D05 phương trình vô tỷ (nhiều căn nâng luỹ thừa) muc do 4

Câu 49. [0D3-4.5-4] (Sở GD&ĐT Hà Nội - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho phương trình

x  512  1024  x  16  4 8  x  512 1024  x  có bao nhiêu nghiệm?
A. 4 nghiệm.

B. 3 nghiệm.

C. 8 nghiệm.
Lời giải.

D. 2 nghiệm.

Chọn B

x  512  1024  x  16  4 8  x  512 1024  x  1 .

Phương trình

Điều kiện: x  512;1024 .
Bình phương hai vế của phương trình 1 ta có:

 x  5121024  x   256  128 8  x  5121024  x   16 4  x  5121024  x   2  .

512  2

Đặt t  8  x  512 1024  x  điều kiện 0  t  4 .

 2  t 4  8t 2  64t  128  0   t  4 t 3  4t 2  8t  32  0 .
t  4
 3
.

2
t  4t  8t  32  0
Với t  4  8  x  512 1024  x   4 .
Áp dụng BĐT - Cauchy:
Suy ra

8

 x  5121024  x  

x  512  1024  x
 256 .
2

 x  5121024  x   4 , dấu "  " xẩy ra khi và chỉ khi

x  768  phương trình có 1

nghiệm.
Với t 3  4t 2  8t  32  0 .
Xét hàm số f  t   t 3  4t 2  8t  32 với 0  t  4 .
Ta có f   t   3t 2  8t  8  0 t   0; 4 .
Mà f  0  . f  4   32.128  0 .
Suy ra t 3  4t 2  8t  32  0 có một nghiệm duy nhất trong khoảng  0; 4  .

 x  5121024  x   m có hai nghiệm khi
Vậy phương trình 1 có 3 nghiệm.
Phương trình

8

m   0; 4  .