D02 bài tập áp dụng bất đẳng thức cauchy muc do 2

Câu 29. [0D4-1.2-2] Với hai số x, y dương thoả xy  36 . Bất đẳng thức nào sau đây đúng?
A. x  y  2 xy  12.

B. x2  y 2  2 xy  72.

 x y
C. 
  xy  36.
 2 

D. Tất cả đều đúng.

2

Lời giải
Chọn D
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số dương x,y ta thấy cả 3 phương án trên đều đúng.
Câu 31. [0D4-1.2-2] Cho a, b, c  0 Xét các bất đẳng thức sau
a b
a b c
1 1
II)    3
III)  a  b      4
 2
b a
b c a
a b
Chọn khẳng định đúng.
A. Chỉ I) đúng.
B. Chỉ II) đúng.
C. Chỉ III) đúng.

Lời giải
Chọn D
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho các số dương a, b, c

I)

D. Cả I), II), III) đúng.

a b
a b
  2 .  2 , đẳng thức xảy ra khi a  b .
b a
b a

a b c
a b c
   3 3 . .  3 , đẳng thức xảy ra khi a  b  c .
b c a
b c a
1 1
1
 4 đẳng thức xảy ra khi a  b .
 a  b      2 ab .2
ab
a b
Câu 32. [0D4-1.2-2] Cho x, y, z  0 . Xét các bất đẳng thức sau
I) x3  y3  z 3  3xyz

II)

1 1 1
9
  
x y z x yz

III)

x y z
  3
y z x

Chọn khẳng định đúng.
A. Chỉ I) đúng .
B. Chỉ I) và III) đúng . C. Cả I), II), III) đúng. D. Chỉ III) đúng.
Lời giải
Chọn B
Dễ thấy I) và III) đúng.
1 1 1
1
1 1 1
9
Lại có  x  y  z       3 3 xyz .3 3
. Vậy II) sai.
9   
xyz
x y z x yz
x y z
Câu 33. [0D4-1.2-2] Cho a, b, c  0 . Xét các bất đẳng thức sau
a b
a b c

1 1 1
9
II)    3
III)   
 2
b a
b c a
a b c abc
Bất đẳng thức nào đúng?
A. Chỉ I) đúng.
B. Chỉ II) đúng.
C. Chỉ III) đúng.
D. Cả I), II), III) đúng.
Lời giải
Chọn D
Dễ thấy I) và III) đúng.
1
1 1 1
9
1 1 1
9    
Lại có  a  b  c       3. 3 abc .3. 3
.Vậy III) cũng đúng.
abc
a b c abc
a b c

I)

Câu 36. [0D4-1.2-2] Cho a, b, c  0 . Xét các bất đẳng thức

1 1 1
II)  a  b  c       9
a b c

I) a  b  c  3 3 abc

III)  a  b  b  c  c  a   9 .

Bất đẳng thức nào đúng
A. Chỉ I) và II) đúng. B. Chỉ I) và III) đúng. C. Chỉ I) đúng.
Lời giải
Chọn A
Dễ thấy bđt I) và II) đúng còn bđt III) sai.

D. Cả I), II), III) đúng.

Câu 32. [0D4-1.2-2] Cho a, b, c  0 và a  b  c 1 . Dùng bất đẳng thức Côsi ta chứng minh được
 1  1  1 
1  1  1    64 . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi nào:
 a  b  c 
1
A. a  b  c.
B. a  b  c  1.
C. a  b  c  .
3
Lời giải
Chọn C
Cách 1: Thử chọn dễ thấy C là đáp án thỏa mãn.

Cách 2: Giải chi tiết:
1 1 1 1 1 1
1
  
Xét VT  1    
a b c ab bc ca abc
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương trên ta có
1 1 1
  
a b c

3

1
1
1
3
;
 

abc ab bc ca

 abc 

1, b

c

1
 abc 

và abc  
 
3

 27
3

3
3

D. a

2

Suy ra VT  1  9  27  27  64

1
.
3
Câu 7. [0D4-1.2-2] Trong các hình chữ nhật có cùng chi vi thì
A. Hình vuông có diện tích nhỏ nhất.
B. Hình vuông có diện tích lớn nhất.
C. Không xác định được hình có diện tích lớn nhất.
D. Cả A, B, C đều sai.
Lời giải
Chọn B
Ý nghĩa hình học của bất đẳng thức Cô si.
2
Câu 16. [0D4-1.2-2] Bất đẳng thức  m  n   4mn tương đương với bất đẳng thức nào sau đây?
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a  b  c 

A. n  m  1  m  n  1  0 .

B. m2  n2  2mn .

C.  m  n   m  n  0 .

D.  m  n   2mn .

2

2

2

2

Lời giải
Chọn B
2
 m  n   4mn  m2  2mn  n2  4mn  m2  n2  2mn .
Câu 18. [0D4-1.2-2] Với hai số x , y dương thoả thức xy  36 , bất đẳng nào sau đây đúng?
A. x  y  2 xy  12 .

