Tài liệu ôn thi Đại học, THPT Quốc gia: Môn Toán: CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN TÍNH TOÁN LUYỆN THI CHUYÊN
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (576.08 KB, 25 trang )
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN TÍNH TOÁN
LUYỆN THI CHUYÊN
Câu 1. Rút gọn P=
1+
3
2
+
3
1+ 1+
2
1−
3
2
1− 1−
3
2
Câu 2. Thực hiện phép tính:
a) A =
b) B=
5 + 17 − 5 − 17 − 10 − 4 2 + 4
3+ 5 − 3− 5 + 2− 2
2+ 3
2 + 2+ 3
2− 3
+
2 − 2− 3
20082 2008
c) Tính giá trị B = 1 + 2008 +
+
20092 2009
2
Câu 3. Rút gọn biểu thức :
P=
1
1
1
1
+
+
+ ... +
1+ 5
5+ 9
9 + 13
2001 + 2005
Câu 4. Tính giá trị của tổng
A = 1+
1
1
1
1
1
1
+ 2 . + 1 + 2 + 2 + .. + 1 + 2 +
2
1
2
2
3
99 1002
Câu 5. (Chuyên ĐHSP 2009 V1) Các số thực x , y thoả mãn đẳng thức :
(x +
1+ x2
)(y +
)
1 + y 2 = 1 . Chứng minh x+y=0
Câu 6. (Chuyên ĐHSP 2011 V2) Cho a =
1
2
2+
1
2
−
8 8
1.Chứng minh rằng 4a 2 + 2a − 2 = 0
2
4
2. Tính giá trị của biểu thức S = a + a + a + 1
Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các thầy cô vui
lòng truy cập link sau: />
1
2
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
Câu 7. (Chuyên ĐHSP 2011 V1) Chứng minh bất đẳng thức
1
1+ 2
+
1
3+ 4
+
1
5+ 6
1
+ ....... +
79 + 80
4
Câu 8. Tính giá trị biểu thức:
A = (3 x 3 + 8 x 2 + 2 )
2006
với x =
3
(17 5 ) − 38 (
)
5+2
5 + 14 − 6 5
Câu 9. (Chuyên ĐHSP 2009 V2) Các số thực x, y thoả mãn xy 2 và xy − 2 .
Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y
23 2 xy
xy − 3 2 2 xy
xy
.
P = 2 2 3 +
−
3
3
3
x y − 4 2 xy + 2 2 xy + 2 xy − 2
Câu 10. (Chuyên ĐHSP 2014 V1) Cho các số thực dương a, b ; a b.Chứng minh
rằng
( a − b) 3
− b b + 2a a
3a + 3 ab
( a + b )3
+
=0
b−a
a a −b b
Câu 11. Rút gọn biểu thức:
A = 3 a3 + a +
1
1
1
1
27a 4 + 6a 2 + + 3 a 3 + a −
27a 4 + 6a 2 + .
3
3
3
3
Câu 12. Trục căn thức ở mẫu số của biểu thức: A =
Câu 13. Tính A =
1
1 + 33 2 − 23 4
.
4 + 5 3 + 5 48 − 10 7 + 4 3
Câu 14. Có số y nào biểu thị trong dạng sau không?
y = 5 + 13 + 5 + 13 + 5 + ...
Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các thầy cô vui
lòng truy cập link sau: />
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
Câu 15.(Chuyên ngữ 2006) Cho biểu thức
x 1
2 x
:
P = 1 +
−
x −1 x x + x − x −1 −1
x
+
1
a/Tìm x để P có nghĩa ,rút gọn P
b/Tìm các giá trị x nguyên để Q = P − x nguyên
Câu 16. (Chuyên ngữ 2007) Cho biểu thức :
1+ 1− x
1− 1− x
P =
+
1
−
x
+
1
−
x
1
+
x
−
1
+
x
2
x2 −1
+ 1
.
2
a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn P
b) Tìm x để
P
2
2
Câu 17 ( Chuyên ngữ 2008) Cho biểu thức
x− y
x + y x3 y
2y
.
P=
+
−
x y + y x x y − y x x+ y x− y
Chứng minh rằng P luôn nhận giá trị nguyên với mọi x,y thoả mãn x,y>0,x y
Câu 18. ( Chuyên ngữ 2008). Cho biểu thức
A=
2
3
3
3 x2 − 4
2 + x + 3 x + 2 x .
( x 8; x −8; x 0)
:
3
2 + 3 x
2 + 3 x
x − 2 3 x 2 + 23 x
8− x
Câu 19 (Chuyên ngữ 2011). Cho biểu thức
3
3
1
1
2
1 1 x +y x+x y+ y
A =
+
+ + . :
y x + y x y
x
xy 3 + x 3 y
a) Rút gọn A
b) Tìm x ; y biết xy =
1
;A=5
36
Câu 20 (Chuyên ĐHSP 2012 V1). Cho biểu thức :
Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các thầy cô vui
lòng truy cập link sau: />
3
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
a 2 + b2
a −b
a −b
.
