪA.
 Lũy thừa với số mũ nguyờn.
Cho n l mt s nguy n dỵng.
Vi a l số thăc tùy ý, lüy thÿa bêc n cûa a là tích cûa n thÿa số a .
a n  a.a......a ( n thÿa số).
n

/g

VĆi a  0.

a n 

ro

a0  1

1
an

Ta gọi a là cĄ số, m là mü số. Và chú ý 00 và 0  n kh ng cò nghïa.

a
 a    ; (a  )  a  . ; (ab)  a   b ;
a


T
s/

a  a   a  ;

p

u

+ Một số tính chất của lũy thừa
 Giâ thuyết rìng mi biu thc ỵc xột u cũ nghùa:

u
ie
iL
a

a
b
a  a 

;

 


  

b
b
b
 
 
a 


 Nếu a  1 thì a  a     ;


Nếu 0  a  1 thì a  a     .

O

 VĆi mọi 0  a  b , ta có: a m  bm  m  0 ; a m  bm  m 0
Chỳ ý:
+ Cỏc tớnh chỗt tr n ỳng trong trỵng hp s mỹ nguy n hoc kh ng nguy n.
+ Khi xét lüy thÿa vĆi số mü 0 và số mü nguy n åm thì cĄ số a phâi khác 0 .
+ Khi xét lüy thÿa vĆi số mü kh ng nguy n thì cĄ số a phõi dỵng.
Phng trỡnh x n b.

iD
h

T
n

Ta cú kt quõ bin luờn s nghim cỷa phỵng trỡnh xn b nhỵ sau:
Trỵng hp n l:
Vi mi s thc b , phỵng trỡnh cũ nghim duy nhỗt.
Trỵng hp n chùn:
+ Vi b 0 , phỵng trỡnh v nghim.
+ Vi b 0 , phỵng trỡnh cũ mt nghim x 0.

+ Vi b 0 , phỵng trỡnh cũ hai nghim trỏi dỗu, kớ hiu giỏ tr dỵng l
n

Mt s tớnh chỗt ca cn bc n
Vi a,b  ;n 

2n

ab  2n
a 2n
b , ab  0 ;

a
, ab  0,b  0 ;
2n

b

+

2n 1

a 2n 1  a  a .

2n 1

ab  2n 1 a  2n 1 b  a,b .

2n

+ 2n 1

a

b

Page | 18

2n 1

a

2n 1

b

 a, b  0 .

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

1

a

b

+

0

+ 2n

a 2n 
a a ;

c

+

2n

, ta có:

o

+

*

b , cịn

iH
a

giá trð âm là  b .

n


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

+

n

a  nm a , a  0 , n , m nguy n dỵng.

Nu

p q
thỡ

n m

.c

+

m

n m

fb
+

a m  n a  , a  0 , n nguy n dỵng, m nguyờn.

c bit:

n

n

a p m a q , a 0, m, n nguy n dỵng p, q nguyên.

a  mn a m .

o

m

2. HÀM SỐ LŨY THỪA.
 Khái niệm.

/g


Xét hàm số y  x , vi l s thc cho trỵc.

Hm s y x , vi

ro

Chỳ ý.

, ỵc gi l hm số lüy thÿa.


Têp xác đðnh cûa hàm số lüy thÿa y  x tùy thuộc vào giá trð cûa  . Cý th.

u

Vi nguy n dỵng, tờp xỏc đðnh là

.

p

 VĆi  nguyên âm hoðc bìng 0 , têp xác đðnh là



\0 .



T
s/

 VĆi  không nguyên, têp xác đðnh 0;  .
 Khảo sát hàm số lũy thừa.




 Têp xác đðnh cûa hàm số lüy thÿa y  x ln chĀa không 0; 

y  x  ,   0.





1. Têp xác đðnh: 0;  .
2. S bin thiờn
1

u
ie
iL
a


. Trong trỵng hp tng quỏt, ta khâo sát hàm số y  x trên khoâng này.

vĆi mọi  

y '   .x

x  0.

y '   .x  1  0

lim x   , lim x  0.

lim x  .

x 

x 0

Tiệm cên: khơng có.
3. Bâng biến thiên.
y’
y



Tiệm cên:
Ox là tiệm cên ngang.
Oy là tiệm cên đĀng.
3. Bâng biến thiên.

x


x 

0







0

1

0

c

o

iH

a

y’
y

0

iD
h



0

x  0.

