CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG: SO SÁNH

CHUYÊN ĐỀ: SO SÁNH
Dạng 1:SO SÁNH LŨY THỪA
A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
* Luỹ thừa với số mũ tự nhiên: a(n thừa số a với a thuộcQ)
Qui ước: a
* Các phép tính luỹ thừa:
- Nhân 2 luỹ thưa cùng cơ số:
- Chia 2 luỹ thừa cùng cơ số :
- Luỹ thừa 1 tích: (a.b)
- Luỹ thừa 1 thương: (a : b )
- Luỹ thừa của luỹ thừa: (a
- Luỹ thừa tầng: a
- Luỹ thừa với số mũ âm: a
B/ CÁC PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH 2 LŨY THỪA.
I/ Phương pháp 1: Để so sánh hai luỹ thừa ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng
số mũ .
- Nếu 2 luỹ thừa cùng cơ số ( lớn hơn 1) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn.
(a >1)  m > n
- Nếu 2 luỹ thừa cùng số mũ (lớn hơn 0) thì lũy thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn .
(n > 0)  a > b
II/ Phương pháp 2: Dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân
A > B và B > C thì A > C
A.C < B.C (với C > 0)  A < B
Bài 1: So sánh:
20
10
a, 99 và 9999
HD:

200
300

b, 2 và 3

500
300
c, 3 và 7

9920   992    99.101
10

a, Ta có:
b, Ta có:

2300   23 

1000

Mà: 8

3500   35 

100

100

Mà : 143
d, Ta có :
Bài 2: So sánh :
11
8
a, 27 và 81

HD :

85   2



3 5

 143100

 343

100

7300   7 3 

và
 3500  7300

 9100
100

,

 343100

 215  2.214  3.214  3.  2 2   3.47
7

5

7
b, 625 và 125

2711  333 ;818  332

b, Ta có :

6255  520 ;1257  521

c, Ta có :

536  12512 ;1124  12112

a, Ta có:

100

và
 2300  3200

a, Ta có :

d, Ta có :
Bài 3: So sánh :
23
22
a, 5 và 6.5
HD:

 999910

3200   32 

 8100

9

100

c,Ta có :

100

10

,
5
7
, Vậy 8  3.4

36
24
c, 5 và 11

32 n  9 n ;23n  8n

b, 199

20

15
và 2003

523  5.522  6.522

5
7
d, 8 và 3.4

99
21
c, 3 và 11

2n
3n
d, 3 và 2


19920  20020   8.5

b, Ta có:

1121  27 21   33 

c, Ta có:
Bài 4: So sánh:
50
75
a, 107 và 73
HD :

21

20

 260.540

và

200315  200015   24.53 

15

 260.545

 363  399

35
91
b, 2 và 5

4
12
c, 54 và 21

8
9
d, 9 và 8

10750  10850  2100.3150 và 7375  7275  2225.3150

a, Ta có :

291   213   81927
7

b, Ta có :

7

và

54   2.27   2 .3
4

4

4

535   55   31257

12

12
12 12
và 21  3 .7
98  108  1004  100.1003

c, Ta có :
d, Ta có :

9
3
3
3
3
3
Và 8  512  500  5 .100  125.100

Bài 5: So sánh:
143
119
a, 5
và 7
Bài 6: So sánh:
7
12
a, 63 và 16
HD :

863
1995
b, 2
và 5

976 2005
1997
c, 3 .4
và 7

299
501
b, 5
và 3

23
15
c, 3 và 5

d, 127

23

18
và 513

637  647   82   814
7

a, Ta có :
Và

1612   2 4 

12

 248  23.16  816

5299  5300   53 

b, Ta có :

  35 

100

100

323  32 21  9.  33   9.277

 3300  2501

7

c, Ta có :

127  128   2
23

d, Ta có :
Bài 7: So sánh :
5
8
15
a, 21 và 27 .49
Bài 8: So sánh:
a, 202
HD:

303

23



7 23

b,

 32 

202303   2.101

a, Ta có :

9

và

và

161

và

 18

51318  51218   2 9 

2.101

Và
9
 32   329  245

b, Ta có :
Vậy

2 45  1813   18 

660

18

 2162

10
9
10
c, 2004  2004 và 2005

1979

c, 11

1320
và 37

101

  32.101

101

3
2
2
, Mà : 8.101  8.101.101  9.101

45
52
13
13
, Mà 2  2  16  18

13

111979  111980   113 

371320   37 2 

13

  23.1013 

3.101

303202   3.101

Và

7

45
44
44
43
b, 72  72 và 72  72

202
và 303

c, Ta có :

2

515  5.  52   5.257

660

 1331660

 1369660

27
63
28
Bài 9: Chứng minh rằng : 5  2  5
HD :

27
3
9
63
7
9
527  263 : Ta có : 5   5   125 và 2   2   128
9

Ta chứng minh :

9


263   29   512 7

2  5 : Ta có :
Ta chứng minh :
Bài 10: So sánh :
50
75
35
91
a, 107 và 73
b, 2 và 5
HD :
50
10750  10850   4.27   2100.3150
a, Ta có :
75

7375  7275   8.9   2225.3150
Và
63

28

291  2 90   2 5 

b, Ta có :

Và

18

7

528   54   6257
7

và

5
7
c, 125 và 25

54
81
d, 3 và 2

 3218

535  536   52 

18

 2518

Bài 11: So sánh :
28
14
21
11
14
7
10
21
a, 5 và 26
b, 5 và 124
c, 31 và 17
d, 4 và 64
Bài 12: So sánh :
35
4
30
30
30
10
91
12
a, 2 và 5

b, 54 và 21
c, 2  3  4 và 3.24
Bài 13: So sánh:
2
21
299
501
81
31
a, 3 và 2
b, 345 và 342.348
c, 3 và 2
d, 5
và 3
HD:
31
10
21
20
10
c, Ta có: 2  2.8 và 3  3.3  3.9
299

d, Ta có: 5
Bài 14: So sánh:

 5300  125100 và 3501  3500  243100
10
5
b, 10 và 48.50

a, 523 và 6.522
HD :
a, Ta có :
b, Ta có :

5
4
5 10
9 10
1010  210.510  2.29.510 và 48.50  3.2 .  2 .5   3.2 .5
10
3
Vậy : 10  48.50

1255   53   515

Vậy : 125  25
5

257   52   514
7

và

7

354   36   7299

281   29   5129

9

9

d, Ta có :

54
81
d, 3 và 2

523  5.522  6.522

5

c, Ta có :

5
7
c, 125 và 25

, và

Vậy : 3  2
54

Bài 15: So sánh:
9
13
a, (32) và (16)

30
50
b, (5) và ( 3)

HD :
a, Ta có :

81

 32 

9

c, 528 và 2614

 329    25   245
9

 16   16
13

13

   24 

13

 252

245  252   32    16 

9

Mà :
b, Ta có :

c, Ta có :

 5

30

 3

50

 530   53 

10

 12510

 350   35 

10

 24310

528   52 

14

 2514 2614
<

13

10
10
. Mà : 125  243

d, 421 và 647


4 21   43   647
7

d, Ta có :
Bài 16: So sánh:
a, 231 và 321
HD :

b, 2711 và 818

c, 6255 và 1257

321  3.320  3.  32   3.910
10

a, Ta có :

2711   33   333

31
10
và 2  2.8

11

b, Ta có :

và

1257   53   521
7

5

và

536  12512

d, Ta có :
Bài 17: So sánh:
a, 333444 và 444333
HD :

818   34   324
8

6255   54   520

c,Ta có :

d, 536 và 1124

24
12
và 11  121 ,

b, 200410+20049 và 200510

10
10
Mà : 3.9  2.8
33
24
Mà : 3  3
20
21
Mà : 5  5
12
12
Mà : 125  121

c, 3452 và 342.348

a, Ta có :

333444   3.111

b, Ta có :

Mà : 8991 .111  64 .111
200410  20049  20049  2004  1  2005.20049  2005.20059
111

4.111

 8991111.111333

333

111

và

444333   4.111

3.111

 64111.111333

333

3452  345.345  (342  3)345  342.345  1035 và
342.348  342  345  3  342.345  1026
Mà : 342.345  1035  342.345  1026

c, Ta có :

Bài 18: So sánh:
a, 199010 + 19909 và 199110
b, 12.131313 và 13.121212
HD :
10
9
199010  19909  19909  1990  1  1991.19909
a, Ta có :
Và 1991  1991.1991
9
9
Mà : 1991.1990  1991.1991
12.131313  12.13.10101 và 13.121212  13.12.10101
b, Ta có :
222
333
Bài 19: So sánh: A  222 và B  333
HD :

Ta có :

222333   2223 

111

  23.1113 

333222   3332 

111

và
20
10
Bài 20: So sánh : 2009 và 20092009
31
69
Bài 21: So sánh : 2 và 5
HD:

  8.111.1112 

  32.1112 

111

     512 .4
 5 .5   5  .5  625 .5
7

269  263.26  29 . 22
531

111

28

3

4

7

3

3

7

7

111

  888.1112 

  9.1112 

111

3

3

Và
Bài 22: So sánh: A  1  2  3  ...  1000 và B  1.2.3.4....11
HD:
 1  1000  .1000  103.103  106
A  1  2  3  ...  1000 
2
Ta có:

Và

B   2.5  3.4   6.7   8.9  10.11  103.103  106

Bài 23: So sánh : 17  26  1 và
HD:

99

111

,


Ta có : 17  16  4; 26  25  5 nên 17  26  1  4  5  1  10  100  99
Bài 24: So sánh:
50
75
98.516 và 1920
b, 71 & 37
a,
HD:
a, Ta có:
98.516  316.516  1516  1916  1920
b, Ta có:
50
7150  7250   8.9   2150.3100
3775  3675   4.9 

Bài 25: So sánh các số sau đây:

a/ 1619 và 825
d/ 523 và 6.522
g/ 2100 và 3200

75

 2150.3150

b/ 2711 và 818
e/ 7.213 và 216
h/ 5100 và 3500

c/ 6255 và 1257
f/ 32n và 23n (n ∈ N*)
30
30
30
10
i/ 2  3  4 và 3.24

HD:
19
4 19
76
25
3 25
75
76
75
19

25
a/ 16  (2 )  2 ;8  (2 )  2  2  2  16  8
b/
c/ 625
d/ 5
e/ 7.2
f/ 3)
g/ 2
h/
i/
Vậy
Bài 26: So sánh các số sau:
a/ 199
b/ 3
c/ A= 72
HD:
a/ Ta có:
199
2003
=> 2 => 2003
b/ Ta có:
3
11
c/ Ta có
44
44
43
43
A= 72 (72  1)  72 .71 và B  72 (72  1)  72 .71 => A > B
Bài 27: So sánh

e, 9920 và 999910
b, 3500 và 7300
f, 111979 và 371320
5
7
c, 8 và 3.4
g, 1010 và 48.505
d, 202303 và 303202
h, 199010 + 1990 9 và 199110
HD:
e) Ta thấy : 992 < 99.101 = 9999 => (992)10 < 999910 hay 9920 < 999910
b) Tương tự câu a, ta có : 3500 = (35)100 = 243100
7300 = (73)100 = 343100
100
100
500
Vì 243 < 343
nên 3 < 7300
5
c) Ta có :
8 = 215 = 2.214 < 3.214 = 3.47 => 85 < 3.47
d) Ta có : 202303 = (2.101)3.101 = (23.1013)101 = (8.101.1012)101 = (808.101)101