P=
+
a +b + a −b
a 2 − b 2 với a>b>0
2
2
a −b −a +b
a) Rút gọn biểu thức P
b) Biết a-b=1.Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Câu 21. Cho biểu thức (x + x 2 + 2006) (y + y 2 + 2006) = 2006
Hãy tính tổng: S = x + y
Câu 22. Cho M =
(
3+ 2
)
2008
+
(
3− 2
)
2008
a) Chứng minh rằng M có giá trị nguyên.
b) Tìm chữ số tận cùng của M.
Câu 23. (HSG Bắc Giang 2013)
1) Tính giá trị của biểu thức A = 3 26 + 15 3 − 3 26 − 15 3 .
2) Rút gọn biểu thức
a−2 +2
a−2
a + 7 3 a − 2 +1
1
P =
+
−
.
:
.
3
11
−
a
3
+
a
−
2
a
−
3
a
−
2
−
2
a
−
2
Câu 24. (Chuyên ĐHSP 2007 V1) Cho a>2 chứng minh đẳng thức
a 2 − 3a − (a − 1) a 2 − 4 + 2
a 2 + 3a − (a + 1) a 2 − 4 + 2
.
a + 2 1− a
=
a − 2 1+ a
Câu 25. (Chuyên ĐHSP 2007 V2) Cho biểu thức
P=
x +1
1
: 2
; Q = x 4 − 7 x 2 + 15 ( Với x>0, x 1)
x x +x+ x x − x
a) Rút gọn P
b) Với giá trị nào của x thì Q-4P đạt giá trị nhỏ nhất
Câu 26. (Chuyên ĐHSP 2008 V1) Cho biểu thức
Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các thầy cô vui
lòng truy cập link sau: />
4
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
a+b
P=
a+ b
( a − b )2
a+b
b
a
:
−
+
−
Với a=0;b>0 và a
2
a − b b − ab a − ab
khác b
a) Rút gọn P
b) Tìm a ,b sao cho b=(a+1)2 và P=-1
Câu 27 (Chuyên ĐHSP 2008 V2) Cho ba số dương a,b,c thoả mãn :
b c, a + b c , a + b = ( a + b − c )2
Chứng minh đẳng thức:
a + ( a − c )2
a− c
=
b + ( b − c )2
b− c
Câu 28. (Chuyên ĐHSP 2009 V1) Cho biểu thức:
A = 20a + 92 + a 4 + 16a 2 + 64
B=a4+20a3+102a2+40a+200
a)Rút gọn A
b)Tìm a để A+B=0
Câu 29. (Chuyên ngữ 2010) Cho biểu thức:
x
2x
x −1
2
:
P =
+
−
x −3 x
9
−
x
3
+
x
x
a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn P.
b) Tìm giá trị x để P = −
4
3
Câu 30. (Chuyên ĐH SP 2013 V1). Cho biểu thức
Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các thầy cô vui
lòng truy cập link sau: />
5
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
3
a−b
+ 2a a + b b
ab − a
a+ b
Q=
+
với a>0 ; b>0 a b.
3a 2 + 3b ab
a b −b a
Chứng minh rằng giá trị biểu thức Q không phụ thuộc vào a, b
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
1+
Câu 1. Rút gọn P=
3
2
+
3
1+ 1+
2
3
4+2 3
1+
=
=
2
4
3
4−2 3
1−
=
=
2
4
(
1−
3
2
1− 1−
)
=
1+ 3
2
(1 − 3 )
=
3 −1
2
3 +1
2
2
2
4
3
2
Câu 2. Thực hiện phép tính:
b) A =
b) B=
5 + 17 − 5 − 17 − 10 − 4 2 + 4
3+ 5 − 3− 5 + 2− 2
2+ 3
2 + 2+ 3
+
2− 3
2 − 2− 3
20082 2008
c) Tính giá trị B = 1 + 2008 +
+
20092 2009
2
a)Tính:
Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các thầy cô vui
lòng truy cập link sau: />
6
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
5 + 17 − 5 − 17 − 10 − 4 2 5 + 17 − 5 − 17 + 10 − 4 2 =
2
(
)
= 5 + 17 − 5 − 17 − 10 − 4 2 = 0
Mặt khác ta luôn có: 5 + 17 − 5 − 17 + 10 − 4 2 0
Vậy: 5 + 17 − 5 − 17 − 10 − 4 2 = 0
Tương tự chứng minh
3+ 5 − 3− 5 − 2 = 0
4
A= =2
2
b) B=
2+ 3
2 + 2+ 3
- Biến đổi 2 + 3 =
2 − 2− 3
4 + 2 3 ( 3 + 1) 2
=
2
2
- Tương tự 2 − 3 ==
Vậy B=
2− 3
+
( 3 − 1)2
2
( 3 + 1)2
( 3 − 1)2
3 +1+ 3 −1
+
=
= 2
2 2+ 6+ 2 2 2− 6+ 2
6
Vậy B= 2
20082 2008
c) Tính giá trị B = 1 + 2008 +
+
20092 2009
2
Biểu thức B = 1 + 20082 +
20082 2008
có giá trị là một số tự nhiên (1 điểm).
