CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG: PHÂN SỐ

CHUYÊN ĐỀ PHÂN SỐ
Dạng 1: TÌM N ĐỂ PHÂN SỐ TỐI GIẢN
Bài 1: Tìm n �N để các phân số tối giản:
n7
n  13
2n  3
3n  2
A
B
C
A
n2
n2
4n  1
7n  1
a,
b,
c,
d,
HD:
n29
9
A
 1
n2
n2
a,
9
Để A tối giản thì n  2 tối giản hay n  2 �3k  n �3k  2(k �N )
n  2  15
15

A
 1
n2
n2
b,
15
Để A tối giản thì n  2 tối giản hay n  2 �3k  n �3k  2(k �N ) và n  2 �5h  n �5h  2(h �N )
c, Gọi d =UCLN( 2n+3; 4n+1) => 2( 2n+3) - (4n +1) Md=> 5 Md,
Để C tối giản thì d # 5 hay 2n+3 # 5k => 2n+8 # 5k=>n # 5k – 4 (k �N)
d, Gọi d=UCLN (3n+2; 7n+1) => 7(3n+2) - 3(7n+1) Md => 11 Md,
Để A tối giản thì d # 11 hay 3n+2 # 11k=> n # 11k+3 (k �N)
Bài 2: Tìm n �N để các phân số tối giản:
8n  193
2n  7
18n  3
21n  3
A
C
A
A
5n  2
4n  3
21n  7
6n  4
a,
b,
c,
d,
HD:
d  UCLN  3n  2; 2n  7   5  2n  7   2  5n  2  Md  31Md

a, Gọi
 31 
 31  2n  7  31M
 31  2  n  19  M
Để A tối giản thì d �31  2n  7 M
n # 31k – 19 (k �N)
d  UCLN  8n  193;4n  3   8n  193  2  4n  3 Md  187 Md
b, Gọi
Mà 187  11.17 , Nên để C tối giản thì: d �11, d �17
 11  4n  3  11 M
 11  4n  8 M
 11  n  2 M
 11k  n �11k  2  k �N 
d �11  4n  3 M
TH1:
 17  4n  3  17 M
 17  4  n  5  M
 17  n �17 h  5  h �N * 
d �17  4n  3 M
TH2:
d  UCLN  18n  3;21n  7   7  18n  3  6  21n  7  Md  21Md
c, Gọi
Mà 21  3.7 , Nên để A tối giản thì d �3,7
 3
d �3,  21n  7 M
Thấy hiển nhiên
 7  18n  3  3  6n  1 M
 7  6n  1  7 M
 7  n �7k  1
d �7  18n  3 M

Với
d  UCLN  21n  3;6n  4   2  21n  3  7  6n  4  Md  22 Md
d, Gọi
Mà 22 = 2.11, Nên để A tối giản thì: d �2, d �11
TH1: d �2  21n  3 �2k  n là số chẵn
 11  6n  4  22 M
 11  n  3 M
 11  n �11k  3
TH2: d �11  6n  4 M
n3
B
n  12
Bài 3: Tìm n �N để các phân số tối giản:


A

21n  3
6n  4 rút gọn được

Bài 4: Tìm n để
HD:
Giả sử tử và mẫu cùng chia hết cho số nguyên tố d => 22 Md=> d=2 hoặc d=11
TH1: d=1=> 6n+4 M2 với mọi n và 21n +3 M2 khi n lẻ
TH2: d=11=> 21n +3 M11=> n – 3 M11=> n = 11k +3 => Với n= 11k+3 => 6n+4 M11
7n 2  1
n
n
6
Bài 5: CMR nếu phân số :

là số tự nhiên với n �N thì các phân số 2 và 3 là các phân số tối giản ?
HD :
7n 2  1
2
6
Vì phân số
là số tự nhiên với mọi n nên 7n  1M6 => n lẻ và n không chia hết cho 3
n n
;
Vậy 2 3 là các phân số tối giản

