SKKN6 thi GVG-Mot so PP giup HS ghi nho cong thucToan

SKKN: Một số cách giúp học sinh ghi nhớ công thức Toán học

MỤC LỤC

I. TÊN SKKN
II. LÝ DO CHỌN SKKN
III. GIẢI PHÁP THỰC HIỆN
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.

Ghi nhớ trực tiếp công thức
Ghi nhớ cách chứng minh công thức
Thử rút ra một số dạng tương đương của công thức
Thử so sánh với các công thức đã biết
Thử đối chiếu công thức với thực tế
Cố gắng tìm ra một quy luật của cơng thức
Dùng lược đồ tư duy lập hệ thống công thức

IV. KẾT QUẢ
V. KHẢ NĂNG NHÂN RỘNG
VI. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
TÀI LIỆU THAM KHẢO

Giáo viên: Trần Đắc Hùng Kiệt

Trang

2
3
4
4
4
5
5
7
9
11
13
13
14
15

1


SKKN: Một số cách giúp học sinh ghi nhớ công thức Toán học

I. TÊN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

1. Học trực tiếp
công thức
2. Hãy ghi nhớ
cách chứng minh
công thức
3. Thử rút ra một
số dạng tương
đương của công

thức
4. Thử so sánh
với công thức đã
biết

Giáo viên: Trần Đắc Hùng Kiệt

7. Thử dùng
lược đồ tư duy
lập hệ thống
cơng thức
6. Cố gắng tìm ra
một quy luật của
công thức

5. Thử đối chiếu
công thức với
thực tế

2


SKKN: Một số cách giúp học sinh ghi nhớ công thức Tốn học

II. LÝ DO CHỌN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Kính thưa quý đồng nghiệp!

Ngày nay, mặc dù theo chương trình giảm tải thì ở SGK Bộ Giáo Dục đã
giảm đi đáng kể số lượng cơng thức Tốn. Nhưng tơi nhận thấy hầu hết các học

sinh của chúng ta vẫn không ghi nhớ tốt công thức. Đặc biệt là ở các học sinh yếu
kém.
Đôi lúc quý thầy cô sẽ bắt gặp những tình huống (TH) hạn chế từ các học
sinh thân yêu của chúng ta. Chẳng hạn:
TH1: Học sinh hầu như khơng ghi nhớ một cơng thức tốn học nào dù rằng đó là
bảng cửu chương hay hằng đẳng thức đáng nhớ. (khơng có gì )
TH2: Học sinh có nhớ đơi chút nhưng khơng chính xác. (cũng như khơng)
TH3: Học sinh nhớ rất chính xác cơng thức nhưng khi vận dụng thì khơng phù
hợp hay vận dụng sai cơng thức. (khơng hơn khơng kém)
TH4: “Ai nhắc thì tơi nhớ nhưng biểu tơi tự moi ra thì khơng đời nào”.
Như vậy, một câu hỏi lớn được đặt ra mà không cần phải trả lời đó là: “ Làm
sao mà các em giải tốn được cơ chứ ?”
Chính vì lẽ đó tơi xin giới thiệu với các bạn một số cách khi hướng dẫn các
em tiếp cận cơng thức tốn học:

Một số cách giúp học sinh
ghi nhớ cơng thức Tốn học
Giáo viên: Trần Đắc Hùng Kiệt

3


SKKN: Một số cách giúp học sinh ghi nhớ công thức Toán học

III. GIẢI PHÁP THỰC HIỆN
1. Ghi nhớ trực tiếp công thức
Cách này thường áp dụng khi tiếp cận những khái niệm đầu tiên của một
môn học hay một nội dung nào đó; những cơng thức mà việc chứng minh quá khó
khăn buộc người học phải chấp nhận;…
Chẳng hạn như:

