Đề & HD Toán TN THPT 2010 số 5

ĐỀ THAM KHẢO TỐT NGHIỆP 2009
Môn Toán
Thời gian: 150 phút
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7.0 điểm)
Câu 1( 3.0 điểm)
Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2
- 2
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho
b/ Bằng phương pháp đồ thị, tìm m để phương trình sau có đúng 3 nghiệm:
x
3
+ 3x
2
- logm = 0
Câu 2 ( 3 điểm)
a/Giải phương trình: 49
x+1
+ 40.7
x+2
- 2009 = 0
b/ Tính tích phân sau:
2
sinx
0
( 1) osx.dxI e c
π
= +
∫

c/ Tìm giá trị lớn trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:
y = f(x) = x
2
- 8. lnx trên đoạn [1 ; e]
Câu 3 (1 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh
bên và đáy bằng 45
0
. Hãy xác định tâm và tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp trên
II/ PHẦN RIÊNG( 3 điểm)
Thí sinh học chương trình nào thì chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó
1. Theo chương trình chuẩn:
Câu IV a/ ( 2điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phươưng trình:
x
2
+ y
2
+ z
2
-4x + 6y -2z -2 = 0 và mặt phẳng (α): 2x - y + 2z +3 = 0
1. Hãy xác định tâm và tính bán kính mặt cầu
2. Viết phương trình mặt phẳng (β) song song với mặt phẳng (α) và tiếp xúc với mặt
cầu (S). tìm toạ độ tiếp điểm.
Câu Va/( 1 điểm) Tìm nghiệm phức của phương trình sau: (2-3i).z -4 +5i = 3 - 4i
2. Theo chương trình nâng cao:
Câu IVb/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho đường thẳng (d) có phương trình:
(d)
2
3 2 ( )
4 2

x t
y t t R
Z t
=− −


= + ∈


= +

và điểm M( -1; 0 ; 3)
1. Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa (d) và qua M
2. Viết phương trình mặt cầu tâm M và tiếp xúc với (d), tìm toạ độ tiếp điểm.
Câu Vb/ Tìm tất cả các điểm biểu diễn số phức z biết rằng: | z - 3 + 2i | = |z +5i|
----------------------------------------HẾT-------------------------------------------
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM:
Câu Đáp án Điểm
I
(3điểm)
a. (2 điểm)
Tập xác định: D = R 0.25
Sự biến thiên:
*Chiều biến thiên: y
/
= 3x
2
+6x
Cho y
/

= 0 ⇔ 3x
2
+6x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = -2
+hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞ ; -2); (0; +∞ )
+hàm số đồng biến trên các khoảng (-2 ; 0)
Cực trị: y
CĐ
= y(-2) = 2 ; y
CT
= y(0) = -2
0.5
Giới hạn:
lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= −∞ = +∞
y
//
= 6x +6 Cho y
//
= 0 ⇔ x = -1 Ta có điểm uốn I( - 1; -2)
0.25
bảng biến thiên:
x
-∞ -2 0 +∞
y
/
+ 0 - 0 +
y

2 +∞
-∞ -2
0.5
Đồ thị: (C )
0.5
2. (1 điểm)
x
3
+ 3x
2
- logm = 0 ⇔ x
3
+ 3x
2
- 2 = -2 + logm (*)
Số nghiệm ptr (*) là số giao điểm của 2 đồ thị:
( )
3 2
3 2 ( )
2 log
m
y x x C
y m D

= + −


= − +



Với D
m
cùng phương với Ox và cắt Oy tại -2+ logm
0.5
x
-2
O

O
m
D
m
y
-2
2
II
(3điểm)
Để ptr có 3 nghiệm ta phải có -2 < -2 + lg m < 2
⇔ 0 < lgm < 4 ⇔ 1 < m < 10
4
.
0.5
a/ (1 điểm)
pt ⇔ 49.7
2x
+ 40.49.7
x
- 2009 = 0
⇔ 7
2x

+ 40.7
x
- 41 = 0
đặt t = 7
x
> 0 ptr có dạng t
2
+ 40.t - 41 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = -41 ( loại)
t = 1 ⇔ 7
x
= 1 ⇔ x = 0 kết luận ptr có nghiệm x = 0
0.25
0.25
0.25
0.25
b/ ( 1 điểm)
Đặt t = sinx => dt = cosx.dx
đổi cận: x = 0 => t = 0 ; x = π /2 => t = 1
Khi đó
1
0
( 1).dt
t
I e= +
∫
=
1
0
|
t

e t+
= e
0.25
0.25
0.5
c/ (1 điểm)
Ta có
/
8
( ) 2f x x
x
= −
Cho
2
/
8 2 8
( ) 0 2 0 0
x
f x x
x x
−
= ⇔ − = ⇔ =
⇔ x = 2 hoặc x = -2 ( loại)
Ta có f (1) = 1 ; f (2) = 4 - 8 ln2 ; f (e) = e
2
- 8
kết luận:
[1;e]
ax 1M y
=

