Chuyen de boi duong HSG- Phan he thuc VIET

Trờng THCS Vĩnh Tờng Vĩnh Tờng Vĩnh Phúc
-------------------------------------------------------------------
Chuyên đề: Phơng trình bậc hai và áp dụng
Chứng minh phơng trình bậc hai có nghiệm hoặc vô nghiệm với hệ
số bị ràng buộc.
Bài toán 1: Chứng minh rằng phơng trình
0
2
=++
cbxax
(
0

a
) có hai nghiệm nếu một
trong hai điều kiện sau đợc thoả mãn:
i)
( )
042
<++
cbaa
ii)
0235
=++
cba
Bài toán 2: Cho a, b, c là các số không âm thoả mãn điều kiện a+2b+3c=1. Chứng minh
rằng ít nhất một trong hai phơng trình sau có nghiệm

011924)12(44
22
=++++

abcaxax
(1)

01964)12(44
22
=++++
abcbxbx
(2)
Bài toán 3: a) Cho a, b, c thoả mãn điều kiện b>a+c và a>0. Chứng minh rằng phơng trình
0
2
=++
cbxax
có hai nghiệm phân biệt
b) Chứng minh rằng phơng trình
0
2
=++
cbxax

( )
0

a
có nghiệm nếu
4
2


a

cb
c) Cho
cbxaxxf
++=
2
)(
(
0

a
). Chứng minh rằng nếu tồn tại
Rm

để
0)(.

mfa
thì ph-
ơng trình f(x)=0 có nghiệm.
Bài toán 4: Chứng minh rằng nếu
2
>+
ba
thì phơng trình
012
2
=++
abxax
có nghiệm.
Bài toán 5: Chứng minh rằng với mọi a, b, c thoả mãn điều kiện

0
++
cba
thì phơng trình
sau luôn có nghiệm
0))(())(())((
=++
bxaxcaxcxbcxbxa
Bài toán 6: Cho a, b, c là ba số thoả mãn điều kiện 14a+6b+3c=0. Chứng minh rằng phơng
trình
0
2
=++
cbxax
có nghiệm.
Bài toán 7: Giả sử
abcp
=
là số nguyên tố. Chứng minh rằng phơng trình
0
2
=++
cbxax

không có nghiệm hữu tỉ
Bài toán 8: Chứng minh rằng:
a) Nếu phơng trình
0
2
=++

baxx
(
Zba

,
) có các nghiệm hữu tỉ thì các nghiệm đó là những
số nguyên.
b) Nếu a, b, c là những số nguyên lẻ thì phơng trình
0
2
=++
cbxax
không có nghiệm hữu tỉ.
Bài toán 9: Cho a, b, c thoả mãn -1<a,b,c<1 và a+b+c=0. Chứng minh rằng phơng trình
sau vô nghiệm
0)1(2)(2
2
=+++
cabcabxcbax
Bài toán 10: Cho a, b, c là ba số dơng khác nhau có tổng bằng12, Chứng minh rằng trong
ba phơng trình sau có một phơng trình có nghiệm, một phơng trình vô nghiệm.
0
2
=++
baxx
(1)

0
2
=++

cbxx
(2) và
0
2
=++
acxx
(3)
Bài toán 11: Cho a, b, c là ba số khác 0 còn p, q là hai số tuỳ ý.Chứng minh rằng phơng
trình sau luôn có nghiệm
c
qx
b
px
a
=

+

22
Chuyên đề: Phơng trình bậc hai một ẩn và áp dụng
xác định giá trị của tham số để hai phơng trình bậc hai
có một nghiệm chung.
----------------------------------------------------------------------
Chuyên đề bồi dỡng HS lớp 9/ Năm học 2008 2009. Cao Quốc Cờng
1
Trờng THCS Vĩnh Tờng Vĩnh Tờng Vĩnh Phúc
-------------------------------------------------------------------
Bài toán 1: Tìm m để hai phơng trình sau có nghiệm chung
012)23(2
2

=++
xmx
(1)
036)29(4
2
=+
xmx
(2)
Bài toán 2: Với giá trị nào của m thì hai phơng trình sau có nghiệm chung, tìm nghiệm
chung đó.

