D07 hai đường chéo nhau (mượn mặt phẳng) muc do 2

Câu 3:

[1H3-5.7-2] (THPT Nguyễn Trãi – Đà Nẵng – 2018) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là
hình vuông cạnh a , SA  a và SA vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
AB và SC .
a 2
a 2
a 2
A. a 2 .
B.
.
C.
.
D.
.
2
3
4
Lời giải
Chọn B

Ta có AB // CD nên d  AB, SC   d  AB,  SCD    d  A,  SCD   .
Trong tam giác SAD , kẻ AH  SD tại H .
Dễ thấy  SAD    SCD  theo giao tuyến SD . Do đó: AH   SCD   d  A,  SCD    AH
Ta có AH 

a.a
SA. AD
a 2
.



SD
2
a 2

Câu 39: [1H3-5.7-2] (Toán Học Tuổi Trẻ - Số 5 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S. ABCD có ABCD
là hình vuông tâm O cạnh a . Tính khoảng cách giữa SC và AB biết rằng SO  a và vuông
góc với mặt đáy của hình chóp.
A. a .

B.

a 5
.
5

C.
Lời giải

Chọn D

2a
.
5

D.

2a
.
5

S

H
B
C

O

M

A
D

Từ giả thiết suy ra hình chóp S. ABCD là hình chóp tứ giác đều.

Ta có AB //CD  AB //  SCD  nên d  SC; AB   d  AB;mp  SCD    d  A;mp  SCD   .
Mặt khác O là trung điểm AC nên d  A; mp  SCD    2d  O;mp  SCD   .
Như vậy d  SC; AB   2d  O;mp  SCD   .
Gọi M là trung điểm CD , ta có OM  CD và OM 

OH  mp  SCD  .
Xét tam giác SOM vuông tại O , ta có

Từ đó OH 

1
1
5

1
1
1
 2
 2.


2
2
2
2
a a
a
OH
SO OM
 
2

a
.
5

Vậy d  SC; AB   2d  O;mp  SCD    2.OH 

Câu 13:

a
. Kẻ OH  SM , với H  SM , thì
2

2a
.
5

[1H3-5.7-2] (Sở GD&ĐT Bà Rịa - Vũng Tàu - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình lập phương
ABCD. ABCD có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và CB bằng

A.

a 6
.
3

B.

2a 3
.
3

C.
Lời giải

Chọn D

a 2
.
2

D.

a 3
.
3


C'

B'

D'

A'
H

I

C

B
O
D

A

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD . Trong mặt phẳng  ABCD  dựng hình vuông BOCI khi
đó ta có CI   BBI    BCI    BBI  .
Trong mặt phẳng  BBI  kẻ BH  BI khi đó ta có d  BD, CB   BH .
Xét tam giác vuông BBI ta có
Vậy d  BD, CB  

1
1
1
3
2
1
a 3
.

 2  2  2  2  BH 
2
2
3
BH
a a
BB BI
a

a 3
.
3

Câu 32: [1H3-5.7-2](THPT CHUYÊN KHTN - LẦN 1 - 2018) Cho hình lăng trụ tam giác đều
ABC. ABC có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của
BC và AC  . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BN bằng

A. 2a .

C. a .

B. a 3 .

D. a 2 .

Lời giải
Chọn A
A

B
M
C

A'

B'
N
C'

Do mặt phẳng  ABC  //  ABC  mà AM   ABC  , BN   ABC 
Nên d  AM , BN   d   ABC  ,  ABC    2a .
Câu 10: [1H3-5.7-2](THPT Hồng Bàng - Hải Phòng - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho lăng trụ tam giác đều
ABC. ABC có cạnh đáy AB  a , cạnh bên AA 

a 2
.
2


Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC  và CA bằng
A.

a 6
.
6

B.

a 6
.
24

C.

a 6
.
12

D.

a 6
.
3

Lời giải
Chọn A

Gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào trung điểm O của BC , ta được

1
3

2 
2 
 1
1


a;
a  ; A  0;
a
B   ;0;0  ; C  a;0;0  ; C   a;0;
2 
2 
 2
2


 2
2
1  3  2 

2 
Ta có AC  a;
a;
a  ; CB  a;0;0 
a  ; BC   a;0;
2
2 
2 
2


d  AC , BC  

 AC; BC  .CB a 6


.