1) Bảng cửu chương
2) Các tỷ số lượng giác:
=
;
=
;…
3) Các cơng thức tính diện tích, thể tích trong hình học.
4) Các cơng thức tính ngun hàm, tích phân.
 Trong q trình ghi nhớ người học cần phải biết kết hợp nghe (tai),
nhìn (mắt) và ghi (vở nháp) thì quá trình ghi nhớ sẽ hiệu quả hơn.
2. Ghi nhớ cách chứng minh cơng thức
Đây là một cách rất hữu ích giúp người học nắm được “gốc rễ” của vấn đề.
Đôi khi ta có thể lần ra được cơng thức từ điểm xuất phát của nó. Đồng thời đây
cũng là phương pháp giúp người học có thể tự tìm ra cơng thức.
VD1. Chứng minh bất đẳng thức AM-GM (Cauchy)
∀ ≥ 0, ≥ 0 ta có: √ − √
≥ 0 ⇔ − 2√ + ≥ 0 ⇔
≥√
VD2. Chứng minh cơng thức:
.
=1
Ta có:
=
.
=1=
VD3. Thay vì buộc các em học sinh phải ghi nhớ cơng thức về phương trình
tiếp tuyến của một đường trịn tại tiếp điểm cho trước: ( − )( − ) +
( − )( − ) = 0 thì ta có thể ghi nhớ cách chứng minh công thức này sẽ tốt
hơn. Thật vậy: Giả sử d là tiếp tuyến của đường trịn tâm I(a;b) tại
( ; ). Ta

có:

I(a;b)

d
M0(x 0;y0)
HÌNH 1

Giáo viên: Trần Đắc Hùng Kiệt

4


SKKN: Một số cách giúp học sinh ghi nhớ công thức Tốn học

( ;

)

do đó phương trình đường thẳng : ( −
⃗=( − ; − )
)( − ) + ( − )( − ) = 0 (1).
Rõ ràng công thức (1) nêu trên rất khó ghi nhớ do học sinh khơng chú ý sẽ
dễ dàng nhầm lẫm vị trí của
à . Với lại việc học cách chứng minh trên còn
giúp cho học sinh nắm vững hơn về tính chất của tiếp tuyến đối với đường tròn
cũng như điều kiện để một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn.
VD4. Đối với công thức nhân ba:
3 =3
−4

. Công thức này
ngày nay theo chương trình SGK hiện hành khơng cịn nữa. Có lẽ vì lý do cơng
thức được chứng minh một cách đơn giản như sau:
3 = sin(2 + ) =
2
+
2
)
=2
.
+ (1 − 2
(1 −
)+
=2
−2
=3
−4
.
VD5. Trên hệ trục tọa độ Oxy, cho I(a;b), M(x;y), M’(x’;y’) và một số thực
⃗=
≠ 0. Xét phép vị tự tâm I tỷ số k biến điểm M thành điểm M’, ta có:
− = ( − )
=
+ −
⃗⇔
⇔
. Việc ghi nhớ công thức này
=
+ −
− = ( − )

dễ dẫn đến nhầm lẫn giữa vị trí của
à ′.
 Ưu điểm vượt trội của cách làm này là giúp cho người học vận dụng tốt
công thức vào giải tốn nhờ nắm rõ các giả thiết của nó. Đồng thời, phát huy
khả năng sáng tạo của người học. Biết đâu các em có thể tự phát minh ra cơng
thức tốn học cho riêng mình.
:

3. Thử rút ra một số dạng tương đương của công thức
Khi tiếp cận một công thức. Giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh dùng
phép biến đổi tương đương để suy ra các dạng khác của công thức. Cách làm này
giúp người học rất tốt khi vận dụng cơng thức vào giải tốn. Việc vận dụng cơng
thức của các em có được linh hoạt hay không là phụ thuộc phần lớn vào phương
pháp này. Tôi xin giới thiệu một số đại diện như sau:
VD1. Một số dạng tương đương của bất đẳng thức AM-GM:
2

a b
 a  b   ab;...
a.b 
; a  b  2 ab ;
2
4

VD2. Một số dạng tương đương của công thức sin 2 x  cos 2 x  1 là:
sin 2 x  1  cos 2 x;1  sin 2 2 x  cos 2 2 x; cos 2 x  1   sin 2 x;sin 2

x
x
 cos 2  sin 2 x  cos 2 x;...

2
2

 Điểm nổi bật của cách học này là sự linh hoạt khi vận dụng công thức.
4. Thử so sánh với các công thức đã biết.