+
20092 2009
Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các thầy cô vui
lòng truy cập link sau: />
7
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
20082 2008
Ta có : B = 1 + 2008 +
+
=
20092 2009
2
20082 2008
.
+
(1 + 2008) − 2.1.2008 +
20092 2009
2
2
2008 20082 2008
2008 2008
= ( 2009 ) − 2.2009.
+
+
= 2009 −
+
.
2
2009 2009
2009
2009 2009
2
= 2009 −
2008 2008
2008 2008
+
= 2009 −
+
= 2009 .
2009 2009
2009 2009
Câu 3. Rút gọn biểu thức :
P=
1
1
1
1
+
+
+ ... +
1+ 5
5+ 9
9 + 13
2001 + 2005
1
1
1
1
=
+
+
+ ... +
5 +1
9+ 5
13 + 9
2005 + 2001
P=
5 −1
9− 5
13 − 9
+
+
+ ...
( 5 − 1)( 5 + 1) ( 9 − 5 )( 9 + 5 ) ( 13 − 9 )( 13 + 9 )
... +
2005 − 2001
=
( 2005 − 2001)( 2005 + 2001)
=
5 −1
9− 5
13 − 9
2005 − 2001
2005 − 1
+
+
+ ... +
=
4
4
4
4
4
Vậy P =
2005 − 1
4
Câu 4. Tính giá trị của tổng
B = 1+
1
1
1
1
1
1
+ 2 . + 1 + 2 + 2 + .. + 1 + 2 +
2
1
2
2
3
99 1002
Xét A = 1 +
1
1
+
2
a
(a + 1) 2
ta có
A2 = 1 +
=
a>0
1
1
a 2 (a + 1) 2 + (a + 1) 2 + a 2
+
=
a 2 (a + 1) 2
a 2 (a + 1) 2
a 4 + 2a 2 (a + 1) + (a + 1) 2 (a 2 + a + 1) 2
= 2
a 2 (a + 1) 2
a (a + 1) 2
Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các thầy cô vui
lòng truy cập link sau: />
8
9
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
Vì a > 0, A > 0 nên A =
a2 + a +1
1
1
= 1+ −
a(a + 1)
a a +1
Áp dụng ta có
B = 1+
1
1
1
1
1
1
1
1
+ 2 + 1 + 2 + 2 + .......... + 1 + 2 +
2
1
2
2
3
99 1002
1
2
1
2
1
3
= (1 + − ) + (1 + − ) + .......... ... + (1 +
1
1
1
−
) = 100 −
= 99,99
99 100
100
Câu 5. (Chuyên ĐHSP 2009 V1) Các số thực x , y thoả mãn đẳng thức :
(x +
1+ x2
)(y +
)
1 + y 2 = 1 . Chứng minh x+y=0
Ta có :
(x +
(
1 + x2
)(y +
1+ y2
) (
)(x −
) (
1 + x2 = x − 1 + x2
)
)
− y + 1 + y 2 = x − 1 + x 2 (1)
(
) (
)
Tương tự − x + 1 + x 2 = y − 1 + y 2 (2)
Cộng (1) và (2) Ta có
− y − 1+ y2 − x − 1+ x2 = x − 1+ x2 + y − 1+ y2 − y − x = x + y x + y = 0
Câu 6. (Chuyên ĐHSP 2011 V2) Cho a =
1
2
2+
1
2
−
8 8
1.Chứng minh rằng 4a 2 + 2a − 2 = 0
2
4
2. Tính giá trị của biểu thức S = a + a + a + 1
2
1
a=
2
a2 +
1
2
2 1
2+ −
a+
=
8 8
8
2
1
2 1
=
2 + a +
2
8
8
1
2 +
8
2
a 2 1 1
1
2 a 1
2 1
+
= . 2 + a 2 +
+
=
+
4a 2 + 2 a − 2 = 0
4
32 4
8
4
32
4 32
2.Theo phần 1
Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các thầy cô vui
lòng truy cập link sau: />
10
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
2 (1 − a)
a 2 − 2a + 1
4
4a + 2 a − 2 = 0 a =
a =
4
8
2
2
a 2 − 2a + 1
a +3
a + a +1 =
+ a +1 =
8
2 2
2
4
Câu 7. (Chuyên ĐHSP 2011 V1) Chứng minh bất đẳng thức
1
1+ 2
A=
2A =
2A
2A
1
+
1
1+ 2
2
+
1+ 2
1
1+ 2
3+ 4
+
+
1
+
1
3+ 4
2
2+ 3
2− 1
( 2 + 1)( 2 − 1)
1
+
3+ 4
1
5+ 6
+
5+ 6
2
3+ 4
+
79 + 80
4
1
+ ....... +
5+ 6
1
+
1
+ ....... +
+ ....... +
79 + 80
2
79 + 80
1
+ ....... +
79 + 80
3− 2
( 3 + 2 )( 3 − 2 )
+
1
+
80 + 81
4− 3
( 4 + 3 )( 4 − 3 )
+ ..... +
81 − 80
( 81 + 80 )( 81 − 80 )
2 A 2 − 1 + 3 − 2 + 4 − 3. + ....... + 81 − 80 = 81 − 1 = 8
A 4(đpcm)
Câu 8. Tính giá trị biểu thức:
A = (3 x 3 + 8 x 2 + 2 )
2006
với x =
3
(17 5 ) − 38 (
5 + 14 − 6 5
)
5+2
Rút gọn 3 17 5 − 38 = 5 − 2, 14 − 6 5 = 3 − 5
Khi đó : x =
Nên :
5 −2
1
( 5 + 2) =
3
5 −3+ 5
3 x3 + 8 x 2 + 2 = 3.