6
 AC; BC 



Câu 26. [1H3-5.7-2] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc
với mặt phẳng đáy, SA  a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD bằng
A. a

B. a 2

C. a 3

D. 2a

Lời giải
Vì CD / /  SAB 

 d  CD, SB   d  CD,  SAB    d  D,  SAB   .
 DA  AB
Vì 
 DA   SAB   d  D,  SAB    DA  a .

 DA  SA
Vậy d  CD, SB   d  D,  SAB    a .

 Chọn đáp án A.
Câu 19. [1H3-5.7-2] Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành
ABCD tâm O tam giác ABC vuông cân tại A có AB  AC  a ,

SA   ABCD  . Đường thẳng SD tạo với đáy một góc 45 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng
AD và SB là


A.

a 3
.
2

B.

a 5
.
5

C.

a 10
.
10

D.

a 10
5

Lời giải

Chọn đáp án D
Lấy M là trung điểm BC , H là hình chiếu của A lên SM .
Xác định được  AD,  ABCD    SDA  45

SA  BC  AM  BC   SAM   BC  AH
AH  SM  AH   SBC   d  A,  SBC    AH
Vì AD //  SBC  chứa BC nên:

d  SB, AD   d  AD,  SBC    d  A,  SBC    AH
Tính: SA  AD  a 2, AM 

a
.
2

1
1
1
2


 AH  a
.
2

2
2
AH
AS
AM
5
Câu 1412. [1H3-5.7-2] Cho lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , mặt bên
ABBA là hình vuông. Biết BC  a 3 , góc giữa BC và mặt phẳng  ABC   bằng 30 .
Khoảng cách giữa hai đường thẳng BA và BC bằng
A.

a
.
2

B.

3a
.
2

C. a .
Lời giải

Chọn A

D. 2a .


Dựng hình bình hành ABPB như hình vẽ.

Ta có AB / / PB  AB / /  BCP 
 d  d  A ' B, BC   d  B,  BCP   

Lại có tan 30 

3VBPBC
S BPC

CC 
1

 CC   a
BC 
3

 AA  a  AB  a  AC  a 2
Ta có 3VB ' PBC

1
a3

 B B.S PBC  a.S ABC  a. a.a 2 
.
2
2

 BP  AB  a 2


Lại có  BC  CC 2  BC 2  a 2  3a 2  2a


2
2
2
2

 PC  AC  PA  2a   2a   a 6

1
 BCP vuông tại B  S BPC  .2a.a 2  a 2
2

a3
a
2d  2 2  .
a 2 2

Câu 20: [1H3-5.7-2] [SGD_QUANG NINH_2018_BTN_6ID_HDG]
Cho hình lập phương
ABCD. ABCD cạnh bằng 2a . Gọi K là trung điểm của DD . Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng CK và AD .
A. a 3 .

B.

2a 5
.
5

C.

Lời giải

Chọn B.

2a 3
.
3

D.

4a 3
.
3


A'

D'

B'
C'
E

K

I
D

A
B

C

Gọi E là trung điểm của AA
Ta có AD / /  CKEB  .

d  CK , AD  d  AD,  CKEB    d  A,  CKEB    d  A,  CKEB  
Hạ AI  BE . Khi đó d  A,  CKEB    AI .

AI 
Câu 7.

AE. AB
AE 2  AB 2



2a.a
4a 2  a 2



2a 2 2a 5
.

5
a 5

[1H3-5.7-2] (THPT LÝ THÁI TỔ) Khối lăng trụ ABC. ABC có thể tích bằng a 3 , đáy là
tam giác đều cạnh bằng 2a . Khoảng cách giữa AB và BC  là:
A.

4a
.
3

C. a .

B. a 3 .

D.

a 3
.
3

Lời giải
Chọn D
C

A

B

A

C

B

Ta có: BC / / BC  BC / /  ABC  .  d  AB; BC   d  BC;  ABC    d  B;  ABC    h.

Ta có: S ABC 
Câu 16.

4a 2 3
V
a
.
 a 2 3 ..Nên V  S ABC .h  h 

4
S ABC
3

[1H3-5.7-2] (THPT TIÊN DU SỐ 1) Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng a 3 . Hai cạnh đối
AB  CD  2a và AB, CD tạo với nhau góc 30 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB
và
A. a .

CD .