Giáo viên: Trần Đắc Hùng Kiệt

5


SKKN: Một số cách giúp học sinh ghi nhớ công thức Tốn học

Người học cần có thói quen khi học một công thức luôn luôn đối chiếu, so
sánh với các cơng thức đã biết để từ đó tìm ra những quy luật ẩn chứa bên trong, sự
giống nhau hay khác nhau giữa các công thức. Việc làm này không những giúp ghi
nhớ tốt cơng thức mới mà cịn giúp ơn tập lại các công thức cũ. Đây là một thao tác
sắp xếp lại bộ nhớ mà người học thường xuyên phải làm sau khi có một đối tượng
mới làm xáo trộn.
VD1. Khi học kiến thức của chương “Phương pháp tọa độ trong khơng gian”
thì hầu hết các cơng thức là tương tự như “ Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”
. Chúng ta chỉ cần thêm vào một yếu tố đó là cao độ z. Chẳng hạn:
TRONG MẶT PHẲNG

TRONG KHƠNG GIAN

GHI CHÚ

x A  xB


 xI  2

 y  y A  yB
 I
2

x A  xB

 xI  2

y A  yB

 yI 
2

z A  zB

 zI  2


Thêm cao độ z

 x  x0  at
;t  R

 y  y0  bt

 x  x0  at

 y  y0  bt ; t  R

 z  z  ct
0


Thêm cao độ z

 : Ax  By  C  0

 : Ax  By  Cz  D  0

Đường thẳng thành
mặt phẳng

C  :  x  a 

2

2

  y  a   R2

S  : x  a

2

2

2

  y  a    z  c   R2

Đường trịn thành
mặt cầu

VD2. Khi học các cơng thức tính ngun hàm thì chúng ta cần đối chiếu và so
sánh với hệ thống các cơng thức đạo hàm vì chúng là hai phép toán ngược nhau.
Chẳng hạn:
ĐẠO HÀM
 '

 x    .x

 1

 sin x '  cos x
'
 cos x    sin x
x '

 a   a .ln a (a  0, a  1)
x

Giáo viên: Trần Đắc Hùng Kiệt

QUY LUẬT RÚT
RA
Đạo hàm: giảm bậc
x 1

x

d
x


C
Nguyên hàm: tăng

 1
bậc
Đạo hàm hay nguyên
 cos xdx  sin x  C
hàm của sin thành
 sin xdx   cos x  C
cos và ngược lại.
x
Đạo hàm: nhân lna
a
x
 a dx  ln a  C (a  0, a  1) Nguyên hàm: chia
lna
NGUYÊN HÀM

6


SKKN: Một số cách giúp học sinh ghi nhớ công thức Toán học

NGUYÊN HÀM

ĐẠO HÀM

x '

e   e

x

x

 e dx  e

.................................

x

C

.....................................

QUY LUẬT RÚT
RA
Không thay đổi
..................................
.

VD3. Đối với các khối đa diện và khối trịn xoay thì: thể tích khối chóp bằng
một phần ba thể tích khối lăng trụ; diện tích xung quanh của hình trụ gấp đơi diện
tích xung quanh của hình nón do hình trụ có hai đáy;...
 Một ưu điểm đáng kể của cách làm này là khi học sinh qn đi một
cơng thức thì các em có thể lần ra được nhờ đối chiếu với công thức đã biết.
5. Thử đối chiếu công thức với thực tế.

Đôi khi, dù đã cố gắng hết sức nhưng khơng thể nhớ được chính xác một
cơng thức nào đó do lâu rồi mình khơng dùng đến nữa. Giờ đây, nếu chúng ta
khơng cịn nhớ đến chiều của bất đẳng thức hay lưỡng lự giữa hai phép tốn nào
đó,... Thì đây là thời điểm mà chúng ta sử dụng hiệu quả cho cách ghi nhớ đó là
“Dùng số liệu hay hình ảnh thực tế” để làm chính xác hóa một công thức đang mơ
hồ.
VD1. Đối với bất đẳng thức AM – GM (Cauchy): để ghi nhớ chiều của nó
chúng ta hướng dẫn học sinh tiến hành kiểm chứng như sau:
 a  b 1 9

5 ab

2

 a.b , a, b  0
 2
2
 a.b  1.9  3


VD2. Để ghi nhớ phương trình đường phân giác của các góc phần tư thứ nhất
và thứ hai ta dùng hình vẽ như sau:

HÌNH 2
Dựa vào tọa độ điểm M có hồnh độ và tung độ bằng nhau nên đường thẳng
a là đường phân giác của góc phần tư thứ nhất và có phương trình là: = ;
Giáo viên: Trần Đắc Hùng Kiệt