1
1
+ 8. + 2 = 3
27
9
A = 32006
Câu 9. (Chuyên ĐHSP 2009 V2) Các số thực x, y thoả mãn xy 2 và xy − 2 .
Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y
Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các thầy cô vui
lòng truy cập link sau: />
11
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
23 2 xy
xy − 3 2 2 xy
xy
.
P = 2 2 3 +
−
3
3
3
x y − 4 2 xy + 2 2 xy + 2 xy − 2
Hướng dẫn
23 2 xy
xy − 3 2 2 xy
xy
.
P = 2 2 3 +
−
3
3
3
x y − 4 2 xy + 2 2 xy + 2 xy − 2
23 2 xy
xy − 3 2 2 xy
xy
.
P =
+
−
3
3
3
3
3
( xy + 2 )((xy − 2 ) 2( xy + 2 ) xy + 2 xy − 2
P=
43 2 xy + x 2 y 2 − 23 2 xy + 3 4
2( xy + 3 2 )( xy − 3 2 )
.
2 xy
xy + 3 2
−
xy
xy − 3 2
=
( xy + 3 2 ) 2
.
xy
( xy + 3 2 )( xy − 3 2 ) xy + 3 2
−
xy
xy − 3 2
=0
Câu 10. (Chuyên ĐHSP 2014 V1) Cho các số thực dương a, b ; a b.Chứng minh
rằng
( a − b) 3
− b b + 2a a
3a + 3 ab
( a − b )3
+
=0
b−a
a a −b b
( a − b)3
− b b + 2a a
3a + 3 ab
( a − b )3
Q=
+
b−a
a a −b b
(
Q=
)(
)
3
3
a− b
a+ b
− b b + 2a a
( a − b )3
−
a − b a + ab + b
(
)(
)
(
(
)
3 a a+ b
a− b a+ b
)(
Q=
a a + 3a b + 3b a + b b − b b + 2a a
−
a − b a + ab + b
Q=
3a a + 3a b + 3b a − 3a a − 3a b − 3b a
= 0( ĐPCM )
a − b a + ab + b
(
)(
(
)
)(
(
3 a
a− b
)
)
)
Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các thầy cô vui
lòng truy cập link sau: />
12
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
Câu 11. Rút gọn biểu thức:
A = 3 a3 + a +
1
1
1
1
27a 4 + 6a 2 + + 3 a 3 + a −
27a 4 + 6a 2 + .
3
3
3
3
C1: Đặt u = 3 a 3 + a +
1
1
27a 4 + 6a 2 + ;
3
3
v =
3
a3 + a −
1
1
27a 4 + 6a 2 + A = u +
3
3
v;
u3 + v3 = 2a3 + 2a;
u.v = a2 -
1
.
3
Mà A3 = (u + v)3 A3 = u3 + v3 + 3u.v(
u+v )
A3 = 2a3 + 2a + 3(a2 -
1
)A A3 – (3a2 - 1)A – 2a3 – 2a = 0
3
(A – 2a)(A2 + 2a.A + a2 + 1) = 0 Do: A2 + 2a.A + a2 + 1 = (A + a)2 + 1 > 0 nên
A = 2a
C2: phân tích các biểu thức trong căn thức thành hằng đẳng thức.
Câu 12. Trục căn thức ở mẫu số của biểu thức: A =
1
1 + 3 2 − 23 4
3
.
Áp dụng hằng đẳng thức: a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2+b2+c2 – ab – bc – ca).