GiĆi hän đðc biệt:



T
n

x 0



2. Să biến thiên

0

lim x  0,



O



y  x  ,   0.

1. Têp xác đðnh: 0;  .

GiĆi hän đðc biệt:

x



Page | 19
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Đồ thð của hàm số.

ro

/g

m

o

.c

fb
 

p

u

Đồ thð cûa hàm số lüy thÿa y  x lu n đi qua điểm I 1;1 .

T
s/

 Khâo sát hàm số mü y  ax ,



 a  0, a  1 .



y  ax ,  a  1

y  ax , a  1

y '  ax ln a  0, x.
lim a  0,

x 

GiĆi hän đðc biệt:

lim a  .

x

1

x





y'


0

1

y

0

th nhỵ hỡnh sau.





1

iD
h

y





a

1



T
n



lim a x 0.

x

Tim cên:
Ox là tiệm cên ngang.
3. Bâng biến thiên.

0



y'

lim a x  ,

x 

O

Tiệm cên:
Ox là tiệm cên ngang.
3. Bâng biến thiên.

0

x

.

y '  a x ln a  0, x

GiĆi hän đðc biệt:
x

1. Têp xác đðnh:
2. Să biến thiên.

u
ie
iL
a

1. Têp xỏc nh: .
2. S bin thiờn.

a

th nhỵ hỡnh sau.

1

0

c

o

iH
a

Page | 20

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

LOGARIT V HM S LOGARIT
Cho hai s dỵng a, b vĆi a  1 . Số  thóa mãn đỵng thc a b ỵc gi l logarit c s

a cỷa b v ỵc kớ hiu l loga b .

.c

fb

1. KHÁI NIỆM –TÍNH CHÇT VÀ QUY TẮT TÍNH LOGARIT.
 Khái niệm Logarit.

o

  log a b  a  b.

m

Khơng cị logarit của số m và số 0.
Bâng tóm tắt công thức Mũ-loarrit thường gặp:





/g

 a 0  1, a  0 .

a 







a 
a 



 a .b   a



a  . b 



 a

b

a

a









 

 

 a.b





a
   ,b  0
b














*



1

,  0  a  1



 log a b   .log a b,  a, b  0, a  1
 loga  b 

1

.log b

a



 log a b  .log a b


 

 loga b  loga c  loga bc

b 
c 

 loga b  loga c  loga  
 loga b 



a

iD
h

2. BÇT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT.
 Bất phương trình mũ cơ bản.

1
.
logb a

T
n

O

a  ,    
a   a 
a   b    log b
a 



a

u
ie
iL
a





T
s/



 

a

 log a a 

p









 a



u

1
a






ro



1



log a  1,  0  a  1
log a  ,  0  a  1

 loga 1 0, 0 a 1

x
x
x
Bỗt phỵng trỡnh mỹ cĄ bân có däng a x  b (hoðc a  b, a  b, a  b ) vĆi a 0, a 1.

Ta xột bỗt phỵng trỡnh cò däng a x  b.
 Nếu b  0 , tờp nghim cỷa bỗt phỵng trỡnh l

x
, vỡ a  b, x  . .

VĆi a  1 , nghim cỷa bỗt phỵng trỡnh l x loga b.
Vi 0 a 1 , nghim cỷa bỗt phỵng trình là x  loga b.

loga b

.

1

0

c

o

iH
a

 Nếu b  0 thỡ bỗt phỵng trỡnh tỵng ỵng vi a x  a

Page | 21
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Ta minh họa bìng đồ thð sau:
 VĆi a  1 , ta cò đồ thð

/g

m

o

.c

fb
u
ie
iL

a

T
s/

p

u

ro

 VĆi 0  a  1 , ta cị đồ thð

 Bất phương trình logarit c bn.
Bỗt phỵng trỡnh logarit c bõn cú dọng log a x  b (hoðc log a x  b,log a x  b,log a x  b )
vĆi a 0, a 1.

Xột bỗt phỵng trỡnh loga x b.