B. x  y  2 xy  72 .

C. 4xy  x2  y 2 .

 x y
D. 

  xy  36 .
 2 
2

0.


Lời giải
Chọn A
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm x , y . Ta có: x  y  2 xy  2 36  12 .
Câu 19. [0D4-1.2-2] Cho hai số x , y dương thoả x  y  12 , bất đẳng thức nào sau đây đúng?
 x y
B. xy  
  36 .
 2 
D. xy  6 .
2

A. xy  6 .
C. 2xy  x2  y 2 .
Lời giải
Chọn A

x y
6.
2
Câu 20. [0D4-1.2-2] Cho x , y là hai số thực bất kỳ thỏavà xy  2 . Giá trị nhỏ nhất của A  x 2  y 2 .

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm x , y . Ta có:

A. 2 .

B. 1 .

xy 

D. 4 .

C. 0 .
Lời giải

Chọn D
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm x 2 và y 2 . Ta có:

A  x2  y 2  2 x2 y 2  2

 xy 

2

 4 . Đẳng thức xảy ra x  y  2 .

Câu 24. [0D4-1.2-2] Cho a, b  0 . Chứng minh

a b
  2 . Một học sinh làm như sau:
b a

a 2  b2
a b

 2 1
 2 
ab
b a
II) 1  a2  b2  2ab  a2  b2  2ab  0  (a  b)2  0 .
I)

III) và  a  b   0 đúng a, b  0 nên
2

a b
 2.
b a

Cách làm trên :
A. Sai từ I).
C. Sai ở III).

B. Sai từ II).
D. Cả I), II), III) đều đúng.
Lời giải

Chọn D
Câu 26. [0D4-1.2-2]

Cho

1 1 1
9
  

a b c abc
đúng?
A. chỉ I đúng.
C. chỉ III đúng.

các

 III  (với

bất

đẳng

thức:

a b
  2 I  ,
b a

a b c
   3  II  ,
b c a

a, b, c  0 ). Bất đẳng thức nào trong các bất đẳng thức trên là

B. chỉ II đúng.
D. I , II , III đều đúng.
Lời giải

Chọn D

a b
a b
a b c
a b c
Ta có:   2 .  2   I  đúng;    3 3 . .  3   II  đúng;
b a
b a
b c a
b c a


1 1 1
1
1 1 1
9
    33
 1 1 1
  III  đúng.
abc   a  b  c       9    
a b c
a
b
c
a
b
c
a

b


c


a  b  c  3 3 abc

Câu 34. [0D4-1.2-2] Cho x, y  0 . Tìm bất đẳng thức sai?

1 1
4
B.  
.
x y x y

A.  x  y   4 xy .
2

C.

D.  x  y   2  x 2  y 2  .

1
4
.

xy  x  y 2

2

Lời giải
Chọn B

1 1
1 1
4
đẳng thức xảy ra  x  y .
 x  y    4   
x y x y
x y
Câu 35. [0D4-1.2-2] Cho x 2  y 2  1, gọi S  x  y . Khi đó ta có
C.  2  S  2 .

B. S  2 .

A. S  2 .

D. 1  S  1 .

Lời giải
Chọn C
Ta có: 1  x2  y 2  2 xy  2 xy  1.
Mặt khác: S 2   x  y   x 2  2 xy  y 2  2   2  S  2 .
2

Câu 8.

[0D4-1.2-2] Cho a, b, c dương. Bất đẳng thức nào đúng?
 a  b  c 
A. 1  1  1    8 .
 b  c  a 
 b  c  a 
C. 1  1  1    3 .

 c  a  b 

 a  b  c 
B. 1  1  1    3 .
 c  a  b 

D.  a  b  b  c  c  a   6abc .
Lời giải

Chọn A
Với a, b, c dương thì 1 

a
c
a
b
c
b
 2 ,1   2
và 1   2
, nhân vế theo vế ta chọn A
b
a
b
c
a
c