Ta coi mẫu số của A có dạng a + b + c. Khi đó nhân tử số và mẫu số của A với
(a2+b2+c2 – ab – bc – ca), ta có:
A=
12 + (33 2 ) 2 + (−23 4 ) 2 − 1.33 2 − 33 2 (−23 4 ) − (−23 4 ).1
13 + (33 2 ) 3 − (23 4 ) 3 − 3.1.33 2 .( −23 4 )
Câu 13. Tính A =
=
13 + 113 4 + 53 2
59
4 + 5 3 + 5 48 − 10 7 + 4 3
Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các thầy cô vui
lòng truy cập link sau: />
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
Ta có A =
4 + 5 3 + 5 48 − 10 4 + 4 3 + 3
=
4 + 5 3 + 5 48 − 10(2 + 3 )
=
4 + 5 3 + 5(5 − 3 )
=
9 =3
Vậy A = 3
Câu 14. Có số y nào biểu thị trong dạng sau không?
y = 5 + 13 + 5 + 13 + 5 + ...
Dễ thấy y>
5
Bình phương 2 vế ta có:
y 2 = 5 + 13 + 5 + 13 + 5 + ...
( y 2 − 5)2 = 13 + 5 + 13 + 5 + ...
----------------------------
( y 2 − 5) 2 = 13 + y
y 4 − 10 y 2 − y + 12 = 0
( y − 3)( y 3 + 3 y 2 − y − 4) = 0 ------------------------------------ ( y − 3) ( y + 3)( y + 1)( y − 1) − 1 = 0 (*)----------------------------
Vì y >
5 nên ( y + 3)( y + 1)( y − 1) − 1 >0
y −3=0 y =3
Câu 15.(Chuyên ngữ 2006) Cho biểu thức
x 1
2 x
:
P = 1 +
−
x −1 x x + x − x −1 −1
x
+
1
Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các thầy cô vui
lòng truy cập link sau: />
13
14
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
a/Tìm x để P có nghĩa ,rút gọn P
b/Tìm các giá trị x nguyên để Q = P − x nguyên
*P có nghĩa khi x0;x1;Rút gọn P:
x + x +1 1
2 x
:
P =
−
x − 1 ( x + 1)( x − 1) − 1
x
+
1
x + x +1 x +1− 2 x
x + x +1
( x − 1) 2
:
P =
( x + 1)( x − 1) − 1 = x + 1 : ( x + 1)( x − 1) − 1
x
+
1
P=
x + x +1 x −1
x + x +1 x +1
x+2
:
−1 =
.
−1 =
x +1
( x + 1)
x +1
x −1
x −1
b/Tìm các giá trị x nguyên để Q = P − x nguyên
Q=
x+2
x −1
Q Z khi
− x=
x+2− x+ x
x −1
=
x − 1 Ư(3)= 1;3
x +2
x −1
=
x −1 + 3
x −1
= 1+
3
x −1
x 0;4;16 thì Q Z
Câu 16. (Chuyên ngữ 2007) Cho biểu thức
1+ 1− x
1− 1− x
P =
+
1− x + 1− x 1+ x − 1+ x
2
x2 −1
+ 1
.
2
a)Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn P
b) Tìm x để
P
2
2
Giải
1) P có nghĩa khi
Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các thầy cô vui
lòng truy cập link sau: />
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
1 − x 0
x 1
1 + x 0
x −1
−1 x 0, va : 0 x 1 Thì P có nghĩa
1
−
x
+
1
−
x
0
x
0
,
x
1
1 + x − 1 + x 0
x 0, x −1
Rút gọn P
1+ 1− x
1− 1− x
P=
+
1 + x ( 1 + x − 1)
1 − x( 1 − x + 1)
1
1
P=
−
1+ x
1− x
2
2
x2 −1
+ 1
.
2
(1 + x)(1 − x)
.
+ 1
−2
( 1 + x − 1 − x ) 2 (1 − x)(1 + x)
P=
.
+1
(1 − x)(1 + x)
−2
P=
1 + x + 1 − x − 2 (1 + x)(1 − x)
+1
−2
P=
2 − 1 − x2 − 2
= 1 − x2
−2
Vậy với -1
2
1− x2
2
1
1− x2 x2
2
P
2
2
1
2
x
2
2
2
x
2
2
x −
2
Kết hợp với điều kiện -1
Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các thầy cô vui
lòng truy cập link sau: />
15
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
2
x 1
2
2
Thì P
2
2
− 1 x −
2
Câu 17 ( Chuyên ngữ 2008) Cho biểu thức
x− y
x + y x3 y
2y
.
P=
+
−
x y + y x x y − y x x+ y x− y
Chứng minh rằng P luôn nhận giá trị nguyên với mọi x,y thoả mãn x,y>0,x y
Giải
Rút gọn P
x− y
x + y x3 y
2y
.
P=
+
−
x y + y x x y − y x x+ y x− y
x xy
x− y
x+ y
2y
.
P=
+
−
xy.( x + y )
xy .( x − y ) x + y x − y
x − 2 xy + y x + 2 xy + y x xy
2y
.
P=
+
−
xy.( x − y )
xy .( x − y ) x + y x − y
2( x + y ) x
2y
P=
.
−
=2
x− y x+ y x− y
Câu 18. ( Chuyên ngữ 2008). Cho biểu thức
A=
2
3
3
3 x2 − 4
2 + x + 3 x + 2 x .