7

SKKN: Một số cách giúp học sinh ghi nhớ công thức Toán học

Tương tự, dựa vào tọa độ điểm N ta suy ra phương trình của đường thẳng b là:
=− .
VD3. Dùng hình ảnh thực tế để ghi nhớ các cơng thức về elíp như: Tọa độ các
đỉnh, tọa độ tiêu điểm; cơng thức tính bán kính qua các tiêu điểm. Chẳng hạn: Từ
hình vẽ ta suy ra: Điểm A1 nằm trên trục hoành và bên trái trục tung nên có tọa độ
là A1 (a;0) , điểm B2 thuộc tia Oy
nên B2 (0; b) hay điểm M thuộc góc
phần tư thứ nhất và MF1 dài hơn
MF2 nên MF1  a  ex; MF2  a  ex ,...

HÌNH 3
VD4. Đố các bạn đâu là đẳng thức đúng trong hai đẳng thức sau?
1) S  S '.cos ;

2) S '  S .cos

Tôi dám chắc rằng đây là một câu hỏi không dễ khi mà các bạn đã trải qua
một thời gian dài khơng gặp nó. Nếu là tơi khi đứng trước tình huống này, thú thật
là nếu trả lời ngay thì kết quả cũng chỉ là 50-50. Nhưng xin hãy cho tơi 30 giây để
vẽ hình như sau:
Trên mặt phẳng (P), xét tam giác
ABC có hình chiếu lên mặt
phẳng (Q) là tam giác A’BC.
Góc giữa hai mặt phẳng (P) và
(Q) là  . Gọi S và S’ tương ứng
là diện tích của hai tam giác
ABC và A’BC. Theo hình vẽ 4.

Khi đó, trong tam giác vng
AA’H ta có:
h '  h.cos   S '  S .cos 

Vậy (2) là đẳng thức đúng 100%.
HÌNH 4
Quả thật là “Một hình vẽ đáng giá nghìn từ” phải khơng các bạn?.
Như vậy, ưu điểm lớn của phương pháp này là giúp cho các bạn làm chính
xác một cơng thức mà chắc rằng bạn vẫn cịn nhớ mang máng về nó.
Giáo viên: Trần Đắc Hùng Kiệt

8


SKKN: Một số cách giúp học sinh ghi nhớ công thức Tốn học

6. Cố gắng tìm ra một quy luật của công thức.
Hầu hết các học sinh của chúng ta chỉ ghi nhớ cơng thức một cách máy móc.
Có lần vì giận một em học sinh với lý do là khơng thuộc một cơng thức cơ bản
đáng
ra
phải
nhớ
đó
là
hằng
đẳng
thức
đáng
nhớ

2
2
2
2
2
2
 a  b   a  2ab  b ,  a  b   a  b . Nên tôi quyết định bắt em chép 100 lần công





thức này. Suy đi nghĩ lại thì đây hồn tồn khơng phải là cách hay. Cũng lần đó,
trong suy nghỉ của cậu học trị thì cơng thức này đúng là một cơng thức đáng nhớ
và có lẻ cái đáng nhớ ở đây là bị ông thầy cho chép phạt chứ không phải là cơng
thức.
Sau lần đó tơi ln ln động viên các em khi học công thức phải chú trọng
đến cái bản chất, cái quy luật của nó.
Sau đây là một số VD về vấn đề này:
CÔNG THỨC
a  b   a  b   a  ab  b
3

3

2

2



QUY LUẬT
Đầu “cùng” sau “trái”

cos 2 x  cos 2 x  sin 2 x  2 cos 2 x  1  1  2 sin 2 x
1  cos 2 x
1  cos 2 x
cos 2 x 
; sin 2 x 
2
2
1
cos a.cos b  cos( a  b)  cos( a  b ) 
2
1
sin a.sin b   cos( a  b )  cos( a  b ) 
2
1
sin a.cos b  sin( a  b)  sin( a  b) 
2