019)17(6
09)13(2
2
2
=+
=++
xmx
xmx
Bài toán 3: Xét các phơng trình
0
2
=++
cbxax
(1)

0
2
=++
abxcx

(2)
Tìm hệ thức giữa a, b, c là điều kiện cần và đủ để hai phơng trình trên có một nghiệm chung
duy nhất.
Bài toán 4: Với những giá trị nào của m thì hai phơng trình sau có nghiệm chung
012
2
=+
mxx
(1)
02
2
=+ xmx
(2)
Bài toán 5: Hãy xác định m để hai phơng trình sau có nghiệm chung
012
2
=++
mmxx
(1)
01)12(
2
=+
xmmx
(2)
Bài toán 6: Cho hai phơng trình
042
2
=+
mmxx
(1)

010
2
=+
mmxx
(2)
Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình (2) có một nghiệm bằng hai lần một nghiệm
của phơng trình (1).
Bài toán 7: Tìm hệ thức giữa a và b để cho hai phơng trình sau nếu có nghiệm thì chúng có
một nghiệm chung và chỉ một mà thôi.
0)2(2)1(2
2
=++
aaxax
(1)

0)2(2)1(2
2
=++
bbxbx
(2)
Bài toán 8: Cho hai phơng trình
0
2
=++
axx
(1) và
01
2
=++ axx

(2)
a) Tìm các giá trị của a để hai phơng trình trên có ít nhất một nghiệm chung
b) Với những giá trị nào của a thì hai phơng trình trên tơng đơng.
Bài toán 9: Tìm a để hai phơng trình sau có nghiệm chung.
01
2
=++
xax
(1)
01
2
=++ axx
(2)
Bài toán 10: Chứng minh rằng nếu hai phơng trình
0
2
=++
baxx
(1)
0
2
=++
dcxx
(2)
Có nghiệm chung thì
0))(()(
2
=++
bcadcadb
Chuyên đề: Hệ thức vi-ét Các dạng toán áp dụng.

Bài toán 1: Cho phơng trình
2
( 1) 2( 1) 2 0m x m x m+ + =
a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 2, tìm nghiệm kia.
----------------------------------------------------------------------
Chuyên đề bồi dỡng HS lớp 9/ Năm học 2008 2009. Cao Quốc Cờng
2
Trờng THCS Vĩnh Tờng Vĩnh Tờng Vĩnh Phúc
-------------------------------------------------------------------
c) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm
1 2
;x x
thoả mãn
1 2
1 1 7
4x x
+ =
Bài toán 2: Cho phơng trình
2
2( 1) 3 0x m x m + =
a) CMR: với mọi giá trị của m phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Gọi
1 2
;x x
là hai nghiệm của phơng trình đã cho.Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm độc lập
với m.
Bài toán 3: Cho phơng trình
2
2 6 0x x m + =

a) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm dơng.
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm
1 2
;x x
thoả mãn
1 2
2 1
3
x x
x x
+ =
Bài toán 4: Cho phơng trình
2
( 1) 2(1 ) 2 0.m x m x m+ + + =
a) Xác định m để phơng trình có nghiệm.
b) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 2, tìm nghiệm kia.
c) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm
1 2
;x x
thoả mãn
1 2 1 2
3( ) 5x x x x+ =
Bài toán 5: Cho phơng trình
2
2( 1) 2 10 0x m x m + + + =
(m là tham số).
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm.
b) Cho biểu thức
2 2
1 2 1 2

6P x x x x= + +
trong đó
1 2
;x x
là nghiệm của phơng trình đã cho.Tìm m để
P đạt GTNN, tìm giá trị nhỏ nhất ấy.
Bài toán 6: Cho phơng trình bậc hai ẩn x
2
( 1) 2( 1) 3 0m x m x m+ + =
a) CMR: phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Gọi
1 2
;x x
là hai nghiệm của phơng trình. Tìm m để
1 2
. 0x x >
và
1 2
2x x=
Bài toán 7: Cho phơng trình
2
2 1 0x x =
. Không tính nghiệm của phơng trình hãy tính giá trị
các biểu thức a)
7 7
1 2
x x+
b)
1 2
x x