:
( x 8; x −8; x 0)
3
2 + 3 x
2 + 3 x
x − 2 3 x 2 + 23 x
8− x
Chứng minh A không phụ thuộc biến số
(2 − 3 x )(4 + 23 x + 3 x 2 ) 4 + 23 x + 3 x 2 3 x 2 − 23 x + 23
:
+
3
3
2+3 x
2
+
x
x −2
3 x 2 − 23 x + 23 x
(2 − 3 x )(4 + 23 x + 3 x 2 )
2+3 x
A=
.
+
3
2
3
3
2+3 x
x −2
4+2 x + x
A=
x (3 x − 2)(3 x + 2)
.
3
x ( 3 x + 2)
(3 x − 2)(3 x + 2)
.
3
x ( 3 x + 2)
A = 2 − 3 x + 3 x = 2 x
Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các thầy cô vui
lòng truy cập link sau: />
16
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
Câu 19 (Chuyên ngữ 2011). Cho biểu thức
3
3
1
1
2
1 1 x +y x+x y+ y
A=
+
+ + . :
y x + y x y
x
xy 3 + x 3 y
a)Rút gọn A
b) Tìm x ; y biết xy =
1
;A=5
36
1)
x+ y
2
x+ y
A=
.
+
. :
xy
xy
x+ y
(
A=
x+ y
xy
).
2
(
xy (x + y )
)
x + y (x + y )
=
2) A = 5 x + y = 5 xy x + y =
theo Viet đảo
(
)(
)
x + y x − xy + y + xy ( x + y )
xy (x + y )
x+ y
xy
5
theo GT
6
xy =
1
6
x; y là nghiệm dương của phương trình bậc 2
1
1
5
1
t 2 − t + = 0 6t 2 − 5t + 1 = 0 = 1 t1 = ; t 2 =
2
3
6
6
1 1 1 1
vậy (x; y ) = ; ; ;
4 3 3 4
Câu 20 (Chuyên ĐHSP 2012 V1). Cho biểu thức :
a 2 + b2
a −b
a −b
.
P=
+
a +b + a −b
a 2 − b 2 với a>b>0
2
2
a
−
b
−
a
+
b
a) Rút gọn biểu thức P
b) Biết a-b=1.Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các thầy cô vui
lòng truy cập link sau: />
17
18
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
a2 + b2
a −b
a −b
.
a) P =
+
a + b − a − b a 2 − b 2
a +b + a −b
P=
a −b
(
)
a +b − a −b + a −b
a+b−a+b
(
a +b + a −b
). a
2
+ b2
a 2 − b2
2 a 2 − b2 a 2 + b2
a2 + b2
P=
.
=
2b
b
a 2 − b2
b)Thay a=b+1 ta có
2
(b + 1) 2 + b 2 2b + 2b + 1
1
P=
=
= 2b + + 2 2 2 + 2
b
b
b
1+ 2
a =
2
Min( P) = 2 2 + 2
b = 1
2
Câu 21. Cho biểu thức (x + x 2 + 2006) (y + y 2 + 2006) = 2006
Hãy tính tổng: S = x + y
Ta có:
( x − x 2 + 2006) ( y − y 2 + 2006) ( x + x 2 + 2006)( y + y 2 + 2006)
= 2006( x − x 2 + 2006) ( y − y 2 + 2006) = 2006 = ( x − x 2 + 2006) )( y − y 2 + 2006)
Vậy (x + x 2 + 2006)(y + y 2 + 2006) = (x − x 2 + 2006) (y − y 2 + 2006)
x y 2 + 2006 = −y x 2 + 2006 (*)
Nếu x = 0 => y = 0 => S = 0
Nếu x 0 => y 0 từ (*) =>
x 2 + 2006 x 2
Vậy 2
=
y + 2006 y 2
x 2 + 2006
y 2 + 2006
=−
x
0
y
=> 2006x2 = 2006y2 =>
=> xy < 0
x2 = y2
Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các thầy cô vui
lòng truy cập link sau: />
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
=>
(x-y)(x+y) = 0
=> S = x + y = 0
mà xy < 0 => x - y 0
Câu 22. Cho M =
(
3+ 2
)
2008
+
(
3− 2
)
2008
a) Chứng minh rằng M có giá trị nguyên.
b) Tìm chữ số tận cùng của M.
a) Chứng minh giá trị của M là một số nguyên.
(
Biến đổi M = 5 + 2 6
)
1004
(
+ 5−2 6
)
1004
.
Đặt a = 5 + 2 6 ; b = 5 − 2 6 a + b = 10 và a.b = 1 .
Đặt U n = a n + b n với n N . Khi đó M = U1004
Ta có U n + 2 = a n + 2 + b n + 2 = a.a n +1 + b.b n +1 = (10 − b ) a n +1 + (10 − a ) b n +1
= 10 ( a n +1 + b n +1 ) − ab ( a n + b n ) = 10U n +1 − U n (vì ab = 1).