và
[1;e]
4 8ln 2Min y
= −
0.25
0.25
0.25
0.25
III
(1điểm) Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều
nên SA=SB=SC=SD và SO ⊥(ABCD)
Theo đề cho ta có:
0
45SAC SCA SBD SDB∠ = ∠ = ∠ = ∠ =
0.25
Suy ra các ∆SAC; ∆SBD vuông cân tại S
Gọi O là tâm hình vuông => OS = OA = OB = OC = OD
Vây O là tâm mặt câu ngoại tiếp hình chóp
0.25
Bán kính R = OA = 1/2.AC =
2
2
a
0.25
Thể tích khối cầu
3
3 3
4 4 2 2
. ( )
3 3 2 3

a a
V R
π
π π
= = =
0.25
IVa 1.(0.5điểm)
S
C
A
B
O
D
(2điểm)
Ptr ⇔ (x - 2)
2
+ (y + 3)
2
+ (z - 1)
2
= 16
suy ra tâm I(2; -3; 1) bán kính R = 4
0.25
0.25
2. (1.5 điểm)
vectơ pháp tuyến của mp(α) là
(2; 1;2)n
α
= −
uur

do (β) // (α) nên
(2; 1;2)n n
β α
= = −
uur uur
Ptrình mặt phẳng (β) có dạng 2x -y +2z + D = 0 ( D ≠ 3 )
Điều kiện để (β) tiếp xúc (S) là d(I; (β)) = R = 4
0.5
⇔
|4 + 3 + 2 + D |
4
4 1 4
=
+ +
⇔ | 9 + D | = 12 ⇔ D = 3(loại) hoặc D = -21
Vậy phtr mặt phẳng (β) là: 2x -y +2z -21 = 0
0.5
Gọi (d) là đường thẳng đi qua tâm I và vuông góc với mặt phẳng (β)
(d) có véctơ chỉ phương
(2; 1;2)u n
β
= = −
r uur
.Phương trình tham số của (d)
2 2
3 ( )
1 2
x t
y t t R

z t
= +


=− − ∈


= +

0.25
Toạ độ tiếp điểm là nghiệm hệ phương trình
2 2
3 ( )
1 2
2 2 21 0
x t
y t t R
z t
x y z
= +


=− − ∈


= +


− + − =


Giải hệ tìm được tiếp điểm T(
14 13 11
; ;
3 3 3
−
)
0.25
Va
(1điểm)
ptr ⇔ (2 - 3i).z = (3-4i) - (-4+5i) = 7 -9i
⇔ z =
7 9
2 3
i
i
−
−
=
2 2
(7 9 )(2 3 )
2 3
i i− +
+
⇔ z =
(14 27) (21 18) 35 3
13 13
i i+ + − −
=
=
35 3

13 13
i
−
0.25
0.5
0.25
IVb
(2điểm)
1.(1 điểm)
Lấy điểm N(-2;3;4) ∈(d)
Mp (α) có cặp véctơ có giá song song và nằm trên (α) là:
( 1;2;2)
d
u = −
uur
và
( 1;3;1)MN = −
uuuur
0.25
0.25
Pháp vectơ của (α) là:
[ ; ] (4;1;1)
d
n MN u= =
r uuuur uur
Phương trình của mp (α) là: 4(x + 1) + y +(z - 3) = 0 ⇔ 4x + y+z -1 =0
0.25
0.25
2.(1điểm)
Bán kính R = d(M; (d)) =

|[ ; ]|
16 1 1
2
| |
1 4 4
d
d
MN u
n
u
+ +
= = =
+ +
uuuur uur
r
uur
Phương trình mặt cầu: (x+1)
2
+ y
2
+(z-3)
2
= 2
0.5
gọi (P) là mặt phẳng qua M và vuông góc với (d) có ptr:
(P): -1(x+1)+2y+2(z-3)=0 ⇔ x-2y-2z +7 = 0
toạ độ tiếp điểm là nghiệm của hệ phtr
2
3 2
4 2

2 2 7 0
x t
y t
z t
x y z
= − −


= +


= +


− − + =

=> t = -1 Toạ độ tiếp điểm T( -1; 1; 2)
0.5
V
(1điểm)
gọi z = a + bi thì | z- 3+2i| = | z +5i| ⇔ | a + bi - 3+2i| = | a + bi +5i |
⇔ |(a-3) +(b+2)i | = | a +( b+5)i | ⇔
2 2 2 2
( 3) ( 2) ( 5)a b a b− + + = + +
⇔ 6a + 6b+ 12 = 0 ⇔ a + b +2 = 0
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số z là đường thẳng có ptr: x + y +2 = 0
0.25
0.25
0.25
0.25