303202 = (3.101)2.101 = (32.1012)101 = (9.1012)101
Vì 808.1012 > 9.1012 nên 202303 > 303202
f) Ta có : 111979 < 111980 = (113)660 = 1331660 (1)
371320 = 372)660 = 1369660
(2)
Từ (1) và (2) suy ra : 111979 < 371320

g) Ta có : 1010 = 210. 510 = 2. 29. 510
(*)
5
4
5
10
9
10
48. 50 = (3. 2 ). (2 . 5 ) = 3. 2 . 5
(**)
Từ (*) và (**) => 1010 < 48. 505
h) Có : 199010 + 19909 = 19909. (1990+1) = 1991. 19909
199110 = 1991. 19919
Vì 19909 < 19919 nên 199010 + 1990 9 < 199110
Bài 28: Chứng tỏ rằng : 527 < 263 < 528
HD:
Với bài này , học sinh lớp 6 sẽ không định hướng được cách làm , giáo viên có thể gợi ý: hãy
chứng tỏ 263> 527 và 263 < 528
Ta có : 263 = (27)9 = 1289
527 =(53)9 = 1259
=> 263 > 527
(1)
63
9 7
7
Lại có : 2 = (2 ) = 512
528 = (54)7 = 6257
=> 263 < 528
(2)
27

63
2
Từ (1) và (2) => 5 < 2 < 5
Bài 29: So sánh :
a) 10750 và 7375
b) 291 và 535
HD:
a) Ta thấy : 10750 < 10850 = (4. 27)50 = 2100. 3150
(1)
7375 > 7275 = (8. 9)75 = 2225. 3150
(2)
Từ (1) và (2) => 10750 < 2100. 3150 < 2225. 3150 < 7375
b) 291 > 290 = (25)18 = 3218 và 535 < 536 = (52)18 = 2518 => 291 > 3218 > 2518 > 535
Vậy 291 > 535
Bài 30: Chứng minh rằng : 21995 < 5863
HD:
Có 210 =1024, 55 =3025  210 . 3 <55  21720 . 3172 <5860
Có 37 =2187 ; 210 =1024  37 >211
3172 = (37)24. 34 > (211)24 > (211). 26 = 2270
 21720.2270 < 21720 . 3172 < 5860
Vậy 21990 <5860 và 25 < 53
 21995 <5863
Bài 31: Chứng minh rằng: 2 1993 < 7 714
HD:
210  1025
238
238
�
� 210  3.73 �  210   3238 .  73  � 22380  3238 .7 714
�3

7  343
�
28  256
�
� 35  28
�5
3  243
�
47
47
�
3238  33 .3235  33 .  35   33  28   25.2376  2381 � 3238  2381
�
�
�
22380  3238 .7 714
Mà �
� 22380  2381 .7714 � 21999  7714
Bài 32: So sánh:
a) 3200 và 2300
b) 7150 và 3775
HD:
a) Ta có: 3200 = (32)100 = 9100 ; 2300 = (23)100 = 8100
mà 8100 < 9100 => 2300 < 3200


b) Ta thấy: 7150 < 7250 = (8.9)50 = 2150.3100
3775 > 3675 = (4.9) 75 = 2150. 3150
mà 2150. 3150 > 2150.3100
Từ (1), (2), và (3) suy ra: 3775 > 7150

Bài 33: So sánh các số: 50
HD:
50
999
100
75
50
Bài 34: Viết theo từ nhỏ đến lớn: 2 ;3 và 5
HD:

(1)
(2)
(3)

Từ(1),(2) và (3) =>
Bài 35: So sánh:
8

5

�1�
� �
b, � 4 � và

� 1 � �1 �
� 300 � � 200 �
a, �2 �và �3 �
HD :

7

�1 �
��
�8 �

100

8

5

1
1
�1 � 1
�1 � 1
1
1
 15
� � 8  16
� � 5  15
16
2 và �8 � 8
2 , mà : 2
�4 � 4
2
7
9
1
1
�1 � 1

�1 � 1
1
1
 36
� � 7  35
� � 9  36
35
2 và �
16 � 16
2 mà : 2
�32 � 32
2

b, Ta có :
c, Ta có :
Bài 36: So sánh:
9

100

1
1 �1 �
1
1
1
1
�1 �
1
1
 100  � �  100

 100  � �  100
 100
300
200
100
2
8
9
�8 � 8 và 3
�9 � 9 , Mà : 8
9

a, Ta có :

�1 �
� �
a, �243 � và
HD:

13

100

500

�1 �
�1 �
�16 �
� �
2009

2999
b, � � và �2 � c, (2008  2007)
và (1997  1998)

�1 �
�83 �
� �

9

13

�1 � 1
� � 45
�243 � 3 và

a, Ta có :

13

500

1
1
1
�1 �
�1 �
1
1
 500

� �  100  400
� �  500
400
2 và �2 � 2 , mà: 2
�16 � 16
2
2009
2999
2999
 2008  2007   12009  1 và  1997  1998   1  1 , Mà: 1>-1

b, Ta có :
c, Ta có :

Bài 37: So sánh :
15

6

�1 �
� �
�243 � b,

5

�3 �
��
�8 � và
7

a, Ta có:

20

�1 �
�3 �
� �
� �
10 � và �
10 �
b, �

1
1
199
300
a, 5
và 3
Bài 38: So sánh:
7

9

1 �1 �
�1 � �1 � 1
� �  � �  52  45  � �
3
�83 � �81 � 3
�243 �

100

�1 �
� �
a, �80 � và
HD:

9

�1 � �1 �
� � � �
16 �
c, �32 � và �

3

�5 �
� �
�243 �
7

6

�1 � �1 � 1
�1 � 1
� � � � 28
� � 30
�80 � �81 � 3 và �243 � 3

5

3

5
3
243
125 243 243
�3 � 3
�5 � 5



� � 15
� � 15  15  15  15
15
2
3
3
2
b, Ta có: �8 � 2
và �243 � 3
� 1�
� 1�
� 1 �� 1 �
11
M �
1 �
1 �
1 �

... �
1
�
�
�
� 4�
� 9�
� 16 � � 100 �với 19
Bài 39: So sánh:

 32
Bài 40: So sánh:
Bài 41: So sánh:
11
8
a, 27 và 81

9

 18
và

13

5
7
b, 625 và 125
20
15
g, 199 và 2003

5
8
15
e, 21 và 27 .49
30
30
30
10
Bài 42: So sánh: 2  3  4 và 3.24
HD:

  . 2 

430  230.230  23

10

2

15

Ta có:
30
30
30
24
Vậy 2  3  4  3,2
Bài 43: So sánh: 4  33 và
HD:

36
13
24
16
c, 5 và 11 d, 7.2 và 2
99
45
44
44
43
21
h, 3 và 11 i, 72  72 và 72  72





 810.315  810.310 .3  2410.3

29  14

Ta có: 4  36  29

33  14 => 36  33  29  14
Bài 44: So sánh:
HD:
Ta có:

A  20  20  20  ...  20

( 2018 dấu căn) với B  5

20  4  A  20  4 , Ta lại có:

20  25  5  A  20  20  20  ....  25  5
Bài 45: Chứng minh rằng:

A  6  6  6  ...  6

Bài 46 : Chứng minh rằng :

, vậy A  B  5

(2018 dấu căn) là 1 số không nguyên

B  56  56  56  ....  56

(2018 dấu căn) là 1 số không nguyên


Dạng 2: SO SÁNH BIỂU THỨC PHÂN SỐ
Phương pháp chính:
Tùy từng bài toán mà ta có cách biến đổi
a
a am
 1  
b b  m và ngược lại,
+ Cách 1: Sử dụng tính chất: b
(Chú ý ta chọn phân số có mũ lớn hơn để biến đổi )

+ Cách 2: Đưa về hỗn số
+ Cách 3: Biến đổi giống nhau để so sánh
Bài 1: So sánh:
19
2005
72
98
a, 19 và 2004
b, 73 và 99
Bài 2: So sánh qua phân số trung gian:
18
15
72
58
b, 31 và 37
b 73 và 99
HD:
18
18 18 15


a, Xét phân số trung gian là: 37 , Khi đó ta có: 31 37 37
72
72 72 58


b, Xét phân số trung gian là 99 , Khi đó ta có: 73 99 99
n
n 1
Bài 3: So sánh : n  3 và n  2

HD :
n
Xét phân số trung gian là : n  2
Bài 4: So sánh:
12
13
64
73
19
17
67
73
a, 49 và 47
b, 85 và 81
c, 31 và 35
d, 77 và 83
d, Xét phần bù
Bài 5: So sánh :
456
123
2003.2004  1
2004.2005  1
149
449
a, 461 và 128
b, 2003.2004 và 2004.2005
c, 157 và 457
Bài 6: So sánh:
20082008  1
20082007  1

100100  1
100101  1
A
B

A

B

20082009  1 và
20082008  1
10099  1 và
100100  1
a,
b,
HD:
2008  20082007  1
20082008  1
20082008  1  2007 20082008  2008 
B
A
 1  A 

2009
2009
2009
2008  20082008  1
2008

1

2008

1

2007
2008

2008
a,
100
100101  1
100101  1  99 100101  100 100  100  1
B
 1  B 


A
100100  1
100100  1  99 100100  100 100  10099  1
b, Ta có :
Bài 7: So sánh:
1315  1
1316  1
19991999  1
19992000  1
A  16
B  17
A
B
13  1 và

13  1
19991998  1 và
19991999  1
a,
b,
HD:


B
a,

15
1316  1
1316  1  12 1316  13 13  13  1

1

B



A
1317  1
1317  1  12 1317  13 13  1316  1

Vậy A>B
1999
1999  1
1999  1  1998 1999  1999 1999  1999  1
B

 1  B 


19991999  1
19991999  1  1998 19991999  1999 1999  19991998  1
2000

2000

b,
Bài 8: So sánh:
100100  1
10098  1
A
B

10099  1 và
10097  1
a,
HD:

a,

2000

b,

A

1011  1

1010  1
B

1012  1 và
1011  1

2
98
100100  1
100100  1  9999 100100  102 100  100  1
A
 1  A 


B
10099  1
10099  1  9999 10099  10 2 100 2  10097  1

1011  1
1011  1  11 1011  10 10  10  1

1

A



B
1012  1
1012  1  11 1012  10 10  1011  1

Vậy A>B

10

A

b,
Bài 9: So sánh:
107  5
108  6
A 7
B 8
10  8 và
10  7
a,
HD:
107  5 107  8  13
13
A 7

 1 7
7
10  8
10  8
10  8
a,

108  2
108

A 8
B 8
10  1 và
10  3
b,

108  6 108  7  13
13
13
13

 1 8
 8
 A  B
8
8
7
10  7
10  7
10  7 mà: 10  8 10  7
108  2 108  1  3
3
A 8

 1 8
8
10  1
10  1
10  1
b,

108
108  3  3
3
3
3
B 8

 1 8
 8
 A  B
8
8
10  3
10  3
10  3 Mà: 10  1 10  3
Bài 10: So sánh:
1920  5
1921  6
1002009  1
1002010  1
A  20
B  21
A
B

19  8 và
19  7
1002008  1 và
1002009  1
a,

b,
HD:
1920  5 1920  8  13
13
A  20

 1  20
20
19  8
19  8
19  8
a,
B

1921  6 1921  7  13
13
13
13

 1  21
 21
 A  B
21
21
20
19  7
19  7
19  7 , Mà: 19  8 19  7
2009
100 2010  1

1002010  1  99 100  100  1
B
 1  B 

A
100 2009  1
1002009  1  99 100  1002008  1
b,
, vậy ABài 11: So sánh:
1015  1
1016  1
10 2004  1
102005  1
A  16
B  17
A  2005
B  2006
10  1 và
10  1
10  1 và
10  1
a,
b,
HD:
15
1016  1
1016  1  9 10  10  1
B  17
 1  B  17