O

Trỵng hp a 1 , ta có: loga x  b  x  a b .

Trỵng hp 0 a 1 , ta có: log a x  b  0  x  ab .

iD
h

 VĆi 0  a  1 , ta cị đồ thð sau.

T
n

Ta minh họa bìng đồ thð nhỵ sau.
Vi a 1 , ta cũ th sau.

Quan sỏt th, ta thỗy rỡng:
Trỵng hp a  1 : log a x  b

1

0

c

o

iH
a

khi và chợ khi x ab .
Trỵng hp 0 a  1 :
loga x  b khi và chỵ khi 0  x  ab .

Page | 22

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

BÀI TỐN LÃI ST NGÅN HÀNG

.c

fb

1. Lãi đơn: là số tiền lãi chỵ tính trên số tiền gốc mà khơng tính trên số tiền lãi do số tiền
gốc sinh ra, tc l tin lói cỷa kỡ họn trỵc kh ng ỵc tớnh vo vn tớnh lói cho kỡ họn
k tip, cho dự n kỡ họn ngỵi gi kh ng đến gāi tiền ra.
a) C ng thức tính: Khách hàng gāi vào ngån hàng A đồng vĆi lãi đĄn r% /kỡ họn thỡ s
tin khỏch hng nhờn ỵc cõ vn lén lãi sau n kì hän ( n  * ) là:

o



m

Sn  A  nAr  A 1  nr



u

ro

/g

2. Lói kộp: tin lói cỷa kỡ họn trỵc nu ngỵi gi kh ng rỳt ra thỡ ỵc tớnh vo vốn để

tính lãi cho kì hän sau.
a) C ng thức tính: Khách hàng gāi vào ngån hàng A đồng vĆi lãi kép r% /kì hän thì số
tiền khách hàng nhên ỵc cõ vn lộn lói sau n kỡ họn ( n  * ) là:

n



r% 

A

n

Sn
A





1

Sn

1  r 

n

u

ie
iL
a

T
s/



p



Sn  A 1  r

S
n  log1r   n
A


3. Tiền gửi hàng tháng: Mỗi tháng gāi đúng cùng một số tiền vào 1 thąi gian cố đðnh.
a) C ng thức tính: Đỉu mỗi tháng khách hàng gāi vào ngån hàng số tiền A đồng vĆi lãi
kép r% /tháng thì số tin khỏch hng nhờn ỵc cõ vn lộn lói sau n tháng ( n  * ) (
nhên tiền cuối tháng, khi ngån hàng đã tính lãi) là S n .





 1 1  r







A





T
n



n

O

A
Sn   1  r
r 

 S .r

n
n  log1r  
 1

A 1r




Sn .r

1  r  1  r 

n

iD
h

 1


1  r 
X

n



Sn  A 1  r



n

r

1





X  A 1  r




n

iH
a

4. Gửi ngån hàng và rút tiền gửi hàng tháng:
a) C ng thức tính: Gāi ngån hàng số tiền là A ng vi lói suỗt r% /thỏng. Mi thỏng vo
ngy ngån hàng tính lãi, rút ra số tiền là X đồng. Tính số tiền cđn läi sau n tháng là bao
nhiêu?

r
 Sn 
n

1r 1





o

1

0

c

5. Vay vốn trâ gòp: Vay ngån hng s tin l A ng vi lói suỗt r% /tháng. Sau đúng một
tháng kể tÿ ngày vay, bít đỉu hồn nợ; hai lỉn hồn nợ cách nhau đúng một tháng, mỗi
hoàn nợ số tiền là X đồng và trâ hết tiền nợ sau đúng n tháng.
a) C ng thức tính: Cách tính số tiền cđn läi sau n tháng giống hồn tồn c ng thĀc tính
gāi ngån hàng và rút tiền hàng tháng n n ta cò

Page | 23
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

1  r 
X

n



Sn  A 1  r



n

1

fb

r

Để sau đúng n tháng trâ hết nợ thì Sn  0 nên

1  r 
X

.c

n



A 1r

m

o



n

1

r

X 



A 1r

/g

1  r 

n



n

0

.r

1

ro

6. Bi toỏn tng lng: Mt ngỵi ỵc lónh lỵng khi im l A ng/thỏng. C sau n
thỏng thỡ lỵng ngỵi ũ ỵc tởng th m r% /thỏng. Húi sau kn thỏng ngỵi ũ lùnh ỵc
tỗt cõ l bao nhiờu tin?