A

a3  2a 2  1
a 3  2a 2  2 a  1

Bài 6: Cho biểu thức
a/ Rút gọn biểu thức
b/ CMR nếu a là số nguyên thì giá trị của biểu thức tìm được của câu a là 1 phân số tối giản
n3
Bài 7: Tìm tất cả các số tự nhiên n để n  12 là phân số tối giản
3n  1
M 
n  1 có giá trị là số nguyên
Bài 8: Tìm các giá trị nguyên của n để phân số
HD:
3n  1
M
�Z  3n  1Mn  1  3  n  1  2Mn  2  2 Mn  1
n 1

Dạng 2: CHỨNG MINH PHÂN SỐ LÀ TỐI GIẢN
Bài 1: Chứng minh các phân số sau tối giản:
n3  2n
n 1
2n  3
5n  3
4
2
a, 2n  3
b, 3n  5
c, 3n  2
d, n  3n  1
HD:
n  1Md
�
d  UCLN  n  1;2n  3  �
 2  n  1   2n  3 Md  1Md  d  �1
2
n

3
M
d
�
a, Gọi

2n  3Md
�

d  UCLN  2n  3;3n  5  �
 3  2n  3  2  3n  5  Md  1Md  d  �1
3
n

5
M
d
�
b, Gọi
5n  3Md
�
d  UCLN  5n  3;3n  2   �
 5  3n  2   3  5n  3 Md  1Md  d  �1
3
n

2
M
d
�
c, Gọi
�
n 2  1Md
�
3
4
2
3
4

2
d  UCLN  n  2n; n  3n  1  n  n  2n    n  3n  1 Md  � 3
n  2n Md
�
d, Gọi
�
n 2 Md
n Md
�
�
3
2

 1Md  d  �1
  n  2n   n  n  1 Md  � 2
�2
n

1
M
d
n

1
M
d
�
�
Bài 2: Chứng minh các phân số sau tối giản:
2n  1

16n  5
14n  3
2n  3
a, 6n  2
b, 21n  4
c, 2n(n  1)
d, 4n  8
HD:
d  UCLN  16n  5;6n  2   8  6n  2   3  16n  5  Md  1Md  d  �1
a, Gọi
14n  3Md
�
d  UCLN  14n  3;21n  4   �
 3  14n  3  2  21n  4  Md 1Md  d  �1
21
n

4
M
d
�
b, Gọi
�
n  2n  1 Md
�
2n 2  n Md
n Md
�
�
�

d  UCLN  2n  1;2n 2  2n   � 2
 � 2
 �
2n  1Md
2n  2n Md
2n  2n Md
�
�
�
c, Gọi
  2n  1  2n Md  1Md  d  �1
�2n  3Md
d  UCLN  2n  3;4n  8   �
  4n  8   2  2n  3 Md  2Md  d  �1, d  �2
�4n  8Md
d, Gọi
Vì 2n  3Md mà 2n+3 là số lẻ nên d lẻ, vậy d  �2 loại
Bài 3: Chứng minh các phân số sau tối giản:
3n  2
n
12n  1
a, 5n  3
b, n  1
c, 30n  2
HD:
5n  3Md
�
d  UCLN  5n  3;3n  2   �
 5  3n  2   3  5n  3 Md  1Md  d  �1
3

n

2
M
d
�
a, Gọi
�n  1Md
d  UCLN  n; n  1  �
  n  1  n Md  1Md  d  �1
�n Md
b, Gọi
12n  1Md
�
d  UCLN  12n  1;30n  2   �
 5  12n  1  2  30n  2  Md  1Md  d  �1,
30
n

2
M
d
�
c, Gọi


Bài 4: Tìm n �Z để các phân số sau là số nguyên:
6
n
2n  7

a, n  3
b, n  4
c, n  3
HD:
6
A
�Z  n  3 �U  6    �1; �
2; �3; �
6  n   ...
n3
a, Để
n
n44
4
B

 1
�Z  n  4 �U  4    �1; �2; �4
n4
n4
n4
b, Để
2n  7 2 n  6  1
1
C

 2
�Z  n  3 �U  1   �1  n � ...
n3
n3

n3
c, Để
12
D
�Z  3n  1 �U  12    �1; �2; �4
3
3n  1
d, Để
, Vì 3n  1M
Bài 5: Tìm n �Z để các phân số sau là số nguyên:
3n  2
a, n  1
HD:

6n  4
b, 2n  3

3n  4
c, n  1

12
d, 3n  1

6n  3
d, 3n  1

3n  2 3n  3  5
5

 3

�Z  n  1 �U  5   �1; �5
n 1
n 1
n 1
a, Để
6n  4 6n  9  13
13
B

 3
�Z  2 n  3 �U  13   �1; m13
2n  3
2n  3
2n  3
b, Để
3n  4 3n  3  7
7
C

 3
�Z  n  1 �U  7    �1; �7
n 1
n 1
n 1
c, Để
6n  3 6n  2  5
5
D

2

�Z  3n  1 �U  5    �1; �5
3n  1
3n  1
3n  1
d, Để
63
A
3n  1 với n �N, tìm n để A là số tự nhiên
Bài 6: Cho phân số
�
Bài 7: Tìm n Z để các phân số sau là số nguyên:
n2  3
n  10
n3
2n  3
a, 2n  8
b, 2n  2
c, 7
d, n  2
HD :
a, Ta có : 2n – 8 =2(n-4) => n+10 M2 và n+10 Mn – 4 hay n là số chẵn và n  10Mn  4
A

b, Ta có : 2n – 2 =2(n – 1)=> n+3 M2 và n+3 Mn – 1 hay n là số lẻ và n  3Mn  1
c, Ta có : 2n+3 M7 => 2n+10 M7= >n+5 M7 => n= 7k – 5 (k �N )
2
d, Ta có : n  2n  2n  3Mn  2  n( n  2)  2n  4  7 Mn  2  n( n  2)  2(n  2)  7 Mn  2 =>7 Mn+2

8n  193
4n  3 sao cho:

Bài 8: Tìm n �N để
a, Có giá trị là số tự nhiên
b, Là phân số tối giản
c, Với n từ 150-170 thì A rút gọn được
HD :
187
A 2
4n  3 để A là số tự nhiên thì 4n+3 �U(187) =  �1; �11; �17; �187
a,
187
b, Để A tối giản thì 4n  3 tối giản hay 187 không chia hết cho 4n+3 hay 4n+3 # 11k và 4n+3 # 17
100 �11k  2 �170
�
�
100 �17h  5 �170
c, Để A rút gọn được thì n = 11k + 2 hoặc n = 17h – 5=> �
A


A

3a  5b  2
5a  8b  3 là phân số tối giản

Bài 9: CMR nếu (a – 1; b+1) thì
HD:
Gọi d=UCLN(3a+5b+2; 5a+8b+3) => 5(3a+5b+2) – 3(5a+8b+3) Md=> b+1 Md
Và 8(3a+5b+2) – 5(5a+8b+3) Md=> a – 1 Md => d �UC( a – 1; b+1)
Mà UCLN( a – 1; b+1) =1 => d =1; - 1
2

n4
A
B
n  1 và
n  1 là các số nguyên
Bài 10: Tìm n �Z sao cho cả
n9
A
n  6 (n �Z, n > 6), Tìm n để phân số có giá trị nguyên dương
Bài 11: Cho phân số
75
A
5n  2 (n �N*). Tìm n để
Bài 12: Cho phân số
a, Phân số A là số tự nhiên
b, A rút gọn được
2n  7
Bài 13: Tìm n �N để n  1 là số nguyên
1
2
3
2001
2002
;
;
;...;
;
n  2003 n  2004
Bài 14: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số sau tối giản: n  3 n  4 n  5
HD:

a
Các phân số đã cho có dạng: n  2  a với a=1; 2; 3; ...; 2001; 2002
a
Để n  2  a tối giản thì UCLN(n+2+a;a) =1, => UCLN(n+2; a)=1=> n+2 và a là nguyên tố cùng nhau
Với mỗi số 1,2,3,..., 2002 và n+2 nhỏ nhất thì n+2=2003( Vì 2003 là số nguyên tố)
19
n
Bài 15: Tìm n để tích hai phân số n  1 và 9 có giá trị ngyên

