Đề & HD Toán TN THPT 2010 số 6

ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT, Năm 2010
MÔN: Toán

A/ PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7.0 điểm):
Câu I (3,0 điểm ): Cho hàm số
2
( 3)y x x= −
có đồ thị (C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tiếp tuyến với (C) tại gốc tọa độ O cắt (C) tại A(A
≡
O); tìm tọa độ điểm A.
Câu II (3,0 điểm):
1) Giải phương trình :
2
2 1
2
2
log 3log log 2x x x+ + =
.
2) Tính
1
x
0
.I e dx=
∫
3) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
[ ]
sinx
; x 0; .
2+cosx

y
π
= ∈
Câu III (1,0 điểm): Tính theo a thể tích của khối chóp tứ giác đều biết cạnh bên có độ dài bằng a
và tạo với mặt đáy một góc
0
60 .
B/ PHẦN RIÊNG ( 3 điểm):
I)Theo chương trình chuẩn:
Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian Oxyz cho 4 điểm
( ) ( ) ( ) ( )
6; 2;3 ; B 0;1;6 ; C 2;0;-1 ; D 2;-1;3A −
.
1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Suy ra A; B; C; D là 4 đỉnh của một tứ diện.
2) Tính bán kính của mặt cầu (S) có tâm D và tiếp xúc với mặt phẳng (ABC). Tìm tiếp điểm
của (S) và mp (ABC).
CâuVa (1,0 điểm): Cho số phức
3 (x R)z x i= + ∈
. Tính
z i−
theo x; từ đó xác định tất cả các điểm
trong mặt phẳng toạ độ biểu diễn cho các số phức z, biết rằng
5.z i− ≤

II)Theo chương trình nâng cao:
Câu IVb(2,0 điểm): Trong không gian Oxyz cho 4 điểm
( ) ( ) ( ) ( )
1; 1;1 ; B 1;-1;-1 ; C 2;-1;0 ; D 1;-2;0A −
.
1) Chứng minh A; B; C; D là 4 đỉnh của một tứ diện. Viết phương trình mặt phẳng ( ABC).

2) Viết phương trình mặt cầu ( S) ngoại tiếp tứ diện ABCD. Từ đó tìm tâm của đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC.
Câu Vb(1,0 điểm): Tìm trên đồ thị (C ) của hàm số
1
y x
x
= +
tất cả những điểm có tổng các khoảng cách
đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.
------------------------ Hết -------------------------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ tên thí sinh:........................................ Số báo danh:..................................
Chữ ký của giám thị 1:............................ Chữ ký của giám thị 2:.................
Đáp án:
PHẦN CHUNG (7diểm):
Câu I(3 điểm): Cho hàm số
2
( 3)y x x= −
có đồ thị (C).
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) (2điểm):
- MXĐ: D=R 0.25
- Sự biến thiên:
• Chiều biến thiên:
-
( )
2
' 3 4 3y x x= − +
0.25
1
' 0

3
x
y
x
=

= ⇔

=

( ) ( )
;1 3; ' 0;x y∈ −∞ ∪ +∞ ⇒ >
hàm số đồng biến
( )
1;3 ' 0x y∈ ⇒ <
; hàm số nghịch biến 0.25
• Cực trị:
Cực đại: ( 1;4); cực tiểu: ( 3;0) 0.25
• Giới hạn:
lim ; lim
x x
y y
→+∞ →−∞
= +∞ = −∞
• Bảng biến thiên:
0.5
- Đồ thị:
• Điểm đặc biệt:
-
( )

'' 6 2y x= −
; y’’ triệt tiêu và đổi dấu khi x qua x
0
=2 suy ra điểm I ( 2; 2) là tâm đối xứng.
- Đồ thị qua điểm (0; 0) và (4; 4)
• Đồ thị 0.5
2) Tiếp tuyến với (C ) tại gốc toạ độ O cắt ( C) tại A
≡
O. Tìm tọa độ A (1 điểm):
x
−∞
1 3
+∞
y’ + 0 - 0 +
y 4
+∞

−∞
0
- Phương trình tiếp tuyến tại O có dạng:
( ) ( )
0 ' 0 0y f x− = −
0.25
- Kết quả: y=9x 0.25
- Phương trình hoành độ
( )
3 2
6 9 9
6 0
0

6
x x x x
x x
x
x
− + =
⇔ − =
=

⇔

=

0.25
- x=0
0 0x A= ⇒ ≡
( loại)
( )
6 6;54x A= ⇒
0.25
Câu II ( 3 điểm ):
- 1) Giải phương trình:
2
2 1
2
2
log 3log log 2.x x x+ + =
(1) ( 1 điểm )
- Đk:
0x >

0.25
-
( )
2
2 2
1 4log 2log 2 0x x⇔ + − =
0.25
2
2
log 1
1
log
2
x
x
= −


⇔

=


0.25
1
2
2
x
x


=

⇔

=


( thoả đk ) 0.25
2) Tính
1
x
0
I e dx=
∫
( 1 điểm )
- Đặt
2
2
0 0; x=1 =1
t x x t dx tdt
x t t
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ = ⇒
0.25
-
1
0
2 .
t
I t e dt=