1  r 
 Ak

u

k

1

r

p

C ng thức tính: Tổng số tiền nhờn ỵc sau kn thỏng l Skn

T
s/

7. Bi toỏn tng trng dồn s:
C ng thc tớnh tởng trỵng dồn s



Xm  Xn 1  r

m n



, m, n 

u
ie
iL
a

Trong đò:





,m  n



r % là tỵ lệ tëng dån số tÿ nëm n đến nëm m
X m dån số nëm m

X n dån số nëm n

Tÿ đò ta cò c ng thĀc tính tỵ lệ tëng dån số là r % 

O

8.

m n

Xm
Xn

1

n nëm

n   là: S
*

n



 A 1r

n

. Giâ sā ta chia mỗi nëm thành m kì hän để tớnh

r
% thỡ s tin thu ỵc sau n nởm l:
m
m .n

iD

h

lói v lói suỗt mi kỡ họn l



T
n

Lói ộp li n tục:
Gāi vào ngån hàng A đồng vĆi lãi kép r% /nởm thỡ s tin nhờn ỵc cõ vn lộn lãi sau

iH
a


r 
Sn  A  1  
m

Khi tëng số kì hän cûa mỗi nëm l n v căc, tĀc là m   , gọi là hình thĀc lói kộp ti n
týc thỡ ngỵi ta chng minh ỵc s tin nhờn ỵc cõ gc lộn lói l:

S Ae n .r ( c ng thc tởng trỵng mỹ)

1

0

c

o

Page | 24

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

PHỈN III.

fb

NGUN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

.c

I. NGUYÊN HÀM
1. Nguyên hàm

 

Đðnh nghïa: Cho hàm số f x

xác đðnh tr n K ( K là khoâng, oọn hay na khoõng).

o

ỵc gi l nguy n hàm cûa hàm số f x  trên K

x  K . Kí hiệu:  f x  dx  F x   C .

Hàm số F x



  vĆi mọi

nếu F ' x  f x

/g

m

Đðnh lí:

 

  trên K thì vĆi mỗi hìng số C , hàm số
G x   F x   C cüng là một nguy n hàm cûa f  x  trên K .
2) Nếu F  x  là một nguy n hàm cûa hàm số f  x  trên K thì mọi nguy n hàm cûa
f  x  trên K đều cò däng F x   C , vĆi C là một hìng số.
Do đị F x C ,C l h tỗt câ các nguy n hàm cûa f  x  trên K .
1) Nếu F x

là một nguy n hàm cỷa f x

T
s/

p

u

ro

2. Tớnh chỗt ca nguy n hm

f x dx   f x  và  f ' x dx  f x   C ; d   f x  dx   f x  dx

 Nếu F(x) cị đäo hàm thì:

u
ie
iL
a



 d F(x )  F(x )  C

 kf x  dx  k  f x dx vĆi k là hìng số khác 0 .
   f x   g x  dx   f x  dx   g x  dx




 

 

 Công thức đổi biến số: Cho y  f u và u  g x .

 f (x )dx  F(x )  C

thì

 f g(x ) g '(x )dx   f (u)du

O

Nếu

T
n

3. Sự tồn täi của nguy n hàm

 F (u)  C

 

Đðnh lí: Mọi hàm số f x li n týc tr n K đều cò nguy n hàm trên K .

1.  0dx  C
3.  x dx 



1

C
x

x

5.

 x dx  ln x

2

dx  

1

C

Page | 25
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

1

ax
C
ln a

0

7.  a xdx 

c

6.  e xdx  e x  C

3x 2  x  3 x
dx

x
dx
1
 ln ax  b  c
18. 
ax  b a
1
19.  eax bdx  eax b  C
a
1 a kx b
C
20.  a kx bdx 
k ln a

17.

 c ,   1

o

4.



 1

1  ax  b 
16.  ax  b  dx  

a   1 


iH
a

1

1
x  1  C   1
 1

iD
h

Bâng nguy n hàm các hàm số thường gặp
2.  dx  x  C