Bậc tăng thì cung giảm

cos 3 x  4 cos 3 x  3cos x

Cô ba bằng bốn cổ trừ ba cô
Sin ba bằng ba sin trừ bốn sỉn

sin 3 x  3sin x  4sin 3 x

 sin x 

'

 cos x 

 cos x;
'

  sin x;

  sin x 

'

  cos x 

  cos x;
'

 sin x;

 sin xdx   cos x  C
  cos xdx   sin x  C
  sin xdx  cos x  C
 cos xdx  sin x  C

Bậc giảm thì cung tăng
Tích cos cos bằng nửa tổng cos cos
Tích sin sin bằng nửa hiệu cos cos

Tích sin cos bằng nửa tổng sin sin

sin
Đạo hàm
hàm
-cos

Nguyên

cos

-sin
Căn cứ theo chiều kim đồng hồ:
Đồng hồ=>Đạo hàm
Ngược chiều kim đồng hồ=>Nguyên
hàm
Giáo viên: Trần Đắc Hùng Kiệt

9


SKKN: Một số cách giúp học sinh ghi nhớ công thức Tốn học

Đơi khi đã tìm thấy được quy luật của cơng thức rồi nhưng vẫn cịn khó nhớ
q. Chúng ta có thể dùng một câu nói hay bài thơ nhằm diễn tả quy luật ấy sao
cho dễ nhớ hơn. Nhờ tính chất ngọt ngào của lời văn, câu thơ mà tốn học có thể
giảm bớt đi sự khơ khan của nó. Như thầy Văn Như Cương đã viết:
Em hái hoa tươi đặt cạnh bàn
Mong rằng tốn học bớt khơ khan.
Em ơi trong tốn nhiều cơng thức

Cũng đẹp như hoa lại chẳng tàn.
Sau đây là một số cơng thức tốn học dưới con mắt của các nhà thơ:
CÔNG THỨC
Cho tam giác vng có một góc nhọn
là x
Ta có:
đ

= ;

AB 

= ;
đ
= ;

2

 xB  x A    yB  y A 

tan( a  b) 

tan a  tan b
1  tan a.tan b

tan a  tan b 

sin(a  b )
cos a cos b

=

2

đ

BÀI THƠ - CÂU VĂN
Tìm sin lấy đối chia huyền.
Tìm cos ta lấy kề huyền chia nhau.
Tìm tan ta tính như sau
Đối trên kề dưới chia nhau ra liền.
Cotan chớ nghỉ liên miên
Kề trên đối dưới chia liền thì ra.
(Sưu tầm)
Lấy sau trừ trước nghe em
Bình phương cộng lại nhớ kèm dấu căn.
(Sưu tầm)
Tan kia lại chẳng chịu chung
Một lòng đổi dấu viết cùng cạnh nhau.
(Sáng tác)
Tan mình cộng với tan ta
Bằng sin hai đứa chia cos ta cos mình.
(Sưu tầm)

Mặc dù số tượng ký tự của bài thơ lớn hơn rất nhiều so với số lượng ký tự
trên cơng thức. Nhưng chính nhờ ưu điểm của lời văn, tiếng nhạc rất dễ đi vào lịng
người ấy mà các cơng thức trở nên khó qn. Đúng là “Trong Tốn cần có Văn”.
Trình bày đến đây bổng dưng tôi nhớ đến một bài thơ do chính mình sáng tác và
khơng thể khơng trình bày với các bạn:
MỐI TÌNH SIN VÀ COS

Anh với em như mối tình Sin và Cos
Trên đường trịn hai hướng rẽ tung, hồnh
Sin kia nguyện cung bù khơng đổi
Cos chạnh lịng cung đối cũng như khơng
Cùng biến đổi để bình phương thành một
Sin nhân đơi, hai Sin Cos liền kề
Tưởng thay lịng nhưng Sin Cos nào vậy
Hai góc phụ nhau Sin, Cos đổi vai trò
Giáo viên: Trần Đắc Hùng Kiệt

10


SKKN: Một số cách giúp học sinh ghi nhớ công thức Tốn học

Và cứ thế xây nên tình lượng giác
Cos và Sin bi chia bốn hẹn hò nhau.
Sáng tác: Ngày 16 tháng 9 năm 2002

7. Dùng lược đồ tư duy lập hệ thống công thức.
Phương pháp này sẽ rất hiệu quả khi sử dụng nó vào cuối mỗi chương giúp
cho các em hệ thống được kiến thức cả chương. Đồng thời thấy rõ sự liên hệ giữa
các công thức với nhau. Xin giới thiệu một lược đồ về các công thức tính diện tích
đa giác trong mặt phẳng.