A
10  1
10  1  9 10  1016  1
a,
Vậy: A>B
B

=A


B
b,

2004
102005  1
102005  1  9 10  10  1

1

B


A
102006  1
102006  1  9 10  10 2005  1

Vậy A>B

Bài 12: So sánh:
101992  1
101993  3
A  1991
B  1992
10  1 và
10  3
a,
HD:

a,
b,

b,

A

1010  1
1010  1
B

1010  1 và
1010  3

1992
101993  3
101993  3  7 10  10  1
B  1992
 1  B  1992


A
10  3
10  3  7 10  101991  1

A

vậy B>A

10  1 10  1  2
2

 1  10
10
10
10  1
10  1
10  1
10

10

1010  1 1010  3  2
2
2
2
B  10

 1  10
 10
 A  B

10
10
10  3
10  3
10  3 , mà: 10  1 10  3
Bài 13: So sánh:
1020  6
1021  6
152016  5
152017  1
A  21
B  22
A  2017
B  2018
10  6 và
10  6
15  5 và
15  1
a,
b,
HD:
21
1021  6
1021  6  54 1021  60 10  10  6 
B  22
 1  B  22


A
10  6

10  6  54 1022  60 10  1021  6 
a,
, Vậy A>B
2016
2017
2017
2017
15  1
15  1  74 15  75 15  15  5 
B  2018
 1  B  2018


A
15  1
15  1  74 152018  75 15  152017  5 
b,
vậy A>B
Bài 14: So sánh:
1020  3
1021  4
2021  3
2022  8
A  21
B  22
A  22
B  23
10  3 và
10  4
20  4 và

20  28
a,
b,
HD:
20
1021  4
1021  4  26 1021  30 10  10  3
B  22
 1  B  22
 22

A
10  4
10  4  26 10  30 10  1021  3
a,
, vậy A>B
21
22
22
22
20  8
20  8  52 20  60 20  20  3
B  23
 1  B  23


A
20  28
20  28  52 2023  80 20  20 22  4 
b,

Vậy A>B
100
69
100  1
100  1
A
B
99
100  1 Và
10068  1
Bài 15: So sánh:
HD:
Quy đồng mẫu ta có:
A   100100  1  10068  1
B   10069  1  10099  1
, và
A  B   100  1  10068  1   10089  1  10099  1 100100  10099  10069  10068
Xét hiệu
=
99
99
68
68
99
68
 100.100  100  100.100  100  99.100  99.100  99  10099  10068   0  A  B
Bài 16: So sánh:
218  3
220  3
1523  3

1522  4
A  20
B  22
A  22
B  21
2  3 và
2 3
15  138 và
15  5
a,
b,
HD:
a, Chú ý trong trường hợp ta trừ cả tử và mẫu với cùng 1 số thì ta đảo chiều của bất đẳng thức
2
18
220  3
220  3  9 220  12 2  2  3
B  22
 1  B  22


A
2 3
2  3  9 222  12 22  220  3 
Vậy B>A


A
b,

22
1523  3
1523  3  63 1523  60 15  15  4 

1

A



B
1522  138
1522  138  63 1522  75 15  1521  5 

Bài 17: So sánh:

A

, Vậy A>B

10  1
10  1
B  15
15
10  11 và
10  9
14

14

M

7a
7b c

N

7a  2015
7bc  2015 ,

Bài 18: Cho a, b,c là độ dài 3 cạnh cảu 1 tam giác và:
và
Hãy so sánh M và N
7
15
15
7
N  2005  2006
M  2005  2006
10
10
10
10
Bài 19 : So sánh :
và
Bài 20: So sánh:
2004 2005
2004  2005
2000 2001
2000  2001

A

B
A

B
2005 2006 và
2005  2006
2001 2002 và
2002  2002
a,
b,
HD:
2004  2005 2004 2005 2004 2005
B




A
4011
4011 4011 2005 2006
a,
2000  2001 2000 2001 2000 2001
B




A

4004
4004 4004 2001 2002
b,
Bài 21: So sánh:
1382  690
1985.1987  1
5(11.13  22.26)
A
A
B
1372  548
1980  1985.1986 và 1
22.26  44.54 và
a,
b,
HD:
1985.  1986  1  1 1985.1986  1985  1 1985.1986  1984
A


1
1980  1985.1986
1980  1985.1986
1985.1986  1980
a,
5  11.13  22.26  5
1
138
1
1

1
A
  1
B
 1

 A  B
4.  11.13  22.26  4
4
137
137 mà: 4 137
b,
và
Bài 22: So sánh:
33.103
3774
244.395  151
423134.846267  423133
A 3
B
B
A
3
2 .5.10  7000 và
5217
244  395.243 và
423133.846267  423134
a,
b,
HD:

33
34
7000  7.103  A 
B
47 và
47 => Aa,
 243  1 .395  151  243.395  395  151  243.395  244  1
A
244  395.243
244  395.243
244  395.243
b,
,
Tương tự ta có: Tử số của B là
 423133  1 .846267  423133  423133.846267  846267  423133
 423133.846267  423134 bằng với mẫu số của B nên B=1. Vậy A=B
Bài 23: So sánh
HD:

M

5  11.13  22.26 
1382  690
N
22.26  44.52 và
1372  548

5  11.13  22.26  5
1

  1
4  11.13  22.26  4
4

138
1
 1
137
137
Ta có:
và
244.395  151
423134.846267  423133
A
B
244  395.243 và
423133.846267  423134
Bài 24: So sánh:
M

N


HD:

TS   243  1 395  151  243.395  395  151  243.395  244  MS  A  1
Ta có: A có
TS   423133  1 846267  423133  423133.846267  846256  423133
Và
 423133.846267  423134  MS  B  1