P

3x 2  2
3x 2  1 là số nguyên

Bài 16: Tìm x để giá trị của biểu thức:
2017  x
T
10  x , tìm các giá trị nguyên của x để: T có giá trị nguyên, T có giá trị lớn nhất
Bài 17: Cho
x2
M
x  1 , biết x là số hữu tỉ âm, và M là số nguyên, Tìm x
Bài 19: Cho


Dạng 3: TÌM N ĐỂ PHÂN SỐ CÓ GTLN HOẶC GTNN
Bài 1: Tìm n �Z để các phân số sau có GTNN:
6n  4
6n  1
x  13

2x  4
A
B
A
B
2n  3
3n  2
x3
x 1
a,
b,
c,
d,
HD:
13
13
A  3
2n  3 nhỏ nhất thì 2n  3 số dương lớn nhất
a, Do n �Z nên 2n+3 �Z , Để
khi 2n+3 là số nguyên dương nhỏ nhất=> 2n+3 =1=> n = -1
5
5
B  2
3n  2 nhỏ nhất thì 3n  2 là số dương lớn nhất
b, Do n �Z nên 3n+2 �Z , Để
hay 3n+2 là số nguyên dương bé nhất => 3n+2 =1 =>n = -1/3( loại) nên 3m+2 =2=> n=0
16
16
A  1
x  3 nhỏ nhất thì x  3 là số dương lớn nhất

c, Do x �Z nên x+3 �Z Để
hay x+3 là số nguyên dương nhỏ nhất hay x+3 =1=> x = - 2
2
2
B  2
x  1 nhỏ nhất thì x  1 là số âm nhỏ nhất
d, Do x �Z nên x+1 �Z để
hay x+1 là số nguyên âm lớn nhất hay x+1 = - 1 => x = - 2
Bài 2: Tìm n �Z để các phân số sau có GTNN:
10 x  25
3x  7
20a  13
3
E
A
B
D
2x  4
x 1
4a  3
2x  5
a,
b,
c,
d,
HD:
5
5
E  5
2 x  4 nhỏ nhất thì 2 x  4 là số âm nhỏ nhất

a, Do x �Z nên 2x+4 �Z Để
hay 2x+4 là số nguyên âm lớn nhất hay 2x+4 = - 1 => x= - 5/2 (loại) khi đó 2x+4 = - 2 => x= - 3
10
10
A  3
x  1 nhỏ nhất thì x  1 là số âm nhỏ nhất
b, Do x �Z nên x-1 �Z Để
hay x -1 là số nguyên âm lớn nhất hay x - 1 = - 1=> x=0
2
2
B  5
4a  3 nhỏ nhất thì 4a  3 là số dương lớn nhất
c, Do a �Z nên 4a+3 �Z Để
hay 4a+3 là số nguyên dương nhỏ nhất hay 4a+3 =1=> a =-1/2(loại)
hay 4a+3 =2 => a = -1/4(loại) hay 4a+3=3=> a=0
3
D
2 x  5 nhỏ nhất thì 2x – 5 là số nguyên dương bé nhất
d, Do x �Z nên 2x-5 �Z , Đề
hay 2x – 5 =1=> x =3
Bài 3: Tìm n �Z để các phân số sau có GTNN:
4n  1
2n  3
8 x
3
A
B
C
E
2n  3

n2
x 3
2n  5
a,
b,
c,
d,
HD:
5
5
2
2n  3 nhỏ nhất thì 2n  3 là số dương lớn nhất
a, Do n �Z nên 2n+3 �Z , Để A =
=> 2n+3 là số nguyên dương nhỏ nhất => 2n+3=1=> n= - 1
7
7
B  2
n  2 nhỏ nhất thì n  2 là số dương lớn nhất
b, Do n �Z nên n+2 �Z , Để
=> n+2 là số nguyên dương nhỏ nhất=> n+2 =1=> n= - 1
5
5
C  1 
x  5 nhỏ nhất thì x  5 là số âm nhỏ nhất
c, Do x �Z nên x-3 �Z , Để
=> x – 5 là số nguyên âm lớn nhất => x – 5 = - 1 => x= 4