∫
0.25
- Tính tích phân :
2 2 .
t t
u t du dt
dv e dt v e
= ⇒ =
= ⇒ =
0.25
-
1
1
0
0
2 . 2 2
t t
I t e e dt= − =
∫
0.25
3) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
[ ]
sinx
; x 0;
2+cosx
y
π
= ∈
( 1 điểm )
-

( )
2
2 osx+1
'
2+cosx
c
y =
0.25
-
1
' 0 osx=-
2
2

3
y c
x
π
= ⇔
⇔ =
0.25
-
( ) ( )
2 3
0 0; y
3 3
y y
π
π
 

= = =
 ÷
 
0.25
-
ax
min
3 2
khi x=
3 3
0 khi x=0; x=
m
y
y
π
π
=
=
0.25
Câu III (1 điểm ): Tính theo a thể tích của khối chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng a và tạo với
mặt đáy một góc 60
0
. ( 1 điểm )
- Hình vẽ đúng (đỉnh S, đáy là hình vuông ABCD tâm O ) 0.25
- Giả thiết ; suy ra tam giác SAC đều cạnh a suy ra
3
2
a
SO =
0.25

- Cạnh đáy
2
2
2 2
ABCD
AC a a
AB S= = ⇒ =
0.25
-
3
3
12
a
V =
0.25
B/ PHẦN RIÊNG ( 3 điểm ):
I/ Theo chương trình chuẩn:
Câu IV a)
( ) ( ) ( ) ( )
6; 2;3 ; B 0;1;6 ; C 2;0;-1 ; D 2;-1;3A −
1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC); suy ra ABCD là một tứ diện (1 điểm ).
-
( )
( )
6;3;3 .
4;2; 4
AB
AC
= −
= − −

uuur
uuur
0.25
-
( )
; 18; 36;0n AB AC
 
= = − −
 
r uuur uuur
. 0.25
- Phương trình mp ( ABC):
2 2 0x y+ − =
0.25
-Toạ độ D không thoả phương trình trên nên ABCD là một tứ diện 0.25
2) Tính bán kính của mặt cầu (S) tâm D và tiếp xúc với mp ( ABC). Tìm tiếp điểm của ( S) và
mặt phẳng (ABC ) (1 điểm ).
-
( )
( )
2 5
D; ABC
5
R d= =
0.25
- Viết phương trình đường thẳng d qua D và vuông góc với mp ( ABC) có kết quả :
2
1 2
3
x t

y t
z
= +


= − +


=

0.25
- Thay vào phương trình mp (ABC ) có
2
5
t =
0.25
- Suy ra hình chiếu của D lên mp (ABC) chính là tiếp điểm
12 1
; ;3
5 5
H
 
−
 ÷
 
0.25
Câu Va): Cho số phức
( )
3 x R .z x i= + ∈
Tính

z i−
; từ đó tìm tập hợp tất cả các điểm biểu diễn
cho các số phức z biết :
5z i− ≤
. ( 1 điểm)
-
3 3 4z x i z x i z i x i= + ⇒ = − ⇒ − = −
0.25
-
2
16z i x− = +
0.25
-
5 3 3z i x− ≤ ⇔ − ≤ ≤
0.25
- Tập hợp các điểm biểu diễn cho các số phức z là đoạn thẳng AB với
( ) ( )
3;3 ; B 3;3A −
0.25
II/ Theo chương trình nâng cao:
Câu IV b) (2 điểm ):
( ) ( ) ( ) ( )
1; 1;1 ; 1; 1; 1 ; C 2;-1;0 ; D 1;-2;0A B− − −
1) Chứng minh ABCD là một tứ diện. Viết phương trình mp( ABC ). (1 điểm )

( ) ( ) ( )
0;0; 2 ; 1;0; 1 ; AD 0; 1; 1AB AC= − = − = − −
uuur uuur uuur
0.25
Suy ra

( )
; 0; 2;0 ; . 2 0AB AC AB AC AD
   
= − ⇒ = ≠
   
uuur uuur uuur uuur uuur
nên ABCD là một tứ diện 0.25
- mp (ABC ) có VTPT
( )
0;1;0n =
r
và qua điểm
( )
1; 1;1A −
0.25
- phương trình mp (ABC ) là
1 0y + =
2) Viết phương trình mặt cầu (S ) ngoại tiếp tứ diện suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC. (1 điểm)
- Phát hiện và chứng minh tam giác ABC vuông tại C 0.25
- Gọi I là trung điểm AB; tính được IA= ID= 1 0.25
- Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, bán kính mặt cầu là R= IA= 1 nên có phương trình :
( ) ( )
2 2
2
1 1 1x y z− + + + =
0.25
- Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I ( 1; -1; 0 ) 0.25
Câu Vb: Tìm trên đồ thị (C ) của hàm số
1

y x
x
= +
tất cà những điểm có tổng các khoảng cách đến
hai tiệm cận là nhỏ nhất ( 1 điểm)
-
1 1
( ; ) (t 0) (C) d= t
2
M t t
t
t
+ ≠ ∈ ⇒ +
0.25
- Theo Cô si:
4
2
2
d ≥
0.25
- Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
4
1 1
2 2
t t
t
= ⇔ = ±
0.25
- Tìm được 2 điểm
1 2

4 4 4 4
1 1 2 1 2 1
; ; M ;
2 2 2 2
M
   
+ +
− −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
0.25
----------------------------HẾT-------------------------