Bài 25: So sánh:
1919.171717
18
4
3 5 6
5
6 4 5
A
B
A  5 2  3  4
B  4 5 2   3
191919.1717 và
19
7
7 7 7 và
7
7 7 7
,
b,
a
HD:
19.101.17.10101
18
A
1  B
19.10101.17.101
19
a, Ta có :

b, Ta có :
� 4 5 � �3 6 � � 4 5 � �3 5 1 �
A�
5  3 �
 � 2  4 � �
5  3 �
 �2  4  4 �
� 7 7 � �7 7 � � 7 7 � �7 7 7 �
� 4 5 � �6 5 � � 4 5 � �3 3 5 �
B�
5   3 � � 2  4 � �
5   3 � � 2  2  4 �
� 7 7 � �7 7 � � 7 7 � �7 7 7 �
1
1
3
3

 2
4
2401 7
49
Mà: 7
3 3 4
3 4 3
A 3  4  4
B 3 3 4
8 8 8 và
8 8 8
Bài 26: So sánh:

Bài 27: So sánh:
10 10
11 9
10 9 1
10 9 1
A 7  6
B 7  6
A 7  6  6
B 7  6  7
2 2 và
2 2
2 2 2 và
2 2 2
a,
b,
HD:
10 10 10 9 1
A 7  6  7  6  6
2 2
2 2 2
a, Ta có :
11 9 10 1 9
1
1
B 7  6  7  7  6
 7  A  B
6
2 2
2 2 2 , mà: 2
2

1
1
 7  A  B
6
2
2
b, Ta có :
�10 10 �
�11 9 �
A  �m  n � B  �m  n �
a � và
a �
�a
�a
Bài 28: So sánh:
Bài 29: So sánh:
7.9  14.27  21.36
37
19 23 29
21 23 33
M
B
A  
B  
21.27  42.81  63.108 và
333
41 53 61 và
41 45 65
a,
b,

HD:
7.9(1  2.3  3.4)
1
37 : 37 1
A

B

21.29(1

2.3

3.4)
9
333 : 37 9
a, Rút gọn M ta có:

19 23 29 19 23 29 3
21 23 33 21 23 33 3
 
  

B  

 

41 53 61 38 46 58 2 và
41 45 65 42 46 66 2
b,
VậyA

Bài 30: So sánh:
50  51  ...  59
30  31  ...  39
12
23
12
23
A 0 1
B

A  11  12
B  12  11
5  5  ...  58 và
30  31  ...  38
14
14 và
14
14
a,
b,
HD:
12
23
12
12
11
A  11  12  11  12  12
14
14
14

14
14
a, Ta có :
12
23
12
11
12
11
11
B  12  11  11  11  12
 11  A  B
12
14
14
14
14
14 , mà: 14
14
A


A

1  5  50  51  52  ...  58 



1
5

1  5  5  ...  58
>2+3

5  5  5  ...  5
b, Ta có :
0
1
1  3  3  3  32  ...  38 
1
B
 0 1 2
3
0
1
2
8
3  3  3  ...  3
3  3  3  ...  38
1
 2  A  B
0
1
2
8
Nhận thấy 3  3  3  ...  3
Bài 31: So sánh:
n
n2
n2  1
n2  3

A 2
B 2
A
B
n  1 và
n  4 (n>1)
n  1 và
n3
a,
(n>0)
b,
HD:
n
n2
n2
A
 1  A 

B
n 1
n 1 2 n  3
a, Ta có :

A

0

1

2

8

n2  1 n2  1  2
2

 1 2
2
2
n 1
n 1
n 1

2

b, Ta có :
n2  3 n2  4  1
1
2
2
2
B 2
 2
 1 2
 1 2
 2
 A  B
2
n 4
n 4

n 4
2n  8 , Mà: n  1 2n  8
Và
Bài 32: So sánh:
10
10
11
9
2016 2016
2017 2015
A  10  8
B  10  8
A

B

20
30
50
50 và
50
50
100
100 và
10020 10030
a,
b,
HD:
10
9

1
10
1
9
1
1
A  10  8  8
B  10  10  8
 10  A  B
8
50
50 50 và
50
50
50 , Mà: 50 50
a,
2016 2015
1
2016
1
2015
1
1
A


B




 A  B
20
30
30
20
20
30
30
100
100
100 và
100
100
100 , mà: 100
10020
b,
Bài 33: So sánh:
n
n 1
n
3n  1
B
A
B
A
n  3 và
n4
2n  1 và
6n  3
a,

b,
HD:
n
n 1 n 1
A


B
n3 n3 n4
a,
n
3n
3n  1
A


B
2n  1 6n  3 6n  3
b,
Bài 34: So sánh:
3 7
7 3
2003.2004  1
2004.2005  1
A
B
A 3  4
B 3  4
8 8 và
8 8

2003.2004 và
2004.2005
,
b,
a
HD:
3 7
3 3 4
7 3 3 4 3
4 4
A 3  4  3  4  4
B 3  4  3  3  4
  A  B
8 8
8 8 8 , và
8 8 8 8 8 , Mà: 84 83
a,
1
1
1
1
A  1
B  1

 A  B
2003.2004 ,
2004.2005 , Mà: 2003.2004 2004.2005
b,
Bài 35: So sánh :
22010  1

22012  1
3123  1
3122
A  2007
B  2009
A  125
B  124
2  1 và
2 1
3  1 và
3 1
a,
b,
HD:


22010  23  7
7
22012  23  7
7
3
A
 2  2002
B
 23  2009
2007
2009
2 1
2 1
2 1

2 1
a,
1 8 1 125
8
8
8
3123  2 
3  1 
2 
1
3 93
9 1  9
A
B  2  1249
125
125
2
125
3 1
3 1
3 3  1 , Tương tự :
3 3 1
b,
2
2
2
2
A

 ... 


60.63 63.66
117.120 2011 và
Bài 36: So sánh :
5
5
5
5
5
B


 ... 