3
3

2n  5 nhỏ nhất thì 2n  5 là số dương lớn nhất
d, Do n �Z nên 2n-5 �Z , Để
=> 2n-5 là số nguyên dương nhỏ nhất => 2n-5 =1=>n=3
x
A
5x  2
Bài 4: Tìm n �Z để các phân số sau có GTNN:
HD :
1 � 5x � 1 �
2 �
2
A �
1
� �
�
5 �5 x  2 � 5 � 5 x  2 �nhỏ nhất thì 5 x  2 là số âm nhỏ nhất
Do x �Z nên 5x-2 �Z , Để
1
 x 
5 (loại) khi đó 5x - 2= - 2 => x = 0
=> 5x - 2 là số nguyên âm lớn nhất => 5x - 2= -1
�
Bài 5: Tìm n Z để các phân số sau có GTLN
14  n
n 1
7 x
1
C
D
E

C
n2
4n
x5
4 x
a,
b,
c,
d,
HD:
3
3
C  1
n  2 lớn nhất thì n  2 là số dương lớn nhất
a, Do n �Z nên n-2 �Z , Để
khi đó n – 2 là số nguyên dương nhỏ nhất => n - 2 = 1=> n = 3
10
10
D  1
4  n lớn nhất thì 4  n là số dương lớn nhất
b, Do n �Z nên 4 – n �Z , Để
hay 4 – n là số nguyên dương nhỏ nhất => 4 – n = 1 => n = 3
2
2
E  1 
x  5 lớn nhất thì x  5 là số dương lớn nhất
c, Do x �Z nên x-5�Z , Để
hay x – 5 là số nguyên dương nhỏ nhất => x – 5 = 1=> x = 6
1
1

C
4  x lớn nhất thì 4  x là số dương lớn nhất
d, Do x �Z nên 4+x �Z , Để
hay 4+x là số nguyên dương nhỏ nhất => 4 + x = 1 => x = 3
Bài 6: Tìm n �Z để các phân số sau có GTLN
5 x  19
3
3n  1
D
D
C
x9
2x  5
2 n  3
a,
b,
c,
HD:
26
26
D  5
x  9 lớn nhất thì x  9 là số dương lớn nhất
a, Do x �Z nên x-9 �Z , Để
hay x – 9 là số nguyên dương nhỏ nhất => x – 9 =1=> x = 10
3
3
D
2 x  5 lớn nhất thì 2 x  5 là số ấm nhỏ nhất
b, Do x �Z nên 2x-5 �Z ,Để
hay 2x -5 là số nguyên âm lớn nhất => 2 x – 5= - 1=> x = 2

1 �6n  2 � 1 �
7 �
C �
� �3 
�
2 �2n  3 � 2 � 2n  3 �lớn nhất
c, Do n �Z nên -2n + 3 �Z , Để
7
hay 2n  3 là số dương lớn nhất, hay -2n + 3 là số nguyên dương bé nhất => -2n+3 =1 => n =1
Bài 7: Tìm n �Z để các phân số sau có GTNN:
7n  8
2n  3
1
8 x
A
B
D
A
x 3
2n  3
n2
n3
a,
b,
c,
d,
Bài 8: Tìm n �Z để các phân số sau có GTNN:
x3
14  x
1

B
C
D
x2
4 x
x5
a,
b,
c,
�
Bài 9: Tìm n Z để các phân số sau có GTLN
E


a,

C

1
x5

b,

E

n 1
n 5

c,

D

6n  3
3n  1

d,

E

2n  3
n2


Bài 10: Tìm n �Z để các phân số sau có GTLN
4n  1
2n  3
n 1
A
B
C
n 5
2n  3
n2
a,
b,
c,
�
Bài 11: Tìm n Z để các phân số sau có GTLN
7n  8
2n  3

3n  1
F
G
I
2n  3
n2
2n  3
a,
b,
c,
10n  3
B
4n  10 Đạt giá trị lớn nhất, Tìm GTLN đó
Bài 12: Tìm số tự nhiên n để
HD :
5  2n  5   22 5
11
B
 