U n + 2 = 10U n +1 − U n (*).
Ta thấy U0 = 2 Z ; U1 = a + b = 10 Z.
U 2 = a 2 + b 2 = ( a + b ) − 2ab = 102 − 2.1 = 98 Z .
2
Theo công thức (*) thì U3 = 10U 2 − U1 mà U1, U2 Z suy ra U 3 Z .
Lại theo (*) U 4 = 10U3 − U 2 cũng có giá trị nguyên.
Quá trình trên lặp đi lặp lại vô hạn suy ra Un có giá trị nguyên với mọi n N* .
Suy ra M = U1004 có giá trị là một số nguyên.
a)Tìm chữ số tận cùng của M. (0.5 điểm)
Từ (*) suy ra U n + 2 + U n = 10U n +1 10
Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các thầy cô vui
lòng truy cập link sau: />
19
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
Un + 4 − Un = ( Un +4 + Un +2 ) − ( Un +2 + Un ) 10 ( U n +4 − Un ) 10 U4k +r và Ur
có chữ số tận cùng giống nhau.
1004 = 4.251 suy ra U1004 và U0 có chữ số tận cùng giống nhau.
Mà U0 có chữ số tận cùng là 2 (theo c/m câu a) nên M có chữ số tận cùng bằng 2.
Câu 23. (HSG Bắc Giang 2013)
3) Tính giá trị của biểu thức A = 3 26 + 15 3 − 3 26 − 15 3 .
4) Rút gọn biểu thức
a−2 +2
a−2
a + 7 3 a − 2 +1
1
P =
+
−
.
:
.
3
11
−
a
3
+
a
−
2
a
−
3
a
−
2
−
2
a
−
2
Ta có A = 3 26 + 15 3 − 3 26 − 15 3
= 3 8 + 3.22 3 + 3.2.( 3) 2 + ( 3)3 − 3 8 − 3.22 3 + 3.2.( 3) 2 − ( 3)3 = 3 (2 + 3)3 − 3 (2 − 3)3
= (2 + 3) − (2 − 3)
A=2 3
Điều kiện: 2 a 11
Đặt x = a − 2 (0 x 3) a = x2 + 2
Tính được P =
=
( x + 2) x
x 2 + 9 3x + 1 1 ( x + 2) 3( x + 3) 2 x + 4
.
+
− =
.
:
:
3 3 + x 9 − x 2 x 2 − 3x x
3 9 − x 2 x( x − 3)
( x + 2) x( x − 3)
x
.
=−
3 − x 2x + 4
2
=−
a−2
2
Câu 24. (Chuyên ĐHSP 2007 V1) Cho a>2 chứng minh đẳng thức
Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các thầy cô vui
lòng truy cập link sau: />
20
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
a 2 − 3a − (a − 1) a 2 − 4 + 2
a 2 + 3a − (a + 1) a 2 − 4 + 2
.
a + 2 1− a
=
a − 2 1+ a
Giải
Biến đổi vế trái
"VT " =
"VT " =
"VT " =
a 2 − 3a − (a − 1) a 2 − 4 + 2
a 2 + 3a − (a + 1) a 2 − 4 + 2
.
a+2
a−2
(a 2 − 3a + 2) − (a − 1) a 2 − 4 +
(a 2 + 3a + 2) − (a + 1) a 2 − 4 +
.
a+2
a−2
(a − 1)(a − 2) − (a − 1) (a − 2)(a + 2)
(a + 1)(a + 2) − (a + 1) (a − 2)(a + 2)
.
a+2
a−2
(a − 1)( a − 2 )( a − 2 − a + 2 ) a + 2
.
(a + 1)( a + 2 )( a + 2 − a − 2 a − 2
1− a
"VT " =
="VP" ' (dpcm)
1+ a
"VYT " =
Câu 25. (Chuyên ĐHSP 2007 V2) Cho biểu thức
P=
x +1
1
: 2
; Q = x 4 − 7 x 2 + 15 ( Với x>0, x 1)
x x +x+ x x − x
a) Rút gọn P
b) Với giá trị nào của x thì Q-4P đạt giá trị nhỏ nhất
Giải
P=
P=
x +1
:
1
x x +x+ x x − x
x +1
x( x + x + 1)
2
=
x +1
x( x + x + 1)
. x ( x 3 − 1)
. x ( x − 1)( x + x + 1) = x − 1
Q-4P=x4-7x2+15-4(x-1)=(x4-8x2+16)+(x2-4x+4)-1=(x2-4)+(x-2)2-1 −1
Min(Q-4P)=-1 khi x=2
Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các thầy cô vui
lòng truy cập link sau: />
21
22
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
Câu 26. (Chuyên ĐHSP 2008 V1) Cho biểu thức
a+b
P=
a+ b
( a − b )2
a+b
b
a
:
−
+
−
Với a=0;b>0 và a
2
a − b b − ab a − ab
khác b
a) Rút gọn P
b) Tìm a ,b sao cho b=(a+1)2 và P=-1
P=
a+b
a+ b
a+b
b
a
:
+
+
−
(
a
−
b
)(
a
+
b
)
b
(
a
−
b
)
a
(
a
−
b
)
P=
a+b
a+ b
(a + b) ab + b a ( a + b ) + a b ( a − b)
:
−
(
a
−
b
)(
a
+
b
)
ab
P=
a+b
a+ b
(a ab + b ab + ab + b a ) + a ab − ab
:
−
(
a
−
b
)(
a
+
b
)
ab
P=
a+b
a+ b
2 ab (a + b)
:
−
(
a
−
b
)(
a
+
b
)
ab
a + b ( a − b )( a + b ) ab
P=
.