B. 3a .

C. a 3 .

D.

a 3
.
3

Câu 17. [1H3-5.7-2] (CHUYÊN VĨNH PHÚC)Cho lăng trụ ABC. ABC có đáy là tam giác đều cạnh
a . Hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng  ABC  trùng với trọng tâm của tam giác


a3 3
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và BC
ABC . Biết thể tích của khối lăng trụ là
4
là:
3a
3a
4a
2a
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
4
2
3
3

Câu 19.

[1H3-5.7-2] (THPT QUẢNG XƯƠNG I) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông
cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Góc giữa SC và mặt đáy bằng 450 . Gọi E là trung

điểm BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DE và SC.
A.

a 5
.
19

B.

a 38
.
19

C.

a 5
.
5

D.

a 38
.
5

Lời giải
Chọn B

SA   ABCD   AC là hình chiếu của SC trên  ABCD   SCA  450 . SAC vuông cân tại

A  SA  AC  a 2
Dựng CI // DE , suy ra DE //  SCI  .Dựng AK  CI cắt DE tại H và cắt CI tại K .
Trong  SAK  dựng HF  SK , do

CI   SAK   HF   SCI  , AK 

SK  AK 2  SA2 

Câu 20.

a 3
.
2

B.

a 3
.
4

C.

a 6
.
2

D.

a 6
.

3

[1H3-5.7-2] (THPT A HẢI HẬU) Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD , cạnh đáy bằng 2a ,
góc giữa mặt bên và mặt đáy bẳng bằng 60 . Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng AM và SC.
A.

Câu 21:

SA.HK a 38
a 95
 d  DE, SC   d  H ,  SCI    HF 

5
SK
19

[1H3-5.7-2] (THPT A HẢI HẬU) Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD , cạnh đáy bằng 2a ,
góc giữa mặt bên và mặt đáy bẳng bằng 60 . Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng AM và SC.
A.

Câu 22.

CD. AI 3a
1
a

, HK  AK 
CI

3
5
5

a 3
.
2

B.

a 3
.
4

C.

a 6
.
2

D.

a 6
.
3

[1H3-5.7-2] (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp - QB - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình
chóp S. ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O cạnh AB  a , đường cao SO vuông góc
với mặt đáy và SO  a . Khoảng cách giữa SC và AB là
A.

2a 5
7

B.

a 5
7

C.
Lời giải

Chọn D

a 5
5

D.

2a 5
5


Gọi E là trung điểm CD  OE  CD  CD   SOE    SCD    SOE  .
Vẽ OH  SE tại H  OH   SCD   d  O,  SCD    OH .
Ta có OH 

SO.OE
SO 2  OE 2

a.



a
2

a2 

a2
4



a 5
.
5

Vậy d  SC, AB   d  AB,  SCD    d  A,  SCD    2d  O,  SCD    2OH 

2a 5
5

Câu 2412.
[1H3-5.7-2] [sai 5.6 chuyển thành 5.7] Cho hình lập phương ABCD. ABCD có cạnh
bằng a . Khoảng cách giữa BB ' và AC bằng:
A.

a
.

2

B.

a
.
3

C.

a 2
.
2

D.

a 3
.
3

Lời giải
Chọn C.

Ta có: d  BB; AC   d  BB;  ACC ' A   

1
a 2
.
DB 
2

2

Câu 2413.
[1H3-5.7-2] [sai 5.6 chuyển thành 5.7] Cho hình lập phương ABCD. ABCD có cạnh
bằng 1 (đvdt). Khoảng cách giữa AA ' và BD ' bằng:
A.

3
.
3

B.

2
.
2

C.
Lời giải

Chọn B.

2 2
.
5

D.

3 5
.

7


Ta có: d  AA; BD   d  BB;  DBBD   

1
2
.
AC 
2
2

Câu 11: [1H3-5.7-2] (THPT Hải An - Hải Phòng - Lần 1 - 2017 - 2018) Cho hình chóp tứ giác đều
S. ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AB
và SC .
A.

a 6
.
2

B.

a 3
.
3

C.

a 6

.
3

D.

a 3
.
2

Lời giải
Chọn C
S

K
A

D
M

O
B

C

Ta có AB // CD  AB //  SCD 

 d  AB, SC   d  AB,  SCD    d  A,  SCD    2d  O,  SCD   .
Gọi M là trung điểm của CD , trong  SCD  kẻ OK  SM tại K .