2  2n  5 
2 2n  5
1  6n
A
3 x  2 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 13: Tìm số nguyên n sao cho
Bài 14: Tìm các giá trị nguyên của x để:
2
8 x
A
B

6  x có giá trị lớn nhất
x  3 có GTNN
a,
b,
Bài 15: Tìm GTNN của phân số :

A

d,

d,

E

6n  3
3n  1

K

6n  3
3n  1

ab
ab

5 x  19
2
2
x  4 , C  x  y nếu x+y=1
Bài 16: Tìm GTNN của mỗi biểu thức:

7
8
Bài 17: Tìm các số tự nhiên a, b nhỏ nhất sao cho a  b (1)
HD:
A

7

�a �
b� �
7
8
�b � vì b �N nên a Mb => a=b.k (k �N)
Từ a  b =>
a
 1  k �2
7 7
8
7
Và vì a > b => b
, thay a = b.k vào (1) ta được b .k  b  k  b
7
7
7
7
7
8
Mà k �2 => k �2  b �2 mà b nhỏ nhất nên b  2 , khi đó k = 2 => a  2 .2  2
n
M

x y
Bài 18: Cho số tự nhiên n có hai chữ số, chữ số hàng chục là x, hàng đơn vị là y, Gọi

a, Tìm n để M=2
HD:

b, Tìm n để M nhỏ nhất

10 x  y
 2  y  8 x
a, Ta có: x  y
, Mà x,y là các chữ số nên x=1 và y=8
x  y  9x
9x
9
M
 1
1
y
y
x y
x y
1
1
x để M nhỏ nhất thì
x lớn nhất hay y lớn nhất và x nhỏ nhât
b,


Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN PHÂN SỐ

30

43 a 

1
1
b

Bài 1: Tìm a, b, c, d �N* , biết :

1
c

1
d

17
11
Bài 2: Cộng cả tử và mẫu của phân số 21 với cùng 1 số nguyên rồi rút gọn ta được phân số 13 .
Hãy tìm số nguyên đó ?
3
1
Bài 3: Khi cộng cả tử và mẫu của phân số 7 với cùng 1 số nguyên x thì được 1 phân số có giá trị bằng 3 . Tìm
số nguyên x?
Bài 4: Tìm 1 phân số tối giản, Biết rằng khi cộng cả tử và mẫu của phân số ấy với mẫu của số đó thì được 1 số
mới lớn giấp hai lần phân số ban đầu ?
HD:
a
Gọi phân số tối giản lúc đầu là b , nếu chỉ cộng mẫu số vào mẫu số ta được phân số :
a

a
a

b  b 2b phân số này nhỏ hơn phân số b là 2 lần,
ab
Để 2b gấp hai lần phân số ban đầu thì a+b giấp 4 lần a
1
=> Mẫu số b phải giấp 3 lần tử số a, phân số tối giản thỏa mãn điều kiện trên là 3
a
a
9
21
Bài 5: Tìm phân số tối giản b nhỏ nhât khác 0 sao cho khi chia b cho mỗi phân số 14 và 35 ta được kết quả
là 1 số tự nhiên
Bài 6: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số sau tối giản:

HD :

1
2
3
2001
2002
;
;
;...;
;
n3 n4 n5
n  2003 n  2004
a

a
, a  1, 2,3,..., 2002
Các phân số trên có dạng n  2  a
, để n  2  a tối giản thì :
UCLN (a; n  a  2)  1  UCLN (n  2; a )  1  n+2 và a là hai số nguyên tố cùng nhau

Với mỗi số : 1,2,3,...,2002 và n+2 nhỏ nhất =>n+2=2003 là số nguyên tố=> n=2001
1 1 1
1
51
   ... 

a , a , a ,..., a50
a50 2 , Chứng minh rằng trong 50 số đó
Bài 7: Cho 50 số tự nhiên: 1 2 3
, t/ m : a1 a2 a3
có ít nhất hai số bằng nhau