Bài toán 8: Cho phơng trình
2
( 4) 2( 2) 1 0m x m x m + =
. Xác định m để phơng trình
a) Có hai nghiệm cùng dấu.
b) Có hai nghịêm trái dấu và nghiệm âm có GTTĐ lớn hơn.
c) Có một nghiệm dơng.
Bài toán 9: Cho phơng trình
2
2(1 2 ) 3 4 0x m x m + + + =
a. Xác định m để phơng trình có nghiệm
1 2
;x x
b. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm độc lập với m.
c. Tính theo m biểu thức
3 3
1 2
A x x= +
d) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng ba lần nghiệm kia.
Bài toán 10: Cho phơng trình
2
2 2 0x x =
. Không tính nghiệm của phơng trình hãy tính giá trị
các biểu thức

2 2
1 2
2 1
1 1
x x

A
x x
= +
+ +

Bài toán 11: Cho phơng trình ẩn x (m là tham số):
2
1 0x mx m + =
1. CMR phơng trình có nghiệm
1 2
;x x m
. Tính nghiệm kép (nếu có) của phơng trình và giá
trị tơng ứng của m
----------------------------------------------------------------------
Chuyên đề bồi dỡng HS lớp 9/ Năm học 2008 2009. Cao Quốc Cờng
3
Trờng THCS Vĩnh Tờng Vĩnh Tờng Vĩnh Phúc
-------------------------------------------------------------------
2. Đặt
2 2
1 2 1 2
6A x x x x= +
a) CMR: A=m
2
+8m+8 b) Tìm m sao cho A=8.
c) Tìm GTNN của A và giá trị tơng ứng của m.
Bài toán 12: Cho phơng trình ẩn x (m là tham số):
2
2 2 1 0x mx m + =
1. CMR phơng trình có nghiệm

1 2
;x x m
.
2. Đặt
2 2
1 2 1 2
2( ) 5A x x x x= +
a) CMR: A=8m
2
-18m+9 b) Tìm m sao cho A=27.
c) Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm này bằng hai nghiệm kia.
Bài toán 13: Cho phơng trình:
2
2( 1) 2 4 0x m x m + =
a) CMR: phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Gọi
1 2
;x x
là hai nghiệm của phơng trình. Tìm GTNN của
2 2
1 2
M x x= +
Bài toán 14: Cho phơng trình ẩn x:
2
2( 2) 0mx m x m + + =
a) Xác định m để phơng trình có nghiệm.
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm đều âm.
Bài toán 15: Cho phơng trình ẩn x:
2
5 28 0x mx+ =

. Xác định mđể phơng trình có hai
nghiệm
1 2
;x x
thoả mãn
1 2
5 2 1x x+ =
Bài toán 16: Cho phơng trình:
2 2
2( 1) 6 0x m x m m + + + =
a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm đều âm.
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm
1 2
;x x
thoả mãn
3 3
1 2
50x x =
Bài toán 17: Cho phơng trình ẩn x:
2 2
(2 1) 4 5 0x m x m m + + + =
có ẩn là x.
a) Xác định m để phơng trình có nghiệm.
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều dơng.
Bài toán 18: Cho phơng trình
2
( 2)( ) ( 2)(2 ) 0x x x x x m = (1)
a) Giải phơng trình (1) khi m=1
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt
Bài toán 19: Cho phơng trình:

2
2( 1) 2 0x m x m + + =
a) CMR: phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Gọi
1 2
;x x
là hai nghiệm của phơng trình. CMR: giá trị của biểu thức B=
1 2 1 2
.x x x x+

không phụ thuộc vào tham số m.
Bài toán 20: Cho phơng trình:
2
2( 1) 3 0x m x m + =
a) CMR: phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Gọi
1 2
;x x
là hai nghiệm của phơng trình.Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ
thuộc vào m.
Bài toán 21: Cho phơng trình
Bài toán 21: Cho phơng trình
2
( 1) 2(1 ) 2 0m x m x m+ + + =
a) Xác định m để phơng trình có nghiệm
b) Xác định m để phơnmg trình có nghiệm bằng 2, tính nghiệm kia.
c) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm
1 2
;x x
thoả mãn điều kiện