CD  OM

 CD  OK . Suy ra OK   SCD   OK  d  O,  SCD   .
Ta có 
CD  SO
Ta có SO2  SA2  OA2  a 2 

Suy ra

a2 a2

.
2
2

1
1
1
6
a 6


 2  OK 
.
2
2
2
6
OK
OM
OS
a

Vậy khoảng cách giữa AB và SC bằng

a 6
.
3


Câu 2570. [1H3-5.7-2] Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , ABC 600 ,
cạnh bên SA vuông góc với đáy, SC tạo với đáy một goác 600 . Khoảng cách giữa hai đường
thẳng AB và SD là:
2a
3a
3a
a
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
5
5
15
15
Hướng dẫn giải
Chọn D
. d AB, SD

Gọi H là trung điểm CD . Ta có: CD
Do đó S

1
CD.SH
2

CSD

Vậy d AB, SD

S

3VS . ACD
S SCD

d A, SCD

SH

a 2 15
4

d A, SCD

A

3VS . ACD
S SCD

3a
15

D
H

0

B

Vậy chọn đáp án D.

60

600

C

Câu 2594. [1H3-5.7-2] Cho lăng trụ tam giác ABC. A ' B ' C ' có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi
cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30 . Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng  A ' B ' C ' thuộc
đoạn thẳng B ' C ' . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA ' và B ' C ' theo a .

a
B. .
5

a
A. .
3

a
C. .
4

D.

a 3
.
4

Lời giải

Chọn D.
Ta có A ' H là hình chiếu của AA ' lên mặt phẳng
nên AA ' H

 A ' B ' C '

30 .

Xét tam giác vuông AHA ' ta có:

AH  AA 'sin 300 

a
a 3
.
, A ' H  AA ' cos30 
2

2

Mà tam giác A ' B ' C ' đều nên H là trung điểm của B ' C ' .
Vẽ đường cao HK của tam giác AHA ' .
Ta có B ' C '   AHA ' nên B ' C '  HK .
Suy ra d  AA ', B ' C '  HK 

AH . A ' H a 3

.
AA '
4

Câu 16: [1H3-5.7-2] (THPT Quỳnh Lưu 1 - Nghệ An - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Cho khối chóp
S. ABCD có thể tích bằng

3.a3 . Mặt bên SAB là tam giác đều cạnh a thuộc mặt phẳng


vuông góc với đáy, biết đáy ABCD là hình bình hành. Tính theo a khoảng cách giữa SA và
CD.
A. 2a 3 .

B. a .

C. 6a .

D. a 3 .

Lời giải

Chọn C

S

K

D
A

H
B

C

Gọi H là trung điểm của AB  SH   ABCD  và SH 

a 3
.
2

Kẻ CK  AB

3V 3 3a 3
Ta có S ABCD 

 6a 2
SH
a 3
2
Mặt phẳng  SAB  là mặt phẳng chứa SA và song song CD . Do đó d  SA, CD   d  C ,  SAB  

CK  AB
Ta thấy 
 CK   SAB  .
CK  SH
S ABCD 6a 2

 6a.
Do đó d  C,  SAB    CK 
AB
a
Câu 6510:
[1H3-5.7-2] [BTN 175] Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh
bên hợp với đáy một góc 60 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB .
2 42a
42a
42a
42a
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
14
7
6
3
Lời giải:

Chọn B
S

A

D
H
a

O
B

K

C

.



 AD / /  SBC 
 d  AD, SB 

SB

SBC
.





 d  AD,  SBC    2d  O,  SBC    2.OH

1

OH 

1
1

2
OK
OS 2



a 42
2a 42 a 42
 d  AD, SB  

.
14
14
7

Câu 44: [1H3-5.7-2](THPT Chuyên Thái Bình - Lần 4 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S. ABC có đáy
ABC là tam giác vuông tại B , BC  2a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA  2a 3 .
Gọi M là trung điểm AC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SM bằng:

A.

a 39
13

2a

B.

C.

13

2a 3
13

D.

Lời giải
Chọn D
S

H

I

A

C
M
N

B

Gọi N là trung điểm cạnh BC suy ra AB //  SMN  .
Khi đó, d  AB, SM   d  AB,  SMN    d  A,  SMN   .
Trong mặt phẳng  ABC  , kẻ AI  MN suy ra  SAI    SMN   SI .
Trong mặt phẳng  SAI  , kẻ AH  SI suy ra AH   SMN  .
Suy ra d  AB, SM   AH .
Ta có AI  BN  a .
Lại có

1
1
1
13



.
AH 2 a 2 12a 2 12a 2

Vậy d  AB, SM   AH 

2a 39
13 .

2a 39
13