40.44 44.48 48.52
76.80 2011
HD:
3
3
3 � �1
1
3 �
� 3
3A  2 �

 ... 


� 2 � 
�

117.120 2011 � �60 120 2011 �
�60.63 63.66
3 � 1
6
�1
 2� 

�
120 2011 � 60 2011
�
1
2
A

180 2011
4
4
4 � �1
1
4 �
� 4
4B  5 �

 ... 

� 5 �  
�
76.80 2011 � �40 80 2011 �
�40.44 44.48
4 � 1

20
�1
 5� 
� 
�80 2011 � 16 2011
1
5
1
2
B


A
64 2011 > 180 2011
1 1 1 1 1
1
S    
5 9 10 41 42 với 2
Bài 37: So sánh tổng
HD:
1 1 1 1 1
1 1
1
1
1
1 1 1 1
   





S  

9 10 8 8 4 và 41 42 40 40 20 nên
5 4 20 2
7
15
15
7
A  2005  2006
B  2005  2006
10
10
10
10
Bài 38: So sánh không qua quy dồng :
và
HD:
7
8
7
7
8
7
A  2005  2006  2006 B  2005  2005  2006
10
10
10
10
10

10
,
9
19
9
19
A  2012  2011 & B  2011  2012
10
10
10
10
Bài 39: So sánh:
HD:
9
9
10
A  2012  2011  2011
10
10
10
9
9
10
10
10
B  2011  2012  2012
 2012  A  B
2011
10
10

10
10
, Mà: 10
Bài 40: So sánh :
HD:

A

B  1  B 

20092009  1
20092010  2
B

20092010  1 và
20092011  2

20092010  2  2011
A
20092011  2  2011


a 1 b 1
&
b với a, b là số nguyên cùng dấu và a # b
Bài 41: So sánh phân số : a
HD:
a 1
1 b 1
1

 1 &
 1
a
b
b
Ta có : a
1
1
1
1
 0&  0
 0&  0
b
b
*Nếu a>0 và b>0 thì a
*Nếu a<0 và b<0 thì a
2006 2007 2008 2009
A



2007 2008 2009 2006 với B=4
Bài 42: So sánh
HD:
2007  1 2008  1 2009  1 2006  3
1
1
1
1
1

1
A



 4





4
2007
2008
2009
2006
2006 2007 2006 2008 2006 2009
252.386  134
212315.653247  440932
A
B
252  386.251 và
212314.653247  212315
Bài 43: So sánh:
2 2007  3
22004  1
C  2006
D  2003
2  3 và
2 1

Bài 44: So sánh:
n
a 1
an
A
B n
a n và
a 1
Bài 45: So sánh:
20162017
20152016
A
B
20162016 và
20152015
Bài 46: So sánh:
510
610
A
B

1  5  52  ....  59 và
1  6  62  63  ...  69
Bài 47: So sánh:


Dạng 3: SO SÁNH BIỂU THỨC LŨY THỪA VỚI MỘT SỐ (SO SÁNH HAI BIỂU THỨC LŨY
THỪA)
Phương pháp chính:
* Thu gọn biểu thức lũy thừa bằng cách vận dụng các phép tính lũy thừa, cộng trừ các số theo quy

luật ......
* Vận dụng phương pháp so sánh hai lũy thữa ở phần B.
* Nếu biểu thức lũy thừa là dạng phân thức: Đối với từng trường hợp bậc của luỹ thừa ở tử lớn
hơn hay bé hơn bậc của luỹ thừa ở mẫu mà ta nhân với hệ số thích hợp nhằm tách phần nguyên rồi so
sánh từng phần tương ứng.
Với a, n, m, K N* . Ta có:
- Nếu m > n thì K - > K - và K + < K +
- Nếu m < n thì K - < K - và K + > K +
(còn gọi là phương pháp so sánh phần bù)
1
2
* Với biểu thức là tổng các số a (với a ∈ N*) ta có vận dụng so sánh sau:
1
1
1
1
1


2
a a 1 < a < a 1 a
Bài 1: Cho S =1 + 2 + 2 . So sánh S với 5.2
HD:
2.S =
10
10
8 2
8
8
10

2S- S = 2  1 hay S  2  1  2  2 .2  4.2  5.2
Bài 2: Cho A = 1 + 2012 + 20122 + 20123 + 20124 + … + 201271 + 201272 và B = 201273 - 1. So sánh A và
B.
HD:
Ta có 2012A = 2012 + 20122 + 20123 + 20124 + … + 201271 + 201273
Lấy 2012A – A = 201273 – 1
Vậy A = (201273 – 1) : 2011 < B = 201273 - 1.
310.11  310.5
210.13  210.65
B
C

39.24
28.104
Bài 3: So sánh hai biểu thức:
;
HD:

310.11  310.5 310 (11  5)

3
39.24
39.16
210.13  210.65 210 (13  65) 22.78
C


3
28.104
28.104

104
Vậy B = C
Bài 4: So sánh 2 biểu thức A và B trong từng trường hợp:
a) A = và B =
b) C = và D =
B


HD:
- Ở câu a, biểu thức A và B có chứa luỹ thừa cơ số 10 -> ta so sánh 10A và10B
- Ở câu b, biểu thức C và D có chứa luỹ thừa cơ số 2 nên ta so sánh C và D
a) Ta có A = => 10A = 10 . = =
B = => 10B = 10 . = =
Vì 1016 + 1 < 1017 + 1 nên
=> => 10A > 10B hay A > B
b) Ta có C = => C = . =
D = => D = . =
Vì 22008 – 2 > 22007 – 2 nên
=> >
=> C > D hay C > D
Bài 5: So sánh M = và N =
HD:
Ta có: = =
= =
Vì => < => M < N
19 30  5
19 31  5
31
32
Bài 6: So sánh M và N biết: M = 19  5 ; N = 19  5