Giáo viên: Trần Đắc Hùng Kiệt

11

SKKN: Một số cách giúp học sinh ghi nhớ công thức Toán học

Giáo viên: Trần Đắc Hùng Kiệt

12


SKKN: Một số cách giúp học sinh ghi nhớ công thức Toán học

Lược đồ này chỉ xét trường hợp các cơng thức được suy ra từ cơng thức tính
diện tích hình thang. Với cách làm này cho thấy sự giảm đi một cách đáng kể số
lượng công thức cần phải ghi nhớ.
IV. KẾT QUẢ
Áp dụng sáng kiến trên tôi nhận thấy việc ghi nhớ cơng thức của học sinh có
nhiều tiến bộ (khoảng 80% ghi nhớ tốt công thức). Sau đây là một kết quả điều tra
thực tế khi ôn tập chương “Nguyên hàm – tích phân”
a) Đề bài (2 phút làm bài trên đề thi in sẵn)
Học sinh điển vài chỗ trống sau đây(Mỗi câu đúng 1 điểm).
1.  dx  ..................
2.

 ............dx  s inx  C

3.

 u du  ......................
 a dx  ......................
 ...........dx  t anx  C

4.

5.

1

x

= ( ) ê
6. ( ):
=
= ( ) ê
= ( ) ê
=

7. ( ):
8.

 k . f ( x)dx  ............................,(k  R )
b

9.

ụ
ê [ ; ]
a =>
= ⋯ … … … … … ….
=0
; =
ụ
ê [ ; ]
= ⋯…………………

ụ
ê [ ; ] => a=b=h
a=b
; =

c

 f ( x)dx   f ( x)dx=............................
c

a

10.  f (ax  b)dx  .................

b) Kết quả
LỚP

SĨ
SỐ

12A1 35
12A5 33

GIỎI
SL %
33 94,3
23 69,7

KHÁ (%)

TB (%)

YẾU

SL %
SL %
SL %
2 5,7
6 18,18 4 12,12

KÉM

GHI
CHÚ

SL %

V. KHẢ NĂNG NHÂN RỘNG
Giáo viên: Trần Đắc Hùng Kiệt

13


SKKN: Một số cách giúp học sinh ghi nhớ công thức Tốn học

Với cách làm trên đây tơi nghĩ rằng khơng chỉ áp dụng được cho mơn Tốn
mà cịn có thể áp dụng được cho các mơn khác như: Hóa học, Vật lý,...
VI. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
Trên đây là một ý tưởng cho học sinh khi học công thức Toán. Hy
vọng rằng ý tưởng nhỏ bé này sẽ được lớn dần trong sự hưởng ứng của học sinh và

các bạn đồng nghiệp.
Mặt dù đã có nhiều cố gắng nhưng ít nhiều còn hạn chế. Kính mong quý
đồng nghiệp chân tình góp ý.
Trân trọng kính chào!

Duyệt của BGH
Tân Lược, ngày 15 tháng 9 năm 2012
………………………………………………...
Người viết
………………………………………………...
………………………………………………...
………………………………………………...
………………………………………………...
………………………………………………...
Trần Đắc Hùng Kiệt
………………………………………………...
………………………………………………...

Giáo viên: Trần Đắc Hùng Kiệt

14


SKKN: Một số cách giúp học sinh ghi nhớ công thức Toán học

TÀI TIỆU THAM KHẢO

TT
1
2

3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

TÀI LIỆU
ĐẠI SỐ 10 (CHUẨN)
ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 (CHUẨN)
GIẢI TÍCH 12 (CHUẨN)
ĐẠI SỐ 10 (NÂNG CAO)
ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 (NÂNG CAO)
GIẢI TÍCH 12 (NÂNG CAO)
HÌNH HỌC 10 (CHUẨN)
HÌNH HỌC 11 (CHUẨN)
HÌNH HỌC 12 (CHUẨN)
HÌNH HỌC 10 (NÂNG CAO)
HÌNH HỌC 11 (NÂNG CAO)
HÌNH HỌC 12 (NÂNG CAO)

Giáo viên: Trần Đắc Hùng Kiệt

TÁC GIẢ
Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)
Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)

Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)
Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên)
Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên)
Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên)
Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)
Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)
Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)
Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên)
Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên)
Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên)

15