−
a+ b
2 ab (a + b)
a− b
P=
−
2
a− b
2
a− b
2
a− b
2
a− b
2
a− b
2
a− b
2
Câu 27 (Chuyên ĐHSP 2008 V2) Cho ba số dương a,b,c thoả mãn :
b c, a + b c , a + b = ( a + b − c )2
Chứng minh đẳng thức:
a + ( a − c )2
a− c
=
b + ( b − c )2
b− c
Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các thầy cô vui
lòng truy cập link sau: />
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
a + b = ( a + b − c ) 2 a + b = a + b + c + 2 ab − 2 ac − 2 bc
c = 2 ac + 2 bc − 2 ab
Ta cã
a + ( a − c )2 a + a − 2 ac + c
=
(*)
b + ( b − c )2 b + b − 2 bc + c
thay c = 2 ac + 2 bc − 2 ab Với (*)
Ta có
a + ( a − c ) 2 a + a − 2 ac + c 2a + 2b − 2b + 2 ac + 2 bc − 2 ab − 2 ac
=
=
b + ( b − c ) 2 b + b − 2 bc + c 2a + 2b − 2a + 2 ac + 2 bc − 2 ab − 2 bc
(a + b) − b + bc − ab ( a + b − c ) 2 − b ( b − c + a )
=
=
(a + b) − a + ac − ab ( a + b − c ) 2 − a ( a − c + b )
=
( a + b − c )( a − c )
a− c
=
;(dpcm)
( a + b − c )( b − c )
b− c
Câu 28. (Chuyên ĐHSP 2009 V1) Cho biểu thức:
A = 20a + 92 + a 4 + 16a 2 + 64
B=a4+20a3+102a2+40a+200
a)Rút gọn A
b)Tìm a để A+B=0
Hướng dẫn
Ta có
A = 20a + 92 + a 4 + 16a 2 + 64 = 20a + 92 + (a 2 + 8) 2
A = a 2 + 20a + 100 = (a + 10) 2 = a + 10
B=( a4+20a3+10a2)+2(a2+ 20a+100)=a2(a+10)2+2(a+10)2==(a+10)2(a2+2)
A = a + 10 0 ;B=(a+10)2(a2+2) 0;A+B 0 dấu “=” khi a=-10
Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các thầy cô vui
lòng truy cập link sau: />
23
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
Câu 29. (Chuyên ngữ 2010) Cho biểu thức:
x
2x x −1
2
:
P =
+
−
x −3 x
9
−
x
3
+
x
x
b) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn P.
b) Tìm giá trị x để P = −
4
3
1) ĐKXĐ x 0; x 9 ; x 25
x (3 − x ) + 2 x ( x − 1) − 2( x − 3)
:
P =
x ( x − 3)
(3 + x )(3 − x )
P=
x (3 + x )
x ( x − 3)
.
=
(3 + x )(3 − x )
5− x
x
x −5
2)
P=
−4
3
x
−4
=
3x + 4 x − 20 = 0 3x − 6 x + 10 x − 20 = 0
x −5 3
( x − 2)(3 x + 10) = 0 x = 4 DKXD
Câu 30. (Chuyên ĐH SP 2013 V1). Cho biểu thức
3
a−b
+ 2a a + b b
ab − a
a
+
b
Q=
+
với a>0 ; b>0 a b.
3a 2 + 3b ab
a b −b a
Chứng minh rằng giá trị biểu thức Q không phụ thuộc vào a, b
Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các thầy cô vui
lòng truy cập link sau: />
24
25
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
3
a −b
+ 2a a + b b
ab − a
a+ b
Q=
+
=
2
3a + 3b ab
a a −b a
=
(
)
3
a − b + 2a a + b b
3a 2 + 3b ab
−
a
(
a− b
a (a − b)
)
a a − b b − 3a b + 3b a + 2a a + b b
1
3a a − 3a b + 3b a
1
−
=
−
3a 2 + 3b ab
a+ b
3a 2 + 3b ab
a+ b
(3a
=
a − 3a b + 3b a
)(
(3a + 3b ab )(
2
)
a + b − 3a 2 − 3b ab
a+ b
)
=0
Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các thầy cô vui
lòng truy cập link sau: />