HD:
19.(19 30  5)
19 30  5
19 31  95
90
31
31
31
31
M = 19  5 nên 19M = 19  5
= 19  5 = 1 + 19  5
19.(19 31  5) 19 32  95
19 31  5
90
32
32
32
32
N = 19  5 nên 19N = 19  5 = 19  5 = 1 + 19  5
90
90
31
32
Vì 19  5 > 19  5
90
90
31
32
Suy ra 1 + 19  5 > 1 + 19  5
Hay 19M > 19N => M > N

1
1
1
1
1
1




2
2
2
2
2
2
2
Bài 7: So sánh 101 102 103 104 105 và 2 .3.5 .7
HD:
1
1 n  (n  1) n  n  1
1
1
 


 2
(n  1).n
(n  1).n (n  1)n n
Nếu n là số tự nhiên lớn hơn 1 thì ta có: n  1 n

1
1
1


2
n 1 n
=> n
Áp dụng vào bài toán ta được:
1
1
1


2
101 100 101
1
1
1


2
102 101 102
....................................
1
1
1



2
105 104 103
__________________________________________________________
1
1
1
1
1 105  100
5
1

 ... 



 2 2
 2 2
2
2
2
101 102
105 100 105 100.105 2 .5 .5.3.7 2 .5 .3.7


1
1
1
 ...... 
 2 2
2

2
105
2 .5 .3.7
Vậy 102
�1
��1
��1
� �1
�
. � 2  1�
. � 2  1�
....... � 2  1�  1
� 2  1�
100
��3
��4
� �
�và 2
Bài 8: So sánh A = �2
HD:
A là tích của 99 số âm. Do đó:
-A = )
-A =
Để dễ rút gọn ta viết tử dưới dạng tích các số tự nhiên liên tiếp như sau:
-A =
Vậy A < Dạng 4: TỪ VIỆC SO SÁNH LŨY THỪA, TÌM CƠ SỐ (SỐ MŨ) CHƯA BIẾT
Phương pháp chính:
Từ mệnh đề so sánh đã cho, bằng việc phân tích lũy thừa đưa hai về về hai lũy thừa cùng cơ số
(cùng số mũ) rồi lập luận tìm cơ số (số mũ chưa biết)
Tùy theo điều kiện bài cho về cơ số (số mũ) ta tìm được cơ số (số mũ) tương ứng.

Bài 1: Tìm x thuộc N. Biết :
a/ 16
b/
HD:
a/ 16 => (2)<(2);
b/
=>
Bài 2: Tìm các số tự nhiên n sao cho :
a) 3 < 3n 234
b) 8.16 2n 4
HD: đưa các số về các lũy thừa có cùng cơ số .
Bài 3: Tìm số tự nhiên n biết rằng :
415 . 915 < 2n . 3n < 1816 . 216
Gợi ý: quan sát , nhận xét về số mũ của các lũy thừa trong một tích để đưa về cùng cơ số
Bài 4: Cho A = 3 + 32 + 33 + …….+3100. Tìm số tự nhiên n, biết 2A + 3 = 3n.
HD:
Có A = 3 + 32 + 33 + …….+3100.
3A = 32 + 33 + 34 +…….+3101.
Suy ra: 3A – A = 3101 – 3
Hay: 2A = 3101 – 3 => 2A + 3 = 3101 , mà theo đề bài ta có: 2A + 3 = 3n.
Suy ra: 3101 = 3n => n = 101.
Bài 5: Tìm các số nguyên dương m và n sao cho:
HD:
Ta có : (1)
Dễ thấy m Ta xét 2 trường hợp:
1/ Nếu m-n = 1 thì (1) ta có 2n(2-1) = 2
2/ Nếu m-n là một số lẻ lớn hơn 1 nên vế trái của (1) chứa thừa số nguyên tố lẻ khi phân tách ra
thừa số nguyên tố. Còn vế phải của (1) chỉ chứa thừa số nguyên tố 2
=> Mâu thuẩn.
Vậy n = 8 ; m = 9 là đáp số duy nhất

Bài 6: Tìm số nguyên dương n biết:
a) 64 < 2n < 256
b) 243 > 3n  9
HD:


a) 64 < 2n < 256 => 26 < 2n < 28 => 6 < n < 8 , n nguyên dương . Vậy n = 7
b) 243 > 3n  9 => 35 > 3n  32 => 5 > n  2 , n nguyên dương. Vậy n = 4; 3; 2
Bài 7: Tìm số nguyên n lớn nhất sao cho: n200 < 6300
HD:
Ta có: n200 = (n2)100 ; 6300 = (63)100 = 216100
Để n200 < 6300  (n2)100 < 216100  n2 < 216 và n Z (*)
Số nguyên lớn nhất thoã mãn (*) là n = 14
Bài 8: Tìm các số nguyên n thoã mãn: 364 < n48 < 572
HD:
Ta giải từng bất đẳng thức 364 < n48 và n48 < 572
Ta có : n48 > 364  (n3)16 > (34)16  (n3)16 > 8116  n3 > 81
Vì n  Z nên n > 4
(1)
48
72
2 24
3 24
2 24
Mặt khác n < 5  (n ) < (5 )  (n ) < 12524 n2 < 125
và n  Z => -11  n  11
(2)
Từ (1) và (2) => 4 < n  11. Vậy n   5; 6; 7; 8; 9; 10; 11
* Từ bài toán trên có thể thay đổi câu hỏi để được các bài toán sau:
Số1: Tìm tổng các số nguyên n thoã mãn: 364 < n48 < 572

( giải tương tự trên ta có các số nguyên n thoã mãn là 5+6+7+8+9+10+11=56)
Số2: Tìm tất cả các số nguyên có một chữ số sao cho 364 < n48 < 572
( số 5; 6; 7; 8; 9;)
Số3: Tìm tất cả các số nguyên có 2 chữ số sao cho 364 < n48 < 572
( số 10; 11)
Bài 9: Tìm n  Z biết:
a) 32 < 2n  512
b*) 318 < n12  208