1 2 1 2
3( ) 5x x x x+ =
Bài toán 22: Cho phơng trình bậc hai
2
2( 1) 2 10 0x m x m + + + =
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm.
----------------------------------------------------------------------
Chuyên đề bồi dỡng HS lớp 9/ Năm học 2008 2009. Cao Quốc Cờng
4
Trờng THCS Vĩnh Tờng Vĩnh Tờng Vĩnh Phúc
-------------------------------------------------------------------
b) Cho biểu thức P=
2
2
1 2 1 2
6x x x x+ +
trong đó x
1
; x
2
là nghiệm của phơng trình đã cho
Tìm m sao cho P đạt giá trị nhỏ nhất.Tính giá trị nhỏ nhất ấy
Bài toán 23: Cho phơng trình bậc hai ẩn x
2
( 1) 2( 1) 3 0m x m x m+ + =
a) CMR phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Gọi
1 2
;x x
là hai nghiệm của phơng trình. Tìm m để

1 2
0x x >
và
1 2
2x x=
Bài toán 24: Cho
1 2
;x x
là hai nghiệm của phơng trình
2
2
1
0x mx
m
=
Tìm GTNN của biểu trhức
4 4
1 2
x x+
Bài toán 25: Cho phơng trình ẩn x:
2
2( 2) 1 0x m x m + + + =
a) Giải phơng trình khi m=
3
2

b) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
c)Gọi
1 2
;x x

là hai nghiệm của phơng trình. Tìm giá trị của m để
2
1 2 2 1
(1 2 ) (1 2 )x x x x m + =
Bài toán 26: 1) Cho phơng trình
2
1 0.x ax a + + =
a) Giải phơng trình khi a=-1.
b) Xác định a biết rằng phơng trình đã cho có một nghiệm là
1
3
2
x =
. Với giá trị tìm đợc
của a hãy tính nghiệm thứ hai của phơng trình.
2) CMR:
2a b+
thì ít nhất một trong hai phơng trình sau có nghiệm
2
2 0x ax b+ + =
và
2
2 0x bx a+ + =
Bài toán 27:Cho phơng trình bậc hai
2
2( 2) 2 5 0x k x k =
a) CMR phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi k.
b) Gọi
1 2
;x x

là hai nghiệm của phơng trình.Tìm giá trị của k sao cho
2 2
1 2
18x x+ =
Bài toán 28: Cho phơng trình bậc hai ẩn x, tham số m, n:
2
3 0x mx n+ + =
1) Cho n=0.
a) CMR phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m
b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm bằng 1.
2) Tìm m và n để hai nghiệm
1 2
;x x
của phơng trình thoả mãn
2 2
1 2 1 2
1; 7x x x x = =
Bài toán 29: Cho phơng trình bậc hai ẩn x, tham số m:
2
2 2 1 0x mx m + =
a) Giải phơng trình khi m=1 b) Xác định m để phơng trình có nghiệm kép
c)Với m=? phơng trình có hai nghiệm cùng dấu. Khi đó hai nghiệm mang dấu gì ?
Chuyên đề: Hệ thức vi-ét Các dạng toán áp dụng.(Tiếp)
Bài toán 30: Cho phơng trình
2
(2 5) 0x m x n+ =
(x là ẩn)
a) Giải phơng trình khi m=1; n=4.
b) Tìm m và n để phơng trình có hai nghiệm là 2 và -3.
c) Cho m=5. Tìm số nguyên n nhỏ nhất để phơng trình có nghiệm dơng.

Bài toán 31: Cho phơng trình
2
2( 1) 2 10 0x m x m + + + =
có hai nghiệm
1 2
;x x
.Tìm giá trị của
m để
2 2
1 2 1 2
10x x x x+ +
đạt giá trị nhỏ nhất.
----------------------------------------------------------------------
Chuyên đề bồi dỡng HS lớp 9/ Năm học 2008 2009. Cao Quốc Cờng
5